SOLUSI NUMERIK DARI PERSAMAAN DIFERENSIAL TERTUNDA MENGGUNAKAN METODE RUNGE- KUTTA UNTUK MIKROSIMULASI APLIKASI PYTHON

Transkripsi

1 SOLUSI NUMERIK DARI PERSAMAAN DIFERENSIAL TERTUNDA MENGGUNAKAN METODE RUNGE- KUTTA UNTUK MIKROSIMULASI APLIKASI PYTHON Adrian Lukman, Fergyanto E. Gunawan, Alexander Agung S.G. Universitas Bina Nusantara, Jalan KH. Syahdan No. 9 Palmerah, Jakarta 11480, Indonesia Abstract Mikrosimulasi can be a good method in the optimization on traffic on various road conditions. Mikrosimulasi often involves differential equations need to be solved numerically. In this study, the equation in the form of Mikrosimulasi Intelligent Driver Model (IDM) is solved numerically using the Runge-Kutta method and the programming language Python. An application designed to allow users access the interaction of vehicles on a micro scale with ease. The results of numerical testing involves several cases show that the IDM models provide a description of the dynamics of the vehicle pretty well. In cases where a vehicle approching the obstacle, the IDM models show that the vehicle will slow down and stop right before it hit the barrier. Other case studies also show that the IDM models provide a realistic vehicle dynamics. Keyword : traffic, Mikrosimulasi, differential equations, Runge-Kutta, Python. Abstrak Simulasi mikro bisa menjadi metode yang baik dalam optimisasi lalu-lintas di berbagai kondisi jalan. Simulasi mikro seringkali melibatkan persamaan diferensial yang perlu dipecahkan secara numerik. Dalam penelitian ini, persamaan simulasi mikro dalam bentuk Intelligent Driver Model (IDM) dipecahkan secara numerik menggunakan metode Runge-Kutta dan bahasa pemrogaman Python. Sebuah aplikasi didisain yang memungkinkan pengguna mengkaji interaksi kendaraan-kendaraan pada skala mikro dengan mudah. Hasil-hasil pengujian secara numerik melibatkan beberapa kasus memperlihatkan bahwa model IDM memberikan deskripsi dinamika kendaraan dengan cukup baik. Pada kasus di mana satu kendaraan mendekati hambatan, model IDM memperlihatkan bahwa kendaraan akan melambat dan berhenti tepat sebelum menabrak hambatan. Studi kasus yang lain juga memperlihatkan bahwa model IDM memberikan dinamika kendaraan yang realistik. Kata Kunci : lalu lintas, Mikrosimulasi, persamaan differensial, Runge-Kutta, Python

2 Pendahuluan Kemacetan adalah masalah besar yang banyak dihadapi oleh kota-kota besar di banyak negara. Sebagai contoh, di kota Jakarta pengendara menghabiskan sekitar 60% waktu perjalanan mereka dalam kemacetan dan hanya sekitar 40% untuk bergerak(febriani, Decilya, & Endri, 2010). Kemacetan menimbulkan kerugian di berbagai bidang seperti bidang ekonomi, lingkungan, dan kesehatan. Di bidang ekonomi, kemacetan lalu-lintas menimbulkan kerugian sebesar kira-kira 5,5 triliun rupiah atau sekitar 600 juta dolar Amerika untuk nilai tukar 9000 rupiah per dolar di tahun Angka ini sekitar 3% sampai 6% dari pendapatan kotor Jakarta pada tahun yang sama menurut ketua Masyarakat Transportasi Indonesia (Febriani, Decilya, & Endri, 2010). Biaya transportasi telah mencapai 30% dari pendapatan regular penduduk Jakarta (Ani, 2010). Kecepatan rata-rata kendaraan di tahun 2013 turun menjadi 12 km/jam dari 18 km/jam di tahun 2010, atau turun sebesar 15% dalam tiga tahun (Ninis, 2013). Sistem transportasi dapat didefinisikan sebagai gabungan beberapa elemen dan hubungan antara permintaan untuk perjalanan dan penyediaan jasa transportasi untuk memenuhi permintaan ini (lihat gambar 1.1). Penyediaan jasa transportasi contohnya ialah jalan raya, jalan bebas hambatan, dan transportasi publik. Permintaan dari pengguna jalan seringkali melebihi dari batas ketersediaan jasa transportasi yang ada. Panjang jalan yang ada di Jakarta hingga saat ini kata Setiabudi adalah sekitar 7208 kilometer sedangkan kebutuhan akan jalan di Jakarta hingga 2012 terhitung sebesar 12 ribu kilometer (Maruli, 2012). Bila penyediaan jasa tersebut tidak bisa memenuhi banyaknya permintaan yang dibutuhkan pengguna jalan, maka akan terjadi kemacetan. Kemacetan akan berdampak pada performa dari jasa transportasi. Kemacetan itu pula akan berdampak pada aktifitas ekonomi di suatu kota. Gambar 1.1. Hubungan antar sisi suplai dan sisi permintaan pada sistem transportasi (Rodrigue, 2013) Ada beberapa solusi untuk mengatasi kemacetan, salah satunya dengan membuat transportasi publik untuk mengurangi penggunaan kendaraan pribadi di Jakarta. Bis Transjakarta dan MRT Jakarta merupakan transportasi publik yang ada di Jakarta yang dibuat untuk mengatasi masalah kemacetan. Solusi lain untuk mengatasi kemacetan adalah dengan optimasi lalu lintas. Cara mengoptimasi lalu lintas ini dengan membuat suatu aplikasi komputer untuk menganalisis kegiatan yang ada di lalu lintas, yakni dengan membuat Mikrosimulasi. Mikrosimulasi adalah suatu kategori dari alat analisis komputerisasi yang melakukan analisis kegiatan secara lebih rinci seperti pada contohnya arus lalu lintas yang melalui persimpangan, transaksi keuangan pada suatu bank, atau adanya penyebaran penyakit melalui populasi disuatu daerah. Mikrosimulasi sering juga digunakan untuk mengevaluasi efek intervensi yang diusulkan sebelum diimplementasikan di dunia nyata. Salah satu contohnya adalah model Mikrosimulasi lalu

3 lintas yang dapat digunakan untuk mengevaluasikan efektivitas lajur di suatu persimpangan. Model Mikrosimulasi lalu lintas ini mensimulasikan perilaku kendaraan individu dalam jaringan jalan yang telah ditetapkan dan digunakan untuk memprediksi kemungkinan dampak dari perubahan pola lalu lintas akibat perubahan arus atau dari perubahan lingkungan sekitarnya. Hasil dari Mikrosimulasi ini sampai pada hasil tingkat kejenuhan yang tinggi dan ke titik kemacetan mutlak. Suatu perubahan yang relatif kecil dapat diamati oleh model Mikrosimulasi ini. Mikrosimulasi dapat digunakan untuk mengembangkan sistem baru dan mengoptimalkan efektivitas suatu jaringan jalan. Persamaan diferensial memiliki peranan penting dalam kehidupan, sebab banyak permasalahan di dunia nyata yang dapat dimodelkan dengan bentuk persamaan diferensial. Ada dua jenis persamaan diferensial, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan diferensial yang melibatkan satu atau lebih turunan dari sebuah fungsi dan hanya memiliki satu variabel bebas. Persamaan diferensial parsial adalah persamaan yang di dalamnya terdapat suku-suku diferensial parsial, yang dalam matematika diartikan sebagai suatu hubungan yang mengaitkan suatu fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan fungsi dari beberapa variabel bebas, dengan turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud. Tidak semua permasalah yang dimodelkan kedalam bentuk persamaan diferensial biasa dapat diselesaikan dengan mudah. Oleh karena itu, metode numerik digunakan untuk menyelesaikan persoalan dimana perhitungan secara analitik tidak dapat digunakan. Metode numerik itu dapat menyelesaikan suatu persamaan dengan menggunakan pendekatan-pendekatan yang dapat dipertanggungjawabkan secara analitik. Dengan menggunakan metode pendekatan, setiap nilai hasil dari perhitungan akan mempunyai nilai kesalahan (nilai error). Metode Runge-Kutta merupakan salah satu metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Metode Runge-Kutta sangat praktis dan sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan difernsial biasa karena metode ini tidak membutuhkan perhitungan turunan dan juga memiliki nilai kesalahan (error) yang sangat kecil dibandingkan dengan metodemetode yang lain. Landasan Teori Mikrosimulasi Lalu Lintas Mikrosimulasi adalah suatu istilah yang digunakan dalam pemodelan lalu lintas. Model Mikrosimulasi lalu lintas mensimulasikan perilaku kendaraan individu dalam jaringan jalan yang telah ditetapkan dan digunakan untuk memprediksikan kemungkinan dampak dari perubahan pola lalu lintas akibat perubahan arus lalu lintas atau dari perubahan lingkungan fisik. Mikrosimulasi sangat berguna dalam pemodelan jaringan jalan yang padat karena Mikrosimulasi memiliki kemampuan untuk mensimulasikan kondisi antrian. Model ini akan memberikan hasil pada tingkat tinggi kejenuhan dan sampai ke titik kemacetan mutlak. Mikrosimulasi mencerminkan perubahan yang relatif kecil dalam lingkungan fisik seperti penyempitan jalur atau relokasi suatu persimpangan. Mikrosimulasi dapat digunakan untuk mengembangkan sistem baru dan mengoptimalkan efektivitas suatu jaringan jalan. Model Mikroskopik Model mikroskopik adalah model gerak kendaraan secara individu dalam sebuah sistem. Ini merupakan pemodelan dari kendaraan berurutan (car following) atau mengikuti kendaraan yang ada di depan yang berada dalam satu jalur dan diasumsikan tidak ada kendaraan yang saling mendahului. Hal-hal yang mempengaruhi dari model ini adalah fungsi posisi, kecepatan dan percepatan. Perilaku model ini ditentuka oleh kendaraan pemimpin, yang merupakan kendaraan yang berada di paling depan. Mobil lainnya yang dibelakang disebut dengan mobil pengikut. Gambar 2.8 Penomoran kendaraan model car following

4 Model Gipps Model Gipps adalah suatu pemodelan laju mobil yang didasarkan pada perilaku pengemudi dan parameter kendaraan yang bertujuan untuk keselamatan dalam berlalu lintas dengan menirukan ciri-ciri dari kendaraan yang ada di lalu lintas. Model Gipps menggunakan langkah waktu dalam fungsi waktu untuk mengurangi perhitungan yang diperlukan untuk analisis numerik. Dimana: = percepatan maksimum dimana pengemudi kendaraan n ingin melakukan percepatan = lokasi dari bagian depan kendaraan n pada waktu t = kecepatan kendaraan n pada waktu t v x = waktu reaksi yang jelas, konstan untuk semua kendaraan = konstanta. = selisih kecepatan pada waktu = selisih posisi kendaraan pada waktu Intelligent Driver Model (IDM) Model IDM ini menyimpulkan bahwa untuk setiap kendaraan yang bergerak di jalan, maka kendaraan akan memepercepat kecepatan laju kendaraannya. Model IDM ini dapat ditulis: dimana adalah jarak dari kendaraan n. Jarak ini adalah jarak satu kendaraan dimana adalah jarak dari kendaraan n. Jarak ini adalah jarak satu kendaraan dengan kendaraan di depannya, atau dalam matematika dapat dinyatakan sebagai: dimana adalah panjang kendaraan yang sebenarnya. pada rumus IDM menunjukkan jarak minimum yang diinginkan antar kendaraan yang dapat dinyatakan sebagai: Model percepatan IDM ini secara keseluruhan memiliki delapan parameter, yang dapat dikategorikan menjadi tiga kelompok. Kelompok pertama terdapat satu parameter yang menentukan gerak stabil dari suatu kendaraan. Pada kelompok kedua terdapat tiga parameter yang berguna untuk menentukan percepatan atau perlambatan dari suatu kendaraan. Kelompok yang ketiga terdapat empat parameter yang berguna untuk menentukan jarak aman kendaraan dengan kendaraan di depannya agar tidak terjadi tabrakan. Pada kelompok pertama terdapat kecepatan kendaraan yang diinginkan. Pada kelompok kedua terdapat percepatan maksimum kendaraan, perlambatan minimum dan juga dan juga kecepatan eksponen. Dan pada kelompok ketiga terdapat waktu antara satu kendaraan dengan kendaraan di depannya, jarak dan, dan panjang kendaraan. Metode Numerik Penggunaan metode numerik ini dapat mengatasi kelemahan-kelemahan metode yang sebelumnya. Pada umumnya permasalahan sains dan teknologi digambarkan dalam permasalahan matematika. Permasalahan ini sulit untuk diselesaikan maka diperlukan pendekatan numerik, dengan Metode Numerik terbebas dari perhitungan secara manual, sehingga waktu dapat digunakan dengan tujuan kreatif, seperti penekanan masalah atau interpretasi solusi dan tidak terjebak pada rutinitas hitung menghitung. Metode Runge-Kutta Metode Runge-Kutta merupakan metode dengan tingkat ketelitian yang lebih besar dibanding dengan metode Euler ataupun metode Heun. Metode ini memperkirakan turunan pada berbagai titik dalam interval dan kemudian menghitung rata-rata terbobot (weighthed average derivative).

5 Metode ini diklarifikasikan oleh urutan, urutan tersebut bergantung pada jumlah perkiraan kemiringan yang digunakan pada setiap langkah. Asumsikan Method = konstant yang memenuhi batasan. Berikut Metode yang paling populer untuk menyelesaikannya adalah fourth-order Runge-Kutta dan. dan adalah perkiraan tingkat kemiringan yang dihitung pada titik akhir interval adalah perkiraan tingkat kemiringan yang dihitung pada titik tengah interval. Langkah 1. Bagi interval menjadi subinterval dengan menggunakan titik-titik yang dibagi secara sama. Langkah 2. Untuk ; cari pendekatan urutan berikut Dimana : Hasil dan Bahasan Model parameter Tabel 4.1 Parameter Value contoh kasus Parameter Value Keterangan 4 Kecepatan eksponen Percepatan maksimum Perlambatan minimum Panjang kendaraan Jarak waktu antar kendaraan Kecepatan awal kendaraan

6 Kasus 1: Satu kendaraan bergerak maju menuju suatu kendala. Pada kasus ini, ada satu kendaraan yang berada di titik 0.0 akan melaju menuju ke suatu tujuan ataupun kendala yang ada di depannya yang berjarak 500 m. Kendaraan ini memulai perjalanan menuju kendala dalam kondisi diam, atau dengan kecepatan 0.0 m/s. Kecepatan kendaraan akan terus bertambah dari kecepatan awal. Kendaraan ini terus melaju sampai jarak yang ditentukan yakni 500m, tetapi mobil berhenti 5m dibelakang titik kendala karena memperhitungkan panjang dari kendaraan tersebut. Gambar 4.2 Grafik hasil kasus satu kendaraan bergerak maju menuju suatu kendala Pada gambar 4.2, Grafik yang atas merupakan grafik dari kecepatan kendaraan mendekati obstacle sebagai fungsi posisi. Terlihat kendaraan memulai perjalanan dengan kecepatan 0 m/s. lalu kecepatan terus meningkat lalu menurun lagi sesaat sebelum mencapai obstacle. Kendaraan berhenti 5m sebelum titik obstacle itu karena memperhitungkan panjang kendaraan tersebut. Di grafik yang tengah menunjukkan perubahan kecepatan kendaraan mendekati obstacle sebagai fungsi waktu. Grafik bawah menunjukkan posisi dan waktu (space-time diagram) kendaraan. Kasus 2: Interaksi antar dua kendaraan Pada kasus ini, terdapat dua kendaraan yang berada di jalan. Kondisi kendaraan pertama berada didepan dari kendaraan kedua. Kendaraan pertama atau kendaraan depan sudah bergerak di jalan dengan kecepatan tetap m/s. Sedangkan kendaraan kedua atau kendaraan pengikut memiliki kecepetan awal 0.0 m/s. Kecepatan kendaraan depan tetap di kecepatan awalnya, sedangkan kecepatan kendaraan pengikut akan terus bertambah dari kecepatan awal hingga dapat melebihi kecepatan kendaraan depan. Tetapi kendaraan pengikut akan selalu berada di belakang kendaraan depan.

7 Gambar 4.3 Grafik hasil kasus interaksi antar dua kendaraan Pada gambar 4.3, grafik atas menunjukkan perubahan kecepatan kendaraan pengikut yang memiliki kecepatan awal 0 m/s mendekati bahkan melewati kecepatan tetap dari kendaraan depan. Tetapi posisi kendaraan pengikut tetap berada di belakang kendaraan depan. Grafik yang berada di tengah menunjukkan perubahan kecepatan kendaraan hingga kendaraan pengikut mendekati kendaraan depan. Sedangkan grafik yang bawah menunjukkan posisi dan waktu (space-time diagram) kendaraan. Kasus 3: Interaksi dua kendaraan dengan kecepatan awal. Pada kasus ketiga ini, terdapat dua kendaraan yang berada di jalan. Kedua kendaraan ini sama-sama memiliki kecepatan awal yang tidak 0.0 m/s. Kedua kendaraan ini memulai perjalanan dengan waktu bersamaan, tetapi dari posisi yang berbeda. Satu kendaraan berada di depan dan kendaraan lain mengikutinya dari belakang. Kendaraan yang dibelakang memulai dengan kecepatan yang lebih tinggi daripada kecepatan kendaraan yang ada di depan. Kendaraan di belakang tidak bisa melewati kendaraan yang ada di depannya, sehingga kecepatan kendaraan di belakang akan mengalami perlambatan untuk mengikuti kecepatan stabil dari kendaraan yang ada di depannya.

8 Gambar 4.4 Grafik hasil kasus interaksi dua kendaraan dengan kecepatan awal Pada gambar 4.4, grafik atas menunjukkan perubahan kecepatan kendaraan pengikut mendekati kendaraan depan sebagai fungsi posisi, dimana kedua kendaraan sama-sama memiliki nilai pada kecepatan awalnya (v0 tidak 0). Terlihat kendaraan belakang melakukan perlambatan untuk menyesuaikan kecepatan kendaraan yang di depannya yang memiliki kecepatan stabil. Grafik tengah menunjukkan perubahan kecepatan kendaraan dari kasus ketiga dengan masing-masing kendaraan memiliki kecepatan awal tidak dari keadaan diam. Grafik yang ada di bawah menunjukkan posisi dan waktu (space-time diagram) kendaraan. Kasus 4: Platoon Kasus keempat ini melibatkan lima kendaraan yang ada disatu jalan.kendaraan pertama atau kendaraan depan melaju dengan kecepatan awal m/s. Kendaraan pertama ini mulai dihitung perjalanannya dari posisi 500m (x1). Lalu kendaraan pertama ini diikuti oleh empat kendaraan lainnya yang berada di belakangnya masing-masing berada dititik 250m, 0m, -100m, dan -250m (x2, x3, x4, dan x5). Kendaraan x2 dan x5 memiliki kecepatan awal 2,78 m/s. Sedangkan kendaraan x3 dan x4 meiliki kecepatan awal 0 m/s atau dari keaadan diam. Disaat yang bersamaan, kelima mobil ini berjalan bersamaan dengan kecepatan masing-masing. Dari kelima kendaraan ini hanya mobil depan (x1) saja yang memiliki kecepatan tetap terus menerus, sedangkan keempat kendaraan lainnya yang berada dibelakangnya dapat menambah kecepatan hingga mendekati posisi dari kendaraan terdepannya.

9 Gambar 4.5 Grafik hasil kasus platoon Pada gambar 4.5, grafik yang paling atas menunjukkan perubahan kecepatan kendaraan pemimpin sebagai fungsi posisi. Terdapat 5 kendaraan yang ada dijalan dengan kecepatan awal yang berbedabeda dan posisi awal yang berbeda-beda pula. Kecepatan kendaraan dibelakang terus meningkat naik untuk mengejar kendaraan di depannya, tetapi tidak ada 1 mobil juga yang mendahului mobil lainnya. Grafik di tengah menunjukkan perubahan kecepatan kendaraan dan grafik yang bawah menunjukkan posisi dan waktu (space-time diagram) kendaraan. Tampilan hasil dari program yang dibuat menggunakan python untuk hasil dari contoh kasus platoon Gambar 4.6 Grafik Hasil kasus Platoon pada program

10 Kesimpulan Kesimpulan dan Saran 1. Kecepatan kendaraan dimodelkan oleh persamaan transport yang diberikan secara implicit, dengan syarat awal dan syarat batas diketahui. Solusi dari masalah nilai awal dan batas tersebut dapat memberikan gambaran mengenai kecepatan, posisi dan waktu pada sebuah ruas jalan dengan kondisi tertentu secara numerik. Solusi numerik memberikan kesesuaian baik secara kuantitatif maupun kualitatif. Metode Runge-Kutta memberikan pendekatan yang lebih riil dari solusi matematika. 2. Tujuan dari pembuatan Mikrosimulasi ialah agar diperoleh hasil perhitungan secara numerik dengan Mikrosimulasi yang diselesaikan secara simulasi numerik yang dapat memecahkan persamaan differensial biasa. Hal tersebut bertujuan agar hasil yang diperoleh menjadi well posed, sedangkan jika diskritisasi waktu lebih besar atau sama dengan diskritisasi jarak, maka akan diperoleh hasil yang ill posed. Mikrosimulasi yang dibuat untuk memudahkan Saran Saran yang dapat diberikan untuk penelitian selanjutnya adalah sebagai berikut: 1. Arah penelitian dapat dikembangkan dengan menggunakan metode Gipp s Model untuk memperoleh solusi kecepatan untuk dibandingkan dengan metode Euler yang lain. Dengan demikian kita dapat melihat metode mana yang lebih tepat untuk memodelkan space time velocity dan space velocity 2. Tampilan piranti lunak diharapkan lebih mudah untuk dibaca, serta memuat berbagai macam input parameter tertentu pada sebuah ruas jalan. Referensi Brackstone, M. & McDonald, M. (1999).Car-following: a historical review.transportation Research Part F, 2, Chairunnisa, N. (2013, November 7). Kecepatan kendaraan di Jakarta hanya 12 Km per jam. Tempo. Diakses pada 29 September 2014 dari Hanya-12-Km-per-Jam Dharwiyanti, S. (2003). Pengantar Unified Modeling Language. Modul UML, 6. Diakses pada 5 April 2014 dari: aterisuplemenuml-2.pdf Febriani, S, Decilya & Endri. (2010, Juni 13).Warga jakarta rugi triliunan rupiah akibat kemacetan. Tempo Interaktif. Diakses pada 5 April 2014 dari: Gunawan, Fergyanto E. (2012). Two-Vehicles Dynamics of the Car-Following Models on Realistic Driving Condition. Journal of Transportation Systems Engineering and Information Technology. Kiusalaas, J. (2010). Numerical method in engineering with python.cambridge University Press Kuang, Y. (1993). Delay differential equations with applications in population dynamics. Mathematics in Science and Engineering,191, M. H. Kabir, M. O. Gani, & L. S. Andallah.(2010). Numerical simulation of mathematical traffic flow. Maruli, A. (2012, Sept 13). Jakarta macet parah 2014?.antaranews.com. Diakses pada 4 April 2014 dari: Miller, S. (2011). Traffic Modeling. Jurnal of Engineering and City Planning, 2, Mulawarman. (2011). Memahami Penggunaan UML (Unified Modelling Language). Jurnal Informatika Mulawarman, 1. Nerem, S. (2013).Vehicle weight in Gipps car-following model. Master Thesis. Department of Civil and Transport Engineering.Norwegian University of Science and Technology. Pressman, R. S. (2011). Software Engineering: a practitioner's approach.mcgraw-hill. Pressman, R. S. (2012).Rekayasa Perangkat Lunak Pendekatan Praktisi, Edisi 7 Buku 1. Yogyakarta: ANDI Yogyakarta.

11 Pressman, R. S. (2012). Rekayasa Perangkat Lunak Pendekatan Praktisi, Edisi 7 Buku 2. Yogyakarta: ANDI Yogyakarta. Satzinger, J. W., Jackson, R. B., & Burd, D. S. (2005). Object-Oriented Analysis & Design with the Unified Process. Boston: Cengange Learning. Shneiderman, B. (2010). Designing the User Interface, Fifth Edition. Addison Wesley. Situs Resmi Kota Denpasar. Diakses pada 20 Juni 2014 dari: diakses 20 Juni 2014 Sommerville, I. (2007). Software Engineering 8. Addison Wesley. Taiwo, O.A. & O.S.Odetunde. (2009). On the numerical approximation of delay differential equations by a decomposition method. Maejo Int. Sci. Technologi, 3: Treiber, M. Traffic Simulation.Diakses 5 April 2014 dari diakses 5 April 2014 Wilson, R.E. (2001). An analysis of Gipp s car-following model of highway traffic.ima Journal of Applied Mathematics, 66, Riwayat Penulis Adrian Lukman lahir di kota Bogor pada 12 Nopember Penulis menamatkan pendidikan S1 di Universitas Bina Nusantara dalam bidang Teknik Informatika dan Matematika pada 2014.