ALJABAR LINEAR ELEMENTER DAN APLIKASINYA
|
|
|
- Deddy Sudjarwadi
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 ALJABAR LINEAR ELEMENTER DAN APLIKASINYA Didit Budi Nugroho Progrm Studi Mtemtik Fkults Sis d Mtemtik Uiversits Kriste Sty Wc
2 KATA PENGANTAR Buku ii merupk sutu pegtr utuk ljr lier yg didsrk pd kulih yg dierik oleh peulis selm leih dri thu dlm mt kulih Aljr Lier Elemeter di Uiversits Kriste Sty Wc Sltig Segi esr uku ii dipegruhi oleh kulih Aljr Lier dri Prof Drs Setidji, SU selm peulis kulih S di FMIPA UGM Mteri dlm uku ii disjik secr terurut yg dimuli dri pegerti tetg mtriks esert opersiy di B I d diljutk deg fugsi determi yg dihs di B II Sistem persm lier yg merupk gi utm dri Aljr Lier disjik dlm B III Dlm ii dierik eerp metode yg dpt diguk utuk meyelesik sistem persm lier termsuk metode yg plig umum yitu elimisi Guss (Jord) Di B IV didiskusik tetg rug vektor esert rug giy seperti rug kolom, rug ris, d rug ol Pemhs megei sutu rug vektor diperlus deg melegkpiy deg sutu fugsi yg diseut hsil kli dlm sehigg memetuk sutu rug hsil kli dlm, d ii dierik pd B V Pemicr yg leih lus lgi megei rug vektor dijumpi di B VI yg meghuugk du rug vektor megguk trsformsi lier Dri situ seljuty dimil ksus utuk opertor lier pd sutu rug vektor utuk mecri sutu ili d vektor eigey, d ii dierik dlm B VII segi peutup dri mteri Aljr Lier Buku ii meyedik teoremteorem deg ukti yg memdi Teoremteorem terseut dilegkpi deg cotohcotoh yg ervrisi deg tekik peyelesi yg mudh diphmi Utuk meliht hw Aljr Lier diperluk gi yk idg ilmu, di setip dierik cotohcotoh pliksiy Apliksi terseut tr li lis sirkuit elektrik, jrig llu lits, persm reksi kimi, d model Leotief megguk sistem persm lier Ad jug Kriptogrfi yg merupk pliksi dri trsformsi lier Apliksi dri ili d vektor eige dimil dlm idg geometri yitu utuk megidetifiksi kurv, dlm idg fisik utuk sistem mss pegs d dlm idg iologi utuk mslh geetik Buku ii msih perlu utuk terus meerus dikemgk gu memperlihtk kemudh d keidh dri Aljr Lier Oleh kre itu peulis sgt meghrpk msuk d srsr dri pemc Sltig, Desemer Peulis
3 DAFTAR ISI BAB I: MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS Pegtr Jeisjeis Mtriks Kesm Du Mtriks 5 Opersi Mtriks 5 5 Mtriks Eselo 6 Fugsi Sklr Mtriks BAB II: DETERMINAN 9 Ekspsi Lplce Bris Pertm 9 Ekspsi Kofktor Adjoi 5 Opersi Bris Elemeter 7 5 Mtriks Tk Sigulr d Ivers 6 Siftsift Determi 7 7 Perigkt Mtriks 9 8 Apliksi Determi BAB III: SISTEM PERSAMAAN LINEAR 5 Defiisidefiisi 5 Eksistesi Peyelesi 55 Meyelesik SPL Megguk Ivers 58 Atur Crmer 58 5 Reduksi Bris 6 6 Peyelesi Sistemtis dri SPL 65 7 Dekomposisi LU 68 8 Apliksi Sistem Persm Lier 7 BAB IV: RUANG VEKTOR 9 Rug Vektor 9 Rug Bgi Vektor 95 Komisi Lier 96 Bes Lier 99 5 Bsis 6 Rug Nol, Rug Kolom, Rug Bris 5 BAB V: RUANG HASIL KALI DALAM 9 5 Hsil Kli Dlm 9 5 Norm 5 Bsis Ortoorml d Proses GrmSchmidt 5 5 Peruh Bsis BAB VI: TRANSFORMASI LINEAR 9 6 Pegtr 9 6 Kerel d Imge dri Trsformsi Lier 6 Teorem Dimesi 5 6 Trsformsi Lier dri R ke R m Represetsi Mtriks dri Trsformsi Lier Komposisi Trsformsi Lier d Perkli Mtriks Iversiilits 7 68 Apliksi Trsformsi Lier: Kriptogrfi 7 BAB VII: Nili d Vektor Eige 8 7 Motivsi 8
4 7 Meghitug Nili d Vektor Eige 85 7 Siftsift Poliomil Krkteristik 9 7 Digolissi d Digolissi Ortogol Pgkt Mtriks d Persm Diferesil 8 76 Betuk Kudrtik d Iris Kerucut 6 77 Apliksi Utuk Sistem Mss Pegs 78 Apliksi Utuk Geetik
5 DAFTAR GAMBAR Gmr : () Mtriks segitig ts, () mtriks segitig wh, (c) mtriks digol Gmr : Trspos dri mtriks m 9 Gmr : Mtriks eselo ris Gmr : Bgu segitig Gmr : Iris gris 5 Gmr : Iris idg 5 Gmr : Skem ketuggl d eksistesi peyelesi SPL 57 Gmr : Algoritm GussJord 6 Gmr 5: Dekomposisi LU dri mtriks 69 Gmr 5: Vektor x (x, x ) 9 Gmr 5: Dekomposisi ortogol vektor u Gmr 5: Jumlh vektor u d v deg tur segitig Gmr 5: Jumlh vektor u d v deg tur jjr gejg 5 Gmr 55: Proyeksi vektor u 8 Gmr 56: Rotsi sumu koordit krtesius Gmr 6: Represetsi skemtis dri sutu trsformsi lier 9 Gmr 6: Represetsi skemtis dri rge T Gmr 6: Represetsi skemtis dri rug ol 9 Gmr 6: Rotsi oleh sudut q 57 Gmr 65: Refleksi gu persegi 57 Gmr 66: Ekspsi d kompresi sepjg sumu x 58 Gmr 67: Pergeser dlm rh x d rh y 58 Gmr 68: Ilustrsi dri represetsi mtriks 6 Gmr 69: Peruh mtriks sis segi sutu represetsi mtriks 65 Gmr 6: Represetsi komposisi oleh perkli mtriks 67 Gmr 6: Peruh sis d trsformsi lier 69 Gmr 7: Rotsi sumu 8 Gmr 7: () Diltsi l >, () Kotrksi < l <, (c) Pemlik rh (l < ) 85 + v Gmr 7: Grfik ( ) ( ) u Gmr 7: Grfik x xy + y 7 v Gmr 75: Grfik ( ) ( ) u Gmr 76: Grfik 6x +xy + y Gmr 77: Sistem mss pegs
6 DAFTAR TABEL Tel : Sift NS(A) d CS(A) 6 Tel 7: Proilits geotip keturu
7 B MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS Pd pertm ii k dierik eerp defiisi dsr yg erkit deg mtriks d opersi ljr elemeter pd mtriks Seli itu k diperkelk eerp jeis mtriks yg k serig dijumpi pd seljuty Pegtr DEFINISI Mtriks (mtrix) dlh susu segi empt sikusiku dri elemeeleme di sutu field (F,, +) Eleme terseut dpt erup peryt yg simolis tupu ilgilg Mtriks isy diotsik deg huruf esr oleh persm A [ ij ] yg errti hw eleme pd ris kei d kolom kej dri mtriks A sm deg ij Serigkli ditulisk eleme mtriks deg etuk ij (A) ij Mtriks A secr jels ditulisk dlm etuk A m m deg setip (i, j) Î {,,, m} {,,, } d ij Î F Bris kei dri mtriks A yitu [ i i i ] mempuyi usur, sedgk kolom kej yg mempuyi m usur yitu j j mj Setip mtriks mempuyi ris d kolom yg medefiisik ukur mtriks Jik sutu mtriks A mempuyi m ris d kolom mk ukur (ordo) mtriks diytk deg m, d seljuty mtriks A is ditulisk deg A m tu m A Simol M m (F) meotsik himpu semu mtriks erukur m ts field F m Didit B Nugroho
8 B Mtriks d Opersi Mtriks CONTOH Dierik rumus ij i + j utuk i d j yg medefiisik sutu mtriks A [ ij ] erukur Mtriks A dpt ditulisk secr eksplisit dlm etuk 5 A Jeisjeis Mtriks DEFINISI Vektor (vector) dlh sutu mtriks yg hy mempuyi stu ris tu stu kolom Kre itu terdpt du jeis vektor yitu vektor ris d vektor kolom DEFINISI Vektor ris (row vector) dlh sutu mtriks yg hy mempuyi stu ris sj, seperti A [ ] tu A (,,, ) deg dlh dimesi dri vektor ris DEFINISI Vektor kolom (colum vector) dlh sutu mtriks yg hy mempuyi stu kolom sj Segi cotoh, vektor kolom erdimesi m: A m DEFINISI Jik eerp ris d tu kolom dri sutu mtriks A dihpus mk mtriks sisy diseut mtriks gi (sumtrix) dri A 6 CONTOH Mtriksmtriks gi dri tr li yitu 6 6,, [ 6 ], [ ], DEFINISI 5 Jik yky ris dri sutu mtriks A Î M m (F) sm deg yky kolom, m, mk mtriksy diseut mtriks persegi (squre mtrix) deg elemeeleme,,, dimk elemeeleme digol utm Seljuty, mtriks persegi A erukur cukup ditulisk deg otsi A 5 CONTOH Mtriks A 5 5 merupk mtriks persegi se yky ris sm deg yky kolom yitu Sedgk elemeeleme digol utmy dlh 5,, 7 Didit B Nugroho
9 B Mtriks d Opersi Mtriks DEFINISI 6 Mtriks A Î M m (F) deg eleme ij utuk i > j diseut mtriks segitig ts (upper trigulr mtrix) Deg kt li, semu eleme di wh digol utm sm deg ol CONTOH Mtriks dlh sutu mtriks segitig ts 7, 6 55 DEFINISI 7 Mtriks A Î M m (F) deg eleme ij utuk i < j diseut mtriks segitig wh (lower trigulr mtrix) Deg kt li, semu eleme di ts digol utm sm deg ol CONTOH Mtriks dlh sutu mtriks segitig wh,,6,5 DEFINISI 8 Mtriks persegi A Î M (F) deg semu eleme yg tidk terletk pd digol utm sm deg ol, ij utuk i ¹ j, diseut mtriks digol (digol mtrix), ditulisk A dig(,,, ) Beerp tu semu msuk digol dri mtriks digol is jug ol CONTOH 5 Mtriks dlh mtriks digol 5 d DEFINISI 9 Mtriks I [d ij ], d ij diseut delt Kroecker, yg didefiisik oleh d ij utuk i j d d ij utuk i ¹ j, diseut mtriks idetits (idetity mtrix) erukur, d ditulisk I # dig(,,,) tu I (e, e,, e ) deg e i dlh vektor kolom erdimesi deg msuk di posisi kei DEFINISI Mtriks A Î M m (F) deg semu elemey sm deg ol, ij utuk semu i d j, diseut mtriks ol (zero mtrix), d diotsik deg O m Didit B Nugroho
10 B Mtriks d Opersi Mtriks CONTOH 6 dlh mtriks ol Mtriks, [ ], d [] DEFINISI Sutu mtriks tridigol (tridigol mtrix) dlh sutu mtriks persegi deg semu eleme digol dri mtriks gi persegi di ts digol utm d di wh digol utm dlh ol CONTOH 7 Mtriks 9 5 merupk mtriks tridigol se mtriks gi persegi persegiy yitu mempuyi elemeeleme digol yg semuy ol 6 9 d Pd Gmr dierik ilustrsi eerp jeis mtriks deg elemeeleme pd derh yg dirsir tidk semuy ol, sedgk elemeeleme pd derh yg tidk dirsir semuy sm deg ol () () (c) Gmr : () Mtriks segitig ts, () mtriks segitig wh, (c) mtriks digol DEFINISI Sutu mtriks A Î M (F) diseut mtriks domi digol (digolly domit mtrix) jik ii ³ ij utuk semu i,,, d å j, i¹ j å ii > ij j, i¹ j utuk sutu i Deg kt li, utuk setip ris pd mtriks domi digol, ili mutlk dri eleme digol leih esr tu sm deg jumlh iliili mutlk dri elemeeleme sis pd ris terseut, d jug terdpt ketidksm yg leih esr secr tegs utuk sutu ris Didit B Nugroho
11 B Mtriks d Opersi Mtriks 5 CONTOH 8 Mtriks B 6 merupk mtriks domi secr digol se ½ ½ ½5½ 5 ³ ½ ½+½ ½ ½6½+½7½, ½ ½ ½½ ³ ½ ½+½ ½ ½½+½½, ½ ½ ½6½ 6 ³ ½ ½+½ ½ ½½+½½ 5 d terdpt sutu ris, ris tu ris, ketksmy dlh ketksm yg leih esr secr tegs CONTOH 9 Mtriks 5 5 C 6 8 uklh mtriks domi secr digol se ½c ½ ½8½ 8 ½c ½+½c ½ ½6½+½½ 65 CONTOH Mtriks D 5 uklh mtriks domi secr digol se ditr ketksmketksm erikut tidk d yg leih esr secr tegs: ½d ½ ½ 5½ 5 ³ ½d ½+½d ½ ½6½+½9½ 5, ½d ½ ½ ½ ³ ½d ½+½d ½ ½½+½½, ½d ½ ½5½ 5 ³ ½d ½+½d ½ ½½+½½ 5 Kesm Du Mtriks DEFINISI Mtriks A [ ij ] sm deg mtriks B [ ij ] jik ukur dri A d B sm, d elemeeleme yg ersesui (erkorespodesi) jug sm, yitu utuk A, B Î M m (F) mk ij ij, i m d j CONTOH Agr A sm deg B 6 7, mk hruslh 6 d 7 Opersi Mtriks DEFINISI (Pejumlh mtriks) Mtriks A [ ij ] d B [ ij ] dpt dijumlhk jik keduy erukur sm Jumlh dri mtriks A d B, ditulis A + B, dlh mtriks yg diperoleh deg mejumlhk elemeeleme yg erkorespodesi dri A d B, yitu A + B [ ij ] + [ ij ] [ ij + ij ] Didit B Nugroho
12 6 B Mtriks d Opersi Mtriks DEFINISI (Pegurg mtriks) Mtriks A [ ij ] d B [ ij ] dpt dikurgk hy jik keduy erukur sm Pegurg A oleh B, yg ditulisk A B, didefiisik oleh A B [ ij ] [ ij ] [ ij ij ] DEFINISI (Perkli sklr deg mtriks) Dierik sutu mtriks A [ ij ] Î M m (F) d sklr k Î F Perkli sklr k deg A, ditulis ka, dlh mtriks yg diperoleh deg cr meglik semu eleme dri A deg sklr k, yitu ka k[ ij ] [k ij ] CONTOH () ,,, Opersiopersi mtriks memeuhi hukumhukum ritmtik seperti erikut (Dimil serg sklr s d t, d mtriksmtriks A, B, C, O yg erukur sm) () (A + B) + C A + (B + C); [Hukum sositif] () A + B B + A; [Hukum komuttif] () O + A A + O; [Hukum idetits] () A + ( A) O; [Hukum ivers] (5) (s + t)a sa + ta, (s t)a sa ta; [Hukum distriutif k] (6) t(a + B) ta + tb, t(a B) ta tb; [Hukum distriutif kiri] (7) s(ta) (st)a; (8) A A, A O, ( )A A; (9) ta O Þ t tu A O DEFINISI (Hsil kli mtriks) Mtriks A d B dpt diklik, dlm hl ii AB, hy jik yky kolom dri A sm deg yky ris dri B (A d B diktk dpt meyesuik diri/ coformle) Jik mtriks A [ ij ] erukur m d mtriks B [ jk ] erukur p, mk hsil kli mtriks A d B, ditulis AB, dlh mtriks C [c ik ] yg erukur m p deg eleme ke(i,k) didefiisik oleh c ik å ij jk i k + i k + + i j Secr simolis, utuk risris R, R,, R m pd mtriks A d kolomkolom C, C,, C m pd mtriks B, dpt ditulisk hsil kli A d B yitu R RC RC RC p A B R C C C p RC RC RC p R m RmC RmC RmC p k Didit B Nugroho
13 B Mtriks d Opersi Mtriks 7 CONTOH ¹ [ ] 6 8 [ ] [] CONTOH Bo igi megurgi ert dy mellui stu rec diet d ltih fisik Sesudh mecri keterg dri Tel, di memut jdwl ltih fisik seperti dlm Tel Berp klori yg k terkr deg melkuk ltih fisik setip hri jik di megikuti rec terseut? Tel Tel Klori yg terkr setip jm Jumlh jm per hri utuk setip ktivits Aktivits ltih Jl kki mil/ jm Bert dlm l Jdwl ltih Jl Lri Berseped Teis Sei,,,, Lri 5,5 mil/ jm Sels,,,, Berseped 5,5 mil/ jm 8 56 Ru,,5,, Teis secukupy 68 9 Kmis,,,5, Jumt,,5,, Peyelesi Iformsi megei Bo erd dlm kolom keempt dri Tel Iformsi ii diytk oleh sutu vektor kolom X Iformsi dlm Tel dpt diytk oleh sutu mtriks A erukur 5 Utuk mejw perty, dihitug AX,,,, 65, Sei,,,,,,5,,5,,,5, 9, 76, 56, 9, 98, 8,6 6, 8,6 Sels Ru Kmis Jumt CONTOH Sutu perush meghsilk tig produk deg perkir iy produksiy digi dlm tig ktegori (disjik dlm Tel ) Diut jug sutu perkir, dlm Tel, utuk jumlh dri setip produk yg k dihsilk utuk setip kurtl Tetuk iy totl utuk setip kurtl dri ketig ktegori Didit B Nugroho
14 8 B Mtriks d Opersi Mtriks Tel Tel Biy produksi per rg (dollr) Biy Jumlh yg dihsilk per kurtl Produk Musim Produk A B C Ps Gugur Digi Semi Bh meth,,,5 A 5 5 Teg kerj,,,5 B 6 Biy tmh,,,5 C Peyelesi Setip tel dpt diytk oleh mtriks seperti erikut,,,5 5 5 A,,,5 d B 6,,, Jik diut hsil kli AB, mk kolomkolom dri AB erturutturut meytk iy utuk musim ps, gugur, digi, semi Bh meth AB Teg kerj Biy tmh Perkli mtriks memeuhi eerp hukum ritmtik, yitu () (AB)C A(BC), jik A, B, C secr erurut erukur m, p, p q; () k(ab) (ka)b A(kB), A( B) ( A)B (AB) deg k dlh sklr; () (A + B)C AC + BC, jik A d B erukur m d C erukur p; () D(A + B) DA + DB, jik A d B erukur m d D erukur p m Di sii hy k diuktik sift yg pertm di ts (hukum sositif) Leih dhulu diklim hw (AB)C d A(BC) keduy mriks erukur m q Dimil mtriks A [ ij ], B [ jk ], d C [c kl ], sehigg k diperoleh p p (( AB ) C) il å( AB ) ik c æ ö p kl ç å åij jk ckl ç åå ij jk ckl k k è j ø k j Sejl deg itu, jug diperoleh (( AB ) C) il åå p j k Hsil jumlh gd kedu etuk terseut dlh sm Jumlh dri etuk p ååd jk j k ij d åå jk c kl p d jk k j meytk jumlh dri p eleme mtriks [d jk ] dlm ris d kolom secr erurut Akity C A BC (( AB ) ) il ( ( )) il utuk i m d l q Kre itu (AB)C A(BC) DEFINISI 5 (Pgkt mtriks) Dierik sutu mtriks A Î M (F) d ilg ult tk egtif k Didefiisik A k segi erikut A I d A k+ A k A utuk k ³ Didit B Nugroho
15 B Mtriks d Opersi Mtriks Didit B Nugroho 9 CONTOH ¹ Khusus utuk mtriks digol A [ ii ], < i <, pgkt k dri mtriks A didefiisik oleh [ ] k ii k A ) ( tu secr jels diytk deg ( ) ( ) ( ) k k k k k A Berikut ii hukumhukum yg erlku utuk mtriks erpgkt yg mempuyi sift AB BA () A m A A m+, (A m ) A m ; () (AB) A B ; () A m B B A m ; () (A + B) A + AB + B ; (5) (A + B) i i i B A i å ø ö ç ç è æ ; deg ) ( i i C i i ø ö ç ç è æ (6) (A + B)(A B) A B DEFINISI 6 (Trspos mtriks) Trspos dri mtriks A m [ ij ], diotsik A T, dlh mtriks yg diperoleh dri A deg cr meguh setip ris kei mejdi kolom kei tu seliky kolom kej mejdi ris kej Deg kt li A T [ ji ] tu ( ) ij ji T A yg erukur m T i i i i i i Gmr : Trspos dri mtriks m
16 B Mtriks d Opersi Mtriks CONTOH 6 5 Trspos dri mtriks C dlh T 6 C Opersi trspos mempuyi eerp sift segi erikut : T T () ( A ) A ; T T () ( ) T A ± B A ± B jik A d B erukur m ; T ka ka ; () ( ) T T T () ( ) T AB B A jik A erukur m d B erukur p; x dlh vektor kolom Berikut ii k diuktik hy utuk sift keempt Pertm diperiks hw (AB) T d B T A T mempuyi ukur yg sm p m Seli itu, elemeeleme yg erkorespodesi dri kedu mtriks dlh sm Utuk A [ ij ] d B [ ij ] mk jik X [ x x ] T T (5) X X [ x + x + x ] ( AB ) T ) ki ( ) ik AB å ij jk j T T ( B ) ( A ) å j kj ji T T B A k ( ) i DEFINISI 7 Sutu mtriks A diseut mtriks simetris (symmetric mtrix) jik A T A Deg kt li, A hruslh mtriks persegi (mislk ) d ji ij utuk semu i d j Kre itu A dlh sutu mtriks simetris yg umum 6 CONTOH 7 Mtriks D 8 dlh sutu mtriks simetris kre d d, d d 6; d d d 8 DEFINISI 8 (Mtriks simetris mirig) Sutu mtriks A Î M (F) diktk simetris mirig (skewsymetric) jik A T A Deg kt li, utuk mtriks simetris mirig A, mk A hruslh mtriks persegi (mislk ) d ji ij utuk semu i d j Kre elemeeleme digol utm tidk eruh oleh trsposisi, mk mtriks simetris mirig A hruslh ol pd digol utmy tu deg kt li ii utuk setip i Didit B Nugroho
17 B Mtriks d Opersi Mtriks CONTOH 8 Mtriks E dlh sutu mtriks simetris mirig 5 5 Perlu dictt hw utuk sutu mtriks persegi A, mk A A T dlh simetris T mirig kre ( A A ) T T A ( A T ) T A T A (A A T ), sedgk A + A T dlh T simetris kre ( A + A ) T A T + A A + A T Kre itu T T A ( A A ) + ( A + A ) Mudh diuktik jug hw jumlh dri du mtriks simetris mirig dlh jug simetris mirig d kudrt dri mtriks simetris mirig (simetris) dlh simetris se A ( A T A T ) T (( A)( A) ) T ( A ) T 5 Mtriks Eselo DEFINISI 5 (Mtriks eselo ris) Sutu mtriks A mempuyi etuk eselo ris (rowechelo form) jik mempuyi siftsift segi erikut: () ris ol (semu usury ol), jik d, terletk pd ris gi wh; () utuk sutu ris tk ol (usury tidk seluruhy ol), ilg pertm yg tk ol dlm ris terseut dlh, diseut utm (ledig ); () utuk semrg du ris tk ol yg erurut, utm dlm ris yg wh terletk di seelh k dri utm dlm ris ditsy Sutu mtriks eretuk eselo ris mempuyi lgkh tgg seperti diilustrsik pd Gmr, deg derh yg tidk dirsir semu usury ol Gmr : Mtriks eselo ris CONTOH 5 Dierik mtriksmtriks seperti erikut 5 A, B, C, D Mtriks A merupk mtriks eselo ris, tetpi B uk mtriks eselo ris kre terdpt ris ol (ris ) yg terletk di ts ris tk ol (ris ) Demiki jug mtriks C uk mtriks eselo ris kre utm pd ris terletk di seelh kiri utm pd ris D jug uk mtriks eselo ris kre ilg tk ol pertm pd ris uk tetpi Didit B Nugroho
18 B Mtriks d Opersi Mtriks DEFINISI 5 (Mtriks eselo ris tereduksi) Sutu mtriks mempuyi etuk eselo ris tereduksi (reduced rowechelo form) jik () Mtriks eretuk eselo ris; () setip kolom yg memut utm mempuyi elemeeleme ol utuk liy CONTOH 5 Mtriks d mempuyi etuk eselo ris tereduksi, sedgk mtriks d tidk eretuk eselo ris tereduksi Perlu dictt hw mtriks ol utuk semu ukur sellu dlm etuk eselo ris tereduksi 6 Fugsi Sklr Mtriks Fugsi sklr dri sutu mtriks merigks ergi krkteristik dri elemeeleme mtriks Sutu fugsi sklr yg petig dlh fugsi determi Secr forml, determi dri sutu mtriks persegi A, diotsik det(a), dlh jumlh semu hsil kli elemeter ertd dri A Diskusi yg leih medlm k dipeljri secr leih detil di du Seli determi, fugsi sklr yg li yitu trce Trce dri mtriks A [ ij ] didefiisik segi jumlh elemeeleme digol utm, yitu å ii i tr ( A) Dierik A d B dlh mtriks erukur deg h d k dlh sklr Fugsi trce mempuyi siftsift segi erikut: () tr(a) tr(a T ); () tr(ha + kb) htr(a) + ktr(b); () tr(ab) tr(ba); () tr(i ) Berikut ii hy k diuktik sift yg ketig Diperhtik hw AB å k ik kj d BA å k ik kj, mk tr(ab) åå ik ki i k åå k i ki ik tr(ba) Didit B Nugroho
19 B Mtriks d Opersi Mtriks Didit B Nugroho SOALSOAL UNTUK BAB Tulisk secr eksplisit mtriks A [ ij ] erukur utuk ij j i Tulisk secr eksplisit mtriks A [ ij ] erukur utuk ij ij Tetuk A + B d AB, jik dierik + c A, d c B dlh mtriksmtriks persegi deg msuky dlh ilg rel Tetuk x d y sehigg y x x 5 Tetuk mtriks A d B erukur sehigg A 5B d A + 6B 6 6 Tetuk hsil kli 7 Tetuk AB d BA jik dierik mtriks A d c c c B 8 Dierik mtriks A d B Hituglh: () A () A + B (c) A B (d) (A) T (B) T (e) AB (f) BA (g) A T B T (h) (AB) T 9 Jik 6 5 A d B, mk tetuk mtriks AA T, A T A, BB T, B T B
20 B Mtriks d Opersi Mtriks Dierik perkir hrg (dlm dollr) dri empt jeis telur dlm periode empt miggu yg disjik pd Tel 5 Terdpt tig toko yg memes keempt jeis telur terseut deg yky pes disjik dlm Tel 6 Tetuk iy totl pes dri setip toko per miggu Tel 5 Tel 6 A B C D Toko Toko Toko Miggu,6,7,8,9 A Miggu,55,65,75,85 B Miggu,6,75,85,95 C 8 6 Miggu,65,7,85,95 D Selesik persm x x Buktik pkh er, utuk setip A, B Î M (F) erlku (A + B)(A B) A B Buktik pkh er, jik A, B Î M (F) d AB O mk BA O Utuk ilg rel dimiliki rumus (x + ) x + x + d (x + y) x + xy + y Apkh rumus erlku utuk mtriks (deg digti oleh mtriks idetits erukur d x sert y digti mtriks erukur )? Kep? 5 Jik A [ ij ], tujukk hw ( A ) ij åå k h ik 6 Buktik deg megguk iduksi mtemtik, hw 7 Buktik deg iduksi hw I I 8 Dierik A Tetuk A 6 kh 9 Dierik A Î M (R) yg didefiisik deg cos si A si cos Tujukk deg iduksi hw utuk setip Î N erlku A cos si si cos hj Didit B Nugroho
21 B Mtriks d Opersi Mtriks Didit B Nugroho 5 Jik A, tujukk hw A A I Dierik A Î M (R) yg didefiisik deg A Buktik hw + ) ( A Buktik deg megguk rti dri iduksi hw utuk mtriks erukur erlku + 6 ) )( ( ) ( ) ( Dierik d c A Tujukk hw A ( + d)a + (d c)i O Tetuk semu mtriks A Î M (R) sehigg () A O () A I 5 Tetuk sutu peyelesi A Î M (R) utuk A A 6 6 Dierik A Î M (F) d k Î Z, k > Buktik hw A k O jik hy jik A O 7 Dierik mtriks A, B, C, D yg didefiisik oleh A, 5 B, C, D Mkh dri opersiopersi mtriks di wh ii yg terdefiisi? Hitug mtriksmtriks yg terdefiisi terseut A + B, A + C, AB, BA, CD, DC, D
22 B Mtriks d Opersi Mtriks Didit B Nugroho 6 8 Tujukk hw tidk d mtriks A, B, C, D Î M (R) sehigg AC + DB I d CA + BD O 9 Utuk mtriks di wh ii, hituglh A d A Seljuty, erpkh A? A Dierik mtriks A Tujukk hw jik mtriks B erukur sehigg AB I, mk + B utuk ili d yg sesui Guk hukum sositif utuk meujukk hw (BA) B B Mkh ditr mtriksmtriks erikut yg mempuyi etuk eselo ris tereduksi? () () 5 (c) (d) (e) (f) (g) Dierik mtriks persegi A, B Î M 7 (R) sehigg tr(a ) tr(b ), d (A B) I 7, tetuk tr(ba) Dierik mtriks d c A Î M (R) Tetuk syrt perlu d cukup utuk,, c, d d gr tr(a ) (tr(a))
23 B Mtriks d Opersi Mtriks 7 Dierik mtriks persegi A Î M (R) sehigg tr(a ), d (A I ) I Tetuk tr(a) ij i j 5 Dierik A Î M (F) Buktik hw tr(aa T ) åå 6 Dierik X Î M (R) Buktik hw jik XX T O mk X O 7 Dierik m,, p Î Z + d A Î M m (R), B Î M p (R), C Î M p m (R) Buktik hw jik (BA) T A (CA) T A mk BA CA 8 Dierik A d B dlh mtriks persegi erukur sm, deg A simetris d B simetris mirig Buktik hw A BA dlh simetris mirig 9 Jik A dlh mtriks simetris erukur d B erukur m, uktik hw B T AB dlh mtriks simetris erukur m m Dierik mtriks A, B, C Î M (F) Buktik pkh tr(abc) tr(bac) Didit B Nugroho
24
25 INDEKS D digol utm, M mtriks, gi, digol, domi digol, eselo ris, eselo ris tereduksi, idetits, ol, persegi, segitig ts, segitig wh, simetris, simetris mirig, tridigol, T trce, trspos, 9 U ukur mtriks, V vektor, ris, kolom,
Aljabar Linear Elementer
Aljr Lier Elemeter MA SKS Silus : B I Mtriks d Opersiy B II Determi Mtriks B III Sistem Persm Lier B IV Vektor di Bidg d di Rug B V Rug Vektor B VI Rug Hsil Kli Dlm B VII Trsformsi Lier B VIII Rug Eige
MA SKS Silabus :
Aljr Lier Elemeter A SKS Silus : B I triks d Opersiy B II Determi triks B III Sistem Persm Lier B IV Vektor di Bidg d di Rug B V Rug Vektor B VI Rug Hsil Kli Dlm B VII Trsformsi Lier B VIII Rug Eige 7//7
1. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS
Diktt Aljr Lier Sistem Persm Lier d Mtriks. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS.. PENGANTAR DEFINISI. : PERSAMAAN LINEAR Sutu persm lier deg peuh x, x 2,, x dpt diytk dlm etuk : x + 2 x 2 + + x = (.) dim,
BAB I SISTEM PERSAMAAN LINEAR
BAB I SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persm ditemuk hmpir di semu cg ilmu pegethu Dlm idg ilmu ukur sistem persm diperluk utuk mecri titik potog eerp gris yg seidg, di idg ekoomi tu model regresi sttistik
Pertemuan : 3 Materi : Sistem Persamaan Linear : - Teorema Eksistensi - Reduksi ke Bentuk Echelon
Pertemu : 3 Mteri : Sistem Persm Lier : - Teorem Eksistesi - Reduksi ke Betuk Echelo Stdr Kompetesi : Setelh megikuti perkulih ii mhsisw dihrpk dpt. memhmi kemli pegerti mtriks d trsformsi lier. memhmi
METODE NUMERIK. Sistem Persamaan Linier (SPL) (1) Pertemuan ke 5. Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
METODE NUMERIK Pertemu ke 5 Sistem Persm Liier (SPL) () Rici Kemg Hpsri, S.Si, M.Kom www.rkhcdemy.com/wp Represetsi SPL Betuk umum persm lier deg peuh Dim :,, : koefisie dri persm, d,,..., merupk peuh.
Bab 3 SISTEM PERSAMAAN LINIER
Alis Numerik Bh Mtrikulsi B SISTEM PERSAMAAN LINIER Pedhulu Pd kulih ii k dipeljri eerp metode utuk meelesik sistem persm liier Peelesi sistem persm deg jumlh vriel g tidk dikethui serig ditemui didlm
Catatan Kuliah 1 Matematika Ekonomi Memahami dan Menganalisa Aljabar Matriks
Ctt Kulih Mtemtik Ekoomi Memhmi d Meglis ljbr Mtriks. Mtriks d Vektor Mtriks Mtriks dlh kumpul bilg, prmeter tu vribel tersusu dlm bris d kolom sehigg terbetuk segi empt. Susu ii bisy diletkk dlm td kurug
DETERMINAN MATRIKS dan
DETERMINN MTRIKS d TRNSFORMSI ELEMENTER gusti Prdjigsih, M.Si. Jurus Mtemtik FMIP UNEJ tiprdj.mth@gmil.com DEFINISI Utuk setip mtriks bujursgkr berordo x dpt dikitk deg tuggl sutu bilg rel yg dimk determi.
Untuk matriks diperoleh bahwa ú
B DETERMINAN Ekspsi Lple Bris Pertm Determi (determit) dri sutu mtriks persegi ts field F dlh sutu eleme dri field F Terleih dhulu k ditujukk gim meghitug determi dri mtriks erukur d DEFINISI Dierik mtriks
III PEMBAHASAN. peubah. Sistem persamaan (6) dapat diringkas menjadi Bentuk Umum dari Magic Square, Bilangan Magic, dan Matriks SPL
III PEMBAHASAN 3.1. Betuk Umum dri Mgic Squre, Bilg Mgic, d Mtriks SPL Mislk eleme dri bris ke-i d kolom ke-j dlh i,j mk mgic squrey secr umum dlh 1,1 1, 1,,1,,,1,, Gmbr 1. Betuk umum mgic squre deg: i,j
Matematika Dasar INTEGRAL TENTU . 2. Partisi yang terbentuk merupakan segiempat dengan ukuran x dan f ( x k ) sebagai
Mtemtik Dsr INTEGRAL TENTU Pegerti tu kosep itegrl tetu pertm kli dikelk oleh Newto d Leiiz. Nmu pegerti secr leih moder dikelk oleh Riem. Mteri pemhs terdhulu yki tetg itegrl tk tetu d otsi sigm k kit
SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Nurdinintya Athari (NDT)
SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nurdiity Athri (NDT) Sistem Persm Lier (SPL) Sub Pokok Bhs Pedhulu Solusi SPL deg OBE Solusi SPL deg Ivers mtriks d Atur Crmmer SPL Homoge Beberp Apliksi Sistem Persm Lier Rgki
Persamaan Linier Simultan
Persm Liier Simult Elimisi Guss Guss Jord Elimisi_GussJord Persm Liier Simult Persm liier simult dlh sutu etuk persm-persm yg ser ersm-sm meyjik yk vriel es. etuk persm liier simult deg m persm d vriel
dan mempunyai vektor normal n =(a b c). Misal P(x,y,z) suatu titik berada pada bidang. 1. Persamaan bidangnya adalah n P P
Rug Vektor Tuju:. Megigt kembli persm gris d bidg di rug.. Memhmi ksiom rug vektor, kombisi liier d rug bgi.. Megigt kembli pegerti bebs d bergtug liier, bsis d dimesi. Arti geometris dri determi Jik A
BAB III NORM MATRIKS PADA HIMPUNAN DARI MATRIKS-MATRIKS TOEPLITZ. Definisi 3.1 Matriks Toeplitz adalah suatu matriks., dengan nilai,, dan indeks yang
BAB III NORM MATRIKS PADA HIMPUNAN DARI MATRIKS-MATRIKS TOEPLITZ 3. Mtriks Toeplitz Defiisi 3. Mtriks Toeplitz dlh sutu mtriks [ t ; k, j = 0,,..., ] : T =, k j, deg ili,, d ideks yg diguk setip etriy
BAB V INTEGRAL DARBOUX
Itegrl Droux BAB V INTEGRAL DARBOUX Pd thu 1875, mtemtikw I.G. Droux secr kostruktif memodifiksi defiisi itegrl Riem deg terleih dhulu medefiisik jumlh Droux ts (upper Droux sum) d jumlh Droux wh (lower
BAB VI SIFAT-SIFAT LANJUTAN INTEGRAL RIEMANN
BAB VI SIFAT-SIFAT LANJUTAN INTEGAL IEMANN Sift-sift Ljut Itegrl iem Teorem 6.1 Jik f [, ] d f [, ] deg < < mk f [, ]. Leih ljut f x dx f x dx + () f x dx f [, ] d f [, ], mislk () f x dx A 1 d () f x
mengambil semua titik sample berupa titik ujung, yakni jumlah Riemann merupakan hampiran luas dari daerah dibawah kurva y = f (x) x i b x
B 4. Peerp Itegrl BAB 4. PENGGUNAAN INTEGRAL 4.. Lus re dtr Perhtik derh di wh kurv y = f () di tr du gris tegk = d = di ts sumu, deg f fugsi kotiu. Seperti pd s medefiisik itegrl tertetu, kit gi itervl
Pendahuluan Aljabar Vektor Matrik
Pedhulu Aljr Vektor trik Defiisi: trik A erukur x ilh sutu susu gk dl ersegi et ukur x, segi erikut: = A tu A = ( ij ) Utuk eytk elee trik A yg ke (i,j), yitu ij, diguk otsi (A) ij. Ii errti ij = (A) ij.
Nuryanto,ST.,MT. Integral merupakan operasi invers dari turunan. Jika turunan dari F(x) adalah F (x) = f(x), maka F(x) = f(x) dx.
Nuryto,ST.,MT d c. INTEGRAL TAK TENTU KONSEP DASAR INTGRAL f. ALJABAR INTEGRAL f. TRIGONO CONTOH SOAL SOAL LATIHAN UJI KOMPETENSI Itegrl merupk opersi ivers dri turu. Jik turu dri F dlh F = f, mk F = f
RENCANA PELAKSANAAN PERKULIAHAN
Lesso Study FMIPA UNY RENCANA PELAKSANAAN PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINEAR II SEMESTER : III TOPIK : NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN SUB TOPIK : NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN WAKTU : X 5 A. Stdr Kompetesi:
BAB IV INTEGRAL RIEMANN
Itegrl Rie BAB IV INTEGRAL RIEMANN Utuk epeljri leih ljut tetg kosep itegrl Rie, k leih ik jik pec ehi eerp hl erikut. A. Prtisi Defiisi 4.1 Dierik itervl tertutup [, ], hipu terurut d erhigg P = { = x
Bentuk umum persamaan aljabar linear serentak :
BAB III Pers Aljr Lier Seretk Betuk umum persm ljr lier seretk : x + x + + x = x + x + + x = x + x + + x = dim dlh koefisie-koefisie kost t, dlh kosttkostt d dlh yky persm Peyelesi persm lier seretk dpt
BAB III SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES. 3.1 Integral Riemann-Stieltjes dari Fungsi Bernilai Real
BAB III SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES 3.1 Itegrl Riem-Stieltjes dri Fugsi Berili Rel Pd seelumy telh dihs megei eerp kosep dsr, dim kosep-kosep ii merupk slh stu teori pedukug yg tiy k erper segi
1. Bilangan Berpangkat Bulat Positif
N : Zui Ek Sri Kels : NPM : 800 BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR A. Pgkt Bilg Bult. Bilg Berpgkt Bult Positif Dl kehidup sehri-hri kit serig eeui perkli ilg-ilg deg fktor-fktor yg s. Mislk kit teui
Copyright Provide Free Tests and High Quality. x < a maka a < x < a - x > a maka x < a atau x > a
Copyright 9 www.usmit.com Provide Free Tests d High Qulity TEORI RINGKAS PERTIDAKSAMAAN Sift-sift - > c > c utuk c > - > c < c utuk c < - > + c > + c utuk c R - > mk / > - < mk / < - Jik > d > c mk > c
Dia yang menjadikan matahari dan bulan bercahaya, serta mengaturnya pada beberapa tempat, supaya kamu mengetahui bilangan tahun dan perhitunganya
Pemeljr M t e m t i k... Di g mejdik mthri d ul erch, sert megtur pd eerp tempt, sup kmu megethui ilg thu d perhitug (QS Yuus:5 ) Pedhulu us Sift : - us derh rt dlh ilg riil tk egtif - persegipjg=pjg ler
Penyelesaian Persamaan Linier Simultan
Peyelesi Persm Liier Simult Persm Liier Simult Persm liier simult dlh sutu betuk persm-persm yg ser bersm-sm meyjik byk vribel bebs Betuk persm liier simult deg m persm d vribel bebs ij utuk i= s/d m d
Bab 3 SISTEM PERSAMAAN LINEAR
B SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sejuh ii, hy diperlkuk sistem persm lier yg terdiri dri persm yg yky sm deg vriel, d hy mempuyi mtriks koefisie tk sigulr. Tepty, ii dlh sistem yg sellu mempuyi sutu peyelesi
1. bentuk eksplisit suku ke-n 2. ditulis barisannya sejumlah berhingga suku awalnya. 3. bentuk rekursi ...
Bris d Deret Defiisi Bris bilg didefiisik sebgi fugsi deg derh sl merupk bilg sli. Notsi: f: N R f( ) = Fugsi tersebut dikel sebgi bris bilg Rel { } deg dlh suku ke-. Betuk peulis dri bris :. betuk eksplisit
Bila kita mempunyai suatu sistem persamaan linier 2x + 3y + 3z = 0 x + y + 3z = 0 x + 2y z = 0
LJBR MTRIKS Bil kit mempui sutu sistem persm liier + + z = + + z = + z = Mk koefisie tersebut di ts disebut MTRIKS, d secr umum dpt ditulisk sbb : Jjr bilg tersebut di ts disebut MTRIKS, d secr umum dpt
Trihastuti Agustinah
TE 967 Tekik Numerik Sistem Lier Trihstuti gustih Big Stui Tekik Sistem Pegtur Jurus Tekik Elektro - FTI Istitut Tekologi Sepuluh Nopember O U T L I N E OBJEKTIF CONTOH SIMPULN 5 LTIHN OBJEKTIF Teori Cotoh
METODE NUMERIK SISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINIER (SPL) SIMULTAN.
METODE NUMERIK SISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINIER (SPL) SIMULTAN http://mul.lecture.u.c.id/lecture/metode-umerik/ Sistem Persm Liier Misl terdpt SPL deg uh vriel es Mtriks: m m m m Peyelesi Sistem Persm Liier
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hedr Guw Semester II, 2016/2017 24 Februri 2017 9.6 Deret Pgkt Kulih yg Llu Meetuk selg kekoverge deret pgkt 9.7 Opersi pd Deret Pgkt Melkuk opersi pd deret pgkt yg dikethui jumlhy
Soal-soal dan Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN - SNMPTN 2008
Sol-sol d Pembhs Mtemtik Dsr SBMPTN - SNMPTN 8 y. Dlm betuk pgkt positif, ( y). A. ( + y ) ( y ) C. ( y ) E. - ( y ) B. - ( + y ) ( y ) D. ( y ) y ( y) y ( y) y y ( y) y (y). (y) y - ( y ) ( y + ) - (-y+
Rangkuman Materi dan Soal-soal
Rgkum Mteri d Sol-sol Dirgkum Oleh: Ag Wiowo, SPd mtikzoe@gmilcom / wwwmtikzoewordpresscom Rigks Mteri d Cotoh Sol Pegerti Limit k d it kiri * f L, rtiy ilm medekti dri k, mk ili f ( medekti L * f L, rtiy
Rangkuman Materi dan Soal-soal
Rgkum Mteri d Sol-sol Dirgkum Oleh: Ag Wiowo, SPd mtikzoe@gmilcom / wwwmtikzoewordpresscom Rigks Mteri d Cotoh Sol Pegerti Limit k d it kiri * f L, rtiy ilm medekti dri k, mk ili f ( medekti L * f L, rtiy
SOAL UJIAN AKHIR MATEMATIKA INFORMATIKA 4 (A & B) Dosen: Dr. Asep Juarna Jumlah Soal: 3 Uraian Tanggal Ujian: 02/03/12 Waktu Ujian: 2 jam
SOAL UJIAN AKHIR MATEMATIKA INFORMATIKA 4 A & B Dose: Dr. Asep Jur Jumlh Sol: Uri Tggl Uji: // Wktu Uji: jm jik. Solusi t dlh: t + log, yg dpt dibuktik sbb: t jik t t + [t/ + ] + t/ + t/4 + t/8 + 4 t/
Pertemuan 7 Persamaan Linier
Perteu 7 Pers Liier Ojektif:. Prktik ehi teori dsr Pers Liier. Prktik dpt eyelesik Pers Liier. Prktik dpt eut progr erkisr tetg Pers Liier Pers Liier P7. Teori Pers lier dlh seuh pers ljr, yg tip sukuy
Diijinkan memperbanyak demi kepentingan pendidikan dengan tetap mencantumkan alamat situs
Diijik memperyk demi kepetig pedidik deg tetp mectumk lmt situs LATIH UN IPA. 00-00 KATA PENGANTAR Alhmdulillh peulis pjtk kehdirt Allh SWT., Ats limph rhmt, erkh, d hidyh-ny sehigg peulis dpt meyelesik
LATIHAN UN MATEMATIKA IPA
LATIHAN UN MATEMATIKA IPA LATIH UN IPA. 00-00 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI.... Pgkt Rsiol, Betuk Akr d Logritm.... Persm Kudrt...0. Sistem Persm Lier... 4. Trigoometri I...8 5. Trigoometri II...7
Diijinkan memperbanyak demi kepentingan pendidikan dengan tetap mencantumkan alamat situs
Diijik memperyk demi kepetig pedidik deg tetp metumk lmt situs LATIH UN IPS. 008 00 KATA PENGANTAR Alhmdulillh peulis pjtk kehdirt Allh SWT., Ats limph rhmt, erkh, d hidyh-ny sehigg peulis dpt meyelesik
BAB 2 SISTEM BILANGAN DAN KESALAHAN
Metode Numerik Segi Algoritm Komputsi 5 BAB SISTEM BILANGAN DAN KESALAHAN.. Peyji Bilg Bult Bilg ult yg serig diguk dlh ilg ult dlm sistem ilg desiml yg didefiisik : N ( )...... Cotoh : 67. 6. 7.. Bilg
METODE NUMERIK PERTEMUAN : 5 & 6 M O H A M A D S I D I Q 3 S K S - T E K N I K I N F O R M A T I K A - S1
METODE NUMERIK S K S - T E K N I K I N F O R M A T I K A - S M O H A M A D S I D I Q PERTEMUAN : 5 & 6 PENYELESAIAN PERSAMAAN LINIER SIMULTAN S K S - T E K N I K I N F O R M A T I K A - S M O H A M A D
Hendra Gunawan. 21 Februari 2014
MA0 MATEMATIKA A Hedr Guw Semester II, 03/04 Februri 04 Kulih Sebelumy 9.4 Deret Positif: Uji Liy Memeriks kekoverge deret positif deg ujiperbdigd ujirsio 9.5 Deret Gti Td: Kekoverge Mutlk d Kekoverge
Modul II Limit Limit Fungsi
Modul II Limit Kosep it merupk sutu kosep dsr yg petig utuk memhmi klkulus dieresil d itegrl Oleh kre itu seelum kit mempeljri leih ljut tetg klkulus diresil d itegrl, mk kit terleih dhulu hrus mempeljri
DERET PANGKAT TAK HINGGA
DERET PANGKAT TAK HINGGA TEOREMA-TEOREMA PENTING TERKAIT DERET PANGKAT TEOREMA-TEOREMA PENTING. Itegrsi d diferesisi deret pgkt dpt dilkuk per suku, yitu: ( ) d p q d d ( ) q p d d ( ) ( ) d, d p, q Selg
Sistem Bilangan dan Kesalahan. Sistim Bilangan Metode Numerik 1
Sistem Bilg d Keslh Sistim Bilg Metode Numerik Peyji Bilg Bult Bilg ult yg serig diguk dlh ilg ult dlm sistem ilg desiml yg didefiisik s: N ( )...... Sistim Bilg Metode Numerik Cotoh : 673 * 3 6* 7* 3*
Sistem Bilangan dan Kesalahan. Metode Numerik
Sistem Bilg d Keslh Peyji Bilg Bult Bilg ult yg serig diguk dlh ilg ult dlm sistem ilg desiml yg didefiisik s: N ( )...... Cotoh : 673 * 3 6* 7* 3* Bilg ult deg ilg dsr c didefiisik segi : ( )... c N c
TEOREMA DERET PANGKAT
TEOEMA DEET PANGKAT Kosep Dsr Deret pgkt erupk sutu etuk deret tk higg 3 + ( + + 3( +... ( disusik,, d koefisie i erupk ilg rel. Julh prsil utuk suku pert etuk di ts dlh s yg dpt ditulisk segi s ( + (
Modul 8. (Pertemuan 12 s/d 16) DERET FOURIER
Modul 8. (Pertemu s/d 6) DERET FOURIER 8. FUNGSI PERIODIK DAN FUNGSI KONTINU TERPOTONG Defiisi Fugsi f diseut fugsi periodik il terdpt p > sedemiki sehigg utuk setip erlku f ( p) f ( ). Nili p > terkecil
EKSPONEN/PANGKAT, BENTUK AKAR, DAN LOGARITMA. Bilangan a (a 0) disebut basis atau bilangan pokok, sedangkan n disebut pangkat atau eksponen.
EKSPONEN/PANGKAT, BENTUK AKAR, DAN LOGARITMA theresivei.wordpress.o A. BENTUK PANGKAT BULAT. Pgkt Bult Positif Igt: 5 5 = (-) = -() = Defiisi Bilg erpgkt ult positif : Mislk ilg ult positif d ilg Rel,
Bab 6 TRANSFORMASI LINEAR
B 6 RANSFORMASI LINEAR 6 Pegtr Pd k idg tetik serigkli diigik utuk eghuugk ggot dri sutu hipu deg ggot pd hipu li d deg deiki kosep sutu fugsi f : S dietuk Segi cotoh dl klkulus vriel tuggl S d is dlh
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN METODE JACOBI. Prasetyo Budi Darmono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN METODE JACOBI Prsetyo Budi Drmoo Jurus Pedidik Mtemtik FKIP Uiversits Muhmmdiyh Purworejo Abstrk Persm lier dlm vribel 1, 2, 3,.. sebgi sebuh persm yg dpt diytk dlm
CATATAN KULIAH Pertemuan III: Model-model linier dan Aljabar Matriks (1)
CTTN KULIH Pertemu III: Moel-moel liier ljr Mtriks () Tuju mempeljri ljr Mtriks : Memerik sutu r peulis sistem persm yg sigkt wlupu persmy lus sekli Memerik sutu r peguji sutu pemeh eg peekt etermi Meptk
bila nilai parameter sesungguhnya adalah. Jadi, K( ) P( SU jatuh ke dalam WP bila nilai parameter sama dengan )
Kus Uji d Lem Neym-Perso Kebik sutu uji serig diukur oleh d. Di dlm prktek, bisy ditetpk, d kibty wilyh peolk (WP) mejdi tertetu pul. Kierj sutu uji jug serig diukur oleh p yg disebut kus uji (power of
Rencana Pembelajaran
http://dgmursit.stff.telkomuiversity.c.id/ Lerig Outcome Rec Pemeljr Setelh megikuti proses pemeljr ii, dihrpk mhsisw dpt ) Meetuk ti turu dri seuh fugsi ) Meyelesik itegrl tetu deg itegrsi ke-x d itegrsi
GEOMETRI EUCLID EG(2, p n ) UNTUK MEMBENTUK RANCANGAN BLOK TIDAK LENGKAP SEIMBANG
GEOMETRI EUCLID EG(, p ) UNTUK MEMBENTUK RANCANGAN BLOK TIDAK LENGKAP SEIMBANG Bmg Irwto d Yui Hidyti Jurus Mtemtik FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedrto, S.H, Semrg 5075 v is rrgemet of v distit ojets ito
PENGANTAR ANALISIS REAL. Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Pengantar Analisi Real
Resume PENGANTAR ANALISIS REAL Utuk Memeuhi Tugs Mt Kulih Pegtr Alisi Rel Disusu Oleh: M. ADIB JAUHARI D. P (0860009) MUHTAR SAFI I (086003) BOWO KRISTANTO (086004) ANA MARDIATUS S (086005) OKTA ARFIYANTA
BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR
BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR. Sift Opersi Bilg Bult Berpgkt Defiisi Pgkt Bult Positif Jik dlh ilg rel (yt) d dlh ilg sli (ilg ult positif), k... seyk fktor deg = pgkt tu ekspoe = ilg pokok/dsr/sis
MATRIKS. Create by Luke
Defiisi Mtris MTRIS Crete y Lue Seuh mtri dlh sergi eleme dlm etu persegi pg Eleme e-(i,) i dri mtris erd diris e-i d olom e- dri rgi terseut Order (uur) dri seuh mtri dit seesr (m x ) i mtris terseut
DEFINISI INTEGRAL RIEMANN MELALUI PENDEKATAN BARISAN FUNGSI TANGGA
DEFINISI INTEGRAL RIEMANN MELALUI PENDEKATAN BARISAN FUNGSI TANGGA Muslih 1), Sutrim 2) d Supriydi Wiowo 3) 1,2,3) Jurus Mtemtik FMIPA UNS, muslih_mus@yhoo.om, zutrim@yhoo.om, supriydi_w@yhoo.o.id Astrk
TE Dasar Sistem Pengaturan. Kriteria Kestabilan Routh
TE946 Dr Sitem Pegtur Kriteri Ketil Routh Ir. Jo Prmudijto, M.Eg. Juru Tekik Elektro FTI ITS Telp. 5947 Fx.597 Emil: jo@ee.it.c.id Dr Sitem Pegtur - 7 Ojektif: Koep Ketil Ketil Routh Proedur Ketil Routh
BAB III LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
BAB III LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN 3. Pedhulu Seelu hs liit fugsi di sutu titik terleih dhulu kit k egti perilku sutu fugsi f il peuh edekti sutu ilg ril tertetu. Misl terdpt sutu fugsi f() = + 4. Utuk
Analisa Kestabilan Pendahuluan Konsep Umum Kestabilan
Ali Ketil 4 Ali Ketil.. Pedhulu Hl yg mt petig dlm dei item kotrol dlh mlh tilit item. Buk hl yg rhi lgi hw pokok tuju terpetig dlm li d dei kotrol dlh meiptk utu item yg til. Sutu item diktk til pil teript
Barisan dan Deret Tak Hingga
Modul Bris d Deret Tk Higg Dr. Spti Whyuigsih, M.Si. M PENDAHULUAN odul ii meyjik kji tetg Bris d Deret Tk Higg. Kji tetg bris d deret memegg per sgt petig kre sebgi dsr utuk pembhs Itegrl Tetu. Bris d
FUNGSI KARAKTERISTIK. penelitian ini akan ditentukan fungsi karakteristik dari distribusi four-parameter
IV. FUNGSI KARAKTERISTIK Pd bgi seljuty k dijbrk megei ugsi krkteristik. Pd peeliti ii k ditetuk ugsi krkteristik dri distribusi our-prmeter geerlized t deg megguk deiisi d kemudi k membuktik ugsi krkteristik
Sifat-sifat Super Matriks dan Super Ruang Vektor
Sift-sift Super Mtriks d Super Rug Vektor Cturiyti Jurus Pedidik Mtetik FMIPA UNY wcturiyti@yhoo.co Abstrk Sutu triks yg elee-eleey erupk bilg disebut deg triks sederh tu lebih dikel deg triks. Sedgk supertriks
Bentuk Kanonik Persamaan Ruang Keadaan. Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Betuk Koik Persm Rug Ked Istitut Tekologi Sepuluh Nopember Pegtr Mteri Betuk Koik Observble Betuk Koik Jord Cotoh Sol Rigks Ltih Asesme Pegtr Mteri Cotoh Sol Ltih Rigks Pd bgi ii k dibhs megei Persm Ked
Kalkulus 2. Deret Pangkat dan Uji Konvergensi. Department of Chemical Engineering Semarang State University. Dhoni Hartanto S.T., M.T., M.Sc.
Klkulus Deret Pgkt d Uji Kovergesi Dhoi Hrtto S.T., M.T., M.S. Deprtmet o Chemil Egieerig Semrg Stte Uiversity Eperimetl Deret Pgkt Urut d deret sequees d series). Urut gk merupk rgki gk tk terbts jumlh
III PEMBAHASAN. x x. 3.1 Analisis Metode Perhatikan persamaan integral Volterra berikut. x. atau (11)
III PEMBAHASAN 3 Alisis Metode Perhtik persm itegrl Volterr berikut y ( f( λ Ktyt ( ( (8 deg y( merupk fugsi yg k ditetuk sutu kostt f( fugsi sembrg yg dikethui d terdefiisi pd R d K(ty(t sutu fugsi yg
BAB 2 LANDASAN TEORI. adalah
BB LNDSN EORI. rsose Ivers d Determi Mtriks Defiisi.. il terdt sutu mtriks [ ij ] erordo m mk trsose dri mtriks dlh erordo m g dihsilk deg memertukrk ris d kolom mtriks ; itu kolom ertm dri dlh ris ertm
htt://meetied.wordress.com Mtemtik X Semester SMAN BoeBoe Jik sesutu tmk sulit gi kti, jg meggg org li tidk mmu melkuk. Selik, jik sesutu dt dilkuk oleh org li, kikh hw kit jug mmu melkuk. (Mrcus Aurelius
Pada Bab 12 kita mengasumsikan bahwa f kontinu pada [a, b] dan mendefinisikan f(x) dx sebagai supremum dari himpunan semua jumlah luas daerah
![Pada Bab 12 kita mengasumsikan bahwa f kontinu pada [a, b] dan mendefinisikan f(x) dx sebagai supremum dari himpunan semua jumlah luas daerah](/thumbs/59/43807369.jpg "Pada Bab 12 kita mengasumsikan bahwa f kontinu pada [a, b] dan mendefinisikan f(x) dx sebagai supremum dari himpunan semua jumlah luas daerah")
13. INTEGRAL RIEMANN 13.1 Jumlh Riem Ats d Jumlh Riem Bwh Pd Bb 12 kit megsumsik bhw f kotiu pd [, b] d medefiisik itegrl b f(x) dx sebgi supremum dri himpu semu jumlh lus derh persegi-pjg kecil di bwh
Catatan Kecil Untuk MMC
Ctt Keil Utuk MMC Judul : MMC (Metode Meghitug Cept), Tekik ept d uik dlm megerjk sol mtemtik utuk tigkt SMA. Peulis : It Puspit. Peerit : PT NIR JAYA Bdug. Thu :. Tel : 8 + 5 hlm. Berikut dlh tt keil
Pendahuluan Pengantar Metode Simpleks. Fitriani Agustina, Math, UPI
Pedhulu Pegtr Metode Sipleks Fitrii Agusti, Mth, METODE SIMPLEKS (PRIMAL) Mslh Progr Lier Mslh Progr Lier dl Betuk Mtriks Ketetu dl Betuk Stdr Mslh PL Betuk Stdr Mslh Progr Lier Betuk Stdr Pets Lier Betuk
Hendra Gunawan. 19 Februari 2014
MA0 MATEMATIKA A Hedr Guw Semester II, 03/0 9 Februri 0 9. Deret Tk Terhigg Kulih yg Llu Memeriks kekoverge sutu deret d, bil mugki, meghitug jumlhy 9.3 Deret Positif: Uji Itegrl Memeriks kk kekoverge
MATA KULIAH : MATEMATIKA II POKOK BAHASAN :
MT KULIH : MTEMTIK II POKOK HSN :. INTEGRL TK TENTU. INTEGRL TERTENTU SEGI LIMIT JUMLH. SIFT-SIFT INTEGRL TERTENTU. TEOREM-TEOREM DSR DLM KLKULUS. EERP TERPN DLM INTEGRL TERTENTU. INTEGRL NUMERIK UKU PEGNGN
MetodeLelaranUntukMenyelesaikanSPL
MetodeLelrUtukMeyelesikSPL Metode elimisi Guss melitk yk glt pemult. Glt pemult yg terjdi pd elimisi Guss dpt meyek solusiyg diperoleh juh drisolusiseery. Ggs metod lelr pd pecri kr persm irljr dptjugditerpkutukmeyelesikspl.
DERET PANGKAT TAK HINGGA
DERET PANGKAT TAK HINGGA DERET PANGKAT Defiisi deret pgkt : C ( ) c c ( ) c ( ) c ( )... o dim dlh vribel c d dlh kostt Perhtik bhw dlm otsi deret pgkt telh segj memilih ideks ol utuk meytk suku pertm
BAB 12 METODE SIMPLEX
METODE ANAISIS PERENCANAAN Mteri 9 : TP 3 SKS Oleh : Ke Mrti Ksikoe BAB METODE SIMPE Metode Simplex dlh metode pemrogrm liier yg mempuyi peubh (vrible) byk, sehigg dimesiy lebih dri 3. Metode simplex dpt
Metode Iterasi Gauss Seidell
Metode Itersi Guss Seidell Metode itersi Guss-Seidel : metode yg megguk proses itersi higg diperoleh ili-ili yg berubh. Bil dikethui persm liier simult: Berik ili wl dri setip i (i s/d ) kemudi persm liier
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA0 MATEMATIKA A Hedr Guw Semester II, 06/07 0 Februri 07 9. Deret Tk Terhigg Kulih yg Llu Memeriks kekoverge sutu deret d, bil mugki, meghitug jumlhy 9.3 Deret Positif: Uji Itegrl Memeriks kekoverge deret
Estimasi Koefisien Fungsi Regular- Dari kelas Fungsi Analitik Bieberbach-Eilemberg
Estimsi Koefisie Fugsi Regulr- Dri kels Fugsi Alitik Bieberbch-Eilemberg Oleh Edg Chy M.A Jurus Mtemtik FPMIPA UPI Abstrk Tulis ii mejelsk tetg estimsi koefisie fugsi regulr- yg dideretk, sebgi fugsi yg
APLIKASI INTEGRAL TENTU
APLIKASI INTEGRAL TENTU Apliksi Itegrl Tetu థ Lus ditr 2 kurv థ Volume ed dlm idg (deg metode ckrm d cici) థ Volume ed putr (deg metode kulit tug) థ Lus permuk ed putr థ Mome d pust mss 1 2 1. LUAS DIANTARA
SISTIM PERSAMAAN LINIER. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
SISTIM PERSAMAAN LINIER Agusti Prdjigsih, M.Si. Jurus Mtemtik FMIPA UNEJ gusti.fmip@uej.c.id DEFINISI : Persm Liier Persm Liier dlm peubh,, ditk dlm betuk b dim,,, b R Pemech persm liier dits dlh urut
Daerah D dibatasi kurva y = f (x) dengan f (x) 0, garis x = a, garis x = b, dan sumbu x. D = {(x,y) a x b, 0 y f (x)} Luas daerah D adalah  Ú.
x x g x x erh ditsi kurv = (x) deg (x), gris x =, gris x =, d sumu x. = {(x,) x, (x)} Lus derh dlh. L = lim x x = x erh ditsi kurv = (x), kurv = g(x), deg (x) g(x), gris x =, d gris x =. = {(x,) x, g(x)
TUGAS KELOMPOK TURUNAN DAN INTEGRAL
Mtemtik TUGAS KELOMPOK TURUNAN DAN INTEGRAL DISUSUN OLEH NAMA. LUKMANUDIN D79. YUYU YUMIARSIH D799. SERLI WIJAYA D798 PROGRAM STUDY MATA KULIAH DOSEN : PEND. MATEMATIKA : ANALISA VEKTOR : ABDUL KARIM,
Rank Matriks Atas Ring
Rk Mtriks Ats Rig A 8 Yuliyti Di Prtiwi (Mhsisw S2 Mtemtik FMIPA UGM) Mifth Sigit Rhmwti (Mhsisw S2 Mtemtik FMIPA UGM); N Fitri (Mhsisw S2 Mtemtik FMIPA UGM); Sri Whyui (Dose PS S2 Mtemtik Jurus Mtemtik
KETAKSAMAAN HERMITE-HADAMARD TERHADAP INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES
JMP : Volume 4 Nomor 1, Jui 2012, hl. 59-68 KETAKSAMAAN HERMITE-HADAMARD TERHADAP INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES Dey Ivl Hkim Deprteme Mtemtik Istitut Tekologi Bdug Bdug 40132, Idoesi dy_hkm@yhoo.com Hedr
SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2017 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN MATEMATIKA BAB VIII SISTEM BILANGAN REAL DAN PERPANGKATAN
SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 207 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN MATEMATIKA BAB VIII SISTEM BILANGAN REAL DAN PERPANGKATAN Dr. Djdir, M.Pd. Dr. Ilhm Miggi, M.Si J fruddi,s.pd.,m.pd. Ahmd Zki, S.Si.,M.Si
juga dinyatakan sebagai a n atau a n n n 0,1, 2, 3,... Pada barisan dibagi menjadi barisan konvergen dan barisan divergen.
MATERI: ) Perbed bris d deret b) Defiisi d teorem tetg deret c) Deret suku positif d uji kovergesiy d) Deret hiperhrmois e) Deret ukur f) Deret ltertig d uji kovergesiy g) Deret kus d opersiy h) Deret
Pertemuan ke-5 Persamaan Linier Simultan. 11 Oktober Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
Pertemu ke-5 Persm Liier Simult Oktober Metode Elimisi Guss (Gussi Elimitio) Metode Elimisi Gus Sutu metode utuk meyelesik persm liier simult dri [A][X][C] Du lgkh peyelesi peyelesi:: Elimisi mju (Forwrd
STATISTIK. Diskusi dan Presentasi_ p.31
STATISTIK Diskusi d Presetsi_ p.31 No.1 Tetuk populsi d smpel yg mugki jik kit melkuk peeliti tu pegmt tetg kejdi-kejdi erikut:. Jeis-jeis ik yg hidup di terumu krg. Wh peykit demm erdrh di kot Mlg, d
Barisan bilangan real Pengaturan bilangan real dalam indeks terurut
+ e - e Bris bilg rel Pegtur bilg rel dlm ideks terurut dimk bris. Bris bilg rel,,, ditulis { } =, tu disigkt { }. Secr forml, bris (tk higg) ii didefiisik sebgi fugsi deg derh sl himpu bilg sli. Ilustrsi
Eliminasi Gauss Gauss Jordan
Persm Liier Simult Elimisi Guss Guss Jor Persm Liier Simult Persm liier simult lh sutu betuk persm-persm p yg secr bersm-sm meyjik byk vribel bebs. Betuk persm liier simult eg m persm vribel bebs pt itulisk
24/02/2014. Sistem Persamaan Linear (SPL) Beberapa Aplikasi Sistem Persamaan Linear Rangkaian listrik Jaringan Komputer Model Ekonomi dan lain-lain.
// Alj Lie Elemete MUGE SKS Silus : B I Mtiks d Oesi B II Detemi Mtiks B III Sistem Pesm Lie B IV Vekto di Bidg d di Rug B V Rug Vekto B VI Rug Hsil Kli Dlm B VII Tsfomsi Lie B VIII Rug Eige // :8 MUGE
BARISAN DAN DERET BARISAN DAN DERET. U n. 2 n. 2 a = suku pertama = U 1 b = beda deret = U n U n 1. I. Perngertian Barisan dan Deret
BARISAN DAN DERET I. Pergerti Bris d Deret Bris bilg dlh pemet dri bilg sli ke bilg rel yg diurutk meurut tur tertetu. U III. Deret Geometri Ciriy : rsio tetp U = r S r = r S r = r = bilg sli U = suku
SOLUSI PREDIKSI UJIAN NASIONAL MATEMATIKA IPS TAHUN 2015
SOLUSI REDIKSI UJIAN NASIONAL MATEMATIKA IS TAHUN AKET ilih Gd: ilihlh stu jw g plig tept.. Sit: p q p q Jdi, igkr dri pert dlh emerith meghpusk keijk susidi h kr mik tetpi d org g hidup tidk sejhter.