MAKALAH ANALISIS REGRESI TERAPAN REGRESI ROBUST

Transkripsi

1 MAKALAH ANALISIS REGRESI TERAPAN REGRESI ROBUST TIAR INDARTO G440 PROGRAM STUDI STATISTIKA TERAPAN SEKOLAH PASCA SARJANA

2 INSTITUT PERTANIAN BOGOR 06 DAFTAR ISI DAFTAR ISI ii A. PENDAHULUAN. LATAR BELAKANG. TUJUAN B. TINJAUAN PUSTAKA. REGRESI LINEAR BERGANDA. OLS UNTUK REGRESI LINEAR BERGANDA. UJI ASUMSI MODEL REGRESI LINEAR a. UJI NORMALITAS b. UJI MULTIKOLINEARITAS c. UJI HOMOSKEDASITAS9 d. UJI AUTOKORELASI 4. PENCILAN (OUTLIER) a. STANDARDIZED RESIDUAL b. DELETED (STUDENTIZED RESIDUAL) c. DFITS. REGRESI ROBUST a. Estimasi M b. Estimasi Least Trimmed Square (LTS) 9 c. Estimasi S 9 d. Estimasi MM 0 e. Estimasi LMS 0 f. Estimasi W g. Estimasi L h. Estimasi R C. PEMBAHASAN. PENERAPAN ESTIMASI M a. Estimasi M (Huber) b. Estimasi M (Tukey Bisquare). PENERAPAN ESTIMASI LTS D. DAFTAR PUSTAKA 0 A. PENDAHULUAN. LATAR BELAKANG Aalisis terhadap hubuga atara dua variabel atau lebih megguaka sebuah persamaa matematik (model regresi) adalah aalisis regresi. Dalam model regresi terdapat dua variabel bebas/depedet/respo/akibat) da yaki variabel variabel Y X (variabel tak (variabel

3 bebas/idepedet/pejelas/sebab). Dalam aalisis regresi dapat dibagi mejadi regresi liear sederhaa, regresi liear bergada da regresi o liear. Terdapat beraekaragam metode yag dapat diguaka utuk melihat hubuga atara Y dega X seperti metode kuadrat terkecil (ordiary least square), metode kemugkia maksimum (maximum likelihood method), metode bootstrap, metode kuadrat terkecil terboboti (weighted least square method), da lai lai (Bambag, 009). Metode yag familiar diguaka adalah metode kuadrat terkecil/ordiary Least Square (OLS), karea mudah pegguaaya. Ada beberapa asumsi yag harus dipeuhi dalam OLS agar hasil estimasiya bersifat BLUE (best liear ubiased estimator), yaitu : () E ( ε i ) =0 sisaa meyebar ormal dega da var ( ε i )=σ, () sisaa memiliki ragam yag homogey (homoskedasitas), () sisaa meyebar bebas yaki cov ( ε i, ε j )=E ( ε i, ε j ) =0 (serial idepedet). Namu OLS memiliki kekuraga yaki sesitive terhadap pecila/outlier. karea apabila terdapat outlier maka aka terjadi peyimpaga pedugaa OLS atau terjadi bias estimasi. Sehigga model regresi dapat memberika gambara hubuga yag jauh dari keadaa sebearya. Utuk megatasi hal tersebut dibutuhka suatu peduga robust (kekar) yag mempuyai kemampua medeteksi pecila sekaligus meyesuaika dugaa parameter regresi, sehigga memberika hasil yag resistat (stabil). Regresi robust mejadi alteratif solusi dalam megatasi hal tersebut. Regresi kekar terhadap outlier tersebut diperkealka Adrews (9). Regresi robust yag baik adalah yag sebadig dega OLS tapa outlier. Suatu estimator semaki robust terhadap outlier ketika memiliki efisiesi da breakdow poit yag tiggi. Kemugkia tertiggi breakdow poit utuk sebuah estimator adalah 0%. Ada prosedur estimasi parameter dalam regresi robust, atara lai: a. Estimasi M b. Estimasi Least Trimmed Square (LTS) c. Estimasi S d. Estimasi MM e. Estimasi LMS f. Estimasi W g. Estimasi L

4 h. Estimasi R Masalah yag aka dibahas dalam tulisa makalah ii adalah pegujia ketidakpeuha asumsi klasik, cara pedeteksia outlier da pedugaa model pada data pejuala rokok tahu 0 di yogyakarta dega megguaka metode regresi robust higga didapat persamaa model terbaikya.. TUJUAN Tujua dari peulisa makalah ii adalah utuk megguaka regresi robust estimasi M IRLS dega fugsi pembobot Huber da Bisquare Tukey da regresi robust estimasi LTS pada data yag terdapat outlier. B. TINJAUAN PUSTAKA. REGRESI LINEAR BERGANDA Meurut Motgomery ad Peck (99), secara umum peubah tak bebas y kemugkia berhubuga dega k peubah bebas. Model ii : yi = β0 + β xi + β xi + + βk xik + εi yi adalah peubah tak bebas pada pegamata ke-i, xi, xi,, xik adalah () ilai peubah bebas pada pegamata ke-i da parameter ke-k, β0, β,, βk adalah parameter regresi, da εi adalah error pegamata ke-i.. OLS UNTUK REGRESI LINEAR BERGANDA Dalam kasus k-peubah bebas, peaksir metode kuadrat terkecil diperoleh dega memiimumka : yi εi i= = ) () i= di maa εi i= adalah jumlah kuadrat sisaa. Dalam otasi skalar, metode kuadrat terkecil tercapai dalam meduga β0, β,, βk sehigga εi i= sekecil mugki. Ii dicapai dega meuruka persamaa () secara parsial terhadap ^β, 0 ^β,, ^β k dega ol. da meyamaka hasil yag diperoleh

5 Berdasarka Motgomery ad Peck (99), dalam otasi matriks, metode ε' ε. kuadrat terkecil sama dega memiimumka Dega persamaa : ε = y Xβ () Oleh karea itu, ε ' ε =( y Xβ )' ( y Xβ) y ' y β ' X ' y + β ' X ' Xβ β' X' y adalah (β ' X ' y)' = y ' Xβ matrik (4) x, atau suatu skalar. Trasposeya adalah skalar. Pedugaa metode kuadrat terkecil harus memeuhi : ε i i= = β ε' ε = X ' y+ X ' X ^β β () Bila disederhaaka mejadi : X y + X X ^β=0 ' ' ^ X ' X β= X' y X ' X ^β=x ' y (6) Utuk meyelesaika persamaa (6) kalika keduaya dega ivers dari X ' X. jadi pedugaa kuadrat terkecil dari ^β=( X ' X) X ' y β adalah (). UJI ASUMSI MODEL REGRESI LINEAR a. UJI NORMALITAS Pada regresi liier klasik diasumsika bahwa tiap εi didistribusika ormal dega lambag : ε N (0, σ ). Uji statistik yag dapat diguaka utuk meguji ormalitas residual adalah uji statistik Kolmogorov-Smirov (K-S). b. UJI MULTIKOLINIERITAS Meurut Motgomery ad Peck (99), utuk medeteksi ada atau tidakya multikoliieritas di dalam model regresi, dapat dilihat pada ilai VIF (variace iflatio factors). 4

6 ( Rj ) VIFj = Rj dega () adalah ilai koefisie determiasi yag diperoleh dari meregresika peubah bebas xj dega peubah bebas laiya. Nilai VIF > 0 meujukka multikoliieritas yag kuat. c. UJI HOMOSKEDASITAS Utuk meguji ada tidakya kesamaa variasi residual dari satu pegamata ke pegamata yag lai. Uji ii dapat megguaka Scatter plot. Sumbu X adalah ilai-ilai prediksi ZPRED = Regressio Stadartdized Predicted Value. Jika garfik yag diperoleh meujukka adaya pola tertetu dari titik-titik yag ada, dikataka terjadiya heteroskedastisitas. Aka tetapi, jika tidak membetuk pola tertetu, dikataka tidak terjadi heteroskedastisitas. d. UJI AUTOKORELASI Meurut Gujarati (99), dega megguaka lambig : E( ε i, ε j ) = 0 ; i j. Secara sederhaa dapat dikataka model klasik megasumsika bahwa error yag berhubuga dega pegamata tidak dipegaruhi oleh error yag berhubuga dega pegamata lai yag maapu. Salah satu cara yag dapat diguaka utuk medeteksi masalah autokorelasi adalah dega uji Durbi Watso. Dega terpeuhi semua asumsi regresi liier di atas, model yag dihasilka diaggap baik utuk melihat pegaruh peubah-peubah bebas terhadap peubah-peubah tak bebas. Selajutya, model dapat diguaka sebagai peduga. 4. PENCILAN (OUTLIER) Meurut Motgomery ad Peck (99), pecila adalah suatu pegamata yag ekstrim. Residual yag ilai mutlakya jauh lebih besar daripada yag lai da bisa jadi terletak tiga atau empat simpaga baku dari rata-rataya adalah yag meyebabka data sebagai pecila. Pecila adalah titik-titik data yag tidak setipe dega titik data yag laiya. Meurut Draper ad Smith (99), adakalaya pecila memberika iformasi yag tidak bisa diberika oleh titik data laiya. Berdasarka Motgomery ad Peck (99), sebagai kaidah umum, pecila baru ditolak jika setelah ditelusuri teryata merupaka akibat dari kesalaha-kesalaha seperti memasukka ukura atau alisis yag salah, ketidaktepata pecatata data, da terjadi kerusaka alat pegukura. Bila teryata buka

7 akibat dari kesalaha-kesalaha semacam itu, peyelidika yag seksama harus dilakuka. Meghapus data tersebut utuk memperbaiki persamaa yag cocok dapat berbahaya, tidaka tersebut dapat meimbulka kesalaha ketelitia dalam megestimasi atau memprediksi. Rya (99) megelompokka pecila dalam berbagai tipe : a. Pecila-x, yaki pegamata yag haya meyimpag pada sumbu x saja. Pegamata ii disebut juga sebagai titik leverage. b. Pecila-y, yaki pegamata yag meyimpag haya karea arah peubah tak bebasya. c. Pecila-x,y, yaitu pegamata yag meyimpag pada keduaya yaki pada peubah x da peubah y. Utuk medeteksi adaya pecila dapat dilakuka dega beberapa metode sebagai berikut: a. Stadardized residual Stadardized residual merupaka ilai residual yag distadarka. Nilai ii diguaka utuk medeteksi pecila. Jika r i > atau r i >, maka data pada pegamata ke-i merupaka pecila y. b. Deleted (Studetized Residual) Deleted Studetized Residual merupaka ilai-ilai stadardized residual dimaa observasi ke-i dihilagka. Nilai ii diguaka utuk medeteksi ada atau tidakya pecila. Data dikataka pecila jika t i > ( α, -p) dega p adalah bayak parameter. c. DFITS DFITS yaitu megukur pegaruh suatu pegamata terhadap ilai dega respo ketika suatu pegamata tidak disertaka dalam aalisis. Nilai ii diguaka utuk medeteksi pegaruh pegamata ke-i terhadap ilai diriya sediri. Jika ilai DFITS > p ^y dega p meyataka jumlah parameter dalam model bersagkuta maka hal ii merupaka pegamata berpegaruh.. REGRESI ROBUST Meurut Che (00), regresi robust adalah sebuah alat yag petig utuk megaalisis data yag terkotamiasi pecila. Tujua utama regresi robust adalah utuk memberika hasil yag stabil karea kehadira pecila. a. Estimasi M Berikut adalah diagram alur pembetuka model estimasi M : 6

8 Mulai Tidak koverge Estimasi parameter b dega OLS ya Meghitug fugsi pembobot melalui ( ) Mecari estimasi baru dega weighted least square. ya Model estimasi M (Huber da Tukey Bisquare) Bisquare) revisi selesai Paramater () koverge? Tidak terpeuhi Pegujia sigifikasi parameter Estimasi M diperkealka oleh Huber pada tahu 9 da ii merupaka pedekata yag palig sederhaa baik secara teori maupu perhituga. Diketahui: y i=α + β x i + β xi + + β k x ik + ε i (9) yi xi' i (0) Utuk observasi ke-i dari observasi, model yag sesuai adalah, y i=a+ b x i +b xi + + bk xik +e i () y i xi' b ei () Estimator M umumya dega memiimumka fugsi objektifya adalah,

9 i= i= ρ ( e i )= ρ( y i x 'i b) () Dimaa fugsi ρ memberika kotribusi utuk setiap residual dari utuk fugsi objektifya. Misalka ψ=ρ ' dega ψ merupaka turua dari ρ. Utuk memiimumka fugsi objektif, maka fugsi objektif aka dituruka terhadap b da hasilya persamaa, sebagai berikut : ψ ( y i x 'i b ) x 'i=0 (4) i= ψ merupaka fugsi ifluece yag diguaka dalam memperoleh ψ (ei ) w i= ei bobot (weight). Dega fugsi pembobot e i dimaa merupaka residual yag distadarka, maka persamaaya mejadi : wi ( y i x 'i b ) x 'i=0 () i= X T WXb=X T Wy, betuk matrik Apabila diotasika dalam matrik : tersebut diamaka least square dega peimbag (weighted least square) yag aka memiimalka y i ^ yi wi. Weighted least square dapat i= diguaka utuk medapatka estimasi M, estimasi parameterya mejadi : b=( X T WX ) X T Wy (6) Peimbag tergatug pada residual, residual tergatug pada koefisiea yag diestimasi, da koefisie yag diestimasi tergatug pada peimbag. Utuk meyelesaika masalah tersebut dilakuka proses

10 iterasi yag disebut sebagai Iteratively Reweighted Least-Square (IRLS). Lagkah lagkahya sebagai berikut : ) Pilih estimasi b(0), seperti estimasi least-squares. ) Pada setiap iterasi l, hitug residuals eil- da asosiasika peimbag wi(l-) =w[ei(l-) ] dari iterasi sebelumya. ) Peyelesaia utuk estimasi peimbag baru. b =[ X ' W (t) wl dega adalah (l ) wi,l X ] X 'W (l ) y () merupaka matrik diagoal dega eleme diagoalya. Sehigga estimasi parameter pada iterasi pertama ( l = wi,0 ) megguaka ei,0 da. 4) Lagkah da diulagi sampai koefisie yag diestimasi koverge. Tiga betuk estimasi M diataraya estimasi least square, Huber da Tukey bisquare (biweight). Betuk fugsi objektif, fugsi ifluece da fugsi pembobot utuk ketiga jeis estimasi M sebagai berikut : Metode Fugsi objektif Least Huber Square LS (e ) (e ) * * i ifluec LS (e ) e * * i e Fugsi Pembob ot wls (e * ) (ei* ) /, utuk ei* r k 6 H (e ) B (e ) * * * * r ei r /, utuk ei r ei* Fugsi Tukey Bisquare utuk ei* r H e r utuk e * r i * r utuk ei r * utuk wh e * r / e * i utuk ei* r e r * i ei* r r / 6 utuk 0 utuk * ei B e * ei* r utuk 0 utuk wb e * ei* r ei* r ei* r utuk ei* r ei* r utuk ei* r ei* r Tabel Fugsi objektif, fugsi ifluece, da fugsi pembobot pada estimasi M (Sumber : Fox (00), Mogomery (99)) Nilai r pada fugsi objektif, ifluece da pembobot adalah tuig costat. Kuzmic et.al (004) meyebutka estimasi M Huber efektif diguaka pada α = % dega r=,4, sedagka estimasi M Tukey Bisquare dega r=4,6. Kelly (00) meyataka permasalaha dalam estimasi regresi robust adalah perlu dilakuka pemiliha tuig costat agar estimasi yag diperoleh lebih spesifik da memimimumka jumlah kuadrat residual. Apabila meuruka tuig costat aka meaika 9

11 pembobot terhadap residual yag besar, sedagka meaikka tuig costat aka meuruka pembobot terhadap residual yag besar. Semaki besar r maka estimasi robust aka medekati least square. Setelah estimasi telah didapatka, maka lagkah selajutya adalah melakuka pegujia parameter dalam model regresi bertujua utuk megetahui apakah parameter tersebut telah meujukka hubuga yag yata atara variabel prediktor da variabel respo. Disampig itu juga utuk megetahui kelayaka parameter dalam meeragka model. Terdapat dua tahap pegujia yaitu uji seretak da uji parsial (idividu). ) Uji Seretak Uji seretak merupaka pegujia secara bersama semua parameter dalam model regresi. Hipotesis yag diguaka adalah sebagai berikut : H0 : 0 = =... = j = 0 H : palig tidak ada satu j 0, j = 0,,... k Statistik uji yag diguaka utuk OLS adalah y ) /( k ) i ( yi yˆ i ) /( k ) i ( yˆ Fhitug = MSR MSE = i Sedagka utuk Weighted least squares (WLS) MSRweighted Fhitug(weighted) = MSE weighted y ) /( k ) i wi ( yi yˆ i ) /( k ) i w ( yˆ i = i () Ket : MSR : Mea Square Regressio MSE : Mea Square Error Pegambila keputusa adalah apabila F hitug F (k, -k-) dega k adalah parameter maka H0 ditolak pada tigkat sigifikasi, artiya palig sedikit ada satu j yag tidak sama dega ol. Pegambila keputusa juga dapat melalui P-value dimaa H0 ditolak jika P-value < α. ) Uji Parsial 0

12 Uji parsial merupaka pegujia secara idividu parameter dalam model regresi yag bertujua utuk megetahui parameter model regresi telah sigifika atau tidak. Hipotesis yag diguaka adalah sebagai berikut : H0 : j = 0 H : j 0, j = 0,,,..., k Statistik uji yag diguaka utuk metode OLS adalah t hitug bj S (b j ) (9) Dega S (b j ) ( X T X ) MSE (0) Sedagka utuk metode Weighted least squares (WLS) t hitug( weighted ) dega b j ( weighted ) S (b j ( weighted) ) S (b j ( weighted ) ) () merupaka diagoal matrik kovaria. Pegambila keputusaya yaitu apabila t hitug t(- /, -k-) dega k adalah parameter maka H0 ditolak pada tigkat sigifikasi, artiya ada pegaruh xi terhadap model. Pegambila keputusa juga dapat melalui Pvalue, dimaa H0 ditolak jika P-value < α. b. Estimasi Least Trimmed Square (LTS) Lagkah lagkah yag dilakuka dalam megestimasi parameter regresi robust dega estimasi LTS, sebagai berikut : ) Meghitug kuadrat residual ( e i ) urutka dari ya terkecil sampai terbesar da meghitug h dimaa ) Meghitug E LTS + p+. h = e i. i= ^β baru(i) ) Melakuka estimasi parameter 4) Meetuka kuadrat residual ) Meghitug h= ei ELTS(baru). dari dari hbaru(i) hbaru(i) pegamata. pegamata.

13 6) Melakuka iterasi dari lagkah 4 s.d. sampai medapatka fugsi objektif (h) yag terkecil da koverge ke ol. ) Kemudia lakuka uji hipotesis utuk megetahui apakah variabel bebas mempuyai pegaruh yag sigifika terhadapa variabel tak bebas. c. Estimasi S Lagkah lagkah yag dilakuka dalam megestimasi parameter regresi robust dega metode estimasi S, sebagai berikut : ) Meghitug ilai residual yaki e i= y i ^y i ) Meghitug stadar deviasi sisaa media ei media ( e i) { σ^ i= Dega, iterasi= 0.64 wi ei,iterasi> k i= k =0.99 ) utuk medapatka ilai ui= 4) Meghitug ilai pembobot ei σ^ s { [ ( )] ui ψ (u i), ui.4 w i= =.4 ui 0, ui.4 ) Meghitug ilai koefisie parameter peduga 6) Dari koefisie parameter peduga yag ^β=[ X ' WX ] X ' Wy didapat kembali ulagi lagkah s.d. 4 sampai didapatka kekovergea. ) Kemudia lakuka uji hipotesis utuk megetahui apakah variabel bebas mempuyai pegaruh yag sigifika terhadapa variabel tak bebas. d. Estimasi MM Estimasi MM merupaka gabuga dari estimasi S da estimasi M. Prosedur estimasi ii adalah dega megestimasi parameter regresi megguaka estimasi S yag memiimumka skala sisaa dari estimasi M da dilajutka dega estimasi M. lagkah-lagkahya sebagai berikut : ) Meghitug ilai sisaa e i= y i ^y i dari estimasi S

14 ) Meghitug ilai σ^ s ) Meghitug ilai ui= ei σ^ s 4) Meghitug pembobot [{ ( ) ] ui w i= 4.6 0, ui 4.6, u i 4.6 ^β ) Meghitug parameter pembobot estimasi MM dega metode WLS dega 0 wi 6) Megulagi lagkah s.d. 4 sampai diperoleh ilai ^β estimasi MM yag koverge. ) Kemudia lakuka uji hipotesis utuk megetahui apakah variabel bebas mempuyai pegaruh yag sigifika terhadapa variabel tak bebas. e. Estimasi LMS LMS (Least Media of Square) didefeisika sebagai vector-p, θ^ LMS=argmi Q LMS (θ) θ Dimaa, Q LMS (θ)=r (h) r () < r () < < r() T adalah r i =( y i x i θ ), i=,,, error h (residual) kuadrat didefeisika sebagai yag diurutka, iterval dari + p+ + h. Nilai breakdow utuk estimasi LMS juga berilai 4 h. Namu, estimasi LTS mempuyai beberapa keuggula dibadigka dega estimasi LMS. Fugsi objektifya lebih halus, membuat LTS lebih stabil (kecuali sesitive utuk efek local) daripada estimasi LMS. Efisesi statistikya lebih baik karea estimasi LTS ormal secara asymptotic dimaa estimasi LMS memiliki tigkat kovergesi yag lebih redah.

15 f. Estimasi W Estimasi W mewakili betuk alterative dari estimasi M. Masig-masig estimasi W mempuyai karakteristik fugsi peimbag W(.) meggambarka petigya tiap sample dalam kotribusiya pada estimasi T, yag dihubugka pada estimasi M yag bersesuaia megikuti ψ ( r )=W (r )r. Parameter optimal diperoleh dega meyelesaika, W (r j )r j=0 j= Yag sama seperti persamaa utuk masalah regresi Weighted Least Square. W-Estimator meawarka prosedur peghituga iterative MEstimator yag sederhaa da meyeagka, dimaa persamaa WEstimator dalam iterasi sekarag diselesaika dega perbaika ilai peimbag, W (r j), pada iterasi sebelumya. Prosedur utuk memperoleh hasil merujuk pada Iterative Reweighted Least-Square (IRLS atau RLS). Seperti pada kasus estimator M da W, IRLS bergatug pada skala prefix da akurat utuk defeisi peimbagya. Skala estimasi yag palig umum diguaka adalah,4 x MAD. g. Estimasi L Estimasi L didasarka pada order statistic (statistic terurut), sebagai cotoh adaika kita igi megestimasi parameter lokasi suatu distribusi dari sample acak X, X,, X. Order statistic sampel ii adalah X [ ] X[ ] X [ ]. Media sample merupaka estimasi L, karea itu merupaka suatu ukura lokasi order statistic. h. Estimasi R Sebagai tambaha terhadap estimator M, ada pedekata lai utuk regresi robust. Estimasi R adalah prosedur yag didasarka pada rakig (uruta). Utuk meggambarka prosedur yag umum, gati satu factor pada fugsi sasara kuadrat 4 terkecil s ( β ) = ( y i x i β ) i= ' dega

16 rakigya. Demikia jika Ri adalah rakig dari ' y i x i β, lalu kita igi memiimalka ( y i x 'i β ) Ri i=. Lebih umumya, kita dapat meggati rakig (yag maa iteger,,,) dega fugsi skor a(i)=,,,, sehigga fugsi sasaraya mejadi : mi ( y i x'i β ) a(ri ) β i= Jika kita meetapka fugsi skor sama dega rakig (raks), a(i)=i, hasilya disebut skor Wilcoxo. Kemugkia lai adalah megguaka i< skor media, dimaa a(i)=- jika + da a(i)= jika i> C. PEMBAHASAN. PENERAPAN ESTIMASI M a. Estimasi M (Huber) Data pegamata pejuala rokok tahu 0 di yogyakarta: jml outlet ikla out ikla kora (X) () N o Sales (y) (X) ikla radio (X) +.

17 Dilakuka uji asumsi terlebih dahulu, yaki : Pertama, uji ormalitas : 6

18 Probability Plot of RESI Normal 99 Mea StDev N KS P-Value E <0.00 Percet RESI Kedua, uji multikoliearitas : Predictor Costat X X X Coef SE Coef T P VIF Karea ilai VIF yag kecil megidikasika tidak ada multikoliearitas. Ketiga, uji homoskedasitas : The regressio equatio is Y = X +Versus.Order X +. X +. (respose is Y) Residual 00 Predictor Costat X 0 X X 0 Coef S = 66. SE Coef R-Sq = 64.0% T P R-Sq(adj) =.% -0 Aalysis of Variace -00 Source 4 6 Regressio Residual Error Total DF 0 SS 4 6 MS 0 4 F 6 P Observatio Order Keempat, uji autokorelasi : Durbi-Watso statistic =.94 Source DF Seq SS X Karea ilai durbi Watso medekati X 6 autokorelasi. X 6 0 meujukka tidak ada Output miitab : Uusual Observatios b. c. Obs 4 0 X Y Fit SE Fit Residual St Resid.9R -.0R -.40R -.R R deotes a observatio with a large stadardized residual.

19 d. e. f. g. h. i. j. k. l. m.. o. p. q. r. s. t. u. Dega megguaka miitab didapatka model regresiya adalah : v. Y = X +. X +. X +. w. Model tersebut merupaka hasil metode OLS. x. y. z. aa. ab. Didapatka model : Y = X +. X +. X +.

20 Kemudia dilakuka pegujia dega ilai stadarized residual, da DFITS. Hasilya sebagai berikut : Berdasarka ilai stadarized residual da DFITS bahwa observasi ke 4,, 0, da teridikasi sebagai outlier. 9

21 ac. Utuk peetua ilai bobotya megguaka fugsi ifluece da fugsi pembobot Huber, sebagai berikut : ad. 0

22 ae. Dega megguaka miitab, maka di dapatka model regresi utuk tiap iterasi sebagai berikut : af. It ag. Model regresi ah. ai. Y = X X +.4 X + 6. aj. ak. Y = X X X al. am. Y = X + 0. X + 4. X a. 4 ao. Y = X + 0. X + 4. X ap. aq. Y = X X + 4. X ar. 6 as. Y = X X + 4. X at. au. Y = X X + 4. X av. aw. Y = X X + 4. X ax. Sehigga model regresi robust utuk estimasi M adalah : ay. Y = X X + 4. X az. Kemudia dilakuka uji secara seretak (apakah keragama Y dapat dijeaska oleh model regresi X terhadap Y sigifika secara statistik?) da uji idividu (apakah peubah X i berpegaruh terhadap peubah Y apabila peubah laiya tetap?). hasil output miitab Weighted aalysis usig weights i W(e*) sebagai berikut : ba. The regressio equatio is bb. Y = X X + 4. X bc. bd. Predictor Coef SE Coef T P be. Costat X bf X X bg bh bi. S = 0.6 R-Sq = 4.0% R-Sq(adj) = 69.% bj. Aalysis bk. of Variace bl. Source DF SS MS F P Regressio bm. Residual Error 64 b. Total 9 46 bo. Source bp. DF Seq SS X 4 X bq. X br bs. Uusual Observatios Obs 0 X Y Fit SE Fit Residual St Resid -.R -.R -.0R R deotes a observatio with a large stadardized residual.

23 bt. bu. bv. bw. bx. Utuk uji seretak didapatka p-value sebesar yag lebih kecil dari alpha sebesar 0.0, sehigga secara statistik keragama Y dapat dijeaska oleh model regresi X terhadap Y sigifika. Utuk uji idividu didapatka peubah X da X tidak sigifika, amu ii masih lebih baik dari model regresi o robust dimaa ada empat peubah yag tidak sigifika yaki costat, peubah X, X, da X. by. b. Estimasi M (Tukey Bisquare) bz. : Dega megguaka miitab didapatka model regresiya adalah ca. Y = X +. X +. X +. cb. Model tersebut merupaka hasil metode OLS. cc. Dega megguaka miitab, maka di dapatka model regresi utuk tiap iterasi sebagai berikut : cd. Iter a s i k e ce. Model regresi cf. cg. Y = X X + 4. X ch. ci. Y = X X + 4. X +. cj. cl. 4 ck. Y = - 0 X +. cm. Y = - 6 X X X X +.00 X c. co. Y = X + 0. X + 4. X +. cp. 6 cq. Y = X +.0 X + 4. X +.9 cr. ct. cv.9 cs. Y = - 0 X +.9 cu. Y = - X +.9 cw. Y = - 99 X X + 0. X X +.9 X X + 0. X + 4. cx. 0 cy. Y = X +. X X cz. da. Y = X + 0. X + 4. X db. dc. Y = X +.4 X +.9 X + 6.0

24 dd. de. Y = X X + 4. X df. 4 dg. Y = X +. X +. X + 6. dh. di. Y = X + 0. X X + 6. dj. 6 dk. Y = X +. X +. X dl. dm. Y = X + 0. X X d. do. Y = X +.60 X +.6 X + 6. dp. 9 dq. Y = X + 0. X X + 6. dr. 0 ds. Y = X +.6 X +.6 X + 6. dt. du. Y = X + 0. X X dv. dw. Y = X +.6 X +.6 X + 6. dx. dy. Y = X + 0. X X dz. 4 ea. Y = X +.6 X +.6 X + 6. eb. ec. Y = X + 0. X X + 6. ed. 6 ee. Y = X +.6 X +.6 X + 6. ef. eg. Y = X + 0. X X + 6. eh. ei. Dalam kasus ii, teryata model regresi robust dega tukey bisquare koverge ke dua model yaki : ej. Y = X +.6 X +.6 X + 6. ek. R el. R s q u a r e a em. Uj i F e. Uji T

25 d j ep. 6. % eo. eq. si g if ik a er. X da X tidak sigifika es. Da et. Y = X + 0. X X + 6. eu. R ey. ev. R s q u a r e a d j ew. Uj i F ex. Uji T ez.. 6 % fa. si g if ik a fb. X da X tidak sigifika fc. fd. Sehigga model terpilih adalah Y = X + 0. X X + 6. fe. ff. fg. fh. fi. fj. fk. fl.. PENERAPAN ESTIMASI LTS fm. Lagkah awal utuk meetuka h dimaa h E LTS = e i i= ELTS =9.00 diguaka model hasil dari h= OLS. + p+ da Didapatka da h = yag artiya data baru (telah diurutka secara ascedig berdasarka ei yag aka diguaka utuk estimasi LTS iterasi ke, hasil output miitabya sebagai berikut : 4

26 f. The regressio equatio is Y = X + 0. X +. X +.9 fo. Predictor Coef Costat fp. X X fq. X fr. S =.00 SE Coef T R-Sq = 9.0% P R-Sq(adj) = 9.4% fs.aalysis of Variace Source DF SS ft.regressio 4 64 Residual Error Total 000 fu. Source DF fv.x X X fw. fx. Uusual Obs fy. MS 94 F 6.9 P Seq SS Observatios Y Fit. 49. X.0 SE Fit 9. Residual 9.6 St Resid.06R R deotes a observatio with a large stadardized residual. ELTS =,9. fz. Dega ga. ilai h baru utuk iterasi ke adalah yag artiya data baru yag aka diguaka, hasil output miitab sebagai berikut : gb. The regressio equatio is Y = X -. X +. X +.69 gc. Predictor Costat gd. X X X ge. gf.s Coef =.669 SE Coef T R-Sq = 99.% P R-Sq(adj) = 99.% gg. Aalysis of Variace Source DF SS Regressio 4 6 gh. Residual Error 40 Total 96 MS 964 F 4. P gi. Source DF Seq SS 0 X 4 The equatio is X regressio 9 gk. Y = X -.49 X X +.6 gj.x Predictor gl. E LTS =.9 Coef SE Coef T. Dega g. S = R-Sq = 99.9% P Costat X X iterasi gm. ilai h baru utuk ke adalah 9 yag artiya 9 data X baru yag aka diguaka, hasil output miitab sebagai berikut : R-Sq(adj) = 99.% go. Aalysis of Variace Source gp. Regressio Residual Error Total Source X X X DF DF 4 4 Seq SS SS 6 MS 49 6 F 9.0 P 0.000

27 gq. gr. gs. gt. gu. gv. gw. gx. gy. Dega ELTS =.44. gz. ilai h baru utuk iterasi ke 4 adalah yag artiya data baru yag aka diguaka, hasil output miitab sebagai berikut : ha. The regressio equatio is Y = - -. X -.00 X +. X hb. Predictor Coef Costat hc. X X hd. X he. hf.s =. SE Coef T R-Sq = 00.0% Aalysis of Variace DF SS Regressio 4 40 hh. Residual Error 0 Total 60 hg. Source P R-Sq(adj) = 99.9% MS F 0.0 P hi. Source hj.x X X hk. DF hl. Dega Seq SS ELTS =6.44. hm. The regressio equatio is Y = X -.4 X X +. h. Predictor ho. Coef SE Coef T P Costat X hp. X X hq. ilai h baru utuk iterasi ke adalah yag artiya data baru yag aka diguaka, hasil output miitab sebagai berikut : S =.4 hr. R-Sq = 00.0% Aalysis of Variace DF SS Regressio Residual Error ht. Total Source hs. Source X X X DF Seq SS R-Sq(adj) = 00.0% MS 6 F 94.9 P 0.000

28 hu. hv. hw. hx. hy. hz. ia. ib. ic. Dega ELTS =0.0. id. Iterasi berheti sampai iterasi ke karea ilai h pada itreasi ke 6 sama dega iterasi ke yaki. ie. if. ig. ih. ii. ij. ik. il. im. i. io. ip. iq. ir. is. it. D. DAFTAR PUSTAKA iu. Bambag J Ekoometrika: Pemodela da Pedugaa. Bogor (ID): IPB Pr. iv. iw. Che C. 00. Robust Regressio ad Outlier Detectio with the Robustreg Procedure. Paper 6-, Statistics ad Data Aalysis, SUGI, North Carolia: SAS Istitute Ic. ix.

29 iy. Draper NR, Smith. 99. Aalisis Regresi Terapa. Diterjemahka oleh Bambag Sumatri. Jakarta (ID): Gramedia. iz. ja. Motgomery DC, Peck EA. 99. Itroductio to Liear Regressio Aalysis. New York (NY): Joh Wiley ad Sos. jb. jc. Musarifah, Raupog, Nasrah S. Perbadiga Metode Robust Least Trimmed Square Dega Metode Scale Dalam Megestimasi Parameter Regresi Liear Bergada Utuk Data Yag Megadug Pecila. [Iteret]. Makassar (ID). [diuduh 06 jam 4: WIB]. Tersedia pada: NAL.pdf?sequece= jd. je. Paper Robust. jg. Rokhdaa DB. Regresi Robust Dega M-Estimatio. jf. jh. ji. Rya TP. 99. Moder Regressio Methods. Caada: Joh Wiley & Sos Ic. jj. jk. Yuliaa S, Hasih P, Sri SH. 0. Optimasi Model Regresi Robust Utuk Memprediksi Produksi Kedelai di Iodoesia. [Iteret]. Yogyakarta (ID). [diuduh 06 jam :4 WIB]. Tersedia pada: jl. jm. j. jo. Yuliaa. 04. Peerapa Model Regresi Liear Robust Dega Estimasi M Pada Data Nilai Kalkulus II Mahasiswa Uiversitas Widya Dharma Klate. Magistra No. 90 Th. XXVI [Iteret]. Hlm 9; [diuduh 06 jam 09:46 WIB]. Tersedia pada: article=9460&val=60&title=penerapan%0model %0REGRESI%0LINEAR%0ROBUST%0DENGAN%0ESTIMASI %0M%0PADA%0DATA%0NILAI%0KALKULUS%0II %0MAHASISWA%0UNIVERSITAS%0WIDYA%0DHARMA %0KLATEN jp. jq. jr. js.