SIMULASI TOTAL KERUGIAN ASURANSI MENGGUNAKAN DEDUCTIBLE DAN LIMITED COVERAGE SYAMSUL

Transkripsi

1 SIMULASI TOTAL KERUGIA ASURASI MEGGUAKA DEDUCTIBLE DA LIMITED COVERAGE SYAMSUL DEPARTEME MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DA ILMU PEGETAHUA ALAM ISTITUT PERTAIA BOGOR BOGOR 2016

2

3 PERYATAA MEGEAI SKRIPSI DA SUMBER IFORMASI SERTA PELIMPAHA HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Simulasi Total Kerugian Asuransi Menggunakan Deductible dan Limited Coverage adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, ovember 2016 Syamsul IM G

4 ABSTRAK SYAMSUL. Simulasi Total Kerugian Asuransi Menggunakan Deductible dan Limited Coverage. Dibimbing oleh BERLIA SETIAWATY dan RUHIYAT. Polis asuransi adalah kontrak yang dibuat oleh perusahaan asuransi dengan peserta asuransi. Pada tugas akhir ini, perusahaan asuransi menerapkan kebijakan deductible dan limited coverage. Untuk mendesain polis, perusahaan asuransi harus memperkirakan total kerugian yang akan ditanggung oleh perusahaan tersebut. Pemodelan total kerugian dilakukan dengan cara menggabung sebaran frekuensi kerugian yang menyebar Poisson dan sebaran tingkat keparahannya yang menyebar Pareto. Dalam penelitian ini digunakan metode simulasi untuk memperkirakan total kerugian, menentukan premi, menghitung keuntungan yang diperoleh perusahaan asuransi, dan membandingkan hasil perkiraan total kerugian antara metode simulasi dengan hasil secara analitik. Menggunakan data yang dibangkitkan melalui software Mathematica 11.0, dapat disimpulkan bahwa metode simulasi adalah metode yang cukup baik untuk memperkirakan total kerugian perusahaan asuransi. Kata kunci: sebaran gabungan Poisson-Pareto, simulasi, total kerugian ABSTRACT SYAMSUL. Simulation of Aggregate Loss of Insurance Using Deductible and Limited Coverage. Supervised by BERLIA SETIAWATY and RUHIYAT. Policy is a contract made by insurer with insurance participants. In this research, insurer implements deductible and limited coverage policy. To design the policy, the insurer must know the approximation of aggregate loss that will be paid by insurer itself. The modeling of aggregate loss is created by compounding the distributions of loss frequency which has Poisson distribution and distribution of loss severity which has Pareto distribution. Simulation method is used to approximate the aggregate loss distribution, to determine the premium, to calculate the insurer benefits, and to compare the results of the approximation aggregate loss using the method of simulation and the analytic results. Using data which are generated by software Mathematica 11.0, it can be concluded that the simulation method is quite good to approximate aggregate loss of the insurer. Key words: aggregate loss, compound Poisson-Pareto, simulation

5 SIMULASI TOTAL KERUGIA ASURASI MEGGUAKA DEDUCTIBLE DA LIMITED COVERAGE SYAMSUL Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEME MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DA ILMU PEGETAHUA ALAM ISTITUT PERTAIA BOGOR BOGOR AMA 2016 PEULIS

6

7

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala karunia-ya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Maret 2016 ini ialah keuangan dan aktuaria, dengan judul Simulasi Total Kerugian Asuransi Menggunakan Deductible dan Limited Coverage. Terima kasih penulis ucapkan kepada: 1. Dr Berlian Setiawaty, MS dan Ruhiyat, SSi, MSi sebagai pembimbing yang telah memberikan ilmu, arahan dan menyediakan waktu untuk membimbing penulis dalam menyelesaikan karya ilmiah ini serta Dr I Gusti Putu Purnaba, DEA yang telah banyak memberikan saran. 2. Seluruh dosen dan staf karyawan/karyawati Departemen Matematika. 3. Orang tua beserta keluarga yang selalu memberikan do a, kasih sayang dan dukungannya. 4. PT. Adaro Indonesia selaku penyandang dana Beasiswa Utusan Daerah yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk kuliah di IPB. 5. Ibu Susi yang senantiasa memberi nasehat dan saran. 6. Aulia, Ulfa, Amri, Afif, Umam dan keluarga IGAF LC IPB yang selalu memberikan semangat dan motivasi. 7. Kholis, Kemal, Idham, orma, Fredy, Rivanu, serta semua teman-teman Matematika 49 yang selalu ada dan membantu penulis. 8. Fai, Hami, Indra, Upik, Dilah, dan seluruh Dangsanak Adaro, serta semua pihak yang telah memberikan bantuan maupun dukungan kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, ovember 2016 Syamsul

9 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL vi DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR LAMPIRA vi PEDAHULUA 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 2 LADASA TEORI 2 Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang 2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran 3 Polis Asuransi 7 Premi 9 Keuntungan Perusahaan Asuransi 9 METODE 9 Deskripsi Data 9 Prosedur Pemrograman Data 10 HASIL DA PEMBAHASA 10 Identifikasi dan Simulasi Sebaran Frekuensi 10 Identifikasi dan Simulasi Sebaran Tingkat Keparahan 11 Identifikasi dan Simulasi Sebaran Total Kerugian 12 Premi dan Keuntungan Perusahaan Asuransi 16 Galat dari Rata-Rata dan Simpangan Baku 17 SIMPULA 18 DAFTAR PUSTAKA 18 LAMPIRA 19 RIWAYAT HIDUP 30

10 DAFTAR TABEL 1 Premi dan keuntungan yang didapatkan perusahaan asuransi 16 2 Rata-rata dan simpangan baku 17 3 Galat mutlak dan galat relatif 17 DAFTAR GAMBAR 1 Histogram peluang dari frekuensi kerugian berdasarkan hasil simulasi 11 2 Histogram peluang dari tingkat keparahan kerugian berdasarkan hasil simulasi 11 3 Histogram peluang dari total kerugian yang harus ditanggung oleh perusahaan asuransi (S a ) berdasarkan hasil simulasi 12 4 Histogram peluang dari total kerugian yang harus ditanggung oleh pemegang polis (R b ) berdasarkan hasil simulasi, dengan d = Rp dan u = Rp Histogram peluang dari total kerugian yang harus ditanggung perusahaan asuransi (S b ) berdasarkan hasil simulasi, dengan d = Rp dan u = Rp Histogram peluang dari total kerugian yang harus ditanggung oleh seluruh pemegang polis (R c ) berdasarkan hasil simulasi, dengan d*= Rp dan u*= Rp Histogram peluang dari total kerugian yang harus ditanggung oleh perusahaan asuransi (S c ) berdasarkan hasil simulasi, dengan d * = Rp dan u*= Rp Histogram peluang dari total kerugian yang harus ditanggung oleh seluruh pemegang polis (R c ) berdasarkan hasil simulasi, dengan d*= Rp dan u*= Rp Histogram peluang dari total kerugian yang harus ditanggung oleh perusahaan asuransi (S c ) berdasarkan hasil simulasi, dengan d * = Rp dan u*= Rp DAFTAR LAMPIRA 1 Pembuktian nilai harapan dan ragam sebaran Poisson 19 2 Pembuktian nilai harapan dan ragam sebaran Pareto 20 3 Pembuktian nilai harapan total kerugian 22 4 Pembuktian ragam total kerugian 23 5 Pemrograman simulasi menggunakan software Mathematica Menghitung keuntungan perusahaan menggunakan software Mathematica Rata-rata dan simpangan baku secara analitik dari tiga sebaran yang diidentifikasi 31

11 PEDAHULUA Latar Belakang Setiap orang memiliki risiko yang merupakan sebuah ketidakpastian di masa mendatang yang bisa menimbulkan suatu kerugian seperti kecelakaan, kebakaran, kebanjiran dan lainnya. Jumlah dari semua kerugian dalam periode waktu tertentu disebut total kerugian (aggregate loss). Total kerugian terdiri atas banyaknya peristiwa merugikan (frekuensi) dan tingkat keparahan kerugian tersebut (severity). Untuk mengantisipasi kerugian dari peristiwa tersebut maka diperlukan jaminan perlindungan dari jasa asuransi. Berdasarkan Undang-Undang Republik Indonesia omor 40 Tahun 2014 tentang Usaha Perasuransian, Usaha Asuransi Umum adalah usaha jasa pertanggungan risiko yang memberikan penggantian kepada tertanggung atau pemegang polis karena kerugian, kerusakan, biaya yang timbul, kehilangan keuntungan, atau tanggung jawab hukum kepada pihak ketiga yang mungkin diderita pemegang polis karena terjadi suatu peristiwa yang tidak pasti. Jaminan terhadap risiko atau kerusakan yang terjadi oleh perusahaan asuransi kepada pemegang polis disebut klaim, sedangkan biaya yang harus dibayarkan pemegang polis kepada perusahaan asuransi disebut premi. Besarnya premi dan klaim setiap pemegang polis bisa berbeda-beda. Besarnya premi dan klaim dipengaruhi beberapa faktor seperti, masa asuransi, besarnya uang pertanggungan, kebijakan perusahaan asuransi dan lainnya. Setiap perusahaan asuransi biasanya memiliki kebijakan polis masingmasing, dan beberapa di antaranya menerapkan kebijakan deductible dan limited coverage. Untuk membuat kebijakan yang menyangkut berbagai aspek polis asuransi, perusahaan asuransi harus bisa menggambarkan perilaku risiko seorang pemegang polis terkait total kerugian yang dialaminya. Oleh karena itu, diperlukan suatu model aktuaria yang dapat digunakan untuk mempelajari pola klaim pemegang polis. Salah satu cara yang dapat dilakukan adalah membuat pemodelan, kemudian mengestimasi frekuensi kerugian dalam waktu tertentu dan mengukur seberapa besar kerugian yang akan ditanggung oleh pihak perusahaan, sehingga dapat melakukan penghitungan total kerugian. Pemodelan total kerugian dilakukan dengan menggabung sebaran frekuensi kerugian dan sebaran tingkat keparahan kerugiannya. Sebaran frekuensi kerugian merupakan sebaran yang bersifat diskret seperti sebaran binomial, sebaran multinomial, sebaran hipergeometrik dan sebaran Poisson sedangkan sebaran tingkat keparahan kerugian memiliki sifat yang kontinu seperti sebaran beta, sebaran eksponensial, sebaran lognormal, sebaran gamma, sebaran Pareto dan lainnya. Gabungan antara sebaran frekuensi kerugian dan sebaran tingkat keparahan tersebut akan menghasilkan sebaran baru yang disebut sebaran gabungan (compound), sebaran inilah yang akan digunakan untuk memproyeksikan total kerugian di masa depan. Ada banyak metode yang dapat digunakan untuk memperkirakan total kerugian seperti metode fourier inversion, metode panjer recursion, dan fast fourier transform. Pada penelitian ini akan digunakan metode lainnya yaitu metode simulasi. Metode simulasi dilakukan untuk meniru suatu peristiwa nyata dengan

12 2 menggunakan model matematika sehingga dapat menggambarkan kejadian yang sebenarnya, kemudian hasil yang diperoleh digunakan untuk meramalkan dampak kejadian tersebut di masa depan. Keuntungan utama dari metode simulasi adalah selain dapat digunakan untuk memperkirakan total kerugian secara umum, juga dapat memperkirakan total kerugian jika perusahaan menerapkan kebijakan deductible dan limited coverage baik secara individu maupun secara keseluruhan. Menurut apitupulu (2009), sebaran yang paling baik untuk menggambarkan pola frekuensi kerugian adalah sebaran Poisson, maka dalam penelitian ini akan diperkirakan total kerugian menggunakan sebaran gabungan Poisson-Pareto melalui pendekatan simulasi dan mempelajari efeknya jika perusahaan menerapkan kebijakan deductible dan limited coverage, dengan data frekuensi kerugian menyebar Poisson dan tingkat keparahan kerugiannya menyebar Pareto. Rujukan utama penelitian ini bersumber pada tulisan Mohamed et al.(2010) yang berjudul Approximation of Aggregate Losses Using Simulation. Tujuan Penelitian Tujuan dari karya ilmiah ini yaitu: 1. Memperkirakan total kerugian perusahaan asuransi dan menyelidiki efeknya jika perusahaan asuransi menetapkan kebijakan deductible dan limited coverage dengan menggunakan metode simulasi. 2. Menentukan premi yang harus dibayar pemegang polis. 3. Menghitung keuntungan yang diperoleh perusahaan asuransi. 4. Membandingkan hasil prediksi total kerugian perusahaan asuransi menggunakan metode simulasi dan secara analitik. LADASA TEORI Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang Definisi 1 (Percobaan Acak) Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan dengan kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, akan tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini, yang dapat diulang dalam kondisi sama, disebut percobaan acak (Hogg et al. 2014). Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian) Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω (Grimmet dan Stirzaker 2001). Definisi 3 (Medan-σ) Medan-σ adalah suatu himpunan F yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari ruang contoh Ω yang memenuhi kondisi sebagai berikut: 1. Ø F

13 3 2. Jika A 1, A 2, F, maka A i 3. Jika A F maka A C F (Grimmet dan Stirzaker 2001). F Definisi 4 (Ukuran Peluang) Misalkan F adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi P: F [0,1] yang memenuhi: 1. P(Ø) = 0, P(Ω) = 1 2. Jika A 1, A 2, F adalah himpunan yang saling lepas yaitu A i A j = Ø untuk setiap pasangan i j maka P( A i ) = P( A i ). Pasangan (Ω, F, P) disebut ruang peluang (Grimmet dan Stirzaker 2001). Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 5 (Peubah Acak) Misalkan (Ω, F, P) adalah ruang peluang. Peubah acak adalah fungsi X: Ω R dengan sifat {ω Ω: X(ω) x} F untuk setiap x R (Grimmet & Stirzaker 2001). Definisi 6 (Fungsi Sebaran) Misalkan X adalah peubah acak. Fungsi sebaran dari peubah acak X adalah fungsi F X : R [0,1] yang diberikan oleh F X (x) = P(X x). Fungsi F X disebut fungsi sebaran dari peubah acak X (Grimmet & Stirzaker 2001). Definisi 7 (Peubah Acak Diskret) Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya berada pada himpunan bagian yang terhitung dari R (Grimmet & Stirzaker 2001). Definisi 8 (Peubah Acak Kontinu) Peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebaran F X (x) adalah fungsi kontinu untuk seluruh x R (Hogg et al. 2014). Definisi 9 (Fungsi Massa Peluang) Misalkan (Ω, F, P) adalah ruang peluang. Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah suatu fungsi p X : R [0,1] yang didefinisikan oleh p X (x) = P(X = x) (Grimmet & Stirzaker 2001). Definisi 10 (Fungsi Kepekatan Peluang) Misalkan X adalah peubah acak kontinu, maka f X (x) adalah fungsi kepekatan peluang dari X dengan syarat sebagai berikut: 1. f X (x) 0, x R 2. f X (x)dx = 1 b a 3. P(a < X < b) = f X (x)dx (Hogg et al. 2014).

14 4 Definisi 11 (ilai Harapan Sebaran Diskret) Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang p X (x) maka nilai harapan dari X, dinotasikan dengan E(X), adalah E(X) = xp X (x) x asalkan jumlah tersebut konvergen mutlak (Hogg et al. 2014). Definisi 12 (ilai Harapan Sebaran Kontinu) Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f X (x) maka nilai harapan dari X adalah E(X) = xf X (x) dx asalkan integral tersebut konvergen mutlak (Hogg et al. 2014). Definisi 13 (ilai Harapan Bersyarat) Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu dan f X Y (x y) adalah fungsi kepekatan peluang bersyarat dari X dengan syarat Y = y. ilai harapan dari X dengan syarat Y = y adalah E(X Y = y) = xf X Y (x y) dx (Hogg et al. 2014). Definisi 14 (Ragam dan Simpangan Baku) Ragam dari suatu peubah acak X adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara X dengan nilai harapannya, didefinisikan sebagai berikut σ X 2 = var(x) = E(X E(X)) 2 = E(X 2 ) (E(X)) 2 (Hogg et al. 2014). Misalkan σ X 2 adalah ragam dari suatu peubah acak X, maka simpangan bakunya adalah akar kuadrat positif dari ragam, didefinisikan sebagai berikut σ X = σ X 2 (Hogg et al. 2014). Definisi 15 (Sebaran Poisson) Suatu peubah acak dikatakan menyebar Poisson dengan parameter, > 0, jika memenuhi fungsi massa peluang p (n; ) = n e, n = 0,1,2, n! (Grimmet & Stirzaker 2001). Lema 1 (ilai Harapan dan Ragam Sebaran Poisson) Jika peubah acak menyebar Poisson dengan parameter, > 0, maka E() = var() = (1) (Ghahramani 2005). Bukti: Lihat Lampiran 1.

15 Definisi 16 (Sebaran Pareto) Suatu peubah acak X dikatakan menyebar Pareto dengan parameter α dan jika memenuhi fungsi kepekatan peluang, sebagai berikut α α f X (x; α, ) =, α > 0 dan > 0 ( + x) α+1 (Grimmet & Stirzaker 2001). 5 Teorema 1 (ilai Harapan dan Ragam Sebaran Pareto) Jika peubah acak X menyebar Pareto dengan parameter α, > 0, maka E(X) = α 1 α 2 var(x) = (α 1) 2, α > 2 (2) (α 2) (Grimmet & Stirzaker 2001). Bukti: Lihat Lampiran 2. Definisi 17 (Kesalingbebasan Peubah Acak) Peubah acak X 1, X 2,, X n dikatakan saling bebas jika untuk semua i dari X i memenuhi persamaan berikut P(X 1 x 1,, X n x n ) = P(X 1 x 1 ) P(X n x n ) (Grimmet & Stirzaker 2001). Definisi 18 (Bebas Stokastik Identik) Misalkan X 1, X 2,, X n adalah n peubah acak yang memiliki fungsi kepekatan yang sama yaitu f(x) maka X 1, X 2,, X n disebut bebas stokastik identik jika f 1 (x 1 ) = f(x 1 ) f 2 (x 2 ) = f(x 2 ) f n (x n ) = f(x n ) sehingga fungsi kepekatan bersamanya adalah f(x 1, x 2,, x n ) = f(x 1 )f(x 2 ) f(x n ) (Hogg et al. 2014). Definisi 19 (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak) Fungsi sebaran dari dua peubah acak X dan Y adalah fungsi F XY : R 2 [0,1] yang diberikan oleh F XY (x, y) = P(X x, Y y), x, y R. (Grimmet & Stirzaker 2001). Definisi 20 (Total Kerugian) Jumlah dari semua kerugian yang dialami oleh pemegang polis yang harus ditanggung oleh perusahaan asuransi dalam suatu periode waktu tertentu disebut total kerugian. Total kerugian terdiri atas banyaknya peristiwa merugikan (frekuensi) dan tingkat keparahan kerugian tersebut. Misalkan adalah peubah

16 6 acak yang menyatakan banyaknya kerugian yang terjadi dan X i adalah peubah acak yang menunjukkan tingkat keparahannya, maka total kerugian dapat diperoleh dengan menjumlahkan kerugian yang dialami oleh semua pemegang polis tersebut, sehingga untuk i = 1,, total kerugian adalah sebesar S, di mana S adalah peubah acak dengan nilai sebagai berikut S = X 1 + X X. (3) Model ini mengasumsikan bahwa X i bersifat bebas stokastik identik dengan asumsi sebaran frekuensi kerugian () saling bebas terhadap sebaran tingkat keparahannya (X i ) (Klugman et al. 2012). Teorema 2 (ilai Harapan Total Kerugian) Misalkan X 1, X 2, adalah peubah acak yang bebas stokastik identik dengan nilai harapan E(X), dan jika > 0 yang merupakan peubah acak dengan nilai integer dan saling bebas dengan X i, i = 1,, dengan nilai harapan E() <, maka (Ghahramani 2005). Bukti: Lihat Lampiran 3. E ( X i ) = E() E(X) (4) Berdasarkan persamaan (4), jika adalah peubah acak yang menyebar Poisson dengan parameter dan (X 1, X 2,, X ) merupakan peubah acak yang menyebar Pareto dengan parameter α dan, maka nilai harapan dari total kerugian S di mana S = X 1 + X X dari sebaran gabungan Poisson-Pareto adalah E(S) = E() E(X) = ( α 1 ) =, α > 1. (5) α 1 Teorema 3 (Ragam Total Kerugian) Misalkan X 1, X 2, adalah peubah acak yang bebas stokastik identik dengan nilai harapan E(X) dan ragam var(x). Misalkan diberikan > 0 yang merupakan peubah acak dengan nilai integer dan saling bebas dengan X i, i = 1,, dengan nilai harapan E() < dan var() <, maka (Ghahramani 2005). Bukti: Lihat Lampiran 4. var ( X i ) = E() var(x) + var() (E(X)) 2 (6) Berdasarkan persamaan (6), jika merupakan peubah acak yang menyebar Poisson dengan parameter dan (X 1, X 2,, X ) peubah acak yang menyebar Pareto dengan parameter α dan, serta sebaran Poisson saling bebas dengan sebaran Pareto, maka ragam dari total kerugian S di mana S = X 1 + X X dari sebaran gabungan Poisson-Pareto adalah

17 var(s) = E() var(x) + var() (E(X)) 2 α 2 = ( (α 1) 2 ( α 2) ) + ( 2 α 1 ) α 2 = (α 1) 2 ( α 2) + 2 (α 1) 2 α 2 = (α 1) 2 ( α 2) + 2 ( α 2) (α 1) 2 ( α 2) = 2 (2α 2) (α 1) 2, α > 2. (7) (α 2) 7 Polis Asuransi Polis asuransi adalah kontrak yang dibuat oleh perusahaan asuransi dengan peserta asuransi. Setiap perusahaan asuransi biasanya memiliki kebijakan polis masing-masing, dan beberapa di antaranya menerapkan kebijakan deductible dan limited coverage. Deductible Deductible adalah ketentuan kebijakan umum yang mengharuskan pemegang polis untuk membayar sebagian dari kerugian yang dialami. Tujuan kebijakan deductible adalah menghilangkan klaim yang nilai kerugiannya lebih kecil dari batas deductible yang diterapkan oleh perusahaan asuransi, mengurangi premi yang dibayarkan oleh pemegang polis, dan mengurangi kerugian yang dilakukan pemegang polis secara sengaja, karena beberapa pemegang polis mungkin akan sengaja menyebabkan kerugian dalam rangka untuk mendapatkan keuntungan dari perusahaan asuransi. Kebijakan deductible akan mendorong pemegang polis untuk lebih berhati-hati agar tidak mengalami kerugian karena mereka harus ikut menanggung bagian dari kerugian tersebut. Misalkan X adalah peubah acak yang menunjukkan besar kerugian seorang pemegang polis. Ketika sebuah perusahaan asuransi menerapkan kebijakan deductible sebesar d, maka kerugian yang harus ditanggung pemegang polis karena peristiwa merugikan yang dialami adalah sebesar Y, di mana Y adalah peubah acak dengan nilai sebagai berikut Y = { X, X d (8) d, X > d sedangkan kerugian pemegang polis yang ditanggung oleh perusahaan asuransi dapat diwakili oleh peubah acak Z, dengan nilai sebagai berikut 0, X d Z = { X d, X > d. (9) Limited Coverage Limited coverage adalah batas dana maksimum yang akan ditanggung oleh perusahaan asuransi jika pemegang polis melakukan klaim. Misalkan X adalah peubah acak yang menunjukkan besar kerugian seorang pemegang polis. Ketika sebuah perusahaan asuransi menerapkan kebijakan limited coverage sebesar u,

18 8 maka dana yang harus ditanggung pemegang polis jika mengalami kerugian adalah sebesar Y, di mana Y adalah peubah acak dengan nilai sebagai berikut 0, X u Y = { (10) X u, X > u sedangkan kerugian pemegang polis yang ditanggung oleh perusahaan asuransi dapat diwakili oleh peubah acak Z, dengan nilai sebagai berikut Z = { X, X u u, X > u. (11) Polis Asuransi tanpa Deductible dan Limited Coverage Misalkan X i, i = 1,2,, adalah peubah acak yang menunjukkan besar kerugian pemegang polis ke i. Ketika polis asuransi tidak menerapkan deductible dan limited coverage, maka tidak ada kerugian yang harus ditanggung pemegang polis, apabila kerugian yang ditanggung pemegang polis dinotasikan dengan R a, maka R a = 0 untuk setiap kerugian yang terjadi. Total kerugian pemegang polis yang ditanggung oleh perusahaan asuransi karena peristiwa merugikan yang terjadi dapat diwakili oleh peubah acak S a, dengan nilai sebagai berikut S a = S = X 1 + X X. (12) Polis Asuransi dengan Deductible dan Limited Coverage Misalkan X i, i = 1,2,, adalah peubah acak yang menunjukkan besar kerugian pemegang polis ke i. Jika polis asuransi mengandung deductible sebesar d dan limited coverage sebesar u, maka kerugian yang harus ditanggung pemegang polis ke i jika mengalami peristiwa merugikan adalah sebesar Y i, i = 1,2,,, di mana Y i adalah peubah acak dengan nilai sebagai berikut X i, X i d Y i = { d, d < X i u (13) X i + d u, X i > u sehingga total kerugian yang ditanggung pemegang polis adalah sebesar R b, di mana R b adalah peubah acak dengan nilai sebagai berikut R b = Y 1 + Y Y (14) sedangkan kerugian yang harus ditanggung oleh perusahaan asuransi karena klaim dari pemegang polis ke i dapat diwakili oleh peubah acak Z i, i = 1,2,,, di mana Z i adalah peubah acak dengan nilai sebagai berikut 0, X i d Z i = { X i d, d < X i u (15) u d, X i > u sehingga total kerugian yang ditanggung oleh perusahan asuransi, adalah sebesar S b, di mana S b adalah peubah acak dengan nilai sebagai berikut S b = Z 1 + Z Z. (16) Misalkan S a adalah peubah acak yang menunjukkan total kerugian yang dialami seluruh pemegang polis. Jika polis asuransi menerapkan aggregate deductible sebesar d* dan aggregate limited coverage sebesar u*, maka total kerugian yang harus ditanggung seluruh pemegang polis karena peristiwa merugikan yang dialami adalah sebesar R c, di mana R c adalah peubah acak dengan nilai sebagai berikut

19 (17) 9 S a, S a d R c = { d, d < S a u S a + d u, S a > u sedangkan total kerugian yang ditanggung oleh perusahaan asuransi dapat diwakili oleh peubah acak S c sebagai berikut 0, S a < d S c = { S a d, d S a u. (18) u d, S a > u Premi Penghitungan premi simulasi didasarkan pada nilai harapan dari total biaya yang harus ditanggung oleh perusahaan asuransi, ditambah 15% dari biaya tersebut dan beban tetap sebesar Rp Jika premi dinotasikan dengan P, maka P i = 1.15E ( S i ) , i = a, b, c (19) dengan: a = polis asuransi tanpa menggunakan deductible dan limited coverage b = polis asuransi dengan menggunakan deductible dan limited coverage c = polis asuransi dengan menggunakan aggregate deductible dan aggregate limited coverage. Keuntungan Perusahaan Asuransi Keuntungan perusahaan asuransi adalah nilai yang diperoleh dari pembayaran premi dari seluruh pemegang polis dikurangkan dengan total kerugian yang ditanggung perusahaan tersebut. Jika keuntungan yang diperoleh perusahaan asuransi dinotasikan dengan Π, maka Π i = M P i S i, i = a, b, c (20) dengan: M = banyaknya pemegang polis. METODE Deskripsi Data Data pada penelitian ini dibangkitkan menggunakan software Mathematica 11.0 dengan sebaran frekuensi kerugian menyebar Poisson ( ) dan tingkat keparahan kerugian menyebar Pareto (α, ), dengan asumsi nilai = 30, α = 10, = , d= Rp , u= Rp , d* yang pertama sebesar Rp dan d* yang kedua sebesar Rp , u* yang pertama sebesar Rp dan u* yang kedua sebesar Rp , serta banyaknya pemegang polis adalah 500 orang.

20 10 Prosedur Pemrograman Data Simulasi total kerugian dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Bangkitkan frekuensi kerugian () dengan menggunakan sebaran Poisson ( ). 2. Untuk i = 1 sampai i =, bangkitkan kerugian individu (X i ) dengan menggunakan sebaran Pareto (α, ). 3. Untuk i = 1 sampai i =, dengan menggunakan nilai X i yang sudah dibangkitkan, tentukan kerugian yang ditanggung pemegang polis (Y i ) dan kerugian yang ditanggung oleh perusahaan asuransi (Z i ). 4. Menentukan total kerugian (S a ) dengan menjumlahkan semua X i, i = 1,2,,. 5. Jika perusahaan menerapkan deductible dan limited coverage, maka tentukan total besar kerugian yang ditanggung seluruh pemegang polis (R b ) dan kerugian yang ditanggung oleh perusahaan asuransi (S b ). 6. Jika perusahaan menerapkan aggregate deductible dan aggregate limited coverage, maka dengan menggunakan nilai S a yang sudah diperoleh, tentukan kerugian yang ditanggung seluruh pemegang polis (R c ) dan kerugian yang ditanggung oleh perusahaan asuransi (S c ). 7. Menentukan premi yang harus dibayar pemegang polis jika perusahaan tidak menerapkan deductible dan limited coverage (P a ) dengan P a = 1.15 ( S a ) Menentukan premi yang harus dibayar pemegang polis jika perusahaan menerapkan deductible dan limited coverage (P b ) dengan P b = 1.15 ( S b ) Menentukan premi yang harus dibayar pemegang polis jika perusahaan menerapkan aggregate deductible dan aggregate limited coverage (P c ) dengan P c = 1.15 ( S c ) Langkah 1 sampai 9 diulang sebanyak 1000 kali. 11. Tentukan rata-rata, ragam, simpangan baku, kuartil 1, kuartil 2, dan kuartil 3 dari S k dan R k serta rata-rata P k, k = a, b, c. HASIL DA PEMBAHASA Identifikasi dan Simulasi Sebaran Frekuensi Sebaran frekuensi menunjukkan banyaknya kejadian merugikan pada kurun waktu tertentu. Sebaran frekuensi merupakan sebaran diskret, dalam penelitian ini sebaran yang digunakan adalah sebaran Poisson. ilai peluang sebaran Poisson hanya bergantung pada nilai tengahnya, yang menyatakan rata-rata dari banyaknya peristiwa merugikan yang terjadi pada pemegang polis selama selang waktu tertentu. Melalui software Mathematica 11.0 dilakukan 1000 simulasi menggunakan sebaran Poisson ( = 30). Hasil simulasi menunjukkan bahwa rata-rata pemegang polis yang mengalami kerugian adalah sebanyak 30 orang pada jangka waktu yang

21 ditentukan, dengan histogram peluang dari frekuensi kerugian yang disajikan pada Gambar 1 dan Lampiran 5. Peluang 11 Frekuensi kerugian Gambar 1 Histogram peluang dari frekuensi kerugian berdasarkan hasil simulasi Identifikasi dan Simulasi Sebaran Tingkat Keparahan Sebaran tingkat keparahan kerugian menggambarkan pola penyebaran yang menunjukkan seberapa besar kerugian yang diderita oleh pemegang polis jika mengalami suatu peristiwa merugikan dalam kurun waktu tertentu. Sebaran tingkat keparahan memiliki sifat yang kontinu, sehingga bisa menjelaskan pola data yang berbentuk pecahan. Melalui software Mathematica 11.0 dilakukan 1000 simulasi dengan menggunakan sebaran Pareto (α = 10, = ). Hasil simulasi menunjukkan bahwa rata-rata kerugian yang dialami pemegang polis adalah sebesar Rp dan simpangan bakunya adalah Rp , histogram peluang dari tingkat keparahan kerugian yang disajikan pada Gambar 2 dan Lampiran 5. Peluang Besar kerugian Gambar 2 Histogram peluang dari tingkat keparahan kerugian berdasarkan hasil simulasi

22 12 Identifikasi dan Simulasi Sebaran Total Kerugian Sebaran total kerugian dilakukan dengan menggabung sebaran frekuensi kerugian dan sebaran tingkat keparahan kerugiannya. Sebaran frekuensi kerugian didasarkan pada sebaran Poisson sedangkan sebaran tingkat keparahan kerugian adalah sebaran Pareto. Gabungan antara kedua sebaran tersebut akan menghasilkan sebaran baru yang disebut sebaran gabungan Poisson-Pareto, sebaran inilah yang akan digunakan untuk memproyeksikan total kerugian. Menggunakan software Mathematica 11.0 dilakukan 1000 simulasi yang didasarkan pada sebaran gabungan tersebut, dengan = 30, α = 10 dan = Total Kerugian tanpa Deductible dan Limited Coverage Jika polis asuransi tidak mengandung deductible dan limited coverage, maka tidak ada kerugian yang harus ditanggung pemegang polis, sehingga semua kerugian yang terjadi harus ditanggung oleh perusahaan asuransi. Berdasarkan hasil simulasi, diperoleh histogram peluang dari total kerugian (S a ) yang disajikan pada Gambar 3. Peluang Total kerugian Gambar 3 Histogram peluang dari total kerugian yang harus ditanggung oleh perusahaan asuransi (S a ) berdasarkan hasil simulasi Hasil simulasi pada Gambar 3, menunjukkan bahwa rata-rata total kerugian yang dialami pemegang polis adalah sebesar Rp , simpangan bakunya adalah Rp , kuartil pertama sebesar Rp , median sebesar Rp , dan kuartil ketiganya sebesar Rp Penghitungan hasil simulasi tersebut dapat dilihat pada Lampiran 5. Total kerugian dengan Deductible dan Limited Coverage Jika polis asuransi mengandung deductible sebesar Rp dan limited coverage sebesar Rp , maka akan ada kerugian yang harus ditanggung pemegang polis jika mengalami peristiwa yang merugikan. Berdasarkan hasil simulasi, diperoleh total kerugian yang harus ditanggung pemegang polis (R b ) dan total kerugian yang harus ditanggung perusahaan asuransi (S b ) dengan histogram peluang yang dapat dilihat pada Gambar 4 dan Gambar 5.

23 13 Peluang Gambar 4 Histogram peluang dari total kerugian yang harus ditanggung oleh pemegang polis (R b ) berdasarkan hasil simulasi, dengan d = Rp dan u = Rp Peluang Total kerugian Total kerugian Gambar 5 Histogram peluang dari total kerugian yang harus ditanggung perusahaan asuransi (S b ) berdasarkan hasil simulasi, dengan d = Rp dan u = Rp Hasil simulasi Gambar 4, menunjukkan bahwa rata-rata total kerugian yang ditanggung pemegang polis yaitu sebesar Rp , simpangan bakunya sebesar Rp , kuartil pertama sebesar Rp , median sebesar Rp , dan kuartil ketiganya sebesar Rp Simulasi Gambar 5 menunjukkan bahwa rata-rata total kerugian yang ditanggung oleh perusahaan asuransi yaitu sebesar Rp , dengan simpangan bakunya Rp , kuartil pertama sebesar Rp , median sebesar Rp , dan kuartil ketiganya sebesar Rp Penghitungan hasil simulasi tersebut dapat dilihat pada Lampiran 5. Total Kerugian dengan Aggregate Deductible dan Aggregate Limited Coverage Berdasarkan hasil simulasi, dengan menggunakan polis asuransi yang mengandung aggregate deductible sebesar Rp dan aggregate limited coverage sebesar Rp , maka diperoleh total kerugian yang harus

24 14 ditanggung seluruh pemegang polis (R c ) dan total kerugian yang harus ditanggung perusahaan asuransi (S c ), dengan histogram peluang yang disajikan pada Gambar 6 dan Gambar 7. Peluang Total kerugian Gambar 6 Histogram peluang dari total kerugian yang harus ditanggung oleh seluruh pemegang polis (R c ) berdasarkan hasil simulasi, dengan d*= Rp dan u*= Rp Peluang Total kerugian Gambar 7 Histogram peluang dari total kerugian yang harus ditanggung oleh perusahaan asuransi (S c ) berdasarkan hasil simulasi, dengan d*= Rp dan u*= Rp Hasil simulasi Gambar 6, menunjukkan bahwa rata-rata total kerugian yang ditanggung pemegang polis adalah sebesar Rp , simpangan bakunya sebesar Rp , kuartil pertama sebesar Rp , median sebesar Rp , dan kuartil ketiganya sebesar Rp Simulasi pada Gambar 7 menunjukkan bahwa rata-rata total kerugian yang ditanggung oleh perusahaan asuransi yaitu sebesar Rp , dengan simpangan bakunya Rp , nilai kuartil pertama sebesar Rp , median sebesar Rp , dan kuartil ketiganya sebesar Rp Penghitungan hasil simulasi tersebut dapat dilihat pada Lampiran 5.

25 Berdasarkan hasil simulasi, dengan menggunakan polis asuransi yang mengandung aggregate deductible sebesar Rp dan aggregate limited coverage sebesar Rp , maka diperoleh total kerugian yang harus ditanggung seluruh pemegang polis (R c ) dan total kerugian yang harus ditanggung perusahaan asuransi (S c ), dengan histogram peluang yang disajikan pada Gambar 8 dan Gambar 9. Peluang 15 Total kerugian Gambar 8 Histogram peluang dari total kerugian yang harus ditanggung oleh seluruh pemegang polis (R c ) berdasarkan hasil simulasi, dengan d*= Rp dan u*= Rp Peluang Total kerugian Gambar 9 Histogram peluang dari total kerugian yang harus ditanggung oleh perusahaan asuransi (S c ) berdasarkan hasil simulasi, dengan d*= Rp dan u*= Rp Hasil simulasi Gambar 8, menunjukkan bahwa rata-rata total kerugian yang ditanggung pemegang polis adalah sebesar Rp , simpangan bakunya sebesar Rp , kuartil pertama sebesar Rp , median sebesar Rp , dan kuartil ketiganya sebesar Rp Simulasi pada Gambar 9 menunjukkan bahwa rata-rata total kerugian yang ditanggung oleh perusahaan asuransi yaitu sebesar Rp , dengan simpangan bakunya Rp , nilai kuartil pertama sebesar Rp , median sebesar

26 16 Rp , dan kuartil ketiganya sebesar Rp Penghitungan hasil simulasi tersebut dapat dilihat pada Lampiran 5. Premi dan Keuntungan Perusahaan Asuransi Setelah diperoleh total kerugian yang ditanggung perusahaan asuransi dari masing-masing polis asuransi, maka dapat ditentukan masing-masing premi yang harus dibayarkan oleh pemegang polis. Pada Tabel 1 disajikan besar premi dan keuntungan yang didapatkan perusahaan asuransi. Tabel 1 Premi dan keuntungan yang didapatkan perusahaan asuransi o Polis Deductible Limited Coverage Premi Keuntungan Perusahaan Rp Rp d=rp u=rp Rp Rp c d*=rp u*=rp Rp Rp d*=rp u*=rp Rp Rp Tabel 1 menunjukkan hasil dari 4 polis asuransi yang berbeda. Pada polis pertama, perusahaan asuransi tidak menetapkan kebijakan deductible dan limited coverage dan nilai premi yang harus dibayarkan oleh pemegang polis adalah sebesar Rp Pada polis yang kedua, perusahaan menetapkan deductible Rp dan limited coverage sebesar Rp serta premi sebesar Rp Dengan demikian, jika pemegang polis membayar premi sebesar Rp , maka untuk kerugian kurang dari Rp kerugian tersebut akan ditanggung oleh pemegang polis, tetapi jika kerugian diatas Rp maka kerugian akan ditanggung oleh pemengang polis sebesar Rp dan sisanya ditanggung oleh perusahaan asuransi dengan batas penanggungan maksimal sebesar Rp Polis ketiga menetapkan aggregate deductible sebesar Rp dan aggregate limited coverage sebesar Rp dengan premi sebesar Rp Dengan kata lain, jika seorang pemegang polis membayar premi sebesar Rp , maka apabila total kerugian yang dialami seluruh pemegang polis kurang dari Rp , kerugian tersebut akan ditanggung oleh pemegang polis, tetapi jika total kerugian yang terjadi diatas Rp maka kerugian akan ditanggung oleh seluruh pemengang polis sebesar Rp dan sisanya ditanggung oleh perusahaan asuransi dengan batas penanggungan maksimal sebesar Rp Polis terakhir menetapkan aggregate deductible sebesar Rp dan aggregate limited coverage sebesar Rp dengan premi sebesar Rp Dengan kata lain, jika seorang pemegang polis membayar premi sebesar Rp , maka apabila total kerugian yang dialami seluruh pemegang polis kurang dari Rp , kerugian tersebut akan ditanggung oleh pemegang polis, tetapi jika total kerugian yang terjadi diatas Rp maka kerugian akan ditanggung oleh seluruh pemengang polis sebesar Rp dan sisanya ditanggung oleh perusahaan asuransi dengan batas penanggungan maksimal sebesar Rp Penentuan kebijakan deductible dan limited coverage sangat berpengaruh terhadap besar premi yang harus dibayar pemegang polis, semakin kecil deductible

27 yang diterapakan maka premi yang harus dibayar akan semakin besar. Hal tersebut berkebalikan dengan limited coverage karena semakin kecil limited coverage yang diterapkan maka nilai premi akan semakin kecil. Setelah mendapatkan nilai premi untuk masing-masing polis asuransi, maka selanjutnya dilakukan sekali simulasi lagi untuk mendapatkan total kerugian yang baru, kemudian dihitung besar keuntungan yang akan didapatkan oleh perusahaan asuransi pada masing-masing polis. Keuntungan yang diperoleh dari polis 1 sampai polis 4 adalah Rp , Rp , Rp , dan Rp Penghitungan keuntungan perusahaan asuransi disajikan pada Lampiran Galat dari Rata-Rata dan Simpangan Baku Galat adalah selisih antara nilai perkiraan dengan nilai yang sebenarnya. Ada dua macam galat yaitu galat mutlak dan relatif. Galat mutlak adalah nilai mutlak suatu galat yang diperoleh dari selisih hasil analitik dan hasil pendektannya, sedangkan galat relatif adalah perbandingan antara galat mutlak dan nilai analitiknya. Tabel 2 menunjukkan rata-rata dan simpangan baku dari tiga sebaran yang diperoleh menggunakan metode simulasi dan hasil secara analitik, dari hasil Tabel 2 kemudian dilakukan penghitungan galat mutlak dan relatif yang disajikan pada Tabel 3. Tabel 2 Rata-rata dan simpangan baku Sebaran Hasil Simulasi Hasil analitik E σ E σ Frekuensi kerugian Tingkat keparahan kerugian Rp Rp Rp Rp Total kerugian (S a ) Rp Rp Rp Rp Tabel 3 Galat mutlak dan galat relatif Sebaran Galat mutlak Galat relatif E σ E σ Frekuensi kerugian % % Tingkat keparahan kerugian Rp1 040 Rp % % Total kerugian (S a ) Rp Rp % % dengan: E = Rata-rata σ = Simpangan baku Berdasarkan Tabel 3, dapat dilihat bahwa dari tiga sebaran yang digunakan diperoleh galat mutlak dan galat relatif yang cukup kecil, sehingga bisa dikatakan bahwa metode simulasi merupakan metode yang cukup baik untuk memperkirakan total kerugian. Penghitungan nilai rata-rata dan simpangan baku secara analitik disajikan pada Lampiran 7.

28 18 SIMPULA Melalui metode simulasi dapat diperkirakan total kerugian dengan cara mendekati sebaran gabungan dari frekuensi dan tingkat keparahannya, diperoleh tiga total kerugian yang ditanggung oleh pemegang polis dan perusahaan asuransi. Total kerugian terbesar yang ditanggung oleh pemegang polis adalah pada polis asuransi dengan kebijakan aggregate deductible dan aggregate limited coverage, sedangkan total kerugian yang paling besar bagi perusahaan asuransi adalah pada polis asuransi tanpa deductible dan limited coverage. Besar premi yang harus dibayarkan oleh pemegang polis berbeda-beda pada setiap polis asuransi, karena nilai premi sangat dipengaruhi oleh penentuan deductible dan limited coverage. Keuntungan perusahaan asuransi sangat dipengaruhi dari premi yang dibayarkan oleh pemegang polis, diperoleh keuntungan yang paling besar adalah pada polis asuransi tanpa deductible dan limited coverage. Hasil perkiraan total kerugian menggunakan simulasi tidak jauh berbeda dibanding secara analitik, sehingga dapat disimpulkan bahwa metode simulasi dapat digunakan untuk memperkirakan total kerugian. DAFTAR PUSTAKA Ghahramani S Fundamentals of Probability with Stochastic Processes. Ed ke-3. ew Jersey (US): Prentice Hall. Grimmet GR, Stirzaker DR Probability and Random Process. Ed ke-3. Oxford (GB): Clarendon Press. Hogg RV, Craig AT, McKean JW Introduction to Mathematical Statistics. Ed ke-7. ew Jersey (US): Prentice Hall. Klugman AK, Panjer HH, Willmot GE Loss Models from Data to Decisions. Ed ke-4. ew York (US): John Wiley & Sons. Mohamed MA, Ahmad MR, oriszura I Approximation of Aggregate Losses Using Simulation. Journal of Mathematics and Statistics 6 (3): apitupulu SJ Pengukuran Risiko Operasional dengan Metode Aggregating Value At Risk [skripsi]. Medan (ID): Universitas Sumatera Utara. Pemerintah Republik Indonesia Undang-Undang Republik Indonesia omor 40 Tahun 2014 tentang Usaha Perasuransian. Jakarta (ID): Sekretariat egara.

29 19 LAMPIRA Lampiran 1 Pembuktian nilai harapan dan ragam sebaran Poisson Misalkan adalah peubah acak yang menyebar Poisson dengan parameter > 0, dan fungsi massa peluang sebagai berikut p (n; ) = n e, n = 0,1,2, n! akan dibuktikan bahwa E() = var() =. Bukti: n=0 n e n e n 1 e E() = n p (n; ) = n = n = n n! n! n(n 1)! n=0 n=1 n=1 = e n 1 = e n = e e =. (n 1)! n! n=1 Jadi terbukti bahwa E() =. n=0 E( 2 ) = n 2 p (n; ) = n 2 n e = n 2 n e = e n n 1 n! n! (n 1)! n=0 = e 1 (n 1)! n=1 n=0 n=1 d d ( n ) = e d d ( n ) (n 1)! = e d n 1 ( ) = e d d (n 1)! d ( e ) = e (e + e ) = + 2. n=1 var() = E( 2 ) (E()) 2 = ( + 2 ) 2 =. Jadi terbukti bahwa var() =. n=1 n=1

30 20 Lampiran 2 Pembuktian nilai harapan dan ragam sebaran Pareto Misalkan X adalah peubah acak yang menyebar Pareto dengan parameter α dan yang memenuhi fungsi kepekatan peluang, sebagai berikut α α f X (x; α, ) =, α > 0 dan > 0 ( + x) α+1 akan dibuktikan bahwa: E(X) = α 1 α 2 var(x) = (α 1) 2, α > 2. (α 2) Bukti: α α E(X) = xf X (x) dx = x 0 ( + x) misalkan sehingga E(X) = α α u = x + u = x du = dx u u = α α ( u u α+1 du α+1 du α+1 dx Jika x = 0 maka u = Jika x = maka u = = α α ( 1 du uα u u α+1 du α+1 du = α α 1 ([ (1 α)u α 1 ] + [ αu α ] ) = α α ((0 α α = (1 α)α 1 = α 1 α α + (1 α) = 1 α = α 1. Jadi terbukti bahwa E(X) = ) 1 (1 α)α 1) + (0 α α)) α 1. ) = α α x dx ( + x) α+1 0

31 E(X 2 ) = x 2 f X (x) dx = x 2 α α ( + x) misalkan sehingga u = x + u 2 2u + 2 = x 2 du = dx E(X 2 ) = α α u2 2u + 2 u α+1 du = α α ( u2 u = α α ( 1 u α+1 du α 1 du 0 α+1 dx = α α x 2 dx ( + x) α+1 Jika x = 0 maka u = Jika x = maka u = 2u du + 2 uα+1 u 2 du uα + 2 u 0 α+1 du α+1 du = α α 1 ([ (2 α)u α 2 ] 2 [ (1 α)u α 1 ] [ 2 αu α ] ) = α α ((0 = α2 2 α + 2α2 1 α (2 α) α 2) (0 2 2 (1 α)α 1) + (0 α α)) = α2 (1 α) + 2α 2 (2 α) + 2 (2 3α + α 2 ) 2 3α + α = 2 3α + α 2. var(x) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = α + α 2 ( 2 α 1 ) 2 2 = (α 1)(α 2) 2 (α 1) 2 = 22 (α 1) 2 (α 2) (α 1) 2 (α 2) α 2 = (α 1) 2 (α 2). Jadi terbukti bahwa var(x) = ) ) = 2α2 2 2 α (α 1) 2 (α 2) α 2 (α 1) 2 (α 2). 21

32 22 Lampiran 3 Pembuktian nilai harapan total kerugian Misalkan X 1, X 2, adalah peubah acak yang bebas stokastik identik dengan nilai harapan E(X), dan jika > 0 yang merupakan peubah acak dengan nilai integer dan saling bebas dengan X i, i = 1,, dengan nilai harapan E() <, maka Bukti: E ( X i ) = E() E(X) E ( X i = n) = E ( X i = n) n n = E ( X i ), karena X 1,X 2,, X n bebas stokastik, maka n = E(X i ) = n E(X). E ( X i ) = E (E ( X i = n)) = E ( X i = n) P( = n) n=1 = n E(X) P( = n) n=1 = E(X) n P( = n) n=1 = E(X)E(). Jadi terbukti bahwa E ( X i ) = E() E(X).

33 23 Lampiran 4 Pembuktian ragam total kerugian Misalkan X 1, X 2, adalah peubah acak yang bebas stokastik identik dengan nilai harapan E(X) dan ragam var(x). Misalkan diberikan > 0 yang merupakan peubah acak dengan nilai integer dan saling bebas dengan X i, i = 1,, dengan nilai harapan E() < dan var() <, maka Bukti: var ( X i ) = E() var(x) + var() (E(X)) 2 Misalkan X adalah suatu peubah acak, maka ragam dari peubah acak X, dinotasikan dengan var(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2. Misalkan X dan adalah dua peubah acak, maka ragam dari X dengan syarat adalah var(x ) = E(X 2 ) (E(X )) 2. Teorema: var(x) = E[var(X )] + var(e[x ]) Bukti: E[var(X )] = E [E(X 2 ) (E(X )) 2 ] = E[E(X 2 )] E[E(X ) 2 ] = E(X 2 ) E[E(X ) 2 ]. var(e[x ]) = E[E(X ) 2 ] (E[E(X )]) 2 = E[E(X ) 2 ] [E(X)] 2. E[var(X )] + var(e[x ]) = E(X 2 ) E[E(X ) 2 ] + E[E(X ) 2 ] [E(X)] 2 = E(X 2 ) [E(X)] 2 = var(x). Terbukti bahwa var(x) = E[var(X )] + var(e[x ]). Dengan menggunakan teorema di atas, maka var ( X i ) = E [var ( X i )] + var [E ( X i )]

34 24 dengan n E [var ( X i )] = E [var ( X i = n)] = E [var ( X i = n)] = E [var ( X i )] n n = E [ var(x i )], karena X 1, X 2,, X n saling bebas, maka = E[n var(x)] = E[ var(x)] = var(x) E(). n var [E ( X i )] = var [E ( X i = n)] = var [E ( X i = n)] n = var [E ( X i )] n = var [ E(X i )], karena X 1, X 2,, X n saling bebas, maka = var[n E(X)] = var[ E(X)] = (E(X)) 2 var(). sehingga var ( X i ) = E [var ( X i )] + var [E ( X i )] = var(x) E() + (E(X)) 2 var() = E() var(x) + var() (E(X)) 2. Jadi terbukti bahwa var ( X i ) = E() var(x) + var() (E(X)) 2.

35 25 Lampiran 5 Pemrograman simulasi menggunakan software Mathematica 11.0 Membangkitkan Sebaran Poisson (λ) λ=30; n=1000; SeedRandom[39071];poisson=RandomVariate[PoissonDistribution[λ],n]; Mean[poisson]// StandardDeviation[poisson]// Histogram[poisson,Automatic,"PDF"] Membangkitkan Sebaran Pareto (α, ) SeedRandom[96081]; pareto=randomvariate[paretodistribution[ ,10,0],30]; Mean[pareto]// StandardDeviation[pareto]// Histogram[pareto,Automatic,"PDF"] Show[Histogram[pareto,{Min[pareto],Max[pareto], },"PDF"], SmoothHistogram[pareto, ,"PDF"]] Membangkitkan Sebaran Gabungan Poisson-Pareto, sebanyak n simulasi SeedRandom[1774];X=Table[RandomVariate[ParetoDistribution[ ,10,0],poisson[[i]]],{i,n}];

36 26 Total Kerugian Tanpa Deductible dan Limited Coverage Kerugian yang ditanggung pemegang polis (* tidak kerugian yang ditanggung pemegang polis, Ra=0 *) Kerugian yang dibayarkan oleh perusahaan Asuransi Sa=Table[Total[X[[i]]],{i,n}]; Show[Histogram[Sa,Automatic,"PDF"],SmoothHistogram[Sa,Automatic, "PDF"]] Total Kerugian dengan Deductible dan Limited Coverage d= ; u= ; Kerugian yang ditanggung pemegang polis Y=Table[If[X[[i,j]]<=d,X[[i,j]],If[d<X[[i,j]]<=u,d,X[[i,j]]+d-u]], {i,n},{j,length[x[[i]]]}]; Total kerugian yang ditanggung pemegang polis Rb= Table[Total[Y[[i]]],{i,n}]; Show[Histogram[Rb,Automatic,"PDF"],SmoothHistogram[Rb,Automatic, "PDF"]] Kerugian yang dibayarkan oleh perusahaan Z=Table[If[X[[i,j]]<=d,0,If[d<X[[i,j]]<=u,X[[i,j]]-d,u-d]],{i,n}, {j,length[x[[i]]]}];

37 Total kerugian yang dibayarkan perusahaan Sb= Table[Total[Z[[i]]],{i,n}]; Show[Histogram[Sb,Automatic,"PDF"],SmoothHistogram[Sb,Automatic, "PDF"]] 27 Total Kerugian dengan Aggregate Deductible dan Aggregate Limited Coverage Kasus 1 (* dengan d*=rp dan u*= *) Da= ; (* Da = ilai aggregate deductible*) Ua= ; (* Ua = ilai aggregate limited coverage*) Kerugian yang ditanggung seluruh pemegang polis Rc=Table[If[Sa[[i]]<=Da,Sa[[i]],If[Da<Sa[[i]]<=Ua,Da,Sa[[i]]+Da- Ua]],{i,n}]; Show[Histogram[Rc,{Min[Rc],Max[Rc], },"PDF"], SmoothHistogram[Rc, ,"PDF"]] Kerugian yang dibayarkan oleh perusahaan Sc=Table[If[Sa[[i]]<=Da,0,If[Da<Sa[[i]]<=Ua,Sa[[i]]-Da,Ua- Da]],{i,n}]; Show[Histogram[Sc,Automatic,"PDF"],SmoothHistogram[Sc,Automatic, "PDF"]]

38 28 Kasus 2 (* dengan d*=rp dan u*= *) Da2= ; (* Da2 = ilai aggregate deductible*) Ua2= ; (* Ua2 = ilai aggregate limited coverage*) Kerugian yang ditanggung seluruh pemegang polis Rc2=Table[If[Sa[[i]]<=Da2,Sa[[i]],If[Da2<Sa[[i]]<=Ua2,Da2,Sa[[i]]+ Da2-Ua2]],{i,n}]; Show[Histogram[Rc2,{Min[Rc2],Max[Rc2], },"PDF"], SmoothHistogram[Rc2, ,"PDF"]] Kerugian yang dibayarkan oleh perusahaan Sc2=Table[If[Sa[[i]]<=Da2,0,If[Da2<Sa[[i]]<=Ua2,Sa[[i]]-Da2,Ua2- Da2]],{i,n}]; Show[Histogram[Sc2,Automatic,"PDF"],SmoothHistogram[Sc2,Automatic, "PDF"]]

39 29 Menghitung Premi Premi Tanpa Deductible dan Limited Coverage Pa=Table[ *Sa[[i]]/poisson[[i]],{i,n}]; Mean[Pa] Premi Dengan Deductible dan Limited Coverage Pb=Table[ *Sb[[i]]/poisson[[i]],{i,n}]; Mean[Pb] Premi dengan Aggregate Deductible dan Aggregate Limited Coverage Pc=Table[ *Sc[[i]]/poisson[[i]],{i,n}]; Mean[Pc] Pc2=Table[ *Sc2[[i]]/poisson[[i]],{i,n}]; Mean[Pc2] Rataan, Simpangan Baku, Kuartil dari S dan R Rataan RataRataS=List[Mean[Sa],Mean[Sb],Mean[Sc],Mean[Sc2]] RataRataR=List[Mean[Rb],Mean[Rc], Mean[Rc2]] { , , , } { , , } Simpangan Baku SimpanganBakuS=List[StandardDeviation[Sa],StandardDeviation[Sb], StandardDeviation[Sc],StandardDeviation[Sc2]] SimpanganBakuR=List[StandardDeviation[Rb],StandardDeviation[Rc], StandardDeviation[Rc2] { , , , } { , , } Kuartil KuartilS=List[Quartiles[Sa],Quartiles[Sb],Quartiles[Sc], Quartiles[Sc2]] KuartilR=List[Quartiles[Rb],Quartiles[Rc],Quartiles[Rc2]] {{ , , }, { , , }, { , , } { , , }} {{ , , }, { , , }, { , , }}