DINAMIK SISTEM DISKRIT DIMENSI-2 YANG DITURUNKAN DARI SEBUAH KELUARGA PEMETAAN 12-PARAMETER QRT. Lazakaria 1)

Transkripsi

1 DINAMIK SISTEM DISKRIT DIMENSI- YANG DITURUNKAN DARI SEBUAH KELUARGA PEMETAAN -PARAMETER QRT Lazakaria ) ) Jurusan Matematia FMIPA Universitas Lampung Jl. Prof. Dr. Soemantri Brodjonegoro No. Bandar Lampung 3545 Surel: lazakaria.969@fmipa.unila.ac.id ABSTRACT The discussion of two-dimensional mapping in this paper is based on a member of a family of system derived from a family -parameters QRT mappings. By replacing the role of integral and parameter in a system of difference equations, we will generate a new mapping and show the properties of the new mapping, i.e. measure preserving property and reversing symmetry properties. Keywords: measure preserving, QRT mapping, reversing symmetric, Twodimensional mapping. ABSTRAK Sistem dinamik dimensi- yang didiskusikan dalam paper ini merupakan sebuah anggota keluarga sistem integrabel yang diturunkan dari suatu pemetaan yang dikenal dengan sebutan keluarga -parameter pemetaan QRT (Quispel-Roberts- Thomson Mapping). Dengan menggantikan sebuah parameter µ pada sistem yang integrabel tersebut dengan parameter µ yang ada pada integralnya akan diperoleh sebuah sistem baru. Sistem baru yang terbentuk diperlihatkan sifat-sifatnya dengan sistem lama. Adapun sifat-sifat yang dilihat adalah sifat mengawetkan ukuran dan kerkebalikan simetris. Kata kunci: mengawetkan ukuran, pemetaan dimensi-, pemetaan QRT, simetris yang berkebalikan. PENDAHULUAN Pemetaan QRT yang diperkenalkan oleh Quispel, Robert, dan Thomson di tahun 989 merupakan sebuah pemetaan yang populer dengan sebutan pemetaan keluarga -parameter yang simetris, integrable, dan measure preserving. Pemetaan QRT ini dapat ditulis dalam bentuk persamaan diskrit orde dua berikut: 79

2 x n+ = g (x n+ ) x n g (x n+ ) g (x n+ ) x n g 3 (x n+ ) () dengan g j, j = 0,, dinyatakan sebagai g 0 (x n+ ) x ( g (x n+ )) = A 0 ( x g (x n+ ) ) A ( x x ) () dengan A0 dan A dalam persamaan () merupakan notasi untuk matriks simetris 3 3 yang didefinisikan sebagai berikut α i β i γ i A i = ( β i ε i ζ i ) ; i = 0,. γ i ζ i κ i (3) Persamaan diskrit () mempunyai invarian/integral G yang berarti G(x n, x n+) = G (x n+, x n+ ) yang dinyatakan dalam sebuah rasio polinomial bikuadratik berikut ini G(x, y) = α 0x y + β 0 (x y + xy ) + γ 0 (x + y ) + ε 0 (x + y ) + σ 0 (x + y) + κ 0 α x y + β (x y + xy ) + γ (x + y ) + ε (x + y ) + σ (x + y) + κ (4) Perlu diketahui bahwa, sifat yang dimiliki pemetaan simetris QRT di atas antara lain reversible dan (anti) measure preserving. Pandang persamaan diskrit berikut ini x n+ = x n+( μx n+ ) ; μ R x n (x n+ μ) (5) Persamaan diskrit (5) merupakan bentuk khusus dari persamaan diskrit (). Dalam hal ini matriks simetris A0 dan A masing-masing berbentuk 0 μ A 0 = ( ) ; A = ( 0 0) μ (6) 793

3 Akibatnya, fungsi gi, i = 0,, dalam () berbentuk g 0 (x n+ ) 3 x n+ μx n+ ( g (x n+ )) = ( 0 ) 3 g (x n+ ) μx n+ x n+ (6) Dapat diperiksa bahwa persamaan diskrit (4) merupakan sebuah sistem dinamik yang diturunkan dari persamaan generalized -sine Gordon ( Zakaria dkk, 03). Pandang matriks simetris A0 dan A masing-masing berbentuk 0 μ A 0 = ( ) ; A = ( 0 0) μ (7) Dengan matriks simetris (7), fungsi gi, i = 0,, berbentuk g 0 (x n+ ) 3 x n+ μx n+ ( g (x n+ )) = ( 0 ) g (x n+ ) μx n+ x n+ (8) Dari bentuk matriks simetris (7) dan vektor fungsi (8) maka bentuk khusus persamaan diskrit () adalah x n+ = x n+( μx n+ ) ; μ, λ R x n (x n+ μ) (9) Dalam artikel (Zakaria dkk, 03), sebuah studi tentang pemetaan keluarga 3-parameter yang diturunkan dari suatu persamaan generalized -sine Gordon telah dibahas. Pemetaan keluarga 3-parameter yang dimaksud dinyatakan dalam bentuk persamaan beda parsial berikut ini : θ (V (l,m+) V (l+,m) V (l+,m+) V (l,m) ) + θ (V (l+,m+) V (l,m+) V (l+,m) V (l,m) ) = θ 3 (0) Persamaan beda parsial (0) dapat direduksi kedalam beda ordiner dengan menggunakan kondisi traveling wave solution, yakni dengan memilih hubungan 794

4 V (l,m) = V (n), n = z l + z m () dimana z dan z adalah bilangan bulat relatif prima. Dengan mensubsitusikan () ke dalam (0), kita mempunyai persamaan beda ordiner berikut ini: θ (V (n+z ) V (n+z ) V (n+z +z )V (n) ) + θ (V (n+z +z )V (n+z ) V (n+z )V (n) ) = θ 3 () Persamaan () dinamakan persamaan beda ordiner generalized -Sine Gordon yang merepresentasikan sebuah proses rekursif tak berhingga dari suatu pemetaan yang dilabelkan dengan z dan z. Untuk z dan z yang ditetapkan, persamaan () merupakan sebuah pemetaan dari R z +z R z +z. Dapat dicatat bahwa bentuk standar persamaan () yang dinyatakan di dalam ( Q u i s p e l d k k, 9 9 ) diperoleh dengan memilih nilai paremeter θ = pq, θ =, dan θ 3 =. Pilih nilai z = dan z = pada persamaan () diperoleh θ (V (n+) V (n+) V (n+3) V (n) ) + θ (V (n+3) V (n+) V (n+) V (n) ) = θ 3 (3) Persamaan (3) dapat ditulis sebagai suatu sistem persamaan berikut: V (n+3) = (θ 3 θ V (n+) V (n+) ) V n (θ V (n+) V (n+) θ ) V (n+) = V (n+) V (n+) = V n (4) Misalkan ζ 0 = V (n+) V n dan ζ = V (n+) V (n+). Subsitusikan ζ 0 dan ζ ke dalam persamaan (4) diperoleh i. ζ 0 n = ζ n ii. V (n+3) = ζ n 0 (V (n+) ) ζ0 n V (n+) (V (n+) ) (n+3)v (n+) diperoleh ζ = (θ 3 θ ζ n ) n (θ ζ n θ ) 0 Kemudian misalkan ζ n+ = ζ n dan ζ n+ = V (n+3) V (n+), maka dari (i) dan (ii) 795

5 atau dimana ζ n+ = ζ n 0 ζ n 0 ζ n+ = ζ n (θ 3 θ ζ n ) (θ ζ n θ ) (5) ζ n+ = g θ (ζ n ) (6) g θ : R R (x, y) ( x(θ 3 θ x) y(θ x θ ), x). Persamaan (6) merupakan sebuah keluarga sistem dinamik Dimensi- berparameter tiga. Dengan kata lain, pemetaan (5) yang diturunkan dari sebuah persamaan generalized -sine Gordon Dimensi-3 dapat direduksi menjadi pemetaan Dimensi-. HASIL DAN PEMBAHASAN Sifat Sistem Diskrit (x n+, y n+ ) = x n( μ x n ) y n (x n μ) Pilih nilai parameter θ = μθ dan nilai parameter θ = θ, maka sistem dinamik (7) tidak lain adalah sebuah keluarga sistem dinamik dimensi- berparameter satu, yakni dimana ζ n+ = g μ(ζ n ) (7) g μ: R R x( μ x) (x, y) ( y( x μ), x) Pemetaan (7) mempunyai integral/invarian (terdapat sebuah fungsi G: R R sedemikian sehingga G(ζ n+ ) = G(ζ n ) untuk semua bilangan asli n), yakni G μ (x, y) = μ ( x y + y x ) (x + y) ( y + x ) (8) 796

6 Integral/invarian ini bermakna untuk semua bilangan asli n, solusi dari (7) senantiasa berada pada level set G μ (x, y) (8). Dapat diperiksa bahwa titik-titik, dan, masing-masing merupakan titik-titik tetap yang dinotasikan dengan x*, y * dan titik-titik periodik- p p yang dinotasikan dengan x, y dari sistem (7). Selain mempunyai integral (8), sistem (7) mempunyai sifat yang lain diantaranya: Sistem (7) merupakan sistem measure preserving : x xy, D g x, y. y x x x, x y x xy, diberikan dalam bentuk dimana xy,. xy Terdapat sebuah reversing symmetry L x, y y, x L g x, y L g x, y Dengan kata lain, sistem (7) reversible g x, y L g x, y L Terdapat sebuah involusi S x, y x, y sedemikian sehingga,, S g x y S g x y Hubungan antara (7) beserta involusi L dan (9), dapat dinyatakan sebagai x x USG : x', y ' x; L : x' y, y ' x y x sedemikian sehingga. Ini artinya sistem (7) yang diturunkan dari persamaan generalized -sine Gordon adalah kasus khusus dari keluarga -parameter pemetaan reversing symmeric integrable QRT. Dapat dicatat bahwa pemetaan (7) mempunyai garis singular (garis 797

7 dimana involusi tidak terdefinisi) dan garis simetris (garis yang melalui titik tetap involusi), yakni : 3 Garis Singular : yg x g x y x x 0 0 Garis Simetris : y x y g x yg x g x ; 0 0 x y x x x y x ; 0 Reparameterisasi Pada Sistem Diskrit (x n+, y n+ ) = x n( μ x n ) y n (x n μ) Roberts, J.A.G., et.al. (00) memberikan jaminan bahwa pertukaran sebuah parameter dalam sistem diskrit yang integrable dengan parameter sejenis yang ada pada integral/invariannya dapat dilakukan dan menghasilkan sistem baru yang integrable pula. Menggunakan ide Roberts, J.A.G. et.al., sistem diskrit integrable (7) dengan menggantikan parameter µ yang ada dalam sistem dengan parameter µ yang ada pada integral (8) diperoleh sebuah sistem baru. Berikut langkah dan hasil penukaran parameter yang dimaksudkan tersebut. Pandang integral G x, y (8). Perlu dicatat bahwa, Karena G x y adalah linear dalam. maka x x G x, y G, x y x G x, y 0 Oleh karena itu, kita mempunyai xy, x x G, x 0 y x x y xy x y (9) Dapat diperiksa bahwa 798

8 x x x, y, x y x Akibatnya, sistem (7), dengan menggantikan parameter yang ada padanya dengan xy, persamaan (9) diperoleh sebuah pemetaan baru yakni x, y g x, y Pemetaan (0) memiliki sifat-sifat: 3 x x x y x y 3 x x y x y (0) Memiliki titik tetap (fp) dan titik periodik- (tp) masing-masing fp fp tp tp x, y, dan x, y, Integrable dengan integral x y xy G x, y x y Mengawetkan ukuran (measure preserving) : dengan D g x, y 4 x x xy, 3 3 x x y x y x x x y x y 3 x x y x y, x. xy, x y Terdapat sebuah semetris yang berkebalikan (reversing symmetric), y, x L x y sedemikian sehingga.,, L g x y L g x y Dengan kata lain, sistem (7) reversible. 799

9 KESIMPULAN Dari hasil dan pembahasan yang telah disampaikan sebelumnya dapat disimpulkan bahwa dengan melakukan parametrisasi ulang terhadap sebuah parameter pada sebuah pemetaan dimensi- yang diturunkan dari sebuah persamaan generalized -sine Gordon menghasilkan pemetaan baru dengan titik tetap dan titik periodik- yang sama dengan pemetaan semula. Selain itu sifat reversing symmetric juga dipunyai oleh pemetaan semula dan pemetaan baru dengan sebuah involusi yang sama. DAFTAR PUSTAKA Quispel GRW, Roberts JAG, & Thompson CJ Integrable mappings and soliton equations. Physics Letters A. 6:49-4. Quispel GRW, Roberts JAG, & Thompson CJ Integrable mappings and soliton equations II. Physica D. 34:83-9. Quispel GRW, Capel HW, Papageorgiou VG, & Nijhoff FW. 99. Integrable mappings derived from soliton equations. Physica A 73 : Roberts JAG, Iatrou A, & Quispel GRW. 00. Interchanging parameters and integrals in dynamical systems: the mapping case, J.Phys.A: Math. Gen 55: Tanaka H, Matsukidaira J, Nobe A, & Tsuda T Constructing two dimensional integrable mappings that posses invariants of high degreee. RIMS Kokyuroku Bessatsu 3 : Zakaria L, Tuwankotta JM, & Budhi. 03. The Normal Form For The Integral Of 3- Dimensional Maps Derived From A -Sine-Gordon Equation. The Proceeding of SEACMA 03, Mathematics Department, ITS-Surabaya, ISBN: , page AM33 800