ANALISIS PENGARUH INISIALISASI NNDSVD PADA METODE NMF DALAM EKSTRAKSI TOPIK UTAMA BERITA ONLINE INDONESIA
|
|
- Djaja Agusalim
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 ANALISIS PENGARUH INISIALISASI NNDSVD PADA METODE NMF DALAM EKSTRAKSI TOPIK UTAMA BERITA ONLINE INDONESIA Tasya Rahmita 1, Hendri Murfi 2, Dhian Widya 3 1 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia 2 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia 3 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia 1 tasya.rahmita@sci.ui.ac.id, 2 hmurfi@gmail.com, 3 dhianwidya@gmail.com Abstrak Berkembangnya portal berita online di Indonesia sangat pesat sehingga menyebabkan meningkatnya arus informasi. Banyaknya informasi yang ada pada portal berita online menimbulkan kesulitan untuk mengetahui topik berita secara garis besar. Untuk itu diperlukan ekstraksi topik berita online yang dapat dilakukan secara otomatis dengan bantuan mesin. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk mengekstraksi topik berita online secara otomatis adalah Non-Negative Matrix Factorization (NMF). Pada umumnya algoritma NMF menggunakan inisialisasi random untuk mendekomposisi matriks. Inisialisasi random pada algoritma NMF menghasilkan topik berita yang berbeda setiap kali eksekusi. Pada penelitian ini akan diimplentasikan salah satu metode inisialisasi NMF yaitu Non-Negative Double Singular Value Decomposition (NNDSVD). Metode ini berdasarkan dua proses dari Singular Value Decomposition (SVD). Proses SVD yang pertama untuk pendekatan matriks data dan yang kedua untuk pendekatan bagian positif. NNDSVD tidak mengandung unsur random, sehingga menghasilkan topik berita yang sama setiap kali eksekusi. An Impact Analysis on NNDSVD Initialization on NMF Method for Extracting Main Topic of Indonesia Online News Abstract The rapid development of portal online news in Indonesia causes the increment of information flow. The amount of information contained in these portals makes it difficult to know the outline of news topic. So, it is necessary to extract the topic automatically by using machine. Non-Negative Matrix Factorization (NMF) is a method used to extract news topic automatically. Generally, NMF algorithm uses random initialization to decompose matrix to get different news topic in every execution. In this research, one of NMF initialization, Non-negative Double Singular Value Decomposition (NNDSVD), will be implemented. This method uses two processes from Singular Value Decomposition (SVD), one approximating the data matrix, the other approximating positive section. NNDSVD contains no randomization, so that produce same news topic in every execution. Keywords : topic extraction, Non-Negative Matrix Factorization, Non-Negative Double Singular Value Decomposition, initialization on NMF. 1. Pendahuluan Perkembangan teknologi dan informasi saat ini menyebabkan tidak ada lagi batasan ruang dan waktu untuk berinteraksi. Perkembangan teknologi dan informasi yang paling fenomenal adalah internet. Internet menyediakan berbagai macam informasi yang mudah diakses oleh pengguna. Pengguna dapat mengakses informasi yang tersedia di internet dari belahan dunia
2 manapun pada waktu kapanpun. Karena internet memudahkan pengguna untuk mengakses informasi, menyebabkan pengguna internet semakin lama semakin meningkat. Gambar 1.1 Grafik Pengguna Internet di Indonesia [Sumber : APJII. Indonesia Internet Users. diakses pada 15 Januari 2014 pukul WIB] Dari Gambar 1.1 terlihat bahwa banyaknya pengguna internet di Indonesia semakin meningkat setiap tahunnya. Hal itu memicu arus informasi yang diakses oleh pengguna pun semakin meningkat. Dengan meningkatnya arus informasi di internet banyak media berita online yang bermunculan. Perkembangan portal berita online sangat pesat di Indonesia. Banyaknya informasi yang ditawarkan dengan sajian-sajian yang berbeda membuat portal berita saat ini begitu eksis dan semakin bisa mengadopsi para pengunjungnya. Hal ini terbukti dengan banyaknya sajian berita yang berupa isu secara cepat dapat ditangkap oleh para pembacanya 1. Selain itu juga, pengguna dapat mengakses berita pada portal berita online kapanpun dan dimanapun. Akan tetapi karena adanya keterbatasan akses internet, baik keterbatasan waktu maupun biaya dan juga update berita yang begitu cepat menyebabkan kendala bagi pengguna yang hanya menginginkan topik utama harian saja. Latent Semantic Analysis (LSA) adalah sebuah teori dan metode untuk ekstraksi dan representasi topik dari sekumpulan dokumen (Laundauer & Dumais, 1997). LSA mempunyai dua model untuk mengekstraksi topik dari sekumpulan dokumen, yaitu : Singular Value Decomposition (SVD) dan Non-Negative Matrix Factorization (NMF). SVD mempunyai kelemahan, yaitu elemen matriks bernilai negatif sehingga sulit untuk diinterpretasikan. Oleh 1 diakses pada 27 Desember 2013 pukul WIB
3 karena itu, NMF digunakan karena elemen di dalam matriks tidak bernilai negatif sehingga lebih mudah untuk diinterpretasikan. NMF merupakan metode yang mengekstraksi matriks menjadi dua matriks non-negative. Dengan mengekstraksi matriks tersebut akan didapatkan variabel tersembunyi, dalam hal ini variabel yang tersembunyi adalah topik dari suatu dokumen. Pada algoritma yang memecahkan masalah NMF pada umumnya menggunakan inisialisasi random yang menyebabkan topik yang dihasilkan dari metode NMF berbeda setiap kali eksekusinya. 2. Tinjauan Teoritis Pada bagian ini, diberikan beberapa teori dasar mengenai Non-Negative Matrix Factorization Non-Negative Matrix Factorization (NMF) Faktorisasi matriks adalah proses pemecahan atau penguraian suatu matriks menjadi beberapa matriks. Matriks-matriks hasil faktorisasi tersebut biasanya memiliki struktur tertentu dimana membuat beberapa operasi akan menjadi lebih sederhana atau jumlah komponen yang lebih sedikit. Secara umum, metode faktorisasi matriks dibagi menjadi dua kelompok, yaitu metode langsung dan metode aproksimasi. Beberapa jenis metode faktorisasi yang menggunakan metode langsung, yaitu faktorisasi LU, faktorisasi Cholesky, faktorisasi QR. Dan beberapa jenis metode faktorisasi yang menggunakan metode aproksimasi yang sering digunakan yaitu, Singular Value Decomposition (SVD), Matrix Factorization (MF), Non-Negative Matrix Factorization (NMF). Pada NMF, matriks berukuran dengan " 0, akan diuraikan menjadi dua matriks non-negative R dan R dengan < min(, ) sedemikian sehingga ". (2.1) Untuk menyelesaikan masalah aproksimasi (2.1) dan menentukan perkalian matriks dan matriks yang mendekati matriks, diperlukan definisi fungsi biaya (cost function). Cost function dibangun menggunakan jarak antara dua matriks no-negative dan, yaitu : (Lee & Seung, 2001) = ( " " ). (2.2),
4 Berdasarkan persamaan (2.2) cost function pada masalah aproksimasi (2.1) dapat dituliskan menjadi sebagai berikut:, = " = ( " (h) " ). (2.3), Jarak antara matriks dengan perkalian matriks dan diminimumkan untuk mencari matriks dan yang perkaliannya mendekati matriks Sehingga, permasalahan aproksimasi (2.1) dapat diformulasikan sebagai masalah optimasi berkendala sebagai berikut: min,, = 1 2 ( " h " ) dengan kendala " 0, h " 0,,,,., (2.4) Berdasarkan Definisi 2.5, persamaan (2.4) dapat dituliskan sebagai berikut: min, = 1, 2 ", dengan kendala " 0, h " 0,,,,. (2.5) Alternating Non-Negative Least Square (ANLS) Salah satu metode yang digunakan dalam menyelesaikan model Non-Negative Matrix Factorization adalah dengan menggunakan algoritma Alternating Non-Negative Least Square. Metode ini berdasarkan pada metode "Block Coordinate Descent" (Bertsekas, 1999). Fungsi biaya (cost function) pada masalah optimasi NMF merupakan fungsi konveks jika fungsi biaya memiliki satu matriks sebagai variabel bebasnya, sehingga dapat dibentuk sebagai berikut : (Lin, 2007) = "# min,, (2.6) = "# min,. (2.7) Pada persamaan (2.6) fungsi biaya hanya memiliki matriks sebagai variabel bebasnya, sehingga fungsi biaya (2.6) merupakan fungsi konveks. Pada persamaan (2.7) fungsi biaya hanya memiliki matriks sebagai variabel bebasnya, sehingga fungsi biaya (2.7) juga merupakan fungsi konveks. Sehingga algoritma Alternating Non-Negative Least Square untuk mencari matriks dan yang optimal dari persamaan (2.6) dan (2.7) adalah sebagai berikut:
5 Tabel 2.1 Algoritma Alternating Non-Negative Least Square Algoritma 1 Alternating Non-Negative Least Square 1. Inisialisasi " 0, h " 0,,,, 2. for = 1, 2, 3, 4, 5, = "# min, = "# min (, ) Menurut Paatero (1999) konvergensi Alternating Non-Negative Least Square terjamin berapa pun blok variabelnya. Namun, analisis konvergensi untuk metode Alternating Non-Negative Least Square ( Block Coordinate Descent ) memerlukan sifat keunikan solusi dari sub masalah (Bertsekas, 1999). Akan tetapi, sifat tersebut tidak terpenuhi di masalah ini. Karena sub masalah (2.6) dan (2.7) merupakan masalah konveks, bukan tepat konveks. Sehingga, kedua sub masalah mempunyai beberapa solusi optimal (solusi tidak unik). Untungnya, untuk kasus dua blok, Grippo dan Siandrone (2000) menunjukkan bahwa kondisi keunikan solusi tidak diperlukan sehingga konvergensi Alternating Non-Negative Least Square terjamin melalui Teorema 2.1. Teorema 2.1 (Lin, 2007) Setiap titik limit dari barisan {, } yang dihasilkan dari Algoritma (1) adalah titik stasioner dari 2.8. Persamaan (2.6) dan (2.7) merupakan sub masalah pada algoritma 1. Ketika salah satu blok variabel ( dan ) konstan, maka sub masalah menjadi masalah non-negative least square. Masing-masing sub masalah tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode Projected Gradient Descent (Lin, 2007) Projected Gradient Descent Pada subbab sub masalah (2.6) dan (2.7) dapat diselesaikan dengan menggunakan Projected Gradient Descent. Metode ini berdasarkan dari metode Gradient Descent. Sub masalah (2.6) bentuk optimasinya dituliskan kembali sebagai berikut:
6 min ", dengan kendala " 0,, (2.8) Fungsi () diperoleh dari sub masalah (2.6) dimana matriks konstanta. Jadi, pada persamaan (2.8) matriks dan merupakan matriks konstanta. Asumsikan merupakan indeks dari iterasi. Gradient Descent akan mencari solusi dari permasalahan tersebut dengan aturan memperbarui solusi sebagai berikut : = (). (2.9) Gradient dari masalah NMF didapatkan dari turunan parsial pertama dari fungsi (, ) terhadap blok variabel., = " (2.10) Namun, perbaruan solusi dengan aturan (2.9) dapat berupa bilangan negatif maka dengan fungsi projection, solusi akan diproyeksikan. Sehingga, Projected Gradient Descent memperbarui solusi menjadi dengan aturan sebagai berikut: = [ ()] (2.11) dengan fungsi projection didefinisikan sebagai berikut : " = " jika " 0 0 jika " < 0 (Lin, 2007). Dengan aturan perbaruan solusi pada (2.11), solusi yang didapatkan bernilai non-negative. Dengan memperhatikan sub masalah (2.7), bentuknya dapat dituliskan kembali sebagai berikut: min ", dengan kendala h " 0,, (2.12) Fungsi () diperoleh dari sub masalah (2.7) dimana matriks konstanta. Jadi, pada persamaan (2.12) matriks dan merupakan matriks konstanta.
7 Dengan cara yang sama diperoleh Projected Gradient Descent yang berdasarkan pada aturan Gradient Descent memperbarui solusi menjadi dengan aturan sebagai berikut: = [ ()] (2.13) dengan fungsi projection didefinisikan sebagai berikut : h " = h " jika h " 0 0 jika h " < 0 Gradient dari masalah NMF didapatkan dari turunan parsial pertama dari fungsi (, ) terhadap blok variabel., = " (2.14) (Lin, 2007). Sehingga algoritma Projected Gradient Descent dapat disusun berdasarkan solusi terbaru dari persamaan (2.11) dan (2.13) menjadi sebagai berikut: Tabel 2.2 Algoritma Projected Gradient Descent Algoritma 2 Projected Gradient Descent 1. Inisialisasi " 0, h " 0,,,, 2. for = 1, 2, 3, 4, 5, = [ ()] (Lin, 2007). = [ ()] Beberapa penelitian menggunakan kriteria berhenti dengan memeriksa perbedaan jarak antara solusi terbaru dengan solusi iterasi sebelumnya. Jika jarak yang dihasilkan cukup kecil, maka prosedur (algoritma) berhenti. Tetapi, pada masalah optimasi kriteria tersebut tidak menunjukkan bahwa solusi yang didapat mendekati titik stasioner atau tidak. Oleh karena itu, dibutuhkan kriteria berhenti yang memeriksa solusi mendekati titik stasioner atau tidak pada setiap iterasi. Pada Alternating Non-Negative Least Square, setiap sub masalah melibatkan permasalahan optimasi yang membutuhkan kriteria berhenti yang memeriksa solusi pada setiap iterasi mendekati titik stasioner atau tidak. Berdasarkan Lin (2007) kondisi yang umum digunakan untuk memeriksa solusi NMF mendekati titik stasioner atau tidak adalah
8 ,, (2.15) dimana (, ) adalah projected gradient. Persamaan (2.15) dapat digunakan untuk kriteria berhenti pada sub masalah Alternating Non- Negative Least Square. Dari penyelesaian sub masalah menghasilkan matriks dan dari setiap iterasi, sehingga kriteria berhenti untuk setiap sub masalah adalah, dan, (2.16) dimana = max(10, ), (2.17) merupakan batas toleransi dari persamaan (2.15). Selain kriteria berhenti di atas, kriteria berhenti dengan waktu atau batas iterasi juga sebaiknya digunakan sebagai kriteria berhenti tambahan. Mungkin saja kriteria berhenti sudah terpenuhi tanpa melakukan iterasi maka batas toleransi diperkecil menjadi sebagai berikut : dan " " (2.18) (Lin, 2007). Dalam penelitian ini digunakan 10 sebagai batas toleransi dan 2000 iterasi sebagai batas iterasi. 3. Metode Penelitian 3.1. Studi Literatur Pada tahap awal ini dilakukan perumusan masalah, dan pengumpulan materi atau literatur yang berhubungan dengan masalah yang diangkat. Materi yang digunakan adalah jurnal, buku, makalah, dan media lainnya yang mendukung untuk menyelesaikan masalah yang diangkat Akuisisi Data Pengumpulan data secara online dilakukan dengan menggunakan RSS (Rich Site Summary) dari portal berita online Indonesia. RSS merupakan dokumen dalam bentuk XML (Extensible Markup Language) yang menyimpan atau menampilkan gambar, berita utama, audio, dan lain lain dalam sebuah web. Portal berita yang digunakan pada penelitian ini adalah:
9 1. Detik 2 2. Republika 3 3. Antara 4 4. Inilah 5 5. Okezone 6 6. RMOL 7 7. Tempo 8 8. Viva 9 Karena arus informasi berita dari portal berita online begitu cepat maka pengumpulan data dilakukan secara online dengan menggunakan perangkat lunak DiscovertText 10 sehingga memudahkan untuk mengumpulkan data secara lengkap Implementasi Algoritma Algoritma yang digunakan dalam metode NMF adalah Projected Gradient Descent. Selanjutnya, inisialisasi NNDSVD akan diterapkan untuk algoritma tersebut. Algoritma Projected Gradient Descent akan diterapkan menggunakan perangkat lunak python 11. Dalam perangkat lunak python akan digunakan package scikit-learn Simulasi Pada tahap akhir ini, setelah algoritma diterapkan untuk ekstraksi topik berita maka akan dihasilkan topik-topik berita. Topik-topik yang dihasilkan dengan menggunakan inisialisasi NNDSVD akan dibandingkan setiap eksekusinya. Perbandingan tersebut bertujuan untuk
10 mengetahui keunikan topik yang dihasilkan setiap eksekusi dengan menerapkan inisialisasi NNDSVD pada algoritma Projected Gradient Descent. 4. Pembahasan Pada umumnya metode NMF menggunakan inisialisasi pada elemen matriks dan dengan nilai non-negative secara random. Inisialisasi random yang digunakan memberikan hasil yang berbeda setiap kali eksekusi. Oleh karena itu, dibutuhkan inisialisasi yang tidak random. Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah NNDSVD. Inisialisasi dengan menggunakan NNDSVD untuk matriks dan berdasarkan proses pada metode SVD. Metode ini dipilih karena dapat diterapkan oleh semua algoritma NMF yang ada (Boutsidis & Gallopoulos, 2008) Singular Value Decomposition (SVD) Sebelum membahas tentang SVD diberikan definisi bebas linear dan rank. Definisi 4.1 (Howard, 1994) Jika =,,, adalah himpunan vektor-vektor tak kosong, dan persamaan + + = (4.1) memiliki satu-satunya solusi, yaitu : = 0, = 0,, = 0 (4.2) maka adalah himpunan bebas linear. Jika ada solusi lainnya maka adalah himpunan tidak bebas linear. Definisi 4.2 (Burden & Faires, 2011) Rank dari matriks, dinotasikan dengan "#$(), menunjukkan banyaknya vektor baris yang bebas linear di. Selain NMF, Singular Value Decomposition (SVD) merupakan metode faktorisasi matriks secara aproksimasi. SVD memanfaatkan beberapa sifat matriks yang diberikan pada Teorema 4.1. Teorema 4.1 (Burden & Faires, 2011)
11 Misalkan matriks berukuran, maka berlaku: 1. matriks dan simetri, 2. "#$() = "#$( ), 3. nilai eigen dari dan riil dan non-negative, 4. nilai eigen dari dan sama. Definsi 4.3 (Howard, 1994) Suatu matriks bujur sangkar dengan sifat = (4.3) disebut matriks orthogonal. Sebelum dijelaskan faktorisasi matriks SVD, akan diberikan definisi dari nilai singular. Berikut adalah definisi nilai singular: Definsi 4.4 (Burden & Faires, 2011) Nilai singular dari matriks berukuran adalah akar kuadrat positif dari nilai eigen tak nol matriks simetris. Selanjutnya dapat dibentuk faktorisasi SVD menggunakan Teorema 4.2. Teorema 4.2 (Golub & Van Loan, 1996) Singular Value Decomposition (SVD) jika matriks bilangan riil ukuran, maka akan ada matriks-matriks orthogonal =,, R dan =,, R (4.4) sedemikian sehingga = "#$,..., R (4.5) dimana = "#(, ) dan Pada Teorema 4.2, merupakan nilai singular dari, dan vektor, merupakan vektor yang berkorespodensi dengan nilai singular. Berdasarkan Teorema 4.2 SVD akan menguraikan matriks berukuran, SVD akan menguraikan matriks menjadi sebagai berikut: = " (4.6)
12 dimana adalah matriks orthogonal ukuran, adalah matriks orthogonal ukuran, dan adalah matriks ukuran yang memiliki elemen tak nol tak negatif di diagonal utamanya. Ilustrasi dari faktorisasi Singular Value Decomposition (SVD) dapat dilihat pada Gambar 4.1. Gambar 4.1 Ilustrasi Singular Value Decomposition Secara umum algoritma Singular Value Decomposition adalah sebagai berikut: 1. hitung matriks, 2. hitung matriks simetris dan, 3. hitung semua nilai eigen dari matriks dan, 4. bentuk matriks dari Definisi 4.4 dengan elemen diagonal utama dari matriks adalah nilai singular yang terurut mulai dari yang terbesar dan elemen selain diagonal utama adalah 0, 5. bentuk matriks orthogonal dari vektor eigen yang dinormalisasi, 6. bentuk matriks orthogonal dari vektor eigen yang dinormalisasi. Karena nilai singular pada diagonal matriks sudah terurut mulai dari yang terbesar, maka hanya baris dan kolom pertama dari yang menghasilkan kemungkinan pendekatan terbaik dari matriks (Burden & Faires, 2011). Sehingga, matriks pada faktorisasi SVD dapat diperkecil ukuran matriksnya. Dari faktorisasi SVD pada Gambar 4.1 akan ditunjukkan ilustrasi proses pengecilan matriks pada faktorisasi SVD pada Gambar 4.2. Gambar 4.2 Ilustrasi Pengecilan Singular Value Decomposition
13 Dari proses pengecilan matriks pada faktorisasi SVD didapatkan matriks-matriks yang ukurannya lebih kecil, ditunjukkan pada Gambar 4.3. Gambar 4.3 Ilustrasi Singular Value Decomposition yang telah diperkecil 4.2. Non-Negative Double Singular Value Decomposition (NNDSVD) Dasar dari algoritma Non-Negative Double Singular Value Decomposition adalah dua proses pada algoritma NNDSVD dilakukan dengan metode SVD. Proses pertama adalah menguraikan matriks dengan SVD. Selanjutnya, proses kedua adalah menguraikan bagian positif dari matriks dan pada proses pertama dengan SVD. Sebelum membahas mengenai algoritma NNDSVD akan diberikan definisi mengenai bagian positif dari suatu matriks atau vektor. Definisi 4.5 (Boutsidis & Gallopoulos, 2008) Diberikan matriks atau vektor, bagian positif dari, dinotasikan dalam 0, adalah matriks atau vektor yang berukuran sama dengan dengan elemen dari adalah elemen tidak negatif dari atau 0. Dan bagian negatif dari adalah = dimana 0. Singular Value Decomposition yang telah diperkecil akan menguraikan matriks ukuran menjadi Pendekatan 4.7 akan dimodifikasi menjadi. (4.7) ( )( ). (4.8) Pada NMF, bagian pada pendekatan 4.8 digunakan untuk menginisialisasi matriks dan bagian digunakan untuk menginisialisasi matriks.
14 Dengan min(, ) pendekatan 4.7 dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari faktor singular sebagai berikut: = (4.9) dimana... > 0 adalah nilai singular tak nol dari dan, adalah vektor yang berkorespondensi dengan nilai singular. Untuk setiap yang dipilih dengan, maka persamaan 4.9 akan menjadi: () = () (4.10) dimana () =. Untuk mendapatkan matriks yang tidak negatif (non-negative) yang akan menjadi inisialisasi matriks dan, persamaan 4.10 akan dimodifikasi dengan mencari bagian positif dari () yaitu. Jika () memiliki rank sama dengan 1, maka () dapat didekatkan dengan menggunakan bagian positifnya, yaitu. Lemma 4.1 (Boutsidis & Gallopoulos, 2008) Diberikan matriks R sedemikian sehingga rank() = 1, dan dapat dituliskan menjadi =. Maka rank( ), rank( ) 2. Berdasarkan Lemma 4.1 maka bagian positif dari (), yaitu berdasarkan Teorema 4.3 berikut: dapat diekspansi Teorema 4.3 (Boutsidis & Gallopoulos, 2008) Misalkan R memiliki rank sama dengan 1, sedemikian sehingga = untuk R, R. Misalkan ± ± ±, ± ± ± adalah normalisasi bagian positif dan negatif dari dan, dan ± = ± ± dan ± = ±. Maka ekspansi tak terurut nilai singular dari dan adalah = +, (3.11) = +, (3.12)
15 Maksimum triplet dari adalah (,, ) jika = max(, ), selain itu adalah (,, ). Dengan hal yang sama didapatkan maksimum triplet dari adalah (,, ) jika = max(, ), selain itu adalah (,, ). Dengan menggunakan ekspansi pada Teorema 4.3 maka bagian dapat didekomposisi dan digunakan untuk menginisialisasi matriks tidak negatif dari dan. Secara umum algoritma NNDVD dapat dituliskan sebagai berikut: 1. hitung triplet utama dari, yaitu: = [,, ], 2. bentuk matriks (4.13) diperoleh dari pasangan vektor () =, (4.14) 3. ekstrak bagian positif dari masing-masing triplet dari dan [, ] dari [, ], 4. dengan ekspansi pada Teorema 4.3 gunakan untuk menginisialisasi (,). (Boutsidis & Gallopoulos, 2008) Algoritma lengkap dari NNDSVD diberikan pada tabel berikut ini: Tabel 3.1 Algoritma Non-Negative Double Singular Value Decomposition Algoritma 3 Non-Negative Double Singular Value Decomposition Input: Matriks non-negative ukuran, bilangan bulat < min(, ) Output: Matriks non-negative ukuran dan ukuran Hitung triplet utama : [,, ] Inisialisasi = dan ℎ = untuk = 1,, dan = 1,, for j = 2 : = ", = " untuk = 1, 2,, dan = 1, 2,, Cari,,, Cari,,, = dan = if > =, =, sigma = else =, =, sigma = end " = sigma dan ℎ" = = 1,2,, End sigma untuk = 1,2,, dan
16 (Boutsidis & Gallopoulos, 2008) Hasil dari algoritma NNDSVD adalah matriks non-negative dan. Matriks tersebut digunakan untuk inisialisasi pada algoritma penyelesaian NMF. 5. Hasil Penelitian Evaluasi dari solusi yang dihasilkan dari kedua inisialisasi dilakukan dari dua aspek, yaitu keunikan solusi yang dihasilkan dan interpretasi topik Keunikan Solusi Untuk evaluasi keunikan solusi yang dihasilkan diperlukan lebih dari satu kali eksekusi untuk melihat solusi yang dihasilkan pada setiap eksekusi sama atau tidak. Dengan menggunakan algoritma levenshtein 13, yaitu algoritma perbandingan kata, dapat membandingkan setiap topik yang dihasilkan dari setiap eksekusi. Pada penelitian ini, dilakukan 2 kali eksekusi untuk masing-masing inisialisasi dan topik yang diekstrak adalah 50 topik yang sudah terurut, untuk membandingkan per topik diambil 10 topik utama. Misal adalah matriks evaluasi topik, elemen adalah " dengan " [0,1]. Dimana " adalah hubungan kesamaan antar topik. Maka topik dikatakan sama dengan topik jika " = 1. Diagonal utama pada matriks evaluasi topik merupakan nilai kesamaan setiap topik dengan dirinya sendiri di setiap eksekusinya. Berikut adalah matriks evaluasi untuk inisialisasi random dengan menggunakan algoritma levenshtein untuk menyamakan per topik yang dihasilkan: topik ke Topik bulan Agustus 2013 insialisasi RANDOM1-RANDOM2
17 topik ke Topik bulan September 2013 insialisasi RANDOM1-RANDOM2 10 Topik bulan Oktober 2013 insialisasi RANDOM1-RANDOM2 topik ke topik ke Topik bulan November 2013 insialisasi RANDOM1-RANDOM2 10 Topik bulan Desember 2013 insialisasi RANDOM1-RANDOM2 Pada matriks evaluasi topik dengan menggunakan inisialisasi random, elemen-elemen dan diagonal utama yang terdapat di matriks hampir semua bernilai 0 di setiap bulannya. Jadi, setiap kali eksekusi inisialisasi random menghasilkan solusi (topik) yang berbeda. Evaluasi solusi inisialisasi NNDSVD dilakukan dengan cara yang sama yaitu dengan menggunakan algoritma levenshtein. Berikut adalah hasil dari matriks evaluasi dengan menggunakan inisialsasi NNDSVD:
18 Pada matriks evaluasi dengan menggunakan inisialisasi NNDSVD pada setiap bulannya, dapat dilihat elemen diagonal utama matriks evaluasi setiap bulannya bernilai satu. Hal ini berarti setiap kali eksekusi menghasilkan solusi (topik) yang sama topik ke topik ke 10 Topik bulan Agustus 2013 inisialisasi NNDSVD topik ke 10 Topik bulan September 2013 inisialisasi NNDSVD topik ke 10 Topik bulan Oktober 2013 inisialisasi NNDSVD topik ke 10 Topik bulan November 2013 inisialisasi NNDSVD 10 Topik bulan Desember 2013 inisialisasi NNDSVD
19 5.2. Interpretasi Hasil Pada umumnya, evaluasi dari aspek interpretasi topik dilakukan secara manual. Namun, hal itu sulit dilakukan jika topik yang diekstrak sangat banyak. Oleh karena itu, diperlukan perhitungan otomatis untuk menentukan suatu topik dapat diinterpretasikan atau tidak. Perhitungan otomatis yang digunakan pada penelitian ini adalah dengan menghitung nilai coherence melalui persamaan 5.1. (Lau, Newman, & Baldwin, 2014) "# = log, (5.1) "#() merupakan nilai Pointwise Mutual Information (PMI) pada topik ke- dimana (, ) merupakan probabilitas kata dan muncul bersama, ( ) probabilitas muncul kata, ( ) probabilitas muncul kata. Evaluasi dari aspek interpretasi hasil penelitian dengan menghitung nilai coherence dari 50 topik setiap bulannya. Semakin tinggi nilai coherence dari sebuah topik berarti semakin dapat diinterpretasikan oleh manusia. Perhitungan nilai coherence menggunakan modul topic\_interpretability pada python. Pada penelitian ini, dihitung nilai rata-rata coherence dari topik yang dihasilkan per bulan dengan menggunakan inisialisasi random dan NNDSVD. Berikut adalah grafik dari nilai rata-rata coherence yang dihasilkan: Gambar 5.1 Grafik Rata-rata coherence per bulan
20 Pada grafik rata-rata coherence topik yang dihasilkan dengan menggunakan inisialisasi NNDSVD lebih tinggi dibanding dengan inisialisasi random per bulan. Dari aspek interpretasi, inisialisasi NNDSVD jauh lebih mudah diinterpretasikan oleh manusia dibandingkan dengan inisialisasi random. 6. Kesimpulan Dari percobaan implementasi metode NMF untuk melakukan analisis pengaruh NNDSVD sebagai inisialisasi terhadap topik yang dihasilkan adalah: 1. topik yang dihasilkan dengan menggunakan inisialisasi NNDSVD pada metode NMF menghasilkan solusi yang unik setiap kali eksekusinya, 2. interpretasi topik yang dihasilkan dengan menggunakan inisialisasi NNDSVD pada metode NMF lebih mudah diinterpretasikan oleh manusia dibandingkan dengan topik yang dihasilkan dengan menggunakan inisialisasi random. 7. Daftar Referensi [1] Akbary, Amir, Dragos Ghioca, & Qiang Wang. (2011). On Constructing Permutations of Finite Fields. Finite Fields and Their Applications, Vol. 17, [2] Gallian, Joseph A. (2010). Contemporary Abstract Algebra. California: Cengage Learning. [3] Hardy, Darel W., Fred Richman, & Carol L. Walker. (2009). Applied Algebra: Codes, Ciphers, and Discrete Algorithms. Florida: Taylor & Francis Group. [4] Herstein, I.N. (1996). Abstract Algebra. New Jersey: Prentice Hall, Inc. [5] Lidl, Rudolf & Harald N. (1997). Finite Fields. Cambridge: Cambridge University Press. [6] Mullen, Gary L. & Carl Mummert. (2007). Finite Field and Applications. USA: American Mathematical Society. [7] Patty, C. Wayne. (2009). Foundations of Topology. Massachusetts: Jones & Bartlett Learning. [8] Zieve, Michael. (2010). Classes of Permutation Polynomials Based on Cyclotomy and An Additive Analogue. Additive Number Theory, pp
Matrix Factorization. Machine Learning
MMA10991 Topik Khusus - Machine Learning Matrix Factorization Dr. rer. nat. Hendri Murfi Intelligent Data Analysis (IDA) Group Departemen Matematika, Universitas Indonesia Depok 16424 05.11.13 1 Telp.
Lebih terperinciPENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR FUZZY KOMPLEKS MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI DOOLITTLE
Jurnal Sains, Teknologi Industri, Vol. 11, No. 2, Juni 2014, pp. 166-174 ISSN 1693-2390 print/issn 2407-0939 online PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR FUZZY KOMPLEKS MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI DOOLITTLE
Lebih terperinciPerbandingan Algoritma Golub Kahan dan QR Simetri untuk Dekomposisi Nilai Singular
J. Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 3, No. 1, May 2006, 19 25 Perbandingan Algoritma Golub Kahan dan QR Simetri untuk Dekomposisi Nilai Singular Dieky Adzkiya, E. Apriliani, Bandung A.S. Jurusan
Lebih terperinciAPLIKASI DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR PADA KOMPRESI UKURAN FILE GAMBAR
Jurnal Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 31 39 ISSN : 303 910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND APLIKASI DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR PADA KOMPRESI UKURAN FILE GAMBAR AMANATUL FIRDAUSI, MAHDHIVAN SYAFWAN,
Lebih terperinciUNIVERSITAS INDONESIA EKSTRAKSI TOPIK UTAMA HARIAN DARI PORTAL BERITA INDONESIA ONLINE MENGGUNAKAN SINGULAR VALUE DECOMPOSITION SKRIPSI
UNIVERSITAS INDONESIA EKSTRAKSI TOPIK UTAMA HARIAN DARI PORTAL BERITA INDONESIA ONLINE MENGGUNAKAN SINGULAR VALUE DECOMPOSITION SKRIPSI ASHARI NURHIDAYAT 0706261562 FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciREDUKSI RANK PADA MATRIKS-MATRIKS TERTENTU
J. Math. and Its Appl. ISSN: 89-65X Vol. 4, No., November 7, 8 REDUKSI RANK PADA MATRIKS-MATRIKS TERTENTU Erna Apriliani, Bandung Arry Sanjoyo Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember,
Lebih terperinciKriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian
Kriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian Rio Yohanes 1, Nora Hariadi 2, Kiki Ariyanti Sugeng 3 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia rio.yohanes@sci.ui.ac.id,
Lebih terperinciReduksi Rank pada Matriks-Matriks Tertentu
Reduksi Rank pada Matriks-Matriks Tertentu E. Apriliani, B. Ari Sanjaya September 6, 7 Abstract. Dekomposisi nilai singular (Singular Value Decomposition - SVD) adalah suatu metode untuk menuliskan suatu
Lebih terperincig(x, y) = F 1 { f (u, v) F (u, v) k} dimana F 1 (F (u, v)) diselesaikan dengan: f (x, y) = 1 MN M + vy )} M 1 N 1
Fast Fourier Transform (FFT) Dalam rangka meningkatkan blok yang lebih spesifik menggunakan frekuensi dominan, akan dikalikan FFT dari blok jarak, dimana jarak asal adalah: FFT = abs (F (u, v)) = F (u,
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Matriks Matriks adalah himpunan bilangan real yang disusun secara empat persegi panjang, mempunyai baris dan kolom dengan bentuk umum : Tiap-tiap bilangan yang berada didalam
Lebih terperinciUNIVERSITAS INDONESIA EKSTRAKSI TOPIK UTAMA HARIAN PORTAL BERITA INDONESIA ONLINE MENGGUNAKAN NONNEGATIVE MATRIX FACTORIZATION SKRIPSI
UNIVERSITAS INDONESIA EKSTRAKSI TOPIK UTAMA HARIAN PORTAL BERITA INDONESIA ONLINE MENGGUNAKAN NONNEGATIVE MATRIX FACTORIZATION SKRIPSI HANIF FATRIAL 0706261700 FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Noise Pada saat melakukan pengambilan gambar, setiap gangguan pada gambar dinamakan dengan noise. Noise dipakai untuk proses training corrupt image, gambarnya diberi noise dan
Lebih terperinciRUANG VEKTOR BAGIAN RANK KONSTAN DARI BEBERAPA RUANG VEKTOR MATRIKS CONSTANT RANK VECTOR SUBSPACE OF SOME VECTOR SPACE MATRICES
RUANG VEKTOR BAGIAN RANK KONSTAN DARI BEBERAPA RUANG VEKTOR MATRIKS CONSTANT RANK VECTOR SUBSPACE OF SOME VECTOR SPACE MATRICES Iin Karmila Putri Karsa Amir Kamal Amir Loeky Haryanto Jurusan Matematika
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Tes Secara harfiah kata tes berasal dari kata bahasa prancis kuno: testum yang berarti piring untuk menyisihkan logam-logam mulia, dalam bahasa Indonesia diterjemahkan dengan
Lebih terperinciENHANCED K-SVD ALGORITHM for IMAGE DENOISING
ENHANCED K-SVD ALGORITHM for IMAGE DENOISING Edwin Junius, Reza Alfiansyah, Endra,Universitas Bina Nusantara, mono_unk@yahoo.com, devil.reza12@yahoo.com, ABSTRAK Penelitian ini bertujuan untuk membuat
Lebih terperinciSOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 1 (2014), hal 91 98. SOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR Febrianti,
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciDAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. PEMBATASAN MASALAH... 2 C.
Lebih terperinciGARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN
GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN Mata Kuliah : Aljabar Linear Kode / SKS : TIF-5xxx / 3 SKS Dosen : - Deskripsi Singkat : Mata kuliah ini berisi Sistem persamaan Linier dan Matriks, Determinan, Vektor
Lebih terperinciSOLUSI NON NEGATIF PARSIAL SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE SATU
SOLUSI NON NEGATIF PARSIAL SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE SATU Muhafzan Jurusan Matematika Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Andalas Kampus Unand Limau Manis Pag 25163 email:
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. pemrograman nonlinear, fungsi konveks dan konkaf, pengali lagrange, dan
BAB II KAJIAN PUSTAKA Kajian pustaka pada bab ini akan membahas tentang pengertian dan penjelasan yang berkaitan dengan fungsi, turunan parsial, pemrograman linear, pemrograman nonlinear, fungsi konveks
Lebih terperinci6 Sistem Persamaan Linear
6 Sistem Persamaan Linear Pada bab, kita diminta untuk mencari suatu nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = 0. Pada bab ini, masalah tersebut diperumum dengan mencari x = (x, x,..., x n ) yang secara sekaligus
Lebih terperinciKAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT
KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT Nama Mahasiswa : Aprilliantiwi NRP : 1207100064 Jurusan : Matematika Dosen Pembimbing : 1 Soleha, SSi, MSi 2 Dian Winda Setyawati,
Lebih terperinciBAB 3 METODOLOGI Metode Penelitian. Dalam melakukan penelitian akan permasalahan ini, penulis menggunakan metode
BAB 3 METODOLOGI 3.1. Metode Penelitian Dalam melakukan penelitian akan permasalahan ini, penulis menggunakan metode rapid application development (RAD), dengan alur pengerjaan sebagai berikut: Gambar
Lebih terperinciOPTIMASI FUNGSI MULTIVARIABLE TANPA KENDALA DENGAN METODE NEWTON
OPTIMASI FUNGSI MULTIVARIABLE TANPA KENDALA DENGAN METODE NEWTON Susi Ranangga [M008067], Aeroni Dwijayanti [M008078] Hamdani Citra P. [M0003], Nafi Nur Khasana [M00058]. Pendahuluan Dalam kehidupan sehari-hari
Lebih terperinciKOEFISIEN DETERMINASI REGRESI FUZZY SIMETRIS UNTUK PEMILIHAN MODEL TERBAIK. Iqbal Kharisudin. Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Semarang
KOEFISIEN DETERMINASI REGRESI FUZZY SIMETRIS UNTUK PEMILIHAN MODEL TERBAIK S-33 Iqbal Kharisudin Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Semarang Email: iqbal_kh@staff.unnes.ac.id Abstrak: Dalam analisis
Lebih terperinciANALISIS REDUKSI DATA CITRA MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR
ANALISIS REDUKSI DATA CITRA MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR Susan Sulaiman, Suhartati Agoes Jurusan Teknik Elektro Universitas Trisakti Jl. Kyai Tapa no 1, Grogol, Jakarta 11440 susan_sulaiman_2006@yahoo.co.id
Lebih terperinciCHAPTER 3 ALGORITHMS 3.1 ALGORITHMS
CHAPTER 3 ALGORITHMS 3.1 ALGORITHMS Algoritma Definisi 1. Algoritma adalah himpunan hingga perintah yang terinci dalam melakukan perhitungan atau pemecahan masalah. Contoh 1. Program komputer adalah suatu
Lebih terperinciRUANG VEKTOR BAGIAN RANK KONSTAN DARI BEBERAPA RUANG VEKTOR MATRIKS
Prosiding Seminar Nasional Volume, Nomor 1 ISSN 443-119 RUANG VEKOR BAGIAN RANK KONSAN DARI BEBERAPA RUANG VEKOR MARIKS Iin Karmila Putri 1, Andi Jumardi Universitas Cokroaminoto Palopo 1, iinkarmilaputri@gmail.com
Lebih terperinciBAB 1 Konsep Dasar 1
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB Solusi Persamaan Fungsi Polinomial BAB 3 Interpolasi dan Aproksimasi Polinomial 3 BAB 4 Metoda Numeris untuk Sistem Nonlinier 4 BAB 5 Metoda Numeris Untuk Masalah Nilai Awal 5
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matriks merupakan istilah yang digunakan untuk menunjukkan jajaran persegi panjang dari bilangan-bilangan dan setiap matriks akan mempunyai baris dan kolom. Salah satu
Lebih terperinciMETODE GREVILLE S UNTUK MENENTUKAN INVERS MOORE PENROSE DAN IMPLEMENTASINYA DENGAN BAHASA PEMROGRAMAN C SKRIPSI. Oleh : Joko Saryono J2A
METODE GREVILLE S UNTUK MENENTUKAN INVERS MOORE PENROSE DAN IMPLEMENTASINYA DENGAN BAHASA PEMROGRAMAN C SKRIPSI Oleh : Joko Saryono J2A 605 062 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA
Lebih terperinciMENENTUKAN INVERS MOORE PENROSE DARI SUATU MATRIKS DENGAN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR SKRIPSI. Disusun oleh : DINA MARIYA J2A
MENENTUKAN INVERS MOORE PENROSE DARI SUATU MATRIKS DENGAN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR SKRIPSI Disusun oleh : DINA MARIYA J2A 004 011 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciON SOLUTIONS OF THE DISCRETE-TIME ALGEBRAIC RICCATI EQUATION. Soleha Jurusan Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya
ON SOLUTIONS OF THE DISCRETE-TIME ALGEBRAIC RICCATI EQUATION Soleha Jurusan Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya Abstract. On solving the optimal control for the linear discrete-time
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengantar Pada bab ini akan diuraikan beberapa landasan teori untuk menunjang penulisan skripsi ini. Uraian ini terdiri dari beberapa bagian yang akan dipaparkan secara terperinci
Lebih terperinciHUBUNGAN ANTARA MAYORISASI NILAI EIGEN EUCLIDEAN DISTANCE MATRIX (EDM) DENGAN MATRIKS SEMIDEFINIT POSITIF YANG BERSESUAIAN
HUBUNGAN ANTARA MAYORISASI NILAI EIGEN EUCLIDEAN DISTANCE MATRIX EDM) DENGAN MATRIKS SEMIDEFINIT POSITIF YANG BERSESUAIAN Harnoko Dwi Yogo Pembimbing : Arie Wibowo, M.Si Program Studi Matematika, Fakultas
Lebih terperinciMENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS MENGGUNAKAN METODE SALIHU
MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS MENGGUNAKAN METODE SALIHU DENGAN Andi Bahota 1*, Aziskhan 2, Musraini M. 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen JurusanMatematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciMenentukan Invers Drazin dari Matriks Singular Dengan Metode Leverrier Faddeev
Jurnal Sains Matematika dan Statistika, Vol. I, No., Januari ISSN 46-44 Menentukan Invers Drazin dari Matriks Singular Dengan Metode Leverrier Faddeev Suhendry, Irma Suryani, Jurusan Matematika, Fakultas
Lebih terperinciAplikasi Matriks Circulant Untuk Menentukan Nilai Eigen Dari Graf Sikel (Cn)
Aplikasi Matriks Circulant Untuk Menentukan Nilai Eigen Dari Graf Sikel (Cn) T 24 Siti Rahmah Nurshiami dan Triyani Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknik Universitas Jenderal soedirman, Purwokerto
Lebih terperinciMETODE ORDE-TINGGI UNTUK MENENTUKAN AKAR DARI PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT
METODE ORDE-TINGGI UNTUK MENENTUKAN AKAR DARI PERSAMAAN NONLINEAR I. P. Edwar, M. Imran, L. Deswita Mahasiswa Program Studi S Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 2.
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : 3 Minggu Ke Pokok Bahasan dan TIU Sub Pokok Bahasan Sasaran Belajar Cara Pengajaran Media Tugas Referens i 1
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan landasan teori tentang optimasi, fungsi, turunan,
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan landasan teori tentang optimasi, fungsi, turunan, pemrograman linear, metode simpleks, teorema dualitas, pemrograman nonlinear, persyaratan karush kuhn
Lebih terperinciBAB 3 LANDASAN TEORI
BAB 3 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai beberapa landasan teori yang digunakan untuk perancangan dan pembuatan aplikasi rekomendasi informasi yang bisa dijadikan sebagai acuan. 3.1 Media
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA
Mata Kuliah : Matematika Diskrit 2 Kode / SKS : IT02 / 3 SKS Program Studi : Sistem Komputer Fakultas : Ilmu Komputer & Teknologi Informasi. Pendahuluan 2. Vektor.. Pengantar mata kuliah aljabar linier.
Lebih terperinciIntegrasi Peringkas Dokumen Otomatis Dengan Penggabungan Metode Fitur dan Metode Latent Semantic Analysis (LSA) Sebagai Feature Reduction
Integrasi Peringkas Dokumen Otomatis Dengan Penggabungan Metode Fitur dan Metode Latent Semantic Analysis (LSA) Sebagai Feature Reduction Junta Zeniarja 1, Abu Salam 2, Ardytha Luthfiarta 3, L Budi Handoko
Lebih terperinciPEMODELAN SISTEM FUZZY STATIS SECARA UMUM DAN IDENTIFIKASI KONSTANTA PARAMETER DALAM SISTEM FUZZY STATIS
PEMODELAN SISTEM FUZZY STATIS SECARA UMUM DAN IDENTIFIKASI KONSTANTA PARAMETER DALAM SISTEM FUZZY STATIS Nadia Ersa Febrina 1, Rahmi Rusin 2 1 Mahasiswa Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori teori yang berhubungan dengan pembahasan ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berpikir dan akan mempermudah dalam hal pembahasan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Perkalian skalar perplectic merupakan bagian dari teori perkalian skalar indefinite. Untuk menjelaskan pengertian perkalian skalar perplectic, terlebih dahulu
Lebih terperinciEVALUASI PENGARUH FUNGSI AKTIFASI DAN PARAMETER KEMIRINGANNYA TERHADAP UNJUKKERJA PENGENALAN JARINGAN SYARAF TIRUAN
EVALUASI PENGARUH FUNGSI AKTIFASI DAN PARAMETER KEMIRINGANNYA TERHADAP UNJUKKERJA PENGENALAN JARINGAN SYARAF TIRUAN (Studi Kasus pada Pengenalan Karakter Angka Tulisan Tangan) Iwan Suhardi Jurusan Teknik
Lebih terperinciBAB III MENENTUKAN PRIORITAS DALAM AHP. Wharton School of Business University of Pennsylvania pada sekitar tahun 1970-an
BAB III MENENTUKAN PRIORITAS DALAM AHP Pada bab ini dibahas mengenai AHP yang dikembangkan oleh Thomas L Saaty di Wharton School of Business University of Pennsylvania pada sekitar tahun 970-an dan baru
Lebih terperinciISSN (Media Cetak) ISSN (Media Online) Implementasi Metode Eliminasi Gauss Pada Rangkaian Listrik Menggunakan Matlab
JITEKH, Vol, No, Tahun 27, -5 ISSN 28-577(Media Cetak) ISSN 2549-4 (Media Online) Implementasi Metode Eliminasi Gauss Pada Rangkaian Listrik Menggunakan Matlab Silmi, Rina Anugrahwaty 2 Staff Pengajar
Lebih terperinciSyarat Fritz John pada Masalah Optimasi Berkendala Ketaksamaan. Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2. Abstrak
Syarat Fritz John pada Masalah Optimasi Berkendala Ketaksamaan Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2 1,2 Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY 1 wcaturiyati@yahoo.com 2 himmawatipl@yahoo.com Abstrak
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier
PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
Lebih terperinciPembagi Bersama Terbesar Matriks Polinomial
Vol. 11, No. 1, 63-70, Juli 2014 Pembagi Bersama Terbesar Matriks Polinomial Indramayanti Syam 1,*, Nur Erawaty 2, Muhammad Zakir 3 ABSTRAK Teori bilangan adalah cabang ilmu Matematika yang mempelajari
Lebih terperinciPemanfaatan Nonnegative Matrix Factorization pada Kriptografi untuk Mengamankan Data Gambar
Prosiding SNM 2014 Topik penelitian, hal. xx-xx. Pemanfaatan Nonnegative Matrix Factorization pada Kriptografi untuk Mengamankan Data Gambar INDRA BAYU MUKTYAS 1 1Program Studi Pendidikan Matematika, STKIP
Lebih terperinci4 HASIL DAN PEMBAHASAN
24 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Data Korpus Data korpus berisi berita-berita nasional berbahasa Indonesia dari tanggal 11 Maret 2002 sampai 11 April 2002. Berita tersebut berasal dari berita online harian
Lebih terperinciPENERAPAN METODE ELEMEN HINGGA UNTUK SOLUSI PERSAMAAN STURM-LIOUVILLE
PENERAPAN METODE ELEMEN HINGGA UNTUK SOLUSI PERSAMAAN STURM-LIOUVILLE Viska Noviantri Mathematics & Statistics Department, School of Computer Science, Binus University Jln. K.H. Syahdan No. 9, Palmerah,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Suatu matriks A C m n dikatakan memiliki faktorisasi LU jika matriks tersebut dapat dinyatakan sebagai A = LU dengan L C m m matriks invertibel segitiga bawah
Lebih terperinciMATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINIER WAKTU DISKRIT. Soleha, Dian Winda Setyawati Jurusan Matematika, FMIPA Institut Teknologi Surabaya
MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINIER WAKTU DISKRIT Soleha, Dian Winda Setyawati Jurusan Matematika, FMIPA Institut Teknologi Surabaya Abstract. Matrix is diagonalizable (similar with matrix
Lebih terperinciPERBANDINGAN METODE GAUSS-SEIDEL PREKONDISI DAN METODE SOR UNTUK MENDAPATKAN SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Merintan Afrina S ABSTRACT
PERBANDINGAN METODE GAUSS-SEIDEL PREKONDISI DAN METODE SOR UNTUK MENDAPATKAN SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR Merintan Afrina S Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciBAB 4 IMPLEMENTASI DAN EVALUASI
BAB 4 IMPLEMENTASI AN EVALUASI Pada bab ini, disajikan spesifikasi sistem yang digunakan, pengujian program serta hasil pengujian. Pengujian dilakukan dengan melakukan pencarian kata kunci terhadap sejumlah
Lebih terperinciStaff Pengajar Jurusan Teknik Mesin, FT-Universitas Sebelas Maret Surakarta
DESAIN OPTIMASI UNGSI TAK LINIER MENGGUNAKAN METODE PENYELIDIKAN IBONACCI Yemi Kuswardi Nurul Muhayat Abstract: optimum design is an action to design the best product based on the problem. Theoretically,
Lebih terperinciSIFAT NILAI EIGEN MATRIKS ANTI ADJACENCY DARI GRAF SIMETRIK
Faktor Exacta 10 (2): 154-161, 2017 SIFAT NILAI EIGEN MATRIKS ANTI ADJACENCY DARI GRAF SIMETRIK NONI SELVIA noni.selvia@gmail.com Program Studi Teknik Informatika Fakultas Teknik,Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciSPECTRUM PADA GRAF STAR ( ) DAN GRAF BIPARTISI KOMPLIT ( ) DENGAN
PROSIDING ISBN : 978 979 6353 3 SPECTRUM PADA GRAF STAR ( ) DAN GRAF BIPARTISI OMPLIT ( ) A. DENGAN Oleh Imam Fahcruddin Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri
Lebih terperinciLampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3
LAMPIRAN 16 Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3 Sebelum membuktikan Teorema 2.3, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi yang berhubungan dengan pembuktian Teorema 2.3. Definisi 1 (Matriks Eselon Baris)
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pembahasan mendasar mengenai matriks terutama yang berkaitan dengan matriks yang dapat didiagonalisasi telah jelas disajikan dalam referensi yang biasanya digunakan
Lebih terperinciSYARAT FRITZ JOHN PADA MASALAH OPTIMASI BERKENDALA KETAKSAMAAN. Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2. Abstrak
Syarat Fritz John... (Caturiyati) SYARAT FRITZ JOHN PADA MASALAH OPTIMASI BERKENDALA KETAKSAMAAN Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2 1,2 Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY 1 wcaturiyati@yahoo.com
Lebih terperinciBAB III MODEL STATE-SPACE. dalam teori kontrol modern. Model state space dapat mengatasi keterbatasan dari
BAB III MODEL STATE-SPACE 3.1 Representasi Model State-Space Representasi state space dari suatu sistem merupakan suatu konsep dasar dalam teori kontrol modern. Model state space dapat mengatasi keterbatasan
Lebih terperinciJln. Perintis Kemerdekaan, Makassar, Indonesia, Kode Pos Perintis Kemerdekaan Street, Makassar, Indonesia, Post Code 90245
PERTIDAKSAMAAN DETERMINAN UNTUK MATRIKS SEMIDEFINIT POSITIF Williem Prasetia Widiatno 1), Amir Kamal Amir 2), Naimah Aris 3) williemprasetia@yahoo.com 1), amirkamir@science.unhas.ac.id 2), newima@gmail.com
Lebih terperinciSUATU KRITERIA STABILISASI SISTEM DESKRIPTOR LINIER KONTINU REGULAR
PYTHAGORAS, Vol. 3(2):46-52 ISSN 2301-5314 Oktober 2014 SUATU KRITERIA STABILISASI SISTEM DESKRIPTOR LINIER KONTINU REGULAR Yulian Sari Prodi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Riau Kepulauan Batam
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
Lebih terperinciREDUKSI DIMENSI INPUT PADA JARINGAN SYARAF PCA-RBF DENGAN SINGULAR VALUE DECOMPOSITION
REDUKSI DIMENSI INPUT PADA JARINGAN SYARAF PCA-RBF DENGAN SINGULAR VALUE DECOMPOSITION Abdul Hakim Maulana, Oni Soesanto, Thresye Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Email:
Lebih terperinciSemi Modul Interval [0,1] Atas Semi Ring Matriks Fuzzy Persegi
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 Semi Modul Interval [0,1] Atas Semi Ring Matriks Fuzzy Persegi Subjudul (jika diperlukan) [TNR14, spasi 1] Suroto, Ari Wardayani Jurusan Matematika
Lebih terperinciCONTOH SOLUSI UTS ANUM
CONTOH SOLUSI UTS ANUM 0 Propagasi eror adalah kejadian di mana eror dari operan suatu komputasi sederhana memberikan eror yang lebih besar pada hasil komputasi tersebut. Misalnya, eror awal suatu representasi
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. salah satunya adalah untuk proses image denoising. Representasi adalah
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Sinyal adalah besaran besaran fisik yang berubah ubah terhadap satu atau beberapa variabel bebas. Representasi sinyal sangat penting untuk sinyal proses, salah satunya
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang landasan teori yang digunakan pada bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang diuraikan berupa definisi-definisi
Lebih terperinciMETODE ITERASI JACOBI DAN GAUSS-SEIDEL PREKONDISI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAN LINEAR DENGAN M-MATRIKS ABSTRACT
METODE ITERASI JACOBI DAN GAUSS-SEIDEL PREKONDISI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAN LINEAR DENGAN M-MATRIKS Efriani Widya 1, Syamsudhuha 2, Bustami 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan
Lebih terperinciBAB III PERANCANGAN. Fitur. Reduksi & Pengelompokan. Gambar 3.1. Alur Pengelompokan Dokumen
BAB III PERANCANGAN Pada bab ini akan delaskan tahapan yang dilalui dalam melakukan perancangan penelitian yang akan dilakukan dalam tugas akhir ini. Tahapan tersebut meliputi perancangan implementasi
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Sistem kejadian diskrit (Discrete-Event System) merupakan suatu sistem yang state space nya berbentuk diskret, sistem yang keadaannya berubah hanya pada waktu
Lebih terperinciAnalisis Reduksi Model pada Sistem Linier Waktu Diskrit
JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 5 No. 2 (216) 2337-352 (231-928X Print) A-25 Analisis Reduksi Model pada Sistem Linier Waktu Diskrit Yunita Indriana Sari dan Didik Khusnul Arif Jurusan Matematika, Fakultas
Lebih terperinciPeningkatan Rasio Konsistensi pada Metode AHP Menggunakan Relasi Preferensi Fuzzy
Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains (2016) 6:35 42; ISSN: 2087-0922 Tersedia online di : http://fsm.uksw.edu/ojs Peningkatan Rasio Konsistensi pada Metode AHP Menggunakan Relasi Preferensi
Lebih terperinciMATRIKS UNITER, SIMILARITAS UNITER DAN MATRIKS NORMAL. Anis Fitri Lestari. Mahasiswa Universitas Muhammadiyah Ponorogo ABSTRAK
MATRIKS UNITER, SIMILARITAS UNITER DAN MATRIKS NORMAL Anis Fitri Lestari Mahasiswa Universitas Muhammadiyah Ponorogo ABSTRAK Matriks normal merupakan matriks persegi yang entri-entrinya bilangan kompleks
Lebih terperinciPENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR FUZZY MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SVD) TUGAS AKHIR. Oleh : SABRINA INDAH MARNI
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR FUZZY MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SVD) TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika
Lebih terperinciMATRIKS BUJUR SANGKAR AJAIB ORDE GENAP KELIPATAN EMPAT MENGGUNAKAN METODE DURER
MATRIKS BUJUR SANGKAR AJAIB ORDE GENAP KELIPATAN EMPAT MENGGUNAKAN METODE DURER Fitri Aryani, Lutfiatul Ikromah Jurusan Matematika Fakultas Sains Teknologi, UIN SUSKA Riau Email: baihaqi_fatimah78@yahoocom
Lebih terperinci2 TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Peringkasan Teks
4 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Peringkasan Teks Peringkasan teks adalah proses pemampatan teks sumber ke dalam versi lebih pendek namun tetap mempertahankan informasi yang terkandung didalamnya (Barzilay & Elhadad
Lebih terperinciAKAR-AKAR POLINOMIAL SEPARABLE SEBAGAI PEMBENTUK PERLUASAN NORMAL PADA RING MODULO
AKAR-AKAR POLINOMIAL SEPARABLE SEBAGAI PEMBENTUK PERLUASAN NORMAL PADA RING MODULO Saropah Mahasiswa Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail: haforas@rocketmail.com ABSTRAK Salah satu
Lebih terperinciMenentukan Nilai Eigen Tak Dominan Suatu Matriks Definit Negatif Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift
Jurnal Penelitian Sains Volume 14 Nomer 1(A) 14103 Menentukan Nilai Eigen Tak Dominan Suatu Matriks Definit Negatif Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift Yuli Andriani Jurusan Matematika FMIPA,
Lebih terperinciSOLUSI POSITIF DARI SISTEM SINGULAR DISKRIT
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 3 Hal. 77 81 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND SOLUSI POSITIF DARI SISTEM SINGULAR DISKRIT BETTY ARYANI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciSifat Strong Perron-Frobenius Pada Solusi Positif Eventual Sistem Persamaan Differensial Linier Orde Satu
Sifat Strong Perron-Frobenius Pada Solusi Positif Eventual Sistem Persamaan Differensial Linier Orde Satu Yulian Sari FKIP Pendidikan Matematika Universitas Riau Kepulauan e-mail: yuliansari17@gmail.com
Lebih terperinciKonstruksi Matriks NonNegatif Simetri dengan Spektrum Bilangan Real
J. Math. and Its Appl. ISSN: 189-605X Vol. 4, No. 1, May 007, 17 5 Konstruksi Matriks NonNegatif Simetri dengan Spektrum Bilangan Real Bambang Sugandi 1 dan Erna Apriliani 1 Jurusan Matematika, FMIPA Unibraw,
Lebih terperinciMODEL VEKTOR DAN MATRIKS DARI DOKUMEN SERTA SUDUT ANTARA DUA VEKTOR DAN DUA SUBRUANG UNTUK MENDUGA DINI PLAGIARISME DOKUMEN
MODEL VEKOR DAN MARIKS DARI DOKUMEN SERA SUDU ANARA DUA VEKOR DAN DUA SUBRUANG UNUK MENDUGA DINI PLAGIARISME DOKUMEN Prasetyaning Diah R. Lestari, R. Agustian, R. Gafriadi, A.Febriyanti, dan A.D. Garnadi
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT / 2 SKS
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT0143231 / 2 SKS Deskripsi: - Mata kuliah ini mempelajari konsep aljabar linear sebagai dasar untuk membuat algoritma dalam permasalahan
Lebih terperinciPenyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) Dengan Dekomposisi QR
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) Dengan Dekomposisi QR Shelvia Mandasari #1 M Subhan *2 Meira Parma Dewi *3 # Student of Mathematics Department State University of Padang Indonesia * Lecturers
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciPerluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks
Vol. 8, No.1, 1-11, Juli 2011 Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks Nur Erawati, Azmimy Basis Panrita Abstrak Teorema Cayley-Hamilton menyatakan bahwa setiap matriks bujur sangkar memenuhi persamaan
Lebih terperinciPenyelesaian Program Linier Menggunakan Algoritma Interior Point dan Metode Simpleks
Penyelesaian Program Linier Menggunakan Algoritma Interior Point dan Metode Simpleks Sri Basriati, Elfira Safitri 2,2) Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Suska Riau ) sribasriati@hotmail.com
Lebih terperinciAplikasi Teori Bilangan Bulat dalam Pembangkitan Bilangan Acak Semu
Aplikasi Teori Bilangan Bulat dalam Pembangkitan Bilangan Acak Semu Ferdian Thung 13507127 Program Studi Teknik Informatika ITB, Jalan Ganesha 10 Bandung, Jawa Barat, email: if17127@students.if.itb.ac.id
Lebih terperinciSOLUSI POSITIF DARI PERSAMAAN LEONTIEF DISKRIT
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 3 Hal. 103 108 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND SOLUSI POSITIF DARI PERSAMAAN LEONTIEF DISKRIT RASITA ANAS Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciPRINCIPAL COVARIATE REGRESSION PADA DATA RUNTUN WAKTU
PRINCIPAL COVARIATE REGRESSION PADA DATA RUNTUN WAKTU Nuruma Nurul Malik 1, Fevi Novkaniza 2 Departemen Matematika FMIPA UI, Depok Email korespondensi : fevi.novkaniza@sci.ui.ac.id Abstrak Pada suatu data
Lebih terperinci1.1. Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 1.2. Susunan Koordinat Ruang R n 1.3. Vektor di dalam R n 1.4. Persamaan garis lurus dan bidang rata
SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) MATA KULIAH : MATEMATIKA INFORMATIKA 2 JURUSAN : S1-TEKNIK INFORMATIKA KODE MATA KULIAH : IT-045214 Referensi : [1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., Agus S., Matematika untuk
Lebih terperinci