ALGORITMA UNTUK DEKOMPOSISI DIGRAF TERBOBOTI DENGAN APLIKASI ANALISIS SIKLUS KEHIDUPAN DIPSACUS SYLVESTRIS DESI DWI WIRAYANTI

Transkripsi

1 ALORITMA UNTUK DEKOMPOSISI DIRAF TERBOBOTI DENAN APLIKASI ANALISIS SIKLUS KEHIDUPAN DIPSACUS SYLVESTRIS DESI DWI WIRAYANTI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOOR BOOR 212

2 ABSTRAK DESI DWI WIRAYANTI. Algoritma untuk Dekomposisi Digraf Terboboti dengan Aplikasi Analisis Siklus Kehidupan Dipsacus sylvestris. Dibimbing oleh SISWANDI dan NUR ALIATININTYAS. Analisis siklus kehidupan sering dilakukan oleh para ahli ekologi. Siklus kehidupan dapat digambarkan dengan digraf (graf berarah), dengan node menyatakan tahapan hidup dan edge menyatakan kontribusi yang diberikan dari tahapan hidup satu ke tahapan hidup yang lain. Kemudian, digraf tersebut dianalisis dengan menggunakan pendekatan teori graf algoritmik. Pendekatan ini dilakukan dengan cara mendekomposisi digraf terboboti, yaitu dengan cara menentukan cycle kemudian menghapus edge yang memiliki bobot terkecil pada cycle tersebut. Digraf ini akan terurai menjadi dua bagian. Bagian pertama adalah himpunan cycle yang tidak memuat arah bertentangan. Bagian kedua adalah sebuah subgraf yang tidak terdapat cycle. Algoritma ini menjamin cycle yang dihasilkan, tidak memuat arah bertentangan ketika diterapkan pada analisis siklus kehidupan. Kata kunci: Digraf terboboti, Siklus kehidupan, Algoritma dekomposisi digraf.

3 ABSTRACT DESI DWI WIRAYANTI. Application of Decomposition Algorithm for Weighted Digraph in Life Cycle Analysis of Dipsacus sylvestris. Supervised by SISWANDI and NUR ALIATININTYAS. Life cycle analysis is often carried out by ecologists. Life cycle can be described by digraph (directed graph), which consists of nodes as the stages of life cycle and the edges as the contribution of one life stage to another life stage. Further, the digraph was analyzed using algorithmic graph theory. This approach is done by decomposing weighted digraph by determining the cycle and then remove the edge with the smallest weight in the cycle. This digraph consist of two parts. The first part contains cycles that do not contain contradictory directions. The second contains no cycle. This algorithm ensures that the resulting cycle does not lead the contrary, when applied to the analysis of the life cycle. Keywords: Weighted digraph, Life cycle, Decomposition algorithms digraph.

4 ALORITMA UNTUK DEKOMPOSISI DIRAF TERBOBOTI DENAN APLIKASI ANALISIS SIKLUS KEHIDUPAN DIPSACUS SYLVESTRIS DESI DWI WIRAYANTI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOOR BOOR 212

5 Judul Nama NRP : Algoritma untuk Dekomposisi Digraf Terboboti dengan Aplikasi Analisis Siklus Kehidupan Dipsacus sylvestris : Desi Dwi Wirayanti : Menyetujui, Pembimbing I Pembimbing II Drs. Siswandi, M.Si. Dra. Nur Aliatiningtyas, MS. NIP NIP Mengetahui, Ketua Departemen Matematika Dr. Berlian Setiawaty, MS. NIP Tanggal Lulus :

6 KATA PENANTAR Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia- Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Keluargaku tercinta: Ibu, Bapak dan Mas Adi Sumarsono yang tiada henti memberikan doa, motivasi dan kasih sayang. Puput dan keluarga di egana: Bude, Mba Santi, Mas Yul, eo dan Sasha yang telah memberikan doa dan motivasinya. 2. Drs. Siswandi, M.Si. sebagai dosen pembimbing I, terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, motivasi dan bantuan selama penulisan karya ilmiah ini. 3. Dra. Nur Aliatiningtyas, MS. sebagai dosen pembimbing II, terimakasih atas semua ilmu, saran dan motivasinya. 4. Drs. Ali Kusnanto, M.Si. sebagai dosen penguji, terima kasih atas semua ilmu dan sarannya. 5. Semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan. 6. Staf Departemen Matematika: Bu Susi, Pak Yono, Pak Acep, Mas Deni, Mas Heri, Bu Ade, Pak Bono, terima kasih atas bantuannya selama ini. 7. Bu Utut Suharso, terima kasih atas bantuan dan wawasan yang telah diberikan. 8. Teman-teman di Departemen Matematika khususnya Nur Aziezah, Sunarsih, Slamet Riyadi, Ecka Asnizar, Ace Suhendar, Kak Ibrahim Amin, Rizky SN, Rizky NS, Dandi, Andrew, Lilis, Aqil, Ikhsan Dika, Ima, Selvi, Kak Iput dan Kak Lia terima kasih atas ilmu, motivasi dan bantuannya selama ini. 9. Teman-teman: Lina Najawatur Rusydi dan Fajar Santiabudi, terima kasih atas motivasi dan bantuan dalam menyelesaikan penulisan karya ilmiah ini. Kang Iswah dan Dede Rahmat sebagai teknisi komputer terima kasih karena telah meyelesaikan masalah-masalah dengan komputer. 1. Smart Eduplace crew: Bu Ernie, Pak Ruskam, Miss Leona, Miss Nur, Miss Dewi dan Mas Doni, terima kasih atas kerja sama dan dukungannya selama pengerjaan karya ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika dan inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya. Bogor, Juni 212 Desi Dwi Wirayanti

7 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 3 Desember 1988 sebagai anak kedua dari dua bersaudara, anak dari pasangan Sumarto dan Yatinah. Tahun 2 penulis lulus dari SD Negeri Leuwiliang 1, Bogor. Kemudian pendidikan penulis dilanjutkan ke jenjang Sekolah Menengah Pertama di SMP Negeri 1 Leuwiliang, Bogor dan lulus pada tahun 23. Tahun 26 penulis lulus dari SMAN 1 Leuwiliang, Bogor, dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB). Selama mengikuti perkuliahan, penulis tidak mengikuti kegiatan mahasiswa yang diselenggarakan di kampus. Penulis bekerja freelance sebagai guru les di Lembaga Bimbingan Belajar SIMPLE selama 1 bulan (September 29 Juli 21) dan guru les privat di SMART EDUPLACE mulai Bulan Oktober 211 sampai dengan sekarang.

8 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR AMBAR... viii DAFTAR TABEL... ix DAFTAR LAMPIRAN... ix I PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan... 1 II LANDASAN TEORI Matriks dan Nilai Eigen raf... 2 III PEMBAHASAN Algoritma Dekomposisi Digraf Terboboti Definisi Kondisi Flow Konservasi Contoh Ilustrasi untuk Algoritma Dekomposisi Digraf Terboboti Algoritma Dekomposisi Digraf pada Siklus Kehidupan Dipsacus sylvestris Jumlah Cycle... 1 IV SIMPULAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 18

9 DAFTAR AMBAR 1 raf raf D raf H Loop u Union 2 graf K L Digraf Null graf Tree pada digraf Digraf F Subgraf F 1 dari digraf F Subgraf F 2 dari digraf F Subgraf F 3 dari digraf F Subgraf F 4 dari digraf F Digraf Subgraf 1 dari digraf Subgraf 2 dari digraf Subgraf 3 dari digraf Subgraf 4 dari digraf Subgraf 5 dari digraf Subgraf 1* dari digraf Subgraf 2* dari digraf Subgraf 5* dari digraf Digraf yang merepresentasikan siklus kehidupan Dipsacus sylvestris Spanning tree T Digraf D yang merepresentasikan siklus kehidupan Dipsacus sylvestris memenuhi kondisi flow konservasi Cycle L 1 = { } Subgraf D 1 dari digraf D Cycle L 2 = { } Subgraf D 2 dari digraf D Cycle L 3 = { } Subgraf D 3 dari digraf D Cycle L 4 = { } Subgraf D 4 dari digraf D Cycle L 5 = { } Subgraf D 5 dari digraf D Cycle L 6 = { } Subgraf D 6 dari digraf D Cycle L 7 = {4 6 4} Subgraf D 7 dari digraf D Cycle L 8 = {5 6 5} Subgraf D 8 dari digraf D Cycle L 9 = {3 3} Subgraf D 9 dari digraf D Cycle L 1 = {4 4} Subgraf D 1 dari digraf D Cycle L 11 = {5 5} Subgraf D 11 dari digraf D... 16

10 DAFTAR TABEL 1 Data kontibusi yang diberikan oleh Dipsacus sylvestris dari satu tahapan hidup ke tahapan hidup lainnya (%) Bobot siklus kehidupan Dipsacus sylvestris yang memenuhi kondisi flow konservasi Cycle pada Dipsacus sylvestris DAFTAR LAMPIRAN 1 Matriks dekomposisi siklus kehidupan Dipsacus sylvestris Pembuktian Teorema Pembuktian Teorema

11 1 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graf merupakan cabang ilmu matematika yang membahas mengenai permasalahan penyusunan objek-objek dan hubungan antara objek-objek tersebut. Teori graf ini banyak diterapkan pada berbagai bidang ilmu pengetahuan lain seperti kimia, fisika, biologi dan bidang ilmu pengetahuan lainnya. Banyak permasalahan yang dapat digambarkan dengan graf seperti bentukbentuk molekul kimia, jaringan listrik, siklus kehidupan suatu makhluk hidup dan berbagai permasalahan lainnya. Siklus kehidpan merupakan rangkaian aktivitas secara alami yang dialami oleh individu-individu dalam populasi yang berkaitan dengan perubahan tahap-tahap dalam kehidupan. Sebagai contoh, pada permasalahan siklus kehidupan tumbuhan Dipsacus sylvestris, tanaman yang perbungaannya mirip dengan lavender hanya saja berbentuk silinder berduri. Siklus kehidupan tersebut dapat digambarkan dengan graf dan dianalisis dengan menggunakan pendekatan teori graf algoritmik. Sebuah digraf (graf berarah) siklus kehidupan merupakan gambaran siklus kehidupan dari suatu populasi yang dapat direpresentasikan dalam sebuah digraf yang terdiri dari node dan edge. Node pada digraf merupakan tahapan hidup dan edge atau garis berarah penghubung antar node merupakan kontribusi yang diberikan dari suatu tahapan satu ke tahapan lainnya. Representasi lain dari digraf siklus kehidupan tersebut adalah matriks. Entri matriks menunjukkan bobot edge dari tahapan hidup satu ke tahapan hidup berikutnya. Sebelumnya, Wardle (1998) menemukan metode pendekatan sistematik untuk menganalisis siklus kehidupan yaitu metode spanning tree. Mulai dengan tree yang memiliki n node dan dihubungkan dengan (n 1) edge. Cycle dibentuk dengan menambahkan edge pada tree tersebut. Hanya saja metode ini menimbulkan masalah yaitu untuk digraf yang cukup rumit biasanya sulit bahkan hampir tidak mungkin untuk menemukan suatu tree yang span-nya memuat sekumpulan cycle tanpa arah yang berlawanan. Wardle sendiri menyatakan jika cycle memuat arah yang berlawanan maka tidak mewakili siklus kehidupan individuindividu organisme, yang artinya hal tersebut bertentangan dengan interpretasi secara biologi (Sun dan Wang, 27). Oleh karena itu Sun dan Wang menentukan metode lain untuk menganalisis siklus kehidupan yaitu algoritma dekomposisi digraf terboboti. Analisis suatu digraf dengan pendekatan teori graf algoritmik ini dilakukan dengan mendekomposisikan digraf terboboti yaitu dengan cara menghapus edge yang memiliki bobot terkecil pada cycle yang terdapat pada digraf tersebut. Secara biologi, dekomposisi menggambarkan dan mengkuantifikasi kontribusi dari siklus kehidupan yang berbeda dari individu untuk laju pertumbuhan populasi. Karya ilmiah ini merupakan pembahasan ulang dari jurnal yang berjudul An algorithm for a decomposition of weighted digraphs: with applications to life cycle analysis in ecology (Sun & Wang, 27). Pembahasan ini lebih ditekankan pada analisis algoritma dekomposisi digraf siklus kehidupan populasi Dipsacus sylvestris. 1.2 Tujuan Penulisan karya ilmiah ini bertujuan menggunakan pendekatan teori graf algoritmik untuk merepresentasikan algoritma dekomposisi digraf pada siklus kehidupan suatu populasi. II LANDASAN TEORI Dalam landasan teori akan dipaparkan teoriteori yang berkaitan dengan pembahasan karya ilmiah. 2.1 Matriks dan Nilai Eigen Definisi 1 (Matriks) Matriks adalah susunan segi empat sikusiku dari bilangan-bilangan. Bilanganbilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks. (Anton 1997)

12 2 Matriks berukuran m n menyatakan banyaknya m baris dan n kolom. Definisi 2 (Nilai Eigen) Misalkan A adalah matriks n n. Suatu skalar λ disebut nilai eigen atau nilai karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor tak nol x sehingga Ax = λx. (Horn dan Johnson 1985) Persamaan Ax = λx dapat ditulis dalam bentuk (A λi)x = (1) Jadi λ adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika persamaan (1) memiliki suatu penyelesaian nontrivial. Persamaan (1) akan mempunyai penyelesaian nontrivial jika dan hanya jika A λi singular atau secara ekuivalen det(a λi) = (2) Persamaan (2) dapat disebut juga persamaan karakteristik. Definisi 3 (Incident dan Adjacent) Misalkan diberikan graf = (V, E). Jika e = {u, v} E() dengan u, v V maka u dan v dikatakan adjacent di dan e dikatakan incident dengan u dan v. (Chartrand & Oellermann 1993) Definisi 4 (Walk) Walk W pada suatu graf adalah barisan berhingga antara node dan edge bergantian dimulai dari node dan diakhiri dengan node yang lain. Suatu walk W dapat dinyatakan sebagai W = v i e j v i+1 e j+1 e k v m atau W = v i v i+1 v m, sehingga setiap edge di dalam barisan harus incident dengan node sebelum dan sesudahnya. (Chartrand & Zhang 29) Ilustrasi walk pada suatu graf bisa dilihat pada ambar 2 berikut. W = u v w u x adalah walk. 2.2 raf Definisi 3 (raf) Suatu graf adalah pasangan terurut (V, E) dengan V adalah himpunan berhingga dan takkosong dari elemen graf yang disebut simpul (node) dan E adalah himpunan pasangan takterurut (mungkin saja himpunan kosong) dari simpul-simpul berbeda di V yang disebut sisi (edge). (Chartrand & Oellermann 1993) Misalkan graf maka {u, v} E() (dengan u, v V() ) disebut sisi (edge). Sisi {u, v} biasa dituliskan dengan uv atau vu. ambar 2 raf D Definisi 5 (Path) Path adalah walk dengan setiap node yang berbeda. (Chartrand & Oellermann 1993) Ilustrasi path bisa dilihat pada ambar 2. P = u v w x adalah path. Definisi 6 (Subgraf) raf H disebut suatu subgraf dari graf jika V(H) V() dan E(H) E(). (Chartrand & Oellermann 1993) Pada ambar 3, graf H adalah subgraf dari graf. ambar 1 raf = (V, E) Pada ambar 1 diperlihatkan graf dengan himpunan node V = {v, w, x, y, z} dan himpunan edge E = {v, w}, {w, x}, {x, y}, {x, z}. ambar 3 raf H

13 3 Definisi 7 (Spanning Subgraf) Sebuah subgraf H dari graf adalah sebuah spanning subgraf dari jika V(H) = V() (Chartrand & Oellermann 1993) Definisi 8 (Cycle) Cycle adalah walk v v 1 v n dengan n 2, v = v n, dan semua simpulnya berbeda. (Chartrand & Oellermann 1993) Ilustrasi cycle bisa dilihat pada ambar 2. C = u v w u adalah cycle. Definisi 9 (Loop) Edge yang menghubungkan suatu node dengan simpul itu sendiri disebut loop. (Chartrand & Oellermann 1993) Ilustrasi loop pada suatu graf dapat dilihat pada ambar 4 di bawah ini. L = {u u} ambar 4 Loop u Definisi 1 (Union dari 2 raf) Misalkan 1 dan 2 adalah graf dengan himpunan simpul yang disjoint, maka union dari 1 dan 2 dituliskan 1 2, adalah graf yang memiliki V( 1 2 ) = V( 1 ) V( 2 ) dan E( 1 2 ) = E( 1 ) E( 2 ). (Chartrand & Oellermann 1993) Ilustrasi Union dari 2 graf, K L, dapat dilihat pada ambar 5 berikut. ambar 6 Digraf Definisi 12 (Digraf berbobot) Digraf D = (V, A) dikatakan berbobot jika terdapat sebuah fungsi w: A R (dengan R adalah himpunan bilangan real) yang memberikan sebuah bilangan real pada setiap sisi berarah di A yang disebut bobot. Setiap bobot w(uv) dengan uv A sering dinotasikan dengan w u,v. (Foulds 1992) Definisi 13 (null graf) Null graf adalah graf yang tidak memiliki edge. (Wilson & Watkins 199) Null graf dapat digambarkan pada ambar 7 berikut. ambar 7 Null graf Definisi 14 (Walk berarah) Walk berarah pada suatu digraf D adalah walk yang sesuai dengan arah sisinya atau tidak berlawanan arah. (Vasudev 26) Ilustrasi walk berarah pada suatu digraf bisa dilihat pada ambar 6. W = v, u, w adalah walk berarah. ambar 5 Union 2 graf K L Definisi 11 (Digraf) raf berarah (digraf) D adalah pasangan terurut (V, A) dengan V himpunan takkosong yang hingga, dan A himpunan pasangan terurut yang menghubungkan elemen-elemen di V. Elemen-elemen dari A disebut edge berarah (arc). Edge berarah (u, v) dinyatakan dengan garis berarah dari u ke v. (Chartrand & Zhang 29) Definisi 15 (Tree pada Digraf) Suatu digraf terhubung yang tidak memiliki cycle disebut tree pada digraf. (Chartrand & Zhang 29) Ilustrasi tree untuk digraf dapat dilihat pada ambar 8 berikut.

14 4 Definisi 17 (Co-tree) Co-tree T dari sebuah spanning tree T pada digraf adalah subgraf dari yang hanya memuat edge-edge pada dan tidak terdapat di T. (Harary 1994) ambar 8 Tree pada digraf Definisi 16 (Spanning tree) Sebuah tree yang merupakan sebuah spanning subgraf dari graf terhubung adalah sebuah spanning tree. (Chartrand & Zhang 29) Definisi 18 (raf sisa) raf sisa adalah subgraf yang dihasilkan dari algoritma dekomposisi dan tidak memuat cycle. (Sun & Wang 27) III PEMBAHASAN Dalam bab ini akan dibahas tentang digraf terboboti yang dapat direpresentasikan dalam sebuah matriks. Selanjutnya akan dibahas algoritma dekomposisi digraf terboboti beserta contoh ilustrasinya, dan aplikasi algoritma tersebut pada siklus kehidupan Dipsacus sylvestris. Digraf dengan bobot sebesar w i,j, bobot edge berarah dari node v j ke node v i, yang ditandai pada setiap edge berarah dinotasikan dengan, w i,j. Setiap bobot pada edge berarah dapat direpresentasikan dalam sebuah matriks berikut. W i,j = nxn v 1 v 2 v n v 1 v 2 v n w 11 w 12 w 21 w 22 w n1 w n2 w 1n w nn 3.1 Algoritma Dekomposisi Digraf Terboboti Jika diberikan suatu matriks dari suatu digraf dengan edge terboboti dan memuat suatu cycle atau loop, maka matriks tersebut dapat didekomposisi. Cara pendekomposisiannya mengikuti algoritma dekomposisi matriks adalah sebagai berikut: 1. Diketahui sebuah digraf yang terhubung dengan banyaknya edge adalah E(), dan memiliki bobot. w 2n 2. Pilih cycle yang dimulai dan diakhiri pada node yang sama. Proses ini dapat diilustrasikan sebagai berikut: Misal v 1 memenuhi kondisi bahwa bobot w i,1 > untuk i 1 (setidaknya ada satu edge dari v 1 ), dan w 1,j > untuk j 1 (setidaknya ada satu edge yang menuju v 1 ). Langkah selanjutnya: 2.a Pilih i 1 sebagai indeks node yang akan dikunjungi, v i1 {v 2,, v n }, dengan syarat w i1,1 > (edge v 1 v i1 ada). 2.b Jika w 1,i1 > (edge v i1 v 1 ada), maka suatu cycle telah ditemukan yaitu v 1 v i1 v 1. Selainnya, cari node lain yang akan dikunjungi berikutnya dari node tersisa {v 2,, v n }\v i1 (semua node kecuali v i1 ) yaitu v i2 sehingga w i2,i 1 >. 2.c Jika w 1,i2 >, maka suatu cycle ditemukan yaitu v 1 v i1 v i2 v 1. Selainnya, ulangi langkah 2.b untuk mencari node yang akan dikunjungi berikutnya dari node tersisa {v 2,, v n }\ v i1, v i2, yaitu v i3 sehingga w i3,i 2 >, dan langkah ini berlaku untuk i 4, i 5,, i n. 2.d Jika w j,1 >, v j maka cycle ada. Jika cycle tidak dapat dilengkapi untuk semua j sehingga w j,1 >, tidak ada cycle yang memulai dan mengakhiri pada v Dari langkah 2 sebuah cycle telah diperoleh dan diberi nama L 1, setiap edge

15 5 akan diberikan bobot yang sama untuk yaitu bobot terkecil diantara semua edge pada L telah didekomposisi untuk = 1 L 1, dan E( 1 ) < E(). Persamaan matriks terboboti dari graf sebagai berikut: w ij = w 1 L nxn ij + w 1 nxn ij nxn dimana w ij, w 1 L ij, w 1 ij merupakan masingmasing edge terboboti dari node j ke node i pada graf, 1, L Ulangi langkah 1 pada 1 dan mendapatkan cycle L 2 di Pada akhir algoritma ini = r L i r i=1 dimana L i adalah cycle sederhana tanpa arah bertentangan, dan r adalah subgraf yang diperoleh tanpa cycle Definisi Kondisi Flow Konservasi Suatu digraf terboboti memenuhi kodisi flow konservasi jika i, n w i,j = w j,i j=1 n j=1 dimana w i,j adalah jumlah bobot yang masuk ke node i, dan w j,i adalah jumlah bobot keluar dari node i. Definisi ini menunjukkan bahwa jumlah bobot yang masuk haruslah sama dengan jumlah bobot yang keluar. Ada dua teorema yang berkaitan dengan definisi tersebut. Teorema 1 Jika memenuhi kondisi flow konservasi, maka graf sisanya r = (null graf). (Sun & Wang 27) Bukti: (Lampiran 2) Teorema 2 Jika memenuhi kondisi flow konservasi, untuk sisa graf r, semua nilai eigen dari matriks terboboti, w r i,j nxn adalah nol, (Sun & Wang 27) Bukti: (Lampiran 3) Contoh Ilustrasi untuk Algoritma Dekomposisi Digraf Terboboti Contoh Dekomposisi Digraf Terboboti yang memenuhi Kondisi Flow Konservasi. Perhatikan digraf F pada ambar 9 di bawah ini, ambar 9 Digraf F Dapat dilihat pada digraf F kondisi flow konservasi terpenuhi n j=1 w i,j = n j=1 w j,i. Dari digraf tersebut dapat dibuat matriks representasinya sebagai berikut Dari [1] [2] [3] [1] 2 1 Ke [2] [3] 25 3 Kemudian digraf tersebut dapat didekomposisi dengan menggunakan algoritma berikut. 1. Mulai dengan node 1 ditemukan suatu cycle C 1 = {1 2 1}. 2. Pilih bobot terkecil dari semua edge di C 1, yaitu w F 12 = Hapus edge pada cycle C 1 yang memiliki bobot terkecil. Sedangkan bobot edge yang lain dikurangkan dengan bobot edge terkecil tersebut, w F 12 = 12. Sehingga didapat subgaf F 1 ditampilkan pada ambar 1 berikut ini. ambar 1 Subgraf F 1 dari digraf F 4. Dari subgraf F 1 terdapat cycle C 2 = { }. 5. Pilih bobot edge terkecil yaitu F w 1 13 = 1 di C 2 sebagai bobot untuk semua edge dalam cycle. 6. Hapus edge pada cycle C 2 yang memiliki bobot terkecil. Sedangkan bobot edge yang lain dikurangkan

16 6 dengan bobot edge terkecil tersebut, F w 1 13 = 1. Sehingga didapat subgaf F 2 yang ditampilkan pada ambar 11 berikut. ambar 11 Subgraf F 2 dari digraf F 7. Dari subgraf F 2 terdapat cycle C 3 = {2 3 2}. 8. Pilih bobot edge terkecil di C 3 yaitu F w 2 23 = 15 sebagai bobot untuk semua edge dalam cycle. F 9. Karena bobot edge w 2 F 23 = w 2 32 = 15, maka edge yang berada pada cycle tersebut dihapuskan sehingga didapat subgraf F 3 yang ditampilkan pada ambar 12 berikut. ambar 12 Subgraf F 3 dari digraf F 1. Hapus loop C 4 dari node 3, sehingga didapat subgraf F 4 yang ditampilkan pada ambar 13 berikut. ambar 13 Subgraf F 4 dari digraf F 11. Subgraf F 4 tidak berisi cycle dan loop (cycle sederhana) sehingga proses berhenti. Jadi digraf F dapat didekomposisi menjadi empat cycle dan sebuah graf sisanya, F 4 dan dapat ditulis sebagai berikut. 4 F = F 4 C i ; C i = cycle ke i i=1 F = F 4 {1 2 1} { } {2 3 2} {3 3} Matriks F adalah matriks representasi dari algoritma dekomposisi digraf F dapat ditulis sebagai berikut. Untuk mendekomposisi C 1 dari F 2 1 F = = = C 1 + F Untuk mendekomposisi C 2 dari F F = = = C 1 + C 2 + F 2 Untuk mendekomposisi C 3 dari F F = = = C 1 + C 2 + C 3 + F 3 Untuk mendekomposisi C 4 dari F F = = = C 1 + C 2 + C 3 + C 4 + F 4 Dari hasil matriks dekomposisi di atas diperoleh persamaan karakteristik dari matriks F 4 adalah sebagai berikut. det(λi F 4 ) = λi F 4 = 1 λ 1 = λ 1 λ = λ 3 = λ Jika digraf tidak memenuhi kondisi flow konservasi, maka algoritma masih dapat berlaku. Perhatikan digraf pada gambar 14 di berikut,

17 7 yang lain dikurangkan dengan bobot edge terkecil tersebut, w 1 12 = 14. Sehingga didapat subgaf 2 pada ditampilkan pada ambar 16 berikut. ambar 14 Digraf dapat dilihat pada digraf diatas bahwa kondisi n flow konservasi tidak dipenuhi j=1 w i,j n j=1 w j,i. Dari digraf tersebut dapat dibuat matriks representasinya sebagai berikut. [1] Ke [2] [3] Dari [1] [2] [3] ambar 16 Subgraf 2 dari digraf 7. Dari subgraf 2 terlihat tidak terdapat cycle. Selanjutnya hapus loop dari masingmasing node sembarang yang terdapat loop. 8. Hapus loop L 3 dari node 1 sehingga didapat subgraf 3 yang ditampilkan pada ambar 17. Kemudian digraf tersebut didekomposisikan dan hasil pendekomposisiannya dapat direpresentasikan dalam sebuah matriks. Dengan algoritma berikut akan didapat matriks dekomposisi: 1. Mulai dengan node 1 pada graf, terdapat cycle L 1 = {1 2 1}. 2. Pilih bobot terkecil dari semua edge pada cycle L 1 yaitu w 12 = Hapus edge pada cycle L 1 yang memiliki bobot terkecil. Sedangkan bobot edge yang lain dikurangkan dengan bobot edge terkecil tersebut, w 12 = 12. Sehingga didapat subgaf 1 ditampilkan pada ambar 15 berikut. ambar 17 Subgraf 3 dari digraf 9. Hapus loop L 4 dari node 2 sehingga didapat subgraf 4 yang ditampilkan pada ambar 18. ambar 18 Subgraf 4 dari digraf ambar 15 Subgraf 1 dari digraf 4. Dari subgraf 1 terdapat cycle L 2 = { }. 5. Pilih bobot edge terkecil yaitu w 1 21 = 14 di L 2 sebagai bobot untuk semua edge dalam cycle. 6. Hapus edge pada cycle L 2 yang memiliki bobot terkecil. Sedangkan bobot edge 1. Hapus loop L 5 dari node 3. Sehingga didapat subgraf 5 yang ditampilkan pada ambar 19. ambar 19 Subgraf 5 dari digraf

18 8 11. Subgraf 5 tidak berisi cycle dan loop (cycle sederhana) sehingga proses berhenti. Jadi digraf dapat didekomposisi menjadi lima cycle dan sebuah graf sisanya, 5 dan dapat ditulis sebagai berikut. 5 = 5 L i ; L i = cycle ke i i=1 Semua nilai eigen (λ) dari matriks 5 adalah nol. Pendekomposisian digraf bersifat tidak unik. Sebagai contoh dari digraf sebelumnya dapat dilakukan dekomposisi cycle yang berbeda. Misal pilih cycle lain sebagai cycle awal pendekomposisian yaitu { } lalu pilih bobot edge terkecil yaitu 15. Dari sini didapat subgraf 1 yang ditampilkan pada ambar 2. = 5 {1 2 1} { } {1 1} {2 2} {3 3} Matriks adalah hasil dekomposisi dari digraf dapat ditulis sebagai berikut: Untuk mendekomposisi L 1 dari, = = = L Untuk mendekomposisi L 2 dari = = = L 1 + L Jadi, matriks dekomposisinya adalah = = = L 1 + L 2 + L 3 + L 4 + L Dari hasil matriks dekomposisi di atas diperoleh persamaan karakteristik dari sisa digraf r = 5 adalah sebagai berikut. det(λi 5 ) = λi 5 = 1 1 λ 1 = λ λ = λ 3 = λ ambar 2 Subgraf 1* dari digraf Selanjutnya dekomposisi siklus {1 2 1}, pilih edge dengan bobot 11. Sehingga didapat subgraf 2 yang ditampilkan pada ambar 21. ambar 21 Subgraf 2* dari digraf Selanjutnya hilangkan loop dari node masing-masing. Sehingga didapat subgraf 5 yang ditampilkan pada ambar 22. ambar 22 Subgraf 5* dari digraf Setelah tidak terdapat cycle atau loop pada digraf proses berhenti. Jadi digraf dapat didekomposisi menjadi lima cycle dan sebuah graf sisanya, 5 dan dapat ditulis sebagai berikut. 5 = 5 L i ; L i = cycle ke i i=1 = 5 { } {1 2 1} {1 1} {2 2} {3 3} Matriks dekomposisi yang sesuai dengan graf di atas adalah = =

19 = L 1 + L 2 + L 3 + L 4 + L Persamaan karakteristik yang diperoleh dari graf sisa, r = 5. λi 5 = 1 1 λ 1 = λ 1 1 λ = λ λ 3 = Jadi, semua nilai eigen r adalah nol. Dari contoh dapat dilihat dengan memilih cycle awal {1 2 1} didapat nilai eigen (λ) sama dengan nol. Dan dengan memilih cycle awal { } diperoleh nilai eigen (λ) sama dengan nol. Hal ini menunjukkan dengan memilih cycle awal yang berbeda didapat nilai eigen (λ) yang sama. 3.2 Algoritma Dekomposisi Digraf pada Siklus Kehidupan Dipsacus sylvestris Dalam karya ilmiah ini akan dibahas kasus siklus kehidupan Dipsacus sylvestris yang memiliki enam tahapan hidup yaitu: benih dorman tahun pertama, benih dorman tahun kedua, kuncup kecil, kuncup sedang, kuncup besar, dan perbungaan. Siklus kehidupan Dipsacus sylvestris dapat direpresentasikan oleh digraf terboboti dengan node mewakili tahapan hidup dari siklus kehidupan dan edge dari node j ke node i menunjukkan bahwa individu dari tahap j pada waktu t dapat memberikan kontribusi untuk individu dalam tahap j pada waktu t+1. Kontribusi tersebut dapat ditulis dalam matriks berordo n, w ij nxn, dimana n merupakan banyaknya tahapan hidup dalam siklus kehidupan. Siklus kehidupan tanaman tersebut direpresentasikan pada ambar 22 dan kontribusi edge terdapat dalam tabel 1. Tabel 1 Data kontribusi yang diberikan oleh Dipsacus sylvestris dari satu tahapan hidup ke tahapan hidup lainnya (%) Tahapan Tahapan Kehidupan Total Kehidupan baris Total kolom (Wardle 1998) Ket: 1 = benih dorman tahun pertama; 2 = benih dorman tahun ke-2; 3 = kuncup kecil; 4 = kuncup sedang; 5 = kuncup besar; 6 = perbungaan. Dari Tabel 1 dapat direpresentasikan dalam sebuah digraph siklus kehidupan seperti pada ambar 23 di bawah ini. ambar 23 Digraf yang merepresentasikan siklus kehidupan Dipsacus sylvestris Digraf dari siklus kehidupan Dipsacus sylvestris rumit, sehingga sulit didapatkan sebuah spanning tree yang tidak memuat cycle dengan arah yang tidak bertentangan. Wardle memilih sebuah spanning tree yang memuat cycle dengan arah bertentangan, dengan menggunakan spanning tree { } pada ambar 24. Spanning tree terbentuk dari n 1 edge, dimana n menyatakan banyaknya node dari suatu graf dan co-tree yang terdiri dari E() (n 1) edge yang tidak digunakan oleh spanning tree.

20 1 ambar 24 Spanning tree T Cycle dibentuk dengan menambahkan edge pada co-tree ke spanning tree. Misal, menambahkan edge 1 3 ke spanning tree sehingga menghasilkan cycle { }, dimana panah ganda merupakan edge berarah pada spanning tree dan panah tunggal merupakan edge berarah co-tree yang ditambahkan pada spanning tree. Bobot edge dari co-tree merupakan karakteristik elastisitas cycle. Elastisitas cycle adalah hasil kali karakteristik elastisitas cycle dengan panjang cycle (banyaknya edge pada cycle). Oleh karena itu, cycle { } memiliki karakteristik elastisitas cycle.79 dan elastisitas cycle.79 5 =.395. Edge pada co-tree yang berbeda-beda menghasilkan cycle yang unik pada spanning tree. Cycle bermasalah ketika edge 4 6 ditambahkan pada spanning tree. Cycle yang terbentuk adalah Cycle ini memiliki arah yang bertentangan. Tidak ada interpretasi biologis untuk cycle tersebut, dan tidak ada individual dalam suatu populasi yang mengikuti jalan dari cycle tersebut sebagai siklus kehidupan. L. Sun dan M. Wang mengusulkan suatu algoritma dekomposisi matriks untuk menyelesaikan permasalahan tersebut. Tapi untuk menggunakan algoritma tersebut, matriks elastisitas harus memenuhi kondisi flow konservasi. Sehingga elemen (3,6), (4,6), dan (5,6) harus dimodifikasi pembulatan angka dibelakang koma yang diperlihatkan pada tabel 2. Tabel 2 Bobot siklus kehidupan Dipsacus sylvestris yang memenuhi kondisi flow konservasi Tahapan Tahapan Kehidupan Total Kehidupan baris Total kolom Ket: 1 = benih dorman tahun pertama; 2 = benih dorman tahun ke-2; 3 = kuncup kecil; 4 = kuncup sedang; 5 = kuncup besar; 6 = perbungaan. 3.3 Jumlah Cycle Jumlah cycle dirumuskan sebagai berikut, L = b n + c dimana, b didefinisikan sebagai jumlah edge (transisi) dalam graf, n adalah jumlah node, dan c merupakan komponen yang nilainya selalu 1 (Chen 1976). Jumlah cycle yang dimiliki oleh Dipsacus sylvestris sebanyak = 11. Dengan kata lain Dipsacus sylvestris memiliki 11 variasi siklus kehidupan. Tabel 3 berikut menunjukkan satu himpunan yang tercantum dalam urutan pencarian.

21 Pilih 11 Tabel 3 Cycle pada Dipsacus sylvestris Cycle Edge yang dihilangkan dari bobot minimum Bobot minimum elastisitas karakteristik L 1 = { } (2,1).25 L 2 = { } (3,1).79 L 3 = { } (4,1).75 L 4 = { } (5,1) 5.74 L 5 = { } (4,3).152 L 6 = { } (5,4) L 7 = {4 6 4} (6,4) L 8 = {5 6 5} (6,5),(5,6) 4.45 L 9 = {3 3} (3,3).15 L 1 = {4 4} (4,4) L 11 = {5 5} (5,5) Total Langkah-langkah pendekomposisian digraf siklus kehidupan Dipsacus sylvestris sebagai berikut: 1. Digraf terboboti berikut merupakan digraf siklus kehidupan Dipsacus sylvestris. ambar 26 Cycle L 1 = { } ambar 25 Digraf D merepresentasikan siklus kehidupan Dipsacus sylvestris yang memenuhi kondisi flow konservasi Bobot setiap edge dalam contoh ini dapat dilihat pada table Pilih node 1 sebagai node awal sekaligus node akhir, diperoleh satu himpunan cycle L 1 = { }. T bobot terkecil dari semua edge pada cycle L 1, yaitu w D 2,1 =.25. Cycle yang ditunjukkan ambar 26 ini menyatakan kemampuan Dipsacus sylvestris melewati enam tahap dalam kehidupannya, yaitu mulai dari benih dorman tahun pertama berlanjut ke tahapan benih dorman tahun kedua kemudian berkecambah menjadi kuncup kecil lalu kuncup sedang lalu kuncup besar hingga berubah menjadi bunga dan kembali menjadi benih. Selanjutnya dekomposisi cycle L 1 dari digraf D diperoleh subgraf D 1 yang ditunjukkan pada ambar 27.

22 12 ambar 27 Subgraf D 1 dari digraf D ambar di atas menunjukkan bahwa Dipsacus sylvestris tidak melalui tahap kehidupan yang kedua atau benih dorman tahun kedua. 3. Cycle lain masih dipilh dari node 1, diperoleh satu himpunan cycle L 2 = { }. pilih bobot terkecil dari semua edge pada cycle L 2, yaitu w D 3,1 =.79. ambar 29 Subgraf D 2 dari digraf D ambar 29 di atas menunjukkan bahwa siklus kehidupan Dipsacus sylvestris yang tidak melalui tahapan benih dorman tahun kedua dan kuncup kecil. 4. Cycle berikutnya masih dipilih dari node 1, diperoleh satu himpunan cycle L 3 = { }. Pilih bobot terkecil, yaitu w D 4,1 =.75. ambar 28 Cycle L 2 = { }. Cycle L 2 menyatakan kemampuan Dipsacus sylvestris menjalani tahap hidupnya tanpa melalui benih dorman tahun ke-2. Selanjutnya dekomposisi cycle L 2 dari subgraf D 1 sehingga diperoleh subgraf D 2 diperlihatkan ambar 29. ambar 3 Cycle L 3 = { }. Cycle L 3 menyatakan kemampuan Dipsacus sylvestris menjalani hidupnya melalui tahap Selanjutnya dekomposisi L 3 dari D 2 sehingga diperoleh subgraf D 3 yang ditunjukkan pada gambar 31.

23 13 ambar 31 Subgraf D 3 dari digraf D Subgraf D 3 merepresentasikan siklus kehidupan Dipsacus sylvestris dari tahapan pertama (benih dorman tahun pertama) kemudian langsung ke tahapan ke-5 (kuncup besar). 5. Cycle berikutnya masih dipilih dari node 1, diperoleh satu himpunan cycle L 4 = { }. Pilih bobot terkecil, yaitu w D 5,1 = ambar 33 Subgraf D 4 dari digraf D Subgraf D 4 menggambarkan siklus kehidupan Dipsacus sylvestris secara vegetatif yang dimulai dari tahapan hidup yang ke-3, kuncup kecil. 6. Cycle dipilih dari node 3 sehingga diperoleh satu himpunan cycle L 5 = { }. Pilih bobot terkecil yaitu w D 4,3 =.152. ambar 34 Cycle L 5 = { }. ambar 32 Cycle L 4 = { }. Cycle L 4 menyatakan kemampuan Dipsacus sylvestris menjalani hidupnya melalui tahap Selanjutnya dekomposisi cycle L 4 dari subgraf D 3 sehingga diperoleh subgraf D 4 yang ditunjukkan pada ambar 33. Cycle L 5 menyatakan kemampuan Dipsacus sylvestris menjalani hidupnya melalui tahap , kuncup kecil kemudian kuncup sedang lalu kuncup besar kemudian perbungaan dan kembali menjadi kuncup kecil. Selanjutnya dekomposisi cycle L 5 dari subgraf D 4 sehingga diperoleh subgraf D 5 yang ditunjukkan pada ambar 35.

24 14 ambar 35 Subgraf D 5 dari digraf D Subgraf D 5 menggambarkan siklus kehidupan Dipsacus sylvestris secara vegetatif yang dimulai dari tahapan ke-4 (kuncup sedang). 7. Cycle selanjutnya dimulai dari node 4. diperoleh satu himpunan cycle L 6 = { }. Pilih bobot terkecil, yaitu w D 5,4 = ambar 37 Subgraf D 6 dari digraf D ambar 37 menunjukkan bahwa tahapan hidup Dipsacus sylvestris secara vegetatif dimana dari tahapan hidup ke-4 tidak melalui tahapan hidup ke-5 (kuncup besar). 8. Cycle selanjutnya masih dimulai dari node 4. diperoleh satu himpunan cycle L 7 = {4 6 4}. Pilih bobot terkecil, yaitu w D 6,4 = ambar 36 Cycle L 6 = { }. Cycle L 6 menyatakan kemampuan Dipsacus sylvestris menjalani hidupnya melalui tahap Selanjutnya dekomposisi cycle L 6 dari subgraf D 5 sehingga diperoleh subgraf D 6 yang diperlihatkan pada ambar 37. ambar 38 Cycle L 7 = {4 6 4}. Cycle L 7 menyatakan kemampuan Dipsacus sylvestris menjalani hidupnya melalui tahap Selanjutnya dekomposisi cycle L 7 dari subgraf D 6 sehingga diperoleh subgraf D 7 yang ditunjukkan pada ambar 39.

25 15 ambar 41 menunjukkan bahwa Dipsacus sylvestris bertahan pada satu tahapan hidup. 1. Setelah semua cycle didekomposisi, kemudian dekomposisi loop dari node 3, 4, dan 5. Pertama dekomposisi loop dari node 3, L 9 = {3 3}, dengan bobot w D 3,3 =.15. ambar 39 Subgraf D 7 dari digraf D Subgraf D 7 merepresentasikan siklus kehidupan Dipsacus sylvestris secara vegetative yang dimulai dari tahapan hidup ke-5 (kuncup besar). 9. Cycle selanjutnya masih dimulai dari node 4. diperoleh satu himpunan cycle L 8 = {5 6 5}. Pilih bobot terkecil, yaitu w D 6,5 = ambar 42 Loop L 9 = {3 3}. Loop L 9 = {3 3} menyatakan kemampuan Dipsacus sylvestris bertahan hidup pada tahap ke-3 (kuncup kecil). Selanjutnya dekomposisi cycle L 9 dari subgraf D 8 sehingga diperoleh subgraf D 9 yang dtunjukkan pada ambar 43. ambar 4 Cycle L 8 = {5 6 5}. Cycle L 8 menyatakan kemampuan Dipsacus sylvestris menjalani hidupnya melalui tahap Selanjutnya dekomposisi cycle L 8 dari subgraf D 7 sehingga diperoleh subgraf D 8 yang diperlihatkan pada ambar 41. ambar 43 Subgraf D 9 dari digraf D Subgraf D 9 merepresentasikan siklus kehidupan Dipsacus sylvestris bertahan pada tahap ke-4 dan ke Kemudian dekomposisi loop dari node 4, L 1 = {4 4}, dengan bobot w 4,4 = ambar 41 Subgraf D 8 dari digraf D

26 16 ambar 44 Loop L 1 = {4 4}. Loop L 1 = {4 4} menyatakan kemampuan Dipsacus sylvestris bertahan hidup pada tahap ke-4 (kuncup sedang). Selanjutnya dekomposisi cycle L 1 dari subgraf D 9 sehingga diperoleh subgraf D 1 yang ditunjukkan pada ambar 45. ambar 46 Loop L 11 = {5 5}. Loop L 11 = {5 5} menyatakan kemampuan Dipsacus sylvestris bertahan pada tahap ke-5 (kuncup besar). Selanjutnya dekomposisi L 11 dari D 1 sehingga diperoleh D 11 yang ditunjukka pada ambar 47. ambar 45 Subgraf D 1 dari digraf D Subgraf D 9 merepresentasikan siklus kehidupan Dipsacus sylvestris bertahan pada tahap ke Terakhir dekomposisi loop dari node 5, L 11 = {5 5}, dengan bobot w 5,5 = ambar 47 Subgraf D 11 dari digraf D Matriks representasi dari algoritma pendekomposisian di atas secara lengkap tertulis pada lampiran 1. Pendekomposisian tersebut menghasilkan nilai eigen (λ) yang sama dengan nol. Hal ini menunjukkan bahwa rata-rata pertumbuhan populasi tersebut konstan. Partisi dari elastisitas matriks digunakan untuk menghitung kontribusi terpisah dari cycle (siklus kehidupan) yang berbeda. Dan partisi tersebut ekuivalen dengan dekomposisi dari suatu digraf siklus kehidupan.

27 17 IV SIMPULAN Teori graf dapat diterapkan untuk menganalisis suatu siklus kehidupan. Digraf atau graf berarah digunakan untuk merepresentasikan suatu siklus kehidupan yang terdiri atas node yang menggambarkan tahapan kehidupan dan edge yang menggambarkan arah dari satu node ke node yang lain atau kontribusi yang diberikan oleh satu tahapan ke tahapan yang lain. Siklus kehidupan Dipsacus sylvestris dapat direpresentasikan oleh digraf. Selanjutnya dapat dianalisis dengan menggunakan pendekatan teori graf yaitu algoritma dekomposisi untuk digraf terboboti yang diperkenalkan oleh L. Sun dan M. Wang (27). Algoritma ini dapat diaplikasikan dengan baik pada siklus kehidupan Dipsacus sylvestris karena algoritma ini menjamin bahwa cycle yang dihasilkan tidak terdapat arah bertentangan. DAFTAR PUSTAKA Anton H Aljabar Linear Elementer. Alih Bahasa: Pantur Silaban, Ph.D. dan Drs. I Nyoman Susila, M.Sc. Jakarta: Erlangga. Chartrand and Oellermen OR Applied and Algorithmic raph Theory. New York: Mcraw-Hill. Chartrand and Zhang P. 29. Chromatic raph Theory. London: CRC Pr. Foulds LR raph Theory Applications. New York: Springer- Diestel. Harary F raph Theory. Reading, MA: Addison-Wesley. Horn RA and Johnson CR Matrix Analysis. Cambridge: Cambridge University Press. Sun L and Wang M. 27. An Algorithm for a Decomposition of Weighted Digraphs: with Applications to Life Cycle Analysis in Ecology. J. Math. Biol 54: Vasudev C. 26. raph Theory with Application. New Delhi: New Age International. Wardle M A raph Theory Approach to Demographic Loop Analysis. Ecology 79: Wilson RJ and Watkins JJ raphs An Introductory Approach. Canada: John Wiley &Sons, Inc.

28 LAMPIRAN

29 19 Lampiran 1 (Matriks siklus hidup Dipsacus sylvestris) D * = = = D 1 + L 1 D = D 1 L 1 (= { }) D * = = D 2 + L 2 D 1 = D 2 L 2 (= { }) D * = = D 3 + L 3 (= { }) D 2 = D 3 L 3 (= { })

30 2 D * = = D 4 + L 4 D 3 = D 4 L 4 (= { }) D * = = D 5 + L 5 D 4 = D 5 L 5 (= { }) D * 5.15 = = D 6 + L 6 D 5 = D 6 L 6 (= { }) D * 6.15 = = D 7 + L 7 D 6 = D 7 L 7 (= {4 6 4})

31 21 D * 7.15 = = D 8 + L 8 D 7 = D 8 L 8 (= {5 6 5}) D 8 terdiri dari tiga loop: *.15 D8 = D 8 = D r + L 9 + L 1 + L 11 D 8 = D r L 9 ({3 3}) L 1 ({4 4}) L 11 ({5 5}) Oleh karena itu 11 D = L i i=1

32 22 Lampiran 2 (Pembuktian Teorema 1) Teorema 1: Jika memenuhi kondisi flow konservasi, maka graf sisa r = (null graf) Bukti: Diketahui: memenuhi kondisi flow konservasi n n j=1 w ij = j=1 w ji Akan dibuktikan: graf sisa r = Bukti: Ada dua kondisi yang perlu diperhatikan 1. Ada cycle sederhana L dari dengan bobot edge yang sama memenuhi kondisi flow konservasi pada setiap node v i. Asumsikan L memiliki path v i1 v i2 v ik v i1 dimana i m, m = 1, 2,, k berbeda dan setiap edge pada L berbobot sama w. L Misal w ij merupakan bobot edge dari node j ke node i untuk digraph L yang terboboti, maka v i, L L L w im,i m 1 = w = w im,i m+1 = w ji L j w ij = L j = w ji j jikav i = v im L jikav i L dimana secara umum digunakan, jika i m = i 1 maka i m 1 = i k jika i m = i k maka i m+1 = i 1 w ij L = jika edge yang berarah yang saling berhubungan tidak berada di L. Jumlah keseluruhan meliputi semua v j. Perhatikan bahwa persamaan masih berlaku jika jumlah tersebut berakhir di v j L. Dengan kata lain kondisi flow konservasi terpenuhi oleh L yang berkaitan dengan dan sebaliknya. 2. \L memenuhi kondisi flow konservasi pada setiap node v i. Diberikan w ij sebagai edge berbobot untuk, w ij merupakan edge berbobot untuk \L, w L ij = w merupakan edge berbobot untuk L. Dari data tersebut didapat untuk setiap v i, w ij w = w ji w = w ji jikav i = v im L j j j w ij = j w ij = w ji = w ji jikav i L j j j r Akibat dari (1) dan (2), r = \ i=1 L memenuhi kondisi flow konservasi. w r ij menunjukkan edge berbobot untuk graf sisa r. r merupakan graf yang tidak mengandung satupun cycle dan loop yang mengakibatkan w r ij = jika w r ji. Anggap bahwa w r ij. Asumsikan pengganti bahwa ada setidaknya satu w r ij > pada r. Diberikan w = w r r2,r 1 = min w r i j ij : w r ij > merupakan bobot takkosong terkecil pada r, dimana w o = w r2,r 1 berarti bahwa edge terhubung dari node v r1 ke node v r2 v r1 sama dengan w o. Karena r memenuhi kondisi flow konservasi pada node v r2, w r j,r2 j = w r r2,j j w r r2,r 1 = wo >

33 23 Pasti ada sebuah node v r3 sehingga w r r3,r 2 wo > sebagai contoh ada sebuah edge dengan bobot w r r3,r 2 dari node vr2 ke node v r3 dan v r1, v r2, v r3 berbeda karena r tidak mengandung cycle. Pada node v r3, r memenuhi kondisi flow konservasi, w r j,r3 j = w r r3,j j w r r3,r 2 = wo > dan demikian seterusnya. Karena tidak terdapat cycle dari r, prosedur ini akan membangun path v r1 v r2 v rm berakhir di v rm untuk beberapa m > 1 dengan n edge dalam path. Ini mengakibatkan w r j,rm j = w r rm,j j w r rm,r m 1 wo > Kondisi flow konservasi tidak dapat terpenuhi pada akhir node v rm. Ini kontradiksi sehingga haruslah ada w ij r. Terbukti r =. Lampiran 3 (Pembuktian Teorema 2) Teorema 2: untuk graf sisa r, semua nilai eigen dari matriks berbobot w ij r nxn adalah nol. Bukti: Untuk kasus tak-trivial r. Sebuah nilai eigen λ dari w r ij didapat dari fungsi nxn karakteristik yang sama dengan nol. det λi n w r ij = nxn dimana I n merupakan matrik identitas yang berorde n. Anggap ekspansi fungsi karakteristik det λi n w r ij = λ n + c 1 λ n 1 + c 2 λ n c n nxn c 1 = w r 11 + w r w r nn c 2 = sign i 1 i 2 w r j 1 j i1,j 2 1 w r i2,j 2 c 3 = sign i 1 j 1 i 2 j 2 i 3 w r j i1,j 3 1 w r i2,j 2 w r i3,j 3 c n = sign i 1 i 2 i n j 1 j 2 j n w i1,j 1 r w r i2,j 2 r win,j n Dimana sign i 1 i 2 i n j 1 j 2 j n merupakan permutasi σ dari n bilangan adalah (-1) atau (+1) bergantung banyaknya transposisi atau pasangan yang saling bertukar posisi pada {1, 2,, n}. Tanda -1 untuk permutasi ganjil, +1 untuk permutasi genap. Karena tidak ada cycle di r dan tidak terdapat loop. Oleh karena itu, w ii r i = 1,, n yang berimplikasi c 1 = akibatnya, jika maka bentuk yang sesuai i m = j m, 1 m k di i 1 i 2 i k j 1 j 2 j k, 1 < k n w r i1,j 1 w r i2,j 2 r wik,j k =. Untuk k = 2, pernyataan di atas berimplikasi bahwa bentuk di c 2 haruslah

34 24 c 2 = sign i 1 i 2 w r i 2 i i1,i 1 2 w r i2,i 1 karena w r i1,i 2 w r i2,i 2 sesuai dengan permutasi i 1 i 2 i 1 i 2 adalah nol. Selain itu, tidak terdapat cycle v i1 v i2 v i1 di r, sehingga yang berimplikasi Dan dengan konsekuensi, jika w r i1,i 2 w r i2,i 1 i1, i 2 = 1,, n c 2 = i m = j m ; i m = j m ; 1 m, m k di i 1 i m i m j1 jm j m i k jk maka bentuk yang bersesuaian w r i1,j 1 r wim,j m r wim,j m wik,j k r = r wi1,j 1 r wim,j m r wim,j m r wik,j k = Argumen yang sama pada k-cycle memberikan Untuk k = 3, 4,, n yang berimplikasi Oleh karena itu fungsi karakteristik Sehingga diperoleh λ =. Hal ini melengkapi bukti teorema 2 w r i1,i k w r ik,i k 1 r wi2,j 1 c k =, k = 3, 4,, n λ n + c 1 λ n 1 + c 2 λ n c n = λ n =