SYARAT ADANYA KETERKAITAN ANTARA RING EXCHANGE DAN RING QB 1 PENDAHULUAN

Transkripsi

1 SYARAT ADANYA KETERKAITAN ANTARA RING EXCHANGE DAN RING QB SISWANDI 1 Abstrak Dalam teori ring ada berbagai macam klas dari ring yang merupakan akibat dari diberikannya aksioma-aksioma baru. Di antara klas-klas ring tersebut, dikenal aya ring Exchange ring QB. Dalam tulisan ini akan dibahas syarat yang harus dipenuhi agar ada keterkaitan antara ring Exchange ring QB. Kata kunci: ring Exchange, ring QB, elemen regular Von Neumann. 1 PENDAHULUAN Suatu himpunan takkosong yang dikenai dua operasi biner di dalamnya yaitu: operasi penjumlahan : R R R dengan a, b a b R operasi perkalian : R R R dengan a, b a b (selanjutnya ditulis ab) untuk setiap memenuhi aksioma-aksioma: R, suatu grup abelian, terhadap operasi pergandaan skalar bersifat asosiatif, terhadap operasi penjumlahan perkalian bersifat distributif kiri, bersifat distributif kanan, disebut Ring, ditulis ring R,, atau disingkat ring. Pada perkembangan selanjutnya, muncul/diperkenalkan bermacam-macam klas dari ring. Klas-klas dari ring tersebut muncul akibat diberlakukannya aksioma-aksioma tambahan selain ketiga aksioma yang disebutkan di atas. Beberapa klas ring yang khusus diantaranya adalah ring QB ring Exchange. Tulisan ini membahas syarat sehingga ada keterkaitan antara ring Exchange dengan ring QB. Tulisan ini merupakan studi literatur berdasarkan penelusuran pada [1] []. RING QB Diberikan suatu ring, jika terdapat suatu elemen sehingga memenuhi berlaku, maka dinamakan elemen satuan dari ring seringkali dinotasikan dengan 1. Di dalam ring yang memuat elemen 1 Departemen Matematika, Fakultas Ilmu Pengetahuan Alam, Jalan Meranti Kampus IPB Dramaga Bogor,

2 6 SISWANDI satuan, elemen elemen dikatakan orthogonal terpusat, dinotasikan dengan apabila memenuhi Elemen yang memenuhi untuk suatu disebut elemen invers uasi, himpunan dari elemenelemen invers uasi dalam ring dinotasikan dengan.. Selain itu, elemen yang memenuhi persamaan untuk suatu disebut elemen regular von Neumann disebut elemen invers parsial untuk [1]. Kaitan antara elemen invers uasi dengan elemen regular von Neumann terlihat pada teorema 1. Teorema 1 Setiap elemen merupakan elemen regular von Neumann dapat dipilih suatu yang merupakan elemen invers parsial untuk Bukti: Diambil sebarang elemen u R, oleh karenanya terdapat a, b R sehingga ua R bu {0} bur ua. (1) Karena u R, yang berarti u R, maka dari (1) diperoleh u bu 0 ua atau u uau ubu uaubu. Selanjutnya jika dipilih elemen v R dengan v a b aub, maka diperoleh uvu u( a b aub) u uau ubu uaubu u. Jadi terbukti bahwa elemen regular von Neumann dengan elemen invers parsialnya adalah. Selanjutnya 1 uv 1 u( a b aub) 1 ua ub uaub (1 ua) (1 ua) ub (1 ua)(1 ub) 1 vu 1 ( a b aub) u 1 au bu aubu (1 a (1 a bu (1 a(1 b Berdasarkan (1), diperoleh ( 1 uv) R(1 v (1 ua)(1 ub) R(1 a(1 b {0} ( 1 vu ) R(1 uv) (1 a(1 b R(1 ua)(1 ub) {0}. Jadi terdapat v R sehingga ( 1 uv) R(1 v {0} (1 v R(1 uv) u uvu. Terbukti u uvu. Jika u R, maka elemen v R yang memenuhi disebut elemen invers uasi dari uv R vu {0} vu R uv dinotasikan dengan adalah sifat-sifat yang dapat dihasilkan dari elemen invers uasi. u. Berikut ini

3 JMA, VOL. 1, NO., DESEMBER 013, Teorema (i) Jika adalah ring dengan elemen satuan yang satu merupakan invers uasi dari yang lain ( ( 1 uv ) ( 1 v ), maka setiap elemen dalam yang berbentuk v ' v a(1 uv) (1 v b, () dengan a, b R merupakan suatu elemen invers uasi untuk memenuhi relasi-relasi ( 1 uv') (1 v', ( 1 uv') (1 v, ( 1 uv) (1 v'. (ii) Jika v ' sebarang elemen invers parsial untuk, maka v ' R berbentuk () dengan a b v' diperoleh 1 uv (1 uv)(1 uv') serta 1 uv' (1 uv')(1 uv) (3) Bukti: (i) Karena diketahui u R, maka menurut Teorema 1., merupakan elemen regular von Neumann karena adalah elemen invers uasi untuk, maka u uvu. Jelas bahwa dalam () merupakan invers parsial untuk, sebab: uv ' u u( v a(1 uv) (1 v b) u u( v a auv b vub) u uvu uau uauvu ubu uvubu ( uv uau ua( uv ubu ( uv bu u uau uau ubu ubu u. Lebih lanjut diperoleh 1 uv ' u( v a(1 uv) (1 v b) uv ua uauv ub uvub (1 uv) ua(1 uv) (1 uv) ub (1 ua)(1 uv) ( ub uvub) (1 ua)(1 uv) ( ub ub) (1 ua)(1 uv) 0 (1 ua)(1 uv) 1 v ' u ( v a(1 uv) (1 v b) u vu au auvu bu vubu (1 v au(1 v (1 v bu (1 v (1 v bu au(1 v (1 v(1 b au(1 v (1 v(1 b ( au auv (1 v(1 b ( au a (1 v(1 b 0 (1 v(1 b Karena diketahui bahwa ( 1 uv) (1 v, maka diperoleh ( 1 uv') (1 v', ( 1 uv') (1 v, ( 1 uv) (1 v'. Terbukti bahwa elemen v ' R merupakan elemen invers uasi untuk. (ii) Diketahui v ' adalah sebarang elemen invers parsial untuk, berarti uv' u u. Karena diketahui bahwa ( 1 uv) (1 v, maka 0 (1 v v'(1 uv) v' vuv ' v' uv vuv ' uv v' vuv ' v' uv v( uv ' v v' vuv ' v' uv vuv v' vuv ' v' uv v. Kemudian, kedua ruas pada kesamaan terakhir dijumlah dengan v ', diperoleh

4 64 SISWANDI v' v' v' vuv ' v' uv v v v' v' uv v' vuv ' v v'(1 uv) (1 v v'. Ini sesuai dengan () dengan mengambil a b v', sehingga berdasarkan ba-gian (i) dari bukti Teorema 3. diperoleh v ' R dengan ( 1 uv') (1 v'. Lebih lanjut, dapat diperoleh (1 uv)(1 uv ') (1 uv) (1 uv) uv ' uv uv ' uvuv ' uv uv ' ( uv v' uv uv ' uv ' uv ( 1uv')(1 uv) (1 uv') (1 uv') uv uv' uv uv' uv uv' uv ( uv' v 1uv' uv uv uv'. Jadi terbukti (3). Selanjutnya akan didefinisikan pengertian relasi extend antara dua elemen regular von Neumann beberapa sifat-sifatnya berkenaan dengan relasi extend ini. Definisi 3. Relasi Extend Jika suatu ring dengan elemen satuan adalah elemen-elemen regular von Neumann, maka dikatakan extend ke, dinotasikan dengan a b, apabila a axb bxa axa untuk suatu (4) Dari relasi extend tersebut, dapat diturunkan teorema berikut. Teorema 4 Jika adalah ring dengan elemen satuan adalah elemen regular von Neumann, maka kedua pernyataan berikut ini ekuivalen. 1. a u untuk suatu elemen u R.. a ava untuk suatu elemen v R. Bukti : 1.. Dari hipotesis diketahui bahwa a u untuk suatu u R, karena itu menurut Teorema 1, merupakan elemen regular von Neumann. Akibatnya, menurut Definisi 4,. a axu uxa axa untuk suatu. Karena adalah elemen regular von Neumann u R, maka menurut Teorema 1. lagi, v R yang memenuhi u uvu. Akhirnya diperoleh a axa ( a) xa ( ax xa ax( xa ax( uv xa ( ax v( uxa) ava. 1. Diketahui a ava dengan v R, jika diambil elemen-elemen dengan p va av, maka adalah elemen idempoten dalam. Karena diketahui v R, maka menurut Teorema 1,

5 JMA, VOL. 1, NO., DESEMBER 013, merupakan elemen regular von Neumann. Misalkan adalah elemen invers parsial untuk, maka vwv v. Jika diambil dengan e vw f wv, maka adalah elemen idempoten. Karena ep ( vw)( va) ( vwv) a va p, maka jika diambil e ' (1 p) e, diperoleh ( e') (1 p) e(1 p) e e pe epe pepe e pe ( ep) e p( ep) e e pe pe ppe e pe pe pe e pe (1 p) e e'. Jadi e ' merupakan elemen idempoten dalam. Selanjutnya, karena ( p e') v ( p (1 p) e) v ( p e pe) v pv ev pev ( va) v ( vw) v ( va)( vw) v vav ( vwv) va( vwv) (5) vav v vav v, Maka vr ( p e') R pr e' R. (6) Di sisi lain, karena p va, maka memenuhi pr vr karena e' (1 p) e (1 va) vw vw vavw v( w avw) dengan ( w avw) R, maka memenuhi e' R vr, sehingga ( p e' ) R vr. (7) Dari (6) (7), diperoleh ( p e' ) R vr. (8) Selanjutnya karena f ( av)( wv) a( vwv) av, maka jika diambil f ' f (1 ), diperoleh ( f ') f (1 ) f (1 ) f ff f ff f f ( f ) f f ( f ) f f f f f f f f f f f (1 ) f '. Jadi f ' merupakan elemen idempoten. Lebih lanjut, v( f ') v vf ' v v( f (1 )) v vf vf (9) v( av) v( wv) v( wv)( av) vav vwv ( vwv) av vav v vav v R( f ') Rv. (10) Dari (8) diperoleh p e' vs untuk suatu dari (10) dapat diperoleh f ' tv untuk suatu elemen t dalam R. Selanjutnya, jika diambil u tvs dengan menggunakan (9), maka vu v( tvs) v( tv) s v( f ') s ( v( f ')) s vs p e' (11) dengan menggunakan (5) diperoleh uv ( tvs) v t( vs) v t( p e') v t(( p e') v) tv f '. (1) Dari (11) (5) diperoleh vuv ( v v ( p e') v v, sehingga merupakan elemen invers parsial untuk. Karena diketahui maka berdasarkan Teorema (ii) didapat u 1 R v R,. Karena itu menurut

6 66 SISWANDI Teorema 1, merupakan elemen regular von Neumann. Berdasarkan (11) diperoleh avu a( v a( p e') ap ae' a( va) a((1 p) e) ava ( a ap) e ava ( a a( va)) e ava ( a ava) e a ( a a) e a berdasarkan (1) diperoleh uva ( uv) a ( f ') a a f ' a ( av) a ( f ) a ava f ( a a) ava f ( a ( av) a) ava f ( a ava) a f ( a a) a Karena diperoleh avu uva a ava dengan adalah elemen regular von Neumann, maka menurut Definisi 3 disimpulkan bahwa a u. Ring QB oleh [1] didefinisikan ebagai suatu ring yang mempunyai elemen satuan memenuhi dengan, untuk adalah himpunan elemen-elemen yang memenuhi: jika untuk suatu maka terdapat sehingga Dengan kata lain ring QB adalah suatu ring dengan elemen satuan yang memenuhi: a R, jika ax b 1 untuk suatu x, b R, maka terdapat y R sehingga. Berikut adalah teorema yang terkait dengan ring QB. Teorema 5 Diketahui adalah ring dengan elemen satuan adalah elemen regular von Neumann. Jika a cr( R ), maka a u untuk suatu dalam R. Bukti: Karena adalah elemen regular von Neumann, maka a axa, untuk suatu. Jika diambil p 1 ax 1 xa, maka p (1 ax) (1 ax)(1 ax) ax ax ( axa) x ax ax ax ax p (1 xa) (1 xa)(1 xa) xa xa x( axa) xa xa xa xa. Jadi elemen idempoten, di samping itu diperoleh juga bahwa pa a 0. Karena p ax ax p dengan x, p R, diketahui a cr R 1 ( ) atas didapat, maka a py R untuk. Selanjutnya dari proses bukti di 1 p ax 1 xa. Dengan mengambil u a py, maka u R berdasarkan Teorema 1, berakibat adalah elemen regular von Neumann. Selanjutnya, untuk suatu x R, berlaku axu ax( a py) axa axpy a axpy a ax(1 ax) y a ( ax ax) y a, karena a axa adalah ring dengan elemen satuan, maka ax 1 xa, sehingga uxa ( a py) xa axa pyxa a pyxa a (1 ax) yxa a yxa a.

7 JMA, VOL. 1, NO., DESEMBER 013, Jadi diperoleh adalah elemen regular von Neumann berlaku a axu uxa axa. Dari sini, disimpulkan bahwa a u dengan u R. Akibat 6 Setiap elemen regular von Neumann dalam ring QB extend ke suatu elemen invers uasi. 3 RING EXCHANGE Dalam ring yang memuat elemen satuan, elemen disebut elemen idempoten bila memenuh Ring dengan elemen satuan, yang memenuhi sifat: a R, terdapat elemen idempoten e R sehingga disebut ring Exchange []. Teorema 7 Jika adalah ring Exchange, maka ketiga pernyataan berikut ekuivalen. 1. R adalah ring QB.. Setiap elemen regular von Neumann extend suatu elemen dalam R. 3. Untuk setiap elemen regular von Neumann, ada v R sehingga x xvx. Bukti: 1.. Langsung diperoleh dari Akibat Diambil ax b. Karena diketahui adalah ring Exchange, maka menurut definisi ring Exchange, untuk setiap ax R terdapat elemen idempoten sehingga ( 1 p) (1 ax) R br. Jika diambil p axr 1 p bs dengan r, s R, maka diperoleh pa( xr) pa p( axr) pa pppa p pa ppa pa, dengan kata lain merupakan suatu elemen regular von Neumann dengan invers parsialnya adalah. Selanjutnya, berdasarkan hipotesisnya bahwa pa u dengan u R, berarti memenuhi pa u( xr) pa pa( xr) u p( axr) u ppu pu, sehingga u u 0 u ( pu p pu u pu pa u pu pa u pu 0 pa u pu ( a a) a u a pu pa a ( u a) p( u a) a (1 p)( u a) a bs( u a).

8 68 SISWANDI Jika diambil y s( u a), maka diperoleh u a by dalam dengan y R. Jadi terbukti bahwa adalah ring QB.. 3. Sudah dibuktikan pada Teorema 4. R Teorema 8 Jika adalah suatu ring exchange, maka kedua pernyataan berikut ini ekuivalen. 1. adalah suatu ring QB.. Untuk setiap elemen regular x R, ada u R sehingga ux ( ux) R. Bukti: 1.. Ambil sebarang elemen regular von Neumann x R. Menurut hipotesisnya, adalah suatu ring QB, maka berdasarkan Teorema 7., ada u R sehingga x xux. Jika masing-masing ruas digandakan dengan dari sebelah kiri, maka diperoleh ux uxux (ux) dalam. Terlihat bahwa merupakan elemen idempoten dalam.. 1. Ambil ax b 1 dengan a, x, b R, maka diperoleh ax 1 b. Karena diketahui ring Exchange, maka ada elemen idempoten e R sehingga e br 1 e (1 b) R. Karena e br 1 e (1 b) R, maka 1 e dapat ditulis sebagai e bs 1 e (1 b) t dengan. Jadi (1 e) axt e (1 e)(1 b) t e (1 e)(1 e) e e e ee e e e e atau ( 1 e) axt 1 e. Elemen ( 1 e) a merupakan elemen regular von Neumann dalam karena terdapat elemen y xt dalam sehingga (1 e) a y (1 e) a (1 e) a ( xt) (1 e) a (1 e) (1 e) a (1 e) a. 1 Oleh karena itu, menurut hipotesis, u R sehingga u ( 1 e) a adalah elemen idempoten dalam. Kemudian, namakan u ( 1 e) a dengan, maka dengan menggandakan kedua ruas pada ( 1 e) axt 1 e. dari sebelah kiri dengan u, diperoleh u( 1 e) axt ue u atau fxt ue u. Akibatnya diperoleh ue ( u fxt), f ( xt ue) (1 f ) ue fxt fue ue fue fxt ue u. Karena adalah elemen idempoten, diperoleh (1 f ) ue ( 1 f ) ( u fxt ) u fu fxt f xt u fu fxt fxt (1 f ) u. Selanjutnya, jika diambil g (1 f ) u e u (1 f ), maka diperoleh

9 JMA, VOL. 1, NO., DESEMBER 013, (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ).1.(1 ) f ue f u f u f f u f f u f u u f u f u e u f f u (1 f ) u e u (1 f ) (1 f ) u g(1 f ) u. Selain itu diperoleh -1 gf (1 f ) ueu (1 f ) f (1 f ) ueu ( f f ) (1 f ) ueu ( f f ) 0 f ( x ue) u (1 f ) ue u (1 f ) u fu g( 1 f ) u gu gfu gu 0 u gu. Selanjutnya diperoleh ( 1 f ) u (1 f ) ue g(1 f ) u gu gfu gu 0u gu atau ( f g) u fu gu u. Sehingga diperoleh u a bs u f a fueu f u [ ( (1 ) )] [ 1 (1 ) ] u a e u u f a fueu f u [ ( ) ] [ 1 u a eu eu f ea fueu f u [ ] [ 1 u e a eu f fueu f [ [ 1 u e a ueu f fueu f u [ [ 1 f ueu f fueu f u [ [ 1 f ueu f fueu f u [ 0] [1 [ f ueu (1 f ) ueu ( f f ) ueu (1 f ) ] ] u [1 (1 ) ] [ ( ) [1 [ [1 [ f ueu (1 f ) (1 fueu (1 f ) fueu f u f ueu f ueu f f ueu f fueu f u f ueu f ueu f f ueu f fueu f u ] [1 (1 ) ] fueu f u f fueu f ueu f fueu f fueu f f f ueu (1 f ) ueu (1 f )(1 fueu (1 f ) fueu (1 f )) u (1 ) 1 1 f fueu (1 f ) ueu (1 f )(1 fueu ( f f ) ueu (1 f )) u f (1 f ) ueu (1 f )(1 fueu ( f f ) ueu (1 f )) u f (1 f ) ueu (1 f )(1 0) u f f ueu f u [ [ f g] u u. Jika diambil y s ( u (1 f ) a ) maka w ( 1 fueu (1 f ) ) u,

10 70 SISWANDI w a by w fueu f u a bs u f a fueu f u ( ) [ 1 (1 ) ] [ ( (1 ) ) ] [ 1 (1 ) ] fueu f u a bs u f a fueu f u [ 1 [ ( ) ] [ 1 [ 1 fueu (1 f ) ] u w, dengan w R. Ka rena w R (1 w w) R (1 ww ) { 0 },, maka terdapat w yang memenuhi ( a by), maka karena R diperoleh (1 w w) ( a by) (1 ww ) 0 yang ekuivalen dengan ( a by) w w( a by) ( a by) ww w w( a by) ww 0. Dengan menjumlahkan kedua ruas dengan a by pada kesamaan terakhir di atas, diperoleh a by ( a by) ( a by) w w( a by) ( a by) ww w w( a by) ww w w w w w( a by) w w ( a by) ( a by) ww ( a by) w w( a by) ww ( a by)(1 ww 1 ( a by)(1 ww ( a by)(1 ww ) (1 w ) (1 w Berdasarkan Teorema, disimpulkan QB. ) (1 w w)( a by). w)( a by) w)( a by) a by R. Terbukti ring 4 SIMPULAN Dari Teorema 8 dapat disimpulkan bahwa suatu ring Exchange akan merupakan ring QB jika hanya jika Untuk setiap elemen regular von Neumann x R, ada u R sehingga ux ( ux) R DAFTAR PUSTAKA [1] Ara P, Pedersen GK, Perera F An Infinite Analogue of Rings With Stable Range One. J. Algebra. 30: [] Chen H On Exchange QB Rings. Communication in Algebra. 31():