Peramalan merupakan alat bantu yang penting dalam penyusunan rencana yang efektif dan efisien. Pada

Transkripsi

1 Estimasi Parameter Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) Menggunakan Algoritma Particle Swarm Optimization (PSO) (Studi Kasus: Peramalan Curah Hujan DAS Brangkal, Mojokerto) Meytaliana Factmawati, Basuki Widodo 2, dan Nuri Wahyuningsih 3 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60 Indonesia b_widodo@matematika.its.ac.id 2, nuri@matematika.its.ac.id 3 Abstrak Peramalan merupakan alat bantu yang penting dalam penyusunan rencana yang efektif dan efisien. Pada beberapa literatur terdapat banyak pendekatan untuk merumuskan model peramalan. Dalam penelitian ini digunakan proses Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) untuk merumuskan model peramalan curah hujan DAS Brangkal, Mojokerto, yaitu, ARR Jati Dukuh, ARR Gumeng, dan ARR Pacet Selatan. Algoritma PSO diterapkan untuk mengestimasi parameter model. Berdasarkan RMSE terkecil, model baik untuk ARR Jati Dukuh dengan RMSE , model [ ][ ] baik untuk ARR Gumeng dengan RMSE , sedangkan baik untuk ARR Pacet Selatan dengan RMSE Dengan menggunakan algoritma PSO, diperoleh model dengan RMSE untuk ARR Jati Dukuh, dengan RMSE untuk ARR Gumeng, serta dengan RMSE untuk ARR Pacet Selatan. Kata Kunci, estimasi parameter, PSO. S I. PENDAHULUAN UNGAI Brantas merupakan sungai terpanjang kedua di Jawa yang mempunyai peranan penting dalam menunjang pertanian di Jawa Timur. Sungai Brantas, yang memiliki batas administrasi wilayah sebesar 26,5% dari luas wilayah Jawa Timur, berperan dalam mengairi lebih dari 3000 Ha area persawahan di sekitar alirannya[]. Menurut Kuntjoro pada Seminar Nasional Aplikasi Teknologi Prasarana Wilayah menyatakan bahwa pada dekade terakhir ini terjadi perubahan fluktuasi debit air sungai Brantas akibat perubahan iklim, sehingga dibutuhkan peninjauan terhadap kondisi kapasitas, operasional, dan keamanan sungai Brantas[2]. Sementara itu, Paimin dkk. menyatakan bahwa DAS dapat dipandang sebagai suatu sistem, dimana komponen input berupa curah hujan, processor adalah DAS itu sendiri, dan output berupa produksi, debit air, erosi, dan sebagainya[3]. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa besarnya debit air bergantung pada besarnya curah hujan. Sehingga diperlukan suatu pengamatan terhadap perilaku curah hujan di DAS Brantas rawan banjir guna memperkirakan besarnya curah hujan di waktu mendatang. Hal tersebut perlu dilakukan untuk menghindari kegagalan dalam perencanaan bangunan air sebagai tindak lanjut dari peninjauan kondisi kapasitas, operasional, dan keamanan sungai Brantas dalam penyusunan rencana yang efektif dan efisien. Dengan peramalan, data dapat diolah untuk menjelaskan keadaan yang akan datang, seperti memperkirakan besarnya curah hujan di masa mendatang. Dalam jurnal yang berjudul Time Series Analysis for Rainfall Data in Jordan: Case Study for Using Time Series Analysis oleh Momani, disebutkan bahwa analisis deret berkala adalah alat bantu yang penting dalam merumuskan model peramalan. Dengan mengambil studi kasus data curah hujan di Yordania, Momani menggunakan model Autoregressive Integrated Moving Average ( ) untuk merumuskan model peramalan curah hujan[4]. Wang dan Zhao mengusulkan metode baru untuk mengestimasi parameter. Metode tersebut merupakan aplikasi dari algoritma Particle Swarm Optimization (PSO). Dengan studi kasus peramalan pada indeks harga konsumen, Wang dan Zhao memperlihatkan bahwa metode estimasi parameter menggunakan algoritma PSO memberikan hasil yang lebih baik daripada metode estimasi parameter yang biasa digunakan sebelumnya (moment estimate)[5]. Berdasarkan pemaparan di atas, maka dalam penelitian ini penulis mengambil judul ESTIMASI PARAMETER AUTOREGRESSIVE INTEGRATED MOVING AVERAGE ( ) MENGGUNAKAN ALGORITMA PARTICLE SWARM OPTIMIZATION (PSO) UNTUK KONSTRUKSI MODEL PERAMALAN CURAH HUJAN. Dalam penelitian ini, penulis menggunakan data curah hujan yang diukur dari ARR DAS Brangkal, Mojokerto. Peramalan curah hujan dirumuskan menggunakan model. Selanjutnya, parameter dari model yang sesuai, diestimasi menggunakan algoritma PSO. Pada akhir penelitian, hasil estimasi parameter menggunakan algoritma PSO dibandingkan dengan hasil estimasi menggunakan metode lain sebagai validasi, yaitu Conditional Least Square. II. DASAR TEORI A. Deret Berkala Berikut ini merupakan alat-alat yang diterapkan untuk menganalisa deret berkala:. Stasioneritas Data yang digunakan untuk analisis deret berkala adalah data yang stasioner baik dalam varian maupun dalam rata-rata. Data deret berkala dikatakan stasioner dalam varian apabila plot dari data deret berkala tersebut tidak memperlihatkan adanya perubahan varian yang jelas dari waktu ke waktu[6]. Ketidakstasioneran dalam varian dapat diatasi dengan Transformasi Box-Cox.

2 2 Apabila suatu data deret berkala diplot dan tidak terlihat adanya perubahan nilai tengah dari waktu ke waktu, maka dikatakan data deret berkala tersebut stasioner dalam rata-rata. Ketidakstasioneran dalam rata-rata dapat diatasi dengan proses differencing. 2. ACF dan PACF Autokorelasi merupakan korelasi antara deret berkala dengan deret berkala itu sendiri dengan selisih waktu (lag) periode atau lebih. Hubungan koefisien autokorelasi dengan lagnya disebut fungsi autokorelasi atau autocorrelation function (ACF) [6]. Sedangkan autokorelasi parsial digunakan untuk mengukur tingkat keeratan antara dengan, apabila pengaruh lag dianggap terpisah. hubungan koefisien autokorelasi parsial dengan lagnya disebut fungsi autokorelasi parsial atau partial autocorrelation function (PACF). B. yang sesuai untuk data deret berkala yang stasioner setelah melalui proses differencing adalah model. Secara umum, model dinotasikan dengan dimana merupakan orde model AR, merupakan orde model MA, dan adalah banyaknya differencing[5]. dapat dinyatakan sebagai berikut, dengan: C. Langkah-langkah merumuskan model [6]. Identifikasi model Pada proses ini, data diuji kestasionerannya baik dalam varian maupun dalam rata-rata. Setelah data stasioner, kemudian dilakukan proses pemilihan model yang tepat dengan cara mengidentifikasi orde AR dan MA pada grafik ACF dan PACF. 2. Estimasi dan Pengujian Signifikansi Parameter Setelah diidentifikasi model sementara, langkah selanjutnya adalah menentukan parameter model dan menguji si dari parameter model tersebut. 3. Pemerikasaan Diagnostik Dalam menentukan model terbaik, model harus memenuhi dua asumsi residual yaitu white noise dan. D. Conditional Least Square (CLS) Conditional Least Square (CLS) merupakan salah satu metode estimasi yang biasa digunakan untuk mengestimasi parameter model. CLS merupakan suatu metode yang dilakukan untuk mencari nilai parameter dengan meminimumkan jumlah kuadrat kesalahan. Secara umum, model CLS untuk mengestimasi parameter adalah merupakan suatu fungsi nonlinier, sehingga diperlukan suatu iterasi nonlinier untuk menyelesaikannya. Untuk memperoleh nilai estimasi parameter yang optimal,. digunakan iterasi Levenberg-Marquardt dengan meminimumkan nilai. E. Particle Swarm Optimitation(PSO) Algoritma PSO merupakan teknik optimasi berbasis stokastik yang diinspirasi oleh tingkah laku sosial sekawanan burung. Sekelompok burung secara random mencari makanan di suatu area[5]. Dengan demikian, PSO adalah algoritma berbasis populasi yang mengeksploitasi individu dalam populasi daerah penyelesaian di daerah pencarian. Dalam PSO, populasi disebut swarm dan individu disebut particle (partikel). Setiap partikel berpindah dengan kecepatan yang diadaptasi dari daerah pencarian dan menyimpannya sebagai posisi terbaik yang pernah dicapai. Diberikan daerah pencarian -dimensi dan suatu populasi partikel, dimana partikel ke dan kecepatannya dinyatakan dengan dua vektor berdimensi berturut-turut yaitu dan dengan. Masing-masing partikel mempunyai kemampuan mengetahui posisi terbaik yang dikunjungi sebelumnya dan posisi yang sedang dikunjungi. Selain itu, setiap partikel juga mengetahui posisi terbaik partikel dari populasinya. Selanjutnya kecepatan partikel dan posisi barunya dapat ditentukan sebagai berikut: ( ) ( ) dengan: : kecepatan partikel ke- pada iterasi ke- : posisi partikel ke- pada iterasi ke- : posisi terbaik invidu partikel ke- : posisi terbaik global dari populasi : bilangan random seragam dengan selang [ ] : koefisien akselerasi dengan selang [0,2] : bobot inersia : bobot inersia maksimum : bobot inersia minimum : iterasi maksimum : iterasi saat ini F. Algoritma PSO untuk Mengestimasi Parameter [5] Pada permasalahan model terdapat parameter sebanyak, yaitu, sehingga dimensi dari ruang pencariannya adalah. Apabila parameter dan dinotasikan dengan dan yang mempunyai dan komponen, maka suatu partikel dinotasikan dengan yaitu. Fungsi objektif dari permasalahan ini adalah: dengan: ( : jumlah data : banyaknya proses differencing : nilai pada waktu : nilai ramalan pada waktu dengan parameter )

3 3 Dengan demikian algoritma PSO pada Gambar dapat diterapkan sedemikian hingga diperoleh estimasi optimal untuk dan yaitu dan. Start Inisialisasi secara random,, dan tidak Menghitung,, dan, Menentukan dan ya Apakah Iterasi maks? Memperbaharui dan, Di sisi lain, dilakukan perancangan program untuk mengestimasi parameter model yang sesuai berdasarkan algoritma PSO. IV. ANALISA DAN PEMBAHASAN Data observasi pada subbab ini adalah data curah hujan mingguan ARR Jati Dukuh, ARR Gumeng, dan ARR Pacet Selatan periode Januari 20 Januari 204 dengan proporsi data Januari 20-Desember 204 digunakan untuk pembentukan model, sedangkan data Januari 204 digunakan untuk validasi model. Software yang digunakan untuk membantu penyelesaian penelitian ini adalah Minitab 6 dan Matlab 203a. Berikut ini merupakan hasil analisa data deret berkala dari masing-masing ARR DAS Brangkal. A. ARR Jati Dukuh Plot deret berkala ARR Jati Dukuh tidak memperlihatkan adanya kestasioneran baik dalam varian maupun dalam ratarata. Sehingga data perlu dilakukan transformasi Box Cox dan proses differencing untuk mendapatkan data yang stasioner. ARR Jati Dukuh Time Series Plot of ARR Jati Dukuh 0 Memperbaharui dan Box-Cox Plot of ARR Jati Dukuh Time Series Plot of ARR Jati Dukuh Menghitung dan,, Apakah <.? ya tidak StDev Lower CL Upper CL Limit (using 95.0% confidence) Estimate.00 Lower CL 0.58 Upper CL.35 Rounded Value.00 Gambar 2. Plot ARR Jati Dukuh plot data asli plot Box Cox setelah ditransformasi (c) plot setelah dilakukan proses differencing ARR Jati Dukuh (c) Finish.0 Autocorrelation Function for ARR Jati Dukuh (with 5% significance limits for the autocorrelations) Gambar. Algoritma PSO yang digunakan untuk mengestimasi parameter model III. METODOLOGI PENELITIAN Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan hasil pengamatan terhadap tiga stasiun ARR di DAS Brangkal yang dilakukan oleh BBWS Brantas, yaitu ARR Jati Dukuh, ARR Gumeng, dan ARR Pacet Selatan. Data tersebut meliputi data curah hujan mingguan pada masing-masing ARR mulai Januari 20 sampai dengan Januari 204. Langkah pertama adalah plot data deret berkala dari masing-masing curah hujan ARR Jati Dukuh, ARR Gumeng, dan ARR Pacet Selatan, lalu uji kestasionerannya baik dalam varian maupun dalam rata-rata. Data yang telah stasioner dibuat plot ACF dan PACF untuk menentukan dugaan sementara model. Setelah diperoleh model sementara, dilakukan uji si parameter serta pemeriksaan diagnostik dimana residu bersifat white noise dan. Partial Autocorrelation Autocorrelation Partial Autocorrelation Function for ARR Jati Dukuh (with 5% significance limits for the partial autocorrelations) Gambar 3. Plot ARR Jati Dukuh plot ACF plot PACF

4 4 Setelah dilakukan transformasi Box Cox dan proses differencing satu kali diperoleh data yang stasioner. Hal tersebut dapat ditunjukkan pada Gambar 2.Langkah selanjutnya adalah plot ACF dan PACF dengan merujuk pada data yang sudah stasioner. Plot ACF dan PACF ARR Jati Dukuh ditunjukkan pada Gambar 3. Berdasarkan plot ACF dan PACF ARR Jati Dukuh, ditentukan dugaan model sementara. Setelah diidentifikasi dugaan model sementara, langkah selanjutnya adalah menentukan parameter model. Setelah itu dilakukan uji si parameter terhadap dugaan model sementara menggunakan - sebagai berikut Hipotesa: : = 0 (parameter model tidak ) : 0 (parameter model ) Statistik uji: dengan, maka ditolak artinya parameter model. Langkah selanjutnya adalah pengujian white noise terhadap residu menggunakan Ljung Box sebagai berikut Hipotesa: : : minimal terdapat satu yang tidak sama dengan nol, Statistik uji: ( ) dengan, maka diterima artinya residual model bersifat white noise. Dengan metode yang sama dilakukan untuk lag 2,8, 24 pada Tabel, sehingga diperoleh kesimpulan bahwa residual bersifat white noise. Tabel Ljung-Box Selain white noise, residu dari model harus memenuhi asumsi. Pengujian distribusi dilakukan dengan uji Kolmogorov-Smirnov. Hipotesa: untuk semua ( ) untuk beberapa (tidak ) Statistik uji: dengan, maka ditolak, artinya residual model tidak. Sehingga model bukan merupakan model yang baik. Selanjutnya dilakukan overfitting untuk mendapatkan model-model lain yang sesuai. Berdasarkan plot ACF dan PACF ARR Jati Dukuh, memungkinkan untuk mengikuti lebih dari satu model. Hasil overfitting dapat dilihat pada Tabel 2. Tabel 2 Overfitting Signifikansi Ljung- Box Kolmorgorov- Smirnov Berdasarkan Tabel 2, dan merupakan model yang baik, karena memenuhi uji si parameter dan dua asumsi residual. terbaik dapat dipertimbangkan melalui nilai RMSE (Root Mean Square Error) dari kedua model, dimana model terbaik mempunyai RMSE paling kecil. RMSE dapat dilihat pada Tabel 3. Berdasarkan Tabel 3, dapat disimpulkan bahwa model terbaik ARR Jati Dukuh adalah. Tabel 3 RMSE RMSE B. ARR Gumeng Langkah-langkah yang sama juga dapat diterapkan pada data deret berkala ARR Jati Dukuh. Plot deret berkala ARR Gumeng tidak memperlihatkan adanya kestasioneran baik dalam varian maupun dalam rata-rata. Setelah dilakukan transformasi Box Cox dan proses differencing satu kali diperoleh data yang stasioner. Hal tersebut dapat ditunjukkan pada Gambar 4. StDev Box-Cox Plot of ARR Gumeng -2.5 Lower CL Upper CL 2.5 ARR Gumeng Limit 6 Time Series Plot of ARR Gumeng (using 95.0% confidence) Estimate.00 Lower CL Upper CL.85 Rounded Value.00 ARR Gumeng Time Series Plot of ARR Gumeng Gambar 4. Plot ARR Gumeng plot data asli plot Box Cox setelah ditransformasi (c) plot setelah didifferencing (c)

5 5 Merujuk pada data yang sudah stasioner, dibuat plot ACF dan PACF yang ditunjukkan pada Gambar 5. Berdasarkan plot ACF dan PACF ARR Jati Dukuh, ditentukan dugaan model sementara yaitu. Dari pengujian terhadap parameter model dapat disimpulkan bahwa parameter model. Selain itu, uji residu model memenuhi asumsi white noise dan. Sehingga merupakan model yang baik. Selanjutnya dilakukan overfitting untuk mendapatkan model-model lain yang sesuai. Berdasarkan plot ACF dan PACF ARR Jati Dukuh, memungkinkan untuk mengikuti lebih dari satu model. Hasil overfitting dapat dilihat pada Tabel 4. Autocorrelation Partial Autocorrelation Autocorrelation Function for ARR Gumeng (with 5% significance limits for the autocorrelations) Partial Autocorrelation Function for ARR Gumeng (with 5% significance limits for the partial autocorrelations) Gambar 5. Plot ARR Gumeng plot ACF plot PACF mencapai stasioneritas setelah dilakukan transformasi Box Cox dua kali serta proses differencing satu kali. Hal tersebut dapat ditunjukkan pada Gambar 6. Merujuk pada data yang sudah stasioner, dibuat plot ACF dan PACF yang ditunjukkan pada Gambar 7. Berdasarkan plot ACF dan PACF ARR Pacet Selatan, ditentukan dugaan model sementara. Dari pengujian terhadap parameter model dapat disimpulkan bahwa model baik karena memenuhi uji si parameter serta uji asumsi white noise dan terhadap residu. StDev ARR Pacet Selatan Box-Cox Plot of ARR Pacet Selatan Lower CL Upper CL Limit 6 Time Series Plot of ARR Pacet Selatan (using 95.0% confidence) Estimate. Lower CL 0 Upper CL.82 Rounded Value.00 ARR Pacet Selatan Time Series Plot of ARR Pacet Selatan Gambar 6. Plot ARR Pacet Selatan plot data asli plot Box Cox setelah ditransformasi (c) plot setelah didifferencing Autocorrelation Autocorrelation Function for ARR Pacet Selatan (with 5% significance limits for the autocorrelations) [ ][ ][ ][ ] Tabel 4 Overfitting Signifikansi Ljung-Box [ ][ ] [ ][ ] Kolmorgorov- Smirnov Partial Autocorrelation Partial Autocorrelation Function for ARR Pacet Selatan (with 5% significance limits for the partial autocorrelations) Berdasarkan Tabel 4,, [ ][ ], [ ][ ] dan [ ][ ][ ][ ] merupakan model yang baik, karena memenuhi uji si parameter dan dua asumsi residual. Dengan mempertimbangkan nilai RMSE, maka maka model terbaik adalah [ ][ ], karena memiliki RMSE terkecil dibandingkan model yang lain. C. ARR Pacet Selatan Seperti halnya ARR Gumeng dan ARR Jati Dukuh, plot data deret berkala ARR Pacet Selatan juga tidak memperlihatkan adanya kestasioneran baik dalam varian maupun dalam rata-rata. Deret berkala ARR Pacet selatan Gambar 7. Plot ARR Pacet Selatan plot ACF plot PACF 5 Selanjutnya dilakukan overfitting untuk mendapatkan model-model lain yang sesuai. Berdasarkan plot ACF dan PACF ARR Jati Dukuh, memungkinkan untuk mengikuti lebih dari satu model. Hasil overfitting dapat dilihat pada Tabel 5. Tabel 5 memperlihatkan bahwa,, [ ],, [ ][ ], dan [ ][ ][ ] merupakan model yang baik, karena memenuhi uji si parameter

6 6 dan dua asumsi residual. dengan RMSE terkecil merupakan model terbaik, yaitu. [ ][ ] [ ][ ][ ] Tabel 5 Overfitting Signifikansi Ljung- Box [ ] Kolmorgorov- Smirnov D. Estimasi Parameter menggunakan Algoritma PSO Dalam penelitian ini, data yang digunakan untuk estimasi parameter menggunakan algoritma PSO adalah data yang stasioner dalam varian. Estimasi dilakukan pada model yang sudah dijamin baik, yaitu model dengan parameter yang dan memenuhi dua asumsi residual. Dengan menginputkan nilai,,, dan data stasioner pada masingmasing ARR DAS Brangkal, diperoleh estimasi parameter yang disajikan pada Tabel 6. Tabel 6 Hasil estmasi perameter menggunakan algoritma PSO dan Metode Conditional Least Square [ ][ ] Par* ()* (2)* Estimasi RMSE Estimasi RMSE ARR Jati Dukuh ARR Gumeng ARR Pacet Selatan V. KESIMPULAN Berdasarkan analisis data deret berkala curah hujan DAS Brangkal, Mojokerto, dapat disimpulkan bahwa:. peramalan yang baik untuk ARR Jati Dukuh adalah dengan RMSE Secara umum, model dinotasikan dengan peramalan yang baik untuk ARR Gumeng adalah [ ][ ] dengan RMSE Secara umum, [ ][ ] dinotasikan dengan, peramalan yang baik untuk ARR Pacet Selatan adalah dengan RMSE Secara umum, dinotasikan dengan 2. Dengan menggunakan algoritma PSO, diperoleh model dengan RMSE untuk ARR Jati Dukuh,, dengan RMSE untuk ARR Gumeng, serta dengan RMSE untuk ARR Pacet Selatan. DAFTAR PUSTAKA [] Kementrian Pekerjaan Umum Direktorat Jendral Sumber Daya Air Balai Besar Wilayah Sungai Brantas. (200). Sistem Manajemen Mutu Unit Hidrologi Balai Besar Wilayah Sungai Brantas. Diakses pada tanggal 7 Maret 204 pukul.5 WIB. [2] Kuntjoro. (20). Kali Brantas Hilir dalam Tinjauan Data Debit Dekade Terakhir. Seminar Nasional Aplikasi Terapan teknologi Prasarana Wilayah. Diakses pada tanggal pukul 4.49 WIB. [3] Paimin, Sukresno, dan Purwanto. (2006). Sidik Cepat Degradasi Sub DAS. Pusat Penelitian dan Pengembangan Hutan dan Konservasi Alam. Bogor. [4] Momani, P.E. Naill M. (2009). Time Series Analysis for Rainfall Data in Jordan: Case Study for Using Time Series Analysis. American Journal of Environmental Sciences 5 (5) hal [5] Wang H, Zhao W..(2009). ARIMA Estimated by Particle Swarm Optimization Algorithm for Consumer Price Forcasting. H. Deng et al. (Eds.): AICI 2009, LNAI 5855, pp. hal.-58. [6] Makridakis, S, Wheelwright, S.C., McGee, V.E (992). Metode Peramalan dan Aplikasi Peramalan. Erlangga. Jilid. Jakarta. *Par : parameter *() :Estimasi parameter menggunakan algoritma PSO *(2) :Estimasi parameter menggunakan Conditional Lest Square Untuk memvalidasi hasil estimasi parameter menggunakan algoritma PSO, digunakan metode Conditional Least Square sebagai pembanding. Dapat diamati pada Tabel 6 bahwa estimasi parameter menggunakan algoritma PSO dan estimasi parameter menggunakan metode Conditional Least Square menghasilkan nilai RMSE yang besarnya sama.