PERTEMUAN 9 MENENTUKAN SOLUSI FISIBEL BASIS AWAL

Transkripsi

1 PERTEMUAN 9 MENENTUKAN SOLUSI FISIBEL BASIS AWAL 1). Metode Pojok Kiri Atas / Pojok Barat Laut (North West Corner) Metode ini mula-mula diperkenalkan oleh Charnes dan Cooper kemudian diperluas oleh Danziq. Langkah-langkah Metode Pojok Barat Laut adalah sebagai berikut 1. Dimulai dengan mengisi kotak pojok barat laut yaitu sel (1,1) sehingga X 11 = min {a 1,b 1 } Terdapat 3 kemungkinan, yaitu : a. Jika a 1 > b 1, maka X 11 = b 1, kemudian dilanjutkan langkah mendatar yaitu : X 12 = min {a 1 - X 11, b 1 }. b. Jika a 1 = b 1, maka X 11 = b 1 = a 1, kemudian dilanjutkan langkah miring yaitu : X 22 = min {a 2, b 2 }. c. Jika a 1 < b 1, maka X 11 = a 1, kemudian dilanjutkan langkah turun yaitu : X 21 = min {a 2, b 1 - X 11 }. 2. Langkah diatas diulangi sambil melangkah menuju arah tenggara atau kotak (m,n) atau ke arah pojok kanan bawah. Contoh 1: Dari 3 buah pelabuhan, dan terdapat semen sebanyak masing-masing 120 ton, 170 ton dan 160 ton. Semen tersebut akan diangkut ke kota T 1, T 2 dan T 3 yang masing-masing mempunyai daya tampung 150 ton, 210 ton dan 90 ton. Biaya pengiriman dari pelabuhan ke kota T 1, T 2 dan T 3 masing-masing adalah 50, 100 dan 100 (dalam ribuan rupiah/ton). Biaya pengiriman dari pelabuhan ke kota T 1, T 2 dan T 3 adalah 200, 300 dan 200, sedangkan biaya pengiriman dari pelabuhan ke kota T 1, T 2 dan T 3 adalah 100, 200 dan 300. Tentukan : a). Tabel Transportasi! b). Model Transportasi! c). Ongkos Awal dengan Metode Pojok Kiri Atas! Hal. 1 dari 5

2 Penyelesaian : a). Tabel Transportasi: T 1 T 2 T 3 a i X 11 X 12 X X 21 X 22 X X 31 X 32 X b j b). Model Transportasi: *). Fungsi Tujuan : Meminimumkan : Z = (50 X X X X X X X X X 33 ) x Rp ,- *). Fungsi Kendala: a). Keterbatasan Kapasitas Sumber ke-1 ( ): X 11 + X 12 + X 13 = 120 b). Keterbatasan Kapasitas Sumber ke-2 ( ): X 21 + X 22 + X 23 = 170 c). Keterbatasan Kapasitas Sumber ke-3 ( ): X 31 + X 32 + X 33 = 160 d). Keterbatasan Kapasitas Tujuan ke-1 (T 1 ): X 11 + X 21 + X 31 = 150 e). Keterbatasan Kapasitas Tujuan ke-2 (T 2 ): X 12 + X 22 + X 32 = 210 f). Keterbatasan Kapasitas Tujuan ke-3 (T 3 ): X 13 + X 23 + X 33 = 160 *). Syarat Non Negatif : X ij 0, untuk i = 1, 2, 3 dan j = 1, 2, 3 c). Ongkos Awal dengan Metode Pojok Kiri Atas: Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: Dimulai dari sel (1,1) yaitu menentukan nilai dari X 11 = min {a 1,b 1 } = min{120, 150} X 11 = 120. Maka Habis, dilanjutkan ke bawah yaitu sel (2,1) yaitu : X 21 = min {a 2, b 1 - X 11 } = min{170, } = 30 ( T 1 terpenuhi ). Hal. 2 dari 5

3 X 22 = min {a 2 - X 21, b 2 } = min{170-30,210} = 140 ( habis ). X 32 = min {a 3, b 2 - X 22 } = min{160, } = 70 ( T 2 terpenuhi ). X 33 = min {a 3 - X 32, b 3 } = min{160-90, 90} = 90 ( T 3 dan terpenuhi ). Sehingga tabelnya menjadi: T 1 T 2 T 3 a i x x x x b j Jadi variabel-variabel basisnya adalah : X 11, X 21, X 22, X 32, dan X 33. Sedangkan variabel-variabel non basisnya adalah : X 12, X 13, X 23, dan X 31. Biaya awalnya adalah : Z = C 11 X 11 + C 21 X 21 + C 22 X 21 + C 32 X 32 + C 33 X 33 = ( ) x Rp ,- = ( ) x Rp ,- = Rp ,- 2). Metode Ongkos Terkecil (Least Cost) Penentuan solusi fisibel basis awal dengan menggunakan Metode Ongkos Terkecil tidak hanya mempertimbangkan barang yang harus didistribusikan saja tetapi sekaligus mempertimbangkan faktor biaya. Terdapat 2 cara dalam menentukan solusi fisibel basis awal dengan menggunakan Metode Ongkos Terkecil yaitu Metode Ongkos Baris Terkecil dan Metode Ongkos Kolom Terkecil. i). Metode Ongkos Baris Terkecil Langkah-langkah yang digunakan : Dimulai dari baris ke-1. Tentukan X 1k = min { a 1, b k } dimana k = kolom pada baris ke-1 yang mempunyai ongkos terkecil. Kemungkinan-kemungkinan yang ada untuk X 1k dan tindak lanjutnya adalah : 1. Jika X 1k = a 1 maka proses dilanjutkan ke baris ke-2, dengan memikirkan baris ke-1 telah terpenuhi. 2. Jika X 1k = b k, maka lanjutkan ke kolom k, selanjutnya tentukan lagi ongkos terkecil pada baris ke-1 sehingga baris ke-1 terpenuhi. Hal. 3 dari 5

4 3. Jika dalam proses dijumpai 2 atau lebih ongkos terkecil yang terletak pada suatu baris yang sama, dapat dipilih sembarang, demikian pula jika terdapat baris dan kolom yang dapat terpenuhi secara serentak, tinggalkan kolom yang bersangkutan dan lanjutkan memilih ongkos terkecil (sisanya) pada baris tersebut. Sel yang memuat baris seperti diatas dinyatakan sebagai baris berharga nol. Contoh 2: Diketahui table transportasi sebagai berikut: T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 a i X 11 X 12 X 13 X 14 X X 21 X 22 X 23 X 24 X X 31 X 32 X 33 X 34 X A 4 X 41 X 42 X 43 X 44 X 45 b j Tentukanlah: a). Model Transportasi! b). Ongkos awal dengan Metode Pojok Kiri Atas! c). Ongkos awal dengan Metode Ongkos Baris Terkecil! d). Ongkos awal dengan Metode Ongkos Kolom Terkecil! Akan dijawab soal c, untuk soal a, b, dan d sebagai Tugas! Jawab: c). Ongkos awal dengan Metode Ongkos Baris Terkecil. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: 1. Baris-1 Ongkos terkecil terletak pada kolom-2 yaitu 1, maka : X 12 = Min{a 1, b 2 } = Min{75, 40} = 40. Jadi kolom ke-2 ( T 2 ) terpenuhi. Karena a2 belum habis (baris 1 terpenuhi), pilih ongkos terkecil berikutnya yaitu 2 yang terletah pada kolom-3, maka : X 13 = Min{a 1 - X 12, b 3 } = Min{75-40, 45} = 35 dengan demikian baris-1 ( ) terpenuhi. 2. Baris-2 Ongkos terkecil pada baris ke-2 terletak pada kolom-1, 3, dan 4 yaitu 2 (dapat dipilih salah 1, tetapi juga dapat menggunakan prinsip mengalokasikan komoditas sebanyak-banyaknya pada ongkos yang terkecil), sehingga dapat menggunakan cara : Hal. 4 dari 5

5 Max{Min(a 2, b 1 ), Min(a 2, b 3 -X 13 ), Min(a 2, b 4 )} = Max{Min(30, 50), Min(30, 10), Min(30, 75)} = Max{30, 10, 30} = 30. Sehingga dapat diplih X 21 atau X 24 sebagai variable basis. dipilih X 21 sehingga X 21 = 30 sehingga baris-2 ( ) terpenuhi. (Bagaimana jika dipilih X 24 sebagai variable basis?, tentukan ongkos awalnya!) 3. Baris-3 Ongkos terkecil terletak pada kolom-5 yaitu 1, maka : X 35 = Min{a 3, b 5 } = Min {65, 40} = 40 (kolom-5 ( T 5 ) terpenuhi). Ongkos terkecil berikutnya terletak pada kolom-4 yaitu 2, maka : X 34 = Min{a 3 X 35, b 4 } = Min {65 40, 75} = 25 sehingga baris-3 ( ) terpenuhi. 4. Baris-4 Ongkos terkecil terletak pada kolom-3 dan 5 yaitu 1 (pilih kolom 3, karena kolom 5 sudah terpenuhi), maka : X 43 = Min{a 4, b 3 X 13 } = Min {80, 45-35} = 10 sehingga kolom-3 (T 3 ) terpenuhi, selanjutnya untuk ongkos terkecil berikutnya terletak pada kolom-4 yaitu 2, maka: X 44 = Min{a 4 -X 43, b 4 X 34 } = Min{80 10, 75 25} = Min{70, 50} = 50, yang tersisa tinggal kolom-1 sehingga : X 41 = Min{a 4 - X 43 - X 44, b 1 - X 21 } = Min{ , 50-30} = 20, dengan demikian kolom-1 ( T 1 ) dan baris-4 ( A 4 ) terpenuhi. Sehingga tabelnya menjadi: T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 a i x x x X x x x x x x A 4 20 X x b j Biaya awalnya adalah : Z = C 12 X 12 + C 13 X 13 + C 21 X 21 + C 34 X 34 + C 35 X 35 +C 41 X 41 + C 43 X 43 + C 44 X 44 = 1(40) + 2(35) + 2(30) + 2(25) + 1(40) + 4(20) + 1(10) + 2(50) = = 450. ii). Metode Ongkos Kolom Terkecil Langkah-langkahnya identik (sama/analog) dengan Metode Ongkos Baris Terkecil, yaitu penentuan ongkos terkecilnya berdasarkan kolom yang dimulai dari kolom ke satu, dan seterusnya. Hal. 5 dari 5