Program Dinamik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. Jurusan Teknik Sipil FT UGM

Transkripsi

1 Program Dinamik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. Jurusan Teknik Sipil FT UGM 8/7/200 Jack la Motta

2 Pendahuluan Tidak seperti program linier, Program Dinamik (PD) tidak mempunyai standar formulasi matematik. PD lebih merupakan suatu cara umum untuk melakukan optimasi dengan persamaan matematik yang cocok dengan masalah yang dihadapi. Insight dan ingenuity dibutuhkan untuk mengenali penggunaan PD dalam menyelesaikan masalah lapangan. Cara terbaik penyampaian PD adalah dengan mengenalkan beberapa permasalahan yang dapat diselesaikan dengan PD. 8/7/200 Jack la Motta 2

3 Contoh Jarak Termurah Seorang pebisnis akan pergi dari Kota A ke Kota J dengan menggunakan kendaraan umum. Banyak kemungkinan jalan yang dapat digunakan dari A J Pebisnis diatas menginginkan perjalanan dari A J dengan biaya paling murah Besar biaya dan rute jalan dari A J disajikan dalam tayangan berikut. 8/7/200 Jack la Motta

4 8/7/200 Jack la Motta Biaya dan Rute jalan A J C F H B D E G I n = n = 2 n = n =

5 Biaya dan Rute jalan A n = n = 2 n = n = 2 B 7 2 C D 5 F Kita coba penyelesaian bahwa dalam setiap tahap/rute kita pilih yang biayanya termurah E G H I J Jika hitungan diawali dari A, hasilnya: A B F I J dengan biaya 2+++ total Jika hitungan diawali dari J, hasilnya: J H E C A dengan biaya +++ total Cara yang dapat ditempuh adalah trial & error 8/7/200 Jack la Motta 5

6 Formulasi Pilih variabel keputusan x n (n =,2,,) sebagai kota yang harus ditempuh pada tahap n, sehingga rute seluruhnya adalah x x 2 x x dengan x =A dan x =J Pilih f n (s,x n ) sebagai biaya total untuk kebijakan keseluruhan dari tahapan selanjutnya dengan pebisnis sampai pada kondisi s, siap berangkat ke tahap n, dengan memilih x n sebagai kota tujuan berikut 8/7/200 Jack la Motta

7 Formulasi 2 Pada kondisi s dan tahap n, gunakan x n * sebagai sembarang nilai yang meminimumkan f n (s,x n ), gunakan f n *(s) sebagai nilai minimum dari f n (s,x n ) f n *(s) = min f n (s,x n ) = f n (s,x n *) dengan f n (s,x n ) adalah biaya sekarang (tahap n) + minimum biaya yad (tahap n+ dan selanjutnya) atau f n (s,x n ) = c s (x n ) + f n+ *(x n ) 8/7/200 Jack la Motta 7

8 Prosedur penyelesaian Tahap A n = n = 2 n = n = 2 B 7 2 C D 5 E F G Pada tahap akhir n =, maka perjalannya hanya ditentukan sepenuhnya oleh kondisi s sekarang (yaitu H atau I) dan tujuan akhir J, sehingga f *(s) = f (s,j) = c s (J) H I J Pada tahap akhir n = hasil ditabelkan sbb: s f *(s) x * H J I J tabel diatas menyajikan fakta bahwa kalau pebisnis sudah sampai di H maupun di I, maka solusi feasible-nya adalah x * = J. 8/7/200 Jack la Motta 8

9 Tahap A n = n = 2 n = n = 2 B 7 2 C D 5 E F G H I J Pada tahap akhir n = hasil ditabelkan sbb: s f = c s +f * H I f *(s) x * E 8 H F I G 7 H Pada tahap n =, maka perjalannya perlu melakukan beberapa hitungan. Misalkan dia sudah sampai di kota F, maka dia bisa menuju ke kota H atau I, dengan biaya pada tahap ini adalah c F (H) = atau c F (I) = E, H = + E, I 8 = + F, H 9 = + F, I 7 = + G, H = + G, I 7 = + 8/7/200 Jack la Motta 9

10 Tahap 2 A n = n = 2 n = n = 2 B 7 2 C D 5 E F G H I J s f 2 = c s +f * E F G f 2 *(s) x 2 * B 2 E, F C E D E, F B,E = 7 + B,F = + 7 B,G 2 = + C,E 7 = + C,F 9 = C,G 0 = + D,E 8 = + D,F 8 = + 7 D,G = 5 + Bilangan yang terakhir setelah + adalah nilai optimum f *(x ) 8/7/200 Jack la Motta 0

11 Tahap A n = n = 2 n = n = 2 B 7 2 C D 5 E F G H I J s f = c s +f * B C D f *(s) x * A C, D A,B = 2 + A,C = + 7 A,D = + 8 Dari hasil di atas nilai optimum tercapai yaitu Lintasan : A C E H J Lintasan 2: A D E H J Lintasan : A D F I J Lintasan tersebut disajikan dalam tayangan berikut. 8/7/200 Jack la Motta

12 Biaya dan Rute jalan optimum n = n = 2 n = n = B 7 E H A 7 C 7 F J D 8 G I 8/7/200 Jack la Motta 2

13 Karateristik Program Dinamik. Permasalahannya dapat dibagi menjadi tahapan dengan keputusan kebijakan pada tiap tahap 2. Tiap tahap mempunyai sejumlah kondisi terkait 8/7/200 Jack la Motta

14 Karateristik Program Dinamik. Pengaruh keputusan kebijakan pada setiap tahapan adalah transformasi kondisi saat ini kepada sebuah kondisi yang terkait dengan awal dari tahapan berikutnya. Prosedur penyelesaian dirancang untuk mendapatkan kebijakan optimum untuk seluruh tahapan yaitu dengan membuat kebijakan optimum untuk setiap tahap pada setiap kemungkinan kondisi 8/7/200 Jack la Motta

15 Karateristik Program Dinamik 5. Pada suatu kondisi, sebuah kebijakan optimum untuk tahapan selanjutnya tidak terkait oleh kebijakan optimum dari tahapan sebelumnya. Jadi keputusan optimum yang diambil hanya tergantung pada kondisi sekarang bukan dari bagaimana kita sampai pada kondisi sekarang. Inilah yang dinamai prinsip optimum dari Program Dinamik. 8/7/200 Jack la Motta 5

16 Karateristik Program Dinamik. Prosedur penyelesaian mulai dengan mendapatkan solusi optimum untuk tahap terakhir. 7. Hubungan rekursif untuk memperoleh solusi optimum untuk tahap n, dengan solusi optimum untuk tahap n+ telah diketahui. Rumus tersebut menjadi: f * ( s) = min{ cs ( xn) fn+ ( xn )} x * n+ + + n 8/7/200 Jack la Motta

17 Alokasi air dengan DP x j R (x ) R 2 (x 2 ) R (x ) 0 0,0 0,0 0,0-0,5,5 -,9 2,0 0, 0, 0,9, 0,0 9,,5 5, 7,0 5, Sebuah kawasan akan membagi air kepada pengguna, dengan keuntungan bersih masingmasing pengguna disajikan dalam tabel. 8/7/200 Jack la Motta 7

18 Formulasi Alokasi Air Alokasi air agar keuntungan bersih total maksimum dirumuskan: f j ( s j ) = max [ R j ( x j ) + f j+ ( s j x j )] x j 0 x s j j Karena sifatnya yang rekursif, maka hitungan paling mudah dimulai dari tahap (j) akhir Prosedur lengkap cara penyelesaian lebih mudah kalau dijelaskan dengan tabel pada tayangan berikut. 8/7/200 Jack la Motta 8

19 Jawaban: Tahap Akhir OPTIMUM NET BENEFIT COMPUTATION USING DYNAMIC PROGRAMMING (BACKWARD METHOD) THESE ARE INTERMEDIATE RESULTS ========================================================= NB(X) State Max.Solution: X:0 2 5 NB X's , ========================================================= 8/7/200 Jack la Motta 9

20 Jawaban: Tahap Kedua ========================================================= Stage 2: NB2(X2) + OptNB(State2 - X2) NB2 State Max.Solution: X:0 2 5 NB X's ========================================================= 8/7/200 Jack la Motta 20

21 Jawaban: Tahap Pertama ========================================================= Stage : NB(X) + OptNB2(State - X) NB State Max.Solution: X:0 2 5 NB X's ========================================================= THESE ARE FINAL RESULTS ====================================== The optimum value is ====================================== The alternative optimal solutions [ X(Optimum) ] at each stage are ====================================== Stage : ====================================== Note: The unit of X(Optimum) is.00 8/7/200 Jack la Motta 2

22 Program Dinamik Untuk kepentingan kuliah, maka telah disediakan Program Dinamik sederhana yang dikembangkan: ********************************** * Djoko Luknanto * * Research Engineer * * Hydraulic Laboratory * * Civil Engineering Department * * College of Engineering * * Gadjah Mada University * * Tahun 992 * ********************************** Hasil-hasil diatas adalah output dari program ini. 8/7/200 Jack la Motta 22