METODE MILNE DAN METODE HAMMING UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL NON LINIER BERBANTUAN MATLAB SKRIPSI. Oleh : SITI AMINAH NIM :

Transkripsi

1 METODE MILNE DAN METODE HAMMING UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL NON LINIER BERBANTUAN MATLAB SKRIPSI Ole : SITI AMINAH NIM : 57 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG MALANG 8

2 METODE MILNE DAN METODE HAMMING UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL NON LINIER DENGAN BERBANTUAN MATLAB SKRIPSI Diajuka Kepada : Uiversitas Islam Negeri (UIN) Malag Utuk Memeui Sala Satu Persarata dalam Memperole Gelar Sarjaa Sais (S. Si) Ole : SITI AMINAH NIM : 57 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG MALANG 8

3 HALAMAN PERSETUJUAN METODE MILNE DAN METODE HAMMING UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL NON LINIER BERBANTUAN MATLAB SKRIPSI Ole : SITI AMINAH NIM: 57 Tela Disetujui ole: Dose Pembimbig I Dose Pembimbig II Wau Hek Irawa, M.Pd NIP. 5 5 Amad Barizi, M.A NIP Taggal 7 Februari 8 Megetaui Ketua Jurusa Matematika Sri Harii, M.Si NIP. 5 8

4 HALAMAN PENGESAHAN METODE MILNE DAN METODE HAMMING UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL NON LINIER BERBANTUAN MATLAB SKRIPSI Ole : SITI AMINAH NIM: 57 Tela Dipertaaka Di Depa Dewa Peguji Skripsi da Diataka Diterima Sebagai Sala Satu Persarata Utuk Memperole Gelar Sarjaa Sais (S.Si) Taggal, April 8 SUSUNAN DEWAN PENGUJI. Usma Pagala, M.Si NIP Evawati Alisa, M.Pd NIP Wau Hek Irawa NIP Amad Barizi NIP (Peguji Utama) (Ketua Peguji) (Sekretaris Peguji) (Aggota Peguji) TANDA TANGAN Megetaui da Megesaka Ketua Jurusa Matematika Sri Harii, M.Si NIP. 5 8

5 PERSEMBAHAN! " # " $ % & ' ( ) *! $* # * ",--. / #* '!

6 MOTTO Hai orag-orag ag berima, jika datag kepadamu orag asik membawa suatu berita, maka periksala dega teliti agar kamu tidak meimpaka suatu musiba kepada suatu kaum tapa megetaui keadaaa ag meebabka kamu meesal atas perbuatamu itu (Qs. al Hujurt / 9: 6).

7 SURAT PERNYATAAN Yag bertada taga di bawa ii: Nama : Siti Amia NIM : 57 Fakultas : Sais da Tekologi Judul Skripsi :Metode Mile da Metode Hammig Utuk Meelesaika Persamaa Dieresial No Liier Berbatua Matlab Meataka bawa skripsi tersebut adala kara saa sediri da buka kara orag lai, baik sebagia maupu keseluraa, kecuali dalam betuk kutipa ag tela disebutkaka sumbera. Selajuta apabila dikemudia ari ada klaim dari piak lai, buka mejadi taggug jawab Dose Pembimbig da/atau Pegelola Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri (UIN) Malag, tetapi mejadi taggugjawab saa sediri Demikia surat perataa ii saa buat dega sebear-beara da apabila perataa ii tidak bear, saa bersedia medapat saksi akademis. Malag, April 8 Yag meataka, Siti Amia

8 i KATA PENGANTAR Puji sukur keadirat Alla Swt ag teala melimpaka ramat, tauik da idaana seigga peulis dapat meelesaika peusua skripsi ii dega judul Metode Mile da Metode Hammig Utuk Meelesaika Persamaa Dieresial No Liier Berbatua Matlab. Salawat serta salam semoga seatiasa tercuraka kepada jujuga Nabi Muammad Saw beserta saabat-saabata. Skripsi ag peulis susu merupaka sala satu sarat utuk memperole gelar Sarjaa Sais (S.Si). Peulis meadari bawa baak piak ag tela membatu dalam meelesaika peulisa skripsi ii. Utuk itu, ucapa terimakasi peulis sampaika kepada:. Pro DR. H. Imam Supraogo selaku Rektor Uiversitas Islam Negeri Malag.. Pro. Drs. B. Sumitro, SU. Dc selaku Deka Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Malag.. Sri Harii, M. Si selaku Ketua jurusa Matematika Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Malag.. Wau Hek Irawa, M. Pd selaku Dose Pembimbig ag tela memberika bimbiga kepada peulis igga terselesaikaa skripsi ii. i

9 ii 5. Amad Barizi, M. A selaku Dose Pembimbig Itegrasi Sais da Islam ag tela memberika bimbiga kepada peulis igga terselesaikaa skripsi ii. 6. Bapak/Ibu Dose Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Malag beserta staa atas ilmu da pegalama ag diberika. 7. Aaada H. Samsul Bari(Alm) da Ibuda Hj. Mudrika tercita ag tiada lela memberika do a da kasi saag serta kepercaaa. 8. Kakak-kakak tersaag ag selalu memberika semagat, doa da kasi saag. 9. Tema-tema Matematika agkata ag selalu memberi semagat da siap memberi batua. Tema-tema kost Kertosariro 5 A ag tela memberika semagat, doroga da do a serta selalu meemai dalam suka da duka.. Semua piak ag tela membatu dalam peulisa skripsi ii ag tidak dapat disebutka satu persatu. Demikiala apa ag dapat saa sampaika dalam tulisa ii, semoga apa ag saa asilka ii dapat bermaaat bagi semua piak, terutama bagi piak-piak ag terkait dega skripsi ii. Peulis meadari masi baak kekuraga da keterbatasa dalam skripsi ii, ole karea itu, peulis megarapka sara da kritik ag membagu utuk meempuraka tulisa ii. Malag, 7 Februari 8 Peulis ii

10 iii DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PERSEMBAHAN MOTTO SURAT PERNYATAAN KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii DAFTAR TABEL... v DAFTAR LAMPIRAN... vi ABSTRAK.. vii BAB I : PENDAHULUAN.. Latar Belakag Masala..... Rumusa Masala Batasa Masala Tujua Peulisa Maaat Peelitia Metode Peelitia Sistematika Pembaasa... 8 BAB II : KAJIAN PUSTAKA..Persamaa Dieresial Persamaa Dieresial Liier.....Persamaa Dieresial No Liier.....Metode Numerik....5.Metode Sigle-Step....6.Metode Multistep Metode Peramal da Pembetul Prediktor korektor... 7 iii

11 iv.8.prosedur Pedaulua... BAB III: PEMBAHASAN..Peelesaia Persamaa Dieresial No Liier Dega Metode Mile.....Prosedur peelesaia Persamaa Dieresial No Liier Dega Metode Hammig...5..Aalisis Metode Mile da Metode Hammig utuk Meelesaika Persamaa Dieresial No Liier BAB IV: PENUTUP..Kesimpula Sara... 6 DAFTAR PUSTAKA iv

12 v DAFTAR TABEL Tabel : Koeisie da trasaksi error Adam-Basort prediktor... 9 Tabel : Koeisie da trasakai Error Adam Moulto korektor... Tabel : Hasil perituga Metode Mile coto Tabel : Hasil perituga Metode Hammig coto Tabel 5: Hasil perituga Metode Mile coto Tabel 6: Hasil perituga Metode Hammig coto... 6 v

13 vi DAFTAR LAMPIRAN Lampira : Coto pada Persamaa Dieresial No Liier dega Metode Mile Lampira : Hasil output Coto pada Persamaa Dieresial No Liier dega Metode Mile Lampira : Gambar Coto pada Persamaa Dieresial No Liier dega Metode Mile Lampira : Coto pada Persamaa Dieresial No Liier dega Metode Hammig Lampira 5 : Hasil output Coto pada Persamaa Dieresial No Liier dega Metode Hammig Lampira 6 : Gambar Coto pada Persamaa Dieresial No Liier dega Metode Hammig Lampira 7 : Coto pada Persamaa Dieresial No Liier dega Metode Mile Lampira 8 : Hasil output Coto pada Persamaa Dieresial No Liier dega Metode Mile Lampira 9 : Gambar Coto pada Persamaa Dieresial No Liier dega Metode Mile Lampira : Coto pada Persamaa Dieresial No Liier dega Metode Hammig vi

14 vii Lampira : Hasil output Coto pada Persamaa Dieresial No Liier dega Metode Hammig Lampira : Gambar Coto pada Persamaa Dieresial No Liier dega Metode Hammig vii

15 viii ABSTRAK Amia, Siti. 8. Metode Mile da Metode Hammig Utuk Meelesaika Persamaa Dieresial No Liier Berbatua Matlab Pembimbig: () Wau Hek Irawa, M.Pd () Amad Barizi, M.A Kata Kuci : Metode Mile, Metode Hammig, Persamaa Dieresial No Liier Metode Numerik adala tekik ag diguaka utuk memormulasi persoala matematik seigga dapat dipecaka dega operasi perituga atas aritmatik biasa(tamba, kurag, kali da bagi). Dalam Metode umerik tidak megutamaka jawaba ag eksak, tetapi megusaaka metode ag megasilka jawaba pedekata ag berbeda dari jawaba eksak sebesar ilai ag diterima sesuai dega pertimbaga praktis. Sala satu metode ag megasilka jawaba pedekata teradap persamaa dieresial o liier ag megasilka solusi umerik adala metode Mile da Metode Hammig. Dari latar belakag di atas, maka rumusa masalaa adala: () Bagaimaa lagkalagka Metode Mile da Metode Hammig utuk meelesaika persamaa dieresial o liier. () Bagaimaa lagka-lagka Metode Mile da Metode Hammig utuk meelesaika persamaa dieresial o liier.pembaasa dilakuka dega tujua: () Utuk mediskripsika lagka-lagka Metode Mile utuk meelesaika persamaa dieresial o liier () Utuk mediskripsika lagka-lagka Metode Hammig utuk meelesaika persamaa dieresial o liier. Dalam kajia ii peulis meelesaika persamaa dieresial o liier dega megguaka Metode Mile da Metode Hammig. Persamaa ag peulis guaka adala persamaa dieresial o liier orde satu dega coto. Dega megguaka Metode Mile da Metode Hammig, diberika d d persamaa dieresial No liier x 5 6 da si x x aka dx dx dicari (,5) jika diketaui (), da,. Dalam Metode Mile da Metode Hammig diperluka empat ilai sebeluma. Di sii peulis megguaka Metode Ruge Kutta orde empat sebagai metode pedaulua, utuk mecari ilai ugsi k, k, k, k da ilai ugsi utuk x,, megasilka ilai sebesar,895877, utuk x, megasilka ilai sebesar,85955, utuk x, megasilka ilai sebesar,76688 da utuk x, megasilka ilai sebesar, utuk coto. x,, megasilka ilai sebesar,99577, utuk x, megasilka ilai sebesar,8687, utuk x, megasilka ilai sebesar viii

16 ix,7796 da utuk x, megasilka ilai sebesar,57888 utuk coto. Setela dicari ilai da ilai, -, -, da -. adala kosta seigga Metode Mile da Metode Hammig dapat dipakai utuk melakuka prediksi ilai. Mecari ilai, kemudia melakuka koreksi dega megguaka persamaa korektor Metode Mile da Metode Hammig da megasika ilai ag sama aitu,5877 da ilai koreksi,57689 utuk Metode Mile da, utuk Metode ammig pada coto.pada coto megasila ilai prediksi ag sama aitu sebesar,99577, utuk ilai koreksi megasilka ilai koreksi sebesar,75555 pada Metode Mile da,555. Dari asil tersebut, maka dapat diaalisis Pada coto Metode Mile lebi baik dari Metode Hammig da pada coto Metode Hammig lebi baik daripada Metode Mile. Metode Mile tidak selalu lebi baik daripada Metode Hammig, begitu juga sebalika, karea baik tidaka Metode tersebut tergatug pada besar kecila ilai korektor. ix

17 BAB I PENDAHULUAN.. Latar Belakag Matematika merupaka ilmu pegetaua ag megalami perkembaga secara terus meerus dari masa ke masa. Semaki berkembaga ilmu pegetaua maka aka mempermuda dalam meelesaika suatu permasalaa. Dalam perkembaga da kemajuaa matematika dapat memberika sumbaga ag besar dalam memecaka masala-masala pada bidag tekik, pertaia, perekoomia, sais da permasalaa-permasalaa laia ag terjadi di atas permukaa bumi ii. Baak permasalaapermasalaa baru ag sebeluma belum terselesaika, amu kii dapat dipecaka dega matematika. Seigga matematika medapat peratia ag besar dari baak kalaga. Suatu cabag ilmu matematika kususa matematika rekaasa diataraa adala metode umerik. Metode umerik adala tekik ag diguaka utuk memormulasika persoala matematik seigga dapat dipecaka dega operasi perituga atau aritmatik biasa (tamba, kurag, kali da bagi) (Muir, : 5). Dalam metode umerik tidak megutamaka jawaba ag eksak, tetapi megusaaka metode ag megasilka jawaba pedekata ag berbeda dari jawaba eksak sebesar ilai ag dapat diterima sesuai dega pertimbaga praktis.

18 Dalam Qs. al-hujurt aat 6 Alla Swt berirma: Hai orag-orag ag berima, jika datag kepadamu orag asik membawa suatu berita, maka periksala dega teliti agar kamu tidak meimpaka suatu musiba kepada suatu kaum tapa megetaui keadaaa ag meebabka kamu meesal atas perbuatamu itu (Qs. al Hujurt / 9: 6). Dalam surat di atas dapat kita ilustrasika, dalam al jika kita mecetak suatu oto. Bila kita bertaa pada tukag cetak oto x berapa? x 6 berapa? Maka tukag oto tidak aka mejawab x atau x 6, tapi tukag oto aka mejawab x 5, utuk itam puti da utuk ag berwara perlembara. Tapi dalam al ii tidak ada ag mealaka jawaba tersebut, karea dalam al ii kita membicaraka dalam koteks oto. Coto lai ag dapat kita ambil dalam keidupa seari-ari adala jam taga (o digital), kita bekerja dega bilaga -a. Baaka bilaga pada bilaga jam -a adala,,,,,, dega catata. Misala, Ali beragkat ke Jakarta pada jam 7 pagi. Perjalaa membutuka waktu 8 jam. Pada jam berapa Ali sampai di Jakarta? Maka, jawabaa buka pada jam 5. Memag 7 8 5, tetapi tidak ada bilaga 5 pada arloji kita (bilaga jam -a). Maka Ali aka sampai di Jakarta pada jam sore. Karea 7 8 pada bilaga jam -a. Dalam al ii aka beruba-uba sesuai dega bilaga jam. Bila bilaga jama kita ruba, maka asila aka beruba pula. Jadi 7 8 tidak selalu sama dega 5 karea koteksa berbeda.

19 Dari coto di atas dapat kita liat bawa matematika tidak selalu eksak, amu pada akekata matematika itu adala eksak, tetapi dalam koteks tertetu. Dari beberapa masala di atas, maka kita sebagai seorag ag berilmu, kita arus padai dalam meaggapi suatu masala atau berita ag ada da kita arus mejaga perkataa kita atau kita tidak bole asal gomog, tapi bila ada suatu masala atau berita kita arus meelidiki dulu masala atau berita ag ada, supaa kita tidak sala tasir dalam meaggapia (Abdussakir, 7: 7-5). Metode umerik merupaka suatu cabag ilmu matematika, kususa matematika rekaasa, ag megguaka bilaga utuk meiruka proses matematik. Proses matematik ii selajuta tela dirumuska utuk meiruka keadaa sebeara. Permasalaa di bidag sais biasaa dirumuska dalam betuk persamaa matematika, sala satua diataka dalam persamaa dieresial seperti leduta balok, gelombag, teori getara da masi baak lagi peristiwa-peristiwa laia. Berdasaraka variabel bebasa persamaa dieresial dibagi mejadi dua aitu persamaa dieresial biasa da persamaa dieresial parsial. Selai itu, persamaa dieresial juga terbagi mejadi persamaa dieresial liier da persamaa dieresial o liier. Adapu metode ag diguaka utuk meelesaika persamaa dieresial biasa atara lai adala Metode Euler, Metode Ruge-Kutta, Metode Heu, Metode Mile da masi baak lagi laia. Sedagka metode ag diguaka utuk meelesaika persamaa dieresial parsial atara lai adala Metode Crak-Nicolso. Metode Mile da Metode Hammig merupaka metode

20 multistep ag meramalka suatu ilai-ilai utuk ilai-ilai pada ramala derivati. Metode Mile dirumuska sebagai berikut: ( ) sebagai prediktor ( ) sebagai korekor Sedagka Metode Hammig dirumuska sebagai berikut: ( ) * sebagai prediktor 9 ( ) sebagai korektor Dalam meode umerik terdapat beberapa betuk proses ituga atau algorima utuk meelesaika suatu tipe persamaa matematis. Hituga umerik dapat dilakuka dega megguaka sala satu dari betuk proses ituga ag palig eisie ag memerluka waktu ituga palig cepat. Operasi ituga dilakuka dega iterasi dalam jumla ag sagat baak da berulag-ulag. Ole karea itu diperluka batua komputer utuk melaksaaka operasi ituga tersebut. Tapa batua komputer metode umerik tidak baak memberi maaat (Triatmodjo, : ). Komputer berpera besar dalam perkembaga bidag metode umerik. Hal ii muda dimegerti karea perituga dega metode umerik adala berupa operasi arimatika seperti pejumlaa, perkalia, pembagia, plus membuat perbadiga. Saaga, jumla operasi arimatika ii umuma sagat baak da berulag, seigga perituga secara maual serig mejemuka. Mausia

21 5 (ag melakuka perituga maual ii) dapat membuat kesalaa dalam melakukaa. Dalam al ii, komputer berpera mempercepat proses perituga tapa membuat kesalaa. Pegguaka komputer dalam metode umerik atara lai utuk memprogram. Lagka-lagka metode umerik diormulasika mejadi program komputer. Program ditulis dega baasa pemrograma tertetu, seperti FORTRAN, PASCAL, C, C, BASIC, da sebagaia. Sebeara, meulis program umerik tidak selalu diperluka. Di pasara terdapat baak program aplikasi komersil ag lagsug dapat diguaka. Beberapa coto aplikasi ag ada saat ii adala MatLab, MatCad, Maple, Matematica, Eureka da sebagaia (Muir, 6: 9). MatLab adala sebua program utuk aalisis da kompuasi umerik. MatLab adala baasa caggi utuk komputasi tekik. Di dalama terdapat kemampua pegituga visualisasi, da pemrograma dalam suatu ligkuga ag muda utuk diguaka karea permasalaa da pemecaaa diataka dalam otasi matematika biasa. Selai itu, MatLab sisem iterakti dega eleme dasar basis data arra ag dimesia tidak perlu diataka secara kusus. Hal ii memugkika maasiswa utuk memecaka baak masala perituga tekik, kususa ag melibatka matriks da vektor, dega waktu ag lebi sederaa da sigkat. Berdasarka pemapara di atas, peulis megagkat permasalaa tetag Metode Mile da Metode Hammig utuk Meelesaika Persamaa Dieresial No Liier Berbatua Matlab 5

22 6.. Rumusa Masala Berdasarka latar belakag di atas dapat diambil rumusa masala sebagai berikut:. Bagaimaa lagka-lagka Metode Mile utuk meelesaika persamaa dieresial o liier.. Bagaimaa lagka-lagka Metode Hammig utuk meelesaika persamaa dieresial o liier... Batasa Masala Berdasarka rumusa masala di atas maka, peulis memberi batasa masala sebagai berikut:. Peelesaia metode ii dibatasi pada persamaa dieresial o liier dega megguaka Metode Mile da Metode Hammig.. Dalam peelesaia persamaa dieresial o liier dega megguaka Metode Mile da Metode Hammig peulis membatasi metode pedaulua dega megguaka Metode Ruge Kutta orde empat... Tujua Peulisa Berdasarka rumusa da batasa masala di atas maka, tujua peulisa ii adala:. Utuk mediskripsika lagka-lagka Metode Mile utuk meelesaika persamaa dieresial o liier. 6

23 7. Utuk mediskripsika lagka-lagka Metode Hammig utuk meelesaika persamaa dieresial o liier..5. Maaat Peelitia Adapu maaat dari peulisa skripsi ii adala sebagai berikut: a. Bagi Peulis Meamba pegetaua da keilmua tetag Metode Mile da Metode Hammig utuk meelesaika persamaa dieresial o liier b. Bagi Pembaca. Membatu mempelajari da memperole masala dalam meelesaika persamaa dieresial o liier dega Metode Mile da.metode Hammig. Sebagai literatur peujag kususa bagi maasiswa ag meempu mata kulia umerik..6. Metode Peelitia Jeis peulisa ii merupaka peelitia kepustakaa atau peelitia literatur ag bertujua utuk megumpulka data atau iormasi dega batua berbagai macam materi ag ada dalam kepustakaa seperti buku-buku, artikelartikel ag releva dega metode umerik kususa Metode Mile da Metode Hammig. 7

24 8.7. Sistematika Pembaasa Skripsi ii megguaka sistematika peulisa da pembaasa sebagai berikut: BAB I : PENDAHULUAN Pada bab ii terdiri dari latar belakag masala, rumusa masala, batasa masala, tujua peulisa, maaat peelitia, metode peelitia da sistematika pembaasa. BAB II: TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ii diokuska pada masala aitu metode umerik aitu persamaa dieresial, persamaa dieresial liier, persamaa dieresial o liier, metode umerik, metode sigle-step, metode multistep, metode peramal da pembetul (prediktor korektor), prosedur pedaulua. BAB III: PEMBAHASAN Pada bab ii adala pembaasa ag berisi peelesaia persamaa dieresial o liier dega Metode Mile, peelesaia persamaa dieresial o liier dega Metode Hammig, Aalisis Metode Mile da Metode Hammig utuk meelesaika persamaa dieresial o liier. BAB IV: PENUTUP Pada bab peutup ii berarti berisi kesimpula dari asil aalisis ag suda dilakuka. Selai itu berisi sara ag perlu bagi orag-orag ag bergelut di bidag tersebut. 8

25 BAB II KAJIAN PUSTAKA.. Persamaa Dieresial Deiisi Persamaa dieresial adala sebua persamaa ag megadug dieresial dari suatu atau lebi variabel terikat teradap satu atau lebi variabel bebas. Coto. d dx x cos x e (.) d d. cos x (.) d d. d x dx x e (.) Pada persamaa (.), (.) da (.) x merupaka variabel bebas da adala variabel terikat (Baiduri, : ). Berdasarka betuk dieresial ag dikaduga, persamaa dieresial dibagi mejadi macam sebagai berikut:. Persamaa dieresial biasa, aitu persamaa dieresial biasa ag meagkut satu atau lebi ugsi (peuba tak bebas) Coto d. x x dx (.). d dx d dx x (.5) 9

26 Pada persamaa (.) da persamaa (.5) adala variabel bebas da adala variabel terikat. Persamaa dieresial parsial adala persamaa dieresial ag meagkut satu atau lebi ugsi (peuba tak bebas) beserta turuaa teradap lebi dari satu peuba bebas. Coto. u u u x t. u u u x t. u u x t. u u u x z (.6) (.7) (.8) (.9) Pada persamaa (.6), (.7) da (.8), variabel terikata u da variabel bebasa x da t. Sedagka pada persamaa (.9) variabel terikata u da variabel bebasa x,, z (Rj. Pamutjak, 99: _-_). Deiisi : Orde (tigkat suatu persamaa dieresial adala tigkat ag tertiggi turua ag ada di dalam persamaa itu (Purcel, 986: 79). Tigkat persamaa dieresial adala tigkat ag tertiggi turuaa ag ada dalam persamaa itu. Suatu persamaa dieresial dapat ditulis dalam betuk persamaa poliom derajat dalam turua tigkat ag tertiggi, maka persamaa dieresial itu dikataka derajat (Sudarat, 986:.).

27 Deiisi Derajat(degree)persamaa dieresial adala derajat turua tigkat tertiggi dalam persamaa dieresial itu (Ares, 995: ). Coto d d. x x (.) dx dx Persamaa (.) merupaka persamaa dieresial orde dua, derajat dua d. 5x dx (.) Persamaa (.) merupaka persamaa dieresial orde satu, derajat empat d d. dx dx (.) Persamaa (.) merupaka persamaa dieresial orde dua, derajat satu Persamaa dieresial dapat ditulis ( x) d. Pada persamaa tersebut, dx variabel x aka megalami suatu perubaa setela dituruka teradap variabel. Variabel x merupaka variabel bebas da variabel merupaka variabel terikat atau variabel bergatug. Dari sii maka dapat dikataka bawa pada persamaa dieresial variabel x megalami perubaa setela dituruka teradap variabel. Kecepata dideiisika dx v ag merupaka perubaa jarak (x) teradap dt waktu (t). Dari kosep tersebut dapat diilustrasika teradap amal perbuata mausia beruba sejala dega perubaa waktu. Sebagai ilustrasia:

28 x amal mausia Perubaa positi atau egati terkait dega waktu t waktu Sesuatu ag terjadi mempegarui perbuata mausia Bila diliat dalam keidupa seari-ari Alla Swt tela meciptaka siag da malam, seperti ag terdapat dalam irma Alla Swt berikut ii: Diala ag mejadika malam bagi kamu supaa kamu beristiraat padaa da (mejadika) siag terag bederag (supaa kamu mecari karuia Alla). Sesuggua pada ag demikia itu terdapat tada-tada (kekuasaa Alla) bagi orag-orag ag medegar (Qs. Yûus / : 67). Dari aat di atas, maka dapat digambarka sebagai berikut: Siag Utuk memeui kemaslaata Mecari pegidupa Perubaa waktu Mecari rizki Malam Beristiraat dega teag Pergatia siag da malam mempuai aeda. Dega perubaa waktu itu mausia diarapka dapat megambil ikma ag tersirat di dalama. Dalam al ii amal perbuata mausia diarapka beruba dega bergatia siag da malam mejadi ke ara ag lebi baik. Meskipu pada keataaa baak sekali ag melalaika ikma adaa pergatia siag da malam tersebut.

29 .. Persamaa Dieresial Liier Deiisi Persamaa Dieresial liier adala persamaa dieresial biasa liier orde- dega variabel terikat da variabel bebas x aitu persamaa ag bisa diataka sebagai d d d a ( x) a ( x) a ( x) a ( x) b( x)... (.) dx dx dx Dari persamaa di atas persamaa dieresial biasa orde dikataka liier jika mempuai ciri-ciri sebagai berikut:. Variabel terikat da derivatia aa berderajat satu. Tidak ada perkalia atara da derivatia serta atara derivati Coto 5 d d. 5 6 dx dx (.). d x dx d x dx d dx x xe (.5).. Persamaa Dieresial No Liier Deiisi 5 Persamaa dieresial o liier adala persamaa dieresial ag memuat variabel tak bebas da turuaa ag berderajat lebi dari satu, da atau perkalia atara variabel tak bebas da turuaa.(ross, 98:5)

30 Coto 6: d d. 5 6 dx dx d d. 5 6 dx dx d d. 5 6 dx dx (.6) (.7) (.8).. Metode Numerik Metode umerik adala tekik utuk meelesaika permasalaapermasalaa ag diormulasika secara matematis dega cara operasi ituga (aritmatik). Berbagai permasalaa dalam bidag ilmu pegetaua da tekologi dapat digambarka dalam betuk matematik. Apabila persamaa tersebut mempuai betuk sederaa, peelesaiaa dapat dilakuka secara aalitik, amu bila suatu persamaa tersebut besar, tidak liier da sagat kompleks ag tidak mugki diselesaika secara aalitik maka, peelesaiaa dilakuka secara umerik. Hasil dari peelesaia umerik merupaka ilai perkiraa atau pedekata dari peelesaia aalitik atau eksak. Nilai kesalaa tersebut arus cukup kecil teradap tigkat kesalaa ag ditetapka (Triatmodjo, : -)..5. Metode Sigle-step Disebut metode sigle step karea aa diperluka satu iormasi ilai (x,) utuk meelesaika persoala persamaa dieresial biasa. Misala utuk mecari ilai diperluka ilai saja.

31 5 Yag termasuk metode satu step pada persamaa dieresial biasa atara lai adala:. Metode Talor Peelesaia persamaa dieresial (ordiar dieretial equatio) dega Metode Talor adala proses mecari ilai ugsi (x) pada titik x tertetu dari persamaa dieresial biasa (x,) ag diketaui dega megguaka persamaa sebagai berikut: ( x ) ( x ) ' ( x ) m ( x ) ' ( x ) ( x ) ' m m m m m (.9)!!! Di maa x m xm ( x ) ( x ) ' '.. m m, m ( x ) '( x ) m m, m ( x ) ( x ) m m, m ( x, ) d dx d d ' m m. d dx,,,, 5... m,,,,.... Metode Euler Peelesaia persamaa dieresial (ordiar dieretial equatio) dega Metode Euler adala proses mecari ilai ugsi (x) pada titik x tertetu dari 5

32 6 persamaa dieresial biasa (x, ) ag diketaui dega megguaka persamaa umum (.). ( x ) x, (.). Metode Euler ag dimodiikasi Peelesaia persamaa dieresial biasa (ordiar dieretial equatio) dega Metode Euler ag dimodiikasi (Euler modiied) adala proses mecari ilai ugsi (x) pada titik x tertetu dari persamaa dieresial biasa (x,) ag diketaui dega megguaka persamaa umum (.) [ x, ( x )] ( k ) ( ) ( ) k (.) Dimaa: k,,,,...,,,,... (Mui, 5:58-67). Metode Ruge Kutta Orde Empat Peelesaia persamaa dieresial biasa (ordiar dieretial equatio) dega Metode Ruge-Kutta orde empat adala proses mecari ilai ugsi (x) pada titik x tertetu dari persamaa dieresial biasa (x,) ag diketaui dega megguaka persamaa umum (.) 6 ( k k k k ) (.) Dimaa:,,,,... ( ) k x, 6

33 7 k k x x,, k k ( x ) k, k Metode Ruge Kutta orde empat mempuai beberapa keutuga aitu:. Tidak perlu mecari turua-turua ugsi terlebi daulu, seigga peelesaiaa lebi muda.. Merupaka peelesaia ag akurat dega jumla iterasi ag relati kecil, walaupua tidak seakurat Metode Talor (Muir, : 9).6. Metode Multistep Disebut metode multistep karea utuk meelesaikaa diperluka lebi dari satu iormasi ilai (x,), aitu,, da. Yag termasuk metode multistep pada persamaa dieresial biasa atara lai adala:. Metode Adam-Moulto Peelesaia persamaa dieresial biasa (ordiar dieretial equatio) dega Metode Adam adala proses mecari ilai ugsi (x) pada titik x tertetu dari persama dieresial biasa (x,) ag diketaui dega melakuka prediksi dega persamaa prediktor (.). da melakuka korektor dega persamaa korektor (.) 7

34 8 8 ( ) (.) Persamaa di atas merupaka Rumus Adam-Basort. Rumus Adam dapat dituruka dari beberapa cara. Sala satu tekik utuk meulis expasi Talor adala i x... ' ' i i i i i (a) ag juga dapat ditulis seperti berikut...! ( ' ' i i i i i ) ( ' ' O i i i i ag dapat disubtitusika dalam persamaa (a)... 6 ) ( ' ' i i i i i i i O Atau disimpulka dega rumus ) ( 5 ' O i i i i i

35 9 Tabel : Koeisie da trasaksi error Adam-Basort prediktor Order β β β β β β 5 Error ( ξ ) / -/ 5 ( ξ ) / -6/ 5/ 9 ( ξ ) 55/ -59/ 7/ -9/ 5 5 ( ξ ) 7 5 9/7-77/7 66/7-7/7 5/ ( ξ ) 6 77/7-79/7 998/7-798/7 877/7-75/7 9,8 7 6 ( ξ ) 6,8 Formula ii disebut ormula Adam orde dua. Formula Adam juga biasa disebut dega ormula Adam- Basort. Formula orde tiggi Adam-Basort dapat dikembagka dega mesubtitusika aproksimasi tigkat tiggi dalam persamaa (a) Formula Adam dapat ditulis secara umum sebagai berikut: i i k ik O( ) k β Koeisie β k tela ditampilka dalam tabel aitu pada orde keempat.(capra, : 7-7) ( ) (.) 9

36 Persamaa di atas merupaka rumus dari Adam-Moulto. Deret Talor pada xi dapat ditulis seperti berikut i i ' ' i i i!... Utuk i ( ' i i i i i...) 6 Perubaa dapat diguaka utuk aproksimasi turua pertama ' i i i O( ' i ) Yag dapat disubtitusika dalam persamaa (a) da ditulis dega megguaka rumus ' i i i i i O( ) Formula ii disebut order kedua Adam atau ormula kedua Adam-Moulto. Selai al ii peratika juga atura Trapezoida. Order ormula Adam dapat ditulis secara umum sebagai berikut i i k i k O( ) k β Koeisie β k terdapat datar tabel Metode Adam-Moulto order keempat

37 Tabel : Koeisie da trasakai Error Adam Moulto korektor Order β β β β β β 5 β 5 Error / / ( ξ ) 5/ 8/ -/ ( ξ ) 9/ 9/ -5/ / 9 5 ( ξ ) 5 5/7 6/7-6/7 6/7-9/ ( ξ ) 6 75/ 7/ -798/ 8/ -7/ 7/ ( ξ ) (Capra, : 7-76). Metode Mile Peelesaia persamaa dieresial biasa (ordiar dieetial equatio) dega Metode Mile adala proses mecari ilai ugsi (x) pada titik x tertetu dari persamaa dieresial biasa (x,) ag diketaui dega melakuka prediksi dega persamaa prediktor (.5) da melakuka koreksi dega persamaa korektor (.6) Metode Mile megguaka persamaa sebagai berikut ( ) (.5) Pada persamaa (.5) aka dibuktika sebagai berikut: Metode Mile utuk solusi umerik pada persamaa dieresial ' ( x, )

38 Bila ditulis dalam rumus dibadigka dega, da meetuka ilaia. Utuk r,, da ( 6 ' ( ' 5 ( 6 ' 7 5 ( ' Kemudia, kita abaika semua turua ag lebi dari da kemudia simpa kembali dega rumus ekuivalea ag berturut ilai ag sama [( ) ) ) ( ) ( ' ( 6 ( 8 6 ) ' ( 8 8 ) ' ( 6 8 ) ' ( ) (' ' ') )

39 Jadi, (' ' ') ' ( ) (Wlie, : 5-6) ( ) (.6) (Mui, 995:7-7) Pada persamaa (.6) berasal dari Kaida Simpso /, adala sebagai berikut: Hampira ilai itegrasi ag lebi baik dapat ditigkatka dega megguaka poliom iterpolasi berderajat ag lebi tiggi. Misalka ugsi (x) diampiri dega poliom iterpolasi berderajat ag graika berbetuk parabola. Utuk itu dibutuka bua titik data, misalka (, (), (, (), da (, ()) Poliom iterpolasi Newto Gregor derajat ag melalui ketiga bua titik tersebut adala p x x x( x )!! x( x )! ( ) () ( x ) ( x ) Itegrasika p ( ) didalam selag [, ]: I ( x) dx x p ( x dx ) x x( x ) ( ) dx!

40 dx x x x x )! ) ( ) ) (.. ( x x x x ).. ( x x x x x x x x x x ] 6 ) ( 6 ) ( ) ( ) 6 8 ( ) ( ) ( megigat da ) ( ) ( Maka, selajuta I ) ( ) (

41 5 5 ) ( ) ( ) 6 ( ) ( Jika da tidak bole < ) ( (Muir, 6: 8-86). Metode Hammig Persamaa prediktor da korektor metode Hammig adala sebagai berikut: Prediktor: ( ) * (.7) Korektor: ( ) (.8) (Muir, : 98) Semua ag ada di alam ii ada ukuraa, ada itugaa, ada rumusa, atau baka ada persamaaa. Secara lebi sederaa pembaasa megeai siat matematisa Alla Swt, peratika Al Qura surat al-baqara aat 6.

42 6 Perumpamaa (aka ag dikeluarka ole) orag-orag ag meakaka artaa di jala Alla adala serupa dega sebutir bei ag meumbuka tuju butir, pada tiap-tiap bulir seratus biji. Alla melipat gadaka (gajara) bagi siapa ag Dia keedaki. Da Alla Maa Luas (karuia-na) lagi Maa Megetaui.i (Qs. al-baqara / : 6). Matematika itu pada dasara berkaita dega pekerjaa megitug, seigga tidak sala jika kemudia ada ag meebut matematika dega ilmu itug atau ilmu isab. Dalam urusa itug-megitug ii, Alla Swt adala rajaa. Alla sagat cepat dalam megitug da sagat teliti. Dalam aat di atas kita dapat memisalka bei adala variabel x, butir adala variabel da variabel z adala biji. Maka jika dalam matematika dapat kita tulis Persamaa I x 7 Persamaa II z Persamaa III kita perole jika persamaa II disubtitusika pada persamaa I da megasilka x 7 (z). Maka x 7z. Maka seseorag ag meakaka artaa maka Alla Swt aka melipatgadakaa. Selai dari amal perbuata, maka kita dapat megilustrasikaa dalam al salat berjama a. Paala salat berjama a tidak lepas dari perituga matematika. Dalam adist Bukari da Muslim, riwaat daru Ibu Umar 6

43 7 disebutka bawa Rosululla bersabda: Salat berjama a lebi utama dari salat secara sediri dega 7 kali derajat. Dalam adits di atas tela dijelaska bawa salat berjama a lebi utama daripada salat sediri, megapa? Hal ii berkaita dega paala ag diberika ole Alla Swt. Bila salat sediri, maka aa aka medapatka paala, sedagka bila salat berjama a maka paalaa aka dilipatgadaka mejadi 7 derajat. Dalam meetapka paala salat berjama a, Alla Swt megguaka rumus matematika sebagai berikut: 7 x Dega x adala paala salat sediri da adala paala salat berjama a (Abdussakir, 7: 8)..7. Metode Peramal da Pembetul Prediktor-Korektor Metode mempuai baak variasi diamaka prediktor-korektor peramalpembetul. Seperti dapat disimpulka dari amaa, pertama-tama kita meramalka suatu arga utuk m. Kemudia kita megguaka rumus lai utuk membetulka arga ii. Bila diigika kita bole memakai rumus korektor kembali utuk megoreksi arga. Proses ii dapat diulag (diiterasi) sebaak ag kita igika, walaupu aka kita liat bawa ada pertimbaga eisiesi ag megidari iterasi ag terlalu baak. Utuk prediktor kita aka megguaka metode derajat dua: ( ) ( x ), m m m m. 7

44 8 Dimaa superskrip (idek atas) () meataka bawa ii adala perkiraa pertama utuk m, aitu arga ramala. Segera kita rasaka bawa metode ii tidak dapat diguaka utuk megitug, karea utuk itu kita megguaka titik sebeluma titik mula-mula x. Metode Ruge-Kutta serig diguaka utuk memulai metode prediktor-korektor. Sebagai alterati kebutua utuk x, m m dapat diidari dega memakai Metode Euler. Tetapi metode ii tidak praktis karea galat pemotogaa terlalu besar. Justru pegguaa iormasi sebeluma tapa tambaa evaluasi iila ag meuju klasiikasi seperti metode lagka majemuk.(djojodiardjo, : 77-78). Dalam megguaka metode prediktor-korektor dega variabel ukura lagka adala perlu utuk: (a). Mempuai suatu metode utuk memperole ilai awal pada permulaa; (b) Mempuai metode utuk memperole ilai ag diperluka pada separo-separo lagka bila selaga dibagi dua; da (c) Mempuai suatu metode utuk memperole ilai ag diperluka bila selaga diduakalika. Rumus-rumus kusus dapat disusu utuk masigmasig dari tiga situasi itu. Namu demikia, suatu kombiasi ag cukup ideal adala pegguaa Metode Ruge Kutta berorde empat, bersama dega sepasag prediktor-korektor. Metode Ruge-Kutta lalu dapat diguaka utuk memulai peelesaia secara awal, sedagka pasaga prediktor korektora dapat diguaka utuk kelajuta ormal apabila ukura lagkaa dibuat tetap (Cote, 99: 8). Prediksi artia adala memprediksika suatu keadaa atau ilai ag ada teradap suatu ilai lai sesuai dega ag kita arapka. Sedagka koreksi 8

45 9 adala sesuatu ag megoreksi prediktor. Bila diliat dalam keidupa seariari mausia selalu megigika sesuatu ag lebi baik dari keadaa sebeluma. Seperti ag terdapat dalam Qs. ad-dua aat : Da sesuggua ari kemudia itu lebi baik bagimu daripada ag sekarag (permulaa) (Qs. ad - Dua / 9: ). Dari aat di atas, maka mausia arus meliat apa ag aka terjadi pada ari besok. Mausia tidak bole aa berpaku pada keadaa ag tetap. Dalam al ii mausia bertidak sebagai prediktor. Namu dalam tidaka-tidaka ag dilakuka mausia tersebut selalu dikoreksi ole para malaikat-malaikat dega mecatat semua amal perbuata ag dilakuka ole mausia. Berarti dalam al ii malaikat dikataka sebagai korektor ag selalu mecatat amal perbuata mausia. Sebagai ilustrasia: Prediktor Mausia (utuk meramalka ag aka terjadi besok) Korektor Malaikat (ag mecatat segala amal perbuata mausia) Hal ii terbukti dega irma Alla Swt berikut ii: Bagi mausia ada malaikat-malaikat ag selalu megikutia bergilira, di muka da di belakaga, mereka mejagaa atas perita Alla. Sesuggua Alla tidak meroba keadaa sesuatu kaum seigga mereka meroba keadaa ag ada pada diri mereka sediri. da apabila Alla megedaki keburuka teradap sesuatu kaum, maka tak ada ag dapat meolaka da sekali-kali tak ada pelidug bagi mereka selai Dia (Qs. arra d / : ). 9

46 Dari aat di atas, maka dapat dijelas bawa mausia selalu dijaga ole para malaikat. Tidak ada seorag mausiapu ag terlepas dari pejagaa malaikat tersebut. Para malaikat tersebut bertugas mecatat segala perbuata ag dilakuka ole mausia..8. Prosedur Pedaulua PDB aa mempuai satu ilai awal, aitu ( ) x. Dega demikia, metode baak lagka tidak swa-mulai (sel-start), seigga tidak dapat diterapka lagsug, sebab metode tersebut memerluka beberapa bua ilai awal. Iila kelemaa metode baak lagka. Misalka prediktor mempuai persamaa ( 6 5 ) * (.9) * Utuk megitug, kita arus mempuai ilai, da agar ilai ( x, ), ( x, ), ( x ) (.), Utuk medapatka beberapa ilai awal ag lai, kita arus melakuka prosedur pedaulua (startig prosedure) dega metode PDB ag bebas. Metode PDB ag serig dijadika sebagai prosedur pedaulua adala: ) Metode Euler ) Metode Ruge-Kutta ) Metode deret Talor

47 Jadi, utuk coto prediktor di atas da diitug terlebi daulu dega sala satu prosedur pedaulua. Selajuta, metode P-C dapat dipakai utuk megitug,..., (Muir, : 98).

48 BAB III PEMBAHASAN Pada bab ii aka dibaas peelesaia persamaa dieresial o liier dega Metode Mile da peelesaia persamaa dieresial o liier dega Metode Hammig serta aalisis dari asil peelesaia persamaa dieresial o liier dega Metode Mile da Metode Hammig. Peulis memberika coto sebagai berikut: Coto. d x 5 6 dx d. si x x dx Dari coto diatas, aka diselesaika dega megguaka Metode Mile da Metode Hammig.. Peelesaia Persamaa Dieresial No Liier dega Metode Mile Coto. d x 5 6 dx Secara umum, algoritma atau lagka-lagka dalam meelesaika persamaa dieresial o liier secara umerik dega Metode Mile adala sebagai berikut: ) Megambil besara ilai awal variabel bebas (x) da variabel terikata () ) Membatasi da meetuka ilai besara (ukura lagka)

49 ) Meetuka lagka pedaulua ag diguaka dega megguaka Ruge Kutta orde empat utuk mecari ilai ugsi k, k, k da k k ) Mecari ilai ugsi dega megguaka Metode Ruge-Kutta orde empat aitu meetuka ilai ugsi utuk x,, ilai ugsi utuk x,, ilai ugsi utuk x, da ilai ugsi utuk x,. 5) Mecari ilai,,, da 6) Melakuka prediksi ilai ugsi dega persamaa prediktor Mile(.5) 7) Mecari ilai ugsi kemudia melakuka koreksi ilai ugsi dega persamaa korektor Mile(.6)

50 Dari algoritma tersebut, dapat dibuat low Carta sebagai berikut: Start Meetuka ilai () da, Mecari ilai,, da dega Metode Ruge Kutta orde empat Mecari ilai,, da Mecari ilai ugsi dega persamaa predictor ( ) Mecari ilai ugsi kemudia melakuka koreksi ilai ugai dega persamaa korektor ( ) Hasil koreksi Metode Mile Stop Gambar : Diagram alir Metode Mile Ambil d x 5 6 dx Dari persamaa di atas aka dicari (,5) dega megguaka Metode Mile dega megguaka lagka-lagka sebagai berikut: a. Megambil ilai awal variabel bebas (x) da ilai awal variabel terikat ()

51 5 Diberika ilai awal ( ) atau dapat ditulis diberika ilai awal da x b. Membatasi da meetuka ilai besara. merupaka ukura lagka da kosta da dapat dicari dega x x,, c. Meetuka lagka pedaulua ag diguaka dega megguaka Ruge Kutta orde empat utuk mecari ilai ugsi k, k, k da k d. Mecari ilai ugsi dega megguaka Metode Ruge-Kutta orde empat aitu meetuka ilai ugsi utuk x,, ilai ugsi utuk x,, ilai ugsi utuk x, da ilai ugsi ut utuk x,, utuk x,. Utuk x,,, maka, ' ( x, ) 6 x 5 Utuk x,,,, maka, ( x ) dega ' ( x, ) 5 k, 6 x maka 6 x, ( x, ) 5 6(,) (), (,;) 5(),6 5 -, 5

52 6,(-,) -, ( x, k ) dega ' ( x, ) k 6 x maka 5, ( x /, / k ) ' 6 x ( x, ) 5, (, /.,; /.-,) 6 x 5, (,,5 ; -,6) 6 x 5, (,5;,999) 6 x 5 6(,999) (,5) 5(,999) 5,69,5,6995 -,6,. -,6,6 ( x, k ) dega ' ( x, ) k,(x /, / k ) ' ( x, ) 6 x maka 5 6 x 5 6 x, (, /., ; /.,6) 5 6

53 7 6 x, (,,5 ;,5) 5, (,5 ;,5) 6(,5) (,5) 5(,5) -,8,. -,8,8 ( x ) dega ' ( x, ) k, k,(x, k ) ' ( x, ) 6 x maka 5 6 x 5, (,, ; (-,8) 6 x 5, (,, ;,89) 6 x 5, (,,,89) 6(,89) (,) 5(,89) -,96,(,96) -,96 ( k k k ) 6 k ( k k k ) 6 k /6 ((-,). (-,6). (-,8) (-,96)) /6 ((-,) (-,8) (-,6) (-,96)) 7

54 8 /6 (-,65) -,75,895 e. Mecari ilai da,, da aitu 6 x 6(, (,), 5 5(,676688) 6 x 5 6(,7779) (,) 5(,7779) 6 x 5 6(,85955) (,) 5(,85955) 6 x 5 6(,895877) (,) 5(,895877),,,. Melakuka prediksi dega persamaa prediktor Mile(.5) dega memasukka asil dari lagka e. ( ) ( ) ( ) 5.(,),99577 ( (,) (,) (,) ) 5,5877 Jadi, asil prediksi ilai ugsi (,5),5877 8

55 9 g. Mecari ilai da melakuka koreksi dega persamaa korektor Mile(.6) dari asil lagka kedua dapat dicari dega ilai, aitu: 6 ( x 5 ) 5 65 ( x5 ) 5 5 ( 6(,5877) (,5) 5.,5877,6986 Seigga dicari ilai ugsi koreksi dega persamaa korektor Mile (.6) aitu ( ) ( ), 5 ( ) 5, 5,7779 ((.) (,) (,)),57689 Jadi, asil koreksi ilai ugsi (,5) adala,

56 Coto d Ambil si x x Utuk x,,, maka, dx Dari persamaa di atas aka dicari (,5) dega megguaka Metode Mile dega megguaka lagka- lagka sebagai berikut: a. Megambil ilai awal variabel bebas (x) da ilai awal variabel ( ) Diberika ilai awal ( ) atau dapat ditulis diberika ilai awal da x b. Membatasi da meetuka ilai besara. merupaka ukura lagka da kosta da dapat dicari dega x x,, c. Meetuka lagka pedaulua ag diguaka dega megguaka Ruge Kutta orde empat utuk mecari ilai ugsi k, k, k da k d. Mecari ilai ugsi dega megguaka Metode Ruge-Kutta orde empat aitu meetuka ilai ugsi utuk x,, ilai ugsi utuk x,, ilai ugsi utuk x, da ilai ugsi utuk x,, utuk x,. Utuk x,,, maka, d dx ( x, ) x si x Utuk x,,,, maka,

57 k ( x, ) dega d x si x ( x, ) maka dx, (x, ) x si x (,)() si,, (,;) 6(),758 -,9,(-,9) -,9 ( x, k ) k dega d dx, (x /, / k ) x si x maka d dx x, (, /.,; /.-,9), (,,5 ; -,5) si x x si x x si x, (,5;,97955) x si x (,5)(,97955) si(,97955), ,67,. -,67 -,67

58 ( x, k ) k dega d dx x si x maka,(x /, / k ) d dx x si x, (, /., ; /. -,67), (,,5 ;,96965) x si x x si x (,5)(,96965) si(,5), (,5 ;,96965),96965,. -,69 -,69 ( x ) k, k dega,(x, k ) -,69 d dx d dx x x si x maka si x, (,, ; (-,69), (,, ;,99) x si x x si x (,)(,99) si(,), (, ;,99),99,(-,8) -,8

59 -,8 ( k k k ) 6 k ( k k k ) 6 k /6 ((-,9). (-,67). (-,69) (-,,8)) /6 ((-,9) (-,) (-,8) (-,8)) /6 (-,6),99577 e. Mecari ilai da,, da aitu x si x (,)(,57888) si(,),57888 x si x (,)(,7796) si(,),7796 x si x (,)(,8687) si(,),8687 x si x (,)(,99577) si(,),99577,,,,. Melakuka prediksi dega persamaa prediktor Mile (.5) dega memasukka asil dari lagka e. ( ) ( ) ( ) 5

60 .(,),99577 ( (,) (,) (,) ) 5, Jadi, asil prediksi ilai ugsi (,5),5877 g. Mecari ilai da melakuka koreksi dega persamaa korektor Mile (.6) dari asil lagka kedua dapat dicari dega ilai, aitu: ( x )( ) si( x ) 5 ( x 5 )( 5 ) 5 si( x 5 ) (,5)(,) si(,5),99577, Seigga dicari ilai ugsi koreksi dega persamaa korektor Mile(.6) aitu ( ) ( ), 5 ( ) 5, 5,7796 (,) (,),),7555 Jadi, asil koreksi ilai ugsi (,5) adala,7555

61 5.. Peelesaia Persamaa Dieresial No Liier dega Metode Hammig Secara umum, algoritma atau lagka-lagka dalam meelesaika persamaa dieresial o liier secara umerik dega Metode Hammig adala sebagai berikut:. Megambil besara ilai awal variabel bebas (x) da variabel terikata (). Membatasi da meetuka ilai besara (ukura lagka). Meetuka lagka pedaulua ag diguaka dega megguaka Ruge Kutte orde empat utuk mecari ilai ugsi k, k, k da k. Mecari ilai ugsi dega megguaka Metode Ruge-kutta orde empat aitu meetuka ilai ugsi utuk x,, ilai ugsi utuk x,, ilai ugsi utuk x, da ilai ugsi utuk x,. 5. Mecari ilai,,, da 6. Melakuka prediksi ilai ugsi dega persamaa prediktor Hammig (.7) 7. Mecari ilai ugsi kemudia melakuka koreksi ilai ugsi dega persamaa korektor Hammig (.8) 5

62 6 Dari algoritma tersebut, dapat dibuat low Carta sebagai berikut: Start Meetuka ilai () da, Mecari ilai,, da dega Metode Ruge Kutta orde empat Mecari ilai,, da Mecari ilai ugsi dega persamaa predictor ( ) Mecari ilai ugsi kemudia melaluka koreksi ilai ugsi dega 9 persamaa korektor ( ) Hasil koreksi Metode Hammig Stop Gambar : Diagram alir Metode Hammig 6

63 7 Coto. d x 5 6 dx Ambil d x 5 6 dx Utuk x,,, maka, Dari persamaa di atas aka dicari (,5) dega megguaka Metode Hammig dega megguaka lagka-lagka sebagai berikut: a. Megambil ilai awal variabel bebas (x) da ilai awal variabel terikat () Diberika ilai awal ( ) atau dapat ditulis diberika ilai awal da x b. Membatasi da meetuka ilai besara. merupaka ukura lagka da kosta da dapat dicari dega x x,, c. Meetuka lagka pedaulua ag diguaka dega megguaka Ruge Kutta orde empat utuk mecari ilai ugsi k, k, k da k d. Mecari ilai ugsi dega megguaka Metode Ruge-Kutta orde empat aitu meetuka ilai ugsi utuk x,, ilai ugsi utuk x,, ilai ugsi utuk x, da ilai ugsi ut utuk x,, utuk x,. Utuk x,,, maka, ambil d x 5 6 dx 7

64 8 8 ( ) x x 5 6, ' Utuk x,,,, maka, ( ) x k, dega ( ) x x 5 6, ' maka, (x, ) x 5 6, (,;) x () 6 5 6, -,,(-,) -, ( ), k x k dega ( ) x x 5 6, ' maka, (x /, / k ) ( ) x x 5 6, ', (, /.,; /.-,) x 5 6, (,,5 ; -,6) x 5 6, (,5;,999) x 5 6

65 9 6(,999) (,5) 5(,999) 5,69,5,6995 -,6,. -,6,6 ( x, k ) k dega ' ( x, ),(x /, / k ) ' ( x, ) 6 x maka 5 6 x 5, (, /., ; /.,6) 6 x 5 6 x, (,,5 ;,5) 5, (,5 ;,5) 6(,5) (,5) 5(,5) -,8,. -,8,8 ( x ) dega ' ( x, ) k, k,(x, k ) ' ( x, ) 6 x maka 5 6 x 5 6 x, (,, ; (-,8) 5 9

66 5, (,, ;,89) 6 x 5, (,,,89) 6(,89) (,) 5(,89) -,96,(,96) -,96 ( k k k ) 6 k ( k k k ) 6 k /6 ((-,). (-,6). (-,8) (-,96)) /6 ((-,) (-,8) (-,6) (-,96)) /6 (-,65) -,75,895 e. Mecari ilai da,, da aitu 6 x 6(, (,), 5 5(,676688) 6 x 5 6(,7779) (,) 5(,7779) 6 x 5 6(,85955) (,) 5(,85955) 6 x 5 6(,895877) (,) 5(,895877),,, 5

67 5. Melakuka prediksi dega persamaa prediktor Hammig (.7) dega memasukka asil dari lagka e. ( ) ( ) ( ) 5.(,),99577 ( (,) (,) (,) ) 5,5877 Jadi, asil prediksi ilai ugsi (,5),5877 g.. Mecari ilai da melakuka koreksi dega persamaa korektor Hammig (.8) dari asil lagka kedua dapat dicari dega ilai, aitu: 6 ( x 5 ) 5 65 ( x5 ) 5 5 ( 6(,5877) (,5) 5.,5877,6986 5

68 5 Seigga dicari ilai ugsi koreksi dega persamaa korektor Hammig (.8) aitu 9 8 ( ) ( ) ( ) 5, (,676688) (,) ( (. (,),6986) 5,57689 d Coto : si x x Utuk x,,, maka, dx Dari persamaa di atas aka dicari (,5) dega megguaka Metode Mile dega megguaka lagka-lagka sebagai berikut: a. Megambil ilai awal variabel bebas (x) da ilai awal variabel terikat () Diberika ilai awal ( ) atau dapat ditulis diberika ilai awal da x b. Membatasi da meetuka ilai besara. merupaka ukura lagka da kosta da dapat dicari dega x x,, c. Meetuka lagka pedaulua ag diguaka dega megguaka Ruge Kutta orde empat utuk mecari ilai ugsi k, k, k da k 5

69 5 d. Mecari ilai ugsi dega megguaka Metode Ruge-Kutta orde empat aitu meetuka ilai ugsi utuk x,, ilai ugsi utuk x,, ilai ugsi utuk x, da ilai ugsi ut utuk x,, utuk x,. Utuk x,,, maka, d dx x si x Utuk x,,,, maka, k ( x, ) dega d x si x maka dx, (x, ) x si x (,)() si,, (,;) 6(),758 -,9,(-,9) -,9 ( x, k ) k dega d dx x si x maka, (x /, / k ) d x dx si x 5

70 5, (, /.,; /.-,9), (,,5 ; -,5) x si x x si x, (,5;,97955) x si x (,5)(,97955) si(,97955), ,67,. -,67 -,67 ( x, k ) k dega d dx x si x maka,(x /, / k ) d dx x si x, (, /., ; /. -,67), (,,5 ;,96965) x si x x si x (,5)(,96965) si(,5), (,5 ;,96965),96965,. -,69 -,69 -,69 5

71 55 ( x ) k, k dega,(x, k ) d dx d dx x x si x maka si x, (,, ; (-,69), (,, ;,99) x si x x si x (,)(,99) si(,), (, ;,99),99,(-,8) -,8 -,8 ( k k k ) 6 k ( k k k ) 6 k /6 ((-,9). (-,67). (-,69) (-,,8)) /6 ((-,9) (-,) (-,8) (-,8)) /6 (-,6),99577 e. Mecari ilai da,, da aitu x si x (,)(,57888) si(,),57888 x si x (,)(,7796) si(,),7796,, 55

72 56 x si x (,)(,8687) si(,),8687 x si x (,)(,99577) si(,),99577,,. Melakuka prediksi dega persamaa prediktor Hammig (.7) dega memasukka asil dari lagka e ( ) ( ) ( ) 5.(,),99577 ( (,) (,) (,) ) 5, Jadi, asil prediksi ilai ugsi (,5),5877 g. Mecari ilai da melakuka koreksi dega persamaa korektor Hammig (.8) dari asil lagka kedua dapat dicari dega ilai, aitu: ( x )( ) si( x ) 5 ( x 5 )( 5 ) 5 si( x 5 ) (,5)(,) si(,5),

73 57, Seigga dicari ilai ugsi koreksi dega persamaa korektor Hammig (.8) aitu 9 8 ( ) ( ) ( ) 5,8687 9(,57888) (,) (, (,),696856) 5,555 Jadi asil koreksi ilai ugsi (,5) adala,555 asil perituga di atas, maka didapatka ilai ugsi k,, k,6, k, 8 da k, 96 da didapatka ilai ugsi, utuk coto da Utuk perituga ilai ugsi selajuta, aitu, da maka aka diitug dega megguaka batua MatLab da megasilka ilai ugsi, 85955,, 7779 da, Sedagka utuk coto medapatka asil ilai ugsi k,9, k, 67, k, 69, k, 8 da didapatka ilai ugsi, 995,, 8687,, 7796 da,

74 58.. Aalisis Metode Mile da Metode Hammig utuk Meelesaika Persamaa Dieresial No Liier Dari peelesaia umerik persamaa dieresial o liier dega Metode Mile da Metode Hammig diperole sebagai berikut: Coto a) Metode Mile Tabel : Hasil perituga Metode Mile coto x ' 6 x ( x, ) 5,,,, ,,, ,,, ,,, , Dari asil tabel di atas megasilka ilai prediktor sebesar,5877 pada x,5 da ilai korektor sebesar,

75 59 b) Metode Hammig Tabel : Hasil perituga Metode Hammig coto x ' 6 x ( x, ) 5,,,, ,,, ,,, ,,, , Dari asil tabel di atas megasilka ilai prediktor sebesar,5877 pada x,5 da ilai korektor sebesar, Coto a). Metode Mile Tabel 5: Hasil perituga Metode Mile coto x ' x ( x, ) si x,,,,99577,,,8687,,,7796,,,57888, Dari asil tabel di atas megasilka ilai prediktor sebesar,99577 pada x,5 da ilai korektor sebesar,

76 6 b). Metode Hammig Tabel 6 : Hasil perituga Metode Mile coto x ' x ( x, ) si x,,,,99577,,,8687,,,7796,,,57888, Dari asil tabel di atas megasilka ilai prediktor sebesar,99577 pada x,5 da ilai korektor sebesar,555. Pada coto pada persamaa dieresial o liier pada Metode Mile da Metode Hammig megasilka ilai ag sama aitu megasilka ilai prediksi sebesar,5877 da pada ilai koreksi megasilka,57688 utuk metode Mile da, pada Metode Hammig. Dari sii maka, Metode Mile lebi baik daripada Metode Hammig karea ilai koreksi pada Metode Mile lebi kecil daripada ilai koreksi pada Metode Hammig. Pada coto pada persamaa dieresial o liier pada Metode Mile da Metode Hammig megasilka ilai prediksi ag sama aitu megasilka ilai prediksi sebesar,99577 da pada ilai koreksi megasilka ilai koreksi sebesar,75555 utuk Metode Mile da, 555 pada Metode 6

77 6 Hammig. Dari sii ilai koreksi pada Metode Hammig lebi kecil daripada Metode Mile. Maka, Metode Hammig lebi baik daripada Metode Mile. Jadi dari kedua coto di atas, maka Metode Hammig tidak selalu lebi baik daripada Metode Mile. Begitu juga sebalika karea kedua metode tersebut adala sama-sama Metode Prediktor Korektor, maka baik tidaka metode tersebut tergatug seberapa besar ilai korektora. 6

78 6 BAB IV PENUTUP.. Kesimpula Berdasarka pembaasa, dapat disimpulka atara lai sebagai berikut:. Peelesaia umerik persamaa dieresial o liier dega Metode Mile Lagka-lagka peelesaia a. Megambil ilai awal variabel bebas (x) da ilai awal variabel terikat () Diberika ilai awal ( ) b Membatasi da meetuka ilai besara. merupaka ukura lagka da kosta dega x x,, c. Meetuka lagka pedaulua ag diguaka dega megguaka Ruge Kutta orde empat utuk mecari ilai ugsi k, k, k da k.mecari ilai ugsi dega megguaka Metode Ruge-Kutta orde empat aitu meetuka ilai ugsi utuk x,, ilai ugsi utuk x,, ilai ugsi utuk x, da ilai ugsi ut utuk x,, utuk x,. Mecari ilai da,, da 6

79 6 d. Melakuka prediksi dega persamaa prediktor Mile aitu ( ) lagka c. dega memasukka asil dari e. Mecari ilai da melakuka koreksi dega persamaa korektor dari asil lagka kedua Mile aitu ( ) dapat dicari dega ilai. Peelesaia umerik persamaa dieresial o liier dega Metode Hammig Lagka-lagka peelesaia a. Megambil ilai awal variabel bebas (x) da ilai awal variabel terikat (). Diberika ilai awal ( ) b Membatasi da meetuka ilai besara. merupaka ukura lagka da kosta da dapat dicari dega x x,,. Meetuka lagka pedaulua ag diguaka dega megguaka Ruge Kutta orde empat utuk mecari ilai ugsi k, k, k da k c. Mecari ilai ugsi dega megguaka Metode Ruge-Kutta orde empat aitu meetuka ilai ugsi utuk x,, ilai ugsi utuk x,, ilai ugsi utuk 6

80 6 x, da ilai ugsi ut utuk x,, utuk x,. Mecari ilai da,, da d. Melakuka prediksi dega persamaa prediktor Hammig aitu ( ) * dega memasukka asil dari lagka c. e. Mecari ilai da melakuka koreksi Mecari ilai da melakuka koreksi dega persamaa korektor Hammig aitu 9 ( ) dari asil lagka kedua dapat dicari dega ilai.. Pada coto pada persamaa dieresial pada Metode Mile da Metode Hammig megasilka ilai koreksi sebesar,57688 pada Metode Mile da, pada Metode Hammig. Pada coto ilai koreksi pada Metode Mile sebesar,75555 da,555 pada Metode Hammig. Dari asil dua coto.pada pembaasa maka, Metode Hammig tidak selalu lebi baik daripada Metode Mile. Begitu juga sebalika karea baik tidaka metode tersebut tergatug seberapa ilai korektora da kedua metode tersebut adala sama-sama Metode Prediktor Korektor. 6