PELABELAN SISI AJAIB DAN SISI AJAIB SUPER PADA GRAF KIPAS, GRAF TANGGA, GRAF PRISMA, GRAF LINTASAN, GRAF SIKEL, DAN GRAF BUKU

Transkripsi

1 PELABELAN SISI AJAIB DAN SISI AJAIB SUPER PADA GRAF KIPAS, GRAF TANGGA, GRAF PRISMA, GRAF LINTASAN, GRAF SIKEL, DAN GRAF BUKU Anina Tikasari, Budi Rahadjeng, S.Si, M.Si., Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, 0 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, 0 aninatika@yahoo.com, rahajeng@yahoo.com ABSTRAK Pelabelan graf merupakan pemberian label pada elemen-elemen graf seperti titik, sisi, titik dan sisi. Suatu pelabelan sisi ajaib pada graf G dengan p titik dan q sisi adalah suatu fungsi : V(G) E(G) {,,,, p + q} sedemikian hingga (u) + (v) + (uv) = k, untuk setiap uv E(G) dengan k konstanta. Selanjutnya dikatakan sebuah pelabelan sisi ajaib super dari G jika : V(G) {,,,, p}.yang dibahas pada skripsi ini tentang pelabelan sisi ajaib super. Jika suatu graf memenuhi pelabelan sisi ajaib, maka graf tersebut juga memenuhi pelabelan sisi ajaib super. Dalam hal ini ada beberapa graf yang memenuhi pelabelan sisi ajaib super yaitu graf kipas, graf tangga, graf prisma, graf lintasan, graf sikel dan graf buku (B ). Kata Kunci : Pelabelan sisi ajaib dan Pelabelan sisi ajaib super, graf kipas, graf tangga, graf prisma, graf lintasan, graf sikel dan graf buku (B ). PENDAHULUAN Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 7 ketika mencoba membuktikan kemungkinan untuk melewati empat daerah yang terhubung dengan tujuh jembatan Konigsberg di atas sungai Pregel di Kaliningrad, Rusia dalam sekali waktu. Teori graf merupakan salah satu cabang dari ilmu matematika yang perkembangannya sangat pesat, ini disebabkan karena aplikasinya yang sangat luas dalam kehidupan sehari-hari maupun berbagai ilmu yang lainnya. Misal dalam hal menentukan lintasan terpendek, menghubungkan suatu jaringan, dan lain sebagainya. Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Pada prinsipnya, pelabelan graf merupakan pemberian nilai (label) pada titik, sisi, atau keduanya. Pelabelan graf sudah banyak dikaji sejak 90-an. Pertama kali diperkenalkan oleh Sadlàčk (9), kemudian Stewart (9), Kotzig dan Rosa (97). Pelabelan pada suatu graf adalah suatu fungsi/pemetaan yang memasangkan unsur-unsur graf (titik atau sisi atau keduanya) dengan bilangan (biasanya bilangan bulat positif atau non-negatif). Hingga kini dikenal beberapa jenis pelabelan pada graf, antara lain pelabelan gracefull, pelabelan harmoni, pelabelan total tak beraturan, pelabelan ajaib, pelabelan anti ajaib dan pelabelan sisi ajaib super. Salah satu pelabelan yang menarik yang dilabelkan dengan bilangan adalah pelabelan sisi ajaib super. Pelabelan sisi ajaib super adalah pelabelan pada suatu graf yang dilabelkan dengan bilangan, dimana label setiap titik dan sisi yang terkait (incident) jika dijumlahkan menghasilkan bilangan bulat yang sama. KAJIAN PUSTAKA Pada bagian ini, akan diuraikan beberapa definisi dasar dan beberapa teorema yang berkaitan dengan pembahasan mengenai pelabelan graceful sisi pada bab berikutnya.. TEORI DASAR GRAF Sebuah graf G didefinisikan sebagai pasangan terurut dua himpunan, yaitu himpunan hingga tak kosong V(G) yang elemen elemennya disebut titik dan himpunan berhingga yang mungkin kosong E(G) yang elemen elemennya disebut sisi sedemikian hingga setiap elemen e dalam E(G) merupakan pasangan tak berurutan dari titik titik di V(G). V(G) disebut himpunan titik dari graf dan E(G) disebut himpunan sisi dari graf G. Jika G tidak memiliki sisi maka G disebut graf kosong.

2 . MACAM-MACAM GRAF Sebuah graf komplit dengan n titik, dilambangkan dengan K n, adalah graf sederhana di mana untuk setiap dua titik berbeda pada graf dihubungkan oleh tepat satu sisi. Graf lintasan P n adalah graf yang terdiri dari satu lintasan. Graf lingkaran C n (Cycle Graph) merupakan graf sederhana yang setiap titiknya berderajat dua. Untuk n, Graf kipas F n adalah graf yang diperoleh dari penjumlahan graf komplit K dan graf lintasan P n, yaitu F n =K +P n. Untuk n, Graf prisma (Prism Graph) R n adalah graf hasil kali kartesius P x C n dimana P adalah sebuah lintasan dengan titik dan C n adalah graf sikel/lingkaran dengan n titik. Graf tangga L n merupakan hasil kali kartesius graf lintasanp x P. Graf G disebut pohon jika G adalah graf terhubung dan tidak memuat sikel. Graf bintang (Star) S n merupakan pohon pada n titik yang mempunyai satu titik berderajat n- dan n- titik berderajat satu. Banyak sisi pada suatu graf bintang yang terdiri dari n buah titik adalah n-. Untuk n, Graf buku (book graph) B n adalah graf hasil kali kartesius S n+ x P, dimana S n+ adalah graf bintang dengan n+ titik dan P adalah graf lintasan dengan titik. Banyak titik pada graf buku B n adalah (n+) dan banyak sisi adalah n+.. PELABELAN Pelabelan pada suatu graf adalah sebarang fungsi yang memasangkan unsur-unsur graf (titik atau sisi) dengan bilangan (biasanya bilangan bulat). Jika domain dari fungsi adalah himpunan titik, maka pelabelan disebut pelabelan titik (vertex labeling). Jika domain dari fungsi adalah himpunan sisi, maka pelabelan disebut pelabelan sisi (edge labeling). Dan jika domain dari fungsi adalah himpunan titik dan sisi, maka pelabelan disebut pelabelan total (total labeling). PEMBAHASAN. PELABELAN SISI AJAIB SUPER Misalkan graf G adalah graf berhingga dengan himpunan titik V(G) dan himpunan sisi E(G). Suatu pelabelan sisi ajaib pada graf G dengan p titik dan q sisi adalah suatu fungsi bijektif : V(G) E(G) {,,,, p + q} sedemikian hingga (u) + (v) + (uv) = k, untuk setiap uv E(G) dengan k konstanta. Selanjutnya dikatakan sebuah pelabelan sisi ajaib super dari G jika : V(G) {,,,, p}. Contoh : Gambar. Pelabelan sisi ajaib pada K Gambar. Pelabelan sisi ajaib super pada K. TEOREMA-TEOREMA : A. Graf Graf Sisi Ajaib Super Graf K pada gambar. adalah pelabelan sisi ajaib super dengan banyak titik dan banyak sisi. Misalkan banyak titik dinyatakan dengan p dan banyak sisi dinyatakan dengan q, maka pada graf K nilai k = 9. Karena jumlah label dua titik dan satu sisi yang terkait pada dua titik tersebut adalah sama, yaitu 9, maka graf K merupakan pelabelan sisi ajaib super. Teorema. Graf G merupakan sisi ajaib super jika dan hanya jika terdapat fungsi bijektif : V(G) {,,,, p} sedemikian sehingga himpunan S = { (u) + (v): uv E(G)} terdiri dari q bilangan bulat berurutan. Dalam hal ini dapat diperluas menjadi suatu pelabelan sisi ajaib super G dengan bilangan ajaib k = p + q + s dengan s = min(s) dan S = {k (p + ), k (p + ),, k (p + q)}. dimana: S merupakan hasil penjumlahan dua label titik yang berbeda. s merupakan minimum dari S. ( ) Asumsikan bahwa fungsi ada dan misalkan s = min(s) dapat diperluas dengan domain V(G) E(G) Misal (uv) = V(G) + E(G) + s (u) + (v) untuk setiap uv E(G). S = { (u) + (v); uv E(G)} terdiri dari E(G) bilangan bulat berurutan,( E(G) merupakan

3 banyak sisi pada graf G dengan min(s) = s dan terus bertambah satu hingga s + ( E(G) ). Untuk (u) + (v) = s, maka label titik (uv) = V(G) + E(G) Untuk (u) + (v) = s +, maka label titik (uv) = V(G) + E(G) Untuk (u) + (v) = s +, maka label titik (uv) = V(G) + E(G) Untuk (u) + (v) = s + ( E(G) ), maka label titik (uv) = V(G) + Untuk (u) + (v) = s + ( E(G) ), maka label titik (uv) = V(G) + Sehingga himpunan label sisinya adalah { V(G) +, V(G) +, V(G) +,, V(G) + E(G) } Karena titik pada graf G memiliki label {,,,, V(G) } dan sisinya mempunyai label { V(G) +, V(G) +, V(G) +,, V(G) + E(G) } Sedemikian hingga jumlah label dua titik dan satu sisi yang terkait pada dua titik tersebut adalah sama, maka graf G merupakan pelabelan sisi ajaib super. Sehingga graf G adalah sisi ajaib super. ( ) Karena G adalah graf sisi ajaib super dengan adalah pelabelan yang bersesuaian, maka terdapat bilangan ajaib k yaitu : k = (u) + (v) + (uv) atau k dapat ditulis dengan, k (uv) = (u) + (v) maka S = {k (uv); uv E(G)} karena pelabelannya memenuhi pelabelan sisi ajaib super dengan himpunan label sisi (uv) adalah { V(G) +, V(G) +, V(G) +,, V(G) + E(G) } untuk setiap uv E(G). Sehingga S = {k ( V(G) + ), k ( V(G) + ), k ( V(G) + ),, k ( V(G) + E(G) )} B. Graf Kipas Teorema. Graf kipas f memenuhi pelabelan n ajaib untuk setiap bilangan bulat positif n. Misal graf kipas f dengan : V(f ) = {u} {v : i n} Dimana : u titik pada K dan v i titik pada P n. E(f ) = {uv : i n} {v v : i n }; Label titik-titik dan sisi-sisi pada graf f n dengan :, x = u ( ) + i, x = v, i n n ( ) i ; x = uv, i n sisi n i + ; x = v v, i n Semua label titik dan sisi pada graf f n berbeda semua. Label titik v j untuk j ganjil, 0 j sebagai k: k. Label titik v j untuk j genap, < j < sebagai k + : 0 k. Label sisi uv j untuk j ganjil, 0 j sebagai k + : + k n. Label sisi uv j untuk j genap, < j < sebagai k: + k n. Label sisi v j v j+, j n adalah bilangan bulat yang dapat dinyatakan sebagai k + : k n. Labelf(u) =. Maka f n memenuhi pelabelan sisi ajaib dengan nilai k = n +. Teorema. Graf Kipas jika dan hanya jika n f n adalah graf sisi ajaib super { }Akan ditunjukkan bahwa graf kipas f dengan n memenuhi pelabelan sisi ajaib super. Untuk n = bersesusaian dengan K, untuk n = bersesusaian dengan K dan untuk n =,, dan, beri label K = dan P n dengan --, ---, dan { } Akan ditunjukkan bahwa graf kipasf memenuhi pelabelan sisi ajaib super maka n. Graf kipas f adalah graf sisi ajaib super.andaikann 7. Pada f n, V(f ) = n +, E(f ) = n dan V(f ) = {v : g(v ) = i; i =,,,, p}. Karena f n sisi ajaib super, berdasarkan teorema, S = {g(u) + g(v): uv E(f )}, maka S = {,,,,p }. Karena n 7, maka titik pada graf f dapat dinyatakan sebagai v, v, v, v, v, v, v, v merupakan semua titik yang berbeda.

4 ,, p, p adalah anggota S yang dapat dinyatakan tunggal dari penjumlahan dua label titik yang berbeda, maka = + p = p + (p ) = + p = p + (p ) Sehingga terdapat himpunan sisi v v, v v, v v, v v E(f ). Akan tetapi ada anggota S yang tidak dapat dinyatakan tunggal sebagai penjumlahan dua label titik yang berbeda, misalnya: = + = + p = p + (p ) = (p ) + (p ) Sehingga terdapat kemungkinan sisi yang terjadi yaitu : v v, v v, v v, v v, v v, v v atau v v, v v E(f ) Karena terdapat anggota S yang tidak dapat dinyatakan secara tunggal, maka tidak memenuhi fungsi bijektif. Sehingga untuk f, n 7 tidak ada pelabelan sisi ajaib super yang memenuhi. C. Graf Tangga Teorema.. Graf Tangga L n memenuhi pelabelan sisi ajaib super, untuk n adalah ganjil. Misal L n adalah graf tangga dengan : V(L ) = {u, v : i n} E(L ) = u u, v v, u v i n, j n} Label titik-titik pada graf L n dengan: i + ; x = u, i ganjil dan i n n + i + ; x = u, i genap dan < i < n n + i n + i ; x = v, i ganjil dan i n ; x = v, i genap dan < i < n Sedangkan label sisi-sisi L n dengan : g(x) = n i g(x) = n i ; x = u v, i n ; x = v v, i n g(x) = n i ; x = u u, i n Maka L n memenuhi pelabelan sisi ajaib super dengan nilai k =. D. Graf Prisma Teorema. Jika m adalah ganjil maka graf prisma C P adalah sisi ajaib super. Misal graf prisma C P dengan : V(G) = v, ; i m, j E(G) = {v, v, : i m, j } v, v, : i m, j = Label titik-titik pada graf C P dengan : i + ; x = v,, i ganjil, i m dan j = i + m +,, i genap, < i < m dan j = i + m,, i genap, < i < m dan j = i + m,, i ganjil, i m dan j = Sedangkan label sisi-sisi C P dengan : g(x) = m i ; x = v, v,, i < m dan j = g(x) = m ; x = v, v ( ),, i = m dan j = g(x) = m i + ; x = v, v,, i m dan j = g(x) = m i + ; x = v, v,, i m Maka C P memenuhi pelabelan sisi ajaib super dengan nilai k =. E. Graf Lintasan Teorema. Graf lintasan P n memenuhi pelabelan sisi ajaib super untuk setiap bilangan bulat positif n. Misal graf lintasan P n dengan : V(P ) = {v i n} E(P ) = {v v : i n } Labeli titik dan sisi pada graf P n dengan : a. Untuk n genap i + ; x = v, i ganjil dan i n n + i ; x = v, i genap dan i n n i ; x = v v, i n b. Untuk n ganjil i + ; x = v, i ganjil dan i n n + i +, i genap dan i n n i ; x = v v, i n Maka P n memenuhi pelabelan sisi ajaib super dengan nilai k = dan k =

5 F. Graf Sikel Teorema.7 Graf sikel C n memenuhi pelabelan sisi ajaib super, dimana n adalah ganjil. V(C ) = {v i n} E(C ) = {v v : i n } Label titik dan sisi pada graf C n dengan : i + ; x = v, i ganjil dan i n n + i +, i ganjil dan i n n i ; x = v v, i n n i ; x = v v ( ), i = n Maka C n memenuhi pelabelan sisi ajaib super dengan nilai k =. G. Graf Buku Teorema.8 Graf Buku B n adalah sisi ajaib untuk setiap bilangan bulat positif n. Misal graf buku B n dengan: V(B ) = {u, v} {u, v : i n} Dimana : u dan v adalah titik yang berderajat n + u i dan v i adalah titik yang berderajat E(B ) = {uv} {uu, vv, v v i n} Labeli titik dan sisi pada graf B n dengan : ; x = u n + ; x = v n + ; x = uv n + i + ; x = u dan i n n i + ; x = v dan i n n i + ; x = uu dan i n n + i + ; x = u v dan i n i + ; x = vv dan i n Maka B n memenuhi pelabelan sisi ajaib dengan nilai k = 7n + Teorema.9 Graf buku B memenuhi pelabelan sisi ajaib super. akan ditunjukkan bahwa B memenuhi pelabelan sisi ajaib super. Karena pelabelan diatas memenuhi pelabelan sisi ajaib super, maka graf buku B merupakan pelabelan sisi ajaib super dengan nilai k = 7.. SIMPULAN Berdasarkan pembahasan dapat disimpulkan: Graf kipas, graf tangga, graf prisma, graf lintasan, graf sikel dan graf buku (B ) merupakan pelabelan sisi ajaib super. DAFTAR PUSTAKA [] Budayasa,Ketut. 00. Teori Graph dan Aplikasinya. Surabaya: Unesa University Press. [] Galian, Joseph. 00. A Dynamic Survey of Graph Labeling. dalam jurnal the electronic journal of combinatoric 7. No.DS. [] Hikoe, Enomoto Super edge-magic graph. Dalam SUT Journal of Mathematics Vol, No. (998), diakses pada tanggal 0 Juli 0 [] Indah, Marta Rosa. 0. Pelabelan total sisi ajaib titik terurut pada graf. Universitas Negeri Surabaya. [] Jamila Pelabelan total sisi ajaib kuat graph sikel dengan sebuah chord dan graph C A ). Universitas Negeri Surabaya. ( n p 8 7 [] R.M. Figueroa, Centeno. 00. The place of super edge-magic labelings among otherclasses of labelings. Dalam jurnal Discrete Mathematics (00) 8. mong.pdfdiakses pada tanggal 0 Juli 0. [7] Sukiman,.00. Pengantar Aljabar Abstrak Malang : UM. Press [8] Sutomo, Heri,dkk.00. Matematika Diskrit Malang :UM.Press 0 9