ANALISIS MODEL MATEMATIKA PREDATOR-PREY DENGAN PREY YANG TERINFEKSI SKRIPSI

Transkripsi

1 ANALISIS MODEL MATEMATIKA PREDATOR-PREY DENGAN PREY YANG TERINFEKSI SKRIPSI TYAS WIDYA NINGRUM PROGRAM STUDI MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA SURABAYA 2016

2 ANALISIS MODEL MATEMATIKA PREDATOR-PREY DENGAN PREY YANG TERINFEKSI SKRIPSI TYAS WIDYA NINGRUM PROGRAM STUDI MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA SURABAYA 2016 i

3

4

5 PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penulis dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga. iv

6

7 KATA PENGANTAR Puji syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena atas limpahan rahmat dan hidayah-nya kepada penulis sehingga skripsi yang berjudul Analisis Model Matematika Predator-Prey dengan Prey yang Terinfeksi ini dapat terselesaikan dengan baik. Sholawat serta salam bahagia semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita, Nabi Besar Muhammad SAW, pemimpin sekaligus sebaik-baiknya suri tauladan bagi kehidupan umat manusia. Ucapan terima kasih disampaikan kepada : 1. Universitas Airlangga yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk menuntut ilmu. 2. Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi Kementerian Pendidkan dan Kebudayaan yang telah memberikan Beasiswa Peningkatan Prestasi Akademik (PPA) dan Bantuan Belajar Mahasiswa (BBM). 3. Badrus Zaman, S.Kom., M.Cs, selaku Kepala Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga sekaligus dosen pembimbing II yang selalu memberikan saran dan motivasi. 4. Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si., selaku Koordinator Program Studi S-1 Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga yang selalu memberikan saran dan motivasi. vi

8 5. Dr.Windarto, M.Si selaku dosen wali yang selalu memberikan saran, motivasi, dan inspirasi dalam perkuliahan dengan penuh kesabaran, ketelitian, serta keramahan. 6. Dr. Fatmawati, M.Si selaku dosen pembimbing I yang senantiasa sabar dan teliti dalam memberikan bimbingan berupa ilmu, saran, dan waktu serta motivasi. 7. Dr. Miswanto, M.Si selaku dosen pembimbing II yang senantiasa dengan sabar memberikan bimbingan berupa arahan dan masukan kepada penulis. 8. Seluruh dosen di Universitas Airlangga, khususnya Departemen Matematika yang telah menyampaikan ilmu kepada Penulis tanpa pamrih dan tak kenal lelah. 9. Kedua orang tua saya yang tercinta, Sudarmanto dan Musriah serta keluarga besar yang selalu memberikan dukungan, semangat, nasihat dan doa terbaiknya dalam menyelesaikan skripsi. 10. Suci, Puti, Suti, Agustina, Arthak, Adeisty, Addina, Nabilah, Aryati, Raditya Rezki yang telah mengajarkan arti sahabat selama ini. 11. Gemilau, Almira, Midah, Dita, dan Adelia yang selalu memberikan dukungan berupa motivasi, waktu, dan tenaga dalam menyelesikan skripsi. 12. Teman-teman seperjuangan mahasiswa Program Studi Matematika 2012 atas dukungan dan kebersamaannya selama ini. 13. Serta semua pihak yang tidak dapat Penulis sebutkan seluruhnya yang telah membantu menyelesaikan skripsi ini. vii

9 Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat sebagai bahan pustaka bagi pembaca khususnya mahasiswa Universitas Airlangga. Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penyusunan proposal ini, sehingga saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan untuk perbaikan penulisan selanjutnya. Surabaya, 29 Februari 2016 Tyas Widya Ningrum viii

10 Tyas Widya Ningrum, 2016, Analisis Model Matematika Predator-Prey Dengan Prey Yang Terinfeksi, Skripsi ini dibimbing oleh Dr. Fatmawati, M.Si dan Dr. Miswanto, M.Si, Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya. ABSTRAK Dalam hubungan rantai makanan, kegiatan predasi ini sangat penting untuk mendukung keberlangsungan hidup tiap-tiap populasi. Kegiatan predasi yang dilakukan oleh predator tidak hanya memangsa prey yang sehat saja tetapi juga prey yang terinfeksi. Hal ini dikarenakan bahwa prey terinfeksi akan lebih mudah dimangsa oleh predator karena tidak membutuhkan waktu dan tenaga yang lebih banyak. Tujuan skripsi adalah menganalisis dua model predator-prey dengan prey yang terinfeksi yakni model pertama adalah model predator-prey dengan prey yang terinfeksi tanpa memperhatikan pemangsaan pada prey yang sehat dan model kedua adalah predator-prey dengan prey yang terinfeksi dengan memperhatikan pemangsaan pada prey yang sehat. Dari analisis model pertama diperoleh empat titik setimbang, yakni kepunahan, kepunahan predator, kepunahan prey yang terinfeksi dan koeksistensi prey dan predator. Titik setimbang tidak stabil, sedangkan titik setimbang dan stabil asimtotis dengan syarat tertentu. Berdasarkan simulasi numerik, ketika ketiga spesies eksis maka jumlah predator akan meningkat kemudian menurun secara perlahan karena terinfeksi dari prey terinfeksi dan keterbatasan kawin. Sedangkan dari analisis model kedua diperoleh empat titik setimbang, yakni kepunahan, kepunahan predator, kepunahan prey yang terinfeksi, dan koeksistensi prey dan predator. Titik setimbang dan tidak stabil, sedangkan titik setimbang dan stabil asimtotis dengan syarat tertentu. Berdasarkan simulasi numerik, ketika ketiga spesies eksis maka jumlah prey sehat dan predator akan menurun secara perlahan sedangkan jumlah prey terinfeksi akan meningkat karena tertularnya infeksi pada prey sehat. Kata Kunci : Model predator-prey, prey terinfeksi, titik setimbang, kestabilan. ix

11 Tyas Widya Ningrum, 2016, Analysis of Mathematical Model of Predator-Prey using Infected Prey, this thesis is supervised by Dr. Fatmawati, M.Si and Dr. Miswanto, M.Si, Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, University of Airlangga, Surabaya. ABSTRACT In a food chain, predation is incredibly important for the survival of each population. Predation is not only targeting a healthy prey, but also an infected prey; as an infected prey requires less time and energy to be preyed. This is because that would be more easily infected prey eaten by predators because it does take time and more energy. The aims of this thesis is to analyze two predator-prey models using infected prey are predator-prey model using infected prey without taking healthy prey into account and on predator-prey model while taking healty prey into account. Based on the analysis of first model, four equilibriums are obtained. Those are extinction (E 0 ), predator extinction (E 1 ), infected prey extinction (E 2 ), and the coexistence between prey and predator (E 3 ). The E 0 equilibrium is unstable; while E 1, E 2, E 3 are stable asymptotically under certain conditions. Based on numerical simulation, when the three species exist, the number of predators will increase and then decrease slowly because infected from infected prey and mating constraints. Furthermore based on the second model, four equilibriums are obtained. Those are extinction (F 0 ), predator extinction (F 1 ), infected prey extinction (F 2 ), and the coexistence between prey and predator (F 3 ). The F 0 and F 3 equilibriums are unstable; while F 1 and F 2 equilibriums are asymptotically stable under certain conditions. Based on numerical simulation, when the three species exist, the number of healthy prey and predators will decline slowly, while the number of infected prey will increase because of transmission of infection in healthy prey. Keyword: Predator-prey model, equilibrium, infected model, stability x

12 DAFTAR ISI Halaman LEMBAR JUDUL... LEMBAR PERNYATAAN... LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI... LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI... SURAT PERNYATAAN TENTANG ORISINALITAS... KATA PENGANTAR ABSTRAK... ABSTRACT... DAFTAR ISI..... DAFTAR TABEL... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR LAMPIRAN... i ii iii iv v vi ix x xi xiv xv xvi BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Rumusan Masalah Tujuan Manfaat Batasan Masalah... 5 BAB II TINJUAN PUSTAKA Eco-Epidemiologi... 6 xi

13 2.2. Sistem Persamaan Diferensial Analisis Kestabilan Linier Kriteria Routh-Hurwitz Model Lotka Voltera Predator-Prey (Pemangsa-Mangsa) Efek Allee Model Holling BAB III METODE PENELITIAN BAB IV PEMBAHASAN Model predator-prey tanpa memperhatikan pemangsaan pada prey rentan Titik Setimbang Model predator-prey tanpa memperhatikan pemangsaan pada prey rentan Analisis Kestabilan Asimtotis Lokal Simulasi Numerik Model predator-prey dengan memperhatikan pemangsaan pada prey rentan Titik Setimbang Model predator-prey dengan memperhatikan pemangsaan pada prey rentan Analisis Kestabilan Asimtotis Lokal Simulasi Numerik BAB V PENUTUP Kesimpulan Saran xii

14 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xiii

15 DAFTAR TABEL Tabel Judul Halaman 4.1 Deskripsi variabel dan parameter dalam model matematika predator-prey dengan prey yang terinfeksi Nilai parameter model predator-prey tanpa memperhatikan pemangsaan pada prey rentan Nilai awal variabel model pertama Nilai parameter model predator-prey dengan memperhatikan pemangsaan pada prey rentan 41 xiv

16 DAFTAR GAMBAR Gambar Judul Halaman 4.1 Grafik bidang fase dan pada titik setimbang Grafik model predator-prey tanpa memperhatikan pemangsaan pada prey rentan untuk titik setimbang kepunahan predator Grafik model predator-prey tanpa memperhatikan pemangsaan pada prey rentan untuk titik setimbang kepunahan prey terinfeksi Grafik model predator-prey tanpa memperhatikan pemangsaan pada prey rentan untuk titik setimbang koeksistensi Grafik model predator-prey tanpa memperhatikan pemangsaan pada prey rentan untuk titik setimbang kepunahan predator Grafik model predator-prey tanpa memperhatikan pemangsaan pada prey rentan untuk titik setimbang kepunahan prey terinfeksi Grafik model predator-prey tanpa memperhatikan pemangsaan pada prey rentan untuk titik setimbang koeksistensi 49 xv

17 DAFTAR LAMPIRAN Nomor Judul Lampiran 1 Perhitungan titik setimbang koeksistensi 2 Kode program Matlab grafik bidang fase koeksistensi 3 Kode program Matlab grafik dinamika populasi model predatorprey dengan prey terinfeksi untuk titik setimbang kepunahan predator 4 Kode program Matlab grafik dinamika populasi model predatorprey dengan prey terinfeksi untuk titik setimbang kepunahan prey terinfeksi 5 Kode program Matlab grafik dinamika populasi model predatorprey dengan prey terinfeksi untuk titik setimbang koeksistensi 6 Perhitungan titik setimbang koeksistensi 7 Kode program Matlab grafik dinamika populasi model predatorprey dengan prey terinfeksi untuk titik setimbang kepunahan predator 8 Kode program Matlab grafik dinamika populasi model predatorprey dengan prey terinfeksi untuk titik setimbang kepunahan prey terinfeksi 9 Kode program Matlab grafik dinamika populasi model predatorprey dengan prey terinfeksi untuk titik setimbang koeksistensi xvi