30/03/2015 DYNAMIC PROGRAMMING DYNAMIC PROGRAMMING DYNAMIC PROGRAMMING DYNAMIC PROGRAMMING DYNAMIC PROGRAMMING OPERATIONAL RESEARCH II

Transkripsi

1 0/0/0 OPERTONL RESER gustina Eunike, ST., MT., M. ndustrial Engineering University o rawijaya Pemrograman inamis (dynamic programing / P) Prosedur matematis yang dirancang untuk memperbaiki eisiensi perhitungan masalah pemrograman matematis tertentu dengan menguraikannya menjadi bagian-bagian masalah yang lebih kecil. Penyederhanaan perhitungan. Menjawab masalah dalam tahap tahap (stages), dengan setiap tahap meliputi satu variabel optimasi. Perhitungan di tahap yang berbeda dihubungkan melalui perhitungan rekursi, untuk menjamin bahwa pemecahan layak untuk tiap tahap juga layak untuk keseluruhan masalah. ontoh P pada Shortest Route: ontoh P pada Shortest Route: Pemecahan menjadi tahap-tahap (stages): Tahap (stage ) ontoh P pada Shortest Route: Pemecahan menjadi tahap-tahap (stages): Tahap (stage ) ontoh P pada Shortest Route: Pemecahan menjadi tahap-tahap (stages): Tahap (stage )

2 0/0/0 Prinsip dasar pada perhitungan P:. Masalah dapat dibagi menjadi tahap-tahap (stages), dengan keputusan kebijakan yang dibuat pada tiap tahap.. Tiap tahap mempunyai state yang berhubungan dengan kondisi awal tahap. State merupakan inormasi yang diperlukan pada tahapan (stage) untuk membuat keputusan optimal.. Eek keputusan kebijakan pada setiap tahap menggambarkan perubahan state saat ini menjadi state lain pada awal tahap berikutnya.. Prosedur penyelesaian dirancang untuk menemukan kebijakan optimal dari keseluruhan masalah, yang menunjukkan keputusan kebijakan mana yang optimal pada setiap tahap untuk setiap state yang mungkin.. Pada state saat ini, kebijakan optimal untuk langkah selanjutnya independen terhadap pilihan states (keadaan-keadaan) sebelumnya. al di atas disebut sebagai principle o optimality. Rumus Rekursi Maju (orward Recursive): i s i = min c all easible i, i + i i, (,, n ) i =,,, n Rumus Rekursi Mundur (ackward Recursive): i s i = min c all easible i, i+ + i+ i+, (,, n ) i =,,, n Keterangan: n = jumlah stages i = label untuk stage saat ini (i =,,,..., n) s i = state saat ini pada stage i i = varibel keputusan pada stage i i s i = kontribusi stage,,..., i- (untuk orward), atau i, i+,..., n (untuk backward). ontoh ackward Recursive pada Shortest Route (di atas): Stage : ontoh ackward Recursive pada Shortest Route (di atas): Stage : ontoh ackward Recursive pada Shortest Route (di atas): Stage :

3 0/0/0 ontoh : Rute Terpendek lternati keputusan yang apat diambil pada Setiap Tahap n= n= E G n= n= E G Tahap(n), State(S n ), X n (lternati Keputusan) Pada tahap ke- (n = ) o Terdapat tiga state(s n ) yaitu, dan, orang yang melakukan perjalanan tersebut mungkin sedang berada di kota, ataupun. o ketika sedang berada di kota (S = ) orang tersebut bisa memilih untuk meneruskan perjalanan melalui E atau atau G. o E, dan G merupakan X alternati keputusan yang dapat diambil ketika berada pada state tertentu Pemecahan Masalah Pendekatan jangka pendek yaitu memilih rute(jalur) dengan biaya termurah pada setiap tahap tidak menjamin diperolehnya biaya yang minimal secara keseluruhan iaya total engan programa dinamis bisa diperoleh solusi optimal dengan biaya total = Pencarian solusi optimal harus dilakukan dengan mempertimbangkan seluruh biaya. n= tahap terakhir Ketika berada di kota atau S =, hanya terdapat satu pilihan yaitu menuju ke kota tujuan akhir yaitu kota (X =). iaya menuju ke kota adalah. n= Ketika berada di kota E atau S =E, terdapat dua pilihan (alternati keputusan) yaitu menuju ke kota atau ke kota X = atau X =. ika memilih menuju ke kota biayanya adalah. ika memilih menuju ke kota biayanya adalah 8. iaya ini dihitung pada tahap sebelumnya n=. Sehingga jika sedang berada pada kota E maka yang harus dipilih adalah menuju ke kota s (S) ( s, ) c ( ) s E 8 9 G s

4 0/0/0 n= E n= ( s, ) c s ( ) E atau 9 0 E E atau G Kota merupakan kota yang terdekat dengan kota tujuan awal(kota ), akan tetapi memilih kota yang terdekat TK selalu menghasilkan solusi yang terbaik jika tidak memperhatikan masalah secara keseluruhan. Pada kasus ini memilih kota yang terdekat justru memberikan solusi yang paling buruk. ( s, ) c s ( ) atau 8 Penentuan Solusi Pada tahap diperoleh hasil bahwa kalau dari kota harus menuju ke kota atau dan jangan ke kota Setelah sampai di kota dan kemudian kemana? erdasarkan hasil tahap kalau dari kota maka harus ke kota E dan kalau dari kota maka harus ke kota E atau. ( s, ) c s ( ) atau ( s, ) c s ( ) E atau 9 0 E E atau ( s, ) c s ( ) Penentuan Solusi E atau 9 0 E E atau ( s, ) c ( ) s E 8 9 erdasarkan hasil tahap : dari kota E harus dilanjutkan menuju kota dan dari kota harus menuju kota. G Penentuan Solusi erdasarkan hasil tahap : o jika sudah sampai di kota E maka perjalanan harus dilanjutkan menuju ke kota. o jika sudah sampai di kota maka perjalanan harus dilanjutkan menuju ke kota. Penentuan Solusi erdasarkan hasil tahap : o jika sudah sampai di kota maka perjalanan harus dilanjutkan menuju ke kota. o jika sudah sampai di kota maka perjalanan harus dilanjutkan menuju ke kota. (S) ( s, ) s c ( ) s ( ) s E 8 9 s (S) G

5 0/0/0 Solusi Solusi ( s, ) c s ( ) atau (S) ( s, ) s c ( ) s ( ) s ( s, ) c s ( ) E atau 9 0 E E atau E 8 9 G E G Solusi Solusi E E G G Soal Latihan Sebuah perusahaan menghasilkan dua macam barang. Waktu kerja yang tersedia adalah 0 menit. arang memerlukan waktu menit per unit dan barang memerlukan waktu menit per unit. Tidak terdapat pembatasan jumlah barang yang dapat diproduksi akan tetapi untuk barang terbatas sampai 0 unit. Keuntungan barang adalah Rp per unit dan barang adalah Rp per unit. arilah penyelesaian optimalnya dengan menggunakan Programa dinamis. Soal Latihan Sebuah perusahaan ingin menentukan kebijaksanaan penggantian yang optimal dari peralatan yang saat ini berumur tahun untuk keperluan pemakaian tahun yang akan datang ( n = ) yaitu sampai awal tahun ke. Tabel berikut adalah data dari persoalan. Perusahaan menentukan peralatan yang berumur tahun harus diganti. arga peralatan baru adalah $ Selesaikan permasalahan ini dengan programa dinamis!

6 0/0/0 Soal Latihan Sebuah kontraktor memperkirakan kebutuhan tenaga kerja yang diperlukan untuk minggu yang akan datang berturut-turut sebanyak,, 8,, dan orang. Kelebihan tenaga kerja memberikan biaya sebesar $ 00 per orang per minggu sedangkan untuk menambah tenaga kerja diperlukan biaya tetap sebesar $ 00 dan biaya variabel sebesar $ 00 per orang per minggu. Selesaikan permasalahan ini dengan programa dinamis! Soal Latihan Kapal dengan kapasitas angkut ton akan dimuati unit atau lebih dari tiga macam barang. Pada tabel di bawah ini diberikan berat per unit (w ton) dan nilai per unit (r ribu $) dari barang i. erapa jumlah setiap barang akan dimuat ke dalam kapal yang memberikan pendapatan total yang maksimal? Soal Latihan PT. Y memproduksi transormator besar untuk keperluan jaringan listrik. Permintaan yang harus dipenuhi untuk bulan-bulan mendatang pada tabel berikut : Transormator harus dikirim pada akhir bulan. Misalnya permintaan 0 unit transormator untuk bulan Mei harus dikirim pada akhir bulan Mei. iaya produksi transormator tergantung pada jumlah unit yang diproduksi seperti digambarkan pada tabel Soal Latihan Seseorang akan melakukan perjalanan dengan kereta kuda dari kota menuju kota 0 melalui beberapa kota dari kota sampai kota 9, melewati daerah berbahaya seperti pada gambar. ia dapat memilih beberapa rute, misalnya melalui kota atau Setiap penggal jalan mempunyai bahaya yang diukur sebagai besar asuransi jiwa r (,d) dari kota ke kota d. ahaya dari rute tertentu dari kota ke kota 0 diukur dengan besarnya asuransi yang dibayar sepanjang rute tersebut. iaya asuransi yang harus dibayar dicantumkan pada penggal garis pada gambar. Kapasitas gudang untuk menyimpan transormator adalah 0 unit. Transormator yang tidak dikirim dalam bulan yang sama dapat disimpan dalam gudang dengan biaya $ 00 per unit per bulan. Persediaan pada awal bulan Mei adalah 0 unit dan persediaan pada awal bulan September ditetapkan sebesar 0 unit. Untuk praktisnya transormator hanya dapat diproduksi, dikirm dan disimpan dalam jumlah kelipatan 0 unit. Soal Latihan PT. X memutuskan untuk menambah enam orang tenaga penjualan pada bagian penjualannya. Tenaga kerja yang baru akan ditempatkan pada keempat daerah pemasarannya. Tabel berikut menunjukan kenaikan penjualan yang diharapkan (dalam $ 000 ) dari setiap daerah pemasaran, tergantung dari jumlah tenaga kerja yang ditugaskan pada daerah tersebut. Tentukan alokasi optimal dari keenam tenaga penjualan baru di keempat daerah pemasaran tersebut. Kesimpulan Model programa dinamis menggambarkan proses pengambilan keputusan proses bertahap. Masalah programa dinamis menghasilkan model matematis yang berbeda antara kasus yang satu dengan yang lain. Untuk memormulasikan masalah programa dinamis harus mengerti dengan baik mengenai konsep dari status, tahap, alternati keputusan, keputusan yang optimal, dan alasan penggunaan ungsi rekursi.

7 0/0/0 Review Question Kapankah metode programa dinamis bisa digunakan untuk menentukan solusi suatu permasalahan? pakah yang dimaksud dengan: State Tahap Variabel Keputusan ungsi Rekursi Kenapa dalam metode programa dinamis tidak mempunyai struktur model matematis yang pasti sehingga untuk masalah yang beda akan menghasilkan struktur model yang berbeda juga? ETERMNST ETERMNST P State pada stage berikutnya ditentukan oleh state dan kebijakan keputusan pada stage saat ini. Pengkategorian: ungsi tujuan Minimasi atau Maksimasi Set o states Variabel iskrit Variabel Kontinyu Vektor Struktur dasar: ETERMNST P PROLST P PROLST State pada stage berikutnya mengikuti suatu distribusi peluang. istribusi peluang ditentukan oleh stage saat ini. Untuk permasalahan yang sederhana dapat digambarkan menggunakan decision tree Lebih kompleks dibandingkan deterministic P.

8 0/0/0 PROLST P Reerences Struktur dasar: rederick illier and Gerald.Lieberman, ntroduction to Operations Research, olden ay Ltd, San ransisco, 99. Taha, amdy, Operation Research : n ntroduction, Macmillan Publishing ompany., New York, 99. 8