Pengantar Proses Stokastik

Transkripsi

1 : Dasar-dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

2 Diskusi 1. Misalkan sebuah koin yang mempunyai peluang muncul muka sebesar.7, dilantunkan tiga kali. Misalkan X menyatakan banyaknya muka yang muncul pada tiga kali lantunan. Tentukan fungsi massa peluang dari X. 2. Diketahui Tentukan: a. P ( ) X > 1 4 b. Tentukan F X (x) 2x, x 1 2 f X (x) = 3 4, 2 < x < 3, x yang lain.

3 3. Di dalam sebuah kantong terdapat n + m bola, dengan n bola merah dan m bola hitam. Bola-bola tersebut akan diambil dari kantong, satu kali pengambilan setiap waktu dan pengambilan dilakukan tanpa pengembalian. Misalkan X menyatakan banyaknya bola merah yang diambil sebelum bola hitam pertama terambil. Kita akan menentukan E(X ). Untuk mendapatkannya, beri nomor untuk bola merah dari 1 sampai n. Sekarang definisikan peubah acak X i, i = 1, 2,..., n dengan { 1, jika i bola merah terambil sebelum bola hitam X i =, lainnya

4 a. Nyatakan X dalam bentuk X i b. Tentukan E(X ) 4. Maskapai penerbangan mengetahui bahwa 5% dari pemesan tiket tidak datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket dengan kapasitas duduk 5 orang. Berapa peluang ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang?

5 5. Medibank, perusahaan asuransi kesehatan terbesar di Australia, memiliki polis yang menanggung 1% biaya kesehatan hingga maksimal 1 juta dolar/th polis. Diketahui total tagihan kesehatan X /th memiliki fungsi peluang: f X (x) = x(4 x), < x < 3 9 Jika Y menyatakan total pembayaran yang dilakukan Medibank, tentukan nilai yang mungkin untuk Y! Tentukan ekspektasi dari Y!

6 Diskusi 1. Fungsi massa peluang X P(X = ) = (.3) 3 =.27 P(X = 1) = 3(.3) 2 (.7) =.189 P(X = 2) = 3(.3)(.7) 2 =.441 P(X = 3) = (.7) 3 =.343

7 2. Pertama, cek apakah fungsi tsb merupakan fungsi peluang 1/2 2x dx dx = [ x 2] [ ] 1/ x 2 = = 1 a. Nilai P ( X > 1 4) adalah ( P X > 1 ) ( = 1 P X 1 ) 1/4 = 1 2x dx 4 4 = 1 [ x 2] 1/4 = = 15 16

8 b. F (x) nya adalah Untuk x < x x F (x) = f (t)dt = dt = Untuk x 1 2 F (x) = Untuk 1 2 < x < 2 x F (x) = f (t)dt = dt + 1/2 x dt + 2t dt + = + [ x 2] 1/2 + = 1 4 2t dt = x 2 x 1/2 dt

9 Untuk 2 x 3 F (x) = Untuk x > 3 F (x) = dt + 1/2 2t dt + = + [ t 2] 1/2 + + dt + 1/2 [ 3 4 t 2t dt + = + [ x 2] 1/ /2 ] x x dt dt 2 = x 3 2 = 3 4 x /2 ] 3 [ 3 4 t 2 3 dt x 4 dt + 3 dt + = = 1

10 , x < x 2, x 1 2 Jadi, F (x) = 1 4, 1 2 < x < x 5 4, 2 x 3 1, x > 3

11 3. a. X = n b. X i i=1 E(X i ) = Jadi, 1 x i P(X i = x i ) = P(X i = ) + 1 P(X i = 1) x i = = 1 n + 1 E(X ) = n E(X i ) = n n + 1 i=1

12 4. Misalkan X merupakan peubah acak yang menyatakan banyaknya orang yang tidak datang (peluang sukses), maka X B(52,.5) Banyaknya yang tidak datang adalah 5%x52 = 2.6 sehingga peluang ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang adalah jika paling sedikit ada 2 orang yang tidak datang yaitu P(X 2) = 1 [P(X = ) + P(X = 1)] ( ) ( ) 52 = 1 (.5) (.95) (.5) 1 (.95) 51 1 =.74

13 5. Jika Y menyatakan total pembayaran yang dilakukan Medibank, maka nilai yang mungkin untuk Y adalah dan ekspektasi Y adalah E(Y ) =. = 1 1 Y = min{x, 1} 3 x f X (x) dx + x = x(4 x) 9 1 dx + 1.f X (x) dx 3 1 x(4 x) 1. dx 9

14 Diskusi Ross, Sheldon M. 27. Introduction to Probability Models; 9th Edition. New York: Academic Press. Syuhada, Khreshna I.A. Materi Kuliah: MA4181 Pengantar Proses Stokastik. Departemen Matematika ITB, Bandung. Taylor, Howard M. dan Samuel Karlin A First Course in Stochastic Processes; Second Edition. New York: Academic Press. Virtamo, J Queueing Theory/ Probability Theory.