JMP : Volume 4 Nomor 2, Desember 2012, hal MODUL FAKTOR YANG DIBENTUK DARI SUBMODUL Z 2. Ari Wardayani

Transkripsi

1 JMP : Volume 4 Nomor, Desember 01, hal MODUL FAKTOR YANG DIBENTUK DARI SUBMODUL Z PADA MODUL R ATAS GAUSSIAN INTEGERS Ari Wardaani Universitas Jenderal Soedirman ariwardaani@ahoo.co.id ABSTRACT. We prove that R is module over Gaussian Intergers and the set of all coset of submodule Z in module R over Gaussian Integers is a quotient module. We find the proof b showing that R is both a right module and a left module over Gaussian Integers and showing that the set of all coset of submodule Z in module R is both a right module and a left module over Gaussian Integers. Ke word: module, submodule, coset, quotient module ABSTRAK. Pada makalah ini dibuktikan bahwa R adalah modul atas Gaussian Integers dan himpunan semua koset dari submodul Z pada modul R atas Gaussian Integers merupakan modul faktor. Bukti diperoleh dengan menunjukkan bahwa R adalah modul kiri sekaligus modul kanan atas Gaussian Integers dan menunjukkan bahwa himpunan semua koset dari submodul Z pada R merupakan modul kanan sekaligus modul kiri atas Gaussian Integers. Kata kunci: modul, submodul, koset, modul faktor 1. PENDAHULUAN Modul merupakan suatu struktur ang dibentuk dari suatu grup abel dan suatu ring dengan elemen satuan. Misalkan M adalah grup abel terhadap operasi penjumlahan dan R adalah ring dengan elemen satuan, modul kiri M atas ring R adalah struktur ang dibentuk oleh M dan R ang dilengkapi dengan operasi pergandaan skalar dan memenuhi aksioma: r R m M, r m M 1. R, M,., R M, r m m r m m rm rm r r m r r m rm r m 1 1 1

2 80 Ari Wardaani 3. r1, r R m M, rr 1 m r1 r m 4. m M, 1m m dengan 1 adalah elemen satuan R. Definisi modul kanan M atas ring R analog dengan modul kiri, tetapi pada operasi pergandaan skalarna, elemen-elemen r di R dituliskan disebelah kanan (Hartle, dkk., 1970). Himpunan bagian tak kosong dari suatu modul disebut submodul jika himpunan bagian tersebut dilengkapi dengan operasi ang sama dengan operasi di modulna, juga membentuk modul (Adkins, 197). Sementara itu modul faktor adalah suatu modul ang dihasilkan oleh suatu submodul dari modul ang diberikan (Lang, 1995). Gaussian Integers merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan kompleks (Muchlisah, 008) dan dinotasikan dengan Z(i) = {a + bi a, b Z dan i = 1 } Menurut Fraleigh (000), Gaussian Integers Z(i) merupakan daerah integral, aitu ring komutatif dengan elemen satuan ang tidak memuat pembagi nol. Himpunan R adalah himpunan dari semua elemen ang berbentuk -tupel dengan setiap tupelna merupakan bilangan riil (Anton, 1993). Himpunan R dinotasikan dengan R = {[, R}. Menurut Jacob (1990), R merupakan ruang vektor atas lapangan himpunan bilangan riil R. Hal ini mengakibatkan bahwa R adalah grup abel terhadap operasi penjumlahanna.. PEMBENTUKAN MODUL R ATAS GAUSSIAN INTEGERS Z(i) Sebelum membuktikan R adalah modul atas Gaussian Integers Z(i), terlebih dahulu didefinisikan operasi pergandaan skalar antara Z(i) dan R akni:

3 Modul Faktor ang Dibentuk dari Submodul 81 (a + bi) [ 1 [ a 1 b a + b 1 dan [ 1 (a + bi) [ a 1 b a + b 1, untuk setiap (a + bi) Z(i), [ 1 R. Selanjutna ditunjukkan bahwa dengan operasi pergandaan skalar ang didefinisikan tersebut, R memenuhi aksiomaaksioma modul kiri dan modul kanan atas Gaussian Integers Z(i). Proposisi 1. Himpunan R adalah modul atas Gaussian Integers Z(i) dengan operasi pergandaan skalar (a + bi) [ 1 [ a 1 b a + b 1 dan [ 1 (a + bi) [ a 1 b a + b 1, untuk setiap (a + bi) Z(i), [ 1 R. Bukti. Pembuktian diawali dengan menunjukkan bahwa operasi ang didefinisikan tersebut adalah well-defined. Ambil sembarang (a + bi), (c + di) Z(i) dengan (a + bi) = (c + di), dan [ 1, [ 1 R dengan [ 1 = [ 1. Jika (a + bi) = (c + di) dan [ 1 = [ 1 maka (a + bi) [ 1 = [ a 1 b a + b 1 = [ c 1 d c + d 1 = (c + di) [ 1 dan [ 1 (a + bi) = [ a 1 b a + b 1 = [ c 1 d c + d 1 = [ 1 (c + di). Jadi operasi pergandaan skalar ang didefinisikan tersebut well-defined. Selanjutna ditunjukkan bahwa aksioma-aksioma modul kiri dipenuhi: (i). ((a + bi) + (c + di)) [ 1 = ((a + c) + (b + d)i) [ 1 = [ (a + c) 1 (b + d) (a + c) + (b + d) 1 = [ a 1 b a + b 1 + [ c 1 d c + bd 1

4 8 Ari Wardaani = (a + bi) [ 1 + (c + di) [ 1. (ii). (a + bi) ([ 1 + [ 1 ) = (a + bi) [ = [ a( ) b( + ) a( + ) + b( ) = [ a 1 b a + b 1 + [ a 1 b a + b 1 = (a + bi) [ 1 + (a + bi) [ 1 (iii). ((a + bi)(c + di)) [ 1 = ((ac bd) + (ad + bc)i) [ 1 = [ (ac bd) 1 (ad + bc) (ac bd) + (ad + bc) 1 = [ (ac 1 ad ) (bc + bd 1 ) (ac + ad 1 ) + (bc 1 bd ) = [ a(c 1 d ) b(c + d 1 ) a(c + d 1 ) + b(c 1 d ) = (a + bi) [ c 1 d c + d 1 = (a + bi) ((c + di) [ 1 ) (iv). 1[ 1 = (1 + 0i) [ 1 = [ 1 Karena R memenuhi aksioma-aksioma modul kiri atas Gaussian Integers Z(i), maka R adalah modul kiri atas Gaussian Integers Z(i). Secara analog diperoleh bahwa R adalah modul kanan atas Gaussian Integers Z(i). Kemudian karena R adalah modul kiri sekaligus modul kanan atas Gaussian Integers Z(i) maka R adalah modul atas Gaussian IntegersZ(i).

5 Modul Faktor ang Dibentuk dari Submodul 83 Selanjutna, struktur modul R atas Gaussian Integer Z(i) ini akan digunakan untuk membentuk submodul, koset, dan pada akhirna digunakan untuk membentuk modul faktor ang diinginkan. 3. PEMBENTUKAN MODUL FAKTOR DARI SUBMODUL Z Pada makalah ini, pembentukan modul faktor menggunakan Z aitu himpunan bagian dari R. Pembentukan modul faktor diawali dengan menunjukkan bahwa Z adalah submodul dari R. Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut. Dengan pendefinisian Z {[ z 1 z z 1, z Z} jelas bahwa Z adalah himpunan bagian dari R ang tak kosong, sebab dengan mengambil z1, z sembarang elemen di Z selalu dapat ditentukan [ z 1 z Z. Kemudian, Z juga merupakan submodul dari modul R atas Z(i) karena untuk setiap [ z 1 z, [ 1 Z dan a + bi Z(i) berlaku: [ z 1 z [ 1 = [ z 1 1 z Z dan (a + bi) [ z 1 z = [ az 1 bz az + bz 1 Z. Selanjutna didefinisikan himpunan R Z {[ 1 + Z [ 1 R } aitu himpunan semua koset submodul Z pada modul R atas Z(i). Untuk penederhanaan penulisan, selanjutna [ 1 + Z R Z ditulis dengan [ 1. Proposisi. Himpunan R Z merupakan modul faktor ang dihasilkan oleh Z pada modul R atas Gaussian Integer Z(i) dengan operasi penjumlahan dan pergandaan skalar ang didefinisikan sebagai berikut: untuk setiap [ 1 1, [ R Z dan a + bi Z(i) berlaku [ [ = [ 1 + [ 1,

6 84 Ari Wardaani (a + bi) [ 1 = (a bi) [ dan [ (a 1 + bi) = [. (a + bi) Bukti. Terlebih dahulu ditunjukkan bahwa operasi penjumlahan koset ang didefinisikan tersebut adalah well-defined. Ambil sembarang [ 1 1, [, [ 1, [ 1 R Z dengan [ 1 1 = [ dan [ 1 = [ 1. Jika [ = [ maka [ + Z = [ 1 + Z. Menurut sifat koset, jika [ 1 = [ 1 1 mengakibatkan [ [ 1 Z. Kemudian, jika [ 1 = [ 1 maka [ 1 + Z = [ 1 + Z. Dengan demikian juga diperoleh [ 1 [ 1 Z. Kemudian, ([ 1 + [ 1 ) ([ 1 + [ 1 ) = ([ 1 [ 1 ) + ([ 1 [ 1 ) Z. Sebagai akibatna ([ 1 + [ 1 ) + Z = ([ 1 + [ 1 ) + Z, ang mengimplikasikan bahwa [ 1 + [ 1 1 = [. + [ 1 1 Dengan kata lain, [ + [ 1 1 = [ + [ 1. Berikut ini ditunjukkan bahwa operasi pergandaan skalar ang didefinisikan tersebut juga well-defined. (a + bi) ([ 1 [ 1 ) = (a + bi) [ 1 1 = [ a( 1 1 ) b( ) a( ) + b( 1 1 ) = [ a 1 b a + b 1 [ a 1 b a + b 1 = (a + bi) [ 1 (a + bi) [ 1 Z. Hal ini mengakibatkan (a + bi) [ 1 + Z = (a + bi) [ 1 + Z, akni

7 Modul Faktor ang Dibentuk dari Submodul 85 (a + bi) [ 1 = (a 1. + bi) [ Dengan kata lain, (a + bi) [ 1 = (a 1 + bi) [. Secara analog diperoleh bahwa [ 1 (a 1 + bi) = [ (a + bi). Jadi operasi penjumlahan dan pergandaan skalar ang didefinisikan tersebut adalah well defined. Berikutna ditunjukkan bahwa R Z dengan operasi penjumlahan dan pergandaan skalar ang didefinisikan di atas merupakan modul atas Z(i). Langkah pertama adalah menunjukkan bahwa R Z terhadap operasi penjumlahanna merupakan grup abel. Untuk setiap [ 1 1, [ R Z, berlaku [ [ R Z. Hal ini berarti operasi penjumlahanna tertutup pada R Z. Selain itu, untuk setiap [ 1 1 s 1, [, [ s R Z berlaku ([ 1 1 s 1 + [ ) + [ s = ([ 1 + [ 1 s 1 1 ) + [ s = ([ + [ 1 ) + [ s 1 s = [ 1 + ([ 1 + [ s s ) = [ + ([ + [ s s 1 s ) = [ + ([ + [ ) s. Selanjutna, [ [ = [ + [ 1 1 = [ + [ = [ + [. Jadi operasi penjumlahan pada R Z bersifat assosiatif dan komutatif. Eksistensi elemen netral pada R Z juga dipenuhi, karena terdapat [ 0 0 sedemikian sehingga untuk setiap [ 1 R Z berlaku [ [ 0 1 = [ + [ = [. Selanjutna, eksistensi invers dari setiap elemen di R Z dipenuhi, karena untuk setiap [ 1

8 R Z mempunai invers aitu [ 1 1 = [ sedemikian sehingga [ [ = [. 0 Karena R Z terhadap operasi penjumlahanna memenuhi aksioma-aksioma grup dan bersifat komutatif, maka R Z adalah grup abel. Untuk membuktikan bahwa R Z adalah modul kiri atas Z(i), haruslah dibuktikan bahwa dengan operasi pergandaan skalar ang didefinisikan, R Z memenuhi aksioma-aksioma modul. Ambil sembarang a + bi, c + di Z(i) dan [ 1 1, [ R Z. Kemudian (i) ((a + bi) + (c + di)) [ 1 = ((a + c) + (b 1 + d)i) [ = ((a + c) + (b + d)i) [ 1 = [ (a + c) 1 (b + d) a = [ 1 b + [ c 1 d (a + c) + (b + d) 1 a + b 1 c + d 1 = (a + bi) [ 1 + (c + di) [ 1 = (a 1 + bi) [ + (c 1 + di) [ (ii) (a + bi) ([ [ ) = (a 1 + bi) ([ + [ 1 ) = (a + bi) ([ 1 + ) 1 + Modul Faktor ang Dibentuk dari Submodul 87 = [ a( ) b( + ) a( + ) + b( ) a = [ 1 b + [ a 1 b a + b 1 a + b 1 = (a + bi) [ 1 + (a 1 + bi) [. (iii) ((a + bi). (c + di)) [ 1 = ((ac + bd) + (ad 1 + bc)i) [

9 (iv) 1[ 1 = ( i) [ = [ = [ (ac + bd) 1 (ad + bc) (ac + bd) + (ad + bc) 1 = (a + bi) [ c 1 d c + d 1 = (a + bi) [ c 1 d = (a 1 + bi)(c + di) [ c + d 1 Karena R Z memenuhi aksioma-aksioma modul kiri atas Z(i), maka R Z adalah modul kiri atas Gaussian Integers Z(i). Secara analog diperoleh bahwa R Z adalah modul kanan atas Gaussian Integesr Z(i). Karena R Z adalah modul kiri dan modul kanan atas Gaussian Integers Z(i), maka R Z adalah modul atas Gaussian Integers Z(i). Untuk selanjutna R Z dinamakan modul faktor atas Gaussian Integers Z(i). 88 Ari Wardaani 4. KESIMPULAN Himpunan R Z dengan operasi penjumlahan dan pergandaan skalar ang didefinisikan tersebut memenuhi aksioma-aksioma modul atas Gaussian Integers Z(i). Modul R Z atas Gaussian Integers Z(i) adalah modul faktor ang dihasilkan oleh Z pada modul R atas Gaussian Integers Z(i).

10 5. DAFTAR PUSTAKA Anton, H. (1993). Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Penerbit Erlangga. Adkins, W. (197). Algebra: an Approach Via Module Theor. New York: Springer-Velberg. Fraleigh, J.B. (000). A First Course in Abstract Algebra. New York: Addison- Wesle Publising Compan, Inc. Hartle, B. dan Hawkes, T.O. (1970). Rings, Modules and Linear Algebra. London: Chapman and Hall, Ltd. Jacob, B. (1990). Linear Algebra. New York: W. H. Freeman and Compan. Lang, S. (1995). Algebra. New York: Addison-Wesle Publishing Compan. Muchlisah, N. (008). Teori Gelanggang dan Lapangan. Surakarta: LPP UNS.