ANALISIS KESTABILAN MODEL RANTAI MAKANAN TIGA SPESIES DENGAN MANIFOLD PUSAT

Transkripsi

1 ANALISIS KESTABILAN MODEL RANTAI MAKANAN TIGA SPESIES DENGAN MANIFOLD PUSAT Oleh: Novi Oktaria Ekawati G545 PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 6

2 ABSTRAK NOVI OKTARIA EKAWATI. Analisis Kestabilan Model Rantai Makanan Tiga Spesies dengan Maniold Pusat. Dibimbing oleh PAIAN SIANTURI dan ALI KUSNANTO. Interaksi antar spesies yang terjadi dalam suatu ekosistem dapat menyebabkan keadaan populasi suatu spesies berubah. Interaksi tersebut dapat memberikan dampak positi, negati, atau bahkan tidak berpengaruh terhadap spesies -spesies yang berinteraksi. Untuk mengetahui keadaan populasi suatu spesies dalam ekosistem dilaku kan analisis kestabilan dan pengamatan terhadap perilaku dinamika populasinya. Dari proses pemangsaan yang dibahas dalam tulisan ini diperoleh suatu model matematika sederhana yang merupakan sistem persamaan dierensial tak linear melibatkan tiga komponen spesies pada suatu rantai makanan. Model tersebut terdiri dari tiga populasi spesies pada tiga level yang berbeda, yaitu spesies x pada level pertama, spesies y pada level kedua, dan spesies z pada level paling atas. Analisis kestabilan dilakukan dengan menentukan titik tetapnya terlebih dahulu sebagai kondisi keseimbangan dari sistemnya, kemudian dengan menggunakan Teorema Maniold Pusat akan dianalisis dinamika di sekitar keseimbangan dari suatu sistem tak linear. Untuk kestabilan T diperoleh maniold tak stabil -dimensi yang bersinggungan dengan subruang tak stabil pada sumbu x, kemudian terdapat maniold stabil -dimensi yang invarian bersinggungan dengan subruang stabil pada bidang-yz. Sedangkan untuk kestabilan T diperoleh maniold pusat -dimensi yang invarian bersinggungan dengan subruang pusat pada bidang-xy. Orbit kestabilan populasi untuk ketiga spesies digambarkan dengan menggunakan penyelesaian secara numerik sehingga dapat diamati perubahan dinamika populasinya terhadap perilaku parameter yang berbeda, yaitu pada kasus ag = b, ag > b, dan ag < b. Dengan demikian dapat diprediksikan kondisi yang dapat menyebabkan peningkatan atau penurunan pertumbuhan populasi pada suatu spesies.

3 ANALISIS KESTABILAN MODEL RANTAI MAKANAN TIGA SPESIES DENGAN MANIFOLD PUSAT Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor Oleh: Novi Oktaria Ekawati G545 PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 6

4 3 Judul Nama NRP : Analisis Kestabilan Model Rantai Makanan Tiga Spesies dengan Maniold Pusat : Novi Oktaria Ekawati : G545 Menyetujui : Pembimbing I, Pembimbing II, Dr. Paian Sianturi Drs. Ali Kusnanto, M.Si NIP NIP Mengetahui : Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS NIP Tanggal Lulus :

5 4 Kupersembahkan karya kecil ini untuk kedua orangtuaku, adikadikku, dan semua orang yang kusayangi... Tidak ada pelaut ulung yang dilahirkan dari samudera yang tenang, tapi ia akan dilahirkan dari samudera yang penuh terpaan badai, gelombang, dan topan. ( D Farhan Aulawi ) RIWAYAT HIDUP

6 5 Penulis dilahirkan di Sleman pada tanggal 8 Oktober 984 sebagai anak pertama dari tiga bersaudara dengan ayah HM Sujasman dan ibu Hj. Siti Maru ah. Penulis menyelesaikan pendidikan dasar di SD Perwira Bakti Bekasi pada tahun 995. Pendidikan menengah tingkat pertama dilalui di SMP Negeri Bekasi pada tahun 998. Kemudian penulis melanjutkan pendidikan di SMU Negeri Bekasi dengan jurusan IPA hingga tahun. Pada tahun, penulis diterima di Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) sebagai mahasiswi di Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis akti di berbagai kegiatan kemahasiswaan sebagai pengurus departemen Humaniora Himpunan Proesi Gumatika periode /3. PRAKATA

7 6 Alhamdulillahirabbil aalamin. Teruntai rasa syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Penulisan skripsi ini merupakan syarat bagi kelulusan sebagai Sarjana Sains pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Skripsi ini berjudul Analisis Kestabilan Model Rantai Makanan Tiga Spesies dengan Maniold Pusat. Penulis mengucapkan terima kasih kepada berbagai pihak yang telah membantu terselesaikannya karya ilmiah ini, diantaranya Bapak Dr. Paian Sianturi dan Bapak Drs. Ali Kusnanto, M.Si selaku pembimbing yang telah banyak memberikan masukan dan pengarahan kepada penulis. Penulis juga berterima kasih kepada Ibu Dra. Annis Diniati, M.Si selaku penguji. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada Dwichandra Eka Prasetya; Mba Yessie Widya Sari, M.Si; Kak Cecep, S.Si; dan Mba Yoanita, S.Si; atas diskusi-diskusi berharga yang berkaitan dengan karya ilmiah ini, serta seluruh dosen dan sta di lingkungan Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Ungkapan terima kasih yang terdalam dihaturkan kepada Papa dan Mama atas segala do a, kasih sayang, dan keikhlasannya yang tiada pamrih, adik-adikku Naning dan Zella atas segala keceriaan dan canda tawanya, serta kepada Asih Irianto atas segala do a, nasihat, dorongan semangat, dan kasih sayangnya kepada penulis. Ucapan terima kasih juga disampaikan kepada Eka, Mona, dan Gresi yang telah menjadi sahabat terbaikku di saat suka maupun duka. Terima kasih kepada seluruh rekan rekan Matematika 38 (khususnya Eva, Nanik, Reni, Saidah, Nia, Hawa, Feidy, Niken) untuk semua bantuan dan kebersamaan selama menjalani hari-hari berat penyelesaian tugas akhir. Terima kasih kepada Is dad, Rodih, dan Ike yang telah bersedia membantu sebagai pembahas pada seminar tugas akhir penulis. Terima kasih juga untuk semua kakak-kakak kelas angkatan 35, 36, 37 dan adik-adik kelas angkatan 39, 4, dan 4 atas kebersamaannya selama ini. Tidak lupa ucapan terima kasih disampaikan kepada Keluarga Besar Madela (Kak Yana, Iecka, Qqonk, Tyas dan adik adikku: Lusi, Mita, Lisa, Yanah, Viny, Rini, Ade, dan Rinceu) atas canda tawa dan semangat yang diberikan kepada penulis. Semoga karya ilmiah ini dapat berm anaat bagi kita semua. Bogor, Februari 6 Novi Oktaria Ekawati DAFTAR ISI

8 7 DAFTAR GAMBAR... DAFTAR LAMPIRAN... Halaman PENDAHULUAN Latar Belakang... Tujuan... LANDASAN TEORI... PEMBAHASAN Model... 4 Titik Tetap... 6 Analisis Kestabilan Titik Tetap... 6 Kestabilan Titik Tetap T... 6 Kestabilan Titik Tetap T... 8 Kasus ag = b... 8 Kasus ag > b... Kasus ag < b... SIMPULAN... 4 DAFTAR PUSTAKA... 5 LAMPIRAN... 6 vi vi DAFTAR GAMBAR Halaman

9 8 Arah aliran maniold... 3 Skema model mangsa-pemangsa pada rantai makanan tiga spesies Kurva solusi untuk maniold tak stabil Kurva solusi untuk maniold stabil Orbit kestabilan pada bidang-xy untuk kasus ag = b Orbit kestabilan pada bidang-xz untuk kasus ag = b Orbit kestabilan pada bidang-yz untuk kasus ag = b Dinamika populasi tiga spesies untuk kasus ag = b... 9 Orbit kestabilan pada bidang-xy untuk kasus ag > b... Orbit kestabilan pada bidang-xz untuk kasus ag > b... Orbit kestabilan pada bidang-yz untuk kasus ag > b... Dinamika populasi tiga spesies untuk kasus ag > b... 3 Orbit kestabilan pada bidang-xy untuk kasus ag < b... 4 Orbit kestabilan pada bidang-xz untuk kasus ag < b... 5 Orbit kestabilan pada bidang-yz untuk kasus ag < b... 6 Dinamika populasi tiga spesies untuk kasus ag < b... 3 DAFTAR LAMPIRAN Halaman Program untuk menganalisis kestabilan titik tetap... 6 Program untuk memperoleh kurva solusi untuk menggambarkan maniold Program untuk memperoleh graik orbit populasi Program untuk memperoleh graik dinamika populasi... I. Latar Belakang I. PENDAHULUAN

10 9 Pada umumnya, dalam kehidupan nyata terdapat interaksi antar spesies dalam suatu ekosistem, sehingga keadaan populasi suatu spesies akan berbeda tanpa hadirnya spesies - spesies lain yang berinteraksi. Interaksi antar spesies tersebut dapat memberikan dampak positi, negati, atau bahkan tidak berpengaruh bagi spesies-spesies yang berinteraksi. Model interaksi pemangsaan atau model mangsapemangsa sederhana yang telah banyak dikenal adalah model Lotka-Volterra. Salah satu contoh interaksi antar spesies yang dapat memberikan pengaruh terhadap spesies-spesiesnya adalah model rantai makanan. Tulisan ini akan membahas tentang proses pemangsaan dalam suatu rantai makanan tiga spesies dengan mengambil ekosistem sederhana. Rantai makanan merupakan kelompok organisme yang disusun menurut urutan tertentu untuk memperlihatkan bagaimana organisme mendapatkan makanan dan energi dari organisme sebelumnya, kemudian organisme tersebut dimakan sebagai sumber energi bagi organisme sesudahnya. Dalam suatu rantai makanan biasanya terdapat tiga atau empat organisme. Organisme pertama adalah tumbuhan yang memperoleh makanan dari senyawa-senyawa anorganik. Organisme kedua adalah organisme pemakan tumbuhan, atau disebut juga herbivora. Sedangkan organisme ketiga adalah organisme pemakan herbivora, atau disebut juga karnivora. Kemudian organisme keempat adalah karnivora pemakan karnivora lain yang lebih kecil. Salah satu contoh rantai makanan adalah: rumput insekta burung-ular. Dari proses pemangsaan yang dibahas dalam tulisan ini, akan ditinjau suatu model matematika sederhana yang melibatkan tiga komponen pada suatu rantai makanan. Model mangsa-pemangsa yang dibahas adalah model interaksi pemangsaan antar tiga spesies dalam suatu rantai makanan. Model tersebut terdiri dari tiga level spesies, yaitu spesies x pada level pertama berperan sebagai mangsa bagi spesies y pada level berikutnya, spesies y ini bertindak sebagai pemangsa terhadap spesies x namun juga berperan sebagai mangsa bagi spesies z, sedangkan spesies z pada level paling atas bertindak sebagai pemangsa terhadap spesies y. Pembahasan mengenai penentuan kestabilan titik tetap diperoleh dengan melihat nilai eigen dan vektor eigennya. Penelitianpenelitian sebelumnya mengenai analisis kestabilan pada model mangsa-pemangsa menggunakan kriteria Routh-Hurwitz, yaitu menganalisis terlebih dahulu nilai-nilai parameter agar sistemnya stabil. Namun analisis kestabilan populasi tiga spesies pada model rantai makanan ini dilakukan dengan menggunakan Teorema Maniold Pusat. Teorema Maniold Pusat ini merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menganalisis dinamika disekitar keseimbangan dari suatu sistem tak linear. Sedangkan untuk menggambarkan orbit kestabilan dan perubahan dinamika populasi dilakukan dengan menggunakan sotware Mathematica dengan program tambahan yang dapat didownload dari yaitu program DynPac. I. Tujuan Dalam tulisan ini akan dianalisis kestabilan populasi tiga spesies dari model rantai makanan serta menggambarkan orbit kestabilan dan perubahan dinamika populasi untuk perilaku parameter yang berbeda. Model matematika yang diperoleh dari proses pemangsaan pada suatu rantai makanan II. LANDASAN TEORI berupa sistem persamaan dierensial orde pertama [Chauvet, ]. Sebelum membahas

11 mengenai masalah model matematikanya, terlebih dahulu akan dibahas teori dasar sistem persamaan dierensial dan masalah kestabilannya. Misalkan diberikan suatu sistem persamaan dierensial orde pertama: dx = x& = m( x, y), dy = y & = n( x, y), () Jika ungsi m dan n kontinu bernilai real dari x dan y, dengan laju perubahan x dan y dinyatakan dengan ungsi dari x dan y sendiri serta tidak berubah terhadap waktu, maka sistem persamaan () dapat dinyatakan sebagai sistem persamaan dierensial mandiri. Sedangkan jika sistem tersebut berubah terhadap waktu maka disebut dengan sistem dinamik. Selanjutnya akan dibahas kestabilan disekitar titik tetap dari suatu sistem dinamik. Misalkan diberikan sistem persamaan dierensial (SPD) berikut dx n = x & = m( x), x R. () Suatu titik x = a yang memenuhi m ( a) = disebut titik keseimbangan atau titik tetap dari sistem () [Tu, 994]. Misalkan x* adalah titik tetap dari sistem dinamik (), dan x(t) merupakan solusi dari sistem tersebut dengan nilai awal x()=x dengan x x*. Maka titik x* dikatakan sebagai titik tetap stabil jika untuk setiap e >, terdapat r > sehingga apabila titik awal di x memenuhi x - x* < r, maka solusi x(t) memenuhi x(t) - x* < e, untuk setiap t >. Sedangkan titik x* dikatakan sebagai titik tetap tak stabil jika untuk setiap e >, terdapat r > sehingga apabila titik awal di x memenuhi x - x* < r, maka solusi x(t) memenuhi x(t) - x* = e, untuk setiap t > [Verhulst, 99]. Sistem persamaan dierensial tak linear sulit dicari solusinya. Untuk itu dilakukan pelinearan unt uk melihat perilaku solusi di sekitar titik tetapnya. Pelinearan pada sistem persamaan dierensial () dengan menggunakan perluasan deret Taylor dari m ( x) pada titik-titik tetapnya, diperoleh x = Ax + ϕ( x) dengan A = Dm( x) * &, (3) x = x m x = M m n x dan ungsi ( x) L O L m xn M m n x n x= x* (4) ϕ memenuhi lim ϕ ( ) = x x. Selanjutnya Ax pada persamaan (3) disebut pelinearan sistem tak linear dalam bentuk x& Ax. (5) Untuk menganalisis kestabilan di sekitar titik tetap dilakukan pengamatan terhadap nilai eigen dan vektor eigen. Oleh karena itu, untuk selanjutnya akan dibahas mengenai penentuan nilai eigen. Misalkan diberikan suatu matriks koeisien A berukuran n x n. Skalar? disebut sebagai suatu nilai eigen atau nilai karakteristik (characteristic value) dari matriks A jika terdapat suatu vektor tak nol x, sehingga Ax = λx. (6) Vektor x disebut vektor eige n dari matriks A. Matriks A disebut juga sebagai matriks Jacobi yang dideinisikan pada persamaan (4). Untuk memperoleh nilai eigen λ dari matriks A, maka persamaan (6) dapat ditulis sebagai ( I) x =, A λ (7) dengan I matriks identitas. Persamaan (7) mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika ( ) = det ( A λi ) = A λi = p λ. (8) Persamaan diatas disebut persamaan karakteristik dari matriks A. Secara umum kestabilan suatu titik tetap didasarkan pada kriteria berikut: ) Stabil, jika a. Re ( ) < λ i untuk setiap i. b. Terdapat Re ( ) = λ i untuk sebarang i Re λ < untuk setiap i j. dan ( ) j ) Tak stabil, jika terdapat paling sedikit satu i dimana Re ( λ i ) > [Grimshaw, 99]. Oleh karena sistem persamaan dierensial tak linear sulit dicari solusinya, sehingga dilakukan pelinearan untuk melihat perilaku solusi di sekitar titik tetapnya dengan menggambarkan bidang asenya. Misalkan bentuk umum dari medan arah bidang ase adalah x& = m ( x, x ), (9) x& = m ( x, x ),

12 dengan m dan m adalah ungsi yang diberikan. Sistem ini dapat dituliskan kembali secara ringkas dalam notasi vektor x = m( x) dengan x = ( x, x ) dan m( x) = ( m ( x) m ( x) ), &, (), x mewakili suatu titik pada bidang ase, dan x& merupakan vektor kecepatan pada titik tersebut. Dari aliran sepanjang medan arah, jejak-jejak titik ase mengikuti suatu solusi x(t) dan sesuai dengan lintasan yang melingkar melalui bidang ase. Selanjutnya, keseluruhan bidang dipenuhi dengan lintasanlintasan pada saat tiap titik memenuhi kondisi awal [Strogatz, 994]. Untuk sistem tak linear dengan dimensi tinggi, tidak lagi mudah untuk menggambarkan diagram ase dari sistemnya. Berikut akan dijelaskan mengenai aliran bidang ase pada sistem dengan dimensi tinggi. Misalkan diberikan persamaan dierensial x & = m( x). Sistem yang telah dilinearkan x & = Ax untuk ( ) At x( t, x ) = e x. Jadi x = x mempunyai solusi At e mendeinisikan suatu arah aliran φ t di R n yang disebabkan oleh medan arah Ax di R n. Himpunan dari semua solusi untuk x & = Ax terletak pada subruang linear yang direntang oleh vektor eigen: (i) subruang stabil E s span { v, v, K, v } n (ii) subruang takstabil E u span { u, u, K, u n } (iii) subruang pusat E c span { w, w, K, w } n dengan E s, E u, E c secara berurutan adalah subruang yang direntang oleh vektor eigen stabil sebanyak n s yang bersesuaian dengan nilai eigen sebanyak n s yang bernilai negati pada bagian realnya; vektor eigen sebanyak n u yang bersesuaian dengan nilai eigen sebanyak n u yang bernilai positi pada bagian realnya; dan vektor eigen sebanyak n c yang bersesuaian dengan nilai eigen sebanyak n c yang bernilai nol pada bagian realnya. Dengan demikian, n + n + n n [Tu, 994]. s u c = Salah satu metode yang dapat digunakan dalam analisis kestabilan suatu populasi adalah metode Maniold Pusat. Secara umum metode ini memisahkan perilaku asimtot yang rumit dengan menempatkan suatu maniold yang invarian terhadap garis singgung pada subruang yang direntang oleh ruang eigen dari nilai eigen yang bersesuaian. Untuk menjelaskan masalah maniold ini, perhatikan dua teorema berikut: Teorema Maniold Stabil Misalkan E merupakan himpunan bagian terbuka dari R n, dan C ( E) yaitu ungsi kontinu pada ruang yang terdierens ialkan pertama, kemudian misalkan φ t merupakan aliran dari sistem taklinear. Misalkan bahwa () = dan D() mempunyai k nilai eigen yang bagian realnya bernilai negati dan n-k nilai eigen yang bagian realnya bernilai positi. Maka terdapat suatu maniold S k- dimensi yang terdierensialkan dan bersinggungan dengan subruang stabil E s dari sistem linear pada, sehingga untuk setiap x S, t, ( S) S φ t dan untuk setiap ( x ) lim φ = t t ; dan terdapat suatu maniold U (n-k)-dimensi yang terdierensialkan dan bersinggungan dengan subruang tak stabil E dari sistem linear pada, sehingga untuk setiap t, ( U ) U φ t dan untuk setiap x U ( x ) u, lim φ t t =. [Perko, 99] Teorema Maniold Pusat Misalkan C r (E) dengan E merupakan himpunan bagian terbuka dari R n yang memuat r. Misalkan () = dan D() mempunyai k nilai eigen yang bagian realnya bernilai negati, j nilai eigen yang bagian realnya bernilai positi, dan m=n-k-j nilai eigen yang bagian realnya bernilai nol. Maka terdapat suatu maniold pusat W c () m-dimensi dari C r yang bersinggungan dengan subruang pusat E c dari sistemnya di yang invarian pada aliran solusi φ t. [Perko, 99] Berikut ini merupakan ilustrasi dari maniold beserta arah alirannya yang diproyeksikan dalan suatu ruang dimensi tiga, terdiri dari ilustrasi maniold stabil, maniold tak stabil, dan maniold pusat.

13 Gambar. Arah aliran maniold [Guckenheimer/Holmes, 983] Untuk melihat arah aliran dari suatu kurva solusi yang dapat mengilustrasikan suatu maniold, dapat digunakan suatu teorema dasar kalkulus yaitu sebagai berikut: Teorema Kemonotonan Andaikan m kontinu pada selang L dan dapat terdierensialkan pada setiap titik dalam dari L. (i). Jika m (x)> untuk semua titik di dalam x dari L, maka m naik pada L. (ii). Jika m (x)< untuk sem ua titik di dalam x dari L, maka m turun pada L [Purcell, 995]. Pada bidang koordinat akan diperlihatkan bahwa setiap bidang pada koordinat adalah invarian terhadap persamaan dierensialnya. Secara umum, suatu permukaan S adalah invarian terhadap suatu sistem persamaan dierensial jika setiap solusi yang ada pada S tidak keluar dari S. Siat -siat dari invarian bidang koordinat sesuai dengan pemikiran secara biologis, karena jika beberapa spesies punah maka tidak akan muncul kembali. Pada beberapa buku, permukaan invarian S sering diberikan sebagai level himpunan dari suatu ungsi G ( x y, z) u E,, yang dinyatakan dengan suatu integral pertama dari sistem persamaan dierensialnya. Teorema Andaikan S merupakan suatu permukaan tertutup yang rata tanpa batas di R 3 dan W u dx = m( x, y, z), dy = n( x, y, z), s E W c W s c E dz = h( x, y, z), () dengan m, n, dan h terdierensialkan. Misalkan bahwa n adalah suatu vektor normal terhadap permukaan S pada ( x y, z) untuk setiap ( x y, z) S,, dan, diperoleh bahwa dx dy dz n,, =. Maka S merupakan invarian terhadap sistem persamaan () [Chauvet, ]. Analisis kestabilan di sekitar titik tetap dari sistem persamaan dierensial pada model didasarkan pada nilai eigen dan vektor eigen. Nilai eigen yang dihasilkan dari matriks Jacobi J ( x, y, z ) memberikan inormasi tentang dinamika disekitar keseimbangan dari sistemnya. Jika semua nilai eigen yang diperoleh bernilai negati pada bagian realnya maka ( x, y, z ) bersiat stabil asimtot. Sedangkan jika setiap nilai eigen yang diperoleh bernilai positi pada bagian realnya maka ( x, y, z ) bersiat tak stabil asimtot. Teorema Maniold Pusat merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menganalisis dinamika di sekitar titik tetap dari suatu sistem tak linear seperti pada kasus yang akan dibahas selanjutnya. Teorema Maniold Pusat menyatakan bahwa ada kaitan bila terjadi keseimbangan pada ( x, y, z ) maka terdapat himpunan invarian yang memuat ( x, y, z ), yaitu maniold stabil, maniold tak stabil, dan maniold pusat. Dimensi dari himpunan tersebut merupakan jumlah nilai eigen pada matriks jacobi J ( x, y, z ) yang dapat bernilai negati, positi, maupun bernilai nol pada bagian realnya. Selain itu, setiap maniold yang bersinggungan dengan bidang real direntang oleh vektor eigen yang bersesuaian dengan maniold. Pada maniold stabil semua trayektori membentang kearah titik tetap, sedangkan pada maniold tak stabil semua trayektori membentang menjauhi titik tetap [Chauvet, ].

14 3 III. PEMBAHASAN III. Model Model mangsa-pemangsa yang dibahas adalah modiikasi dari model Lotka-Volterra pada suatu rantai makanan yang terdiri dari tiga spesies, yaitu mangsa x pada level paling bawah dimangsa oleh pemangsa y diatasnya pada level kedua dan spesies y dimangsa oleh pemangsa z pada level paling atas. Contoh rantai makanan sederhana yang dibahas dalam tulisan ini adalah: tumbuhan-tikus-ular. Model mangsa-pemangsa klasik yang telah banyak dikenal adalah model Lotka-Volterra untuk dua spesies, yaitu dx = ax bxy, () dy = cy + dxy. (3) Sedangkan model rantai makanan tiga spesies yang akan dibahas dalam tulisan ini merupakan modiikasi dari model Lotka- Volterra diatas yang telah banyak dikenal. Untuk memperoleh model matematika dari rantai makanan tiga spesies ini, dilakukan modiikasi model diatas dengan menambah satu persamaan untuk populasi spesies ketiga dan mengkonstruksi beberapa asumsi. Pada suatu rantai makanan setiap spesies merupakan mangsa bagi spesies lain pada level diatasnya, dan minimum rantai makanan terdiri dari tiga spesies. Secara skematik, diagram ormulasi model rantai makanan tiga spesies dapat dilihat pada gambar. Misalkan x menyatakan banyaknya spesies sebagai mangsa di level pertama pada waktu t, y menyatakan banyaknya spesies sebagai pemangsa di level kedua pada waktu t, dan z menyatakan banyaknya spesies juga sebagai pemangsa di level paling atas pada waktu t. a b e x y z c d Gambar. Skema model mangsa-pemangsa pada rantai makanan tiga spesies g Berdasarkan gambar, perubahan laju populasi spesies x dipengaruhi oleh tingkat reproduksi yaitu laju pertumbuhan alami spesies tersebut. Kemudian terjadi proses pemangsaan terhadap spesies x oleh spesies y, sehingga eek yang ditimbulkan dari pemangsaan tersebut akan mempengaruhi laju populasi spesies x. Perubahan laju populasi spesies y dipengaruhi oleh laju kematian alami yang terjadi tanpa kehadiran spesies x sebagai mangsanya. Laju pemangsaan spesies y terhadap spesies x juga bergantung pada kontak atau bertemunya antara mangsa dan pemangsa. Kemudian terjadi proses pemangsaan terhadap spesies y oleh spesies z pada level paling atas, sehingga eek yang ditimbulkan dari pemangsaan tersebut juga akan mempengaruhi laju populasi spesies y. Sedangkan perubahan laju populasi spesies z dipengaruhi oleh laju kematian alami yang terjadi tanpa kehadiran spesies y sebagai mangsanya. Kemudian kontak atau peluang bertemunya spesies y dengan spesies z akan mempengaruhi laju pemangsaannya. Pada skema model di atas digunakan model inluence, garis putus-putus pada parameter d mengilustrasikan bahwa paramet er d yaitu laju penyebaran spesies y sebagai pemangsa bagi spesies x dipengaruhi oleh x dan y, karena parameter d dapat menunjang eisiensi pemangsaan dari spesies y terhadap spesies x. Model skema di atas mengilustrasikan bahwa dari spesies yang dimangsa pada level sebelumnya kemudian timbul eek yang dapat mempengaruhi pertumbuhan spesies pemangsa meningkat, misalnya mengakibatkan kesehatan bagi pemangsa sehingga berdampak positi bagi kelangsungan hidupnya. Konstruksi model matematika untuk rantai makanan tiga spesies ini menggunakan asumsi: (i) Laju pertumbuhan dari populasi mangsa sebanding dengan laju pertumbuhan alamiah. (ii) Laju pemangsaan proporsional dengan laju perjumpaan antara pemangsa dengan mangsa. (iii) Eisiensi pemangsaan tidak tergantung umur mangsa dan umur pemangsa. (iv) Kontak antara mangsa dan pemangsa berlangsung secara acak. Setiap individu mangsa memiliki peluang yang sama untuk dimangsa.

15 4 Dengan demikian model mangsapemangsa untuk rantai makanan tiga spesies dalam kasus ini dapat dimodelkan seperti pada model yang disusun oleh Chauvet, sebagai berikut: dx = ax bxy, (4) dy = cy + dxy eyz, (5) dz = z + gyz, (6) dengan a, b, c, d, e,, g >, {( x, y, z) x, y, z } R 3, x(t) : jumlah populasi spesies x pada level pertama, y(t) : jumlah populasi spesies y pada level kedua, z(t) : jumlah populasi spesies z pada level ketiga, a : laju pertumbuhan alami spesies x tanpa kehadiran spesies y, b : eek pemangsaan terhadap spesies x oleh spesies y, c : laju kematian alami spesies y tanpa kehadiran spesies x, d : laju penyebaran spesies y, e : eek pemangsaan terhadap spesies y oleh spesies z, : laju kematian alami spesies z, g : laju penyebaran spesies z. Selanjutnya akan diturunkan titik tetap untuk model (4), (5), dan (6) yang kemudian akan dibahas analisis kestabilan di sekitar titik tetap tersebut serta dinamika populasinya. Titik tetap yang telah diperoleh akan dilanjutkan dengan proses pelinearan, sehingga dari nilai eigen yang dihasilkan dapat dilakukan analisis kestabilan dengan menggunakan Teorema Maniold Pusat. Sedangkan untuk menggambarkan orbit kestabilan dan dinamika populasi yang terjadi pada model digunakan bantuan sotware Mathematica. III. Titik Tetap Analisis sistem persamaan dierensial sering digunakan untuk menentukan solusi yang tidak berubah terhadap waktu, yaitu untuk tiap dx / =, dy / =, dan dz / =. Titik tetap ( x y, z ), dari sistem persamaan (4), (5), dan (6) dapat diperoleh dx dy dengan menentukan =, =, dan dz =, sehingga menurut persamaan tersebut diperoleh: x a by =, (7) ( ) ( c + dx ez) = ( + gy) = y, (8) z. (9) Dari persamaan (7), (8), dan (9) diperoleh titik tetap sebagai berikut:,, T = ( ) T = c a,, d b c T 3 =,,. g e Untuk titik tetap T 3, terlihat bahwa z bernilai negati. Hal ini tidak bersesuaian dengan asumsi bahwa jumlah populasi pemangsa z pada level paling atas bernilai positi, sedangkan dalam kehidupan nyata populasi seperti ini tidak ditemukan. Sehingga titik tetap yang akan dibahas ada dua, yaitu T dan T. III.3 Analisis Kestabilan Titik Tetap Untuk melihat perilaku solusi di sekitar titik tetap, maka akan dilakukan pelinearan pada persamaan model yang merupakan persamaan dierensial tak linear. Misalkan sistem persamaan (4), (5), dan (6) dituliskan sebagai berikut: ( x, y, z) = ax bxy () g( x, y, z) = cy+ dxy eyz () h ( x, y, z) = z + gyz. () Dengan melakukan pelinearan pada sistem persamaan di atas, maka diperoleh matriks Jacobi: x y z a a a g g g 3 J = = a a a x y z 3 a a a h h h x y z (3) a by bx J = dy c + dx ez ey. gz + gy (4) Selanjutnya untuk menganalisis kestabilan pada masing-masing titik tetap akan

16 5 digunakan Teorema Maniold Pusat. Analisis ini dapat juga dilakukan dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz, yaitu menentukan nilai parameter berdasarkan kriteria yang ada agar sistemnya stabil. Namun untuk sistem pada kasus ini dari kriteria Routh-Hurwitz menghasilkan parameter yang tidak bersesuaian dengan asumsi awal, sehingga sistemnya dapat dikatakan cenderung tidak stabil. Untuk itu analisis ini akan dibahas dengan menggunakan metode Maniold. Kestabilan Titik Tetap T Pelinearan sistem persamaan dierensial pada titik tetap T = (,,) akan menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut: a J = c Untuk memperoleh nilai eigen, digunakan persamaan karakteristik: det (J? I) = a λ c λ λ c λ λ = ( a λ )( )( ) = sehingga diperoleh nilai eigen matriks J yaitu λ = a, λ = c, dan λ =. Karena a, c, >, maka λ >, λ <, dan λ 3 <. Agar titik tetap T bersiat stabil, maka ketiga nilai eigennya harus bernilai negati. Karena terdapat nilai eigen yang bagian realnya bernilai positi yaitu a, dapat disimpulkan bahwa T bukan titik tetap yang bersiat stabil asimtot. Menurut Teorema Maniold Pusat, nilai eigen positi ini memiliki maniold tak stabil -dimensi yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut dan menyinggung vektor (,,) pada titik tetap (,,). Kemudian terdapat maniold stabil -dimensi yang bersiat invarian bersesuaian dengan dua nilai eigen yang bernilai negati, yaitu permukaan invarian yang melalui (,,). Setiap solusi bergerak menuju titik tetap (,,) dan menyinggung bidang yang direntang vektor eigen (,,) dan (,,). Dari hasil analisis T eorema Maniold Pusat, kestabilan pada kondisi keseimbangan dapat diperoleh, yaitu maniold tak stabil -dimensi pada sumbu x dan maniold stabil -dimensi pada bidang-yz. Untuk menunjukkan maniold yang telah diperoleh, 3 maka diperlukan ilustrasi kurva solusi dari sistemnya sehingga dapat dilihat bentuk solusi dan arah alirannya. Untuk memperoleh kurva solusi pada sumbu x yang dapat menggambarkan maniold tak stabil, maka akan dimisalkan spesies y yaitu pemangsa pada level kedua bernilai nol ( y = ), sehingga sistem persamaan mangsapemangsa menjadi sebagai berikut : dx = ax dy = dz = z. Trayektori pada bidang-xz dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan dierensial terpisahkan berikut: dz dz dx z = =. dx ax Dengan mengintegralkan kedua ruas, yaitu ruas paling kiri dan ruas paling kanan diperoleh dz dx = z ax ln z e lnx a+ k = e x a z = k Sehingga diperoleh solusi : / a z = Kx dengan K = k Dengan mengambil contoh nilai parameter a =.8, =.8, dan nilai K yang bervariasi, maka diperoleh kurva solusi yang dapat menggambarkan maniold tak stabil. z T.5.5 x Gambar 3. Kurva solusi untuk maniold tak stabil

17 6 Berdasarkan gambar 3 dapat dilihat bahwa kurva di atas mempunyai arah aliran menjauhi titik tetap T menuju sumbu x dari arah sumbu z. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa kurva tersebut bersiat tak stabil. Untuk memperoleh kurva solusi pada bidang-yz yang dapat menggambarkan maniold stabil, maka akan dimisalkan spesies x yaitu mangsa pada level paling bawah bernilai nol ( x = ), sehingga sistem persamaan mangsa-pemangsa menjadi sebagai berikut: dx = dy = cy eyz dz = z + gyz Trayektori pada bidang-yz dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan dierensial terpisahkan berikut: dz dz dy z( + gy) = = dy y( c ez ) Dengan mengintegralkan kedua ruas, yaitu ruas paling kiri dan ruas paling kanan diperoleh ( c ez ) ( + gy ) z dz = c ln z ez = ln y + gy + K dengan K merupakan kostanta pengintegral. Dari proses pengintegralan diatas diperoleh solusi yang merupakan ungsi implisit. Kemudian dengan mengambil contoh nilai parameter c =.8, e =.8, =.8, g =.8 dan nilai K yang bervariasi, maka diperoleh kurva solusi yang dapat menggambarkan maniold stabil. z z T Gambar 4. Kurva solusi untuk maniold stabil Berdasarkan gambar 4 dapat dilihat bahwa kurva di atas mempunyai arah aliran mendekati titik tetap T dari arah sumbu y. y dy y Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa kurva tersebut bersiat stabil. Kestabilan Titik Tetap T Pelinearan sistem persamaan dierensial c a pada titik tetap T =,, akan d b menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut: bc d da ae J =. b b ga + b Untuk memperoleh nilai eigen, digunakan persamaan karakteristik: det ( J? I) = λ da b bc d λ ae b ga + λ b = 3 ag ag λ λ + acλ ac = b b diperoleh nilai eigen untuk matriks J adalah ag b λ = i ac, λ = i ac, λ 3 =. b Pada saat terjadi keseimbangan ( / d, a / b,) ( ag b ) / b c, diperoleh nilai eigen dan dua bilangan imajiner yaitu ± ac i. Untuk ag = b, dari matriks Jacobi akan diperoleh ketiga nilai eigen bernilai nol pada bagian realnya. Dengan demikian menurut Teorema Maniold Pusat, terdapat maniold pusat 3-dimensi yang bersesuaian dengan ketiga nilai eigen tersebut. Sedangkan untuk ag b, menurut Teorema Maniold Pusat dapat disimpulkan bahwa nilai eigen ( ag b ) / b bersesuaian dengan kurva invarian -dim ensi yang menyinggung vektor eigennya pada titik tetap ( / d, a / b,) c. Kurva ini stabil jika ag b < dan tak stabil jika ag b >. Bersesuaian dengan nilai eigen yang bagian realnya bernilai nol, terdapat maniold p usat -dimensi yang bersiat invarian melalui ( c / d, a / b,) dan menyinggung subruang real -dimensi yaitu bidang-xy.

18 7 Perilaku parameter yang berbeda pada titik tetap T ini memberikan pengaruh bagi kestabilan populasi untuk ketiga spesies yang berinteraksi. Sehingga berikutnya akan dibahas perilaku solusi disekitar titik tetapnya yang dikelompokkan menjadi tiga kasus yang berbeda. Untuk melihat perilaku solusinya kemudian akan diperlihatkan dengan menggambarkan graik orbit kestabilan dari ketiga spesies tersebut. Dalam hal ini parameter yang diambil untuk dibahas adalah a, g, b, dan dengan menggunakan penyelesaian secara numerik. Penentuan nilai parameternya dipilih sedemikian sehingga untuk nilai parameter g yang berubah-ubah telah dapat memperlihatkan tiga kelompok kasus yang berbeda. Berikut akan diberikan tabel nilai parameter yang digunakan untuk ketiga kasus: Tabel. nilai-nilai parameter yang digunakan Kasus ag = b Kasus ag > b Kasus ag < b Kasus ag = b a b c d e g Pemetaan trayektori dengan menggunakan penyelesaian secara numerik menunjukkan bahwa sistemnya memuat suatu permukaan / a invarian, yaitu permukaan z = Kx. Untuk menunjukkan bahwa permukaan tersebut merupakan invarian terhadap sistemnya, maka diperlukan suatu proposisi berikut: Proposisi Misalkan ag = b. Suatu permukaan / a dideinisikan oleh z = Kx merupakan invarian terhadap sistem persamaan (4), (5), dan (6). Bukti : Vektor n ( / ) ( ) + a = K / a x,, selalu / a normal terhadap Kx + z =. n. dx dy dz,, = = K x a a,, ax bxy, cy+ dxy eyz, z + gyz a ( ax bxy ) K x z + gyz b = g Kx a a / a y = / a Jadi, permukaan z = Kx adalah invarian terhadap sistemnya. Selanjutnya karena permukaan / a z = Kx merupakan invarian, sehingga secara implisit akan diselesaikan persamaan dierensial pada setiap permukaan. Untuk K / a tetap dan z = Kx, sistem persamaan (4), (5), dan (6) menjadi sebagai berikut: dx = ax bxy a dy = cy + dxy eykx Kemudian dengan menyelesaikan persamaan dierensial terpisahkan, sehingga diperoleh / a ( c + dx ekx ) dy dy dx y = = dx x( a by) Dengan mengintegralkan kedua ruas, yaitu ruas paling kiri dan ruas paling kanan diperoleh / a ( a by) ( c + dx ekx ) dy = dx y eak / a a ln y by = c ln x + dx + x + C Selanjutnya dari penyelesaian diatas, diperoleh solusi berupa ungsi implisit sebagai berikut: eak / a a ln y by + c ln x dx x = C Dengan menggunakan nilai parameter seperti pada tabel, diperoleh graik solusi dan graik dinamika populasi untuk kasus nilai parameter ag = b sebagai berikut: x

19 y 3 4 Gambar 5. Orbit kestabilan pada bidang-xy.5.5 z 3 4 Gambar 6. Orbit kestabilan pada bidang-xz.5.5 z Gambar 7. Orbit kestabilan pada bidang-yz Pada gambar di atas terlihat bahwa orbit kestabilan -dimensi pada kasus ag = b ini merupakan solusi periodik yang terus - menerus berosilasi dan cenderung tertutup. Hal ini menunjukkan bahwa pertumbuhan populasi pada ketiga spesies tersebut saling proporsional, artinya tidak ada populasi suatu spesies yang pertumbuhannya meningkat tajam maupun populasi yang pertumbuhannya menurun drastis. Berdasarkan perilaku parameter yang diamati, pada kasus ini laju pertumbuhan alami spesies x sebanding dengan eek pemangsaan terhadap spesies x oleh spesies y. Hal ini akan memberikan pengaruh positi bagi pertumbuhan populasi spesies z pada level paling atas, yaitu keseimbangan populasi spesies y sebagai sumber makanan dapat menunjang pertumbuhan populasi spesies z. Maka x x y ilustrasi diatas dapat disimpulkan bahwa untuk kasus nilai parameter ag = b, interaksi pemangsaan antar ketiga spesies menghasilkan siklus rantai makanan yang terus akan berlangsung secara seimbang sehingga tidak ada spesies yang akan punah. Berikut akan diperlihatkan graik perubahan dinamika populasi untuk ketiga spesies pada kasus ag = b. x,y,z t Gambar 8. Dinamika populasi tiga spesies dengan nilai awal x [ ] =. 5, y [ ] =, z [ ] = Pada gambar di atas dengan menggunakan nilai awal x [ ] =. 5, y [ ] =, dan z [ ] =, terlihat bahwa secara biologis ketiga spesies dapat bertahan hidup dan mempunyai jumlah populasi yang berubahubah secara periodik sepanjang waktu pada periode yang sama. Pada graik tersebut terlihat pula posisi relati dari titik stasioner ketiga spesies, yaitu puncak tertinggi menyatakan populasi spesies x pada level pertama, kemudian berikutnya diikuti oleh populasi spesies y pada level kedua, dan puncak yang paling rendah menyatakan populasi spesies z pada level paling atas. Hal tersebut disebabkan oleh saling bergantungnya spesies pada level berikutnya terhadap jumlah populasi spesies pada level sebelumnya sebagai sumber makanannya. Misalnya kelangsungan hidup spesies y dipengaruhi oleh jumlah populasi spesies x sebagai mangsanya, begitu pula yang terjadi pada kelangsungan hidup spesies z dipengaruhi oleh jumlah populasi spesies y sebagai mangsanya. Kasus ag > b z(t) x(t) y(t) Dengan menggunakan nilai parameter seperti diperlihatkan pada tabel, diperoleh graik solusi dan graik dinamika populasi untuk kasus nilai parameter ag > b sebagai berikut:

20 y P Gambar 9. Orbit kestabilan pada bidang-xy z P Gambar. Orbit kestabilan p ada bidang-xz z Q Gambar. Orbit kestabilan pada bidang-yz Pada gambar di atas dengan menggunakan nilai awal x [ ] =. 5, y [ ] =, dan z [ ] =, terlihat bahwa orbit kestabilan populasi ketiga spesies berawal dari titik x, y z dengan arah ke atas menuju titik P ( ), Q, sehingga membentuk spiral tak stabil. Untuk menunjukkan bahwa solusinya bergerak ke atas melintasi permukaan / a z = Kx dari nilai terbesar K sampai nilai terendah untuk K diperlukan suatu proposisi berikut: Proposisi Misalkan P Q Q / a ag > b dan F( x, y, z) = zx. Kemudian untuk tiap solusi ( x ( t), y( t), z( t) ) dari persamaan (4), (5), dan (6) di R 3 + diperoleh x x y d F Bukti: d F x t, y t, z t = F = zx a ( ( ) ( ) ( )) ( x( t), y( t), z( t) ) >. ( x( t), y( t), z( t) ) x' ( t), y' ( t), z' ( t) a b a = g yzx a a ( ax bxy) + x ( z + gyz ) > Proposisi diatas menunjukkan bahwa semua trayektori berawal di R 3 + dan bergerak / a = Kx, yaitu z ( t) ke atas permukaan z mendekati + ketika t. Namun proposisi tersebut tidak cukup dapat menyimpulkan hal diatas, sehingga diperlukan juga suatu proposisi yang dapat menunjukkan bahwa orbitnya bergerak ke atas dari permukaan pada bidang-xy, yaitu sebagai berikut: Proposisi 3 Misalkan ag > b dan G ( x, y, z) = by a ln y + dx c ln x + aez/. Kemudian untuk tiap solusi ( x ( t), y( t), z( t) ) dari persamaan (4), (5), dan (6) di R 3 + diperoleh d G( x( t), y( t), z( t) ) >. Bukti: d G( x( t), y( t), z( t) ) = G x t, y t, z t = ( ( ) ( ) ( )) x' ( t), y' ( t), z' ( t) ( d c / x)( ax bxy) + ( b a / y) ( cy + dxy eyz) + ( ae/ )( z + gyz) ag = eyz b > Sedangkan untuk graik dinamika populasinya cenderung bersiat divergen. Hal ini menunjukan bahwa terdapat spesies yang populasinya cenderung meningkat, yaitu spesies x dan spesies z seperti terlihat pada graik dinamika populasinya. Berikut akan diperlihatkan graik perubahan dinamika populasi untuk ketiga spesies pada kasus ag > b.

21 x,y,z 5 4 z(t) x(t) z.5 P 3 y(t) t x Gambar. Dinamika populasi tiga spesies dengan nilai awal x [ ] =. 5, y [ ] =, z [ ] = Pada gambar di atas terlihat dari hasil pengamatan perilaku parameter b dan, bahwa spesies z dapat terus bertahan selama populasi spesies x masih ada, sehingga dapat disimpulkan tidak ada spesies yang akan punah selama populasi spesies x masih bertahan. Hal ini menyatakan secara tidak langsung bahwa populasi dari spesies x dan z cenderung menuju +, walaupun tidak secara monoton, saat populasi spesies y melalui luktuasi yang cukup besar. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa spesies y berperan sebagai penyalur makanan atau perantara antara spesies x dan z dalam siklus rantai makanan tersebut. Kasus ag < b Dengan menggunakan nilai parameter seperti diperlihatkan pada tabel, diperoleh graik solusi dan graik dinamika populasi untuk kasus nilai parameter ag < b sebagai berikut: y P 3 4 Gambar 3. Orbit kestabilan pada bidang-xy x Gambar 4. Orbit kestabilan pada bidang-xz.5.5 z y Gambar 5. Orbit kestabilan pada bidang-yz Pada gambar di atas dengan menggunakan nilai awal x [ ] =. 5, y [ ] =, dan z [ ] =, terlihat bahwa orbit kestabilan populasi ketiga spesies berawal dari titik P ( x, y, z) dengan arah masuk menuju arah osilasi pada bidang-xy, kemudian terusmenerus berosilasi pada batas titik tertentu. Seperti terlihat pada gambar bahwa orbit tersebut berbentuk spiral dengan arah turun menuju bidang-xy dan cenderung ke arah solusi periodik, sehingga dapat dikatakan bahwa orbit kestabilannya merupakan spiral stabil. Untuk menunjukkan bahwa solusinya bergerak ke bawah melintasi permukaan / a z = Kx dari nilai terbesar K sampai nilai terendah untuk K diperlukan suatu proposisi berikut: Proposisi 4 Misalkan P / a ag < b dan F( x, y, z) = zx. Kemudian untuk tiap solusi ( x ( t), y( t), z( t) ) dari persamaan (4), (5), dan (6) di R 3 + diperoleh d F( x( t), y( t), z( t) ) <.

22 Bukti : d F = F = zx a ( x( t), y( t), z( t) ) ( x( t), y( t), z( t) ) x' ( t), y' ( t), z' ( t) a b a = g yzx a a ( ax bxy) + x ( z + gyz ) < Proposisi diatas menunjukkan bahwa solusi bergerak turun melintasi permukaan / a dari ungsi F, yaitu K = zx. Namun, bagaimanapun juga proposisi tersebut tidak cukup dapat menyimpulkan bahwa semua solusi akan mendekati bidang z =, karena / a permukaan z = Kx cenderung menuju ke arah gabungan dari bidang koordinat z = dan x = ketika K. Proposisi 5 Misalkan ag < b dan G ( x, y, z) = by a ln y + dx c ln x + aez/. Kemudian untuk tiap solusi ( x ( t), y( t), z( t) ) dari persamaan (4), (5), dan (6) di R 3 + diperoleh d G( x( t), y( t), z( t) ) <. Bukti: d G( x( t), y( t), z( t) ) = G x t, y t, z t = ( ( ) ( ) ( )) x' ( t), y' ( t), z' ( t) ( d c / x)( ax bxy) + ( b a / y) ( cy + dxy eyz) + ( ae/ )( z + gyz) ag = eyz b < Proposisi diatas menyatakan secara tidak langsung bahwa solusinya bergerak kebawah pada tingkat permukaan dari G bersamaan dengan bertambahnya waktu. Pada khususnya, solusi berawal dari titik awal x, y z pada saat t kemudian tidak ( ), dapat lagi bergerak ke suatu daerah di R 3 + dimana ( x, y, z) G( x, y z ) G., Lebih lanjut, karena bidang-xy adalah invarian, solusi akan tertahan pada daerah yang berbatas di bawah oleh bidang-xy dan di atas oleh permukaan by a ln y + dx c ln x + aez / = G ( x, y, z ) untuk semua t > t. Dengan demikian, kedua proposisi diatas dapat menunjukkan bahwa untuk ag < b, semua trayektori bermula di R 3 + dan cenderung menuju bidang z =. Karena pada kasus ini nilai parameter ag < b dapat membawa pengaruh yang bersiat negati bagi kelangsungan hidup spesies z, sehingga untuk nilai z tertentu yaitu pada saat z mendekati nol orbit kestabilannya akan membentuk suatu osilasi pada bidang-xy. Hal ini menunjukan bahwa pada dinamika populasinya untuk jangka waktu yang panjang terdapat populasi suatu spesies yang akan mengalami kepunahan, yaitu spesies z. Pada saat jumlah populasi spesies z mendekati nol atau mendekati kepunahan, maka akan terjedi siklus pemangsaan yang seimbang antara spesies x dan spesies y. Berikut akan diperlihatkan graik perubahan dinamika populasi untuk ketiga spesies pada kasus ag < b. x,y,z t z(t) y(t) x(t) Gambar 6. Dinamika populasi tiga spesies dengan nilai awal x [ ] =. 5, y [ ] =, z [ ] = Pada gambar di atas terlihat bahwa pada awal periode ketiga spesies saling berosilasi hingga pada periode waktu tertentu yaitu pada saat t = spesies z berluktuasi turun hingga mendekati titik nol, sedangkan spesies x dan y terus berosilasi secara periodik. Secara biologis, hal tersebut menyatakan secara tidak langsung bahwa populasi spesies z sebagai pemangsa pada level paling atas akan cenderung mendekati kepunahan, saat spesies x dan y cenderung memperlihatkan perilaku periodik dari sistem mangsa-pemangsa pada saat ketidakhadiran dari spesies z. Berdasarkan perilaku parameter yang diamati yaitu untuk b dan, bahwa pada kasus ketiga ini eek pemangsaan terhadap spesies x oleh spesies y dan laju kematian alami spesies z lebih besar dibandingkan dengan laju eisiensi dan penyebaran spesies z. Maka dapat disimpulkan

23 bahwa ilustrasi diatas menyebabkan semakin menurunnya kelangsungan hidup populasi spesies z hingga dapat mengakibatkan kepunahan. Dari ketiga kasus yang telah dibahas diatas, dengan mengambil contoh nilai parameter yang berbeda dapat diketahui bagaimana pengaruhnya dan perubahan yang terjadi terhadap kelangsungan hidup ketiga spesies tersebut. Untuk kasus yang pertama yaitu ag = b menghasilka n siklus rantai makanan yang seimbang antar ketiga spesies tersebut sehingga tidak terdapat kemungkinan salah satu spesiesnya akan punah. Sedangkan untuk kasus kedua yaitu ag > b, dapat dikatakan bahwa meningkatnya populasi spesies x membawa pengaruh yang penting bagi kelangsungan hidup spesies-spesies pada level diatasnya untuk menunjang siklus rantai makanan antara ketiganya agar tetap berlangsung. Kemudian untuk kasus yang terakhir yaitu ag < b, pengaruh dari nilai param eter tersebut membawa dampak bagi kelangsungan hidup spesies z sehingga pada jangka waktu tertentu spesies z akan mengalami kepunahan.

24 3 IV. SIMPULAN Rantai makanan merupakan salah satu contoh interaksi pemangsaan antar spesies dalam suatu ekosistem yang dapat memberikan dampak negati bagi spesies - spesies yang berinteraksi. Hal tersebut dapat memberikan pengaruh bagi kestabilan populasinya. Analisis kestabilan populasi pada rantai makanan tiga spesies dilakukan dengan menggunakan Teorema Maniold Pusat dengan terlebih dahulu menentukan titik tetapnya sebagai kondisi keseimbangan dari sistemnya. Dari hasil analisis dengan menggunakan penyelesaian secara numerik kemudian diperoleh graik untuk mengetahui orbit kestabilan serta perubahan dinamika populasi terhadap perilaku parameter yang berbeda. Secara keseluruhan kelangsungan hidup spesies z sebagai pemangsa pada level paling atas bergantung pada parameter a, b,, dan g. Jika ag < b maka spesies z akan mati, sedangkan jika ag b maka spesies z akan dapat mempertahankan hidupnya. Seiring dengan waktu semakin besar nilai parameter a dan g secara eksplisit akan menguntungkan bagi spesies z, sebaliknya semakin besar nilai parameter b dan akan dapat mengh ambat spesies z. Sedangkan parameter secara langsung berhubungan dengan spesies y adalah c, d, e dan sama sekali tidak mempengaruhi ketika spesies z akan punah atau tetap bertahan. Akibatnya, dapat dikatakan bahwa spesies y hanya bertindak sebagai penyalur atau perantara antara spesies x dan z. Dengan demikian, dari hasil analisis graik yang diperoleh melalui metode numerik dapat diprediksikan kondisi yang dapat menyebabkan peningkatan dan penurunan pertumbuhan populasi pada suatu spesies. V. DAFTAR PUSTAKA Chauvet E, Paullet JE, Previte JP, Walls Z.. A Lotka -Volterra Three-spesies Food Chain. Mathematics Magazine, vol.75 No pd Godman A. 99. Kamus Sains Bergambar. PT Gramedia, Jakarta. Grimshaw R. 99. Nonlinear Ordinary Dierential Equations. Blackwell Scientiic Publications, Oxord. Guckenheimer J, Holmes P Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Biurcations o Vector Fields. Applied Mathematical Sciences, vol. 4. Springer-Verlag, New York. Howard A, Rorres C Elementary Linear Algebra Applications Version, 7 th edition. John Wiley & Sons. Inc, United States o America. Leon, Steven J.. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Erlangga, Jakarta. Perko L. 99. Dierential Equations and Dynamical Systems. Texts in Applied Mathematics, vol. 7. Springer-Verlag, NewYork. Purcell EJ Kalkulus dan Geometri Analitis. Jilid Edisi ke-5. Erlangga, Jakart a. Strogatz SH Nonlinear Dynamics and Chaos with Applications to Physic, Biology, Chemistry, and Engineering. Addison Wesley Publishing Company, Canada. Tu PNV Dynamical System, An Introduction with Application in Economics and Biology. Springer-Verlag. Heidelberg, Germany. Verhulst F. 99. Nonlinear Dierential Equation and Dynamical Systems. Springer-Verlag. Heidelberg, Germany.

25 LAMPIRAN 4

26 5 Lampiran. Program untuk menganalisis kestabilan titik tetap pada model dengan bantuan sotware Mathematica Program ini menggunakan paket didownload dari Mathematica yaitu DynPac yang dapat sysid Mathematica 5., DynPac.57, 8 / 3 / 5 intreset;plotreset; setstate[{x,y,z}];setparm[{a,b,c,d,e,,g}]; e> slopevec={a*x-b*x*y,-c*y+d*x*y-e*y*z,-*z+g*y*z}; eqstates=indpolyeq :8,,<,:c d, a b,>,:, g, - c eq=eqstates[[]] {,,},> eq=eqstates[[]] :c d, a e> b eq3=eqstates[[3]] :,, - c g parmval={,,,,,,.8} {,,,,,,.8} eq=eqstateval[eq] {,,} eigsys[eq] {{-,-,},{{,,},{,,},{,,}}} classiyd[eq] Abbreviations used in classiyd. L = linear, NL = nonlinear, R = repeated root. Z = one zero root, Z = two zero roots. This message printed once. stable (L), indeterminate (NL) - center eq=eqstateval[eq] {,,} eigsys[eq] {{. +.,. -.,-.},{{ , ,. +. },{ , ,. +. },{ ,.3739,.746}}} classiyd[eq] unstable - saddle eq3=eqstateval[eq3] {,.5,-} eigsys[eq3] {{-.,.,-.5},{{.,.78869,.64695},{., ,.64695},{.66683,.77,.787}}} classiyd[eq3] strictly stable - spiral

27 6 Lampiran. Program untuk memperoleh kurva solusi untuk menggambarkan maniold dengan bantuan sotware Mathematica a. Gambar kurva solusi untuk y = a=.8;=.8;k=; gmbr=plot[k x^-(/a),{x,,},plotrange->{,4}] a=.8;=.8;k=; gmbr=plot[k x^-(/a),{x,,},plotrange->{,4}] a=.8;=.8;k=4; gmbr3=plot[k x^-(/a),{x,,},plotrange->{,4}] a=.8;=.8;k=6; gmbr4=plot[k x^-(/a),{x,,},plotrange->{,4}] a=.8;=.8;k=9; gmbr5=plot[k x^-(/a),{x,,},plotrange->{,4}] a=.8;=.8;k=3; gmbr6=plot[k x^-(/a),{x,,},plotrange->{,4}] a=.8;=.8;k=8; gmbr7=plot[k x^-(/a),{x,,},plotrange->{,4}] a=.8;=.8;k=5; gmbr8=plot[k x^-(/a),{x,,},plotrange->{,4}] a=.8;=.8;k=34; gmbr9=plot[k x^-(/a),{x,,},plotrange->{,4}] a=.8;=.8;k=45; gmbr=plot[k x^-(/a),{x,,},plotrange->{,4}] hasil=show[{gmbr,gmbr,gmbr3,gmbr4,gmbr5,gmbr6,gmbr7,gmbr8,gmbr9,gmbr},axes->true] b. Gambar kurva solusi untuk x = <<Graphics`ImplicitPlot` =.8;g=.8;e=.8;c=.8;k=6; gra=implicitplot[- Log[x]+g x==-c Log[y]-e y+k,{x,,5}] =.8;g=.8;e=.8;c=.8;k=7; gra=implicitplot[- Log[x]+g x==-c Log[y]-e y+k,{x,,5}] =.8;g=.8;e=.8;c=.8;k=8; gra3=implicitplot[- Log[x]+g x==-c Log[y]-e y+k,{x,,5}] =.8;g=.8;e=.8;c=.8;k=6.5; gra4=implicitplot[- Log[x]+g x==-c Log[y]-e y+k,{x,,5}] =.8;g=.8;e=.8;c=.8;k=3; gra5=implicitplot[- Log[x]+g x==-c Log[y]-e y+k,{x,,5}] hasil=show[{gra,gra,gra3,gra4,gra5},axes->true]