BIFURKASI HOPF PADA SISTEM PERSAMAAN VAN DER POL DENGAN GAYA LUAR YANG PERIODIK. Oleh : IKHE SULISTIYANIK G

Transkripsi

1 BIFURKASI HOPF PADA SISTEM PERSAMAAN VAN DER POL DENGAN GAYA LUAR YANG PERIODIK Oleh : IKHE SULISTIYANIK G DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 007

2 ABSTRACT IKHE SULISTIYANIK. Hopf Bifurcation on the Van der Pol system equation with periodic outer forced. Guided by ALI KUSNANTO and JAHARUDDIN. Research toward a vacuum tubes, Van der Pol invented a model of non linear differential equation, which is known as Van der Pol equation. In this paper, we study about Van der Pol equation not only with an outer forced that has periodic function, but also without outer forced. With time scale, Van Der Pol equation system is derived to obtain a simpler one. Then we analyzed the stability at the later equation. In the form of Van der Pol equation without an outer forced, the eistence of the limit cycle can be shown by using Lienard Theorem. While for Van der Pol equation system that involves periodic outer forced, the eistence of the limit cycle alteration of some parameter values. For several parameter values, the system doesn t have a limit cycle. In this condition, the system has a fied point which has saddle point. The determine eistence of a limit cycle for Van der Pol system equation with periodic outer forced was done by Hopf bifurcation.

3 ABSTRAK IKHE SULISTIYANIK. Bifurkasi Hopf pada sistem persamaan Van der Pol dengan gaya luar yang periodik. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan JAHARUDDIN. Dalam penelitian terhadap suatu tabung triode tertutup, Van der Pol menemukan suatu model berupa persamaan diferensial tak linear yang selanjutnya dikenal dengan persamaan Van der Pol. Dalam tulisan ini dipelajari persamaan van der Pol tanpa gaya luar dan dengan gaya luar yang berupa fungsi periodik. Dengan pengskalaan waktu diturunkan sistem persamaan Van der Pol yang lebih sederhana yang selanjutnya dianalisis kestabilannya. Dalam bentuk persamaan Van der Pol tanpa gaya luar, eksistensi limit cycle dapat ditunjukkan dengan Teorema Lienard. Sedangkan untuk sistem persamaan Van der Pol yang melibatkan gaya luar yang periodik, eksistensi limit cycle dipengaruhi oleh perubahan nilai parameter tertentu. Untuk beberapa nilai parameter sistem tidak mempunyai limit cycle. Dalam kondisi ini sistem tersebut mempunyai suatu titik tetap yang bersifat sadel. Penentuan eksistensi limit cycle untuk sistem persamaan Van der pol dengan melibatkan gaya luar yang periodik dilakukan dengan bifurkasi Hopf.

4 BIFURKASI HOPF PADA SISTEM PERSAMAAN VAN DER POL DENGAN GAYA LUAR YANG PERIODIK Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor Oleh : IKHE SULISTIYANIK G DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 007

5 Judul Nama NIM : Bifurkasi Hopf pada Sistem Persamaan Van der Pol dengan Gaya Luar yang Periodik : Ikhe Sulistiyanik : G Menyetujui : Pembimbing I, Pembimbing II, Drs. Ali Kusnanto, M.Si NIP Dr. Jaharuddin, M.Si NIP Mengetahui, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS. NIP Tanggal Lulus :..

6 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Trenggalek pada tanggal 4 Oktober 1984 sebagai anak pertama dari dua bersaudara, anak dari Sujiyono (alm) dan Murdiati. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar pada tahun 1996 di SD Negeri Arosbaya 03, melanjutkan ke SLTP Negeri 1 Karangan (lulus tahun 1999), kemudian melanjutkan ke SMU Negeri 1 Bangkalan (lulus tahun 00) dan diterima sebagai mahasiswa di Departemen Matematika Fakultas Matematika dan IPA Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI pada tahun yang sama. Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah menjadi asisten untuk mata kuliah Pengantar Matematika. Penulis juga aktif dalam kepengurusan organisasi antara lain: staf Departemen Kesekretariatan Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) pada tahun 003. Penulis juga aktif dalam kegiatan kepanitiaan, antara lain: kepanitiaan dalam rangkaian kegiatan SAINS EXPO yakni Pelatihan 3D Studio Ma sebagai Bendahara.

7 PRAKATA Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT. yang selalu memberikan rahmat dan karunia sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul Bifurkasi hopf pada Sistem Persamaan Van der Pol dengan Gaya Luar yang Periodik. Sholawat serta salam tidak lupa penulis panjatkan kepada Nabi Muhammad SAW, sahabat dan keluarga, serta para pengikutnya sampai akhir zaman. Keterbatasan dan ketidaksempurnaan membuat penulis membutuhkan bantuan, dukungan dan semangat dari orang-orang, baik secara langsung ataupun tidak langsung, berkontribusi besar dalam pembuatan karya ilmiah ini. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku pembimbing pertama, Dr. Jaharuddin, M.Si. selaku pembimbing kedua, terima kasih atas kesabaran dan bimbingannya selama ini.. Drs. Siswandi, M.Si. selaku penguji dan moderator seminar. 3. Orang tua tercinta yang selalu memberikan dukungan serta doa restunya selama penulis menempuh pendidikan selama ini. Adikku tercinta, teruslah berjuang untuk mencapai citacita juga keluarga besar yang selalu mendoakan. 4. Miftahus Surur, terima kasih atas dukungan dan motifasi yang bisa membuat penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini juga atas kesabaran, kesetiaan, perhatian, semangat dan doanya. 5. Keluarga Bulek Asih, Paklek Mugi, Mas Noer, Mbak Sri dan Mbak Deni terimakasih selalu memberikan dukungan dan semangat kepada penulis selama ini.. 6. Lucky Hendarwan, terima kasih atas doa dan kebersamaannya selama penulis menempuh kuliah di Bogor. 7. Sahabat-sahabat yang selalu memberikan dukungan dan semangatnya serta nasehat-nasehat yang berharga bagi penulis. Wenny, Nita, Gresi dan Ekam, yang selalu setia mendengar keluh kesah penulis selama ini. 8. Rachmat agustian dan Rismanto yang telah banyak membantu dalam segala hal sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini. 9. Sahabat-sahabat penulis yang nun jauh disana. Mbak Didu, Mia, Mas Helmi, Vavan, Andi, Fauzul, Karyadi, Widya dan Cristina, semoga kita bisa selalu menjaga tali silaturahim ini. 10. Ari, Uve, Elis, Dany, Rusli, Walidah, Diah, terima kasih atas bantuan kalian. 11. Febrian, Berri, dan Vina, terima kasih telah bersedia menjadi pembahas. 1. Teman-teman kost-an. Ria dan Rina, terima kasih atas kebersamaannya. 13. Teman-teman angkatan 39, Desy, Neli, Mega, Mere, Mbak e, Dina, Rany, Irwan, Unre, dan semuanya yang tak bisa disebutkan satu persatu. 14. Teman-teman 40, 41, dan semua kakak kelas yang pernah melengkapi perjalanan penulis selama kuliah. 15. Seluruh Dosen Departemen Matematika IPB yang telah bersusah payah memberikan ilmunya kepada kami. Staf Departemen Matematika IPB (Bu Susi, Bu Ade, Mas Bono, Mas Yono, Mas Denny, dll.) yang senantiasa direpotkan. Dan semua pihak yang tidak bisa disebutkan satu per satu. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak. Bogor, Mei 007 Ikhe Sulistiyanik

8 DAFTAR ISI halaman DAFTAR GAMBAR... i DAFTAR LAMPIRAN... i I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Tujuan Sistematika Penulisan... 1 II LANDASAN TEORI... 1 III PEMBAHASAN 3.1 Model Titik Tetap Analisis Kestabilan Titik Tetap... 7 IV SIMPULAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 13

9 i DAFTAR GAMBAR halaman 1. Limit cycle stabil Limit cycle tak stabil Limit cycle setengah stabil Titik Pelana (saddle point) Simpul tak sejati tak stabil Simpul tak sejati stabil Spiral tak stabil Spiral stabil Simpul sejati tak stabil Simpul sejati stabil Degenerate Center Medan vektor disekitar titik tetap pada sistem persamaan (5) Bidang fase disekitar titik tetap pada sistem persamaan (5) Medan vektor disekitar titik tetap pada sistem persamaan (6) Bidang fase disekitar titik tetap pada sistem persamaan (6) Medan vektor dan bidang fase pada sistem persamaan (5), dengan a = Medan vektor dan bidang fase pada sistem persamaan (5) dengan a = Medan vektor dan bidang fase pada sistem persamaan (5) dengan a = Medan vektor dan bidang fase pada sistem persamaan (5) dengan a = Medan vektor dan bidang fase pada sistem persamaan (5) dengan a = Diagram Bifurkasi Hopf pada sistem persamaan (5) DAFTAR LAMPIRAN halaman 1. Program untuk menganalisis titik tetap pada sistem persamaan (5) dan sistem persamaan (6) Program untuk menggambarkan medan vektor dan bidang fase disekitar titik tetapnya pada sistem persamaan (5) dan sistem persamaan (6) Hasil running dari program untuk menganalisis titik tetap pada sistem persamaan (5) pada contoh kasus nilai θ = 0.5, ε = 1, dan < a < Program untuk menggambarkan medan vektor dan bidang fase disekitar titik tetapnya pada contoh kasus nilai θ = 0.5, ε = 1, dengan nilai a = 1.1, a = 1, a = 0.5, a = 1 dan a =

10 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Penelitian yang dilakukan oleh Van der Pol pada sebuah tabung triode tertutup, yaitu sebuah alat yang digunakan untuk mengendalikan arus listrik dalam suatu sirkuit pada transmitter dan receiver menghasilkan suatu perilaku penyelesaian yang unik dan berbeda dengan perilaku penyelesaian persamaan diferensial linear. Van der Pol mengusulkan model yang dikaji dalam penelitian berupa persamaan diferensial tak linear yang selanjutnya disebut persamaan Van der Pol. Dalam penelitiannya tersebut, Van der Pol memberikan kontribusi pada pengembangan metode matematika, khususnya pada masalah persamaan diferensial. Dalam hal ini, ia berkontribusi pada teori kestabilan penyelesaian persamaan diferensial. Penelitian Van der pol tersebut memberikan motivasi bagi Cartwright dan Littlewood untuk mengkaji kestabilan persaman Van der Pol khususnya yang memuat gaya luar [Cartwright 1945]. Persamaan van der Pol ini hingga sekarang masih dikaji oleh beberapa peneliti, khususnya pada masalah perturbasi dan relaksasi osilasi. Persamaan ini juga dijadikan model pada beberapa fenomena fisika, biologi dan seismology [Guckeinheimer 000]. Akan tetapi masalah bifurkasi dari sistem persamaan ini masih sangat sedikit kajiannya. Dalam karya ilmiah ini, persamaan van der Pol akan dinyatakan dalam suatu sistem persamaan diferensial orde satu untuk mengklasifikasi bifurkasi Hopf dari orbit periodik dalam sistem yang telah tereduksi. Reduksi ke dalam sistem persamaan diferensial yang dilakukan didasarkan pada alur yang terdapat dalam paper [Guckeinheimer 003]. 1. Tujuan Penulisan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah mengkaji persamaaan Van der Pol yang memuat gaya luar dengan cara menyatakan persamaan tersebut ke dalam suatu persamaan diferensial orde satu. Persamaan yang dihasilkan akan digunakan untuk mengklasifikasi bifurkasi Hopf yang memberikan orbit periodik dalam sistem yang telah tereduksi tersebut. 1.3 Sistematika Penulisan Pada bab pertama dijelaskan latar belakang dan tujuan dari penulisan karya ilmiah ini. Bab dua berisi landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam penyusunan pembahasan. Pada bab tiga akan dibahas persamaan Van der Pol dan mereduksi persamaan tersebut menjadi suatu sistem persamaan diferensial orde satu. Selain itu, pada bab ini juga akan dianalisis bifurkasi Hopf dengan menggunakan persamaan yang telah tereduksi. Simpulan dari karya ilmiah ini akan dibahas pada bab empat. II LANDASAN TEORI Persamaan van der Pol adalah suatu persamaan diferensal tak linear yang dapat didekati dengan bentuk sistem persamaan diferensial linear. Teori sistem persamaan diferensial linear dan kestabilannya disarikan dari buku [Anton 1995], [Farlow 1994], [Szidarovszky & Bahill 1998], [Tu 1994] dan [Verhulst 1990]. Sebelum membahas teori sistem persamaan diferensial linear, maka berikut ini akan dibahas konsep limit cycle. Penjelasan tentang limit cycle terdapat dalam buku [Strogatz 1994]. Limit cycle adalah suatu bentuk trayektori tertutup dan terisolasi. Pada umumnya untuk menggambarkan limit cycle, sistem persamaan diferensial dituliskan sebagai persamaan diferensial dalam koordinat kutub. Jika semua lingkungan trayektori mendekati limit cycle maka limit cycle disebut limit cycle stabil (lihat gambar 1). Pada keadaan sebaliknya limit cycle disebut limit cycle tak stabil (lihat gambar ). Sedangkan pada kasus tertentu limit cycle disebut limit cycle setengah stabil (lihat gambar 3). Gambar 1. Limit cycle stabil.

11 Gambar. Limit cycle tak stabil. Gambar 3 Limit cycle setengah stabil. Eksistensi limit cycle dijamin oleh Teorema Lienard berikut: Teorema Lienard Tinjau persamaan Lienard berikut. d d + f ( ) + g( ) = 0. (3) dt dt Persamaan (3) dapat dinyatakan sebagai sistem persamaan berikut = y. (4) y = g () f() y Jika fungsi f dan g memenuhi kondisi: 1) f dan g terturunkan dan kontinu, ) g ( ) = g( ), untuk setiap. 3) g( ) > 0 untuk > 0 4) f ( ) = f ( ), untuk setiap. 5) Fungsi ganjil F( ) f ( u) du =, benilai 0 nol untuk = a, negatif untuk 0 < < a, Fa= ( ) 0, positif dan tak turun untuk > a, dan F( ) untuk, maka sistem persamaan (4) memiliki penyelesaian tunggal dan mempunyai limit cycle stabil. Bukti secara lengkap dapat dilihat dalam [Perko 1991]. Misalkan diberikan suatu sistem persamaan diferensial orde satu sebagai berikut d = = f (, y), dt (5) dy = y = g(, y). dt Jika fungsi f dan g kontinu bernilai real dan dinyatakan dalam dan y saja serta tidak bergantung pada waktu, maka sistem persamaan (5) disebut sistem persamaan diferensial mandiri. Sistem persamaan van der Pol salah satu contoh sistem persamaan diferensial mandiri. Selanjutnya akan dibahas kestabilan suatu titik dari suatu sistem dinamik. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial (SPD) berikut. d n f( ),. dt = = R (6) * * Titik disebut titik tetap jika f( ) = 0. Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik keseimbangan. Selanjutnya, misalkan titik * adalah titik tetap SPD mandiri (6) dan () t adalah solusi yang memenuhi kondisi * * awal (0) = 0 dan 0. Titik dikatakan titik tetap stabil, jika terdapat ε 0 > 0, yang memenuhi sifat berikut: untuk setiap ε 1, 0 < ε1 < ε0, terdapat ε > 0 * sedemikian sehingga jika < ε maka * () t < ε1, untuk setiap t > t0. Sebaliknya titik * dikatakan titik tetap tidak stabil, jika terdapat ε 0 > 0, yang memenuhi sifat berikut: untuk setiap ε > 0, 0 < ε < ε 0, sedemikian sehingga, jika * 0 < ε maka * () t < ε 0, untuk setiap t > t0. Untuk menganalisis kestabilan titik tetap dari sistem persamaan diferensial tak linear, dapat dilakukan dengan pelinearan pada sistem persamaan diferensialnya. Misalkan diberikan SPD taklinear sebagai berikut. =f() (7) dengan n n f: U R, U R. Dengan menggunakan uraian Taylor dari f * di titik tetap, maka persamaan (6) dapat ditulis sebagai berikut. = A +ϕ( ). (8) Persamaan tersebut merupakan SPD taklinear dengan A adalah matriks Jacobi, 0

12 3 A = Df = * ( ) Df ( ) = * f1 f1 1 n = fn fn 1 a11 a1 n = an1 a nn n = * dan ϕ ( ) suku berorde tinggi yang bersifat lim ϕ( ) = 0. Selanjutnya A pada 0 persamaan (8) disebut pelinearan dari sistem taklinear persamaan (7) dan didapatkan bentuk = A. (9) Untuk sistem yang berada dalam bidang R, diperoleh = f( ) = A +ϕ( ) dengan 1 = f1( ) = a1+ b + ϕ1( 1, ) = f( ) = c1+ d + ϕ( 1, ) dimana f1 f1 a = = a11, b = = a1 1 f f c = = a1, d = = a 1 ϕ1( 1, ) ϕ( 1, ) dan lim = lim = 0 r 0 r r 0 r dengan r = 1. Nilai ϕ 1 dan ϕ kecil sekali, sehingga dapat diabaikan. Persamaan (1) disebut persamaan karakteristik. Nilai eigen yang diperoleh dari hasil pelinearan tersebut dapat digunakan untuk menganalisis kestabilan di sekitar titik tetap yang diperoleh, yang kemudian dapat digambarkan orbitnya. Misalkan diberikan matriks A berukuran sebagai berikut. a b A =. c d Persamaan karakteristiknya berbentuk a λ b det = 0 c d λ atau λ τλ+ = 0 dengan τ = trace( A ) = a + d dan = det( A ) = ad bc. Sehingga diperoleh nilai eigen dari A adalah τ ± τ 4 λ =. Analisis kestabilan titik tetap dilakukan untuk setiap nilai eigen yang diperoleh. Dalam tulisan ini akan diperlihatkan 6 kasus sebagai berikut: 1. Jika < 0, nilai eigen mempunyai akar real yang yang berbeda tanda, maka titik tetap bersifat titik pelana (saddle point) (lihat Gambar 4). Selanjutnya, misalkan A adalah matriks n n, maka suatu vektor taknol di dalam n R disebut vektor eigen dari A, jika untuk suatu skalar λ, yang disebut nilai eigen dari A, berlaku: A = λ. (10) Vektor disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ. Untuk mencari niali eigen dari matriks A yang berukuran n n, maka persamaan (10) dapat dituliskan sebagai berikut: (A λi) = 0 (11) dengan I matriks identitas. Persamaan (10) mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika det (A λi) = 0. (1) Gambar 4. Titik Pelana (saddle point).. Jika > 0, τ > 0 dan memenuhi kondisi τ 4 > 0, berarti kedua nilai eigen mempunyai nilai yang sama, maka titik tetap merupakan simpul tak sejati (nodes) tak stabil (lihat Gambar 5). Jika τ < 0 maka titik tetap merupakan nodes stabil (lihat Gambar 6). Gambar 5. Simpul tak sejati tak stabil.

13 4 Gambar 6. Simpul tak sejati stabil. 3. Jika > 0, τ > 0 dan memenuhi kondisi τ 4 < 0, berarti nilai eigennya merupakan comple conjugate, maka titik tetap bersifat spiral tak stabil (lihat Gambar 7). Jika τ < 0 maka titik tetap bersifat spiral stabil (lihat Gambar 8). 5. Jikaτ 4 = 0, τ > 0 dan ada satu vektor eigen bebas linear, maka titik tetap bersifat degenerate node tak stabil. Jika τ < 0, maka titik tetap bersifat degenerate node stabil (lihat Gambar 11). 6. Jika τ = 0, nilai eigen merupakan imajiner murni, maka titik tetap bersifat center yang selalu stabil (lihat Gambar 1). Gambar 11. Degenerate. Gambar 7. Spiral takstabil. Gambar 1. Center. Gambar 8. Spiral stabil. 4. Jikaτ 4 = 0, τ > 0, dan ada vektor eigen bebas liear, maka bersifat simpul sejati (star node) tak stabil (lihat Gambar 9). Jika τ < 0, maka titik tetap bersifat simpul sejati stabil (lihat Gambar 10). Gambar 9. Simpul sejati tak stabil. Gambar 10. Simpul sejati stabil. Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan bahwa kestabilan titik tetap mempunyai 3 prilaku sebagai berikut: 1. Stabil, jika a. Setiap nilai eigen real adalah negatif ( 0 i λ < untuk setiap i). b. Setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih kecil atau sama dengan nol, ( ( ) Re λi 0 untuk setiap i).. Tak stabil, jika a. Setiap nilai eigen real adalah positif ( λ i > 0 untuk setiap i). b. Setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih besar dari nol, ( Re( λ i ) > 0 untuk setiap i). 3. Sadel, jika Perkalian dua buah nilai eigen real sembarang adalah negatif ( λiλ j < 0 untuk i dan j sembarang). Dalam karya ilmiah ini juga akan dilakukan analisis untuk Bifurkasi Hopf. Penjelasan mengenai Bifurkasi Hopf terdapat dalam buku [Borelli 1998]. Misalkan diberikan suatu sistem : = α( c) + β( c) y+ P(, y, c) (13) y = β c + α c y+ Q, y, c ( ) ( ) ( )

14 5 dengan P dan Q setidaknya merupakan orde kedua dalam dan y dan terturunkan dua kali secara kontinu dalam, y dan c. Fungsi α ( c) dan β ( c) adalah fungsi yang kontinu dan terturunkan pada c. Nilai eigen untuk matriks Jacobi dari sistem persamaan (13) adalah α( c) ± iβ( c). Selanjutnya, perhatikan Teorema Bifurkasi Hopf berikut. Teorema Bifurkasi Hopf 0 0 Misalkan α ( ) =, α ( 0) > 0 dan β ( 0) 0, dimana sistem persamaan (13) stabil asimtotik di titik awal untuk c = 0, maka titik awal tidak stabil dan menghasilkan limit cycle yang besarnya k( c ), dengan k ( 0) = 0 dan k( c ) fungsi konstan dan naik untuk setiap c 0 yang cukup kecil dimana c mendekati nol dari kiri. Periode dari cycle mendekati nilai π β untuk c 0 yang kecil. Teorema di atas diperkuat dengan teorema berikut ini: Misalkan A operator linear pada ruang vektor dimensi dua dengan λ = α ± iβ, merupakan nilai eigen dari A, maka terdapat matriks R sehingga R α β αi βj β α + dengan 0 1 J. 1 0 Penjelasan dan bukti teorema di atas dapat dilihat pada [Tu 1994]. III PEMBAHASAN 3.1 Model Tinjau persamaan Van der Pol berikut + μ ( 1) + = 0 (14) dengan μ 1. Berikut ini akan diperlihatkan bahwa persamaan (14) memiliki limit cycle yang stabil berdasarkan Teorema Lienard. Untuk itu, dimisalkan f = μ 1 dan g ( ) =. ( ) ( ) Premis dari Teorema Lienard terpenuhi, sebab: 1) Fungsi f ( ) dan g ( ) terturunkan dan kontinu,. ) g ( ) = g( ), untuk setiap 3) f ( ) = f ( ) = μ ( 1, ) untuk setiap 4) g( ) > 0 untuk > 0 5) 3 F( ) = f ( u) du = μ ( u 1) μ 0 = 0 3 Fungsi F( ) berupa fungsi ganjil dan mempunyai tepat satu akar positif, yaitu a = 3. Selanjutnya F( ) bernilai negatif untuk 0 < < 3, bernilai positif dan tak turun untuk > 3, dan F( ), bila. Dengan demikian persamaan Van der Pol (14) mempunyai penyelesaian tunggal dan limit cycle stabil. Selanjutnya perhatikan bentuk + μ ( 1). Tuliskan bentuk di atas sebagai d + μ( 1) = ( + μf( ) ). (15) dt dengan 3 F ( ) = μ. (16) 3 Persamaan (15) dapat dituliskan dalam bentuk + μ ( 1) = w (17) dengan w= + μf( ). (18) Jika dimisalkan w= μ y, maka dari persamaan (18) diperoleh = w μf( ) atau = μ ( y F( ) ) atau 3 = y. (19) μ 3 Selanjutnya gunakan pengskalaan waktu berikut t = τ μ maka diperoleh

15 6 d 1 d 1 = = = dτ μ dt μ dan d d d 1 = = =. dτ dτ dτ μ Sehingga persamaan (19) menjadi 3 y μ = 3 atau 3 y = +. (0) μ 3 Selanjutnya, tinjau persamaan Van der Pol dengan gaya luar yang melibatkan fungsi yang berosilasi berikut + μ ( 1) + = asin( πυτ ). (1) Persamaan van der Pol (1) akan ditulis dalam peubah y. Untuk itu, turunkan kedua ruas pada persamaan (0) secara implisit terhadap t sehingga diperoleh y = + ( 1). () μ Jika digunakan kembali pengskalaan waktu t = τ μ, maka persamaan () menjadi y = + μ ( 1). (3) Dengan demikian persamaan van der Pol (1) dapat ditulis y = + asin ( πυτ ) (4) dimana y dy dt. Selanjutnya, gunakan parameter baru ε = 1 μ dan ω = υμ. Kemudian digunakan θ = ωt, maka persamaan (4) menjadi y = + asin ( πθ ). Dari persamaan (0) diperoleh 3 ε = y +. 3 Karena θ = ωt, maka θ = ω. Dengan demikian diperoleh sistem persamaan diferensial mandiri sebagai berikut 3 ε = y + 3 y = + asin ( πθ ) (5) θ = ω dimana dan y bilangan riil, sedangkan θ ( 0,1) dan ε suatu parameter kecil. Untuk kasus ε = 0, maka berdasarkan sistem persamaan (5), didapatkan 3 y =. 3 Jika persamaan di atas diturunkan terhadap t secara implisit, maka diperoleh y = ( 1). Selanjutnya, gunakan pengskalaan waktu berikut t = ( 1) T, maka diperoleh d y = dt 1 dθ θ =. ( 1) dt Dengan demikian sistem persamaan (5) untuk ε = 0 menjadi dθ = ω ( 1) dt. (6) d = + asin ( πθ ) dt Berikut ini akan dicari titik tetap dari sistem persamaan (5) dan sistem persamaan (6). Kemudian akan dianalisis kestabilan di sekitar titik tetap tersebut. Dengan bantuan software Mathematica akan dicari dan dianalisis kestabilan di titik tetapnya. 3. Titik tetap Berikut ini akan ditentukan titik tetap dari sistem persamaan (5). Karena persamaan ketiga pada sistem persamaan (5) turunannya bernilai konstan yang tak nol, maka untuk memperoleh titik tetap dari sistem persamaan (5) cukup berdasarkan persamaan berikut d dy = = 0 dan y = = 0. dt dt Masing-masing persamaan di atas memberikan 3 1 y + = 0 ε 3 dan + asin ( πθ ) = 0. Sehingga titik tetap dari sistem persamaan (5) adalah 1 Τ = asin ( πθ ), asin ( πθ ) 3 + a sin ( πθ ). 1 3 ( ) Selanjutnya akan dihitung titik tetap dari sistem persamaan (6). Titik tetap dari sistem persaman (6) diperoleh berdasarkan persamaan berikut dθ d = 0 dan 0 dt dt =.

16 7 Masing-masing persamaan di atas memberikan ω ( 1) = 0 dan + asin ( πθ ) = 0. Sehingga titik tetap dari sistem persamaan (6) adalah 1 1 sin a Τ =, 1 π 1 1 sin a Τ 3 =.,1 π Berdasarkan titik-titik tetap yang diperoleh di atas, berikut ini akan dianalisis kestabilannya. 3.3 Analisis Kestabilan Titik Tetap Pada bagian ini akan dianalisis kestabilan titik tetap dari sistem persamaan (5) dan (6). Untuk itu, sistem persamaan (5) dan (6) terlebih dahulu dilinearkan. Untuk sistem persamaan (5) tuliskan 3 1 = f (, y) = y + ε 3 y = g, y = + asin πθ. ( ) ( ) Sehingga bentuk linear dari sistem persamaann (5) adalah = A = y, dan A matriks Jacobi dengan ( ) berikut f f A = y g g y = = ( 1 ) T ε ε 1 0 = T1 1 1 = ( 1 a sin( πθ )) ε ε. 1 0 Studi kasus untuk a = 1, ε = 0.5, dan θ = 0.5, diperoleh titik tetap Τ = 1. 10, dengan matriks 1 Jacobi ( ) A =. 1 0 Persamaan karakteristik dari A adalah det A λι = 0 ( ) atau λ λ + = 0. Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari A sebagai berikut λ = 1 1+ i λ = i. 1 Karena λ dan λ 1 bilangan kompleks, maka dapat disimpulkan bahwa sistem persamaan (5) dengan titik tetap Τ 1 memberikan titik tetap yang bersifat spiral tak stabil. y gambar 1 8a, ε, θ<=8 1.00, 0.50, 0.50 < Gambar 13 y gambar 1 8a, ε, θ<=8 1.00, 0.50, 0.50 < Gambar 14 Medan vektor di sekitar titik tetap Τ = 1. 10, dapat dilihat 1 ( ) pada Gambar 13, sedangkan Gambar 14 merupakan bidang fasenya. Selanjutnya perhatikan sistem persamaan (6). Dalam hal ini tuliskan p ( θ, ) = ω( 1). q( θ, ) = + asin ( πθ ) Bentuk linear persamaan (6) di sekitar titik tetapnya adalah = J

17 8 Dengan ( θ, ) = dan J matriks Jacobi untuk titik tetap T dan T 3. Untuk T, diperoleh matriks jacobi J = 0 ω. π a cos( πθ ) 1 = T Studi kasus untuk a = dan ω = 1, diperoleh titik tetap 1 1 1, Τ = dengan matriks Jacobi 0 J =. π 3 1 Persamaan karakteristik dari J adalah ( J λ ) det Ι = 0 atau λ + λ 4π 3 = 0. Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari A sebagai berikut 1 1 λ = ± 1, π 3. Sehingga dapat disimpulkan bahwa sistem persamaan (6) dengan titik tetap Τ memberikan titik tetap yang bersifat sadel. Sedangkan untuk T 3, diperoleh matriks jacobi J = 0 ω 3 π a cos( πθ ) 1 = T3 Studi kasus untuk a = dan ω = 1, diperoleh titik tetap , Τ = dengan matriks Jacobi 0 J = 3 π 3 1 Persamaan karakteristik dari J adalah 3 det ( J3 λι ) = 0 atau λ + λ + 4π 3 = 0. Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari J sebagai berikut λ = , ± i + π. Sehingga dapat disimpulkan bahwa sistem persamaan (6) dengan titik tetap Τ 3 memberikan titik tetap yang bersifat spiral stabil. gambar 8a, ω<=8.00, 1.00 < Gambar 15 Gambar 16 Medan vektor di sekitar titik tetap 1 1 1, Τ = dan , Τ = dapat dilihat pada Gambar 15, sedangkan Gambar 16 merupakan bidang fasenya. Telah dibuktikan berdasarkan Teorema Lienard bahwa sistem persamaan Van der Pol mempunyai limit cycle. Berikut ini akan dianalisis bifurkasi Hopf yang terjadi pada sistem persamaan (5) berdasarkan nilai eigen dan parameter yang digunakan. Pada sistem persamaan (5) terdapat tiga parameter yaitu a, ε, dan θ. Analisis kestabilan dilakukan untuk nilai a, 0 < θ < 1, dan 0 < ε < 1, yang hasilnya dapat dilihat pada lampiran 3. Untuk melakukan analisis bifurkasi Hopf, maka dipilih kasus dengan sin ( πθ ) = 1 dan sin ( πθ ) = 1. Karena θ ( 0,1), maka parameter θ yang terpenuhi adalah θ = 14dan θ = 34. Jika θ = 14, maka diperoleh titik tetap berikut 1 Τ = a, asin( πθ )( 3+ a sin( πθ ) 1 ) 3 sedangkan untuk θ = 34diperoleh titik tetap ( ) 1 Τ = a, asin( πθ ) 3+ a sin( πθ ). 1 3 Matriks eigen dari kedua titik tetap tersebut adalah θ

18 9 1 1 A = ( 1 a ) ε ε 1 0 Sehingga nilai eigen dari A adalah 1 ( ) 1 1 ( ) 1 λ1, = 1 a ± 1 a 4 ε ε ε atau dapat juga dituliskan ( ) ( ) 1, a i λ = ± ε ε ε a. Kedua nilai eigen tersebut bergantung pada nilai a dan ε. Jika a = 1 dan a = 1, maka untuk 0 < ε < 1 titik tetapnya bersifat center dan selalu stabil. Untuk a { 1,1} Jika 0 < ε < 1 dan a < 1, maka sistemnya berbentuk spiral stabil dan simpul stabil, lihat Gambar 17. Jika 0 < ε < 1 dan 1< a < 1, maka sistemnya berbentuk spiral tak stabil, lihat Gambar 19. Jika 0 < ε < 1 dan a > 1, maka sistemnya berbentuk spiral stabil dan simpul stabil, lihat Gambar 1. Karena nilai eigen dari matriks A yang diperoleh berbentuk bilangan kompleks sekawan, maka menurut teorema pada landasan pustaka terdapat matriks α β, dengan R = β α 1 α = ( 1 a ) ε dan β 4 ( 1 a ). = ε ε Berdasarkan teorema Bifurkasi Hopf, sistem persamaan (5) stabil secara asimtotik di a = ± 1. Perubahan nilai a disekitar ± 1 untuk 0 < ε < 1 dengan θ = 14 dan θ = 34 memberikan hasil bahwa pada sistem persamaan (5) terjadi bifurkasi Hopf. Dalam hal ini terjadi perubahan sifat titik tetap sistemnya, yakni dari spiral stabil menjadi spiral tak stabil. Untuk lebih jelasnya, lihat gambar orbit dan kestabilan di bawah ini, dengan contoh kasus θ = 0.5, ε = 0.5, dan untuk nilai a = 1.1, a = 1, a = 0.5, a = 1 dan a = 1.1. y gambar 1 8a, ε, θ<=8 1.10, 0.50, 0.5 < 4 y gambar 1 8a, ε, θ<=8 1.10, 0.50, 0.5 < Gambar 17. Medan vektor dan bidang fase pada sistem persamaan (5) dengan a = 1.1. y gambar 1 8a, ε, θ<=8 1.00, 0.50, 0.5 < y gambar 1 8a, ε, θ<=8 1.00, 0.50, 0.5< y Gambar 18. Medan vektor dan bidang fase pada sistem persamaan (5) dengan a = 1

19 10 y gambar 1 8a, ε, θ<=8 0.50, 0.50, 0.5 < y gambar 1 8a, ε, θ<=8 0.50, 0.50, 0.5 < Gambar 19. Medan vektor dan bidang fase pada sistem persamaan (5) dengan a = 0.5 y gambar 1 8a, ε, θ<=8 1.00, 0.50, 0.5 < y gambar 1 8a, ε, θ<=8 1.00, 0.50, 0.5 < Gambar 0. Medan vektor dan bidang fase pada sistem persamaan (5) dengan a = 1 y gambar 1 8a, ε, θ<=8 1.10, 0.50, 0.5< y gambar 1 8a, ε, θ<=8 1.10, 0.50, 0.5 < Gambar 1. Medan vektor dan bidang fase pada sistem persamaan (5) dengan a = 1.1 Gambar. Diagram Bifurkasi Hopf pada sistem persamaan (5) Gambar 17 menunjukkan sistem stabil asimtotik sebelum terjadinya bifurkasi Hopf, Gambar 18 menunjukkan sistem stabil asimtotik di titik bifurkasi Hopf. Gambar 19 menunjukkan sistem dengan terjadinya limit cycle. Gambar 0 menunjukkan sistem stabil asimtotik di titik bifurkasi Hopf, dan Gambar 0 menunjukkan sistem stabil asimtotik setelah terjadinya bifurkasi hopf. Sedangkan Gambar merupakan diagram Bifurkasi Hopf pada sistem persamaan (5), dengan a sebagai parameter aktif.

20 11 Sedangkan pada sistem persamaan (6) terdapat dua parameter, yaitu a dan ω. Berikut ini akan dianalisis kestabilan yang terjadi untuk nilai a dan ω > 0. Dalam hal ini, analisis dilakukan untuk nilai a < 1, a = 1, 1< a < 1, a = 1, dan a > 1 dengan ω > 0. Untuk a < 1 dan a > 1 didapat nilai eigen , λ1, = ± 1 16ωπa cos sin a jadi sistem persamaan (6) memiliki titik tetap yang bersifat sadel dan spiral stabil. a = 1 dan a = 1 didapat nilai eigen λ = dan λ = 1 maka sistem persamaan (6) memberikan titik tetap yang tidak terisolasi. 1< a < 1 tidak memberikan suatu nilai eigen. Dengan demikian, menurut Teorema Bifurkasi Hopf disimpulkan bahwa tidak terjadi bifurkasi Hopf pada sistem persamaan (6) dan sistem yang dihasilkan memiliki titik tetap yang bersifat sadel dan spiral stabil. 1 0 IV SIMPULAN Telah diturunkan persamaan Van der Pol menjadi sistem persamaan Van der Pol dengan pengskalaan waktu, baik persamaan van der Pol tanpa gaya luar maupun dengan gaya luar yang berupa fungsi perodik. Dalam bentuk persamaan Van der Pol tanpa gaya luar eksistensi limit cycle dapat ditunjukkan dengan Teorema Lienard. Sedangkan untuk sistem persamaan Van der Pol yang melibatkan gaya luar yang periodik, eksistensi limit cycle dipengaruhi oleh perubahan nilai parameter tertentu. Untuk beberapa nilai parameter sistem tidak mempunyai limit cycle. Dalam kondisi ini sistem tersebut mempunyai suatu titik tetap yang bersifat sadel. Penentuan eksistensi limit cycle untuk sistem persamaan Van der pol dengan melibatkan gaya luar yang periodik dilakukan dengan bifurkasi Hopf. Penggambaran orbit-orbit periodik pada sistem persamaan Van der Pol menggunakan software Mathematica. V DAFTAR PUSTAKA Anton H Aljabar Linear Elementer. Edisi ke-5. Terjemahan Pantur Silaban dan I Nyoman Susila. Erlangga, Jakarta. Borelli, R.L. & Coleman, C.S Differential Equation : A Modelling Perspective. John Wiley & Sons, Inc,New York. Cartwright, Littlewood On Nonlinear Differential Equation of The second Order I: The equation y k( 1 y ) y + y = bkcos( λt+ a), k large, Acta Math 0: Farlow S.J An Introduction to Differential Equation and Their Application. Mc Graw-Hill, NewYork. Guckenheimer J, Hoffman K, & Weckesser W Numerical Computation of Canard, International Journal of Bifurcation and Chaos 10: Guckenheimer J, Hoffman K, & Weckesser W The Forced van der Pol Equation I : The Slow Flow and Its Bifurcation, Siam J. Applied Dynamical System :1-35. Perko L Differential Equations and Dynamical System, Tets in Applied Mathematics, vol. 7. Springer-Verlag, NewYork. Strogatz, S.H Nonlinear Dynamics And Chaos, With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Enginering. Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusete.

21 1 Szidarovsky, F. & A.T. Bahill Linear System Theory. CRC Press, Florida. TU PNV Dynamical System, An Intoduction with Application in Economics and Biologi. Springer- Verlag, Heidelberg, Germany. Verhulst F Nonlinear Differential Equation and Dynamical System. Springer-Verlag, Heidelberg, Germany.

22 LAMPIRAN 13

23 14 Lampiran 1. Program untuk menganalisis titik tetap pada sistem persamaan (5) dan sistem persamaan (6) Program ini menggunakan paket Mathematica yaitu Dynpac yang dapat didownload dari Sistem Persamaan (5) sysid Mathematica 5.. 0, DynPac 10.71, 4 / 18 / 007 intreset; plotreset; setstate@8, y<d; setparm@8a, e, t<d; slopevec = 9 1 i jy+ 3 y z, + a Sin@ π td= e k 3 { eqstates = FullSimplify@findpolyeqD y :, + asin@ π td> e ::asin@ π td, 1 3 asin@ π tdh 3+ a Sin@ π td L>> eq1=eqstates[[1]] :a Sin@ π td, 1 3 a Sin@ π tdh 3+ a Sin@ π td L> parmval={1,0.5,0.5} {1,0.5,0.5} eq1=eqstateval[eq1] , < eigsys[eq1] {{1. +1., },{{ , },{ , }}} classifyd[eq1] unstable spiral

24 15 1. Sistem Persamaan (6) sysid Mathematica 5.. 0, DynPac 10.71, 4 / 19 / 007 intreset; plotreset; setstate@8t, <D; setparm@8a, w<d; slopevec = 9w I 1M, +a Sin@ π td= eqstates = FullSimplify@findpolyeqD 8w H 1 + L, + asin@ π td< :: ArcCsc@aD, 1>, : ArcCsc@aD,1>> π π eq1=eqstates[[1]] : ArcCsc@aD, 1> π parmval={-,1} {-,1} eq1=eqstateval[eq1] : 1 1, 1> eigsys[eq1] :: 1 i j 1 "##################### è!!! 3 π y z, 1 i j 1 + "##################### è!! 3! π y z>, k { k { :: "##################### è!! 3! π 4 è!!! 3 π classifyd[eq1] unstable - saddle eq=eqstates[[]] : ArcCsc@aD,1> π parmval={-,1} {-,1} eq=eqstateval[eq] : 1 1,1>,1>, : 1 + "##################### è!!! 3 π 4 è!! 3! π,1>>> eigsys[eq] :: 1 i j 1 + "####################### è!!! 3 π y z, 1 i j 1 "####################### è!!! 3 π y z>, k { k { :: "######################## è!! 3! π 4 è!! 3! π classifyd[eq],1>, : 1 "######################## è!! 3! π 4 è!! 3! π,1>>>

25 16 Lampiran. Program untuk menggambarkan medan vektor dan bidang fase disekitar titik tetapnya pada sistem persamaan (5) dan sistem persamaan (6). Program ini menggunakan paket Mathematica yaitu Dynpac yang dapat didownload dari Sistem Persamaan (5) sysid Mathematica 5.. 0, DynPac 10.71, 4 / 5 / 007 intreset; plotreset; setstate@8, y<d; setparm@8a, ε, θ<d; slopevec = 9 1 i jy+ 3 y z, + asin@ π θd=; ε k 3 { sysname = "gambar 1"; (* Parameter Assignment *) parmval={1,0.5,0.5}; (* Plotting Sollution *) asprat=0.7; answer=integrate[{1,0},0,0.1,00]; plrange=automatic; (* graph1=timeplot[answer,1] graph=timeplot[answer,] show[graph1,graph]; *) (* Direction Fields *) plrange={{-5,5},{-5,5}}; dirfield; (* Potrait *) initset={{4,-3},{3,-4},{-4,5},{-4,3}}; rangeflag=true;ranger=plrange; arrowflag=true;arrowvec={1/}; portrait[initset,0,0.1,400,1,]; (* NullClines *) plrange={{-10,10},{-10,10}}; (*nullcliney*)

26 17 y gambar 1 8a, ε, θ<=8 1.00, 0.50, 0.50 < y gambar 1 8a, ε, θ<=8 1.00, 0.50, 0.50 <

27 18. Sistem Persamaan (6) sysid Mathematica 5.. 0, DynPac 10.71, 4 / 5 / 007 intreset; plotreset; setstate@8θ,<d; setparm@8a, ω <D; slopevec = 9ω I 1M, +a Sin@ π θd=; sysname = "gambar "; H Parameter Assignment L parmval = 8, 1<; H Plotting Sollution L asprat = 0.7; answer = integrate@81, 0<,0,0.1,00D; plrange = Automatic; H graph1=timeplot@answer,1d; graph=timeplot@answer,d; show@graph1,graphd; L H Direction Fields L plrange = , 1.6<, 8 1.6, 1.6<<; dirfield; H Potrait L initset = ,1=, 9 1 1, 1=, 9 1, 0.8=, 80, 1.<=; 6 rangeflag = True; ranger = plrange; arrowflag = True; arrowvec = =; portrait@initset, 0, 0.1, 13, 1, D; H NullClines L plrange = 88 10, 10<, 8 10, 10<<; H nullcliney L

28 19 gambar 8a, ω<=8.00, 1.00 < θ gambar 8a, ω<=8.00, 1.00 < θ

29 0 Lampiran 3. Hasil running dari program untuk menganalisis titik tetap pada sistem persamaan (5) pada contoh kasus nilai θ = 0.5, ε = 0.5, dan < a <. {-,0.5,0.5} {-., } {-1.99,0.5,0.5} {-1.99, } {-1.98,0.5,0.5} {-1.98, } {-1.97,0.5,0.5} {-1.97, } {-1.96,0.5,0.5} {-1.96, } {-1.95,0.5,0.5} {-1.95, } {-1.94,0.5,0.5} {-1.94, } {-1.93,0.5,0.5} {-1.93, } {-1.9,0.5,0.5} {-1.9, } {-1.91,0.5,0.5} {-1.91, } {-1.9,0.5,0.5} {-1.9, } {-1.89,0.5,0.5} {-1.89, } {-1.88,0.5,0.5} {-1.88, } {-1.87,0.5,0.5} {-1.87, } {-1.86,0.5,0.5} {-1.86, } {-1.85,0.5,0.5} {-1.85, } {-1.84,0.5,0.5} {-1.84, } {-1.83,0.5,0.5} {-1.83,-0.189} {-1.8,0.5,0.5} {-1.8, } {-1.81,0.5,0.5} {-1.81, } {-1.8,0.5,0.5} {-1.8,-0.144} {-1.79,0.5,0.5} {-1.79, } {-1.78,0.5,0.5} {-1.78, } {-1.77,0.5,0.5} {-1.77, } {-1.76,0.5,0.5} {-1.76, } {-1.75,0.5,0.5} {-1.75, } {-1.74,0.5,0.5} {-1.74, } {-1.73,0.5,0.5} {-1.73, } {-1.7,0.5,0.5} {-1.7, } {-1.71,0.5,0.5} {-1.71, } {-1.7,0.5,0.5} {-1.7, } {-1.69,0.5,0.5} {-1.69, } {-1.68,0.5,0.5} {-1.68, } {-1.67,0.5,0.5} {-1.67, } {-1.66,0.5,0.5} {-1.66, } {-1.65,0.5,0.5} {-1.65,0.1565} {-1.64,0.5,0.5} {-1.64, } {-1.63,0.5,0.5} {-1.63, } {-1.6,0.5,0.5} {-1.6,0.084} {-1.61,0.5,0.5} {-1.61, } {-1.6,0.5,0.5} {-1.6, } {-1.59,0.5,0.5} {-1.59, }

30 1 {-1.58,0.5,0.5} {-1.58,0.659} {-1.57,0.5,0.5} {-1.57, } {-1.56,0.5,0.5} {-1.56,0.9458} {-1.55,0.5,0.5} {-1.55, } {-1.54,0.5,0.5} {-1.54,0.3579} {-1.53,0.5,0.5} {-1.53, } {-1.5,0.5,0.5} {-1.5, } {-1.51,0.5,0.5} {-1.51,0.3635} {-1.5,0.5,0.5} {-1.5,0.375} {-1.49,0.5,0.5} {-1.49, } {-1.48,0.5,0.5} {-1.48, } {-1.47,0.5,0.5} {-1.47, } {-1.46,0.5,0.5} {-1.46,0.461} {-1.45,0.5,0.5} {-1.45, } {-1.44,0.5,0.5} {-1.44, } {-1.43,0.5,0.5} {-1.43, } {-1.4,0.5,0.5} {-1.4, } {-1.41,0.5,0.5} {-1.41, } {-1.4,0.5,0.5} {-1.4, } {-1.39,0.5,0.5} {-1.39, } {-1.38,0.5,0.5} {-1.38, } {-1.37,0.5,0.5} {-1.37,0.5188} {-1.36,0.5,0.5} {-1.36, } {-1.35,0.5,0.5} {-1.35, } {-1.34,0.5,0.5} {-1.34, } {-1.33,0.5,0.5} {-1.33, } {-1.3,0.5,0.5} {-1.3, } {-1.31,0.5,0.5} {-1.31, } {-1.3,0.5,0.5} {-1.3, } {-1.9,0.5,0.5} {-1.9, } {-1.8,0.5,0.5} {-1.8, } {-1.7,0.5,0.5} {-1.7, } {-1.6,0.5,0.5} {-1.6, } {-1.5,0.5,0.5} {-1.5, } {-1.4,0.5,0.5} {-1.4, } {-1.3,0.5,0.5} {-1.3, } {-1.,0.5,0.5} {-1., } {-1.1,0.5,0.5} {-1.1, } {-1.,0.5,0.5} {-1.,0.64} {-1.19,0.5,0.5} {-1.19,0.688} {-1.18,0.5,0.5} {-1.18,0.6333} {-1.17,0.5,0.5} {-1.17, } {-1.16,0.5,0.5} {-1.16, } {-1.15,0.5,0.5} {-1.15, } {-1.14,0.5,0.5} {-1.14, }

31 {-1.13,0.5,0.5} {-1.13, } {-1.1,0.5,0.5} {-1.1, } {-1.11,0.5,0.5} {-1.11, } {-1.1,0.5,0.5} {-1.1, } {-1.09,0.5,0.5} {-1.09, } {-1.08,0.5,0.5} {-1.08, } {-1.07,0.5,0.5} {-1.07, } {-1.06,0.5,0.5} {-1.06, } {-1.05,0.5,0.5} {-1.05, } {-1.04,0.5,0.5} {-1.04, } {-1.03,0.5,0.5} {-1.03, } {-1.0,0.5,0.5} {-1.0, } {-1.01,0.5,0.5} {-1.01, } {-1.,0.5,0.5} {-1., } stable (L), indeterminate (NL) - center {-0.99,0.5,0.5} {-0.99, } {-0.98,0.5,0.5} {-0.98, } {-0.97,0.5,0.5} {-0.97, } {-0.96,0.5,0.5} {-0.96, } {-0.95,0.5,0.5} {-0.95, } {-0.94,0.5,0.5} {-0.94, } {-0.93,0.5,0.5} {-0.93, } {-0.9,0.5,0.5} {-0.9, } {-0.91,0.5,0.5} {-0.91, } {-0.9,0.5,0.5} {-0.9,0.657} {-0.89,0.5,0.5} {-0.89, } {-0.88,0.5,0.5} {-0.88, } {-0.87,0.5,0.5} {-0.87, } {-0.86,0.5,0.5} {-0.86, } {-0.85,0.5,0.5} {-0.85,0.6459} {-0.84,0.5,0.5} {-0.84,0.6443} {-0.83,0.5,0.5} {-0.83, } {-0.8,0.5,0.5} {-0.8, } {-0.81,0.5,0.5} {-0.81, } {-0.8,0.5,0.5} {-0.8, } {-0.79,0.5,0.5} {-0.79, } {-0.78,0.5,0.5} {-0.78, } {-0.77,0.5,0.5} {-0.77,0.6178} {-0.76,0.5,0.5} {-0.76, } {-0.75,0.5,0.5} {-0.75, } {-0.74,0.5,0.5} {-0.74, } {-0.73,0.5,0.5} {-0.73, } {-0.7,0.5,0.5} {-0.7, } {-0.71,0.5,0.5} {-0.71, } {-0.7,0.5,0.5} {-0.7, }

32 3 {-0.69,0.5,0.5} {-0.69, } {-0.68,0.5,0.5} {-0.68, } {-0.67,0.5,0.5} {-0.67, } {-0.66,0.5,0.5} {-0.66, } {-0.65,0.5,0.5} {-0.65, } {-0.64,0.5,0.5} {-0.64, } {-0.63,0.5,0.5} {-0.63, } {-0.6,0.5,0.5} {-0.6, } {-0.61,0.5,0.5} {-0.61, } {-0.6,0.5,0.5} {-0.6,0.58} {-0.59,0.5,0.5} {-0.59,0.5154} {-0.58,0.5,0.5} {-0.58, } {-0.57,0.5,0.5} {-0.57, } {-0.56,0.5,0.5} {-0.56, } {-0.55,0.5,0.5} {-0.55, } {-0.54,0.5,0.5} {-0.54, } {-0.53,0.5,0.5} {-0.53, } {-0.5,0.5,0.5} {-0.5, } {-0.51,0.5,0.5} {-0.51, } {-0.5,0.5,0.5} {-0.5, } {-0.49,0.5,0.5} {-0.49, } {-0.48,0.5,0.5} {-0.48, } {-0.47,0.5,0.5} {-0.47, } {-0.46,0.5,0.5} {-0.46, } {-0.45,0.5,0.5} {-0.45, } {-0.44,0.5,0.5} {-0.44, } {-0.43,0.5,0.5} {-0.43, } {-0.4,0.5,0.5} {-0.4, } {-0.41,0.5,0.5} {-0.41, } {-0.4,0.5,0.5} {-0.4, } {-0.39,0.5,0.5} {-0.39,0.3707} {-0.38,0.5,0.5} {-0.38, } {-0.37,0.5,0.5} {-0.37, } {-0.36,0.5,0.5} {-0.36, } {-0.35,0.5,0.5} {-0.35, } {-0.34,0.5,0.5} {-0.34, } {-0.33,0.5,0.5} {-0.33, } {-0.3,0.5,0.5} {-0.3, } {-0.31,0.5,0.5} {-0.31, } {-0.3,0.5,0.5} {-0.3,0.91} {-0.9,0.5,0.5} {-0.9,0.8187} {-0.8,0.5,0.5} {-0.8,0.7683} {-0.7,0.5,0.5} {-0.7, } {-0.6,0.5,0.5} {-0.6, } {-0.5,0.5,0.5} {-0.5,0.4479}

33 4 {-0.4,0.5,0.5} {-0.4,0.3539} {-0.3,0.5,0.5} {-0.3,0.5944} {-0.,0.5,0.5} {-0., } {-0.1,0.5,0.5} {-0.1, } {-0.,0.5,0.5} {-0., } {-0.19,0.5,0.5} {-0.19, } {-0.18,0.5,0.5} {-0.18, } {-0.17,0.5,0.5} {-0.17, } {-0.16,0.5,0.5} {-0.16, } {-0.15,0.5,0.5} {-0.15, } {-0.14,0.5,0.5} {-0.14, } {-0.13,0.5,0.5} {-0.13,0.1968} {-0.1,0.5,0.5} {-0.1, } {-0.11,0.5,0.5} {-0.11, } {-0.1,0.5,0.5} {-0.1, } {-0.09,0.5,0.5} {-0.09, } {-0.08,0.5,0.5} {-0.08, } {-0.07,0.5,0.5} {-0.07, } {-0.06,0.5,0.5} {-0.06, } {-0.05,0.5,0.5} {-0.05, } {-0.04,0.5,0.5} {-0.04, } {-0.03,0.5,0.5} {-0.03, } {-0.0,0.5,0.5} {-0.0, } {-0.01,0.5,0.5} {-0.01, } , 0.5, 0.5< , < {0.01,0.5,0.5} {0.01, } {0.0,0.5,0.5} {0.0, } {0.03,0.5,0.5} {0.03, } {0.04,0.5,0.5} {0.04, } {0.05,0.5,0.5} {0.05, } {0.06,0.5,0.5} {0.06, } {0.07,0.5,0.5} {0.07, } {0.08,0.5,0.5} {0.08, } {0.09,0.5,0.5} {0.09, } {0.1,0.5,0.5} {0.1, } {0.11,0.5,0.5} {0.11, } {0.1,0.5,0.5} {0.1, } {0.13,0.5,0.5} {0.13, } {0.14,0.5,0.5} {0.14, } {0.15,0.5,0.5} {0.15, } {0.16,0.5,0.5} {0.16, } {0.17,0.5,0.5} {0.17, } {0.18,0.5,0.5} {0.18, } {0.19,0.5,0.5} {0.19, }

34 5 {0.,0.5,0.5} {0., } {0.1,0.5,0.5} {0.1, } {0.,0.5,0.5} {0., } {0.3,0.5,0.5} {0.3, } {0.4,0.5,0.5} {0.4, } {0.5,0.5,0.5} {0.5, } {0.6,0.5,0.5} {0.6, } {0.7,0.5,0.5} {0.7, } {0.8,0.5,0.5} {0.8, } {0.9,0.5,0.5} {0.9, } {0.3,0.5,0.5} {0.3,-0.91} {0.31,0.5,0.5} {0.31, } {0.3,0.5,0.5} {0.3, } {0.33,0.5,0.5} {0.33, } {0.34,0.5,0.5} {0.34, } {0.35,0.5,0.5} {0.35, } {0.36,0.5,0.5} {0.36, } {0.37,0.5,0.5} {0.37, } {0.38,0.5,0.5} {0.38, } {0.39,0.5,0.5} {0.39, } {0.4,0.5,0.5} {0.4, } {0.41,0.5,0.5} {0.41, } {0.4,0.5,0.5} {0.4, } {0.43,0.5,0.5} {0.43, } {0.44,0.5,0.5} {0.44, } {0.45,0.5,0.5} {0.45, } {0.46,0.5,0.5} {0.46, } {0.47,0.5,0.5} {0.47, } {0.48,0.5,0.5} {0.48, } {0.49,0.5,0.5} {0.49, } {0.5,0.5,0.5} {0.5, } {0.51,0.5,0.5} {0.51, } {0.5,0.5,0.5} {0.5, } {0.53,0.5,0.5} {0.53, } {0.54,0.5,0.5} {0.54, } {0.55,0.5,0.5} {0.55, } {0.56,0.5,0.5} {0.56, } {0.57,0.5,0.5} {0.57, } {0.58,0.5,0.5} {0.58, } {0.59,0.5,0.5} {0.59, } {0.6,0.5,0.5} {0.6,-0.58} {0.61,0.5,0.5} {0.61, } {0.6,0.5,0.5} {0.6, } {0.63,0.5,0.5} {0.63, } {0.64,0.5,0.5} {0.64, }

35 6 {0.65,0.5,0.5} {0.65, } {0.66,0.5,0.5} {0.66, } {0.67,0.5,0.5} {0.67, } {0.68,0.5,0.5} {0.68, } {0.69,0.5,0.5} {0.69, } {0.7,0.5,0.5} {0.7, } {0.71,0.5,0.5} {0.71, } {0.7,0.5,0.5} {0.7, } {0.73,0.5,0.5} {0.73, } {0.74,0.5,0.5} {0.74, } {0.75,0.5,0.5} {0.75, } {0.76,0.5,0.5} {0.76, } {0.77,0.5,0.5} {0.77, } {0.78,0.5,0.5} {0.78, } {0.79,0.5,0.5} {0.79, } {0.8,0.5,0.5} {0.8, } {0.81,0.5,0.5} {0.81, } {0.8,0.5,0.5} {0.8, } {0.83,0.5,0.5} {0.83, } {0.84,0.5,0.5} {0.84, } {0.85,0.5,0.5} {0.85, } {0.86,0.5,0.5} {0.86, } {0.87,0.5,0.5} {0.87, } {0.88,0.5,0.5} {0.88, } {0.89,0.5,0.5} {0.89, } {0.9,0.5,0.5} {0.9,-0.657} {0.91,0.5,0.5} {0.91, } {0.9,0.5,0.5} {0.9, } {0.93,0.5,0.5} {0.93, } {0.94,0.5,0.5} {0.94, } {0.95,0.5,0.5} {0.95, } {0.96,0.5,0.5} {0.96, } {0.97,0.5,0.5} {0.97, } {0.98,0.5,0.5} {0.98, } {0.99,0.5,0.5} {0.99, } {1.,0.5,0.5} {1., } stable (L), indeterminate (NL) - center {1.01,0.5,0.5} {1.01, } {1.0,0.5,0.5} {1.0, } {1.03,0.5,0.5} {1.03, } {1.04,0.5,0.5} {1.04, } {1.05,0.5,0.5} {1.05, } {1.06,0.5,0.5} {1.06, } {1.07,0.5,0.5} {1.07, } {1.08,0.5,0.5} {1.08, }

36 7 {1.09,0.5,0.5} {1.09, } {1.1,0.5,0.5} {1.1, } {1.11,0.5,0.5} {1.11, } {1.1,0.5,0.5} {1.1, } {1.13,0.5,0.5} {1.13, } {1.14,0.5,0.5} {1.14, } {1.15,0.5,0.5} {1.15, } {1.16,0.5,0.5} {1.16, } {1.17,0.5,0.5} {1.17, } {1.18,0.5,0.5} {1.18, } {1.19,0.5,0.5} {1.19,-0.688} {1.,0.5,0.5} {1.,-0.64} {1.1,0.5,0.5} {1.1, } {1.,0.5,0.5} {1., } {1.3,0.5,0.5} {1.3, } {1.4,0.5,0.5} {1.4, } {1.5,0.5,0.5} {1.5, } {1.6,0.5,0.5} {1.6, } {1.7,0.5,0.5} {1.7, } {1.8,0.5,0.5} {1.8, } {1.9,0.5,0.5} {1.9, } {1.3,0.5,0.5} {1.3, } {1.31,0.5,0.5} {1.31, } {1.3,0.5,0.5} {1.3, } {1.33,0.5,0.5} {1.33, } {1.34,0.5,0.5} {1.34, } {1.35,0.5,0.5} {1.35, } {1.36,0.5,0.5} {1.36, } {1.37,0.5,0.5} {1.37, } {1.38,0.5,0.5} {1.38, } {1.39,0.5,0.5} {1.39, } {1.4,0.5,0.5} {1.4, } {1.41,0.5,0.5} {1.41, } {1.4,0.5,0.5} {1.4, } {1.43,0.5,0.5} {1.43, } {1.44,0.5,0.5} {1.44, } {1.45,0.5,0.5} {1.45, } {1.46,0.5,0.5} {1.46,-0.461} {1.47,0.5,0.5} {1.47, } {1.48,0.5,0.5} {1.48, } {1.49,0.5,0.5} {1.49, } {1.5,0.5,0.5} {1.5,-0.375} {1.51,0.5,0.5} {1.51, } {1.5,0.5,0.5} {1.5, } {1.53,0.5,0.5} {1.53, }

37 8 {1.54,0.5,0.5} {1.54, } {1.55,0.5,0.5} {1.55, } {1.56,0.5,0.5} {1.56, } {1.57,0.5,0.5} {1.57, } {1.58,0.5,0.5} {1.58,-0.659} {1.59,0.5,0.5} {1.59, } {1.6,0.5,0.5} {1.6, } {1.61,0.5,0.5} {1.61, } {1.6,0.5,0.5} {1.6,-0.084} {1.63,0.5,0.5} {1.63, } {1.64,0.5,0.5} {1.64, } {1.65,0.5,0.5} {1.65, } {1.66,0.5,0.5} {1.66, } {1.67,0.5,0.5} {1.67, } {1.68,0.5,0.5} {1.68, } {1.69,0.5,0.5} {1.69, } {1.7,0.5,0.5} {1.7, } {1.71,0.5,0.5} {1.71, } {1.7,0.5,0.5} {1.7, } {1.73,0.5,0.5} {1.73, } {1.74,0.5,0.5} {1.74, } {1.75,0.5,0.5} {1.75, } {1.76,0.5,0.5} {1.76, } {1.77,0.5,0.5} {1.77, } {1.78,0.5,0.5} {1.78, } {1.79,0.5,0.5} {1.79,0.1178} {1.8,0.5,0.5} {1.8,0.144} {1.81,0.5,0.5} {1.81, } {1.8,0.5,0.5} {1.8, } {1.83,0.5,0.5} {1.83,0.189} {1.84,0.5,0.5} {1.84, } {1.85,0.5,0.5} {1.85,0.6054} {1.86,0.5,0.5} {1.86,0.8495} {1.87,0.5,0.5} {1.87, } {1.88,0.5,0.5} {1.88, } {1.89,0.5,0.5} {1.89, } {1.9,0.5,0.5} {1.9, } {1.91,0.5,0.5} {1.91,0.4164} {1.9,0.5,0.5} {1.9, } {1.93,0.5,0.5} {1.93, } {1.94,0.5,0.5} {1.94, } {1.95,0.5,0.5} {1.95,0.5165} {1.96,0.5,0.5} {1.96, } {1.97,0.5,0.5} {1.97, } {1.98,0.5,0.5}

38 9 {1.98, } {1.99,0.5,0.5} {1.99, } {.,0.5,0.5} {., } strictly stable node

39 30 Lampiran 4. Program untuk menggambarkan medan vektor dan bidang fase disekitar titik tetapnya pada contoh kasus nilai θ = 0.5, ε = 0.5, dengan nilai a = 1.1, a = 1, a = 0.5, a = 1, dan a = 1.1. sysid Mathematica 5.. 0, DynPac 10.71, 4 / 18 / 007 intreset; plotreset; setstate@8, y<d; setparm@8a, ε, θ<d; slopevec = 9 1 i jy+ 3 y z, + asin@ π θd=; ε k 3 { sysname = "gambar 1"; (* Parameter Assignment *) parmval={-1.1,0.5,0.5}; (* Plotting Sollution *) asprat=0.7; answer=integrate[{1,0},0,0.1,00]; plrange=automatic; graph1=timeplot[answer,1] graph=timeplot[answer,] show[graph1,graph]; (* Direction Fields *) plrange={{-5,5},{-5,5}}; dirfield; (* Potrait *) initset={{4,-3},{3,-4},{-4,5},{-4,3}}; rangeflag=true;ranger=plrange; arrowflag=true;arrowvec={1/}; portrait[initset,0,0.1,400,1,]; (* NullClines *) plrange={{-10,10},{-10,10}}; nullcliney