ANALISIS KESTABILAN MODEL DUA PEMANGSA DAN SATU MANGSA DENGAN PENERAPAN RACUN

Transkripsi

1 Jurnal SCIENCETECH Vol No April6 ANALISIS KESTABILAN MODEL DUA PEMANGSA DAN SATU MANGSA DENGAN PENERAPAN RACUN Irham Tauiq Fakultas Keuruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sarjanawiata Tamansiswa ABSTRACT This research discussed pre and predator model showin the interaction between one pre and two predators b usin poison The interaction between pre and predator used response unction o Hollin tpe II The rowth o pre and predator used loistic unction From the model it was ound ive equilibrium points The local stabilit o each equilibrium point was analzed To make it easier in interpretin the dnamic between pre and two predators and the eect o ivin poison the numeric simulation was done b showin the chane o parameter o the level o death due to poison and the eicienc o chanin the pre consumption towards the birth o the irst and second predators Kewords: pre-predator model poison numeric simulation equilibrium point PENDAHULUAN Sejumlah racun dapat menkontaminasi suatu ekosistem Salah satu contohna adalah penunaan racun secara instan dan teratur pada bidan pertanian Racun dapat membunuh hama cepat namun hasil pertanian tersebut membahaakan kesehatan bai hewan-hewan bahkan manusia Hubunan antara mansa dan pemansa dapat dimodelkan secara matematis menjadi model mansa-pemansa Menurut (Edwards C H dan Penne D E 8) model mansa pemansa an palin sederhana adalah model Lotka-Volterra Model Lotka-Volterra hana melibatkan satu pemansa dan satu mansa saja sedankan pada beberapa ekosistem terdapat predasi an melibatkan dua pemansa mansa an sama Contoh predasi semacam ini adalah weren batan padi coklat (Nilaparvata luens Stal) an dimansa oleh pemansa alamina seperti kumban Menochilus semaculatus dan kepik mirid (Crtorhinus lividipennis) Model Lotka- Volterra dapat dikembankan untuk memodelkan interaksi antara dua pemansa dan satu mansa Salah satuna adalah (Alebraheem J dan Abu-Hasan Y ) telah menurunkan model dua pemansa dan satu mansa asumsi pertumbuhan mansa dan pemansa menikuti pertumbuhan loistik dimana terjadi kompetisi antara kedua predator tersebut Di lain pihak (KarTK Ghorai A and Jana SW ) jua telah menurunkan model mansa pemansa penerapan racun/pestisida Oleh karena itu pada penelitian ini Penulis tertarik untuk menkaji model mansa pemansa an melibatkan dua pemansa an salin berkompetisi dan satu mansa asumsi pertumbuhan mansa dan pemansa menikuti pertumbuhan loistik penerapan racun HASIL DAN PEMBAHASAN Pembentukan Model Berikut akan dibahas menenai pembentukan model mansa pemansa dua pemansa dan satu mansa Jumlah individu pada populasi mansa pada saat waktu () t t dinotasikan jumlah individu pada populasi pemansa pertama pada saat () t waktu t dinotasikan jumlah individu pada populasi pemansa kedua pada zt () saat waktu t dinotasikan Kemudian diasumsikan bahwa populasi pemansa dan populasi mansa bersiat tertutup artina tidak ada pemansa dan mansa an melakukan mirasi

2 Jurnal SCIENCETECH Vol No April 6 Model mansa pemansa an dikaji terdiri dari dua pemansa dan satu mansa Terjadi interaksi antara mansa dan pemansa Antara pemansa an satu an lainna salin berkompetisi artina terjadi persainan antara kedua pemansa untuk mendapatkan mansa tersebut Pertumbuhan mansa dan pemansa menikuti pertumbuhan loistik Selanjutna diasumsikan bahwa apabila tidak ada interaksi antara pemansa dan mansa maka per-tumbuhan mansa menikuti model loistik aitu adana keterbatasan daa dukun linkunan sebesar k dan tinkat pertumbuhan intrinsik r akibatna r / k mansa akan bertambah laju Pemansaan pemansa pada kelas mansa menunakan respon Hollin tipe II aitu () / h Ketika terdapat interaksi antara pemansa pertama dan mansa sebesar pertumbuhan mansa akan berkuran sebesar ( ) an merupakan laju perkalian antara unsi respon Hollin tipe II populasi () / h pemansa dimana adalah tinkat pencarian dan penankapan mansa oleh pemansa pertama dan adalah tinkat penananan dan pencernaan pemansa () / h pertama Ketika terdapat interaksi antara pemansa kedua dan mansa sebesar pertumbuhan mansa akan berkuran sebesar ( z ) an merupakan laju perkalian antara unsi respon Hollin tipe II pemansa () / h z diperoleh adalah tinkat pencarian dan penankapan mansa oleh pemansa kedua dan adalah tinkat penananan dan pencernaan pemansa () z z / h kedua sehina Adana kematian alami pada populasi m mansa laju menakibatkan populasi m mansa akan berkuran sebesar Banakna kematian diakibatkan oleh racun aitu an merupakan perkalian antara laju kematian akibat racun kepadatan populasi mansa h h ( ) ( ) Denan demikian laju perubahan jumlah mansa terhadap waktu dapat dinatakan sebaai d r z k h h m () Kemudian apabila tidak ada mansa maka terjadi penurunan populasi pemansa pertama tinkat kematian alami sebesar u tetapi apabila terdapat mansa maka terjadi interaksi antara mansa dan pemansa pertama pertumbuhan pemansa menikuti model loistik aitu adana keterbatasan daa dukun linkunan sebesar k k a sebandin tidak tersediana sejumlah mansa dan tinkat pertumbuhan respon numerik sehina pemansa akan bertambah laju R / k R e/ h e menatakan penubahan konsumsi mansa ke dalam kelahiran pemansa pertama Selain itu Terjadi interaksi antara pemansa an satu lainna Tinkat kompetisi dari pemansa pertama pada pemansa kedua sebesar Akibatna populasi pemansa pertama akan berkuran c z sebesar Banakna kematian diakibatkan oleh racun aitu an merupakan perkalian antara laju kematian akibat racun kepadatan populasi pemansa pertama Denan demikian laju perubahan jumlah pemansa pertama terhadap waktu dapat dinatakan sebaai d u R cz k () Selanjutna apabila tidak ada mansa maka terjadi penurunan populasi pemansa kedua tinkat kematian alami sebesar w tetapi apabila terdapat mansa maka terjadi interaksi antara mansa dan pemansa kedua pertumbuhan pemansa menikuti model loistik aitu adana keterbatasan daa dukun linkunan sebesar k z sebandin tidak tersediana sejumlah mansa dan tinkat pertumbuhan respon R numerik sehina pemansa akan Rz z/ kz bertambah laju c R kz a

3 Jurnal SCIENCETECH Vol No April6 R e / h e dan menatakan peunubahan konsumsi mansa ke dalam kelahiran pemansa kedua Selain itu Terjadi interaksi antara pemansa an satu lainna Tinkat kompetisi dari pemansa kedua pada pemansa pertama c sebesar Akibatna populasi pemansa c z kedua akan berkuran sebesar Banakna kematian z diakibatkan oleh racun z aitu an merupakan perkalian antara laju kematian akibat racun kepadatan populasi pemansa kedua z Denan demikian laju perubahan jumlah pemansa kedua terhadap waktu dapat dinatakan sebaai dz z wz Rz kz c z z (3) Berdasarkan Persamaan () () dan (3) diperoleh model dua pemansa dan satu mansa penerapan racun an berupa sistem persamaan dierensial non linier d z r k h h m d u R cz k dz z wz Rz cz z kz () sarat awal z z dan () (4) R e / h k Jika a R e/ h kz a dan disubstitusikan ke Persamaan (4) maka Persamaan (4) menjadi: d z r k h h m d e e h h a u dz e z e z h h a w z (5) () Sistem (7) dapat ditulis dalam bentuk tak berdimensi untuk mereduksi banakna parameter Hal ini menakibatkan analisis matematikana tidak rumit Selanjutna z t rt z k ak ak ka ka e e r r a e u w rh e u w h a r r a rh a kc a kc h c c a r r m m r r dideinisikan (6) Kemudian persamaan-persamaan pada Persamaan (6) disubstitusikan ke Persamaan (5) Kemudian menhapus bar pada semua parameter dan menederhanakanna maka Persamaan (5) menjadi Persamaan (5) menjadi d z h h m d e e c z h h u dz ez ez c z h h w z (7) L Mi; i unsi adalah unsi kontinu smooth pada 3 3 z : z Teorema Solusi dari Sistem (7) an berada 3 t di untuk adalah terbatas Bukti: Persamaan pertama dari Sistem (7) adalah d z h h m (8) / h z / h m karena d maka (8) menjadi d Selanjutna jika maka memiliki solusi be t t Akibatna

4 Jurnal SCIENCETECH Vol No April 6 Selain itu solusi dan z jua terbatas Karena keterbatasanna menikuti keterbatasan Titik Ekuilibrium Model dan Kestabilanna Jika 3 atau d maka Kemudian jika atau maka () () (9) () Kemudian jika maka z (3) atau e e z w h h (4) Berdasarkan uraian di atas dari Persamaan (9) () dan (3) diperoleh titik ekuilibrium aitu TE Kemudian dari Persamaan () () dan (3) diperoleh titik ekuilibrium TE m Selanjutna dari Persamaan () () dan (3) diperoleh titik ekuilibrium Selanjutna dari Persamaan () () dan (4) diperoleh titik ekuilibrium eˆ wh ˆ TE4 ˆ e z m h h d e e u h h dz TE3 e u h e ( u ) h e h + ( u ) h u 4h e e h ( w ) h e h + ( w ) h w 4h e e h Selanjutna dari Persamaan () () dan TE5 z (4) diperoleh titik ekuilibrium z e c h e w e( m) e h dan Kestabilan titik-titik ekuilibrium diselidiki dari hasil linierisasi di sekitar titik ekuilibriumna dan disajikan pada teorama berikut m Teorema Jika maka titik TE bersiat stabil asimtotik lokal e m u h m Jika e m w hm dan m dipenuhi maka titik ekuilibrium TE m bersiat stabil asimtotik lokal h h hh hh Jika dan h33 dipenuhi maka titik ekuilibrium TE3 e u h e bersiat stabil asimtotik lokal Jika dan < dipenuhi maka titik ekuilibrium eˆ whˆ TE4 ˆ e bersiat stabil asimtotik lokal A B C AB C Jika dan maka titik ekuilibrium asimtotik lokal e eue( m) e h e c h e bersiat stabil e uh h ( m) e h Denan e e u h h ( u) h h TE5 z

5 Jurnal SCIENCETECH Vol No April6 h h h h h e u h h e u h ˆ ˆ eˆ w h ˆ ( m) e h 3 ˆ h ˆ e e z 33 h h h c e u h w e ˆ h ˆ e ˆ w h 3 33 h eˆ wh ˆ h ˆ e ˆ ˆ ˆ e w h h ˆ h ˆ ( w ) ( ) ˆ e ˆ e ˆ w h c h ˆ e ( u ) A B C h z h hz ( m ) h e e z c ( w) 33 h h 3 h h h h e h h h e h e h e e u h h c cz 3 3 ( ) h h e z h e h z e hz 3 Simulasi Numerik Simulasi model dilakukan menunakan Sotware Maple Simulasi ini bertujuan untuk melenkapi hasil-hasil an diperoleh secara analisis pada bab sebelumna Pada baian ini dilakukan simulasi titik ekuilibrium untuk menetahui perilaku dinamik penelesaian Sistem (7) dalam janka waktu an lama di sekitar titik ekuilibrium tersebut Dalam simulasi model mansa pemansa dua pemansa dan satu mansa di linkunan beracun ini diunakan weren batan padi coklat sebaai mansa sedankan Menochilus semaculatus sebaai pemansa pertama dan kepik mirid sebaai pemansa kedua Simulasi model matematika mansa pemansa ini pada Sistem (7) menunakan nilai parameter berdasarkan (Alebraheem J dan Abu-Hasan Y ) dan (KarTK Ghorai A and Jana SW ) Adapun nilai-nilai parameter an diunakan adalah m ; u 55; w 65; c 8; c 5; 4; 5; e 8; e 79; h 5; h 4; 5; Dan diambil nilai awalna sebaai berikut () 5; () ; z() Denan berantun pada nilai parameter e dan e an berbeda hal ini dapat ditunjukkan secara numerik eksistensi dan kepunahan dari salah satu pemansa pada solusi non periodik (siklus kehidupan tidak akan berhenti) e dan e Parameter merupakan parameter an sanat pentin karena termuat dalam unsi respon dan respon numerik an membentuk komponen utama dari model mansa pemansa Permainan respon unsi merupakan peranan pentin dalam interaksi diantara mansa dan e dan e pemansa Ukuran parameter menatakan eisiensi penubahan konsumsi mansa terhadap kelahiran pemansa pertama dan kedua Ada beberapa simulasi numerik an berbeda an dilakukan aitu 95 Jika parameter parameter lain seperti an telah ditetapkan Diperoleh titik ekuilibrikum TE 4

6 Jurnal SCIENCETECH Vol No April 6 95 Gambar Potret Fase Sistem (7) untuk 4 Jika parameter dan parameter lain seperti an telah ditetapkan Diperoleh titik ekuilibrium TE Gambar 4 Potret Fase Sistem (7) untuk e 8 dan e 45 e 5 Nilai ditetapkan 8 sedankan nilai e 79 diubah-ubah untuk menunjukkan adana kecocokan hasil pada keeksistensian dan kepunahan dari pemansa berantun pada keeesiensian dari konversi tersebut Gambar Potret Fase Sistem (7) untuk 4 e 5 e 3 Nilai ditetapkan 79 sedankan nilai diubah-ubah untuk menunjukkan dampak dari eisiensi penubahan mansa terhadap kelahiran pemansa pada keeksistensian dan kepunahan dari salah satu pemansa Diperoleh titik ekuilibrium TE 3 Gambar 3 Potret Fase Sistem (7) untuk e 45 dan e 79 e 4 Nilai ditetapkan 8 sedankan nilai e diubah-ubah untuk menunjukkan adana kecocokan hasil pada keeksistensian dan kepunahan dari pemansa berantun pada keeesiensian dari konversi tersebut Gambar 5 Potret Fase Sistem (7) untuk e 8 dan e 79 KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa dalam penelitian ini diberikan model mansa pemansa dua pemansa dan satu mansa penerapan racun respon pemansaanna menunakan unsi respon Hollin tipe II dan laju pertumbuhan mansa dan pemansa memenuhi unsi loistik Sistem (9) memiliki lima titik ekuilibrium Kestabilan titik ekuilibrium Sistem (9) dianalisis hana kestabilan lokal Pada simulasi ini ketia populasi akan tetap bertahan hidup ketika nilai dari tinkat eisiensi penubahan konsumsi mansa terhadap kelahiran pemansa pertama dan kedua salin berdekatan Adana racun jua mempenaruhi penurunan ketia populasi tersebut DAFTAR PUSTAKA Alebraheem J dan Abu-Hasan Y Persistence o predators in a two predators-one pre model with non periodic solution Applied Mathematical SciencesVol 6 No Edwards C H dan Penne D E 8 Elementar Dierential quations (Sith Edition) Pearson Education Inc New York KarTK Ghorai A and Jana SW Dnamics o Pest and its Predator Model with Disease in the Pest and Optimal Use o Pesticide Fever Epidemic Throuh the use American Journal o Theoretical Biolo 3: 87-98