SIDANG TERTUTUP TUGAS AKHIR MENENTUKAN KEANDALAN KOMPONEN MESIN PRODUKSI PADA MODEL STRESS-STRENGTH YANG BERDISTRIBUSI GAMMA

Transkripsi

1 SIDANG TERTUTUP TUGAS AKHIR HOME MENENTUKAN KEANDALAN KOMPONEN MESIN PRODUKSI PADA MODEL STRESS-STRENGTH YANG BERDISTRIBUSI GAMMA I V Oleh : Muh. Nurcahyo Utomo Dosen Pembimbing: Dra. Farida Agustini W., MS. JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 214

2 I V

3 I V Perindustrian Kesalahan pembuatan produk Keandalan TEORI KEANDALAN Komponen Distribusi Gamma Sebagai contoh PT Petrokimia Gresik, yang merupakan perusahaan milik negara dan produsen pupuk terlengkap di Indonesia [1]. Distribusi Eksponensial

4 I V Permasalahan yang dibahas pada tugas akhir ini adalah: 1. Bagaimana menentukan fungsi keandalan komponen pada Model Stress Strength? 2. Bagaimana menentukan fungsi keandalan komponen bila Stress dan Strength berdistribusi gamma? 3. Bagaimana analisa hasil dari studi kasus keandalan komponen pada mesin pupuk PT Petrokimia Gresik cabang Nganjuk?

5 I V Pada tugas akhir ini, batasan masalahnya sebagai berikut: 1. Model yang digunakan untuk mencari fungsi keandalan komponen adalah Model Stress Strength. 2. Stress berdistribusi gamma. 3. Strength berdistribusi gamma. 4. Stress sebagai tekanan beban dan Strength sebagai kekuatan komponen mesin. 5. Data yang dipakai adalah data dari tekanan beban dan kekuatan komponen mesin pupuk PT Petrokimia Gresik cabang Nganjuk.

6 I V Berdasarkan rumusan masalah, tujuan dari tugas akhir ini adalah sebagai berikut: 1. Menentukan fungsi keandalan komponen pada Model Stress Strength. 2. Menentukan fungsi keandalan komponen bila Stress dan Strength berdistribusi gamma. 3. Menganalisa hasil dari studi kasus keandalan komponen pada mesin pupuk PT Petrokimia Gresik cabang Nganjuk.

7 I V Manfaat dari tugas akhir ini adalah sebagai berikut: 1. Sebagai wawasan pemahaman mengenai keandalan komponen yang dicari pada Model Stress Strength dangan Stress dan Strength berdistribusi gamma. 2. Sebagai bahan pertimbangan untuk PT Petrokimia Gresik cabang Nganjuk mengenai kondisi mesin pupuk yang saat ini digunakan, agar dapat diantisipasi kegunaannya dan menghasilkan produk yang sesuai, sehingga dapat memberikan keuntungan untuk perusahaan.

8 PENDAHULUAN TINJAUAN PUSTAKA I METODOLOGI PENELITIAN V ANALISIS DAN PEMBAHASAN KESIMPULAN DAN SARAN I V

9 I V

10 I V Fungsi gamma didefinisikan sebagai berikut: Γ α = x α 1 e x dx untuk α >. Misalkan X suatu peubah acak kontinu berdistribusi gamma dengan parameter α dan λ, jika bentuk fungsi padatnya λ α x α 1 e λx, x > f x = Γ α, untuk x yang lain dengan α > dan λ > [3].

11 I V Distribusi eksponensial adalah distribusi khusus dari distribusi gamma dengan α = 1, peubah acak kontinu X mempunyai distribusi eksponensial dengan parameter β, jika fungsi padat peluangnya berbentuk [3]: 1 x f x = β e β, untuk x, untuk x yang lain dengan β >.

12 I V Andal dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia memiliki dua arti. Pertama, andal berarti dapat dipercaya. Kedua, andal juga dapat berarti memberikan hasil yang sama pada percobaan yang berulang. Keandalan suatu produk selayak sebuah probabilitas yang bernilai -1. Terdapat tiga faktor yang menentukan keandalan suatu mesin, yaitu: fungsi mesin, keadaan tertentu (batasan mesin), dan masa pakai mesin tersebut [2].

13 Grafik laju kerusakan terhadap waktu bisa dilihat pada Gambar 1. I V Gambar 1: Kurva laju kerusakan terhadap waktu.

14 I V Keandalan suatu mesin dapat diketahui dan dinilai dari data yang didapat dari analisis keandalan. Dalam analisis keandalan, suatu mesin memiliki dua keadaan (state) yaitu, keadaan baik dan keadaan buruk. Model yang digunakan untuk menganalisis keandalan suatu mesin adalah Model Stress Strength. Analisis Stress Strength adalah salah satu model menganalisis suatu mesin dengan memfokuskan pada aspek Stress dan Strength. Analisis ini adalah analisis yang sering digunakan. Strength memiliki maksud yaitu kekuatan material penyusun mesin tersebut dan Stress adalah batasan-batasan yang dimiliki oleh mesin tersebut (apabila di luar batasan, kerja mesin akan menurun). Nilai keandalan pada Model Stress Strength dapat dihitung jika fungsi densitas (pdf) variable random stress dan strength diketahui. Misalkan fungsi densitas untuk strength (S) dinotasikan oleh f S (S) dan fungsi densitas untuk stress (s) dinotasikan dengan f s s [4].

15 Posisi distribusi variable stress dan variable strength disajikan dalam Gambar 2 [4]: I V Gambar 2: Kurva interferensi stress-strength. Daerah yang diarsir merupakan daerah dimana kerusakan terjadi (daerah kegagalan). Kerusakan terjadi apabila stress > strength. Bisa dikatakan, semakin kecil daerah kegagalan, maka semakin andal mesin tersebut.

16 R t = 1 F t = f x dx. t Dengan: Nilai R seperti probabilitas memiliki nilai dalam range R 1 [5]. R(t) : keandalan mesin saat t. R :1 menyatakan bahwa mesin bekerja dengan baik. R : menyatakan bahwa mesin bekerja dengan buruk. Kurva keandalan [5]: Fungsi keandalan adalah fungsi yang berhubungan dengan waktu (waktu pengoperasian mesin). Pada Gambar 3 disajikan kurva keandalan terhadap waktu. I V Gambar 3: Kurva keandalan terhadap waktu. Fungsi keandalan memiliki beberapa sifat: a. R(t) 1. b. Kurva tidak monoton naik. c. R = dan R = 1.

17 I V

18 MULAI Identifikasi masalah dan perumusan masalah Penetapan tujuan dan manfaat HOME Pengumpulan Data - Data yang digunakan adalah data dari tekanan beban dan kekuatan komponen mesin pupuk PT Petrokimia Gresik Cabang Nganjuk. Studi literatur I V Penentuan Fungsi Keandalan - Fungsi keandalan ditentukan dengan Model Stress-Strength. Dan dalam menentukan fungsi keandalan, Model Stress-Strength yang dipakai berdistribusi gamma. Studi kasus dan pengolahan data SELESAI Penulisan laporan Tugas akhir Penarikan Kesimpulan

19 I V

20 I V Keandalan pada model Stress-strength merupakan peluang bahwa Strength lebih besar dari Stress. Keandalan dapat dihitung jika fungsi kepadatan peluang (pdf) variabel random Stress dan Strength diketahui. Misalkan fungsi kepadatan peluang untuk Strength (S) dinotasikan oleh f S S dan fungsi kepadatan peluang untuk Stress (s) dinotasikan dengan f s s. Keandalan didefinisikan sebagai peluang bahwa Stress lebih kecil dari Strength. Jika ditulis dalam persamaan matematika menjadi [6]: R = P s < S = P S > s (1) dengan R adalah keandalan komponen. Persamaan (1) dapat ditulis sebagai berikut [6]: R = f s s f S S ds ds (2) s

21 I V Selanjutnya dapat ditentukan persamaan untuk ketidakandalan (unreability) yang menyatakan peluang bahwa komponen akan gagal yaitu: R = 1 R = P S s Dengan mensubstitusikan R dari persamaan (2) diperoleh: R = P S s = 1 f s s f S S ds s = 1 f s s 1 F s s ds = 1 f s s ds + F s s f s s ds = F s s f s s ds = F s s f s s ds ds

22 I V Misal didefinisikan variable baru y = S s, maka keandalan dapat didefinisikan sebagai: R = P y > dan diasumsikan bahwa S dan s variable acak yang lebih besar atau sama dengan. Fungsi densitas dari variable y adalah: f y y = f s y + s f s s ds = s y f s y + s f s f s s ds y + s f s s ds Karena itu peluang kegagalan komponen (ketidakandalan) menjadi: R = f y y dy = f s y + s f s s ds dy y Dan keandalan komponen dinyatakan dengan: R = f y y dy = f s y + s f s s ds dy (3)

23 I V Diketahui pdf Distribusi Gamma sebagai berikut: f x = λn x n 1 e λx ; n >, λ >, < x < (4) Γ n dengan λ sebagai parameter skala dan n sebagai parameter bentuk. Untuk kasus λ = 1, persamaan (4) menjadi: 1. Pdf Strength Berdistribusi Gamma f S S = 1 Γ m Sm 1 e S, < S <, m > 2. Pdf Stress Berdistribusi Gamma f s s = 1 Γ n sn 1 e s, < s <, n > dengan menggunakan persamaan (3), dimana y = S s diperoleh: f y y = f s = = = = 1 Γ m 1 Γ m Γ n 1 Γ m Γ n y + s f s s ds ; y > y + s m 1 e y+s 1 Γ n sn 1 e s ds 1 Γ m Γ n e y y + s m 1 e y+s s n 1 e s ds y + s m 1 e y 2s s n 1 ds y + s m 1 e 2s s n 1 ds

24 I V Misal v = s y. Maka dv = 1 y Karena itu: R = = f y y = 1 Γ m Γ n ym+n 1 e y f y y dy 1 Γ m Γ n ds. Sehingga diperoleh: y m+n 1 e 1+2v y dy Diketahui fungsi gamma sebagai berikut: Maka, Γ α t α = xα 1 e t(x) dx Sehingga didapatkan: y m+n 1 e 1+2v y dy R = Γ m + n Γ m Γ n = 1 + v m 1 e 2vy v n 1 dv Γ m + n 1 + 2v m+n 1 + v m 1 v n 1 dv 1 + 2v m+n 1 + v m 1 v n 1 dv

25 I V Dengan memisalkan: u = v 1+2v Sehingga didapatkan: Dan batas-batas integralnya menjadi: v Saat v = u = lim = v 1+2v v Saat v = u = lim u + 2uv = v u = v 2uv u = v(1 2u) v = u 1 2u du 1 2u + 2u du dv = 1 2u 2 du dv = 1 2u 2 = 1 v 1+2v 2 Maka fungsi keandalan menjadi: R = Γ m + n Γ m Γ n u m 1 u n 1 du Integral pada persamaan (5) merupakan fungsi Beta yang tidak lengkap, sehingga didapatkan fungsi keandalan, Γ m + n R = Γ m Γ n B 1 n, m 2 (5)

26 I V Untuk kasus λ 1, persamaan (4) menjadi: 1. Pdf Strength Berdistribusi Gamma f S S = λm Γ m Sm 1 e λs, < S <, m >, λ > 2. Pdf Stress Berdistribusi Gamma f s s = μn Γ n sn 1 e μs, < s <, n >, μ > dengan menggunakan persamaan (3), dimana y = S s diperoleh: f y y = f s = λ m Γ m = λm μ n Γ m Γ n = λm μ n Γ m Γ n = λm μ n Γ m Γ n y + s f s s ds ; y > y + s m 1 λ y+s e y + s m 1 λ y+s e y + s m 1 λ y+s μs e μ n Γ n sn 1 e μs ds s n 1 e μs ds s n 1 ds y + s m 1 e λy λs μs s n 1 ds

27 I V Misal v = s y. Maka dv = 1 y f y y = λm μ n Γ m Γ n ym+n 1 e λy Karena itu: R = f y y dy = λm μ n Γ m Γ n ds. Sehingga diperoleh: y m+n 1 e λ+vλ+vμ y dy Diketahui fungsi gamma sebagai berikut: Maka, Γ α t α = xα 1 e t(x) dx y m+n 1 e (λ+vλ+vμ)y dy Sehingga didapatkan: = R = λm μ n Γ m + n Γ m Γ n 1 + v m 1 vy λ+μ e Γ m + n λ + vλ + vμ m+n v n 1 dv 1 + v m 1 v n 1 dv 1 + v m 1 v n 1 dv λ + vλ + vμ m+n

28 I V Dengan r = μ λ, maka: R = rn Γ m + n Γ m Γ n 1 + v m 1 v n 1 dv r v m+n Dengan memisalkan: rv u = 1+ 1+r v Sehingga didapatkan: u r v = rv u + uv + uvr = rv u + v u + ur = rv u = rv v u + ur u = v r u + ur u v = r u + ur u v = r u 1 + r du r u 1 + r u 1 r du dv = r u 1 + r 2 r du u du ur du + u du + ur du dv = r u 1 + r 2 dv = r du r u 1 + r 2 Dan batas-batas integralnya menjadi: rv Saat v = u = lim = v 1+ 1+r v rv Saat v = u = lim v 1+ 1+r v = r 1+r

29 Maka fungsi keandalan menjadi: R = Γ m + n Γ m Γ n r 1+r 1 u m 1 u n 1 du (6) Integral pada persamaan (6) merupakan fungsi Beta yang tidak lengkap, sehingga didapatkan fungsi keandalan, Γ m + n R = n, m (7) Γ m Γ n B r 1+r I V

30 I V Untuk mengetahui tingkat keandalan komponen masingmasing mesin, akan dilakukan perhitungan menggunakan fungsi keandalan yang sudah didapatkan pada persamaan (34). Dengan kekuatan komponen sebagai (λ), tekanan beban sebagai (μ), dinamo sebagai (m), dan perputaran mesin sebagai (n)[7]. Perhitungan dilakukan dengan menggunakan software Matlab, dan hasil dari perhitungan menggunakan GUI Matlab bisa dilihat pada Tabel 4.1, Tabel 4.2, Tabel 4.3, dan Tabel 4.4. Mesin Tingkat Keandalan Penghalus 98,61% Pan Granulator 98,9% Pengering 95,88% Pendingin 9,71% Tabel 4.1: Hasil Perhitungan Tingkat Keandalan Mesin Pada Tanggal 1 November 213. Mesin Tingkat Keandalan Penghalus 97,11% Pan Granulator 97,69% Pengering 95,4% Pendingin 89,95% Tabel 4.2: Hasil Perhitungan Tingkat Keandalan Mesin Pada Tanggal 8 November 213.

31 I V Mesin Penghalus 96,64% Pan Granulator 96,14% Pengering 94,47% Pendingin 88,81% Tingkat Keandalan Tabel 4.3: Hasil Perhitungan Tingkat Keandalan Mesin Pada Tanggal 15 November 213. Mesin Tingkat Keandalan Penghalus 97,8% Pan Granulator 97,% Pengering 94,69% Pendingin 91,3% Tabel 4.4: Hasil Perhitungan Tingkat Keandalan Mesin Pada Tanggal 22 November 213.

32 Grafik laju masing-masing mesin pada bulan November 213 bisa dilihat pada Gambar 4.1, Gambar 4.2, Gambar 4.3, dan Gambar 4.4. HOME Gambar 4.1: Laju Mesin Penghalus Pada Bulan November 213. I V Gambar 4.2: Laju Mesin Pan Granulator Pada Bulan November 213.

33 Gambar 4.3: Laju Mesin Pengering Pada Bulan November 213. I V Gambar 4.4: Laju Mesin Pendingin Pada Bulan November 213.

34 I Prosentase tingkat keandalan masing-masing mesin berpengaruh dengan hasil produksi masing-masing mesin. Setiap mesin bekerja selama 8 jam/hari, 6 hari selama satu minggu dan libur pada saat hari libur. Hasil yang didapat menunjukkan bahwa masingmasing mesin bekerja dalam kondisi prima, dan laju kerusakan tergolong konstan. Hal ini disebabkan karena di PT Petrokimia Gresik Cabang Nganjuk selalu dilakukan perawatan rutin untuk masing-masing mesin, yaitu seminggu sekali setiap hari Jum at. V

35 I V

36 Kesimpulan HOME I V Berdasarkan keseluruhan hasil analisa yang telah dilakukan, dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut : 1. Dalam menentukan fungsi keandalan pada Model Stress Strength digunakan kurva interferensi dari Stress Strength tersebut. Dan didapatkan fungsi keandalan sebagai berikut: R = f s y + s f s s ds dy 2. Fungsi keandalan yang didapat bila Stress dan Strength berdistribusi Gamma adalah fungsi beta yang tidak lengkap. untuk kasus λ = 1, didapatkan: Γ m + n R = Γ m Γ n B 1 n, m 2 untuk kasus λ 1, didapatkan: Γ m + n R = B r n, m Γ m Γ n 1+r 3. Dari hasil perhitungan studi kasus pada mesin pupuk PT Petrokimia Gresik Cabang Nganjuk menggunakan fungsi keandalan dengan bantuan sofware Matlab, didapat hasil bahwa masing-masing mesin bekerja dalam kondisi prima, dan laju kerusakan tergolong konstan. Hal ini disebabkan karena di PT Petrokimia Gresik Cabang Nganjuk selalu dilakukan perawatan rutin untuk masing-masing mesin, yaitu seminggu sekali setiap hari Jum at.

37 I V [1] (diakses pada tanggal 28 Agustus 213 pukul 14.38). [2] Budiana Putri, Melati. (21). Teori Keandalan sebagai Aplikasi Distribusi Eksponensial. Program Studi Sistem dan Teknologi Informasi Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Hal 1-5. [3] Walpole, dkk. (27). Probability & Statistics for Engineers & Scientists. Pearson Education International, Hal [4] (diakses pada tanggal 28 Agustus 213 pukul 18.33). [5] Hines, William W, Montgomery, Douglas C. (199). Probabilita dan Statistik dalam Ilmu Rekayasa dan Manajemen. Universitas Indonesia, Hal [6] Dhillon, Balbir S. (1979). Stress-Strength Reliability Models. University of Ottawa, Hal 513 [7] ss+strength+reliability+component+of+gamma+distribution&source=bl&ots=fdld1iuw 2i&sig=izHdwwzx- UxZVHJOzJZJHNjFnY&hl=id&sa=X&ei=eOG3UtbkLYTnoASA14LQCg&redir_esc=y#v=on epage&q=stress%2strength%2reliability%2component%2of%2gamma%2distrib ution&f=false (diakses pada tanggal 23 Desember 213 pukul 14.38).

38 I V