Modul Praktikum Fisika Komputasi I. disusun Oleh : Yudha Arman

Transkripsi

1 Modul Prtium Fisi Komputsi I disusu Oleh : Yudh Arm Progrm Studi Fisi Fults Mtemti d Ilmu Pegethu Alm Utiversits Tugpur Poti 08

2 Modul I. Peumlh d Pegurg Mtris Dsr teori Mtris terdiri dri susu g-g (eleme-eleme) berbetu ot yg diyt oleh sebuh lmbg tuggl. A Himpu eleme yg mtr dim bris d himpu teg dim olom. Vribel pertm, i sellu meuu omor bris tempt eleme itu terlet. Vribel edu sellu meuu pd omor olom. Misly eleme berd di bris d olom. Mtris A di ts mempuyi m bris d olom d dit beruur m li (tu m ) d bis disebut sebgi mtris deg uur m li. Mtris deg uur m = bis disebut sebgi vetor bris, sedg mtris-mtris deg uur olom = bis disebut sebgi vetor olom. Mtris-mtris deg uur m = disebut mtris buur sgr. Eleme digol pd mtris ditdi deg vribel peuu olom d bris yg memilii g yg sm, misly,,, Du mtris m dlh sm, i d hy i setip eleme pd mtris pertm sm deg setip eleme pd mtris yg edu; yitu [A] = [B] i i = b i utu semu i d. Mtris buur sgr ser umum ditemu pd st meyelesi permslh sistem persm liier. Utu permslh tersebut, byy persm (berhubug deg bris-bris) d byy bilg t diethui (berhubug deg olom-olom) hrus sm gr solusi peyelesi bersift ui. Terdpt seumlh betu hs mtris buur sgr yg bis ditemu, yitu. Mtris simetri, yitu mtris deg i = i utu semu i d.. Mtris digol dlh mtris buur sgr dim semu eleme bu digol sm deg ol.. Mtris stu dlh mtris digol dim semu eleme pd digol sm deg stu. 4. Mtris segitig ts dlh mtris dim semu eleme di bwh digol utm dlh ol. 5. Mtris segitig bwh dlh mtris dim semu eleme di ts digol utm dlh ol. 6. Mtris pit dlh mtris dim semu eleme sm deg ol euli pd sutu pit yg berpust pd digol utm. Cotohy dlh mtris beriut ii. A Mtris tersebut mempuyi lebr pit d bis disebut deg mtris tridigol

3 Opersi Mtris Mtris trspose dlh mtris yg memilii eleme bris d olom yg berpd deg eleme olom d bris mtris sl, tu i mtris B dlh trspose dri mtris A, m B i = A i dim i=:m d =:. Dlm otsi Algoritm ditulis sebgi : Algoritm Trspose Mtris Msu : A (m, uur A) Kelur : B A T Lgh : Utu i = : m Utu = : B(,i) = A(i,) dlm bhs Mtlb ditulis sebgi beriut : l;ler ll; A=[...];[m,]=size(A); for i=:m for =: B(,i)=A(i,); ;B Pembh d pegurg du mtris, misl mtris A d B, dilu deg membh tu megurgi eleme yg slig berpd pd msig-msig mtris. Eleme-eleme mtris yg dihsil C dihitug sebgi : C i = A i ± B i sebgi utu i =,,,,m, d =,,,,, tu deg tur peulis lgoritm ditulis Algoritm Peumlh/Pegurg Mtris Msu : A (m, uur A), B(p,q uur B) Kelur : C A ± B Lgh : Ji m p tu q m 'Kedu Mtris tid dpt diumlh tu diselisih', selesi Utu i = : m Utu = : C(i,) = A(i,) ± B(i,) dlm bhs Mtlb ditulis sebgi :

4 l;ler ll; A=[...];B=[...];[m,]=size(A); for i=:m for =: C(i,)=A(i,)± B(i,); ;C Opersi perli mtris A deg sebuh slr g (deg mtris hsil dlh mtris C) dilu deg megli setip eleme A deg g, yitu C i = g * A i, deg i=:m d =:. Perli tr du buh mtris ditulis sebgi C = A* B, dim eleme eleme mtris C ditulis sebgi C i, Ai.. B, deg dlh uur olom mtris A yg sm deg uur bris mtris B. Beriut dlh lgoritm utu perli mtris : Algoritm Perli Mtris Msu : A ((m,) uur A), B((p,q) uur B) Kelur : C A B Lgh : Ji m p m 'Kedu Mtris tid dpt dili', selesi Utu i = : m Utu = : q C(i,) = 0 Utu = : C(i,) = C(i,) + A(i,)*B(,) dlm bhs Mtlb ditulis sebgi : l;ler ll; A=[...];B=[...]; [m,]=size(a); [p,q]=size(b); for i=:m for =:q C(i,)=0; for =: C(i,)=C(i,)+(A(i,)* B(,); ;C

5 Perli mtris deg vetor olom dilu deg memsu ili q deg. Begitu pul deg opersi perli mtris bris deg mtris legp semul deg memsu ili m deg. Lgh Prtium Modul I. Bu plisi Mtlb. Bu M-File bru. Pelri Algoritm yg tertulis di modul 4. Keti Kode Progrm trspose, peumlh d pegurg mtris yg terdpt di modul ii 5. Msu mtris A d B sesui yg diistrusi oleh Asiste 6. Jl progrm d lisis hsily

6 Modul II. Sistem Persm Liier Dlm esehri, dlm berbgi bidg sis mupu mtemti, serig diumpi seumlh permslh yg merup sebuh set dri sutu sistem persm liier. Sebgi otoh dlh pd rgi eletroi d pd bidg mei. Set persm tersebut hrus diselesi ser simult. Hl ii seils terliht seperti lbr, tpi dilegpi deg tsir geometri. Tsir geometri ii memugi utu diluy lisis pd solusi lebih mlm. Dri hl tersebut di ts terliht diperluy formulsi vetor utu mempelri set persm simult tersebut. Keutug yg diperoleh dri formulsi vetor dlh permslh yg ditiu tid bergtug pd pemilih sistem oordit. Formulsi vetor ug eivle deg umlh dimesi permslh. Sebgi otoh dlh umlh dri uur olom vetor eivle deg dimesi rug permslh. Peri solusi sebuh set sistem persm liier sederh dpt dilu deg metode substitusi mupu elimisi. Nmu, utu permslh yg lebih omples diperlu proses yg lebih sistemti. Dlm modul ii dibhs metode elimisi yg lebih sistemti d metode yg berbsis hubug reursif. II.. Elimisi Guss Peumpu prsil Elimisi bilg t diethui digu utu meyelesi sebuh set persm. Prosedury terdiri dri du lgh, yitu :. Set persm diopersi utu meghilg slh stu bilg t diethui dri set persm tersebut. Hsil dri lgh elimisi ii dlh diperolehy stu persm deg stu bilg t diethui.. Aibty persm ii dpt lgsug diselesi d hsily disubstitusi embli e slh stu persm semul utu meyelesi bilg t diethui yg tersis. Pet dsr ii dpt diperlus e himpu persm yg lebih besr deg r megembg sem bersistem utu meghilg bilg t diethui d melu substitusi mudur. Elimisi Guss merup metode yg plig umum dri metode-metode li yg meggu sem ii. Pety dibgu utu meyelesi sutu himpu persm yg umum beriut = = = = Metode yg digu utu persm terdiri dri du thp, yitu thp elimisi bilg-bilg t diethui d peyelesi mellui lgh substitusi mudur.. Thp Elimisi Mu Thp ii dibut utu meredusi sistem persm e sistem deg betu mtris segitig ts. Lgh wl dlh deg meghilg bilg t diethui pertm dri persm e du smpi. Utu melu ii, li persm deg / utu memberi :... Serg persm ii dpt diurg dri persm bris e utu memberi tu =

7 Hsil legp dri proses ii dpt ditulis sebgi : = = = = Lgh beriuty dlh megulgi prosedur yg sm utu persm beriuty. Persm pd bris pertm ii merup persm tumpu d disebut sebgi oefisie tumpu. Opersi terhir dlm proses elimisi dlh deg meggu persm e (-) sebgi tumpu utu meghilg suu - dri persm e. Pd posisi ii, sistem bertrsformsi e betu mtris segitig ts = = = (-) = (-). Substitusi mudur Sistem yg telh diperoleh emudi digu utu mpt, yitu ( ) ( ) Hsil tersebut emudi dpt disubstitusi mudur e persm e (-) utu mpt -. Prosedur yg sm diulgi utu mpt solusi liy yg tersis, yg dpt ditulis sebgi : Utu i = -, -,,. i ( i) i ( i) i i ( i) ii

8 Algoritm Elimisi Guss Msu : A (m, uur A),C Kelur : (i) deg i = : m Lgh : I. Pembetu mtris Augmeted A [A C] II. Thp Elimisi Utu i =,... (-) l = i Utu = (i+) : Ji (,i) > (l,i) m l = Ji l i Utu = : (+) s (i,) (i,) (l,) (l,) s Ji (i,i) = 0 m SPL tid dpt diselesi Utu t = i+, i+... p = ti / ii Utu q = : + (t,q) = (t,q) p*(i,q) III. Substitusi bli =,+ / Utu i =-,-,, D = 0 Utu = i +,i +,, D = D+( i ) i, D i ii Dlm Bhs Mtlb ditulis sebgi beriut:

9 ler ll;l; =[...];=[...]; [m,]=size(); =[ ] % mtris Augmeted for =:(-) l=; for i=+: if bs((i,))>bs((l,));l=i;; if l> for =:(+) s=(l,);(l,)=(,);(,)=s; for i=+: p=(i,)/(,); for =:(+) (i,)=(i,)-(p*(,)); % Substitusi bli ()=(,+)/(,); for i=(-):-: D=0; for =(i+):: D=D+((i,)*()); (i)=((i,+)-d)/(i,i); disp('hsil proses elimisi Guss ii dlh'); Lgh Prtium. Bu plisi Mtlb. Bu M-File bru. Pelri Algoritm yg tertulis di modul 4. Keti Kode Progrm Elimisi Guss peumpu prsil yg terdpt di modul ii 5. Alisis persol fisis sesui yg diberi oleh Asiste 6. Defiisi SPL yg dibut 7. Jl progrm d lisis hsily

10 II.. Elimisi Guss Jord Metode ii merup vrisi dri metode elimisi Guss. Perbed utm dlh terlet pd elimisi vribel t diethui liy utu seluruh persm. Sebgi tmbh, setip brisy diormlissi deg membgi bris tersebut deg eleme pivoty. Hsil dri elimisi ii dlh mtris idetits. Koseuesiy, thp substitusi mudur tid diperlu. Ji mtris yg dielimisi diberi tmbh mtris idetits di sisi mtris tersebut d proses elimisi ug dilu pd mtris tmbh ii m hsil elimisi tid s berup mtris idetits, mu ug meghsil mtris ivers dri mtris [A]. [ [ 0 0 solusi A ] 0 0 ] elimisi Algoritm Guss Jord Msu : A, (m, uur A), C Kelur : A - d (i) deg i = : m Lgh : Pembetu mtris Augmeted A [A I C] Utu =,... () l = Utu = (+) : Ji (,i) > (l,i) m l = Ji l Utu i = : (+) s (,i) (,i) (l,i) (l,i) s Ji (,) = 0 m SPL tid dpt diselesi Utu i = +, i = i / = Utu i = : Ji i m p = (i,) Utu = (+) : + (i,) = (i,) p*(,) = (:,+) A - = (:,+... +)

11 dlm bhs Mtlb ditulis sebgi beriut: ler ll;l; =[...];=[...]; [m,]=size(); Id=eye(m,); =[ Id]; % mtris Augmeted for =:(-) l=; for i=+: if bs((i,))>bs((l,));l=i;; if l~= for =:(+) s=(l,);(l,)=(,);(,)=s; (,)=; for i=: if i~= p=(i,); for =:((*)+) (i,)=(i,)-(p*(,)); B=(:,(+):(*+); disp('hsil ivers dri mtris ii dlh');b disp('sert solusi dri SPL dlh');(:,+) Lgh Prtium. Bu plisi Mtlb. Bu M-File bru. Pelri Algoritm yg tertulis di modul 4. Keti Kode Progrm Elimisi Guss-Jord yg terdpt di modul ii 5. Alisis persol fisis sesui yg diberi oleh Asiste 6. Defiisi SPL yg dibut 7. Jl progrm d lisis hsily

12 II.. Metode Guss Seidel Metode Guss Seidel merup metode itersi yg plig umum digu. Asumsi bhw himpu persm liier (SPL) berbetu seperti beriut : [A]{X} = {C} d i eleme-eleme digol semuy tid ol, persm pertm dpt diselesi utu, yg edu utu, d seterusy sehigg i dilu ser itertif m meghsil:... = i,... = i... = 4,... = = itersi =,,,, msimum itersi Ser umum dpt ditulis ii i i i i i i i deg i =,,,, Altertif termudh utu memperoleh ter-ter wl ( 0 ) dlh deg megsumsi bhw semuy ol. Beriut dlh lgoritm metode Guss-Seidel : Algoritm Guss Seidel

13 Msu : A, (m, uur A),C ms, epsilo, 0(i) deg i = : Kelur : (i) deg i = : Lgh : utu itersi =,,, ms glt = 0 utu i =,,,, b = i utu =,,,, Ji i b = b - i b = b / ii selisih b i b i selisih > glt m glt = selisih i = b i glt < epsilo m selesi Proses belum Koverge tu diverge Selesi Dlm bhs Mtlb ditulis sebgi beriut : ler ll;l; A=[...];C=[...]; [m,]=size(a); [p,q]=size(c); X=zeros(,); m_itersi =..;eps=e-5; glt = 0; for itersi = :m_itersi for ii=: Xb =C(ii); for =:m if ~= ii ; Xb=Xb-A(ii,)*X();; Xb=Xb/A(ii,ii); selisih=bs((xb-x(ii)/xb); if selisih > glt; glt=selisih;; X(ii)=Xb; if glt<eps disp('hsil dlh');xb bre if (itersi=m_itersi) if (glt>eps); disp('hsil dlh');x disp('nmu proses diverge tu belum overge'); Lgh Prtium

14 . Bu plisi Mtlb. Bu M-File bru. Pelri lgoritm yg tertulis di modul 4. Keti ode progrm Guss-Seidel yg terdpt di modul ii 5. Alisis persol fisis sesui yg diberi oleh Asiste 6. Defiisi SPL yg dibut 7. Jl progrm d lisis hsily II.4. Metode Jobi Perbed metode itertif Jobi deg metode Guss-Seidel dlh sift hmpiry. Utu metode Jobi, ili-ili ter wl o dihmpiri ser seremp, yitu ili perhitug utu itersi pertm tid meggu ili hmpir ter wl dri. Nili itersi pertm diperoleh lgsug dri ter wl, yitu deg meggu ili d dri ter wl, bu hsil dri itersi pertm.... = ; i... = ; i... = ; i,... = i ; dlh vribel yg med umlh itersi, yitu itersi =,,,, msimum itersi Ser umum dpt ditulis : ii i i i i i deg i =,,,, Beriut dlh lgoritm Metode Jobi.

15 Algoritm Jobi Msu : A, (m, uur A),C, ms, epsilo, 0(i) deg i = : Kelur : 0(i) deg i = : Lgh : utu itersi =,,, ms glt = 0 utu i =,,,, i = i utu =,,,, Ji i i = i - i 0 i = i / ii selisih i 0i i selisih > glt m glt = selisih i glt < epsilo m selesi 0i = i Proses belum Koverge tu diverge Selesi Dlm bhs Mtlb ditulis sebgi beriut : ler ll;l; %iput A=[ _; _; _]; [m,]=size(a); C=[_;_;_]; [p,q]=size(c); %X=0;X=0;X=0 X=[0 0 0]; ms_itersi=; Eps=e-5; %.0^-5=0,0000 %Lgh peger for itersi=:ms_itersi glt=0; for ii=:m Xb=C(ii); for =: if ~=ii Xb=Xb-A(ii,)*X(); Xb=Xb/A(ii,ii); selisih=bs((xb-x(ii))/xb); if selisih > glt; glt=selisih; X(ii)=Xb; if glt < Eps disp('hsil dlh'); Xb bre if(itersi==ms_itersi); if(glt>eps); disp('hsil dlh'); X disp('proses Diverge tu belum Koverge') 0i

16 Lgh Prtium. Bu plisi Mtlb. Bu M-File bru. Pelri Algoritm yg tertulis di modul 4. Keti Kode Progrm Itertif Jobi yg terdpt di modul ii 5. Alisis persol fisis sesui yg diberi oleh Asiste 6. Defiisi SPL yg dibut 7. Jl progrm d lisis hsily II.5. Metode Deomposisi LU Sutu mtris buur sgr A yg dpt dideomposisi medi mtris li yg lebih sederh, yitu terdiri dri sebuh mtris segitig bwh [L] d mtris segitig ts [U] dit memilii deomposisi LU berup mtri L d mtris U tersebut. Mtris L d U tid ui re terdpt beberp metode yg dpt dilu utu mpt mtris L d U tersebut, d setip metode tdi meghsil mtris L d U yg berbed. Metode-metode tersebut dlh :. Metode Crout Ciri dri metode Crout dlh eleme digol mtris U yg dihsil dlh (u ii = ). Metode Doolittle Metode Doolittle meghsil mtris L deg ili eleme digoly dlh (l ii=). Metode Cholesy Metode ii meghsil mtris L d mtris U yg memilii ili eleme digol yg sm (u ii = l ii) Metode deomposisi LU digu utu meyelesi SPL. Metode ii memilii efisiesi yg lebih bi dibdig deg metode elimisi Guss mupu Guss Jord terutm pd st meyelesi SPL dlm umlh besr. Proses deomposisi membut peyelesi SPL medi lebih sederh re pegulg proses elimisi Guss yg tid perlu dpt dihidr. Khusus utu metode Doolittle, metode ii bis dit hy melu setegh dri proses elimisi Guss, yitu hy pd thp elimisi. Hsil dri thp elimisi dlh mtris U, sedg mtris L dlh mtris deg eleme digol d eleme segitig bwh liy diisi oleh eleme pivot pd st proses elimisi dilu. ( ) elimisi Guss ( ) mtris L mtris U ( 0 ) 0 0 Apbil terdpt SPL seperti di bwh ii A = C Peyelesi SPL dilu sebgi beriut :. deomposisi mtris A medi mtris L d U

17 . d misl LU = C U = y. m mtris SPL wl dpt ditulis sebgi : Ly = C 4. selesi mtris pd lgh tersebut mellui proses substitusi yg sederh (hl ii re eleme digol mtris berili. Substitusi dilu ser mu) 5. lu substitusi mudur pd lgh utu mpt solusi SPL. Algoritm Deomposisi LU Metode Doolittle Msu : A (m, uur A),C Kelur : (i) deg i =,,... m Lgh : % membetu mtris L d U Utu i =,... Utu =: L(i,)=0; i i= m L(i,)= Utu =,,... - Utu i=(+): p=(i,)/(,) L(i,)=p; Utu =: (i,)=(i,)-(p*(,)) U=(:,:) % subsitusi mu utu meri y dri hubug Ly=C y = C() Utu i =,,... D = 0 Utu = i,i-,..., D = D+(L i y ) y i = C i D % subsitusi bli utu meri dri hubug U=y = y / U Utu i =-,-,, D = 0 Utu = i +,i +,, D = D+(U i ) i = y i D U ii

18 Dlm bhs Mtlb ditulis sebgi beriut : ler ll;l; % iput =[];=[...]; [m,]=size(); for i=:; for =: L(i,)=0; if i==; L(i,)=; for =:(-); for i=+: p=(i,)/(,); L(i,)=p; for =: (i,)=(i,)-(p*(,)); U=(:,:); % subsitusi mu utu meri y dri hubug Ly=C y() = (); for i=: D=0; for =i:-: D=D+(L(i,)*y()); y(i)=c(i)-d; % subsitusi bli utu meri dri hubug U=y ()=y()/u(,); for i=-:-: D=0; for =i+: D=D+(U(i,)*()); (i)=(y(i)-d)/u(i,i); disp('mtris L d U yg dihsil dlh');l U disp('solusi SPL yg dihsil');

19 Modul III. Peri Ar Persm No Liier (Root Fidig) III.. Metode Bgi Du (Bisetio Method) Metode bgi du yg ug dim pemeggl bier, pemruh selg tu metode bolzo merup slh stu eis peri iremetl dlm m selg di bgi du.. Ji sutu fugsi berubh td pd sutu selg, m ili fugsi dihitug pd titi tegh. Kemudi losi r ditetu sebgi terlet pd titi tegh selg bgi tempt terdiy perubh td. Prosesy diulg utu memperoleh tsir yg diperhlus. y f() (r) b b b Beriut dlh lgoritm metode bgi du. Algoritm Metode Bgi Du Msu : f(),b dim f[].f[b] < 0 Epsilo Kelur : Ar Lgh-lgh :. T = [ + b] /. i f[].f[t] < 0 m b = T; liy = T.. Ji bs(b-) < epsilo m r = T ; selesi. 4. embli e () i belum selesi. Tugs Prtium : Legpi ode progrm psl beriut utu fugsi f() = e 4.

20 III.. Metode Newto Rphso Metode ii merup slh stu metode peri r ser terbu, yitu tp selg yg meugi losi r. Kelemh metode ii dlh peri r tid sellu overge. Metode ii didsr pd sebuh fugsi f() o liier yg dihmpiri oleh gris siggug yg meyiggug fugsi f(). Titi potog gris siggug ii terhdp sumbu merup hmpir r yg bru. Evlusi fugsi tersebut pd hmpir r yg bru, emudi diri embli persm gris siggug dri titi bru ii m diperoleh hmpir r yg bru. Proses ii diulg higg sebuh ili eslh tertetu diperoleh. y (o,f(o)) (,f()) (,f()) o f() Persm gris siggug yg dimuli dri titi ( o,f( o)) meyiggug fugsi f() dlh : Dlm betu li dpt ditulis sebgi : y f( 0 ) = m( 0 ) deg m = f ( 0 ) y f( 0 ) = f ( 0 ) ( 0 ) Titi potog persm gris siggug ii terhdp sumbu dlh (,0). Substitusi e persm sebelumy meghsil persm : d disusu ulg utu mpt : 0 f( 0 ) = f ( 0 ) ( 0 ) = 0 f( 0) f ( 0 ) deg r yg sm diperoleh hmpir r yg e du : d hmpir r e = f( ) f ( )

21 + = f( ) f ( ) Diliht dri rteristi persm yg dihsil, utu sutu ili metode berhsil bil turu fugsi pd (f ( )) 0. Terdpt beberp riteri pegheti pd metode ii, mu utu prtium li ii digu riteri pegheti beriut :. epsilo. Pembts Itersi (higg itersi msimum dim r overge ) Beriut dlh lgoritm metode Newto Rphso Algoritm Newto Rphso Msu : f(), f (), o epsilo, ms Kelur : Ar Lgh-lgh : I. Utu itersi =,,, ms. Ji f ( o) = 0 m proses ggl, selesi. f ( o ). bru o f '( ) bru o bru o. Ji epsilo m r = bru, selesi. 4. o = bru. II. Proses Diverge tu belum overge III. selesi.

22 III.. Metode Newto Rphso Utu Poliom Pd Prtium ii dite pd peerp metode Newto Rphso utu meghitug r dri sutu poliom berdert. Progrm yg digu mempuyi riteri pegheti yg sm deg progrm Newto Rphso sebelumy, hy peerpy berbed. Betu umum hmpir Newto Rphso seperti yg telh dibhs sebelumy dlh : = 0 f( 0) f ( 0 ) Sedg utu hmpir poliom : p( ) p'( ) b 0 P( ) d P ( ) dihitug meggu perli bersrg yg diilustrsi seperti beriut ii : z - - o b b - b - b b o - - Algoritm NewtoRphso utu Poliom Msu Kelur Lgh-lgh :, i,i=0,,,,, o, epsilo, ms : Ar : I. Utu itersi =,,, ms b = C = b Utu i = -, -,, b i = i + o b i+ i = b i + o i+ b o = o + o b Ji = 0 m proses ggl, selesi b0 bru o i bru bru o epsilo m r = bru ; selesi. o = bru II. Proses Diverge tu belum overge III. selesi

23 III.4. Metode Set ( Tli Busur ) Mslh potesil dlm meerp metode Newto-Rphso dlh evlusi dri turu pertm. Terdpt fugsi-fugsi yg mugi turuy sgt sulit utu dievlusi. Utu fugsi seperti ii, turu dpt dihmpiri oleh metode bed higg terbgi. Hmpir ii dpt diels sebgi beriut. Tiu sebuh titi + yg merup bsis dri titi perpotog terhdp sumbu dri sebuh gris yg mellui titi ( -,f( -)) d (,f( )). Tsir geometri dri peryt tersebut digmbr beriut ii. y o,f( o),f( ),f( ) o f() Pd sus dim f () sulit utu diri, digu hmpir utu meri turu sebgi beriut : f ( ) f ( h) f '( ) lim h 0 h dlm betu li dpt ditulis dlm betu hmpir beriut : f ( ) f ( f '( ) ) Substitusi hmpir e persm itertif meghsil : f ( ) f '( ) = =,,, f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Dri hmpir tersebut diethui bhw pogrm Tli Busur yg dibut memerlu msu o d utu meghitug. Beriut dlh lgoritm metode set ( tli busur ) Algoritm Set ( Tli Busur ) Msu : f(), o, Epsilo, Ms Kelur : Ar

24 Lgh-lgh : I. Utu itersi =,,, ms. bru f ( ) f ( ) bru 0 f ( bru o. Ji epsilo m r = bru, selesi. o =. = bru ; selesi IV. Proses Diverge tu belum overge selesi. 0 )

25 IV.. Itegrl Romberg. Dsr Teori Metode Ii didsr pd estrpolsi Rihrdso. Itegrl dilu ser itertif deg selg perhitug yg berbed-bed. Hsil dri setip perhitug emudi digu utu memperoleh hsil hmpir itegrl yg lebih bi. Formulsi itgrl Romber dimuli deg meghmpiri itegrl es I deg metode Trpesium utu selg h d h yg berbed. I e = I e I(h ) + E(h ) = I(h ) + E(h ) Seperti diethui bhw Itegrl trpesium memilii eslh hmpir sebesr : b E T = h f (ξ) d deg sumsi m f (ξ ) = f (ξ ) E(h ) E(h ) h h Substitusi e persm sebelumy meghsil : sehigg diperoleh I(h ) + h h E(h ) = I(h ) + E(h ) E(h ) = I(h ) I(h ) ( h h ) Dri hsil hmpir eslh pd selg edu ii diperoleh hmpir itegrl bru dlm betu :

26 I I(h ) + I(h ) I(h ) ( h h ) yg memilii ursi yg lebih bi. Hl ii terliht dri eslh hmpir yg lebih eil dri selg hmpir sebelumy. Ji h = h m I = 4I(h ) I(h ) Ji pet ii dilut, m orde eslh yg lebih eil (O(h 6 )) diperoleh, yitu: emudi ursi O(h 8 ) berbetu : I = 6I(h ) I(h ) 5 I = 64I(h ) I(h ) 6 d seterusy higg orde eslh megeil dlm orde eslh berpgt. Dlm betu umum hmpir itergrl ii dpt ditulis sebgi : I, = 4 I +, I, 4 deg orde eslh O(h ) dim selg beriuty dlh setegh dri selg sebelumy. Dlm betu tbel dpt diilustrsi sebgi beriut : O(h ) O(h 4 ) O(h 6 ) O(h 8 ) I[,] I[,] I[,] I[,] I[,] I[,] I[,] Hmpir I[,] I[,] itegrl yg I[4,] lebih bi Adpu Algoritm metode ii utu meghitug itegrl : b I f ( ) d dlh sebgi beriut : Msu :, b, f(), Kelur : I Lgh : =, h=b-, (0)=, ()=b I(,) = h (f( 0) + f( )) utu s = : -

27 =* h=h/ utu r = 0 : (r) = (0) + r*h sum = 0 utu q = : - sum = sum + f((q)) I(s +,) = h (f( 0) + sum + f( )) utu p = : utu t = : (-p+) I(t, p) = 4p I(t+,p ) I(t,p ) 4 p Lgh prtium :. Hitug Itegrl d meggu metode Romberg 0. Hitug terlebih dhulu itegrl tersebut ser liti. Sli Algoritm di ts e dlm bhs Mtlb. 4. Alis hsil d lu perhitug eslh hmpir.

28 DAFTAR PUSTAKA Chpr. S., d Cle,R.P., Numeril Methods For Egieers, MGrw Hill, 009. Jogiyto, H.M., Pegel Komputer, Adi Offset, Yogyrt. 988 Jogiyto, H.M., Turbo Psl : Teori d plisi Progrm Komputer Bhs Turbo Psl termsu Dtbes Toolbo, Jilid I, Adi, Yogyrt, 00 Muir, Rildi, Algoritm d Pemrogrm, edisi edu,iformti,bdug Muir, Rildi, Metode Numeri, Iformti, Bdug, 00. Mudi, Suprito, Perhitug Mtris deg Fortr, Adi Offset, Yogyrt, 990. Rltso, A. 97 : Itodutio to Progrmmig d Computer Siee