I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang 1.2 Tujuan praktikum II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Distribusi Probabilitas

Transkripsi

1 I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Distribusi probabilitas dapat diterapkan dalam banyak hal seperti pada kehidupan sehari-hari, kegiatan bisnis maupun pada dunia industri. Distribusi probabilitas berguna untuk menganalisis suatu kejadian dan memberikan keuntungan serta manfaat dalam pengaplikasiannya. Misalnya, pada suatu proses pelayanan di suatu Bank dapat menguji apakah dengan disediakan empat teller, nasabah akan menunggu lama atau kapasitas yang berlebih akan membuat boros tempat. Permasalahan ini dapat diselesaikan dengan distribusi probabilitas yang akan membantu Bank dalam membuat keputusan dalam menyediakan teller. Distribusi probabilitas merupakan suatu daftar atau kumpulan dari probabilitasprobabilitas peristiwa yang mungkin terjadi. Distribusi peluang yang demikian saling berhubungan dengan semua nilai-nilai yang mungkin terjadi dan berasal dari variabel random. Variabel random adalah variabel yang nilainya merupakan suatu bilangan yang ditentukan oleh terjadinya suatu percobaaan. Fungsi distribusi probabilitas umumnya dibedakan menjadi distribusi probabilitas diskrit dan kontinyu. Di dalam distribusi probabilitas diskrit dan kontinyu terdapat beberapa macam distribusi. Untuk lebih memahami dan mengetahui perbedaan dari kedua distribusi tersebut, maka praktikan melakukan praktikum distribusi probabilitas. Dengan melakukan praktikum diharapkan pemahaman serta pengaplikasian distribusi probabilitas diskrit maupun kontinyu dapat dipahami dan dimengerti. 1.2 Tujuan praktikum Berikut merupakan tujuan dari praktikum ini adalah sebagai berikut: 1. Untuk melakukan perhitungan menggunakan software dan secara manual mengenai distribusi probabilitas diskrit. 2. Untuk melakukan perhitungan menggunakan software dan secara manual mengenai distribusi probabilitas kontinyu. 3. Untuk memahami dan menganalisis perbedaan data empiris dan data teoritis. II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Distribusi Probabilitas Variabel acak merupakan parameter penting dalam sebuah distribusi probabilitas. Variabel acak adalah variabel yang nilainya ditentukan dari sebuah hasil percobaan. 11

2 Peubah acak dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X, sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil misalnya x. Sebagai contoh, pada pelemparan dua koin, huruf Y menyatakan jumlah gambar yang muncul maka nilainya adalah y = 0, 1 dan 2. Dari setiap nilai variabel acak yang memungkinkan akan memiliki probabilitas masing-masing yang disebut distribusi probabilitas. (Bluman, 2012) Binomial Hipergeometrik Distribusi Probabilitas Diskrit Multinomial Geometrik Binomial Negatif Poisson Uniform Diskrit Distribusi Probabilitas Normal Uniform Erlang Gamma Beta Distribusi Probabilitas Kontinyu Eksponensial Weibull Lognormal Distribusi t Distribusi F Chi-Square Bagan 2.1 Klasifikasi Distribusi Probabilitas 12

3 2.2 Distribusi Probabilitas Diskrit Distribusi probabilitas diskrit adalah suatu daftar atau distribusi di mana variabel acaknya mengasumsikan masing-masing nilainya dengan probabilitas tertentu (Walpole, 2010). Variabel diskrit memiliki jumlah nilai kemungkinan yang terbatas atau jumlah yang tak terhingga dari nilai-nilai yang dapat dihitung. Kata dihitung berarti bahwa variabel acak tersebut dapat dicacah dengah menggunakan angka 1, 2, 3, dst. Misalnya, jumlah panggilan telepon yang diterima setelah siaran TV mengudara adalah contoh variabel diskrit, karena bisa dihitung. (Bluman, 2012) 13

4 Tabel 2.1 Jenis Distribusi Diskrit (Distribusi Binomial, Hipergeometrik, Multinomial) No. Jenis Distribusi Pengertian Variabel Persamaan Distribusi Binomial Distribusi Hipergeometrik Sebuah eksperimen binomial terdiri dari percobaan yang berulang, dengan masingmasing kemungkinan outcome dikategorikan sukses atau gagal Distribusi probabilitas variabel acak hipergeometrik x, yaitu banyaknya sukses dalam ampel acak berukuran n yang diambil dari populasi N (di mana di dalam N terkandung k sukses dan N-k gagal). Distribusi hipergeometrik didasarkan atas sampling yang dilakukan tanpa pengembalian. x = banyaknya peristiwa sukses p = probabilitas peristiwa sukses n = banyaknya percobaan q = 1 p = probabilitas peristiwa gagal N = total populasi atau sampel n = jumlah percobaan atau jumlah sampel yang dipilih k = jumlah kejadian sukses dalam n Fungsi massa probabilitas : p(x) = { (n x ) px q n x, x = 0, 1, 2,, n 0 Fungsi distribusi kumulatif : 0, x < 0 f(x) = { x p(i) i=0 Fungsi massa probabilitas : p(x) = {, x 0 ( k n ) )(N k x )(N k n x ) ( N, x = 0,1,, min (n, D) 0, other Fungsi distribusi kumulatif : f(x) = { x p(i) i=0 0, x < 0, x 0 3. Distribusi Multinomial Eksperimen binomial menjadi eksperimen multinomial jika pada masing-masing percobaan mempunyai lebih dari dua hasil kemungkinan outcome, di mana masing-masing percobaan identik dan independen. x = banyaknya peristiwa sukses n = banyaknya percobaan p = probabilitas peristiwa sukses q = 1 p = probabilitas peristiwa gagal Fungsi distribusi kumulatif : f(x 1, x 2,, x k ; p 1, p 2,, p k, n) = ( n x ) p 1p2 x 2 x x 1, x 2,, x 1 k pk k Sumber: (Montgomery, 2003) Contoh Probabilitas ditemukannya polutan organik oleh BPOM dari beberapa sampel produk air mineral dalam kemasan Pengujian kualitas permukaan kaleng minuman dengan pengambilan acak tanpa pengembalian sampai produk dinyatakan dalam keadaan baik atau rusak. Tim Reseacrh and Development dari sebuah perusahaan mengadakan kuesioner untuk mengukur tingkat kepuasan pelanggan terhadap produk dari perusahaan tersebut. Peluang jawaban kuesioner terdiri dari sangat puas, puas, cukup puas, dan kurang puas. 14

5 Tabel 2.1 Jenis Distribusi Diskrit (Distribusi Geometrik, Binomial Negatif, Paascal) No. Jenis Distribusi Pengertian Variabel Persamaan 4. Distribusi Geometrik Bila usaha yang saling bebas dan dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang p, gagal dengan peluang q = 1 p. Maka distribusi peluang peubah acak x, yaitu banyaknya usaha sampai terjadinya sukses pertama. p = probabilitas peristiwa sukses q = 1 p = probabilitas peristiwa gagal x = jumlah trial/percobaan sampai terjadinya sukses pertama Fungsi massa probabilitas : p(x) = { p(1 p)x 1, x = 1, 2,, 0, other Fungsi distribusi kumulatif : f(x) = { 0, x < 1 1 (1 p) x, x 1 5. Distribusi Binomial Negatif (Pascal) Banyaknya x percobaan yang dibutuhkan untuk menghasilkan k sukses disebut variabel acak binomial negatif, dan distribusinya disebut distribusi binomial negatif. Distribusi pascal digunakan untuk mengetahui bahwa sukses ke-k terjadi pada usaha ke-x. p = peluang sukses q = 1 p = peluang gagal x = jumlah percobaan yang diperlukan untuk memperoleh keluaran Fungsi massa probabilitas : p(x) = { (x 1 r 1 ) pr (1 p) x r, x = r, r + 1,, x, x 0 Fungsi distribusi kumulatif : f(x) = { x p(i) i=0 0, x < 0, x 0 6. Distribusi Poisson Distribusi poisson adalah distribusi yang menghasilkan nilai numerik dari peubah acak x pada selang waktu yang tertentu atau daerah tertentu. λ = rata-rata jumlah kejadian dalam setiap unit ukuran e = 2,71828 Fungsi massa probabilitas : p(x) = { (e λ λ x x! ), x = 0, 1, 2,, 0, other Fungsi distribusi kumulatif : f(x) = { x p(i) i=0 0, x < 0, x 0 Sumber: (Montgomery, 2003) Contoh Peluang banyak sumur yang dibor sampai sumur yang dibor dapat mengeluarkan minyak. Probabilitas jumlah inspeksi yang dilakukan pada 20 part of product sampai ditemukan 3 part yang harus di rework Jumlah telepon masuk yang diterima dalam waktu satu jam di suatu kantor atau banyaknya kesalahan pengetikan per halaman oleh seorang sekretaris baru. 15

6 Tabel 2.1 Jenis Distribusi Diskrit (Distribusi Uniform Diskrit) No. Jenis Distribusi Pengertian Variabel Persamaan 7. Distribusi Uniform Diskrit Variabel acak x berdistribusi diskrit uniform jika setiap n berada pada range, misal x1, x2,..., xn di mana probabilitas sama. n = jumlah sampel Fungsi massa probabilitas : p(x) 1 (b a) + 1 = {, x = a, a + 1,, b 0, other Fungsi distribusi kumulatif : f(x) = { 0, x < a (x a) + 1 (b a) + 1 1, x b, a x < b Sumber: (Montgomery, 2003) Contoh Mata dadu dari sebuah dadu terdiri dari angka 1-6. Jika dadu dilempar sekali dan x adalah mata dadu pertama yang muncul, x adalah distribusi uniform dengan probabilitas 1/6 untuk tiap nilai R = {1, 2,..., 6}. 16

7 2.3 Distribusi Probabilitas Kontinyu Distribusi Probabilitas Kontinyu adalah daftar atau sebaran probabilitas dari setiap nilai variabel acak kontinyu. Variabel acak kontinyu adalah variabel acak dengan interval (baik terbatas maupun tidak terbatas) dalam suatu jarak dari bilangan nyata (Montgomery,2011). Variabel acak kontinyu meliputi nilai yang dapat diukur daripada dihitung. Contohnya adalah tinggi badan, berat badan, suhu, dan waktu. Distribusi Probabilitas Kontinyu dapat digambarkan dengan fungsi kepadatan probabilitas f(x) yang mempunyai nilai-nilai dalam variabel kontinyu. Seperti pada gambar dibawah ini, daerah dibawah kurva a sampai b merupakan distribusi probabilitas kontinyu yang nilainya berada pada interval dua buah angka a dan b yang termasuk dalam variabel x atau variabel kontinyu. Gambar 2.2 Fungsi Kepadatan Probabilitas Variabel Acak Kontinyu Sumber : Montgomery (2003) Probabilitas daerah interval a dan b adalah sebagai berikut. b P(a < x < b) = f(x) a (2-1) 17

8 No Jenis Distribusi 1. Distribusi Normal 2. Distribusi Uniform 3. Distribusi Eksponensial Sumber: (Montgomery, 2003) Tabel 2.3 Distribusi Probabilitas Kontinyu (Distribusi Normal, Distribusi Uniform, Distribusi Eksponensial) Pengertian Variabel Persamaan Salah satu distribusi yang sering digunakan untuk distribusi variabel acak. Variabel acak yang mempunyai rata-rata dan variansi yang berbeda dapat digambarkan dengan distribusi normal. Distribusi normal memiliki kurva berbentuk lonceng yang simetris yang ditentukan oleh rata-rata yang dituliskan di tengah kurva dan variansi untuk menentukan lebarnya kurva. e = 2,71828 π = 3,14159 µ = rata-rata populasi σ = standar deviasi x = rata-rata sampel Fungsi Kepadatan Probabilitas: f(x) = 1 e (x µ)2 2σ 2 2πσ Variabel X diterjemahkan ke variabel acak Z dengan rata-rata 0 dan variansi 1: Z = x μ σ Sebuah distribusi probabilitas yang mempunyai probabilitas yang sama untuk semua kemungkinan variabel acak yang muncul Terdapat batas interval a dan b dimana proporsi probabilitas sepanjang interval (a,b) adalah sama Fungsi Kepadatan Probabilitas f(x) = { 1 b a a x b 0 other Fungsi Distribusi Kumulatif f(x) = { 0 x < a (x a) a x < b (b a) 1 x b Distribusi probabilitas yang digunakan untuk mengukur waktu antara dua kejadian sukses atau jarak satu interval proses poisson. x = interval rata-rata λ = parameter skala e = 2,71828 Fungsi Kepadatan Probabilitas f(x) = { λ e λx x 0 0 other Fungsi Distribusi Kumulatif f(x) = { 0 x < 0 1 e xβ x 0 Mean : μ = β Variansi : σ 2 = β 2 Contoh Distibusi normal banyak dicontohkan dalam kehidupan sehari-hari maupun di dunia industri. Misalnnya pada industri sepatu rata-rata panjang sepatu yang dibuat oleh operator berdistribusi normal. Probabilitas volume minuman kaleng dimana pengisian minuman dilakukan dengan mesin dalam sebuah industri softdrink. waktu selisih operator menerima antara 2 panggilan atau waktu kedatangan pelanggan dalam sistem 18

9 No Jenis Distribusi 4. Distribusi Erlang 5. Distribusi Gamma 6. Distribusi Beta Sumber: (Montgomery, 2003) Tabel 2.6 Distribusi Probabilitas Kontinyu (Distribusi Erlang, Distribusi Gamma, Distribusi Beta) Pengertian Variabel Persamaan Sebuah generalisasi dari distribusi eksponensial adalah lama waktu yang dibutuhkan sampai r kejadian terjadi dalam proses Poisson. Disaat X dalam hal ini menunjukkan waktu yang dibutuhkan sampai kejadian ke r dalam proses Poisson, maka probabilitas kepadatan ini didefinisikan sebagai distribusi Erlang λ = parameter skala r = kejadian sukses lebih dari sama dengan 1 x = waktu sampai kejadian r e = 2,71828 Fungsi kepadatan probabilitas f(x) = λr x r 1 e λx (r 1)! Untuk x > 0 dan r = 1,2,.. Fungsi Distribusi Kumulatif : 0 x 0 F(x) = { r 1 1 e λx (λx) k k=0 k! x > 0 Distribusi gamma merupakan teori yang mendasari distribusi erlang dan eksponensial,, r pada distribusi ini dapat bernilai non integer. Distribusi beta merupakan sebuah penjabaran dari distribusi uniform r = parameter bentuk λ = parameter skala Parameter bentuk α dan β Fungsi Gamma Γ(r) = x r 1 e x dx, 0 untuk r > 0 Fungsi Kepadatan Probabilitas f(x) = λr x r 1 e λx untuk x > 0 Γ (r) Fungsi Distribusi Kumulatif F(x) = { 0 x 0 x f(i)di x > 0 0 Fungsi Kepadatan Probabilitas f(x) = Γ (α + β) Γ (α)γ (β) xα 1 (1 x) β 1 untuk x ε [0,1] Fungsi Distribusi Kumulatif 0 x 0 x F(x) = { f(i)di x > 0 0 Contoh Probabilitas kesalahan (error) laser ketiga dalam mesin sitogenik lebih dari jam Diaplikasikan untuk mengukur waktu untuk menyelesaikan pekerjaan dan sering digunakan dalam teori antrian. Digunakan untuk mengetahui keandalan suatu mesin 19

10 No Jenis Distribusi 7. Distribusi Weibull 8. Distribusi Lognormal 9. Distribusi Student (t) Sumber: (Montgomery, 2003) Tabel 2.7 Distribusi Probabilitas Kontinyu (Distribusi Weibull, Distribusi Lognormal, Distribusi Student (t)) Pengertian Variabel Persamaan Distribusi Weibull sering digunakan untuk menghitung waktu yang dicapai sampai terjadinya kerusakan suatu sistem fisik. β = parameter bentuk distribusi δ = Parameter skala yang menunjukkan umur penggunaan suatu alat Fungsi Kepadatan Probabilitas: f(x) = β δ (x δ )β 1 exp( x δ )β untuk x>0 Variabel dalam sistem terkadang mengikuti distribusi eksponensial dengan variabel X adalah exp(w). Saat W ditranformasikan menggunakan logaritma dan menjadi distribusi normal, maka distribusi dari variabel X ini disebut distribusi lognormal. θ = rata-rata ω 2 = variansi Fungsi Kepadatan Probabilitas 1 (ln x θ)2 f(x) = exp [ xω 2π 2ω 2 ] Untuk 0 < x < Misalkan X1, X2,...,Xn merupakan sampel acak dari suatu distribusi normal dengan ratarata dan standar deviasi yang tidak diketahui. Variabel acak berdistribusi t dengan derajat kebebasan n-1 µ = rata-rata populasi s = standar deviasi x = rata-rata sampel n = jumlah sampel k = derajat kebebasan x μ Tn = s/ n Fungsi Kepadatan Probabilitas : f(x) = + 1 r [k 2 ] μkr ( k. 2 ) Untuk < x < [( x2 k 1 ) + 1] (k+1)/2 Contoh Menentukan waktu lifetime dari penggunaan roller bearing secara mekanis sampai struktur bahan rusak (gagal) Menguji umur pakai suatu alat Untuk menguji dua ratarata dengan sampel kecil (n<30) 20

11 Tabel 2.8 Distribusi Probabilitas Kontinyu (Distribusi F dan Distribusi Chi Square) No. Jenis Distribusi Pengertian Variabel Persamaan 10. Distribusi F Distribusi F digunakan apabila terdapat 2 buah populasi yang berdistribusi normal dan independen dimana rata-rata populasi dan variansinya tidak diketahui. W dan Y = variabel random chi-square u dan v = derajat kebebasan F = W/u Y/v Fungsi kepadatan probabilitas : f(x) = r ( u + v 2 ) (u v )( u 2x )(u 2 ) 1 r ( u u+v v ) r (v u ) [(u v ) x + 1] 2 untuk 0 < x < 11. Distribusi Chi Square (X 2 ) Seperti pada distribusi t, distribusi chisquare mempunyai satu parameter, yaitu derajat kebebasan (df). Derajat kebebasannya dapat dihitung menggunakan formula yang berbeda dari pengujian yang berbeda. Bentuk kurva distribusi chi-square berbentuk skewness positif dari df yang terkecil sampai df yang paling besar. e = 2,71828 v = derajat kebebasan Parameter α=ν/2 dan β=2 Fungsi Kepadatan Probabilitas f(x) = { 2 α x α 1 e x/2 Γ(α) x > 0 0 other Fungsi Distribusi Kumulatif F(x) = { 0 x 0 x f(i)di x > 0 0 Mean : µ=νvariansi : σ 2 = 2ν Sumber: (Montgomery, 2003) Contoh Untuk menguji variansi 2 populasi dan dapat menguji rata-rata pada variansi 3 atau lebih populasi (ANOVA) Digunakan untuk uji Goodness of fit. (menguji suatu data apakah sesuai dengan distribusi tertentu) 21

12 2.4 Fungsi Massa Probabilitas Misalkan terdapat suatu pembebanan yang diletakan pada titik-titik diskrit (tertentu) di sebuah balok yang panjang dan tipis. Pembebanan tersebut dideskripsikan sebagai suatu fungsi yang menjelaskan bahwa massa (pembebanan) berada di tiap-tiap titik diskrit tersebut. Hampir sama seperti variabel acak diskrit, distribusinya dapat dideskripsikan dengan fungsi tersebut yang menjelaskan bahwa probabilitasnya berada pada tiap-tiap nilai variabel acak X yang mungkin (Montgomery, 2003). Gambar 2.3 Loading at discrete points in a long thin beam Sumber : Montgomery (2003) Untuk variabel acak diskrit dengan nilai kemungkinan x1, x2,...., xn fungsi probabilitas massanya adalah 1. F(x1) 0 n 2. i=1 f(xi) = 1 3. f(xi) = P(X = xi) 2.4 Fungsi Kepadatan Probabilitas Fungsi kepadatan pada umumnya digunakan di dunia keteknikan untuk mendeskripsikan sistem fisik. Sebagai contoh, mengingat kepadatan pada suatu balok yang panjang dan tipis seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.1. Untuk setiap titik x di sepanjang balok, kepadatannya dapat dideskripsikan sebagai sebuah fungsi (gram/cm). Interval antara pembebanan yang besar berhubungan dengan nilai fungsi yang besar pula. Total pembebanan antara poin a dan b ditentukan sebagai suatu integral dari fungsi kepadatan dari a ke b. Di bawah interval pada fungsi densitas ini, dapat dengan mudah ditafsirkan sebagai jumlah dari keseluruhan pembebanan di interval tersebut. Hampir sama, fungsi kepadatan probabilitas f(x) dapat digunakan unutk mendeskripsikan distribusi probabilitas dari variabel acak kontinyu X. Jika interval memiliki nilai dari X, probabilitasnya besar dan itu 22

13 berhubungan dengan nilai fungsi f(x) yang besar pula. Probabilitas X diantara a dan b ditentukan dari integral dari F(x) dari a ke b (Montgomery, 2003). Gambar 2.4 Fungsi Densitas pada Balok yang Panjang dan Tipis Sumber : Montgomery (2003) Untuk variabel acak kontinyu dari X, fungsi kepadatan probabilitasnya adalah 1. F(x1) 0 2. f(x)dx = 1 b 3. P (a X b) = f(x)dx a = area dibawah f(x) untuk semua nilai a dan b 2.5 Fungsi Distribusi Kumulatif untuk Variabel Acak Diskrit Terkadang akan sangat berguna untuk menggunakan probabilitas kumulatif dimana probabilitas tersebut dapat digunakan untuk menemukan fungsi massa probabilitas (PMF) dari suatu variabel acak. Maka dari itu menggunakan probabilitas kumulatif ini merupakan suatu metode alternatif untu mendeskripsikan distribusi probabilitas dari suatu variabel acak. (Montgomery, 2003) berikut Fungsi probabilitas kumulatif dari variabel acak diskrit X ini dapat dinotasikan sebagai F(x) = P(X x) = x1 x f(xi) (2-2) Sumber : Montgomery(2003:64) Untuk variabel acak diskrit X, F(x) memenuhi ketentuan berikut 1. F(x) = P(X x) = f(xi) x1 x 2. 0 F(x) 1 3. bila x y, kemudian F(x) F(y) Gambar 2.5 Fungsi Distribusi Kumulatif untuk Variabel Acak Diskrit Sumber : Montgomery (2003) 23

14 2.6 Fungsi Distribusi Kumulatif untuk Variabel Acak Kontinyu Metode alternatif untuk mendeskripsikan suatu varuiabel acak diskrit ternyata juga dapat digunakan untuk variabel acak kontinyu. Fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak kontinyu X adalah F (x) = P( X x ) = Sumber : Montgomery (2003) f(u)du for < x <. (2-3) Menjabarkan definisi dari f(x) ke segala lini memungkinkan kita untuk mendefinisikan distribusi probabilitas kumulatif untuk semua bilangan real/nyata. (Montgomery, 2003) Gambar 2.6 Fungsi Distribusi Kumulatif untuk Variabel Acak Kontinyu Sumber: Montgomery (2003) 24

15 III. METODOLOGI PRAKTIKUM 3.1 Diagram Alir Praktikum Berikut merupakan diagram alir praktikum Distribusi Probabilitas. Gambar 3.1 Diagram Alir Praktikum 25

16 3.2 Alat Dan Bahan Berikut adalah alat dan bahan praktikum Distribusi Probabilitas Alat dan Bahan Praktikum Distribusi Diskrit Berikut adalah alat dan bahan yang digunakan dalam praktikum distribusi diskrit : buah kartu UNO, diantaranya 10 buah kartu berwarna merah, 5 kartu bewarna kuning, 10 kartu berwarna biru, dan 5 kartu bewarna hijau. 2. Lembar Pengamatan Alat dan Bahan Praktikum Distribusi Kontinyu Berikut adalah alat dan bahan yang digunakan dalam praktikum distribusi kontinyu : 1. Normal 1) Steker 2) Obeng 3) Stopwatch 4) Lembar Pengamatan 2. Eksponensial 1) 40 bola berwarna, diantaranya 10 bola warna merah, 10 bola warna hijau, 10 bola warna biru, 10 bola warna kuning. 2) Stopwatch 3) Lembar Pengamatan 3.3 Prosedur Praktikum Distribusi Probabilitas Berikut ini merupakan prosedur yang digunakan pada praktikum distribusi probabilitas Praktikum Distribusi Probabilitas Diskrit Pada praktikum distribusi diskrit distribusi yang akan dipraktikumkan antara lain Distribusi Binomial, Geometrik, Hipergeometrik, Pascal dan Poisson. Berikut merupakan prosedur praktikum distribusi probabilitas diskrit. 1. Binomial dan Geometrik Studi Kasus : Sebuah pabrik parfum memproduksi jenis parfum baru sebanyak 4 jenis yaitu vanila, green tea, lavender, dan melati. Seorang sales menyiapkan 5 sampel untuk setiap jenisnya. Sales 26

17 mengenalkan produk kepada masyarakat dengan menciumkan bau parfum dan masyarakat memilih jenis parfum yang disukainya. Asumsi terhadap objek praktikum adalah sebagai berikut : Vanilla : Kartu berwarna merah Lavender : Kartu berwarna Biru Green tea : Kartu berwarna hijau Melati : Kartu berwarna Kuning Langkah Praktikum : a. Persiapkan alat dan bahan. b. Terdapat 5 kartu berwarna merah, 5 kartu berwarna kuning, 5 kartu berwarna biru dan 5 kartu berwarna hijau. c. Kocok kartu. d. Ambil satu kartu teratas. Catat di tabel pengamatan Distribusi Binomial jika yang terpilih adalah jenis parfum vanilla (kartu berwarna merah) lalu masukkan kartu kembali. e. Untuk distribusi geometrik kejadian sukses jika yang terpilih jenis parfum melati (kartu berwarna kuning). f. Lakukan pengocokan kartu hingga 10 kali (1 replikasi). g. Ulangi hingga 5 kali replikasi. h. Analisis dan interprestasi. 2. Hipergeometrik Studi Kasus : Sebuah pabrik parfum melakukan pengecekan terhadap kualitas parfum yang diproduksi. Setiap kardus terdiri dari 20 botol parfum yang siap dikemas. Saat dilakukan pengecekan, apabila ditemukan lebih dari 4 botol yang cacat di setiap kardusnya, maka kardus tersebut ditarik kembali. Langkah Praktikum : a. Persiapkan alat dan bahan. b. Terdapat 4 kartu bernilai 2 dan 16 kartu selain bernilai angka 2. Dengan ketentuan kartu bernilai angka 2 sebagai produk cacat. c. Kocok kartu. d. Ambil satu per satu kartu tanpa pengembalian hingga terambil 5 kartu (1 replikasi). e. Catat frekuensi munculnya kartu bernilai angka 2 (produk cacat) setiap 1 kali replikasi pada tabel pengamatan Distribusi Hipergeometrik. f. Ulangi hingga 5 replikasi. 27

18 g. Analisis dan interpretasi. 3. Binomial Negatif Studi Kasus : Sebuah pabrik parfum memproduksi jenis parfum baru sebanyak 4 jenis yaitu vanila, green tea, lavender, dan melati. Seorang sales menyiapkan 5 sampel untuk setiap jenisnya. Sales mengenalkan produk kepada masyarakat dengan menciumkan bau parfum dan masyarakat memilih jenis parfum yang disukainya. Asumsi terhadap objek praktikum adalah sebagai berikut : Vanila : Kartu berwarna merah Lavender : Kartu berwarna Biru Green tea : Kartu berwarna hijau Melati : Kartu berwarna Kuning Langkah Praktikum : a. Persiapkan alat dan bahan. b. Terdapat 5 kartu berwarna merah, 5 kartu berwarna kuning, 5 kartu berwarna biru dan 5 kartu berwarna hijau. c. Kocok kartu. d. Ambil satu kartu paling atas, lalu masukkan kembali kartu yang terambil. e. Kejadian sukses apabila telah terambil 3 kali jenis parfum vanilla (kartu berwarna merah), catat jumlah pengambilan sampai terjadinya peristiwa sukses di tabel pengamatan Distribusi Binomial Negatif. f. Ulangi hingga 5 kali replikasi. g. Analisis dan interpretasi. 4. Poisson Studi Kasus : Sebuah pabrik parfum memproduksi jenis parfum baru sebanyak 4 jenis yaitu vanila, green tea, lavender, dan melati. Seorang sales menyiapkan 5 sampel untuk jenis green tea dan 35 sampel untuk jenis lain. Sales mengenalkan produk kepada masyarakat dengan menciumkan bau parfum dan masyarakat memilih jenis parfum yang disukainya. Asumsi terhadap objek praktikum adalah sebagai berikut : Vanila : Kartu berwarna merah Lavender : Kartu berwarna Biru Green tea : Kartu berwarna hijau Melati : Kartu berwarna Kuning Langkah Praktikum : a. Persiapkan alat dan bahan. 28

19 b. Terdapat 40 kartu UNO berwarna dengan komposisi 5 kartu berwarna hijau dan 35 kartu selain warna hijau. c. Lakukan pengocokan kartu dengan pengembalian sampai terambilnya parfum jenis green tea atau muncul kartu berwarna hijau (kejadian sukses). d. Pengambilan dilakukan selama 1 menit dalam 1 replikasi (asumsi 1 menit dilakukan 30 kali pengambilan kartu). e. Catat jumlah terambilnya kartu berwarna hijau (kejadian sukses) dalam 1 kali replikasi (1 menit = 30 kali pengambilan) pada tabel pengamatan Distribusi Poisson. f. Ulangi hingga hingga 5 replikasi. g. Analisis dan Interpretasi Prosedur Praktikum Distribusi Kontinyu Pada praktikum distribusi kontinyu distribusi yang akan dipraktikumkan yaitu distribusi normal dan distribusi eksponensial. Berikut merupakan prosedur praktikum distribusi probabilitas kontinyu. 1. Normal a. Persiapkan alat, bahan dan 6 orang anggota kelompok. b. Terdapat wadah yang berisi lima steker yang nantinya akan di assembly. c. Satu anggota kelompok berperan sebagai operator perakit yang bertugas untuk merakit komponen steker. Dua anggota bertugas untuk melepaskan steker yang telah dirakit agar dapat digunakan lagi untuk operator perakit. Sementara Satu anggota lainnya bertugas untuk menjalankan dan menghentikan stopwatch dan dua anggota sisanya untuk mencatat waktu yang diperlukan operator untuk melakukan sebuah replikasi. d. Operator perakit melakukan percobaan replikasi terlebih dahulu. e. Mulai melakukan replikasi dengan memulai perhitungan waktu. f. Saat satu replikasi selesai, operator perakit merakit set steker yang lain, dan satu anggota kelompok melepaskan steker yang telah dirakit. g. Lakukan terus hingga 40 replikasi. h. Catat hasil waktunya ke dalam tabel pengamatan. i. Analisis dan Interpretasi. 2. Eksponensial a. Persiapkan alat, bahan dan 6 orang anggota kelompok. b. Terdapat wadah yang berisi 40 bola yang nantinya akan di acak. 29

20 c. Satu anggota kelompok berperan sebagai pengacak keranjang. Satu anggota bertugas untuk mengambil bola lalu dikembalikan ke dalam keranjang. Sementara dua anggota lainnya bertugas untuk menjalankan dan menghentikan stopwatch dan dua anggota sisanya untuk mencatat waktu yang diperlukan operator untuk melakukan sebuah replikasi. d. Mulai melakukan replikasi dengan memulai perhitungan waktu. e. Sebelum melakukan replikasi selanjutnya, keranjang bola harus diacak oleh operator. f. Lakukan terus hingga 30 replikasi. g. Catat hasil waktunya ke dalam tabel pengamatan. h. Analisis dan Interpretasi. 3.4 Prosedur Pengolahan Data Prosedur Pengolahan Data Teoritis Pada pengolahan data secara teoritis berdasarkan data yang diperoleh, dilakukan pengolahan data untuk mengetahui nilia probabilitas dari kejadian tertentu. Pengolahan dilakukan dengan menggunakan software SPSS. 1. Binomial Berikut ini adalah langkah-langkah pengolahan data distribusi Binomial menggunakan software SPSS 20: a. Buka software SPSS 20 dan klik variabel. b. Isikan x dan PDF pada kolom Name, lalu isikan kolom Decimals dengan 0 (nol) pada x dan 5 (lima) pada PDF, setelah itu isikan kedua kolom Measure dengan Scale. c. Klik data view. Lalu isikan x dengan nilai (0, 1, 2, 3, 4, 5). d. Pada menu bar klik Transform Compute variable. e. Pada kotak dialog Compute Variable, isikan target variabel dengan pdf. Pada Function group pilih PDF & Noncentral PDF. Dan pada Function and Special Variables pilih Pdf.Binom. f. Pindahkan fungsi Pdf.Binom ke dalam kotak Numeric Expression dengan menekan tombol panah atas. Kemudian tuliskan PDF.BINOM (?.?.?) dengan PDF.BINOM (x.n.p) sesuai dengan studi kasus. Lalu klik OK. 30

21 2. Geometrik Berikut ini adalah langka-langkah pengolahan data distribusi Geometrik menggunakan software SPSS 20: a. Buka software SPSS 20 dan klik variabel. b. Isikan x dan PDF pada kolom Name, lalu isikan kolom Decimals dengan 0 (nol) pada x dan 5 (lima) pada PDF, setelah itu isikan kedua kolom Measure dengan Scale. c. Klik data view. Lalu isikan x dengan nilai (0, 1, 2, 3, 4, 5). d. Pada menu bar klik Transform Compute variable. e. Pada kotak dialog Compute Variable, isikan target variabel dengan pdf. Pada Function group pilih PDF & Noncentral PDF. Dan pada Function and Special Variables pilih Pdf.Geom. f. Pindahkan fungsi Pdf.Geom ke dalam kotak Numeric Expression dengan menekan tombol panah atas. Kemudian tuliskan PDF.GEOM (?.?) dengan PDF.GEOM (x.p) sesuai dengan studi kasus. Lalu klik OK. 3. Hipergeometrik Berikut ini adalah langka-langkah pengolahan data distribusi Hipergeometrik menggunakan software SPSS 20: a. Buka software SPSS 20 dan klik variabel. b. Isikan x dan PDF pada kolom Name, lalu isikan kolom Decimals dengan 0 (nol) pada x dan 5 (lima) pada PDF, setelah itu isikan kedua kolom Measure dengan Scale. c. Klik data view. Lalu isikan x dengan peubah acak yang mungkin terjadi. Contohnya 0, 1, 2, 3, 4, 5. d. Pada menu bar klik Transform Compute variable. e. Pada kotak dialog Compute Variable, isikan target variabel dengan pdf. Pada Function group pilih PDF & Noncentral PDF. Dan pada Function and Special Variables pilih Pdf.Hyper. f. Pindahkan fungsi Pdf.Hyper ke dalam kotak Numeric Expression dengan menekan tombol panah atas. Kemudian tuliskan PDF.HYPER (?.?.?.?) sesuai dengan studi kasus. Lalu klik OK. 4. Pascal Berikut ini adalah langka-langkah pengolahan data distribusi Pascal/Binomial Negatif menggunakan software SPSS 20: 31

22 a. Buka software SPSS 20 dan klik variabel. b. Isikan x dan PDF pada kolom Name, lalu isikan kolom Decimals dengan 0 (nol) pada x dan 5 (lima) pada PDF, setelah itu isikan kedua kolom Measure dengan Scale. c. Klik data view. Lalu isikan x dengan peubah acak yang mungkin terjadi. d. Pada menu bar klik Transform Compute variable. e. Pada kotak dialog Compute Variable, isikan target variabel dengan pdf. Pada Function group pilih PDF & Noncentral PDF. Dan pada Function and Special Variables pilih Pdf.Negbin. f. Pindahkan fungsi Pdf.Negbin ke dalam kotak Numeric Expression dengan menekan tombol panah atas. Kemudian tuliskan PDF.NEGBIN (?.?.?) dengan PDF.NEGBIN (x.k.p) sesuai dengan studi kasus. Lalu klik OK. 5. Poisson Berikut ini adalah langka-langkah pengolahan data distribusi Poisson menggunakan software SPSS 20: a. Buka software SPSS 20 dan klik variabel. b. Isikan x dan PDF pada kolom Name, lalu isikan kolom Decimals dengan 0 (nol) pada x dan 5 (lima) pada PDF, setelah itu isikan kedua kolom Measure dengan Scale. c. Klik data view. Lalu isikan x dengan peubah acak yang mungkin terjadi. d. Pada menu bar klik Transform Compute variable. e. Pada kotak dialog Compute Variable, isikan target variabel dengan pdf. Pada Function group pilih PDF & Noncentral PDF. Dan pada Function and Special Variables pilih Pdf.Poisson. f. Pindahkan fungsi Pdf.Negbin ke dalam kotak Numeric Expression dengan menekan tombol panah atas. Kemudian tuliskan PDF.POISSON (?.?) sesuai dengan studi kasus. Lalu klik OK. 6. Normal Berikut ini adalah langka-langkah pengolahan data distribusi Normal menggunakan software SPSS 20: a. Buka software SPSS 20 dan klik variabel. b. Isikan batas_bawah, batas_atas, dan cdf pada kolom Name, setelah itu isikan ketiga kolom Measure dengan Scale. 32

23 c. Isikan kolom Decimals dengan 2 (dua) pada variabel batas_bawah dan batas_atas serta 5 (lima) pada variabel cdf. d. Klik data view. Lalu isikan nilai batas_atas dan batas_bawah. e. Pada menu bar klik Transform Compute variable. f. Pada kotak dialog Compute Variable, isikan target variabel dengan cdf untuk mencari cdf maksimum. Pada Function group pilih CDF & Noncentral CDF. Dan pada Function and Special Variables pilih Cdf.Normal. g. Pindahkan fungsi Cdf.Normal ke dalam kotak Numeric Expression dengan menekan tombol panah atas. Kemudian tuliskan CDF.NORMAL (batas_atas. mean, stddev). Lakukan hal serupa seperti sebelumnya dengan mengganti CDF.NORMAL (batas_bawah. mean. stddev). Masukkan mean dan stddev sesuai dengan studi kasus. Lalu klik OK. 7. Eksponensial Berikut ini adalah langkah-langkah pengolahan data distribusi eksponensial menggunakan software SPSS 20: a. Buka software SPSS 20 dan klik variabel. b. Isikan batas_bawah, batas_atas, dan cdf pada kolom Name, setelah itu isikan ketiga kolom Measure dengan Scale. c. Isikan kolom Decimals dengan 2 (dua) pada variabel batas_bawah dan batas_atas serta 5 (lima) pada variabel cdf. d. Klik data view. Lalu isikan nilai batas_atas dan batas_bawah. e. Pada menu bar klik Transform Compute variable. f. Pada kotak dialog Compute Variable, isikan target variabel dengan cdf untuk mencari cdf maksimum. Pada Function group pilih CDF & Noncentral CDF. Dan pada Function and Special Variables pilih Cdf.Exp. g. Pindahkan fungsi Cdf.Exp ke dalam kotak Numeric Expression dengan menekan tombol panah atas. Kemudian tuliskan CDF.EXP (batas_atas,scale). Lakukan hal serupa seperti sebelumnya dengan mengganti CDF.EXP (batas_bawah, scale). Masukkan scale sesuai dengan studi kasus. Lalu klik OK. 33

24 3.4.2 Prosedur Pengolahan Data Empiris Pada pengolahan data secara empiris dilakukan dengan menggunakan cara manual. Perhitungan empiris didasarkan hasil statistik percobaan. Berikut adalah prosedur perhitungan empiris: 1. Menghitung jumlah frekuensi tiap replikasi pada tabel pengolahan berdasarkan tally setelah dilakukan praktikum. 2. Menghitung jumlah frekuensi kumulatif tiap replikasi pada tabel pengolahan. 3. Mengisi nilai variabel random (x) pada kolom. 4. Melakukan perhitungan empiris dengan membagi frekuensi pada variabel random yang akan dihitung dengan frekuensi kumulatif keseluruhan. Fempiris = Fi ΣFi IV. STUDI KASUS 4.1 Pengolahan Distribusi Diskrit 1. Distribusi Binomial Tabel 4.1 Pengolahan Data Distribusi Binomial Perhitungan Empiris Replikasi Tally F F Kumulatif x Perhitungan Teoritis Analisis:

25 2. Distribusi Geometrik Tabel 4.2 Pengolahan Data Distribusi Geometrik Replikasi Tally F F Kumulatif x Perhitungan Empiris Perhitungan Teoritis Analisis: 3. Distribusi Hipergeometrik Tabel 4.3 Pengolahan Data Distribusi Hipergeometrik Replikasi Tally F F Kumulatif x Perhitungan Empiris Analisis: Perhitungan Teoritis 35

26 4. Distribusi Binomial Negatif Replikasi Tally F Tabel 4.4 Pengolahan Data Distribusi Binomial Negatif F Perhitungan x Kumulatif Empiris Perhitungan Teoritis Analisis: Distribusi Poisson Tabel 4.5 Pengolahan Data Distribusi Poisson Replikasi Tally F F Kumulatif x Perhitungan Empiris Analisis: Perhitungan Teoritis

27 4.2 Perhitungan Distribusi Kontinyu 1. Distribusi Normal Pengumpulan Data Tabel 4.6 Pengumpulan Data Distribusi Normal Replikasi Waktu Replikasi Waktu Pengelompokkan Data Performansi Cepat Performansi Standard Performansi Lambat Analisis: Interval Total Tabel 4.7 Pengelompokkan Data Distribusi Normal CDF CDF Frekuensi Probabilitas Atas Bawah Perhitungan Teoritis 37

28 2. Distribusi Eksponensial Pengumpulan Data Tabel 4.8 Pengumpulan Data Distribusi Eksponensial Replikasi Waktu Replikasi Waktu Pengelompokkan Data Time Between Failure I II III Interval Total Tabel 4.9 Pengelompokkan Data Distribusi Eksponensial Frekuensi CDF Atas CDF Bawah Probabilitas Perhitungan Teoritis Analisis: V. SOAL 1. Seorang teknisi pengendali kualitas bertanggung jawab untuk menguji apakah 90% DVD player yang diproduksi oleh perusahaannya sesuai dengan spesifikasi. Untuk melakukan ini, teknisi tersebut secara acak memilih 12 pemutar DVD Player dari produksi setiap hari. Produksi hari ini dapat diterima apabila ditemukan tidak lebih dari 1 DVD player gagal memenuhi spesifikasi. Jika tidak, seluruh produksi sepanjang 38

29 hari harus diuji. Berapakah probabilitas bahwa teknisi tersebut telah salah dengan menganggap seluruh produksi hari itu dapat diterima padahal hanya 80% dari DVD player hari itu yang sesuai dengan spesifikasi? (25%) Jawab : 2. Sebuah toko yang menjual peralatan mesin memesan 500 baut dari pemasok. Untuk mengecek kiriman baut tersebut, seseorang yang bertugas untuk menguji baut itu memilih 12 baut secara acak. Jika tidak satu pun dari 12 baut yang dipilih rusak, dia menyimpulkan bahwa kiriman tersebut dapat diterima. Jika 10% baut pada populasi rusak, berapakah probabilitas bahwa tidak ada baut yang dipilih rusak? (20%) Jawab : Dua puluh lembar alumunium diperiksa kecacatan pada permukaannya. Ditemukan 4 lembar alumunium tidak memiliki cacat sama sekali; 3 lembar alumunium dengan 1 cacat pada setiap lembarnya; 5 lembar alumunium dengan 2 cacat pada setiap lembarnya; 2 lembar alumunium dengan 3 cacat pada setiap lembarnya; 4 lembar alumunium dengan 4 cacat pada setiap lembarnya; 1 lembar alumunium dengan 5 cacat; dan 1 lembar alumunium dengan 6 cacat. Berapakah probabilitas untuk menemukan lembaran yang dipilh secara acak yang mengandung 3 atau lebih cacat pada permukaan? (30%) 39

30 Jawab : Lebar garis untuk manufaktur semikonduktor diasumsikan terdistribusi normal dengan mean 0,5 mikrometer dan standar deviasi 0,05 mikrometer. (20%) (A) Berapakah probabilitas bahwa lebar garis lebih besar dari 0,62 mikrometer? (B) Berapakah probabilitas bahwa lebar garis antara 0,47 dan 0,63 mikrometer? Jawab : 5. Waktu antar kedatangan customer di suatu ATM berupa variabel random eksponensial dengan rata-rata sebesar 5 menit. Berapa probabilitas waktu yang dibutuhkan sampai customer ke 5 datang kurang dari 15 menit? (5%) Jawab :