Dasar-Dasar Kalkulus Vektor untuk Medan dan Gelombang EM

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Dasar-Dasar Kalkulus Vektor untuk Medan dan Gelombang EM"

Sugiarto Indradjaja
6 tahun lalu
Tontonan:

1 Dsr-Dsr Klkulus Vektor untuk Medn dn Gelombng EM Sukiswo 1

2 Dsr-dsr Vektor,,,,,,,, Konvensi: Vektor ditulis dengn nk pnh dits tu cetk tebl Vektor bisn fungsi dri koordint spsil Konvensi: or â vektor stun dilmbngkn dengn topi ditsn mgnitude dri komponen vektor (bis jdi fungsi dri,,) ke rh sumbu- 1

3 Penjumlhn vektor C B ( B ) ( B ) Pengurngn ekivlen dng penjumlhn dng negtif dri B: D = B = + (-B) 3

4 Vektor posisi dn vektor jrk R R Vektor R 1 dlh vektor dri 4 Vektor R 1 dlh vektor dri P 1 ke P dn jrkn (pnjng tu mgnitude) dlh d: R R R R d

5 Vektor posisi dn vektor jrk Contoh : Titik P (1,,3) dn Q (,-,1) Vektor posisi OP = r P = Vektor posisi OQ = r Q = - + Vektor jrk R PQ = r Q - r P = - 4-5

6 Perklin titik (perklin sklr) B B cos B Sellu menghsilkn bilngn sklr cos( B ) dlh komponen sepnjng B. Disebut sebgi proeksi dri pd B. Du vektor ortogonl memberikn hsil kli sklr nol: ˆ ˆ 0 = = 6

7 Perklin titik (perklin sklr) 3 1 B θ B cos B B B B B B B B B

8 Perklin silng (perklin vektor) Perhtikn bhw perklin sklr menghsilkn vektor tegk lurus pd bidng g mengndung du vektor g diklikn! Ini berhubungn dengn Komponen tngensil dn norml.!!!!penting!!! turn sekrup putr bis dipki: Pemutrn ke B menggerkkn sekrup ke rh vektor hsil 8

9 Perklin silng (ljt) Pergerkn serh rh-putr-jrum jm memberikn hsil perklin silng positif, seblikn, pergerkn ke-rh berlwnn rh-putr-jrum-jm memberikn hsil perklin silng negtif. 9 B B B B

10 Triple Products Hsil opersi lin ng penting: Sclr triple product 10 B C C B C B Vector triple product (turn bc-cb) B C C B C B Menghsilkn sklr Menghsilkn vektor

11 VECTOR REPRESENTTION 3 PRIMRY COORDINTE SYSTEMS: RECTNGULR CYLINDRICL Choice is bsed on smmetr of problem SPHERICL Emples: Sheets - RECTNGULR Wires/Cbles - CYLINDRICL Spheres - SPHERICL 11

12 Sistem Koord. Krtesin (,, ) Kuntits diferensil: dv, ds nd d! dv dl ds d d d d â d d âˆ d â d â d d âˆ d d âˆ â â â 1

13 Sistem Koord. Krtesin dv dl ds d d d d â d d â d â d â d d â d d â 13

14 Sistem Koord. Tbung tu Silindris â (,, ) Perhtikn kuntits diferensil: dv, ds nd d! dl ds d â d d â dv d d â d d d â â â 14

15 Sistem Koord. Tbung tu Silindris dl ds dv d â d d d â d d d â d â 15

16 Sistem Koordint Bol (r,, ) r â Liht lgi kuntits diferensil: dv, ds nd d! dl dr â r r dθθ â θ r sinθθ d ds r sinθ dθ d âˆ dv r r sinθ dr dθ d r â â r â nb : hrg dlh 0 smpi, bukn 0 smpi 16

17 Sistem Koordint Bol dl ds dv dr r r â r r dθ â θ sinθ dθ d â sinθ dr dθ d r r sinθ d â 17

18 Trnsformsi Koordint Kdng kl kit perlu melkukn trnsformsi ntr sistem koordint: mis. dlm teori nten kit perlu Trnsformsi dri sistem krtesin ke bol : r sin cos coscos sin cos sin sin cossin cos sin Trnsformsi lin dpt diliht pd buku cun 18

19 Sol 1. Tig titik (,-3,1); B(-4,-,6); C(1,5,-3) Cri : Vektor dri ke C Vektor stun dri B ke Jrk dri B ke C ,76-0,17-0,635 1,45 19

20 Sol. Sebuh medn vektor dintkn oleh W=4 (7+) + (4+ ) Cri : Besr medn di P(,-3,4) Vektor stun g mentkn rh medn di P Titik mn pd sumbu, besr W mrpk vektor stun 53,4-0,899-0,41+0, ,455 0

21 Sol 3. Dikethui F = -5-4 ; G = Cri : F.G Sudut ntr F dn G Pnjng proeksi F pd G Proeksi vektor F pd G -7,0 130,8 o -4,38 -,13-3,55-1,4 1

22 Sol 4. Dikethui F = ; G = Cri : F G ( F) ( ) F Vektor stun ng tegk lurus F pd G (0,669 +0,591-0,451 )

23 Sol 5. Dikethui P(ρ=6,φ=15 0, =-3) dn Q(=3,=-1,=4) Cri : Jrk dri P ke titik sl Q tegk lurus pd sumbu P ke Q 6,71 3,16 11,0 3

24 Sol 6.. Ntkn T=40+ - dlm koordint tbung b. Cri kerptn di titik P(-,-5,1) jik kerptnn e 3 cos 40+ ρ sin φ 8,66 4

25 Sol 7.. Ntkn medn vektor W= (-) dlm koordint tbung b. Cri medn F dlm koord crtesin jik F= ρ cosφ ρ ρ(cos φ- sin φ)(sin φ ρ +cos φ φ 5

26 Opertor Del = r r r r sin Crtesin Tbung Bol 6

27 Grd, Div dn Curl Ketign dlh opertor diferensil dn merupkn hl ng sngt mendsr dlm teori medn EM Grdien Grd : beropersi pd fungsi sklr untuk menghsilkn vektor Divergensi Div : beropersi pd vektor untuk menghsilkn sklr Curl Curl : beropersi pd vektor untuk menghsilkn vektor 7

28 Grdien dri medn sklr Jik (,,) fungsi riil dri 3 vribel, mk fungsi ini disebut medn sklr. Grdien dri, dintkn sbg grd tu dlh vektor menurut turn berikut: Grd dibc del phi Grdien dlh ukurn lju perubhn mksimum dri permukn ng digmbrkn oleh (,,) dn perubhn lju ini muncul pd rh tertentu. Ctt bhw opertor grdien mengubh fungsi sklr menjdi fungsi vektor. 8

29 Contoh grdien,, e ˆ ˆ ˆ Mk e e Evlusi grdien pd titik P (,-1,0), menghsilkn P 5ˆ 4 ˆ ˆ Jik kit meliht dri permukn ke berbgi rh, kn termti bhw perubhn mksimum dri permukn muncul pd rh g diberikn vektor tsb dits. Lju mksimumn dlh 8 P turunn 1 berrh 9

30 Rpt fluks Opertor divergensi dintkn sbg dn sellu beropersi pd vektor. Tidk dibc sbg del g beropersi titik thd vektor! Divergensi berhubungn dengn rpt fluks dri sumber medn sergm rh medn serh dengn nk pnh (jdi sutu vektor). Kekutn medn sebnding dengn kerptn nk pnh (bukn pnjngn). medn tk sergm 30

31 Divergensi Divergensi pd sutu titik dlh fluks kelur netto per stun volume pd (sepnjng) permukn tertutup. Pd pembhsn Mendtng kn diberi-kn tfsirn EM-n: Secr mtemtik: E Divergensi E E E E Perhtikn bhw opertor divergensi sellu beropersi pd (fungsi/medn) vektor untuk menghsilkn sklr. 31

32 Contoh divergensi E E 3 ˆ 6 0 ŷ ẑ Di titik (,-,0) E 6,,0 16 Kren nili divergensi >0 berrti d fluks netto kelur dn mengindiksikn dn sumber (source). Jik nilin <0, ini menndkn fluks netto kedlm volume dn menndkn dn sink. 3

33 Curl (Rotsi=Pusrn) Curl dri medn vektor berhubungn dengn rotsi dri medn vektor tsb. Diliht dri sudut pndng lin, rotsi dpt dipki sebgi ukurn ketidksergmn medn, semkin tidk sergm sutu medn, semkin besr pul nili pusrnn. medn tk-sergm, Curl-n tidk nol. Medn B sergm, curl-n nol. 33

34 Perhitungn curl B Curl B B B B Crtesin Untuk sistem koordint lin bis ditemukn pd teksbook 34

35 Opertor penting linn 0 V 0 V V V Du rumus ini sngt bermnft pd pembhsn mendtng. Opertor Lplcin 35

36 Opertor Lplcin (1) Ingt: ˆ ˆ ˆ Sekrng ˆ ˆ ˆ Untuk prktisn ditulis: bc del kudrt 36

37 Lplcin () Lplcin bis jug ber-opersi pd vektor Jik E E ˆ E ˆ E ˆ Mk, E E ˆ E ˆ E ˆ E Dpt jug ditunjukkn bhw: E E E curl curl dri E 37

38 Ikhtisr: Grd, Div, dn Curl ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 38 ˆ ˆ ˆ

39 Teorem integrl v E dv E ds S (teorem divergensi) Hubungn ini bergun untuk mengubh integrl volume menjdi integrl permukn. S B ds B dl (teorem Stokes) C Yng ini bergun untuk mengubh integrl permukn menjdi integrl gris. permukn tu lintsn tertutup 39

40 Integrl gris/permukn Contoh: teorem Stoke S B ds B dl (teorem Stoke) C Hitung integrl ini ke-seluruh segmen permukn. nˆ Hitung integrl ini sepnjng gris-bts dri segmen. rˆ 40

41 Permslhn nili bts Kren PDE (prtil differentil eqution-persm. diff. prsil) g menggmbrkn medn EM dlh fungsi dri rung (dlm bentuk hrmonik-wktu), solusi unik hn bis diperoleh jik diberikn sekumpulnsrt bts. Secr umum d tig jenis srt bts: Srt bts jenis Dirichlet Srt bts jenis Neumnn Srt bts jenis cmpurn (kombinsi dri Dirichlet & Neumnn) 41

42 Srt bts jenis Dirichlet Derh S dibtsi oleh kurv. Mislkn kit ingin menentukn sutu kuntits (vribel g kit selesikn, mis. V) dlm derh S, sedemikin hingg V = g pd. V g S Persrtn V = g pd disebut sbg srt bts Dirichlet. 4

43 Srt bts jenis Neumnn Untuk ksus dimn turunn norml dri sutu kuntits diberikn pd btsn, mis, pd. dv dn f dv dn f S Ini dikenl sebgi srt bts Neumnn. 43

44 Contoh (1) bts bidng (plnr) H r E r r i reflected 1 1 trnsmitted H t t E t H i E i incident Kit perlu perntn mengeni medn norml dn tngensil pd ntrmuk, itu srt bts. Hl ini memungkinkn kit meneruskn solusi dri stu sisi bts (>0) ke ng linn (<0). 44

45 Contoh (): bumbung gelombng 0, E k c 0 H k c, Y 45 X b, Perlu E =0 pd semu dinding srt bts Dirichlet perlu pd dinding. srt bts Neumnn dn 0 H H

46 Srt bts dlm EM E t1 n H t1 n E t E tngensil kontinu Ekivlen H t n (H 1 -H )=J s B n1 n D 1n n B n B norml kontinu D n n (D 1 -D )= s 46

47 Liht contoh berikut E t1 E t n E tngensil kontinu Jik kit pun: E E ˆ E ˆ E ˆ Mk, ˆn E Hl ini mentkn bhw medn (listrik) tngensil dlm derh-1 dlh sm dengn medn (listrik) tngensil pd derh-. Ini tdk mentkn ppun mengeni kompenen lin dr E. secr otomtis memilih komponen tngensil! 47

48 Dn stu contoh lgi H t1 H t n (H 1 -H ) = J s Ini berrti bhw komponen tngensil dri medn H dlh rus permukn. n Hl ini mentkn bhw medn mgnetik pd kedu sisi tidk kontinu oleh dn rus. Hl ini umum terjdi. Jik medium kedu konduktif sempurn, σ. Mk, sm sekli tidk d medn didlm derh-, dn persmn menjdi: nˆ H J 1 s permukn 48

49 Contoh: 0 d E i tu E r E t j0 E ˆ i Eie memenuhi 0 E 0 j0 E ˆ r Ere E E e E jd ˆ memenuhi 0 t t d Kini pd bts kit terpkn srt bts g mentkn bhw (pd =0), medn tngensil E dn H kontinu. E E E 1 Z i r t 0 E i E r E Z t d 49

dokumen-dokumen yang mirip

VEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang

VEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang VEKTOR 1. Pengertin Vektor dlh besrn yng memiliki besr (nili dn rh. Vektor merupkn sebuh rus gris yng P berrh dn memiliki pnjng. Pnjng rus gris tersebut dlh pnjng vektor. Rus gris dri titik P dn berujung