ANALISIS KINERJA DEKOMPOSISI CROUT SEBAGAI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER BERUKURAN BESAR

Transkripsi

1 ANALISIS KINERJA DEKOMPOSISI CROUT SEBAGAI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER BERUKURAN BESAR Supriyoo, Diel Symsudi 2 Sekolh Tiggi Tekologi Nuklir BATAN Jl. Bbrsri Kotk Pos 60/YKBB Yogykrt. E-mil: msprie_stt@yhoo.com 2 Jurus Tekik Iformtik, Uiversits Islm Idoesi Jl. Kliurg Km. 4 Yogykrt Abstrk Persol bidg ilmu rekys peyelesiy byk yg berbetuk model sistem persm liier berukur besr, cotohy dlh perhitug deformsi bgu kibt gemp tu gy lur liy. St ii, utuk meyelesik persol system persm liier berukur besr tersebut, metode yg serig diguk oleh pr prktisi mupu pr peeliti dlh metode Guss. Ad kelemh dlm elimisi Guss, yitu melibtk du lgkh utm : elimisi mu (forwrd elimitio) d pesubstitusi mudur (bckwrd substitutio). Dri du Kegit tersebut, elimisi mu merupk bgi terbesr dri perhitug. Akibty Wktu eksekusi medi lm. Utuk megurgi umlh perhitug pd proses elimisi mu tersebut, Crout mewrk sutu proses dekomposisi, yitu memech sutu mtriks [A] ts [L] d [U]. Secr teoritis dpt diurik bhw deg dekomposisi Crout teryt d sutu opersi perhitug yg dpt dipersigkt. Oleh kre itu dlm Peeliti ii diui peyelesi megguk dekomposisi Crout utuk meyelesik system persm liier yg berukur besr. Teryt deg komputsi umeris terbukti ber bhw dekomposisi Crout wktu eksekusiy uh lebih pedek dibdig deg megguk metode Guss-Jord, Guss-Seidel mupu deg dekomposisi LU seklipu. Dlm Peeliti ii, dilisis pul kompleksits lgoritm dekomposisi Crout, utuk membuktik keber hsil komputsi berup wktu eksekusi dekomposisi Crout lebih pedek dibdigk deg metode yg li. Sehigg deg Peeliti ii, dri hsil lisis kiery, dekomposisi Crout sudh wktuy utuk diguk oleh pr peeliti d prktisi utuk meyelesik sistem persm liier yg berukur besr. Kt Kuci: Sistem Persm Liier, Berukur Besr, Dekomposisi Crout, Wktu Eksekusi, Kompleksits Algoritm. PENDAHULUAN Byk persol dlm bidg rekys d tekik sipil khususy tetg perubh deformsi pd struktur bgu peyelesiy berbetuk sistem persm liier deg ukur mtriks yg besr []. Persol sistem persm liier berukur besr, peyelesiy tidk mugki dpt diselesik secr litik. Oleh kre itu peyelesi secr umeris dlh stustuy cr utuk meyelesiky. Seirig deg perkembg dui komputer, peeliti dlm bidg metode umeris ug ikut berkembg, sehigg byk metode peyelesi secr umeris yg terpubliksik bik mellui url ilmih mupu pd buku-buku tetbook. Deg byky metode peyelesi secr umeris, perlu dilkuk peeliti tetg metode m yg terbik, gr peggu metode umerik dpt memilih metode yg bik d efisie. Dlm peeliti ii, telh diki d dilisis sutu Dekomposisi Crout [2] sebgi slh stu metode peyelesi sistem persm liier. Adpu betuk ki d lisisy dlh membuktik secr umeris keuggul Dekomposisi Crout dibdigkk deg metode stdrt, yitu metode Guss-Jord d metode LU. Utuk lebih meykik hsil secr umeris, dlm Peeliti ii dilisis pul kompleksits lgoritmy, yitu deg megguk fugsi lgkh pd lgoritm [3] msig-msig metode. Utuk megui keber lisis, dibgu sutu pergkt luk yg berfugsi sebgi lt ui mupu sebgi lt hitug. Hsil pegui dibut tbulsi wktu eksekusi utuk msigmsig ukur mtriks berukur besry, misly mtriks ukur , , dst. Utuk pegui (sebgi lt ui) deg ukur mtriks yg besr iputy diguk tekik rdomissi, sedgk utuk perhitug (sebgi lt hitug) iputy bis dilkuk deg pegisi (etry dt) tu deg membgkitky mellui otomtissi pembgkit dt deg formul. Hsil peeliti meuukk bhw Dekomposisi Crout teryt lebih bik dibdigk deg metode-metode yg li, kre Dekomposisi Crout di dlm lgoritmy mksiml hy d klg di dlm klg s (O( 2 )). Sedgk metode Guss-Jord terdpt klg di dlm klg d di dlmy d klg lgi (O( 3 )), sedgk metode Guss-Seidel d G-5

2 persol deg pegheti proses itersi, sehigg d stu klg yg besry tk dpt diprediksi, yitu pd proses kp itersi k berheti. Dlm keyty utuk dpt dihsilky solusi deg glt yg kecil, mk pegheti itersi hrus distop deg megkodisi tolersi error yg kecil sekli. Akibty ukur klg medi besr. Utuk dekomposisi LU wlupu besr lgkhy dlh (O( 2 )), tetpi suku-suku poliomily lebih byk dibdigk deg Dekomposisi Court. 2. DASAR TEORI Sutu sistem persm liier berikut [2]: b () b b dpt dicri ili,,..., deg dlh 2 koefisie-koefisie kost d b dlh kosttkostt sert dlh byky persm. Utuk yg berukur kecil, mislk < 3 sgt mudh diselesik secr litik, mislk diselesik deg tur Crmer. Tetpi utuk yg besr, mk tekik-tekik peyelesi berbsis komputer hrus diguk. Metode-metode tersebut tr li: 2. Metode Guss Jord Meurut [2] metode Guss-Jord dlh pegembg dri metode Elimisi Guss, yitu deg merubh betuk persm () medi betuk: 2 b b2 (2) 2 b Betuk persm (2) dimipulsi sedemiki rup deg elimisi mu, sehigg dihsilk betuk mtriks sebgi berikut: * 0 0 b * 0 0 b (3) 2 * 0 0 b Hsil persm (3) di ts mempuyi mk bhw hsil peyelesi system persm liier dlh : b *, 2 b 2 *,.., b *. 2.2 Metode Guss Seidel Meurut [2] Metode Guss-Seidel dlh metode deg lgkh itersi, yitu deg meghitug ili slh stu yg tergtug deg ili yg li. Itersi Metode guss tersebut dri persm () betuk persmy ditulis sebgi persm (3) berikut: b b b 22 (4) Adpu itersi k berheti ik telh tercpi kodisi koverge, yitu i i 00% i lebih kecil tolersi error. Utuk peyelesi deg metode Guss, bik utuk metode Guss-Jord d metode Guss Seidel kemugki d persol deg proses pembgi deg ol. Utuk meghidri kedi proses yg terbgi deg ol, mk dlm peyelesi deg metode Guss diguk tekik pivotig. 2.3 Dekomposisi LU Jik persm () disusu ulg medi persm [ A ]{ X } { b} 0, mk persm tersebut dpt disusu lgi medi sutu system segitig ts: u2 u c 0 u2 2 c2 (5) 0 0 c tu dpt ditulis sebgi [ U ]{ X } { c} 0 d segitig ts: l 0 0 [ ] l2 l22 0 L (6) l l2 l Akibty, dekomposisi LU dlh [ A ] [ L][ U ]. Deg dpt dihsilky mtriks [ L] seperti persm (6), mk deg substitusi mu dpt dihsilk sutu vektor { c} sebgi peyelesi system persm liier yg memeuhi syrt [ U ]{ X } { c} Dekomposisi Crout Meurut [2], Metode Crout dpt dituruk deg megguk perkli mtriks utuk meghitug persm [ A ] [ L][ U ] d memberik G-6

3 hsil l i utuk i i,2,, d i u l utuk 2,3,,. Sehigg utuk 2,3,, d i, +,, mk: l (7) i u k i likuk k k l iuik i l utuk k +, + 2,, (8) d lk k k l u (9) 3. METODOLOGI PENELITIAN Sesui deg kebutuh dlm peeliti ii lgkh-lgkhy dlh sebgi berikut: 3. Meuruk persm model Persm () sebgi sistem persm liier berukur besr diselesik deg 4 buh metode, yitu metode Guss-Jord, metode Guss- Seidel, Dekomposisi LU d dekomposisi Crout. Hsil peyelesi berup, 2, d wktu eksekusi besert pembhs kompleksits lgoritm. 3.2 Meetuk lisis kebutuh Sistem yg bik dlh sutu sistem yg ber, efisie d mudh pegopersiy sert merik. Agr tercpi tuu membgu sistem yg bik, mk proses perlu disusu lisis kebutuh yg meliputi: - Kebutuh iput Iput yg diperluk yg sesui deg persm () dlh ukur mtriks d ili koefisie-koefisie mtriks A d vektor b. - Kebutuh proses Dri pers () d (2) dpt disusu lgoritm metode Guss-Jord, persm (4) lgoritm metode Guss-Seidel, persm (6) d[ A ] [ L][ U ] lgoritm dekomposisi LU d persm (7), (8), (9) lgoritm Dekomposisi Crout. Adpu lgoritm keempt prosedur meurut [2] besert tekik pivotig utuk metode Guss dlh sebgi berikut. Algoritm. Metode Guss-Jord Do k to Dummy (k,k) Do to + (k,) (k,) / dummy] Do i to If ( i k ) Dummy (I,k) Do to + (i,) (I,) Dummy * (k,) Eddif Algoritm 2. Metode Guss-Seidel Do i to Dummy (i,i) Do to (i,) (i,) / Dummy c(i) c(i) / Dummy Setiel 0 Iter 0 DoWhile (iter < mitersi) d ( Setiel o) Setiel Iter Iter + Do i to Old (i) Sum c(i) Do to If (i ) Sum sum (i,)*() Edif X(i) Lmd * Sum + ( Lmd)*Old If (Setiel ) d ((i) 0) Eps bs(((i) Old)/(i))*00% If (Eps > Tol) The Setiel 0 Edif Algoritm 3. Pivotig Metode Guss Pivot k Big bs((k,k)) Do ii (k + ) to Dummy bs((ii,k)) If (Dummy > Big) Big Dummy Pivot ii Edif If (Pivot k) Do k to Dummy (Pivot,) (Pivot,) (k,) (k,) Dummy Dummy b(pivot) b(k) Dummy Edif G-7

4 Algoritm 4. Dekomposisi LU Do k to ( ) Do i k + to Fktor (k,i)/(k,k) Do k to (,i) (,i) Fktor * (,k) y() c()/(,) Do i 2 to Jumlh 0 Do to (i-) Jumlh Jumlh + ((I,) * y()) Y(i) (c(i) Jumlh) / (I,i) Do k to ( - ) Do i (k + ) to Fktor (I,k) / (k,k) Do k to A(I,) (I,) Fktor * (k,) Do i to Fktor (i,i) Do to A(I,) (I,) / Fktor () y() / (,) Do I to Step (-) Jumlh 0 Do (i + ) to Jumlh Jumlh + ((i,) * ()) (i) (y(i) Jumlh) / (i,i) Algoritm 5. Dekomposisi Crout Do 2 to (i,) (i,) / (i,) Do 2 to ( ) Do I to Sum 0 Do k to ( ) Sum Sum + (i,k) * (k,) (I,) (i,) Sum Do k ( + ) to Sum 0 Do i to ( ) Sum Sum + (,i) * (i,k) (,k) ((,k) Sum) / (,) Sum 0 Do k to ( ) Sum Sum + ((,k) * (k,)) (,) (,) - Sum - Kebutuh output Sesui deg prisip membgu sistem, mk per output ug petig. Miiml output dpt memperlihtk hsil khir. Dlm peeliti ii, outputy berup, 2, d wktu eksekusi. - Kebutuh pergkt luk d pergkt kers Dlm membgu sistem d 2 hl tetg pergkt kers yg perlu diperhtik, yg pertm dlh deg spesifiksi p sistem itu dibgu d deg spesiksi p sistem itu dpt dilk. Sistem ii dibgu deg pergkt kers komputer petium 00 Mhz deg RAM 32 MB d dpt dilk deg komputer petium setr ke ts. Adpu pergkt luk yg diguk utuk membgu sistem dlh Borld Delphi 5 deg sistem opersi Widows Pembut percg sistem Dlm peeliti ii kre yg medi tuu dlh mecri, 2, d wktu eksekusi, mk dlm percgy dibut flowchrt deg bsis keempt lgoritm di ts. Dlm progrm ii sebgi pembdig yg dpt diliht mellui eksekusi komputer dlh pkh hsily sm d kedu progrm tersebut bgim perbdig wktu eksekusiy. 3.4 Membgu progrm komputer Progrm komputer yg diguk utuk membgu sistem ii dlh pergkt luk Borld Delphi 5 deg ls bhw Borld Delphi 5 merupk bhs komputsi tekis yg sgt populer d sgt mudh diguk sert mudh pul utuk diphmi struktur bhsy [4]. Dlm peeliti ii kre listig progrmy pg, mk tidk dpt ditmpilk dlm mklh ii. 3.5 Pegui progrm Setelh sistem selesi dibgu, mk hrus diui pkh sistem dpt berl deg bik d mudh diopersik. Pegui dilkuk secr detil dismpik pd bb hsil d pembhs berikut ii. 4. HASIL DAN PEMBAHASAN Dlm peeliti ii, utuk msuk mtriks berukur besr diguk msuk yg bersift rdom. Dlm meglisis hsil Peeliti ii d 3 spek, yitu: G-8

5 4. Aspek Kompleksits Algoritm Diliht dri spek kompleksits deg teori Big-O meurut [3], mk utuk metode Guss Jord mempuyi betuk fugsi 3 2 f ( ) + 2 +, dim sebgi fugsi putr (loopig) sedgk utuk metode Guss Seidel betuk fugsiy dlh f ( ) ( C + ) 2 dim C dlh sutu kostt yg bergtug deg tigkt tolersi pegheti itersiy. Semki kecil tolersi error, semki besr ili C. Kebliky semki besr tolersi error semki kecil ili C. Sehigg fugsi putr pd metode Guss Seidel gk tidk psti. Utuk dekomposisi LU betuk fugsiy dlh f ( ) d dekomposisi Crout betuk fugsiy dlh f ( ) Deg meliht keempt betuk fugsi putr, mk dekomposisi Crout terliht plig sedikit iliy. Hl ii dpt diliht pd tbel kompleksits lgoritm berikut: Tbel. Perbdig Jumlh Putr Msig- Msig Metode Ukur Metode Peyelesi Sistem Persm Liier Mtriks Guss- Jord Dekompos Dekompos Guss- Seidel isi LU isi Crout Ctt: Utuk Metode Guss Seidel, disumsik C (mksimum itersi) 00. Dri tbel. Di ts, mpk bhw byk putr pd Dekomposisi Crout: Dekomposisi LU: Metode Guss Jord dlh 2: 3: 500. Dlm perbdig tersebut, metode Guss Seidel tidk diikutsertk kre d fktor ketidk psti, yitu tolersi error (mksimum itersi). Utuk membuktik d memperkut lisis bhw Dekompoisi Crout lebih bik dibdigk deg metode-metode yg li, mk perlu dlkuk pegui deg meliht wktu eksekusi. Pegui tersebut ditulisk pd sub bb 4.2 berikut. Dlm pegui pd Sub bb 4.2 tersebut deg ls yg sm, metode Guss Seidel tidk termsuk yg diuik. Kre ketidk psti umlh itersi. 4.2 Aspek Wktu Eksekusi Utuk pegui wktu eksekusi deg megguk pergkt luk Delphi 6, hsily disusu dlm betuk tbel d ditmpilk pd tbel 2. berikut ii. Tbel 2. Perbdig Wktu Eksekusi Msig- Msig Metode Ukur Mtriks Metode Peyelesi Sistem Persm Liier Guss - Dekomposisi Dekomposisi Jord LU Crout :00:60 00:00:050 00:00: :05:320 00:04:70 00:0: :39:490 00:35:590 00:2: :05:060 0:30:440 00:38: :33:730 05:29:890 02:45: :56:030 0:29:890 06:38:370 Ctt: rti dri : yy: zz dlh meit: detik: mili detik Diliht dri tbel 2. Di ts, memg tidk terdi perbdig wktu eksekusi setr deg perbdig umlh putr. Hl ii disebbk bhw wktu eksekusi tidk hy disebbk oleh kompleksits lgoritm s, tetpi ug meygkut ukur besr mtriks. Jik peeliti ii dikembgk terus deg ukur mtriks yg lebih besr lgi, mislk deg ukur mtriks iscy ukur perbdig wktu eksekusi k meuukk perbed yg sigifik. Dlm peeliti ii, pegui utuk ukur mtriks d kedl dlm pergkt kers yg diguk. Wlupu demiki, utuk ukur mtriks berppu ug, dekomposisi Crout meuukk kelebihy. Pegui deg kompleksits lgoritm mupu deg wktu eksekusi tidk k d guy ik tuu pecri ili, 2, tidk tercpi, yitu ili, 2, yg berbedbed. Utuk pegui tersebut ditulisk pd sub bb 4.3 berikut. 4.3 Aspek Hsil Pegui Sistem pliksi dlm peeliti ii dpt diguk utuk mecri... utuk ukur mtriks berukur besr mupu yg berukur kecil. Utuk mtriks yg berukur besr, mislk utuk mtriks berukur 00 00, mk il mtriks A d vektor b dibgkitk deg bilg rdom. Sedgk utuk sistem yg berukur kecil, mislk utuk mtriks berukur 4 4, msuk dpt diisik mellui meu yg disedik. Sebgi cotoh persol sistem persm liier berikut ii: G-9

6 Deg memilih meu Hitug, mk keempt metode meuukk hsil yg sm, yitu:.038, , d KESIMPULAN Hsil peeliti meuukk bhw:. Metode Crout diliht dri wktu eksekusi d lisis lgoritm lebih bik dibdigk dg metode Guss Jord d dekomposisi LU. b. Metode Guss Seidel dimugkik lebih bik dibdigk deg metode peyelesi yg li ik fktor tolersi error tidk begitu dipersolk. Artiy ik pegmbil tolersi error diperbesr, dimugkik metode Guss Seidel lebih bik dibdigk deg metode yg li. DAFTAR PUSTAKA [] Supriyoo d Miyoshi, T., A Modified Etrpoltio Method for lrge System of Ordiry Differetil Equtios, Jp Jourl of Idustril d Applied Mthemtics, Vol. 2, 995, pp [2] Chpr, S.T. d Cle, R.P., Numericl Methods For Egieers, McGrw-Hill, New York USA, 998. [3] Hrito, B., Struktur Dt, CV Iformtik, Bdug, [4] Mrti, I., 36 Belr Komputer Delphi 5.0, PT. Ele Medi Komputido, Jkrt, [5] Pmitrpti, D d Sih, K., Trik Pemrogrm Delphi, PT. Ele Medi Komputido, Jkrt, G-0