r dinotasikan dengan t(t), iu*luh individu pada populasi pemangsa pertama pada saat

Transkripsi

1 :.'l ANALISIS KESTABILAN MODEL DUA PEMANGSA DAN SATU MANGSA DENGAN PENERAPAN RACUN F aku ltas Ke guruan dan r lmu rjtlilfrllfl,s^,,", S arj anawiyata Taman s i swa ABSTRACT This research discussed prey and predator model showing the interaction between one prey and two predators by using poison. The interaction bin e"n prey and prerlalor ased response function of Hotting epe II. The growth of prey and predator used rogistic filnction' From the model, it was.found five equilibrium'poinis. The local stability of each equilibrium point was analyzed. To make it eqsier in interpreting the dynantic between prey and two predators and the elfect of giving poison, the numeiic simulation was done by sltowing the change of parameter of the tevii of death due to poisotn and the fficiency of changing the prey consumption towards the birth of the first ond,,n:,rord predators. Keywords; prey-predator moder, poison, numeric simurarion, equiribrium point PENDAITULUAN Sejumlah racun dapat mengkontaminasi sua_ tu ekosistem. Salah satu contohnya adalah penggunaan racun secara instan dan teratur pada bidang pertanian. Racun dapat membunuh hama cepat namun hasil pertanian tersebut membahayakan kesehatan bagi hewan_hewan bahkan manusia. Hubungan antara mangsa dan pemangsa dapat dimodelkan secara matematis menjadi model mangsa-pemangsa. Menurut (Edwards, C. H., dan Penney, D. E., 200g) model mangsa pemangsa yang paling sederhana adalah model Lotka-Volterra. Model Lotka-Volterra hanya melibatkan satu pemangsa dan satu mangsa saja sedangkan pada beberapa ekosistem terdapat predasi yang melibatkan dua pemangsa mangsa yang sama. Contoh predasi semacam ini adalah wereng batangpadi coklat (Nilaparvata lugens Stal.) yang dimangsa oleh pemangsa alaminya, seperti kurnbang Menochilus sexmaculatus dan kepik mirid (Cyrtorhinus lividipennis). Model Lotka_ Volterra dapat dikembangkan untuk memodelkan interaksj antara dua pemangsa dan satu mangsa. Salah satunya adalah (Alebraheem, J dan Abu-Hasan, y.,2012) telah menurunkan model dua pemangsa dan satu mangsa asumsi pertumbuhan mangsa dan pemangsa mengikuti pertumbuhan logistik dimana terjadi kompetisi antara kedua predator tersebut. Di lain pihak, (Kar,T.K., Ghorai. A., and Jana, S.W., 2012) juga telah menurunkan model mangsa pemangsa penerapan racun/pestisida. Oleh karena itu, pada penelitian ini Penulis tertarik untuk mengkaji model mangsa pemangsa yang melibatkan dua pemangsa yang saling berkompetisi dan satu mangsa asumsi pertumbuhan mangsa dan pemangsa mengikuti pertumbuhan logistik penerapan racun. HASIL DAN PEMBAHASAN Pembentukan Model Berikut akan dibahas mengenai pembentukan model mangsa pemangsa dua pemangsa dan satu mangsa. Jumlah individu pada pqtulasi mangsa pada saat waktu r dinotasikan t(t), iu*luh individu pada populasi pemangsa pertama pada saat waktu r dinotasikan,"(t), jumlah individu pada populasi pemangsa kedua pada saat waktu / dinotasikan '('). Kemudian diasumsikan bahwa populasi pemangsa dan populasi mangsa bersifat ter_ tutup, artinya tidak ada pemangsa dan mangsa yang melakukan migrasi. 100

2 Model mangsa pemangsa yang dikaji rerdiri dari dua pemangsa dan satu mangsa. Terjadi interaksi antara mangsa dan pemangsa. Antara pemangsa yang satu yang lairmya saling berkompetisi artinya terjadi persaingan antara kedua pemangsa untuk mendapatkan mangsa tersebut. Peffumbuhan mangsa dan pemangsa mengikuti pertumbuhan logistik. Selanjutnya, diasumsikan bahwa apabila tidak ada interaksi antara pemangsa dan mangsa. maka per-tumbuhan mangsa mengikuti model logistik yaitu adanya keterbatasan da1'a dukung lingkungan sebesar ft dan tinekat pertumbuhan intrinsik r akibatnya mangsa akan bertambah luj, ''(' -r lk) P:nrangsaan pemangsa pada kelas mangsa mene gunakan respon Hollins tipe II 1,aitu -Ei-l:) = 11,1 7-,:,:.-. Ketika terdapat interaksi antara pemangsa pertama dan mangsa sebesar s{.rr' perfumbuhan mangsa akan berkurang sebesar 8, (r )l yang merupakan laju perkalian antara fungsi respon Holling tipe II populasi pemangsa, dimana g'(xl = ar I (l + h'ar) " adalah tingkat pencarian dan penangkapan mangsa oleh pemangsa pertama dan h adalah tingkat penanganan dan pencernaan pemangsa ' glxt) =u, l(l+h(tx) pertama, Ketika terdapat interaksi antara pemangsa kedua dan mangsa sebesar 8,(r), perfumbuhan mangsa akan berkurang sebesar 8, (r): yang merupakan laju perkalian antara fungsi respon Holling tipe II pemangsa z, diperoleh g'o)= px tli+h'pr) p adalah tingkat pencarian dan penangkapan mangsa oleh pemangsa kedua dan 4 adalah tingkat penanganall dan pencernaan pemangsa o rr) = przt(l*/4pr) kedua. seh ingga '"-' Adanya kematian alami pada populasi mangsa laju "' mengakibatkan populasi mangsa akan berkurang sebesar,rx. Banyaknya kematian x diakibatkan oleh uux racun, yaitu yang menrpakan perkalian antara laju kematian akibat racun kepadatan populasi mangsa x. 101 Dengan demikian. laju perubahan jurnlalr man_qsa terhadap uaktu dapat dinyatakan sebagai dt... l,. I o-\r /is: dr k l+ltat l-h./r.\' (l) Kemudian. apabila tidak ada mangsa maka terjadi penurunan populasi pemangsa pertama tingkat kematian alami sebesar u tetapi apabila terdapat mangsa maka terjadi interaksi antara mangsa dan pemangsa pertama, pertumbuhan pemangsa mengikuti model logistik yaitu ad,anya keterbatasan daya dukung lingkungan sebesar fi ki -0i sebanding tersedianya sejumlah mangsa pertumbuhan pemangsa Rr (1 -i /r, ) tidak dan tingkat respon numerik 4 sehingga akan bertarnbah laju r^-^^.- R,=dx, (l+l{xx) oengan '' menyatakan pengubahan konsumsi mangsa ke dalam kelahiran pemangsa pertarna. Selain itu, Terjadi interaksi antara pemangsa yang satu lainnya. Tingkat kompetisi dari pemangsa pertama pada pemangsa kedua sebesar cl Akibatnya, populasi pemangsa pertama akan berkurang sebesar cj:. Banyaknya kematian y diakibatkan oleh racun lt. yaitu Py yang merupakan perkalian anlara laju kematian akibat racun kepadatan populasi pemangsa pertama y. Dengan demikian, laju perubahan jumlah pemangsa pertama terhadap waktu dapat dinyatakan sebagai ch' f ') -i=-rl +R1II-- l-c,1:- trt.v dr -1. k, ) Q) Selanjutnya, apabila tidak ada mangsa maka terjadi penurunan populasi pemangsa kedua tingkat kematian jlami sebesar w tetapi apabila terdapat mangsa maka terjadi interaksi antara mangsa dan pemangsa kedua, pertumbuhan pemangsa rnengikuti model logistik yaitu adanya keterbatasan daya dukung lingkungan sebesar k, k'=a.x sebanding tidak tersedianya sejumlah mangsa dan tingkat pertumbuhan respon numerik i' sehingga pemangsa akan benambah lajll R'=(l -- o ) d"ngrn

3 R, = Pxe, lll +lvpx) da' e, menyatakan peungubahan konsumsi mangsa ke dalarn kelahiran pemangsa kedua. Selain itu, Terjadi interaksi antara pemangsa yang satu lainnya. Tingkat kompetisi dari pemangsa kedua pada pemangsa pertama c. sebesar Akibatnya, populasi pemangsa kedua akan berkurang sebesar czlz Banyaknya kematian z diakibatkan oleh racun uuz ' yaitu ' yang merupakan perkalian antara laju kematian akibat racun kepadatan populasi pemangsa kedua 2.. Dengan demikian, Iaju perubahan jumlah pemallgsa kedua terhadap waktu dapat dinyatakan sebagai )- I -\ Y:=-wz +n.tl t-i- dt '(. k) (3) Berdasarkan Persamaan ( I ), (2), dan (3 ) diperoleh model dua pemangsa dan satu mangsa penerapan racun yang berupa sistem persamaan diferensial non linier. clr (, rl uxy l--l-- f.r= -='.-l dr \ Al l+\u.r t.4fx -mx-px ra f -?=-u.t rr, r,l l-- ') l-r,j: */.r dr "l k,) )- / -\ A =-,,r- n._ t -L l- c,vz - pz dr l. kl syarat awal :r(0) = yu, dan ;(0) = ;,,. Jika - c1y: - llz R, - axe, I (1+ l4ax). (4) :r(0) = x,,, 4= F*",I(t+h"Bx) k, = a,r. dan disubstitusikan ke Persamaan (4), maka Persamaan (4) dx.,..(, x) cru Fv i-'^l'-tf 1"4"t- l-4p, -(nt + p)x d) _ a.re,y _ ux(t.v. _( rr*l)r. dr l+h,ax \- (l+h,ctx)o,x rt' d:_ fjxe,: _ Fxe,--t _t,+uj: dr l+lupx "' r \l+hprla,x '!- (s) k. = arx menjadi: Sistem (7) dapat ditulis dalam bentuk tak berdimensi untuk mereduksi banyaknya parameter. Hal ini mengakibatkan analisis matematikanya tidak rumit. Selanjutnya F=_. didefinisikan / r (6) Kemudian persamaan-persamaan pada Persamaan (6) disubstitusikan ke Persamaan (5). Kemudian menghapus bar pada semua parameter dan menyederhanakannya maka Persamaan (5) menjadi Persamaan (5) menjadi 4 -.r lt -.r dt - t"'" - ) /J*= -(n + 1t)x l+\ax l+lzpx d.v _ e,axy _,,o!' _,.,._ dt l+h,rrx l-rh,ux -("*p)v d: _ e.fxz _ er1z' _,....._ dr l+hrbx l+l4px -fr,+ st)z L" M : i=1.2 fungsi kontinu smooth pada ' ={{*.1.t) ' :.tr>0. r'>0.--20} Teorema l.solusi clari Sistent f, (7) adalah fungsi yians beratla.!l dt untuk 1>0 L.tdat0h lerbilas. Bukti: Persamaan pertama dari Sistem (7) adalah 4= dr rtl-r\- or! l+h,ax - F*- l+l1px -(n+p)r t (8) r_^-^_^ Karena u.xr l(1+lt,a-x).pxz l(1+l4px).pr.nu>0 dx, ; r(l.r) maka (8) menjadi dx Selanjutnya, jika dt='('t-'),,ouku memiliki solusi I +be ' xcl' vr>o Akibatnya I -n. t.tr_: k o,k a.k ", '-;'-i - La,a a fu,/? a- _ ", -e-u-ll;fft?,=_.u=_. lt=_.lir =r o.rral - t'h - o./.c. - t.a,, o-t"-t' _m_u nt= _

4 Selain itu, solusi y dan z jugaterbatas. Krcna keterbatasannya mengikutiketerbatasan x- Titik Ekuilibrium Model dan Kestabilannya dr -=0 Jika dt, maka x=0 atau 7-r- o! - Fz - t+l4ax ( 10) Or.O Kemudian. jika dr, maka )=o atau e1(tx e,(t v *r-- *ra-@ + P)=s d: -=0 Kemudian, jika dt. maka z=0 atat er/jx ;rjr'-ffi-(w+p)=6 e, /J: (12) (9) (1 r) Berdasarkan uraian di atas, ouri p"!lrl). aan (9), (11) dan (13) diperoleh titik ekuilibrium vaitu re, =(0.0,0) (13) Kemudian dari persamaan (10), (11) dan (13) diperoteh ritik.t uitiurir* fc, =(l-m -7-u,0,0). Selanjufirya, dari persamaan Sehjumya dari persamaan (10), (12), d,an (la) diperobh titik ekuilibrium re5=$.i.:) c=- Ir * -elt!+nl.( ",, "re ' \' l+h./li ie,a) lt;g- " ) dan q + p+ u - qeu+ a -(, * -:e-) i :- \ L+nd.x ) ( ",9 l----- lt*np;,,) Kestabilan titik-titik ekuilibrium diselidiki dari hasil linierisasi di sekitar titik ekuilibriumnya dan disajikan pada teorama berikut. Teorema 2. l. Jika P+*'l, maka titik ft, = (0,0.0) bersifat stabil asimtotik lokal. Iiku r,o (r - m - p) < (u + p)lr + 4a (t -, - p)1, e,p (1 - m - p) < (w + 1t)lt + n,p ( - m - p)f u+m<1. dan dipenuhi maka titik ekuilibrium TE2=(l*m-p,0,0) lokal. bersifat stabil asimtotik Jika -(hr, + hn)ro, (h,,hr, -h12h21)> o 14.<0, ' oan dipenuhi maka titik ekuilibrium ' (10), (12) dan (13) diperolehtiiik ekuilibrium,, _( e,av-(u+p\(i+h.ail ) \ e,a ") (, - tu+ utha\ -tl+a- ' I -l.t=-* ". 2ko 24o Selanjutnya, dari persamaan (10), (l l), dan (14) diperoleh titik ekuilibrium rc, =( ;,s,"0i -(* + /t)(t + n,p;)) \erf) t-o-etlllgl*qk (T) rr.=(r v-!:a!:!z-t o) asimtotik lokal. Jika -(A,+ A,)ro, (frrfr, - "f,. /,,1, o dipenuhi maka titik rc^ -[ ;,g."f i -('+ ttll * n,pil1 - ( e,f -) asimtotik lokar. bersifat stabil dan f22<0, ekuilibrium bersifat stabil JikaA>o'B>o,c>o daq AB-c>o maka I titik ekuilibrium re' =(i'i'z) bersifat stabil asimtotik lokal. 4, =t-27 -"ov-('-: P)(1!-h,or) _@+ p) Dengan et(t+4dvl' h. : edi 2(e,ai -(u + p)(t llr-- ":2 + 4ax)\

5 ht. b, qx t + h(rx e,ax -(u + tt)(t + h,ui) (t + 4ut1'. Px t '=- r*1111,. (eai-\u +/)(l+r,ai)\ ", -----lo- )- ttt a lt t, _e.f.i - (il,+p)(t + tapi) (t + ta/ti) v 't l----- tt4(",f ; -(w + tt)(t+ 'pl)' (r+ 4pl' ) f = o pi _2(e.fi-(u'+ttl(t rh,fi)) " l+l\py l+lqpi -(w + p) r _ e,,ti (e.pi-(v+p)(t+/rpi)) " - t+t\ui-' I,l 1 -(u+p) tl = -(grr+8r, +&,), B = grrg.z t &ttgzz*grr&r -o 6ll6] o - 5I6tl St215tr. (.=o o o +o n d J ' -lr61,oj)' 6..A1J6il'-8r:8.,r.{,t -.9r:g-,8.r - gr,.9.:g.r -grrg::g;;... ( " jrt + h,a i )- a-h,rj I r-r- (t - h,r,,;)- ) ( p:tt+h.pil-p'n.;:\ -tnt + p ). \t+h.pi) ) e.pi 2e_B: - 1+ h.pi 1+ h.pi s:---!j- r,.=- f' T _c I _(I,+/1t '' l+h,ui l-llff e,o _.l (l + \a x\- e.o \ii e,a, h 1., o, T_ (l+fi,0r:') (t+h,ai) e ai 2e,,ti 8.'-: 'lu-p). l+h,ai l+h,ai -* "r, = -c,-i, gt: = -c:2. e p: (t + h pi\ T -e B'h.:.i 6ll (t + h. pi) t e. p'h,2' (t+ t4pr)" Simulasi Numerik Sinrulasi model dilakukan menggunakan So.ftware Maple. Simulasi ini bertujuan untuk melengkapi hasil-hasil yang diperoleh secara analisis pada bab sebelumnya. Pada bagian ini dilakukan simulasi titik ekuilibrium untuk mengetahui perilaku dinamik penyelesaian Sistem (7) dalam jangka waktu yang lama di sekitar titik ekuilibrium tersebut. Dalam simulasi model mangsa pemangsa dua pemangsa dan satu mangsa di lingkungan beracun ini digunakan wereng batang padi coklat sebagai mangsa, sedangkan Menochilus sexmqculetu,s sebagai pemangsa pertama dan kepik mirid sebagai pemangsa kedua. Simulasi model matematika mangsa pemangsa ini pada Sistern (7) menggunakan nilai parameter berdasarkan (Alebraheem, J dan Abu-Hasan, Y., 2012) dan (Kar,T.K., Ghorai. A., and Jana, S.W., 2012). Adapun nilai-nilai parameter yang digunakan adalah rn=0.1; a=0.55; w=0.65; cr=0.08; c:=0,05t a =1,41; 11 =1,5;e, = 0,8; e2 =0.79; h, = 0.005; 4=0,004: p=0,5: Dan diambil nilai awalnya sebagai berikut. x(0) = 9,5' r(0) = 0,2; z(0) = Q,2 Dengan bergantung pada nilai parameter e, dan e, yang berbeda, hal ini dapat ditunjuk_ kan secara numerik eksistensi dan kepunahan dari salah satu pemangsa pada solusi non periodik (siklus kehidupan tidak akan berhenti). Parameter - e, dan e- merupakan parameter \ang sangat penting karena termuat dalam fungsi respon dan respon numerik yang membentuk komponen utama dari model mangsa pemangsa. Permainan respon fungsi merupakan peranan penting dalam interaksi diantara mangsa dan pemangsa. lrkuran parameter e, dan e, menyatakan efisiensi pengubahan konsumsi mangsa terhadap kelahirad pemangsa pertama dan kedua. Ada beberapa simulasi numerik yang dilakukan, yaitu l. Jika parameter P:o'95 seperti yang telah ditetapkan. ekuilibrikum TE1. yang berbeda parameter lain Diperoleh titik

6 Gambar 1. Potret Fase Sistem (7) untuk 2. Jka parameter lain seperti yang telah titik ekuilibrium TE2. lt = 0,4 u = 0"95 dan parameter ditetapkan. Diperoleli Gambar 4. Potret Fase Sistem (7) untuk er=0.8dane:=045 e, 5. Nilai ditetapkan 0,8, sedangkan nilai p =O19 -i diubah-ubah untuk menunjukkan adanya kecocokan hasil pada keeksistensian dan kepunahan dari pemangsa bergantung pada keefesiensian dari konversi tersebut. f 4 = 0'4 Gambar 2 ' Potret Fase Sistem ( 7) untuk -1. \ilai ditetapkan sedangkan nilai e^- diubah-ubah untuk menunjuklian dampak dari efisiensi pengubahan mangsa terhadap kelahiran pemangsa pada keeksistensian dan kepunahan dari salah satu pemangsa. Diperoleh titik ekuilibrium TEr ;] Gambar 3. Potret Fase Sistem (7) untuk et =0.45 dan e, =0.79 e, 4. Nilai ' ditetapkan 0,8, sedangkan nilai e1 - diubah-ubah untuk menunjukkan adanya kecocokan hasil pada keeksistensian dan kepunahan dari pemangsa bergantung pada keefesiensian dari konversi tersebut. 105 Gambar 5.Potret Fase Sistem (7) untuk er = 0.8 dan e, =9.79 KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa dalam penelitian ml diberikan model mangsa pemangsa dua pemangsa dan satu mangsa penerapan racun, respon pemangsaannya menggunakan fungsi respon Holling tipe II dan laju pertumbuhan mangsa dan pemangsa memenuhi fungsi logistik. Sistem (9) memiliki lima titik ekuilibrium. Kestabilan titik ekuilibrium Sistem (9) dianalisis hanya kestabilan lokal. Pada simulasi ini, ketiga populasi akan tetap bertahan hidup ketika nilai dari tingkat efisiensi pengubahan konsumsi mangsa terhadap kelahiran pemangsa RerJpm3 dan kedua saling berdekatan. Adanya racun juga mempengaruhi penurunan ketiga populasi tersebut. DAFTAR PUSTAKA Alebraheem. J dan Abu-Hasan. Y., 2012,"Persistence of predators in a tso predators-one prer model with non beriodic solution.^ Applied lllathenatica! Scienc-?s,Vo No Eduards. C. H.. dan Pennev. D. E "Elementarv Diflerential quations. lsi'xth Edition 1." Pearson Edicat ion. lnc. ltlew York. Kar,T.K., Ghorai. A.. and Jana. S.W "Dynamics of Pest and its Preddtor Model with Dis-ease in the Pest and Oprimal l se of Pesricide". Fer er Epidemic Through the use. Anerican Journal of Theo'rerical BiologySl0: I