ANALISIS ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG POTENSIAL NON SENTRAL ROSEN MORSE PLUS HULTHEN, ROSEN MORSE, DAN COULOMB MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "ANALISIS ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG POTENSIAL NON SENTRAL ROSEN MORSE PLUS HULTHEN, ROSEN MORSE, DAN COULOMB MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI"

Transkripsi

1 ANALISIS ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG POTENSIAL NON SENTRAL ROSEN MORSE PLUS HULTHEN, ROSEN MORSE, DAN COULOMB MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI TESIS Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan untuk Mencapai Derajat Magister Program Studi Ilmu Fisika Oleh CECILIA YANUARIEF S PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 0

2 ANALISIS ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG POTENSIAL NON SENTRAL ROSEN MORSE PLUS HULTHEN, ROSEN MORSE, DAN COULOMB MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI TESIS Oleh Cecilia Yanuarief S Komisi Nama Tanda Tangan Tanggal Pembimbing Pembimbing I. Dra. Suparmi, M.A., Ph.D... 6 Oktober 0 NIP Pembimbing II. Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D... 6 Oktober 0 NIP : Telah dinyatakan memenuhi syarat Pada tanggal 6 Oktober 0 Ketua Program Studi Ilmu Fisika Program Pascasarjana UNS Drs.Cari, M.Sc., M.A., Ph.D NIP : ii

3 ANALISIS ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG POTENSIAL NON SENTRAL ROSEN MORSE PLUS HULTHEN, ROSEN MORSE, DAN COULOMB MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI TESIS Oleh Cecilia Yanuarief S Jabatan Ketua Sekretaris Anggota Penguji Tim Penguji Tanda Tanggal Nama Tangan Drs. Harjana, M.Si., Ph.D NIP November 0 Dr. Agus Supriyanto, S.Si.,M.Si NIP November 0 Dra. Suparmi, M.A., Ph.D NIP November 0 Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D NIP November 0 Telah dipertahankan di depan penguji Dinyatakan memenuhi syarat Pada tanggal November 0 Direktur Program Pascasarjana UNS Ketua Program Studi Ilmu Fisika Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S NIP Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D NIP : iii

4 PERNYATAAN ORISINALITAS DAN PUBLIKASI ISI TESIS Saya menyatakan dengan sebenarnya bahwa:. Tesis yang berjudul ANALISIS ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG POTENSIAL NON SENTRAL ROSEN MORSE PLUS HULTHEN, ROSEN MORSE, DAN COULOMB MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI ini adalah karya penelitian saya sendiri, tidak terdapat karya ilmiah yang pernah diajukan oleh orang lain untuk memperoleh gelar akademik, serta tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain kecuali secara tertulis digunakan sebagai acuan dalam naskah dan disbutkan dalam sumber acuan serta daftar pustaka. Apabila dikemudian hari terbukti pernyataan saya ini tidak benar, maka saya bersedia menerima sanksi sesuai ketentuan peraturan perundang-undangan (Permendiknas No. 7, Tahun 00). Publikasi sebagian atau keseluruhan dari isi tesis ini pada jurnal atau forum ilmiah lain harus seijin dan menyertakan tim pembimbing sebagai author dan PPs-UNS sebagai institusinya. Apabila dalam waktu sekurang-kurangnya satu semester (enam bulan sejak pengesahan tesis) saya tidak melakukan publikasi dari sebagian atau keseluruhan tesis ini, maka PPs-UNS berhak mempublikasikannya pada jurnal ilmiah yang diterbitkan oleh Prodi Ilmu Fisika PPs-UNS. Apabila saya melakukan pelanggaran dari ketentuan publikasi ini, maka saya bersedia mendapatkan sanksi akademik yang berlaku. Surakarta, 30 Oktober 0 Mahasiswa Cecilia Yanuarief S iv

5 MOTTO DAN PERSEMBAHAN Semua orang percaya kalau hidup tidak akan selalu seperti ini.. Karena mereka paham apapun yang dilakukan harus bisa membawa manfaat.. Jangan mengeluhkan dunia.. Karena sesungguhnya suatu saat semua pasti akan berubah.. Tapi, semua bergantung pada arah kita melangkah dan doa yang kita munajatkan.. Jangan TAKUT!! Torehan tinta emasku ini aku persembahkan untuk :. Allah SWT yang telah memberiku kesempatan dan rizki,. Kedua orang tuaku yang telah memberiku kasih sayang dan dukungan, 3. Vegy yang selalu setia mengantarku kemanapun aku pergi. v

6 Cecilia Yanuarief. S Analisis Energi dan Fungsi Gelombang Potensial Non Sentral Rosen Morse Plus Hulthen, Rosen Morse, dan Coulomb Menggunakan Polinomial Romanovski. Tesis: Program Pascasarjana Ilmu Fisika Universitas Sebelas Maret Surakarta. Pembimbing: (). Dra. Suparmi, M.A., Ph.D (). Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D ABSTRAK Penelitian ini bertujuan untuk menentukan nilai energi dan fungsi gelombang untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen, Rosen Morse, dan Coulomb. Potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen, Rosen Morse, dan Coulomb merupakan potensial yang variabelnya terpisahkan. Fungsi gelombang polar dan radial untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen, dan Rosen Morse, diselesaikan menggunakan metode polinomial Romanovski sedangkan fungsi gelombang radial potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb diselesaikan dengan metode yang lebih umum, yaitu NU. Penyelesaian persamaan Schrödinger dengan polinomial Romanovski dilakukan dengan cara mereduksi persamaan differensial orde menjadi persamaan differensial tipe hypergeometry perantara melalui substitusi variabel yang sesuai dengan parameter Romanovski. Dari persamaan hypergeometry perantara yang diperoleh, penentuan persamaan tingkat energi dan fungsi gelombang ditentukan dengan mensubstitusi permisalan fungsi gelombang Romanovski kedalam persamaan hypergeometry perantara dan menjabarkannya sehingga diperoleh persamaan differensial Romanovski. Tingkat energi yang diperoleh merupakan fungsi tertutup sedangkan fungsi gelombang baik radial maupun polar dinyatakan dalam bentuk persamaan polinomial Romanovski. Spektrum energi dan fungsi gelombang bagian radial dan polar serta grafik probabilitas divisualisasikan dengan pemrograman komputer yang berbasis Matlab. Visualisasi fungsi gelombang radial yang terbentuk mendiskripsikan nilai probabilitas ditemukannya partikel, sedangkan Visualisasi fungsi gelombang polar yang terbentuk mendiskripsikan momentum sudut spin suatu elektron yang berada dalam pengaruh potensial sistem. Kata kunci: potensial non sentral Rosen Morse, polinomial Romanovski vi

7 Cecilia Yanuarief. S Energy and Wave Functions Analysis of Non Central Rosen Morse plus Hulthen, Rosen Morse, and Coulomb Potential With Romanovski Polynomial. Thesis: Program Pascasarjana Ilmu Fisika Universitas Sebelas Maret Surakarta. Advisor: (). Dra. Suparmi, M.A., Ph.D (). Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D ABSTRACT This research is aimed to determine energy levels and wave functions for non central Rosen Morse potential plus Hulthen, Rosen Morse, and Coulomb. Non central Rosen Morse potential plus Hulthen, Rosen Morse, and Coulomb are the potensial which separated variable. Polar and radial wave functions of non central Rosen Morse potential plus Hulthen, and Rosen Morse solved by Romanovski polynomial method and radial wave functions of non central Rosen Morse potential plus Coulomb potential solved by NU. To solve the Schrödinger equation with Romanovski polinomial has reduced the two order differential equation to be intermediatery hypergeometry differential equation with substituting of variable which appropriate to Romanovski s parameter. From intermediatery hypergeometry differential equation which given, the energy levels and wave function are determine with subtituting Romanovski s wave function like into the intermediatery hypergeometry differential equation and derivating until be obtained the Romanovski s differensial equation. From its Romanovski s hypergeometry equation would determine the energy levels and wave function. Energy levels which obtained make up closed function and the wave functions, consist of radial and polar part, have showed by Romanovski polinomial form. Energy spectrum, wave functions and probability graph have visualized with Matlab. Visualization of radial wave functions which obtained are descripting the probability value to found a particle, whereas, Visualization of radial wave functions which obtained are descripting the spin-angular momentum of electron which under system potential effect. Key word: non central Rosen Morse potential, Romanovski polinomial vii

8 KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul, Analisis Energi dan Fungsi Gelombang Potensial Non Sentral Rosen Morse Plus Hulthen, Rosen Morse, dan Coulomb Menggunakan Polinomial Romanovski ini. Penyusunan tesis ini bertujuan untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar Magister pada Program Studi Ilmu Fisika Program Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta. Penulis menyadari bahwa tanpa bantuan dari berbagai pihak, tesis ini tidak akan terwujud. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada:. Bapak Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S, selaku Direktur Program Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta.. Bapak Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D, selaku Ketua Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta, sekaligus sebagai Pembimbing II yang telah banyak memberikan banyak bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis sehingga mampu menyelesaikan tesis ini. 3. Ibu Dra. Suparmi, M.A., Ph.D, selaku pembimbing I yang telah dengan sabar membimbing dan mengajari penulis, serta memberikan semangat kepada penulis untuk dapat menyelesaikan tesis ini. 4. Bapak/Ibu Dosen Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta yang telah memberikan banyak ilmu tentang fisika. viii

9 5. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan tesis ini. Penelitian ini didanai oleh Program Hibah Penelitian Tim Pascasarjana (HPTP) Universitas Sebelas Maret tahun 0 dengan nomer kontrak 345/UN7.6/PN/0. Surakarta, 0 Penulis ix

10 DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... ii HALAMAN PENGESAHAN...iii SURAT PERNYATAAN... iv MOTTO DAN PERSEMBAHAN... v ABSTRAK... vi KATA PENGANTAR...viii DAFTAR ISI... x DAFTAR GAMBAR... xi DAFTAR TABEL...xiii DAFTAR SIMBOL...xvi BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah... B. Identifikasi Masalah... 4 C. Batasan Masalah... 4 D. Rumusan Masalah... 5 E. Tujuan Penelitian... 5 F. Manfaat Penelitian... 6 x

11 BAB II KAJIAN TEORI A. Definisi Persamaan Schrödinger... 7 B. Persamaan Schrödinger untuk Koordinat 3 Dimensi... C. Persamaan Schrödinger untuk Koordinat Bola... 4 D. Penyelesaian Fungsi Gelombang dan Energi Dengan Fungsi Hypergeometry... 9 E. Penyelesaian Fungsi Gelombang dan Energi Dengan Polinomial Romanovski... 9 F. Penyelesaian Fungsi Gelombang dan Energi Dengan Metode NU... 3 G. Potensial Hulthen H. Potensial Rosen Morse I. Potensial Coulomb J. Potensial Non Sentral Rosen Morse BAB III METODE PENELITIAN A. Lokasi dan Waktu Penelitian B. Objek Penelitian C. Instrumentasi Penelitian D. Prosedur Penelitian Langkah Kerja...4. Bagan Alir Penelitian xi

12 BAB IV HASIL DAN ANALISA A. Pendahuluan B. Penyelesaian Bagian Polar Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen C. Penyelesaian Bagian Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen... 7 D. Penyelesaian Bagian Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Rosen Morse E. Penyelesaian Bagian Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Coulomb... 8 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xii

13 DAFTAR GAMBAR Gambar (.). Potensial Kotak... Gambar (.). Potensial Rosen Morse dan Spektrumnya Gambar (4.). Perbandingan Perubahan Fungsi Gelombang Polar Terhadap Perubahan Nilai μ Gambar (4.). Perbandingan Perubahan Fungsi Gelombang Polar Terhadap Perubahan Nilai ν Gambar (4.3). Perbandingan Perubahan Fungsi Gelombang Polar Terhadap Perubahan Nilai ν dan μ Gambar (4.4). Grafik Tingkat Energi Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen Gambar (4.5). Visualisasi Fungsi Gelombang Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen... 9 Gambar (4.6). Grafik Probabilitas Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen... 9 Gambar (4.7). Grafik Tingkat Energi Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Rosen Morse... Gambar (4.8). Visualisasi Fungsi Gelombang Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Rosen Morse.. 6 Gambar (4.9).Grafik Probabilitas Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen Gambar (4.0). Grafik Tingkat Energi Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Coulomb... 8 xiii

14 Gambar (4.). Visualisasi Fungsi Gelombang Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Coulomb Gambar (4.). Grafik Probabilitas Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Coulomb... 3 xiv

15 DAFTAR TABEL Tabel 4.. Polinomial Romanovski dan Hubungannya Dengan Fungsi Gelombang Polar Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen Tabel 4.. Polinomial Romanovski dan Hubungannya Dengan Fungsi Gelombang Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen Tabel 4.3. Polinomial Romanovski dan Hubungannya Dengan Fungsi Gelombang Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Rosen Morse... 5 Tabel 4.4. Fungsi Gelombang Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Coulomb... 9 xv

16 DAFTAR SIMBOL m e = massa elektron, 9, 0 3 kg, h = konstanta Planck, 6, Js, ħ ω Ψ k p = h π =, Js, = kecepatan sudut, = fungsi gelombang, = bilangan gelombang, = momentum, λ = π k = panjang gelombang, υ K V n l m n r n l = π ω = frekuensi, = energi kinetik, = energi potensial, = bilangan kuantum utama, = bilangan kuantum orbital, = bilangan kuantum magnetik, = bilangan kuantum radial, = bilangan kuantum polar. xvi

17 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Mekanika kuantum sudah lama dikenal sebagai ilmu dasar bagi penelaahan gejala dan sifat berbagai sistem mikroskopik. Pemanfaatannya tidak hanya berhasil memperluas dan memperdalam pemahaman peristiwa alami di dalam laboratorium, tetapi juga menghasilkan kemajuan teknologi secara luas, dan mempengaruhi kualitas serta corak hidup manusia secara tidak langsung. Perkembangan mekanika kuantum berakar dari konsep dasar teori kuantum yang meliputi dugaan-dugaan baik secara diskrit maupun ketidakteraturan. Teori kuantum terbukti mampu menjelaskan fenomena kuantum dari sistem makroskopik seperti superkonduktivitas dan superfluiditas yang memiliki potensi aplikasi penting. Dalam proses pembelajaran fisika kuantum khususnya mekanika kuantum selalu melibatkan persamaan-persamaan yang rumit dan penyelesaiannya membutuhkan analisa dan pemikiran yang tinggi. Contoh masalah yang cukup rumit adalah penyelesaian fungsi gelombang dari persamaan Schrödinger. Persamaan Schrödinger diperoleh mulai dari fungsi gelombang partikel yang bergerak bebas. Perluasan persamaan Schrödinger untuk kasus khusus partikel bebas ke kasus umum dengan sebuah partikel yang mengalami gaya sembarang yang berubah commit terhadap to user ruang dan waktu merupakan suatu

18 kemungkinan yang bisa ditempuh. Tetapi tidak ada satu cara eksak yang membuktikan bahwa perluasan itu benar. Yang bisa dilakukan hanyalah mengambil postulat bahwa persamaan Schrödinger berlaku untuk berbagai situasi fisis dan membandingkan hasilnya dengan hasil eksperimen. Jika hasilnya cocok, postulatnya harus dibuang dan pendekatan lain harus dijajaki. Dengan kata lain, persamaan Schrödinger tidak bisa diturunkan dari prinsip pertama, tetapi persamaan Schrödinger itu sendirilah yang merupakan prinsip pertama. Persamaan Schrödinger telah menghasilkan ramalan yang sangat tepat mengenai hasil eksperimen yang diperoleh dan harus diakui bahwa persamaan Schrödinger menyatakan suatu postulat yang berhasil mengenai aspek tertentu dari dunia fisis. Perlu diketahui bahwa persamaan Schrödinger bukanlah penambahan banyak postulat yang diperlukan untuk memberikan cara kerja alam fisis, karena hukum kedua Newton mengenai gerak yang dalam mekanika klasik dipandang sebagai postulat dapat diturunkan dari persamaan Schrödinger. Penelitian tentang penyelesaian fungsi gelombang pada persamaan Schrödinger merupakan penelitian yang sangat penting dalam ilmu fisika modern. Berbagai metode penyelesaian persamaan Schrödinger untuk gerak partikel bermuatan pada potensial-potensial sentral dan non sentral dengan suatu potensial vektor atau suatu potensial skalar terpisahkan telah dikembangkan (Ikot, 0). Berbagai metode yang telah dikembangkan tersebut diantaranya adalah metode Supersymmetry, metode shape invariant

19 3 (Cooper, 989), metode Nikiforov-Uvarov (NU) (Ikot, 00), dan polinomial Romanovski (Cari, 0). Penelitian ini menitikberatkan pada penyelesaian fungsi gelombang dan energi persamaan Schrödinger dari suatu elektron yang bergerak di dalam potensial kombinasi antara dua potensial non-sentral menggunakan polinomial Romanovski. Pada tahun 884 Sir E. J. Routh merumuskan metode ini dan pada tahun 99 dikembangkan kembali oleh V. I. Romanovski yang kemudian dikenal dalam beberapa literatur matematika sebagai polinomial Romanovski. Polinomial Romanovski merupakan bagian dari penyelesaian eksak untuk beberapa kasus biasa dan supersymetry mekaniaka kuantum (Cari, 0). Secara umum, tepatnya persamaan Schrödinger memegang peranan spesial karena banyak member peran dalam menjelaskan fenomena mikroskopik serta menjadi tokoh kunci dalam ilmu fisika. Polinomial Romanovski dan polinomial Jacobi memiliki hubungan yang cukup erat, yaitu, polinomial Romanovski merupakan bentuk kompleks dari polinomial Jacobi tetapi pada kenyataannya substitusi faktor kompleks pada polinomial Jacobi tidak selalu menghasilkan polinomial Romanovski. Polinomial Romanovski dapat diturunkan sebagai solusi polinomial dari ODE. Pembahasan polinomial Romanovski tidak begitu meluas dalam berbagai aplikasi, tetapi dalam beberapa tahun terakhir ini metode ini cukup popular dalam pemecahan kasus-kasus mekanika kuantum, seperti pada contoh diskripsi spektrum atom hidrogen pada potensial Coulomb (Yanuarief, 0), atau gerak partikel pada potensial Hulthen atau Rosen Morse.

20 4 B. Identifikasi Masalah Berdasarkan uraian dari latar belakang di atas, maka dapat dituliskan perumusan masalah sebagai berikut :. Bagaimana cara agar proses pembelajaran fisika kuantum khususnya mekanika kuantum dapat diselesaikan dengan persamaan-persamaan yang relatif lebih sederhana?. Sejauh mana konsep mekanika kuantum dapat menjelaskan berbagai fenomena mikroskopik di alam semesta? 3. Seberapa luas cakupan konsep persamaan Schrödinger dalam aplikasi mendiskripsikan gerak partikel pada beberapa potensial? 4. Bagaimana penyelesaian fungsi gelombang dan energi persamaan Schrödinger untuk potensial non sentral dilakukan? 5. Bagaimana cara mengaplikasikan polinomial Romanovski untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger? 6. Sebesar apa peran polinomial Romanovski sebagai metode popular dalam penyelesaian persamaan Schrödinger? C. Batasan Masalah Penelitian ini dibatasi dalam lingkup :. Penyelesaian fungsi gelombang dan energi persamaan Schrödinger untuk potensial non sentral,

21 5. Potensial yang digunakan antara lain adalah non sentral Rosen Morse plus Hulthen, non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse, dan non sentral Rosen Morse plus Coulomb, 3. Metode analitik untuk menjabarkan potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen dan potensial non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse adalah menggunakan metode polinomial Romanovski. 4. Metode analitik untuk menjabarkan potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb adalah menggunakan kombinasi metode NU dan polinomial Romanovski. D. Rumusan Masalah. Bagaimana analisis energi dan fungsi gelombang potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen?. Bagaimana analisis energi dan fungsi gelombang potensial non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse? 3. Bagaimana analisis energi dan fungsi gelombang potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb? E. Tujuan Penelitian Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah :. Mendeskripskan hasil analisis energi dan fungsi gelombang potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen.

22 6. Mendiskripsikan hasil analisis energi dan fungsi gelombang potensial non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse. 3. Mendiskripsikan hasil analisis energi dan fungsi gelombang potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb. F. Manfaat Penelitian. Bagi Peneliti : a. Mengembangkan kemampuan peneliti dalam penguasaan tekhnik penyelesaian fungsi gelombang dan energi persamaan Schrödinger untuk berbagai potensial, b. Mengembangkan kemampuan peneliti dalam penguasaan bahasa Matlab, c. Mengembangkan kemampuan logika berfikir dalam penyusunan alur program komputasi.. Bagi Pembaca : a. Visualisasi grafik yang dihasilkan dapat mempemudah pemahaman tentang mekanika kuantum. b. Sebagai sumber informasi tambahan dalam komputasi sehingga dapat memberikan kontribusi bagi ilmu pengetahuan.

23 7 BAB II KAJIAN TEORI A. Definisi Persamaan Schrödinger Baik hukum Newton, persamaan Maxwell, maupun persamaan Schrödinger tidak dapat diturunkan dari seperangkat asas dasar, namun pemecahan yang diperoleh darinya ternyata sesuai dengan pengamatan percobaan. Persamaan Schrödinger hanya dapat dipecahkan secara eksak untuk beberapa potensial sederhana tertentu; yang paling sederhana adalah potensial konstan dan potensial osilator harmonik. Kedua kasus sederhana ini memang tidak fisis, dalam artian bahwa pemecahannya tidak dapat diperiksa kebenarannya dengan percobaan. Namun demikian, kasus sederhana ini cukup bermanfaat dalam memberikan gambaran tentang teknik umum pemecahan persamaan Schrödinger. Untuk merumuskan persamaan Schrödinger yang sampai saat ini dipergunakan untuk memecahkan persoalan fisika kuantum, berbagai pertimbangan haruslah diperhatikan karena diketahui bahwa tidak adanya hasil percobaan yang dapat dijadikan sebagai bahan perbandingan. Beberapa pertimbangan itu diantaranya:. Tidak boleh melanggar hukum kekekalan energi. Meskipun mengorbankan sebagian besar kerangka fisik klasik, hukum kekekalan energi adalah salah satu asas yang tetap berlaku.

24 8 K + V = E (.) dengan K = energi kinetik, V = energi potensial, E = energi total (jumlah energi kinetik dan energi potensial) Karena kajian fisika kuantum dibatasi oleh keadaan relativistik, maka, K = m ev = p m e (.) dengan m e = massa partikel elementer. Bentuk persamaan differensial apapun yang ditulis, haruslah taat asas terhadap hipotesis debroglie. Jika pemecahan persamaan matematika bagi suatu partikel dengan momentum p, maka pemecahan yang didapat harus berbentuk sebuah fungsi gelombang dengan panjang gelombang λ yang nilainya sama dengan h, dan dengan mendefinisikan p = ħk p maka nilai energi kinetik pada persamaan (.) menjadi, K = p = ħk = ħ k (.3) m e m e m e dengan ħ = h, h = konstanta plank, k = bilangan gelombang π 3. Persamaan yang dihasilkan diharapkan dapat memberikan informasi tentang probabilitas untuk menemukan partikelnya, misalnya, probabilitas tersebut berubah secara tidak kontinu, karena ini partikelnya berarti bahwa partikelnya menghilang secara tiba-tiba dari satu titik dan muncul kembali pada titik lainnya. Sehingga disyaratkan bahwa fungsinya harus bernilai tunggal, tidak boleh ada dua atau lebih probabilitas untuk menemukan partikel di satu titik

25 9 yang sama. Kemudian juga harus bersifat linier, agar gelombangnya memiliki sifat superposisi yang diharapkan sebagai milik gelombang yang berperilaku baik. Dengan memeilih bernalar dalam urutan terbalik, akan ditinjau terlebih dahulu pemecahan dari persamaan yang sedang dicari. Dengan rujukan awal beberapa fungsi gelombang,. Gelombang berjalan: y x, t = A sin kx ωt (.4). Gelombang elektromagnet (GEM): E x, t = E 0 sin kx ωt B x, t = B 0 sin kx ωt (.5a) (.5b) dengan y x, t, E x, t dan B x, t = simpangan; A, E 0 dan B 0 = amplitudo, k = bilangan gelombang, x = posisi, ω = kecepatan sudut, t = waktu. Oleh karena itu, dipostulatkan bahwa gelombang debroglie partikel bebas Ψ x, t memiliki bentuk matematis yang juga serupa dengan persamaan (.4) dan (.5), yaitu bentuk dasar sebuah gelombang dengan amplitudo yang merambat dalam arah x positif, memiliki panjang gelombang λ = π k dan frekuensi ν = π ω. Dengan mengabaikan ketergantungan pada waktu Ψ x, t = 0, maka dapat dituliskan persamaan gelombang debroglie partikel bebas sebagai, Ψ x = Ψ 0 sin kx (.6)

26 0 Persamaan differensial, yang pemecahannya adalah Ψ x, t dapat mengandung turunan terhadap x atau t, tetapi haruslah hanya bergantung pada orde satu dari Ψ dan turunan-turunannya, sehingga suku seperti Ψ atau Ψ t tidak boleh muncul. Persamaan haruslah mengandung potensial V, jika V berorde satu, maka agar taat asas dengan kekekalan energi persamaan (.), K harus juga berorde satu. Dengan merujuk pada persamaan (.3), maka satu-satunya cara untuk memperoleh suku yang mengandung k adalah dengan mendifferensialkan dua kali persamaan (.6), yaitu, d dx Ψ x = k Ψ 0 sin kx = k Ψ x (.7) dengan mensubstitusi persamaan (.3) ke persamaan (.7) maka didapatkan, d Ψ x = m e KΨ x (.8) dx ħ dan dengan mensubstitusi persamaan (.) ke persamaan (.8) maka didapatkan, d Ψ x = m e E V Ψ x dx ħ d Ψ x = m e dx ħ VΨ x m e ħ EΨ x (.9) kemudian kedua ruas dari persamaan (.9) dikalikan dengan ħ m e, menjadi, ħ d m e dx Ψ x + VΨ x = EΨ x (.0) Perlu ditekankan bahwa yang dilakukan bukanlah suatu penurunan, tetapi adalah membentuk suatu persamaan differensial yang memiliki sifat-sifat:. taat asas kekekalan energi,

27 . linier dan bernilai tunggal, 3. memberikan pemecahan partikel bebas yang sesuai dengan sebuah gelombang debroglie tunggal. Persamaan lain dapat dibentuk dengan sifat-sifat yang sama, namun hanya persamaan (.0) yang lolos pengujian ketat tersebut sebagai yang sesuai dengan hasil-hasil percobaan dalam berbagai situasi fisis. Persamaan (.0) merupakan persamaan Schrödinger bebas waktu (stasioner) satu dimensi. Meskipun gelombang nyata selain bergantung pada koordinat ruang dan juga pada waktu, dan bahwa alam bukanlah berdimensi satu, melainkan tiga, maka berbagai pemecahan persamaan (.0) untuk berbagai koordinat dalam kasus-kasus fisika kuantum dapat dilakukan dengan model-model matematika yang sudah ada. (Krane, 7-73). B. Persamaan Schrödinger untuk koordinat 3 Dimensi Pada sistem koordinat 3 dimensi, misal pada contoh kasus suatu partikel yang terkurung didalam potensial kotak berukuran a b c (gambar.)

28 z c b y x a Gambar (.). Potensial Kotak maka di setiap dinding kotak memiliki energi potensial yang sangat besar, V, sedangkan energi potensial didalam kotak bernilai 0. Oleh karena partikel bergerak bebas memiliki probabilitas dalam arah 3 dimensi, maka berlaku operator nabla sebagai divergensi dari gradient Ψ x, y, z atau laplacian Ψ x, y, z untuk operasi differensial (Arfken, 49-54) pada suku pertama persamaan (.0), yaitu, = + y + z (.) maka persamaan (.0) untuk kasus potensial kotak dapat ditulis menjadi, ħ m Ψ x, y, z = EΨ x, y, z (.) dengan mensubstitusi persamaan (.) ke persamaan (.), maka dapat dituliskan, ħ m Ψ x,y,z + Ψ x,y,z y + Ψ x,y,z = EΨ x, y, z (.3) z

29 3 Persamaan (.3) tersebut diselesaikan dengan metode sparasi variabel dengan menguraikan, Ψ x, y, z = X x Y y Z z (.4) dengan, X x : bagian fungsi gelombang fungsi x, Y y : bagian fungsi gelombang fungsi y, Z z : bagian fungsi gelombang fungsi z, kemudian persamaan (.4) disubstitusi ke persamaan (.3), maka menjadi, ħ m X x Y y Z z + y X x Y y Z z + z X x Y y Z z = EX x Y y Z z ħ m d d d Y y Z z X x + X x Z z Y y + X x Y y Z z = dx dy dz EX x Y y Z z (.5) Jika kedua ruas dari persamaan (.5) dibagi dengan X x Y y Z z, maka persamaan (.5) menjadi, ħ m X x d dx X x + Y y d dy Y y + Z z d dz Z z = E (.6) dengan E merupakan energi total untuk sistem 3 dimensi, dimana, E = E x + E y + E z (.7) sehingga jika persamaan (.7) disubstitusi ke persamaan (.6), menjadi,

30 4 ħ m e X x d ħ X x dx m e Y y d ħ Y y dy m e Z z d dz Z z = E x + E y + E z (.8) Dari bentuk persamaan (.8), terlihat bahwa masing-masing suku telah mewakili satu fungsi gelombang, sehingga persamaan tersebut dapat direduksi menjadi, ħ m e d dx X x = E xx x ħ m e d dy Y y = E yy y ħ m e d dz Z z = E zz z (.9a) (.9b) (.9c) Persamaan (.9) tersebut tidak lain merupakan persamaan Schrödinger untuk partikel dalam potensial satu dimensi. C. Persamaan Schrödinger Untuk Koordinat Bola Beberapa potensial yang digunakan bersama pada persamaan Schrödinger merupakan potensial sentral dan merupakan fungsi dari jarak antara suatu partikel terhadap beberapa titik yang dijadikan acuan/pusat. Pada sistem koordinat bola, suatu titik pada ruang didefinisikan sebagai jarak r dari sebuah titik tersebut terhadap pusat sistem koordinat dengan arah dua sudut, yaitu zenithal θ dan azimuthal φ. Oleh karena itu, dapat ditentukan secara spesifik posisi dari suatu titik tunggal dalam sistem tiga dimensi menggunakan triplets r, θ, φ tersebut. Untuk menentukan letak atau posisi dalam koordinat bola untuk setiap titik, jangkauan dari setiap titik tersebut harus dibatasi. Secara umum ditentukan yaitu

31 5 r 0, 0 θ π, dan 0 φ π. Pada bagian tersebut, seseorang dapat mengajukan sebuah pertanyaan tentang mengapa diperlukan sistem koordinat bola dalam proses penyelesaian persamaan Schrödinger untuk suatu partikel dalam fungsi potensial. Untuk potensial-potensial fisika, sekaligus menjadi sebuah jawaban, persamaan Schrödinger dalam sistem koordinat bola dapat di selesaikan dengan menggunakan pemisahan (sparasi) fungsi gelombang 3 dimensi menjadi fungsi gelombang yang berdiri sendiri (independen), yaitu : Ψ r, θ, φ = R r Υ θ, φ. Pergerakan suatu molekul berputar atau pada suatu elektron yang bergerak mengelilingi suatu inti atom dapat lebih baik didiskripsikan dalam koordinat bola dengan hanya mereduksi dalam koordinat tunggal atau dimensi. Sebagai contoh, pada potensial Coulomb yang merepresentasikan suatu interaksi elektromagnetik antara sebuah elektron dan sebuah proton yang dapat dituliskan : V x, y, z = e x +y +z dalam koordinat kartesian, dimana e = e 4πε 0, e merupakan muatan elementer dan ε 0 merupakan permitivitas ruang hampa. Persamaan tersebut tidak begitu saja dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaaan Schrödinger dengan potensial V x, y, z karena potensial yang digunakan pada persamaan Schrödinger tidak dipisahkan dalam koordinat kartesian. Transformasi ke dalam koordinat bola dari koordinat kartesian akan mempermudah penyelesaian persamaan Schrödinger karena pada

32 6 kasus ini, potensial V x, y, z dapat di ubah menjadi V r = e r yang hanya mengandung fungsi r. Untuk transformasi tersebut, digunakan konversi r = x + y + z. Selanjutnya, variabel-variabel x, y, z pada koordinat kartesian dapat dihubungkan ke dalam variabel-variabel r, θ, φ pada koordinat bola, dengan hubungan : x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ (.0) Dengan devinisi untuk koordinat bola, = r r r + r sin θ θ sin θ θ + r sin θ φ (.) Sehingga persamaan Schrödinger dapat dituliskan sebagai berikut, ħ m r r + r r sin θ θ sin θ + θ r sin θ φ + V r Ψ r, θ, φ = EΨ r, θ, φ (.) Potensial yang digunakan adalah potensial sentral karena hanya dipengaruhi oleh jarak r dari pusat koordinat dengan solusi pemisahan variabel pada persamaan Schrödinger, Ψ r, θ, φ = R r Υ θ, φ (.3) Menggunakan persamaan (.3) tersebut, maka persamaan (.) dapat dituliskan: R r d dr dr r r dr + m er ħ E V r = Υ θ,φ sin θ θ Υ θ,φ sin θ θ + Υ θ,φ sin θ φ (.4)

33 7 Kedua ruas dari persamaan (.4) memiliki variabel-variabel yang berbeda namun keduanya dapat disebandingkan hanya jika keduanya memiliki nilai konstanta sebesar λ. Oleh karena itu, persamaan (.4) dapat dibagi menjadi persamaan-persamaan: d r dr dr r r dr + m e ħ λ E V r R r = 0 (.5) r sin θ θ Υ θ,φ sin θ θ + Υ θ,φ + λυ θ, φ = 0 (.6) sin θ φ Dari persamaan (.5) dan (.6), tiap persamaan telah mewakili masing-masing variabel yang terpisahkan, yaitu variabel radial pada persamaan (.5) dan variabel sudut pada persamaan (.6). Penyelesaian bagian sudut dari persamaan (.6) dapat langsung diselesaikan karena bagian ini tidak terdapat sebuah potensial ataupun energi sehingga dapat dilanjutkan kembali untuk memisahkan variabel dengan mengasumsikan fungsi sudut Υ θ, φ = Θ θ Φ φ. Sehingga persamaan (.6) memiliki bentuk penyelesaian, d sin θ dθ dθ θ sin θ dθ + λ m sin θ Θ θ = 0 (.7) Φ φ d Φ φ dφ = m (.8) Dengan m harus bernilai positif atau bulat negatif, m = 0, ±, ±, Konstanta m merupakan bilangan kuantum magnetik. Jika kembali pada persamaan yang lebih rumit yang dipengaruhi oleh variabel θ, persamaan (.7) dapat ditulis kembali dengan mengubah variabel cos θ = ω. d dω dp ω ω dω + λ m ω P ω = 0 (.9)

34 8 Dengan P ω merupakan polinomial Legendre. Umumnya, persamaan (.9) memiliki dua penyelesaian independen yang bernilai tak terhingga untuk ω = ±. Meskipun demikian, fungsi gelombang yang memenuhi untuk kondisi khusus persamaan (.9) bernilai terhingga. Akan tetapi, jika konstanta λ didefinisikan sebagai, λ = l l + (.30) Dengan l dinyatakan sebagai bilangan kuantum orbital yang memiliki nilai, l = 0,,, 3, (.3) Untuk nilai-nilai l tersebut, maka solusi P ω dapat bernilai terhingga untuk semua nilai-nilai ω. Pada definisi fungsi Legendre asosiasi, magnitude dari bilangan kuantum magnetik m haruslah terbatas pada nilai-nilai yang lebih kecil atau sama dengan l karena polinomial-polinomial Legendre merupakan polinomial-polinomial fungsi l, m = 0,,, 3, l (.3) Di sisi lain, terdapat nilai l + yang dipenuhi nilai-nilai untuk m, l m l. Mensubstitusi persamaan (.30) ke persamaan (.5) menunjukkan bahwa fungsi gelombang radial R r dan eigenvalue E dari persamaan Schrödinger bergantung pada bilangan kuantum orbital l dan dipenuhi oleh persamaan, d R r dr + r dr r dr + m e E V r ħ l l+ R r = 0 (.33) ħ m e r Persamaan (.33) dapat digambarkan sebagai suatu persamaan differensial biasa dengan koefisien variabel dan dapat diselesaikan dengan metode-metode standar.

35 9 D. Penyelesaian Fungsi Gelombang dan Energi Dengan Fungsi Hypergeometry Persamaan Schrödinger untuk sistem partikel yang dipengaruhi oleh potensial yang mana energi potensialnya merupakan fungsi posisi biasanya diselesaikan dengan cara mereduksi persamaan Schrödinger menjadi persamaan differensial orde dua fungsi khusus seperti fungsi hypergeometry dengan substitusi variabel yang sesuai. Jika persamaan hypergeometry telah diperoleh, maka tingkat-tingkat energi dan fungsi gelombang akan diperoleh dengan mudah. Variabel baru yang disubstitusikan biasanya diperoleh dengan cara coba-coba, namun sekali dapat menemukan variabel baru untuk suatu sistem, variabel baru untuk sistem yang lain dapat ditentukan dengan menebak yang lebih logis dan terarah. Persamaan differensial orde dua fungsi hypergeometry yang diusulkan oleh Gauβ dinyatakan sebagai, z z d φ dφ + c a + b + z abφ = 0 (.34) dz dr persamaan (.34) mempunyai dua buah titik reguler singular yaitu di titik z = 0 dan z =, karena penyelesaian di titik z = 0 lebih sederhana dari pada penyelesaian di titik z =, maka mula-mula dipilih penyelesaian fungsi gelombang φ di sekitar titik z = 0 dengan bentuk deret di sekitar titik z = 0, yaitu, φ = z s y n z n (.35) dengan mensubstitusi persamaan (.35) ke persamaan (.34),

36 0 ab ~ n=0 y n z n+s = ab y 0 z s + y z s+ + y z s+ + y 3 z s+3 + c a + b + z d dz ~ n=0 y n z n+s = c a + b + z sy 0 z s + s + y z s + s + y z s+ + s + 3 y 3 z s+ + z z d dz ~ n=0 y nz n+s = z z s sy 0 z s + s s + y z s + s + s + y z s = z s csy 0 + s s y 0 + z s aby 0 + c s + y a + b + sy 0 + s+sy ss y0 +z s+ aby + c s + y a + b + s + y + s + s + y s+sy + (.36) Persamaan (.36) merupakan persamaan identitas sehingga koefisien dari masingmasing suku z pangkat tertentu harus di-nol-kan, yaitu, Untuk z s, csy 0 + s s y 0 = 0, sy 0 c + s = 0, y 0 0 (.37) persamaan (.37) merupakan index equation yang memberikan harga, s = 0 atau s = c (.38a) Untuk z s, aby 0 + c s + y a + b + sy 0 + s + sy s s y 0 = 0

37 ab a + b + s s s y 0 + c s + + s + s y = 0 sehingga diperoleh hubungan, y = s + a+b s+ab s+ s+c y 0 atau y = s+a s+b s+ s+c y 0 (.38b) Untuk z s+, abc + c s + y a + b + s + y + s + s + y s+sy=0 ab s + s a + b + s + y + c s + + s + s + y = 0 sehingga diperoleh hubungan, y = s + s + a + b + s + + ab c s + + s + s + y y = s + s + a + b + s + + ab s + s + c + y y = s++a s++b s+ s+c+ y (.39a) dengan menghubungkan persamaan (.38b) ke persamaan (.39a), maka diperoleh, y = s+a s+b s+ s+c s++a s++b s+ s+c+ y 0 (.39b) Setelah itu, persamaan (.39b) dapat dinyatakan dalam bentuk umum, yaitu, y n = s+a s+b s++a s++b s+ s+c s+ s+c+ s+ n +a s+ n +b s+n s+c+ n y 0 (.40) Berdasarkan persamaan (.38a), maka diperoleh persamaan untuk:

38 s = 0, y n = a b + a + b c c + n + a n + b n c + n y 0 y n = a a+ b b+ c c+ a+n b+n n c+n n! y 0 (.4) maka akan didapatkan bentuk penyelesaian persamaan differensial hypergeometry persamaan (.34), yaitu, F a, b, c; z = φ = a n b n n c n z n = a n b n n! c n z n (.4) dimana a n = a a + a + a + 3 a + n agar penyelesaian (.4) mempunyai nilai, maka penyebut tidak boleh bernilai nol, maka c n, dimana n = 0,,,3 Jika, a = n atau b = n (.43) maka bentuk penyelesaian yang berupa deret menjadi terputus sehingga diperoleh penyelesaian yang berhingga yaitu polinomial pangkat n. Dari kondisi yang dinyatakan pada persamaan (.43) dapat diperoleh tingkat energi sistem. Persamaan (.34) dapat digunakan untuk menganalisis fungsi gelombang dan spektrum energi suatu sistem yang dipengaruhi oleh potensial tertentu. Salah satu contoh potensial yang mempengaruhi sistem yang dapat diselesaikan yaitu potensial Gendehshtein II yang memiliki potensial efektif, V eff = ħ m e u(t+ ) cosh x sinh x u +t(t+) sinh x (.44) persamaan Schrödinger untuk persamaan (.44) adalah,

39 3 ħ d χ + ħ u +t t+ m e dx m e sinh x ħ u t+ cosh x m e sinh x χ = Eχ (.45) persamaan (.45) dapat diubah menjadi persamaan differensial orde dua fungsi hypergeometry dengan cara melakukan substitusi variabel, yaitu, cosh x = z maka sinh x = z z (.46) dari persamaan (.46), diperoleh, z = cosh x dz dx = sinh x = z z d dx = z z d dz d d dx dx = d dx = z z d dz z z d dz d dx = z z z z z d dz + z z d dz d dx = z d d + z z dz dz d d dx = z z + z dz d dz (.47) dengan mensubstitusi persamaan (.46) dan (.47) ke persamaan (.45), maka dapat dituliskan, z z d χ dz + z dχ u +t t+ dr 4z z u t + z 4z z χ = m e Eχ ħ (.48) jika dimisalkan m e ħ E = k

40 4 maka persamaan (.48) dapat ditulis kembali menjadi, z z d χ + dχ z + dz dr k t+ u 4 4z t+ +u 4 z 4 χ = 0 (.49) Persamaan differensial orde dua pada persamaan (.49) yang dibentuk dari hasil substitusi variabel merupakan persamaan hypergeometry perantara. Persamaan ini mempunyai buah titik regular singular di titik z = 0 dan z =, Untuk titik z = 0, persamaan (.49) memiliki penyelesaian, z z d χ + dχ z dz dr t+ u 4 4z χ = 0 (.50) +u 4 k karena suku-suku z z dan t+ diabaikan terhadap suku 4z z t+ u 4 4z z untuk z mendekati nol, serta bentuk persamaan (.50) merupakan bentuk persamaan hypergeometry seperti pada persamaan (.34) maka persamaan (.50) diselesaikan dengan fungsi gelombang χ yang sesuai seperti bentuk persamaan (.35) yaitu, χ = z s n=0 c n z n (.5) kemudian persamaan (.5) disubstitusi ke persamaan (.50), dan diperoleh, z z d dz ~ n=0 c nz n+s + z d dz ~ n=0 c n z n+s t+ u 4 4z ~ n=0 c n z n+s = 0 (.5) kemudian masing-masing suku dari persamaan (.5) diuraikan secara terpisah, yaitu:

41 5 t+ u 4z 4 ~ n=0 c n z n+s = t+ u 4 4z c 0 z s + c z s+ + c z s+ + c 3 z s+3 + (.53a) z d dz z z d czs+ dz ~ n +s n=0 c n z = z sc 0z s + s + c z s + s + c z s+ + s + 3 c 3 z s+ + (.53b) ~ n=0 c nz n+s = z z s sc 0 z s + s s + c z s + s + s + (.53c) kemudian dari uraian pada persamaan (.53a), (.53b), dan (.53c) dijumlahkan sesuai hubungan pada persamaan (.5) dan dikelompokan berdasarkan variabel z pangkat tertentu, yaitu, 0 = z s t+ u 4 4 c 0 + sc 0 + s sc 0 + z s t+ u 4 4 c + s + c sc (.54) dari persamaan (.54), suku dengan variabel z pangkat terendah harus di-nol-kan, yaitu, t + u s + s s c 0 = 0, c 0 0 t + u s + s s = 0 s t + s u 4 = 0 4

42 6 4s s t + u 4 = 0 t + u = s s (.55) 4 dari persamaan (.55), jika dimisalkan nilai s untuk z menuju 0 adalah α, maka, α = t+u (.56) sehingga diperoleh penyelesaian pendekatan disekitar titik z = 0 yang dinyatakan sebagai, χ ~ z α (.57) Untuk titik z =, persamaan (.49) memiliki penyelesaian, z z d χ + dχ z dz dr t+ +u 4 4 z χ = 0 (.58) karena suku-suku k z z dan t+ u 4 4z z diabaikan terhadap suku t+ +u 4 4z z untuk z = dan analog dengan persamaan (.50), penyelesaian pendekatannya dapat dituliskan sebagai, χ ~ z β (.59) dengan parameter yang disubstitusi dinyatakan sebagai, t + + u 4 = β β, t u β = (.60)

43 7 Penyelesaian umum dari persamaan (.49) merupakan kombinasi dari penyelesaian yang diperoleh disekitar titik z = 0 dan di z = dan dikalikan dengan suatu fungsi baru yang dapat ditulis sebagai, χ = z α z β f z (.6) Kemudian untuk menyelesaikan persamaan (.49), dihitung terlebih dahulu turunan pertama dan kedua dari persamaan (.6), yaitu, dχ dz = αzα z β f z z α β z β f z + z α z β f z (.6a) d χ = α dz αzα z β f z αz α β z β f z + αz α zβf z αzα β zβ fz+zαβ β zβ fz zαβ zβ f z+αzα zβf z zαβ zβ f z+zα zβf z (.6b) bila persamaan (.56), (.60), (.6), (.6a), dan (.6b) dimasukkan ke dalam persamaan (.49), maka diperoleh persamaan, z z d f z dz + α + α + β + z df z dr + α + β k f z = 0 (.63) bentuk persamaan (.63) merupakan bentuk persamaan differensial orde dua fungsi hypergeometry. Dengan mengaplikasikan kondisi pada persamaan (.43) pada persamaan (.63), maka diperoleh, α + β + k = n atau α + β k = n (.64) Dari persamaan (.56), (.60), jika disubstitusi ke persamaan (.64),

44 8 t + u + t u + m e ħ E = n m e ħ E = n t m e ħ E = t n maka diperoleh spektrum energi, yaitu, E n = ħ m e t n (.65) Kemudian dengan membandingkan persamaan (.34) dengan persamaan (.63), serta hubungan persamaan (.43) dan (.64), maka dapat dinyatakan hubungan, a = α + β + k, b = α + β k, dan c = α + (.66) dengan menjumlahkan persamaan (.56) dan (.60), yaitu α + β = t + u + t u α + β = t (.67) maka persamaan (.66) dapat ditulis kembali menjadi, a = t + k, b = t k, dan c = t + u + (.68) Sehingga, dari persamaan (.4), (.46) dan (.68), diperoleh penyelesaian yang merupakan fungsi hypergeometry, yaitu, F t + k, t k, t + u + cosh x ; = t+k n t k n n! t+u+ n cosh x n (.69)

45 9 Dengan mensubstitusi persamaan (.46), (.57), (.60), dan (.69) ke persamaan (.6), maka didapatkan, χ n = cosh x t+k +cosh x t k t+k n t k n n! t+u+ n cosh x n (.70) Persamaan (.70) menunjukan penyelesaian umum fungsi gelombang potensial Gendensthein II, dengan fungsi gelombang tingkat dasar n = 0 : χ 0 = cosh x t+k +cosh x t k (.7) (Suparmi, 6-65) E. Penyelesaian Fungsi Gelombang dan Energi Dengan Polinomial Romanovski Dari bentuk umum persamaan hypergeometry, ς x d y n x dx Dengan, + τ x dy n x dx + λ n y n x = 0 (.7) ς x = ax + bx + c; τ = dx + e dan λ n = n n + n p (.73) Jika persamaan (.73) disubstitusikan ke persamaan (.7), maka dapat dituliskan, ax + bx + c d y n x dx + dx + e dy n x dx n n + n p y n x = 0 (.74) Dengan parameter Romanovski :

46 30 a =, b = 0, c =, d = p, dan e = q, p > 0, y n x = D n, p = β > n (.75) sehingga persamaan (.74) dapat ditulis kembali menjadi, + x d D n p,q x dx + x p + q dd p,q n x dx n n + n p D n = 0 (.76) Persamaan (.76) merupakan persamaan differensial orde polinomial p,q Romanovski dengan D n x adalah polinomial Romanovski. Persamaan (.76) memiliki bentuk yang sama dengan persamaan (.34). Persamaan Schrödinger untuk potensial shape invariant dapat direduksi menjadi persamaan differensial orde dua yang dinyatakan dalam bentuk persamaan (.76) dengan melakukan substritusi variabel yang sesuai. Metode yang digunakan untuk menjabarkan persamaan (.76) sama seperti metode yang digunakan pada penjabaran persamaan hypergeometry, persamaan (.34), tetapi dengan penyelesaian fungsi gelombang persamaan Schrödinger, seperti penyelesaian fungsi gelombang pada persamaan (.6), untuk polinomial Romanovski, yaitu, X n = + x p e q tan x p,q D n x (.77) dengan, D n p,q x = w x d n dx n + x n w(x) (.78) w x merupakan faktor bobot yang dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan differensial Pearson, yaitu,

47 3 d dx ς x w x = τ x w(x) (.79) dengan mensubstitusi persamaan (.67) ke persamaan (.7), maka diperoleh, w x = exp w x = exp d a x + (e b) ax dx + bx + c p x + q + x dx = exp px + q + x dx w x = exp p ln + x + q tan x w x = + x p e q tan x = + x β e α tan x (.80) F. Penyelesaian Fungsi Gelombang dan Energi Dengan Metode NU Metode NU didasari pada persamaan diferensial hypergeometry orde. Untuk suatu potensial yang ditentukan, persamaan Schrödinger dalam koordinat bola direduksi kedalam suatu persamaan umum hypergeometrik dengan suatu transformasi koordinat r s dan kemudian diselesaikan secara sistematis dengan penyelesaian khusus. Persamaan utama ditunjukan dalam bentuk dibawah ini : ψ s + τ s ς s ψ s + ς s ς s ψ s = 0 (.8) dimana ς s dan ς s merupakan polinomial orde, τ s adalah polinomial orde, dan ψ s merupakan suatu fungsi dari hypergeometry. Dengan mendefinisikan ψ s = φ s y s dan memilih suatu fungsi φ s yang tepat, persamaan (.8) direduksi menjadi suatu bentuk: y φ s s + φ s + τ s ς s y s + φ s φ s + φ s φ s τ s ς s + ς s ς s y s = 0 (.8)

48 3 dari koefisien y s diperoleh bentuk, φ s φ s + τ s ς s = τ s ς s (.83) dan dari persamaan (.83), diperoleh bentuk, φ s φ s = π s ς s (.84) dengan, π s = τ s τ s (.85) τ s = τ s + π s (.86) parameter baru ð s adalah polinomial orde. Kemudian, faktor φ s φ s yang muncul pada koefisien y s dari persamaan (.8) dijabarkan dalam bentuk, φ s φ s φ s = φ s + φ s φ s = π s ς s + π s ς s (.87) kemudian, koefisien y s diubah kedalam bentuk yang lebih cocok dengan mengambil kesebandingan yang ditunjukan dari persamaan (.84), φ s φ s + φ s φ s τ s ς s + ς s ς s = ς s ς s (.88) dimana, ς s = ς s + π s + π s ς s ς s + π s ς s (.89) Dengan mensubstitusi ruas kanan dari persamaan (.83) dan (.88) ke persamaan (.8), maka diperoleh persamaan hypergeometry, y s + τ s ς s y s + ς s ς s y s = 0 (.90)

49 33 Sebagai konsekuensi dari transformasi yang dibahas diatas, bentuk fungsi persamaan (.8) terlindung oleh langkah-langkah sistematis. Jika polinomial ς s pada persamaan (.90) dapat diubah dalam fungsi ς s, dengan hubungan, ς s = λς s (.9) dengan λ adalah konstanta, maka persamaan (.9) dapat direduksi menjadi, ς s y s + τ s y s + λy s = 0 (.9) Untuk menentukan polinomial π s, persamaan (.89) dibandingkan dengan persamaan (.9) dan kemudian suatu persamaan kuadrat untuk π s dituliskan sebagai berikut, π s + τ s ς s π s + ς s kς s = 0 (.93) k = λ π s (.94) Penyelesaian persamaan (.93) adalah, π s = ς s τ s ± ς s τ s ς s + kς s (.95) Agar dapat menyatakan penyelesaian yang sesuai dengan tanda positif dan negatif pada persamaan (.95), maka parameter k didalam tanda akar haruslah eksplisit. Untuk memenuhinya, suku-suku yang berada didalam tanda akar harus memiliki bentuk polinomial kuadrat. Dari penyelesaian umum persamaan (.9) dengan representasi υ s = y s, ς s υ s + τ s υ s + μ υ s = 0 (.96) dimana τ s = τ s + ς s dan μ = λ + τ s. τ s merupakan polinomial dengan orde lebih dari, dan μ merupakan suatu parameter yang tidak

50 34 bergantung pada variabel s. Ini menunjukan bahwa persamaan (.96) adalah persamaan tipe Hypergeometrik. Dengan mensubstitusi υ s = y s sebagai representasi baru, maka suku ke- pada persamaan (.9) menjadi, ς s υ s + τ s υ s + μ υ s = 0 (.97) dengan, τ s = τ s + ς s = τ s + ς s (.98) μ = μ + τ s = λ + τ s + ς s (.99) Dengan cara yang sama, suatu persamaan tipe hypergeometry dapat dibentuk dengan susunan penyelesaian-penyelesaian khusus dari persamaan (.9) dengan mendefinisikan υ n s = y n s ; ς s υ n s + τ n s υ n s + μ n υ n s = 0 (.00) dan hubungan rekursi umum untuk τ n s dan μ n yaitu, τ n s = τ s + nς s (.0) μ n = λ + nτ s + n n ς s (.0) Saat μ n = 0, maka persamaan (.0) menjadi, λ n = nτ s n n ς s, n = 0,,, (.03) dan kemudian persamaan (.00) memiliki penyelesaian khusus dengan bentuk y s = y n s yang merupakan suatu polinomial orde n. Untuk menentukan solusi eigen nilai metode NU, maka hubungan antara λ dan λ n harus dibentuk sesuai persamaan (.94) dan (.03). y n s adalah suatu fungsi tipe hypergeometry dengan penyelesaian polinomial diberikan dalam bentuk formula Rodrigues,

51 35 y n s = B n ρ s d n ds n ςn s ρ s (.04) dengan B n adalah konstanta normalisasi dengan faktor bobot ρ s harus memenuhi kondisi, d ds ς s ρ s = τ s ρ s (.05) Kemudian dengan mengkombinasi nilai φ s dan formula rodrigues pada persamaan (.04) akan diperoleh eigen fungsi (fungsi gelombang) X r, dengan hubungan, X r = φ s y n s (.06) (Nikiforov, A.V. & Uvarov, V.B, -8) G. Potensial Hulthen Potensial Hulthen memiliki persamaan: V r = ħ m atau, r V 0 e a r e a (.07a) V r = ħ m V 0 r e a (.07b) Dengan ħ adalah konstanta planck dan m merupakan adalah massa partikel elementer. Sehingga, berdasarkan variabelnya, potensial Hulthen dapat dinyatakan sebagai, V r V 0 r e a (.08)

52 36 dengan V 0 dan a merupakan kekuatan dan parameter jarak. Potensial Hulthen memiliki gaya atraktif Coulomb untuk r yang relatif sangat kecil terhadap a, r a. Jika variabel radial r relatif sangat kecil terhadap a, suku eksponensial akan diekspansikan ke deret Taylor, yaitu: e r a = + r a +! r a + 3! r a 3 + (.09) Suku-suku pada orde yang lebih tinggi dari persamaan (.09) dapat diabaikan dan hanya mengambil dua suku pertama. Sehingga, persamaan (.09) dapat ditulis kembali menjadi, e r a + r a (.0) Jika persamaan (.0) tersebut disubstitusi ke persamaan (.09), maka persamaan (.09) dapat dituliskan menjadi, V 0 V r + r a V r V 0a r (.) Dari persamaan (.), maka dapat disimpulkan untuk nilai r a, potensial Hulthen memiliki bentuk interaksi potensial Coulomb. H. Potensial Rosen Morse Potensial Rosen Morse memungkinkan terjadinya interaksi quark dalam pembahasan dinamika quark-gluon QCD. Potensial ini mereproduksi daerah perantara potensial pengungkungan linier (berhubungan dengan interaksi multi

53 37 gluon) sebagai ketentuan kalkulasi-kalkulasi pola geometris molekul-molekul QCD pada sifat hadron (Compean, 006). Gambar (.). Potensial Rosen Morse dan Spektrumnya Secara independent, persamaan potensial Rosen Morse adalah, V r = ħ m a a+ sin r b cot r (.) Dengan ħ adalah konstanta planck, m merupakan adalah massa partikel elementer, a dan b adalah konstanta. Jika r ir, b ib maka persamaan (.) dapat ditulis kembali menjadi, V r = ħ m a a + ħ ib cot ir = sin ir m a a + i sinh r ib i coth r V r = ħ m a a+ sinh r b coth r (.3) Persamaan (.3) diatas merupakan persamaan potensial Eckart. Hal ini berarti bahwa potensial Rosen Morse merupakan bentuk compleks dari potensial Eckart.

54 38 I. Potensial Coulomb Potensial Coulomb yang menghubungkan suatu elektron dengan muatan e berputar dalam medan elektrostatik Coulomb inti atom. Jika inti atom merupakan proton yang bermuatan e, permasalahan yang muncul adalah pada atom hidrogen dalam sistem fisika yang sebenarnya dimana terletak dalam sistem tiga dimensi. Sehingga, atom hidrogen tersusun atas sebuah elektron yang berputar dalam sistem koordinat bola terhubung dalam atraksi lemah Coulomb dengan proton. Kedua sistem partikel ini dapat dikonversi kedalam satu sistem partikel dengan mempertimbangkan gerak elektron yang relatif terhadap proton yang berada di pusat massa dari dua partikel tersebut sesuai dengan prinsip mekanika klasik. Pada kerangka tersebut, massa elektron dapat substitusi oleh sebuah partikel dengan massa tereduksi dan bergerak relatif terhadap proton. Persamaan potensial Coulomb adalah: V r = e r (.4) dengan e adalah muatan elektron. J. Potensial Non Sentral Rosen Morse Potensial non sentral Rosen Morse merupakan potensial Rosen Morse yang variabelnya bergantung pada fungsi radial dan polar. Sehingga pada penyelesaian fungsi gelombang dan energi pada persamaan Schrödinger, potensial

55 39 non sentral Rosen Morse memiliki variabel yang terpisahkan. Potensial non sentral Rosen Morse memiliki bentuk persamaan, V r, θ = ħ ν ν + mr sin θ μ cot θ (.5) Dengan ħ adalah konstanta planck, m merupakan adalah massa partikel elementer, ν dan μ adalah konstanta. Dari uraian diatas, maka dapat disimpulkan bahwa penyelesaian fungsi gelombang dan energi untuk persamaan Schrödinger dapat diselesaikan dengan persamaan hypergeometry dengan melakukan substitusi variabel yang cocok sehingga penyelesaian persamaan Schrödinger dapat diselesaikan secara mudah dengan menggunakan fungsi gelombang pendekatannya. Dalam penelitin ini, akan dilakukan penyelesaian fungsi gelombang dan energi untuk potensial shape invariant dengan menggunakan polinomial Romanovski. Potensial yang dipilih adalah kombinasi antara potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen, potensial non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse, dan potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb.

56 40 BAB III METODOLOGI PENELITIAN A. Lokasi dan Waktu Penelitian Waktu penelitian selama 8 bulan mulai dari bulan Januari sampai Oktober 0 dan penelitian dilakukan di Ruang Prodi Ilmu Fisika, PPs, Universitas Sebelas Maret. B. Objek Penelitian Objek dalam penelitian ini adalah kombinasi dari dua persamaan potensial efektif yang shape invariant, yaitu : a. Non sentral Rosen Morse plus Hulthen b. Non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse c. Non sentral Rosen Morse plus Coulomb C. Instrumentasi Penelitian Instrumentasi penelitian yang digunakan :. Satu unit notebook AMD Athlon X, 3 Gb memory. Perangkat lunak (Software) Matlab 00 :

57 4 D. Prosedur Penelitian. Langkah kerja a. Menentukan salah satu potensial efektif yaitu diantara potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen, atau potensial non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse, atau potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb, b. Mensubstitusi potensial efektif yang dipilih dari salah satu kombinasi potensial pada langkah a kedalam persamaan Schrödinger, c. Menyelesaikan persamaan Schrödinger dengan sparasi variabel sesuai fungsi gelombangnya masing-masing, yaitu bagian polar dan bagian radial, d. Menyelesaikan masing-masing bagian fungsi gelombang hingga diperoleh persamaan differensial orde, e. Melakukan substitusi variabel terhadap persamaan differensial yang terbentuk dengan variabel yang cocok dengan mempertimbangkan hasil penjabaran persamaan differensial yang diperoleh dari langkah d memiliki koefisien pada suku pertama yaitu + x. Substitusi variabel dilakukan dengan merubah variabel trigonometri dengan orde yang lebih tinggi menjadi variabel yang linier. f. Menjabarkan persamaan differensial orde yang variabelnya telah di substitusi menjadi persamaan hypergeometry perantara yang memiliki bentuk seperti persamaan (.74),

58 4 g. Mensubstitusi fungsi gelombang dari persamaan hypergeometry perantara dengan persamaan (.77) dan menjabarkannya hingga diperoleh persamaan hypergeometry polinomial Romanovski seperti pada persamaan (.76), h. Menentukan nilai β dan nilai α dari suku terakhir persamaan hypergeometry polinomial Romanovski serta dari memperbandingkan persamaan hypergeometry polinomial Romanovski yang diperoleh dari hasil penjabaran dengan hypergeometry polinomial Romanovski dari persamaan (.76). Nilai β dan nilai α yang memiliki penyelesaian dipilih salah satunya dengan pertimbangan parameter Romanovski dimana nilai β > n, i. Untuk fungsi gelombang polar, langkah selanjutnya adalah menentukan nilai bulangan kuantum orbital l dengan cara mengkombinasikan hubungan β pada persamaan yang berbeda seperti yang ditunjukan pada bab 4. Nilai l tersebut akan dipergunakan bersama untuk menentukan kedua fungsi gelombang, yaitu fungsi gelombang polar dan fungsi gelombang radial, j. Menentukan fungsi gelombang polar keadaan khusus dengan memberikan variasi nilai ν dan μ dimana kedua nilai tersebut secara fisis akan mempengaruhi besar gangguan potensial non sentral Rosen Morse terhadap potensial sistem, karena kedua nilai tersebut mempengaruhi nilai l yang juga digunakan dalam penentuan penyelesaian khusus fungsi gelombang radial. Dari hasil variasi nilai ν

59 43 dan μ akan diperoleh nilai β dan nilai α yang kemudian kedua nilai tersebut digunakan untuk menentukan fungsi gelombang polar dengan menggunakan persamaan polinomial Romanovski seperti yang ditunjukan pada persamaan (.77b) dengan faktor bobot pada persamaan (.80), k. Menentukan persamaan tingkat energi pada penyelesaian fungsi gelombang radial dengan mengkombinasikan hasil β pada persamaan yang berbeda dari hasil penjabaran fungsi gelombang radial masing-masing, sehingga setiap kombinasi potensial efektif memiliki persamaan tingkat energi yang berbeda-beda, l. Menentukan fungsi gelombang radial keadaan khusus dengan memberikan variasi nilai l yang diperoleh dari penyelesaian fungsi gelombang bagian polar dimana nilai l tersebut merupakan penghubung dari potensial gangguan menuju potensial sistem yang diganggu. Fungsi gelombang radial keadaan khusus dapat dibentuk dengan menggunakan persamaan (.77b) dengan faktor bobot pada persamaan (.80), m. Khusus untuk kombinasi potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb, penyelesaian persamaan Schrödinger bagian radial tidak memiliki faktor trigonometri, sehingga dilakukan penyelesaian tingkat energi dan fungsi gelombang dengan menggunakan metode yang lebih umum daripada metode polinomial Romanovski, yaitu metode Nikiforov-Uvarov (NU),

60 44 n. Menyelesaikan persamaan Schrödinger bagian radial menjadi bentuk persamaan differensial orde NU seperti pada persamaan (.8), o. Membandingkan koefisien persamaan differensial orde NU hasil penyelesaian persamaan Schrödinger bagian radial dengan koefisien persamaan (.8), sehingga didapatkan nilai ς, ς, τ, dan ς, p. Menentukan nilai π r dari nilai ς, ς, τ, dan ς yang diperoleh dari langkah o, dengan menggunakan persamaan (.95), q. Menentukan nilai τ r dari nilai τ r yang diperoleh dari langkah o dan nilai π r yang diperoleh dari langkah p, r. Menentukan nilai λ dari nilai k yang diperoleh dari langkah p dan nilai turunan pertama π r yang diperoleh dari langkah p, s. Menentukan nilai λ nr dari nilai turunan pertama τ r yang diperoleh dari langkah q dan nilai turunan kedua ς yang diperoleh dari langkah o dengan mengunakan persamaan (.03), t. Menentukan persamaan tingkat energi untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb dengan membandingkan nilai-nilai λ yang diperoleh dari langkah r dengan nilai λ nr yang diperoleh dari langkah s dengan menggunakan hubungan λ = λ nr, u. Menentukan nilai φ r dengan persamaan (.84) dan nilai ρ r dari hubungan persamaan (.05), v. Menyelesaikan polinomial dengan formula Rodrigues seperti yang ditunjukan oleh persamaan (.04) dengan nilai ρ r yang diperoleh dari langkah u,

61 45 w. Menyelesaikan fungsi gelombang radial keadaan khusus dengan nilai φ r dari langkah u dan formula Rodrigues dengan menggunakan hubungan persamaan (.06).. Bagan Alir Penelitian Potensial Persamaan Schrodinger 3D Sparasi Variabel Substitusi Variabel Persamaan Hypergeometry Perantara Fungsi Gelombang Romanovski Persamaan Differensial Romanovski Energi Fungsi Gelombang

62 46 BAB IV HASIL DAN ANALISA A. Pendahuluan Pada bab ini, akan ditampilkan penyelesaian persamaan Schrödinger untuk beberapa potensial shape invariant dengan menggunakan metode polinomial Romanovski, khususnya untuk penyelesaian bagian radial dan polar pada potensial Hulthen plus Rosen Morse, dan Rosen Morse radial plus Rosen Morse. Proses penyelesaian terlebih dahulu dilakukan dengan menyelesaikan persamaan Schrödinger menjadi persamaan differensial orde tipe hypergeometry seperti yang ditunjukan pada persamaan (.7) melalui substitusi variabel yang cocok untuk memperoleh persamaan hypergeometry perantara seperti yang ditunjukan pada persamaan (.74). Sedangkan penyelesaian fungsi gelombangnya diberikan permisalan fungsi gelombang seoerti pada persamaan (.75a). Kemudian untuk penyelesaian potensial Coulombic plus Rosen Morse, bagian radial tidak berbentuk potensial trigonometri, sehingga penyelesaiannya dilakukan dengan menggunakan metode NU. Proses penyelesaiannya dengan terlebih dahulu menyelesaikan persamaan Schrödinger ke arah persamaan differensial orde NU pada persamaan (.79) dan diselesaikan dengan persamaan

63 47 (.93). Setelah itu, fungsi gelombangnya dapat dinyatakan dengan formula Rodrigues seperti yang ditunjukan pada persamaan (.0) dan (.04). Hasil penyelesaian yang berupa persamaan tingkat energi (eigenvalue) dan fungsi gelombang (eigenfunction) dari masing-masing potensial divisualisasikan dengan Matlab 00. B. Penyelesaian Bagian Polar Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen Dari kombinasi persamaan (.07a) dan (.5), persamaan potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen adalah, V r, θ = ħ m r V 0 e a r e a + ħ ν ν+ mr sin θ μ cot θ (4.) dari hubungan, sinh x = e x e x dan cosh x = e x +e x maka persamaan (4.) dapat ditulis kembali menjadi, V r, θ = ħ m V 0 coth r + ħ ν ν + a mr sin θ μ cot θ (4.) dengan V 0 > 0 Kemudian persamaan (4.) dimasukkan kedalam persamaan Schrödinger untuk koordinat bola, karena potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen merupakan bentuk potensial fungsi radial r dan fungsi polar θ dimana masing-

64 48 masing dimensi diwakili oleh satu fungsi gelombang, maka persamaan Schrödinger untuk persamaan (4.) adalah, ħ m r r r r + r sin θ θ sin θ θ + r sin θ φ ψ r, θ, φ + ħ m V 0 coth r a + ħ mr ν ν + csc θ μ cot θ ψ r, θ, φ = Eψ r, θ, φ (4.3) Persamaan (4.3) merupakan persamaan Schrödinger dengan fungsi gelombang umum. Untuk penyelesaiannya, fungsi gelombang persamaan Schrödinger ψ r, θ, φ diuraikan dalam batasan fungsi gelombang tiap dimensi melalui proses sparasi variabel, dengan memisalkan, ψ r, θ, φ = R r P θ φ φ (4.4) permisalan yang muncul pada persamaan (4.4) mengandung fungsi-fungsi gelombang dari tiap-tiap dimensi yaitu R r merupakan fungsi gelombang radial, P θ merupakan fungsi gelombang polar, dan φ φ merupakan fungsi gelombang azimuthal. Untuk menguraikan bentuk persamaan (4.3), persamaan (4.4) disubstitusikan ke persamaan (4.3), yaitu, R r r r r R r + P θ sin θ θ sin θ θ P θ + φ φ sin θ φ φ φ + r V 0 coth r a ν ν + csc θ μ cot θ + mr ħ E = 0 (4.5)

65 49 Persamaan (4.5) telah memiliki bentuk yang tiap sukunya mewakili satu fungsi gelombang. Sebelum menyelesaikannya, suku-suku yang mengandung fungsi gelombang yang sama dikelompokkan dalam satu ruas, yaitu, ħ m r r r r + r sin θ θ sin θ θ + r sin θ φ ψ r, θ, φ + ħ m V 0 coth r a + ħ mr ν ν + csc θ μ cot θ ψ r, θ, φ = Eψ r, θ, φ x mr ħ r r r r r + r sin θ θ sin θ + θ r sin θ R r P θ φ φ + φ r V 0 coth r a ν ν + csc θ μ cot θ R r P θ φ φ = mr ħ ER r P θ φ φ P θ φ φ r r r R r + R r φ φ sin θ θ sin θ θ P θ + R r P θ sin θ φ φ φ + r V 0 coth r a ν ν + csc θ μ cot θ R r P θ φ φ = mr ħ ER r P θ φ φ : R r P θ φ φ

66 50 R r r r r R r + P θ sin θ θ sin θ θ P θ + φ φ sin θ φ φ φ + r V 0 coth r ν ν + a csc θ μ cot θ = mr E ħ R r r r r R r + P θ sin θ θ sin θ θ P θ + φ φ sin θ φ φ φ + r V 0 coth r a ν ν + csc θ μ cot θ + mr ħ E = 0 R r r r r R r + r V 0 coth r a + mr ħ E = P θ sin θ θ sin θ θ P θ φ φ sin θ φ φ φ + ν ν + csc θ μ cot θ R r r r r R r + r V 0 coth r a + mr ħ E = P θ sin θ θ sin θ θ P θ φ φ sin θ φ φ φ + ν ν + csc θ μ cot θ (4.6) Dari persamaan (4.6), ruas kiri merupakan persamaan Schrödinger bagian radial, dan ruas kanan merupakan persamaan Schrödinger bagian sudut (polar dan azimuthal). Sesuai dengan persamaan (.4), kedua ruas dari persamaan (4.6) memiliki variabel-variabel yang berbeda namun keduanya dapat disebandingkan hanya jika keduanya memiliki nilai konstanta sebesar λ, sehingga penyelesaian persamaan (4.6) yang dilakukan bertahap dengan menyelesaikan

67 5 tiap bagian fungsi gelombang, masing-masing ruas disebandingkan dengan nilai konstanta λ. Dari persamaan (4.6), bagian fungsi gelombang yang pertama diselesaikan adalah bagian polar, yaitu: P θ sin θ θ sin θ θ P θ φ φ sin θ φ φ φ + ν ν+ sin θ μ cot θ = λ (4.7) dengan mensubstitusi persamaan (.8) dan (.30) ke persamaan (4.7), P θ sin θ sin θ + cos θ θ θ m ν ν + P θ sin + θ sin θ μ cot θ = λ P θ + cot θ θ θ m ν ν + P θ sin + θ sin θ μ cot θ = l(l + ) x P θ maka persamaan (4.7) dapat ditulis kembali menjadi, P θ θ P θ + cot θ θ m ν ν+ + sin θ sin θ μ cot θ P θ + l(l + )P θ = 0 (4.8) Persamaan (4.8) dapat direduksi menjadi persamaan differensial orde dua yang dinyatakan dalam persamaan (.76) dengan melakukan substritusi variabel yang sesuai, yaitu, cot θ = x (4.9a)

68 5 dx d cot θ = dθ dθ = csc θ dx = csc θ dθ csc θ = + x (4.9b) dx dθ = + x d dθ = d dx dx dθ = + d x dx d dθ = + d x dx + d x dx = + x x d d + x dx dx d dθ = + x d dx + x + x d dx jika permisalan pada persamaan (4.9a) dan (4.9a) disubstitusi ke persamaan (4.8), + x d P θ dx + x + x dp θ dx x + x dp θ dx m + x + ν ν + + x μx l(l + ) P θ = 0 + x d P θ dx + x + x dp θ dx m + x + ν ν + + x μx l(l + ) P θ = 0 : + x + x d P x dx dp x + x dx m + ν ν + μx +x l(l+) +x P x = 0 (4.0)

69 53 bentuk persamaan (4.0) merupakan persamaan hypergeometry perantara, dengan P x merupakan fungsi gelombang polar sehingga P x memiliki sifat yang sama dengan χ n x pada persamaan (.77). Maka penyelesaiannya adalah mensubstitusi persamaan (.77) ke persamaan (4.0), dengan terlebih dahulu menghitung, P x = βx + x β e α tan x D n p,q x α +x ( + x ) β e α tan x D n p,q x + + x β e α tan x D n p,q x P x = βx + x β e α tan x D n α ( + x ) β e α tan x D n + + x β e α tan x D n p,q x P x = βx α + x β e α tan x D n + + x β e α ta n x D n p,q x P x = β + x β e α tan x D n + βx α β x + x β e α tan x D n + βx α α + x β e α tan x D n + βx α + x β e α tan x D n p,q x + β + x β xe α tan x D n p,q x α + β x e α tan p,q x D n x + + x β e α tan x D n p,q x dan disubstitusi ke persamaan (4.0), maka menjadi,

70 54 + x β + x β e α tan x D n + βx α β x + β x e α tan x p,q D n x + βx α α + x β e α tan x D n + βx α + x β e α tan x D n + β + x β xe α tan x D n α + β x e α tan p,q x D n x + + x β e α tan x D n + x βx α + x β e α tan x D n + + x β e α tan x D n m + ν ν + μx l(l+) +x +x + x β e α tan x D n = 0 e α tan x + x β +x D n + βx α β x D +x n + βx α α +x D n + βx α +x D n + βx +x D n α +x D n + D n + x βx α +x D n + D n m + ν ν + μx +x l(l+) +x D n = 0 + x β e α tan x + x β +x D n + βx β x +x D n α β x D +x n βαx D +x n + α 4 +x D n + βx +x D n α +x D n + p,q D n x + x βx D +x n α +x D n + D n m + ν ν + μx +x l(l+) +x D n = 0

71 55 + x β e α tan x + x β +x D n + β β 4x D +x n βαx D +x n + αx D +x n βαx D +x n + α 4 +x D n + βx +x D n α +x D n + D n + x βx D +x n D +x n + D n α m + ν ν + μx +x l(l+) +x D n = 0 + x β e α tan x + x β +x D n + β β 4x D +x n βαx +x D n + αx D +x n + α D 4 +x n + βx +x D n α +x D n + p,q D n x + x βx D +x n α +x D n + D n m + ν ν + μx +x l(l+) +x D n = 0 + x β +x D n + β β 4x D +x n βαx +x D n + αx D +x n + α D 4 +x n + βx +x D n α +x D n + D n + x βx D +x n D +x n + D n α m + ν ν + μx +x l(l+) +x D n = 0

72 56 βd n + β x +x D n βx +x D n βαx +x D n + αx +x D n + α 4 +x D n + βx D n α D n + + x D n + βx +x D n αx +x D n + x D n m + ν ν + μx +x l(l+) +x D n = 0 + x D n + βx D p,q n x α D n + x D n + βd n + β x D +x n βx +x D n βαx +x D n + α D 4 +x n + βx D +x n l(l+) +x D n = 0 αx +x D n + αx D +x n m + ν ν + μx +x + x D n + βx α + x D p,q n x + β + β x +x βx +x βαx +x + αx + α + βx +x 4 +x αx +x +x m ν ν + + μx + l(l+) +x +x D n = 0 + x D n + βx α + x D p,q n x + β + β x +x βx +x βαx +x + αx + α +x 4 +x m ν ν + + μx + l(l+) D +x +x n = 0 Dengan, β x = β +β x β +x +x = β β βx, dan = β β βx +x +x +x = β +x β + x D n + β + x α D p,q n x + β + β β +x + β +x β βαx + αx + α +x +x 4 +x m ν ν + + μx +x + l(l+) +x D n = 0

73 57 + x D n + β + x α D p,q n x + β β +x + β βαx + +x +x αx + α +x 4 +x m ν ν + + μx + l(l+) D +x +x n = 0 + x D n + β + x α D p,q n x β +x β +x + βαx αx +x +x α 4 +x μx +x l(l+) +x + m + ν ν + β D n = 0 + x D n + β + x α D p,q n x β β +βαx αx α 4 +x μx l(l+) + m + ν ν + β D n = 0 (4.) dari persamaan (4.), berlaku hubungan, βαx αx μx = 0 βα α μ = 0 (4.a) α 4 + β β l l + = 0 (4.b) Sehingga persamaan (4.) dapat ditulis kembali menjadi, + x D n + β + x α D p,q n x m + ν ν + β D n = 0 (4.3) persamaan (4.3) merupakan bentuk persamaan differensial orde polinomial Romanovski bagian polar untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen, oleh karena itu, persamaan (4.3) dapat dibandingkan dengan persamaan (.76), sehingga diperoleh hubungan,

74 58 q = α (4.4a) p + = β + (4.4b) m + ν ν + β = n l n l + n l p (4.4c) Kemudian dilakukan penentuan nilai-nilai α dan β dengan menggunakan persamaan (4.a), yaitu, β = μ α (4.5a) dan, β = α 4 + l l (4.5b) dengan mengkombinasikan persamaan (4.5a) dan (4.5b), yaitu, α 4 + l l = 4μ α (4.6) jika kedua ruas dari persamaan persamaan (4.6) dikalikan a, dan dikondisikan sesuai bentuk persamaan kuadrat, maka diperoleh, 4 α4 + l l α 4μ = 0 (4.7) persamaan (4.7) memiliki penyelesaian: α = l l l l μ (4.8a) 4

75 59 dan, α = l l l l μ (4.8b) dari persamaan (4.8a) dan (4.8b) dapat diperoleh nilai β dengan terlebih dahulu mengkuadratkan persamaan (4.5a), yaitu, β = 4μ α (4.9) kemudian dengan mensubstitusi persamaan (4.8a) dan (4.8b) ke persamaan (4.9), diperoleh, β = μ l l l l μ (4.0a) dan, β = μ l l+ + 4 l l μ (4.0b) kemudian dari persamaan (4.4b) dan (4.4c) dapat diuraikan menjadi bentuk, m + ν ν + β = n l n l + n l p, dengan p + = β + m + ν ν + β = n l n l + n l β + m + ν ν + β = n l n l + βn l + n l m + ν ν + = n l + βn l + β m + ν ν + = β + n l (4.)

76 60 dari persamaan (4.) diperoleh penyelesaian β, yaitu, β = m + ν ν + n l (4.a) dan, β = m + ν ν + n l (4.b) persamaan (4.a) dan (4.b) merupakan solusi nilai β untuk persamaan (.77), tetapi hanya salah satu yang memenuhi dengan mempertimbangkan parameter Romanovski, dimana β > n, sehingga dipilih penyelesaian β dari persamaan (4.b). Kemudian persamaan (4.b) tersebut disubstitusikan ke persamaan (4.5a) sehingga diperoleh, α = μ m +ν ν+ +n l + (4.3) Persamaan (4.b) dan (4.3) jika disubstitusikan ke persamaan (.77) dan (.78) maka diperoleh solusi fungsi gelombang polar untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen. Kemudian untuk memperoleh harga bilangan kuantum orbital l dilakukan dengan terlebih dahulu merubah bentuk persamaan (4.b) menjadi, β = m + ν ν + n l β = m + ν ν + + n l + (4.4)

77 6 kemudian persamaan (4.4) dikombinasikan dengan persamaan (4.0a) dan (4.0b), yaitu: m + ν ν + + n l + = μ l l+ + 4 ± l l μ (4.5) dengan menjabarkan persamaan (4.5), maka diperoleh penyelesaian persamaan bilangan kuantum orbital l, l + = ± ν ν + +m + n l + μ ν ν+ +m +n l + (4.6) karena nilai l 0, maka persamaan (4.6) diambil penyelesaian yang positif, yaitu, l + = ν ν + +m + n l + μ ν ν+ +m +n l + (4.7) dengan, ν dan μ m n l : konstanta, : bilangan kuantum magnetik, : bilangan kuantum polar,

78 6 Persamaan (4.7) merupakan penyelesaian untuk bilangan kuantum orbital dimana harga bilangan kuantum orbital digunakan bersama untuk menentukan nilai energi dan fungsi gelombang radial dan polar. Jadi, meskipun penyelesaian fungsi gelombangnya terpisah, yaitu penyelesaian radial dan penyelesaian polar, tetapi kedua penyelesaian tersebut terhubung oleh nilai bilangan kuantum orbitalnya. Dari persamaan (4.b), (4.3), (.77), (.78), dan (.80), maka didapatkan persamaan gelombang polar, w x = + x m +ν ν+ n l e μ m +ν ν + +n l + tan x (4.8) D n = Rn β, α = μ +x m +ν ν+ n m +ν ν + +n l e l + tan x d n dx n + x n l + x m +ν ν+ n l e μ m +ν ν + +n l + tan x (4.9) Maka diperoleh, P l m = + x m +ν ν + n l e μ m +ν ν + +n l + tan x μ +x m +ν ν + n l m +ν ν + +n e l + tan x d n dx n + x n l + x m +ν ν+ n l e μ m +ν ν + +n l + tan x (4.30)

79 63 Beberapa penyelesaian khusus dari persamaan (4.9) dan (4.30) adalah, R 0 β, α = + x β e α tan x d 0 dx 0 + x β e α tan x = P l m = + x β e α tan x = + x β e α tan x R β, α = +x β e α tan x d dx + x β+ e α tan x = +x β e α tan x +x β+ β+ xe α tan x +x +x β+ αe α tan x +x = x β + α P l m = + x β e α tan x x β + α R β, α = +x β e α tan x d dx + x β+ e α tan x = +x β e α tan x 4 +x β+ β+ x e α tan x +x + +x β+ β+ e α tan x +x 4 +x β+ β+ x e α tan x +x 4 +x β+ β+ αxe α tan x +x + +x β+ αe α tan x +x + +x β+ α e α tan x +x = 4 β + x + β + + x 4 β + x 4 β + αx + α + α P l m = + x β e α tan x 4 β + x + β + + x 4 β + x 4 β + αx + α + α

80 64 Dari beberapa penyelesaian khusus fungsi gelombang polar diatas, dengan memberi variasi masukan nilai konstanta ν, μ, m, serta n l, maka dihasilkan penyelesaian-penyelesaian fungsi gelombang polar seperti yang ditampilkan pada Tabel 4. Tabel 4.. polinomial Romanovski dan hubungannya dengan fungsi gelombang polar potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen. No. n l m ν μ l R nl β, α θ Pl m. 0 0 cot θ cos θ sin θ. 0,97 cot θ + 0,8 3. 0,87 cot θ +,6 cos θ sin θ + 0,8 sin θ e 0,4 tan cot θ cos θ sin θ +,6 sin θ e 0,8 tan cot θ 4. 0,73 3,46 cot θ 3,46 cos θ sin,73 θ ,65 5,3 cot θ 5,3 cos θ sin,45 θ 6.,7 7. 3,6 3,46 cot θ + 0,897 5,8 cot θ + 0,966 3,46 cos θ sin,73 θ + 0,897 sin,73 θ e 0,897 tan cot θ 5,8 cos θ sin,64 θ + 0,966 sin 3,64 θ e 0,966 tan cot θ Fungsi gelombang polar potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen berupa fungsi trigonometri dan hanya dipengaruhi oleh fungsi θ. Nilai μ memberikan

81 Yml*(cos(theta)) Yml*(cos(theta)) perpustakaan.uns.ac.id 65 pengaruh faktor eksponensial pada fungsi gelombang sedangkan nilai ν memperbesar faktor sinusoidal fungsi gelombang. Dari tabel diatas, visualisasi fungsi gelombang polar ditampilkan pada gambar-gambar dibawah ini: μ P l m Yml*sin(theta)*sin(phi) R ;0 = cot θ P = cos θ sin θ Yml*sin(theta)*sin(phi) R ;0,8 = cot θ + 0,8 P,97 = cos θ sin θ + 0,8 sin θ e 0,4 tan cot θ

82 Yml*(cos(theta)) Yml*(cos(theta)) perpustakaan.uns.ac.id Yml*sin(theta)*sin(phi) P,87 R ;,6 = cot θ +,6 = cos θ sin θ +,6 sin θ e 0,8 tan cot θ Gambar (4.). Perbandingan Perubahan Fungsi Gelombang Polar Terhadap Perubahan Nilai μ ν P l m Yml*sin(theta)*sin(phi) R ;0 = cot θ P = cos θ sin θ

SOLUSI PERSAMAAN SCHRÖDINGER UNTUK KOMBINASI POTENSIAL HULTHEN DAN NON-SENTRAL POSCHL- TELLER DENGAN METODE NIKIFOROV-UVAROV

SOLUSI PERSAMAAN SCHRÖDINGER UNTUK KOMBINASI POTENSIAL HULTHEN DAN NON-SENTRAL POSCHL- TELLER DENGAN METODE NIKIFOROV-UVAROV SOLUSI PERSAMAAN SCHRÖDINGER UNTUK KOMBINASI POTENSIAL HULTHEN DAN NON-SENTRAL POSCHL- TELLER DENGAN METODE NIKIFOROV-UVAROV Disusun oleh : NANI SUNARMI M0209036 SKRIPSI Diajukan untuk memenuhi sebagian

Lebih terperinci

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIRAC PADA KASUS SPIN SIMETRI DAN PSEUDOSPIN SIMETRI DENGAN POTENSIAL SCARF II TRIGONOMETRI PLUS

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIRAC PADA KASUS SPIN SIMETRI DAN PSEUDOSPIN SIMETRI DENGAN POTENSIAL SCARF II TRIGONOMETRI PLUS PENYELESAIAN PERSAMAAN DIRAC PADA KASUS SPIN SIMETRI DAN PSEUDOSPIN SIMETRI DENGAN POTENSIAL SCARF II TRIGONOMETRI PLUS POTENSIAL NON-SENTRAL P SCHL-TELLER TRIGONOMETRI MENGGUNAKAN ASYMPTOTIC ITERATION

Lebih terperinci

MEKANIKA KUANTUM DALAM TIGA DIMENSI

MEKANIKA KUANTUM DALAM TIGA DIMENSI MEKANIKA KUANTUM DALAM TIGA DIMENSI Sebelumnya telah dibahas mengenai penerapan Persamaan Schrödinger dalam meninjau sistem kuantum satu dimensi untuk memperoleh fungsi gelombang serta energi dari sistem.

Lebih terperinci

SOLUSI PERSAMAAN DIRAC PADA KASUS SPIN SIMETRI UNTUK POTENSIAL SCARF TRIGONOMETRIK PLUS COULOMB LIKE TENSOR DENGAN METODE POLINOMIAL ROMANOVSKI

SOLUSI PERSAMAAN DIRAC PADA KASUS SPIN SIMETRI UNTUK POTENSIAL SCARF TRIGONOMETRIK PLUS COULOMB LIKE TENSOR DENGAN METODE POLINOMIAL ROMANOVSKI SOLUSI PERSAMAAN DIRAC PADA KASUS SPIN SIMETRI UNTUK POTENSIAL SCARF TRIGONOMETRIK PLUS COULOMB LIKE TENSOR DENGAN METODE POLINOMIAL ROMANOVSKI Alpiana Hidayatulloh 1, Suparmi, Cari Jurusan Ilmu Fisika

Lebih terperinci

BAB V MOMENTUM ANGULAR Pengukuran Simultan Beberapa Properti Dalam keadaan stasioner, momentum angular untuk elektron hidrogen adalah konstan.

BAB V MOMENTUM ANGULAR Pengukuran Simultan Beberapa Properti Dalam keadaan stasioner, momentum angular untuk elektron hidrogen adalah konstan. BAB V MOMENTUM ANGULAR Pengukuran Simultan Beberapa Properti Dalam keadaan stasioner, momentum angular untuk elektron hidrogen adalah konstan. Kriteria apa saa yang dapat digunakan untuk menentukan properti

Lebih terperinci

Disusun oleh: BETA NUR PRATIWI M SKRIPSI. Diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan mendapatkan gelar Sarjana Sains

Disusun oleh: BETA NUR PRATIWI M SKRIPSI. Diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan mendapatkan gelar Sarjana Sains PENYELESAIAN SIMETRI SPIN PERSAMAAN DIRAC DENGAN POTENSIAL P SCHL-TELLER TERMODIFIKASI DAN POTENSIAL NON-SENTRAL SCARF II TRIGONOMETRIK MENGGUNAKAN ASYMPTOTIC ITERATION METHOD (AIM) Disusun oleh: BETA

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 1.4. Hipotesis 1. Model penampang hamburan Galster dan Miller memiliki perbedaan mulai kisaran energi 0.3 sampai 1.0. 2. Model penampang hamburan Galster dan Miller memiliki kesamaan pada kisaran energi

Lebih terperinci

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Potensial Coulomb untuk Partikel yang Bergerak Dalam bab ini, akan dikemukakan teori-teori yang mendukung penyelesaian pembahasan pengaruh koreksi relativistik potensial Coulomb

Lebih terperinci

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIRAC UNTUK POTENSIAL ROSEN MORSE HIPERBOLIK DENGAN COULOMB LIKE TENSOR UNTUK SPIN SIMETRI MENGGUNAKAN METODE HIPERGEOMETRI

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIRAC UNTUK POTENSIAL ROSEN MORSE HIPERBOLIK DENGAN COULOMB LIKE TENSOR UNTUK SPIN SIMETRI MENGGUNAKAN METODE HIPERGEOMETRI PENYELESAIAN PERSAMAAN DIRAC UNTUK POTENSIAL ROSEN MORSE HIPERBOLIK DENGAN COULOMB LIKE TENSOR UNTUK SPIN SIMETRI MENGGUNAKAN METODE HIPERGEOMETRI Tri Jayanti 1, Suparmi, Cari Program Studi Ilmu Fisika

Lebih terperinci

Alpiana Hidayatulloh Dosen Tetap pada Fakultas Teknik UNTB

Alpiana Hidayatulloh Dosen Tetap pada Fakultas Teknik UNTB 6 Jurnal Sangkareang Mataram ISSN No. -99 SOLUSI PERSAMAAN DIRAC DENGAN PSEUDOSPIN SIMETRI UNTUK POTENSIAL SCARF TRIGONOMETRIK PLUS COULOMB LIKE TENSOR DENGAN MENGGUNAKAN METODE POLYNOMIAL ROMANOVSKI Oleh:

Lebih terperinci

BAB III OPERATOR 3.1 Pengertian Operator Dan Sifat-sifatnya

BAB III OPERATOR 3.1 Pengertian Operator Dan Sifat-sifatnya 1 BAB III OPERATOR 3.1 Pengertian Operator Dan Sifat-sifatnya Perhatikan persamaan Schrodinger satu dimensi bebas waktu yaitu: d + V (x) ( x) E( x) m dx d ( x) m + (E V(x) ) ( x) 0 dx (3-1) (-4) Suku-suku

Lebih terperinci

BINOVATIF LISTRIK DAN MAGNET. Hani Nurbiantoro Santosa, PhD.

BINOVATIF LISTRIK DAN MAGNET. Hani Nurbiantoro Santosa, PhD. BINOVATIF LISTRIK DAN MAGNET Hani Nurbiantoro Santosa, PhD hanisantosa@gmail.com 2 BAB 1 PENDAHULUAN Atom, Interaksi Fundamental, Syarat Matematika, Syarat Fisika, Muatan Listrik, Gaya Listrik, Pengertian

Lebih terperinci

RAPAT PROBABILITAS DAN TINGKAT ENERGI PADA ION MOLEKUL HIDROGEN SKRIPSI. Oleh. Habib Mustofa NIM

RAPAT PROBABILITAS DAN TINGKAT ENERGI PADA ION MOLEKUL HIDROGEN SKRIPSI. Oleh. Habib Mustofa NIM RAPAT PROBABILITAS DAN TINGKAT ENERGI PADA ION MOLEKUL HIDROGEN SKRIPSI Oleh Habib Mustofa NIM 070210102109 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA JURUSAN PENDIDIKAN MIPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

Lebih terperinci

perpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut :

perpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut : 1.1 Pengertian Persamaan Differensial Banyak sekali masalah terapan (dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, kimia, sosial, dan lain-lain), yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk persamaan

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. klasik dan mempunyai dua cabang utama yaitu mekanika klasik Newtonian dan teori

BAB I PENDAHULUAN. klasik dan mempunyai dua cabang utama yaitu mekanika klasik Newtonian dan teori BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Fisika yang berkembang sampai akhir abad yang ke 19 dikenal sebagai fisika klasik dan mempunyai dua cabang utama yaitu mekanika klasik Newtonian dan teori medan

Lebih terperinci

SOLUSI PERSAMAAN SCHRODINGER D-DIMENSI UNTUK POTENSIAL NON SENTRAL SHAPE INVARIANT DENGAN METODE NIKIFOROV-UVAROV

SOLUSI PERSAMAAN SCHRODINGER D-DIMENSI UNTUK POTENSIAL NON SENTRAL SHAPE INVARIANT DENGAN METODE NIKIFOROV-UVAROV SOLUSI PERSAMAAN SCHRODINGER D-DIMENSI UNTUK POTENSIAL NON SENTRAL SHAPE INVARIANT DENGAN METODE NIKIFOROV-UVAROV TESIS Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan untuk Mencapai Derajat Magister Program Studi

Lebih terperinci

Adapun manfaat dari penelitian ini adalah: 1. Dapat menambah informasi dan referensi mengenai interaksi nukleon-nukleon

Adapun manfaat dari penelitian ini adalah: 1. Dapat menambah informasi dan referensi mengenai interaksi nukleon-nukleon F. Manfaat Penelitian Adapun manfaat dari penelitian ini adalah: 1. Dapat menambah informasi dan referensi mengenai interaksi nukleon-nukleon di dalam inti atom yang menggunakan potensial Yukawa. 2. Dapat

Lebih terperinci

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Struktur atom Struktur atom merupakan satuan dasar materi yang terdiri dari inti atom beserta awan elektron bermuatan negatif yang mengelilinginya. Inti atom mengandung campuran

Lebih terperinci

METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL FRAKSIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL

METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL FRAKSIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL FRAKSIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL oleh ASRI SEJATI M0110009 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar

Lebih terperinci

PENENTUAN PROBABILITAS DAN ENERGI PARTIKEL DALAM KOTAK 3 DIMENSI DENGAN TEORI PERTURBASI PADA BILANGAN KUANTUM n 5

PENENTUAN PROBABILITAS DAN ENERGI PARTIKEL DALAM KOTAK 3 DIMENSI DENGAN TEORI PERTURBASI PADA BILANGAN KUANTUM n 5 PENENTUAN PROBABILITAS DAN ENERGI PARTIKEL DALAM KOTAK 3 DIMENSI DENGAN TEORI PERTURBASI PADA BILANGAN KUANTUM n 5 SKRIPSI Oleh Indah Kharismawati Nim. 070210102106 PROGAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA JURUSAN

Lebih terperinci

MATERI PERKULIAHAN. Gambar 1. Potensial tangga

MATERI PERKULIAHAN. Gambar 1. Potensial tangga MATERI PERKULIAHAN 3. Potensial Tangga Tinjau suatu partikel bermassa m, bergerak dari kiri ke kanan pada suatu daerah dengan potensial berbentuk tangga, seperti pada Gambar 1. Pada daerah < potensialnya

Lebih terperinci

BAB IV OSILATOR HARMONIS

BAB IV OSILATOR HARMONIS Tinjauan Secara Mekanika Klasik BAB IV OSILATOR HARMONIS Osilator harmonis terjadi manakala sebuah partikel ditarik oleh gaya yang besarnya sebanding dengan perpindahan posisi partikel tersebut. F () =

Lebih terperinci

PROPOSAL TUGAS AKHIR PENGARUH JUMLAH SUKU FOURIER PADA PENDEKATAN POLAR UNTUK SISTEM GEOMETRI KARTESIAN OLEH : IRMA ISLAMIYAH

PROPOSAL TUGAS AKHIR PENGARUH JUMLAH SUKU FOURIER PADA PENDEKATAN POLAR UNTUK SISTEM GEOMETRI KARTESIAN OLEH : IRMA ISLAMIYAH PROPOSAL TUGAS AKHIR PENGARUH JUMLAH SUKU FOURIER PADA PENDEKATAN POLAR UNTUK SISTEM GEOMETRI KARTESIAN OLEH : IRMA ISLAMIYAH 1105 100 056 JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT

Lebih terperinci

PENYELESAIAN ANALITIK PERSAMAAN GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK MODE TRANSVERSE ELECTRIC

PENYELESAIAN ANALITIK PERSAMAAN GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK MODE TRANSVERSE ELECTRIC PENYELESAIAN ANALITIK PERSAMAAN GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK MODE TRANSVERSE ELECTRIC PADA ANTARMUKA GRADASI DARI RIGHT-HANDED MEDIUM MENUJU LEFT- HANDED MEDIUM TESIS Disusun untuk memenuhi sebagian persyaratan

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Atom Pion Atom pion sama seperti atom hidrogen hanya elektron nya diganti menjadi sebuah pion negatif. Partikel ini telah diteliti sekitar empat puluh tahun yang lalu, tetapi

Lebih terperinci

2. Deskripsi Statistik Sistem Partikel

2. Deskripsi Statistik Sistem Partikel . Deskripsi Statistik Sistem Partikel Formulasi statistik Interaksi antara sistem makroskopis.1. Formulasi Statistik Dalam menganalisis suatu sistem, kombinasikan: ide tentang statistik pengetahuan hukum-hukum

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Persamaan Schrödinger Persamaan Schrödinger merupakan fungsi gelombang yang digunakan untuk memberikan informasi tentang perilaku gelombang dari partikel. Suatu persamaan differensial

Lebih terperinci

PROJEK 2 PENCARIAN ENERGI TERIKAT SISTEM DI BAWAH PENGARUH POTENSIAL SUMUR BERHINGGA

PROJEK 2 PENCARIAN ENERGI TERIKAT SISTEM DI BAWAH PENGARUH POTENSIAL SUMUR BERHINGGA PROJEK PENCARIAN ENERGI TERIKAT SISTEM DI BAWAH PENGARUH POTENSIAL SUMUR BERHINGGA A. PENDAHULUAN Ada beberapa metode numerik yang dapat diimplementasikan untuk mengkaji keadaan energi terikat (bonding

Lebih terperinci

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan

Lebih terperinci

LAMPIRAN. Hubungan antara koordinat kartesian dengan koordinat silinder:

LAMPIRAN. Hubungan antara koordinat kartesian dengan koordinat silinder: LAMPIRAN A.TRANSFORMASI KOORDINAT 1. Koordinat silinder Hubungan antara koordinat kartesian dengan koordinat silinder: Vector kedudukan adalah Jadi, kuadrat elemen panjang busur adalah: Maka: Misalkan

Lebih terperinci

PERSAMAAN SCHRÖDINGER TAK BERGANTUNG WAKTU DAN APLIKASINYA PADA SISTEM POTENSIAL 1 D

PERSAMAAN SCHRÖDINGER TAK BERGANTUNG WAKTU DAN APLIKASINYA PADA SISTEM POTENSIAL 1 D PERSAMAAN SCHRÖDINGER TAK BERGANTUNG WAKTU DAN APLIKASINYA PADA SISTEM POTENSIAL 1 D Keadaan Stasioner Pada pembahasan sebelumnya mengenai fungsi gelombang, telah dijelaskan bahwa potensial dalam persamaan

Lebih terperinci

ANALISIS ENERGI RELATIVISTIK DAN FUNGSI

ANALISIS ENERGI RELATIVISTIK DAN FUNGSI ANALISIS ENERGI RELATIVISTIK DAN FUNGSI GELOMBANG PERSAMAAN DIRAC UNTUK POTENSIAL RADIAL ECKART PLUS MANNING ROSEN YANG DIKOPLING DENGAN POTENSIAL TENSOR TIPE- COULOMB UNTUK EXACT SPIN SIMETRI DAN EXACT

Lebih terperinci

PENDAHULUAN. Di dalam modul ini Anda akan mempelajari Gas elektron bebas yang mencakup: Elektron

PENDAHULUAN. Di dalam modul ini Anda akan mempelajari Gas elektron bebas yang mencakup: Elektron PENDAHUUAN Di dalam modul ini Anda akan mempelajari Gas elektron bebas yang mencakup: Elektron bebas dalam satu dimensi dan elektron bebas dalam tiga dimensi. Oleh karena itu, sebelum mempelajari modul

Lebih terperinci

ANALISIS EFEK TEROBOSAN SINGLE PARTIKEL DALAM KEADAAN EKSITASI SKRIPSI. Oleh. Zainur Rasyid Ridlo. Nim

ANALISIS EFEK TEROBOSAN SINGLE PARTIKEL DALAM KEADAAN EKSITASI SKRIPSI. Oleh. Zainur Rasyid Ridlo. Nim ANALISIS EFEK TEROBOSAN SINGLE PARTIKEL DALAM KEADAAN EKSITASI SKRIPSI Oleh Zainur Rasyid Ridlo Nim. 060210102117 PROGAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA JURUSAN PENDIDIKAN MIPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

Lebih terperinci

METODE ITERASI VARIASIONAL PADA MASALAH STURM-LIOUVILLE

METODE ITERASI VARIASIONAL PADA MASALAH STURM-LIOUVILLE METODE ITERASI VARIASIONAL PADA MASALAH STURM-LIOUVILLE oleh HILDA ANGGRIYANA M0109035 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika JURUSAN

Lebih terperinci

SOLUSI PERSAMAAN DIRAC UNTUK POTENSIAL SCARF II TRIGONOMETRI TERDEFORMASI-Q PLUS TENSOR TIPE COULOMB DENGAN MENGGUNAKAN METODE NIKIFOROV UVAROV

SOLUSI PERSAMAAN DIRAC UNTUK POTENSIAL SCARF II TRIGONOMETRI TERDEFORMASI-Q PLUS TENSOR TIPE COULOMB DENGAN MENGGUNAKAN METODE NIKIFOROV UVAROV Salatiga, Juni 4, Vol 5, No., ISSN :87-9 SOLUSI PERSAMAAN DIRAC UNTUK POTENSIAL SCARF II TRIGONOMETRI TERDEFORMASI-Q PLUS TENSOR TIPE COULOMB DENGAN MENGGUNAKAN METODE NIKIFOROV UVAROV ST. Nurul Fitriani,

Lebih terperinci

Solusi Persamaan Schrödinger untuk Potensial Hulthen + Non-Sentral Poschl-Teller dengan Menggunakan Metode Nikiforov-Uvarov

Solusi Persamaan Schrödinger untuk Potensial Hulthen + Non-Sentral Poschl-Teller dengan Menggunakan Metode Nikiforov-Uvarov ISSN:89 33 Indonesian Journal of Applied Physics (3) Vol.3 No. Halaman 69 Oktober 3 Solusi Persamaan Schrödinger Potensial Hulthen + Non-Sentral Poschl-Teller dengan Menggunakan Metode Nikiforov-Uvarov

Lebih terperinci

PARTIKEL DALAM BOX. Bentuk umum persamaan orde dua adalah: ay" + b Y' + cy = 0

PARTIKEL DALAM BOX. Bentuk umum persamaan orde dua adalah: ay + b Y' + cy = 0 1 PARTIKEL DALAM BOX Elektron dalam atom dan molekul dapat dibayangkan mirip partikel dalam box. daerah di dalam box tempat partikel tersebut bergerak berpotensial nol, sedang daerah diluar box berpotensial

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Metode Beda Hingga Metode perbedaan beda hingga adalah metode yang sangat popular. Pada intinya metode ini mengubah masalah Persamaan Differensial Biasa (PDB) nilai batas dari

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. keadaan energi (energy state) dari sebuah sistem potensial sumur berhingga. Diantara

BAB I PENDAHULUAN. keadaan energi (energy state) dari sebuah sistem potensial sumur berhingga. Diantara BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah Ada beberapa metode numerik yang dapat diimplementasikan untuk mengkaji keadaan energi (energy state) dari sebuah sistem potensial sumur berhingga. Diantara metode-metode

Lebih terperinci

Universitas Sebelas Maret, Jl. Ir. Sutami no 36A Kentingan Surakarta Ph , Fax

Universitas Sebelas Maret, Jl. Ir. Sutami no 36A Kentingan Surakarta Ph , Fax 41 Analisis Spektrum Energi dan Fungsi Gelombang Potensial Non-Sentral Poschl-Teller Termodifikasi plus Potensial Scarf Trigonometri Menggunakan Persamaan Hipergeometri Suparmi, Cari, Hadma Yuliani, Dwi

Lebih terperinci

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Teori Atom Bohr Pada tahun 1913, Niels Bohr, fisikawan berkebangsaan Swedia, mengikuti jejak Einstein menerapkan teori kuantum untuk menerangkan hasil studinya mengenai spektrum

Lebih terperinci

ANALISA FUNGSI ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG DARI POTENSIAL ECKART PLUS HULTHEN DIMENSI-D DENGAN METODE NIKIFOROV UVAROV

ANALISA FUNGSI ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG DARI POTENSIAL ECKART PLUS HULTHEN DIMENSI-D DENGAN METODE NIKIFOROV UVAROV ANALISA FUNGSI ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG DARI POTENSIAL ECKART PLUS HULTHEN DIMENSI-D DENGAN METODE NIKIFOROV UVAROV Luqman Hakim 1, Cari 2, Suparmi 2 1 Mahasiswa Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana,

Lebih terperinci

FUNGSI GELOMBANG DAN RAPAT PROBABILITAS PARTIKEL BEBAS 1D DENGAN MENGGUNAKAN METODE CRANK-NICOLSON

FUNGSI GELOMBANG DAN RAPAT PROBABILITAS PARTIKEL BEBAS 1D DENGAN MENGGUNAKAN METODE CRANK-NICOLSON FUNGSI GELOMBANG DAN RAPAT PROBABILITAS PARTIKEL BEBAS 1D DENGAN MENGGUNAKAN METODE CRANK-NICOLSON Rif ati Dina Handayani 1 ) Abstract: Suatu partikel yang bergerak dengan momentum p, menurut hipotesa

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. akibat dari interaksi di antara penyusun inti tersebut. Penyusun inti meliputi

BAB I PENDAHULUAN. akibat dari interaksi di antara penyusun inti tersebut. Penyusun inti meliputi BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Sistem inti dapat dipelajari melalui kesatuan sistem penyusun inti sebagai akibat dari interaksi di antara penyusun inti tersebut. Penyusun inti meliputi proton

Lebih terperinci

Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu

Lebih terperinci

Teori Atom Mekanika Klasik

Teori Atom Mekanika Klasik Teori Atom Mekanika Klasik -Thomson -Rutherford -Bohr -Bohr-Rutherford -Bohr-Sommerfeld Kelemahan Teori Atom Bohr: -Bohr hanya dapat menjelaskan spektrum gas hidrogen, tidak dapat menjelaskan spektrum

Lebih terperinci

Soal-Jawab Fisika Teori OSN 2013 Bandung, 4 September 2013

Soal-Jawab Fisika Teori OSN 2013 Bandung, 4 September 2013 Soal-Jawab Fisika Teori OSN 0 andung, 4 September 0. (7 poin) Dua manik-manik masing-masing bermassa m dan dianggap benda titik terletak di atas lingkaran kawat licin bermassa M dan berjari-jari. Kawat

Lebih terperinci

KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai

Lebih terperinci

Apa itu Atom? Miftachul Hadi. Applied Mathematics for Biophysics Group. Physics Research Centre, Indonesian Institute of Sciences (LIPI)

Apa itu Atom? Miftachul Hadi. Applied Mathematics for Biophysics Group. Physics Research Centre, Indonesian Institute of Sciences (LIPI) Apa itu Atom? Miftachul Hadi Applied Mathematics for Biophysics Group Physics Research Centre, Indonesian Institute of Sciences (LIPI) Kompleks Puspiptek, Serpong, Tangerang 15314, Banten, Indonesia E-mail:

Lebih terperinci

model atom mekanika kuantum

model atom mekanika kuantum 06/05/014 FISIKA MODERN Pertemuan ke-11 NURUN NAYIROH, M.Si Werner heinsberg (1901-1976), Louis de Broglie (189-1987), dan Erwin Schrödinger (1887-1961) merupakan para ilmuwan yang menyumbang berkembangnya

Lebih terperinci

I. Pendahuluan Listrik Magnet Listrik berkaitan dengan teknologi modern: komputer, motor dsb. Bukan hanya itu

I. Pendahuluan Listrik Magnet Listrik berkaitan dengan teknologi modern: komputer, motor dsb. Bukan hanya itu I. Pendahuluan Listrik Magnet Listrik berkaitan dengan teknologi modern: komputer, motor dsb. Bukan hanya itu 1 Muatan Listrik Contoh klassik: Penggaris digosok-gosok pada kain kering tarik-menarik dengan

Lebih terperinci

Statistik + konsep mekanika. Hal-hal yang diperlukan dalam menggambarkan keadaan sistem partikel adalah:

Statistik + konsep mekanika. Hal-hal yang diperlukan dalam menggambarkan keadaan sistem partikel adalah: Bab 4 Deskripsi Statistik Sistem Partikel Bagaimana gambaran secara statistik dari sistem partikel? Statistik + konsep mekanika Hal-hal yang diperlukan dalam menggambarkan keadaan sistem partikel adalah:

Lebih terperinci

POK O O K K O - K P - OK O O K K O K MAT A ERI R FISIKA KUANTUM

POK O O K K O - K P - OK O O K K O K MAT A ERI R FISIKA KUANTUM POKOK-POKOK MATERI FISIKA KUANTUM PENDAHULUAN Dalam Kurikulum Program S-1 Pendidikan Fisika dan S-1 Fisika, hampir sebagian besar digunakan untuk menelaah alam mikro (= alam lelembutan micro-world): Fisika

Lebih terperinci

HUBUNGAN KECERDASAN INTELEKTUAL DAN INTENSITAS

HUBUNGAN KECERDASAN INTELEKTUAL DAN INTENSITAS HUBUNGAN KECERDASAN INTELEKTUAL DAN INTENSITAS PENGGUNAAN LABORATORIUM DENGAN HASIL BELAJAR MAHASISWA (Pada Mata Kuliah ASKEB 1 di STIKES Insan Unggul Surabaya) TESIS Disusun untuk Memenuhi Persyaratan

Lebih terperinci

ANALISIS DAN VISUALISASI PERSAMAAN KLEIN-GORDON PADA ELEKTRON DALAM SUMUR POTENSIAL DENGAN MENGGUNAKAN PROGRAM MATHEMATIC 10

ANALISIS DAN VISUALISASI PERSAMAAN KLEIN-GORDON PADA ELEKTRON DALAM SUMUR POTENSIAL DENGAN MENGGUNAKAN PROGRAM MATHEMATIC 10 ANALISIS DAN VISUALISASI PERSAMAAN KLEIN-GORDON PADA ELEKTRON DALAM SUMUR POTENSIAL DENGAN MENGGUNAKAN PROGRAM MATHEMATIC 1 Syahrul Humaidi 1,a), Tua Raja Simbolon 1,b), Russell Ong 1,c), Widya Nazri Afrida

Lebih terperinci

C.1 OSILASI GANDENG PEGAS

C.1 OSILASI GANDENG PEGAS Mata Kuliah GELOMBANG-OPTIK OPTIK TOPIK I SUB TOPIK OSILASI GANDENG C. SISTEM OSILASI DUA DERAJAT KEBEBASAN:OSILASI GANDENG Satu derajat kebebasan: Misalkan: pegas yang memiliki satu simpangan Dua derajat

Lebih terperinci

BINOVATIF LISTRIK DAN MAGNET. Hani Nurbiantoro Santosa, PhD.

BINOVATIF LISTRIK DAN MAGNET. Hani Nurbiantoro Santosa, PhD. BINOVATIF LISTRIK DAN MAGNET Hani Nurbiantoro Santosa, PhD hanisantosa@gmail.com 2 BAB 2 MEDAN LISTRIK DAN HUKUM GAUSS Pendahuluan, Distribusi Muatan Kontinu, Mencari Medan Listrik Menggunakan Integral,

Lebih terperinci

PROBABILITAS PARTIKEL DALAM KOTAK TIGA DIMENSI PADA BILANGAN KUANTUM n 5. Indah Kharismawati, Bambang Supriadi, Rif ati Dina Handayani

PROBABILITAS PARTIKEL DALAM KOTAK TIGA DIMENSI PADA BILANGAN KUANTUM n 5. Indah Kharismawati, Bambang Supriadi, Rif ati Dina Handayani PROBABILITAS PARTIKEL DALAM KOTAK TIGA DIMENSI PADA BILANGAN KUANTUM n 5 Indah Kharismawati, Bambang Supriadi, Rif ati Dina Handayani Program Studi Pendidikan Fisika FKIP Universitas Jember email: schrodinger_risma@yahoo.com

Lebih terperinci

BAB II DASAR TEORI. 2.1 Teori Relativitas Umum Einstein

BAB II DASAR TEORI. 2.1 Teori Relativitas Umum Einstein BAB II DASAR TEORI Sebagaimana telah diketahui dalam kinematika relativistik, persamaanpersamaannya diturunkan dari dua postulat relativitas. Dua kerangka inersia yang bergerak relatif satu dengan yang

Lebih terperinci

HUBUNGAN EFIKASI DIRI, KEMANDIRIAN BELAJAR DAN MOTIVASI BERPRESTASI DENGAN PRESTASI BELAJAR MAHASISWA

HUBUNGAN EFIKASI DIRI, KEMANDIRIAN BELAJAR DAN MOTIVASI BERPRESTASI DENGAN PRESTASI BELAJAR MAHASISWA i HUBUNGAN EFIKASI DIRI, KEMANDIRIAN BELAJAR DAN MOTIVASI BERPRESTASI DENGAN PRESTASI BELAJAR MAHASISWA TESIS Disusun untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Mencapai Derajat Magister Program Studi Magister

Lebih terperinci

PENGEMBANGAN MODUL FISIKA SMP/MTs BERORIENTASI PROBLEM BASED LEARNING PADA MATERI TEKANAN UNTUK MENINGKATKAN KEMAMPUAN PROBLEM SOLVING SISWA TESIS

PENGEMBANGAN MODUL FISIKA SMP/MTs BERORIENTASI PROBLEM BASED LEARNING PADA MATERI TEKANAN UNTUK MENINGKATKAN KEMAMPUAN PROBLEM SOLVING SISWA TESIS PENGEMBANGAN MODUL FISIKA SMP/MTs BERORIENTASI PROBLEM BASED LEARNING PADA MATERI TEKANAN UNTUK MENINGKATKAN KEMAMPUAN PROBLEM SOLVING SISWA TESIS Disusun untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Mencapai Derajat

Lebih terperinci

= (2) Persamaan (2) adalah persamaan diferensial orde dua dengan akar-akar bilangan kompleks yang berlainan, solusinya adalah () =sin+cos (3)

= (2) Persamaan (2) adalah persamaan diferensial orde dua dengan akar-akar bilangan kompleks yang berlainan, solusinya adalah () =sin+cos (3) 2. Osilator Harmonik Pada mekanika klasik, salah satu bentuk osilator harmonik adalah sistem pegas massa, yaitu suatu beban bermassa m yang terikat pada salah satu ujung pegas dengan konstanta pegas k.

Lebih terperinci

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA BAB TINJAUAN PUSTAKA. Definisi Gelombang dan klasifikasinya. Gelombang adalah suatu gangguan menjalar dalam suatu medium ataupun tanpa medium. Dalam klasifikasinya gelombang terbagi menjadi yaitu :. Gelombang

Lebih terperinci

Listrik Statik. Agus Suroso

Listrik Statik. Agus Suroso Listrik Statik Agus Suroso Muatan Listrik Ada dua macam: positif dan negatif. Sejenis tolak menolak, beda jenis tarik menarik. Muatan fundamental e =, 60 0 9 Coulomb. Atau, C = 6,5 0 8 e. Atom = proton

Lebih terperinci

K 1. h = 0,75 H. y x. O d K 2

K 1. h = 0,75 H. y x. O d K 2 1. (25 poin) Dari atas sebuah tembok dengan ketinggian H ditembakkan sebuah bola kecil bermassa m (Jari-jari R dapat dianggap jauh lebih kecil daripada H) dengan kecepatan awal horizontal v 0. Dua buah

Lebih terperinci

3. ORBIT KEPLERIAN. AS 2201 Mekanika Benda Langit. Monday, February 17,

3. ORBIT KEPLERIAN. AS 2201 Mekanika Benda Langit. Monday, February 17, 3. ORBIT KEPLERIAN AS 2201 Mekanika Benda Langit 1 3.1 PENDAHULUAN Mekanika Newton pada mulanya dimanfaatkan untuk menentukan gerak orbit benda dalam Tatasurya. Misalkan Matahari bermassa M pada titik

Lebih terperinci

Analisis Energi Osilator Harmonik Menggunakan Metode Path Integral Hypergeometry dan Operator

Analisis Energi Osilator Harmonik Menggunakan Metode Path Integral Hypergeometry dan Operator ISSN:089 033 Indonesian Journal of Applied Physics (0) Vol. No. halaman 6 April 0 Analisis Energi Osilator Harmonik Menggunakan Metode Path Integral Hypergeometry dan Operator Fuzi Marati Sholihah, Suparmi,

Lebih terperinci

Muatan Listrik. Kelistrikan yang teramati dapat dipahami karena pada masing-masing benda yang berinteraksi mempunyai muatan listrik.

Muatan Listrik. Kelistrikan yang teramati dapat dipahami karena pada masing-masing benda yang berinteraksi mempunyai muatan listrik. Muatan Listrik Pengamatan yang berkaitan dengan kelistrikan pertama kali dilakukan oleh seseorang yang bernama Thales pada tahun 600 sebelum Masehi, yaitu sebuah ambar yang digosok akan menarik potongan

Lebih terperinci

1. (25 poin) Sebuah bola kecil bermassa m ditembakkan dari atas sebuah tembok dengan ketinggian H (jari-jari bola R jauh lebih kecil dibandingkan

1. (25 poin) Sebuah bola kecil bermassa m ditembakkan dari atas sebuah tembok dengan ketinggian H (jari-jari bola R jauh lebih kecil dibandingkan . (5 poin) Sebuah bola kecil bermassa m ditembakkan dari atas sebuah tembok dengan ketinggian H (jari-jari bola R jauh lebih kecil dibandingkan dengan H). Kecepatan awal horizontal bola adalah v 0 dan

Lebih terperinci

Analisis Energi Osilator Harmonik Menggunakan Metode Path Integral Hypergeometry dan Operator

Analisis Energi Osilator Harmonik Menggunakan Metode Path Integral Hypergeometry dan Operator ISSN:2089 0133 Indonesian Journal of Applied Physics (2012) Vol.2 No.1 halaman 6 April 2012 Analisis Energi Osilator Harmonik Menggunakan Metode Path Integral Hypergeometry dan Operator Fuzi Marati Sholihah

Lebih terperinci

MODUL 1 FISIKA MODERN MODEL MODEL ATOM

MODUL 1 FISIKA MODERN MODEL MODEL ATOM MODUL 1 FISIKA MODERN MODEL MODEL ATOM Oleh JAJA KUSTIJA, Drs. MSC. JURUSAN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI J a k a r t a 2005 1 Nama Mata Kuliah / Modul Fisika Modern / Modul 1 Fakultas / Jurusan

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Transformasi Laplace Salah satu cara untuk menganalisis gejala peralihan (transien) adalah menggunakan transformasi Laplace, yaitu pengubahan suatu fungsi waktu f(t) menjadi

Lebih terperinci

Oleh ANAS DANIL FASSI

Oleh ANAS DANIL FASSI FUNGSI GELOMBANG ATOM HIDROGEN DALAM REPRESENTASI RUANG MOMENTUM DENGAN METODE TRANSFORMASI FOURIER PADA BILANGAN KUANTUM UTAMA n 3 SKRIPSI Oleh ANAS DANIL FASSI 060210192197 PROGRAM STUDI FISIKA FAKULTAS

Lebih terperinci

PROGRAM PASCA SARJANA UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA

PROGRAM PASCA SARJANA UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA PENGARUH PEMBELAJARAN COOPERATIF TIPE MAKE A MATCH DAN PEMBELAJARAN KONVENSIONAL TERHADAP HASIL BELAJAR PKn DITINJAU DARI KEMANDIRIAN BELAJAR SISWA PADA MTs N DI KABUPATEN KUDUS TESIS Disusun untuk Memenuhi

Lebih terperinci

PERHITUNGAN TINGKAT ENERGI SUMUR POTENSIAL KEADAAN TERIKAT MELALUI PERSAMAAN SCHRODINGER MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA

PERHITUNGAN TINGKAT ENERGI SUMUR POTENSIAL KEADAAN TERIKAT MELALUI PERSAMAAN SCHRODINGER MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA PILLAR OF PHYSICS, Vol. 1. April 2014, 17-24 PERHITUNGAN TINGKAT ENERGI SUMUR POTENSIAL KEADAAN TERIKAT MELALUI PERSAMAAN SCHRODINGER MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Hanifah Rahmayani *), Hidayati **) dan

Lebih terperinci

Teori Dasar Gelombang Gravitasi

Teori Dasar Gelombang Gravitasi Bab 2 Teori Dasar Gelombang Gravitasi 2.1 Gravitasi terlinearisasi Gravitasi terlinearisasi merupakan pendekatan yang memadai ketika metrik ruang waktu, g ab, terdeviasi sedikit dari metrik datar, η ab

Lebih terperinci

PROGRAM PASCA SARJANA UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2013

PROGRAM PASCA SARJANA UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2013 HUBUNGAN PERSEPSI SISWA PADA KOMPETENSI PROFESIONAL GURU DAN KECERDASAN INTELEKTUAL DENGAN PRESTASI BELAJAR SISWA MATA PELAJARAN BAHASA INGGRIS DI KELAS VIII SMP N 1 KUDUS TESIS Disusun untuk Memenuhi

Lebih terperinci

Schrodinger s Wave Function

Schrodinger s Wave Function SPEKTRA RADIASI ELEKTROMAGNET SPEKTRUM KONTINYU TEORI MAX PLANK TEORI ATOM BOHR SIFAT GELOMBANG Schrodinger s Wave Function MODEL ATOM MEKANIKA KUANTUM Persamaan gelombang Schrodinger TEORI MEKANIKA KUANTUM

Lebih terperinci

BAB 4 BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN METODE PENELITIAN. 3.2 Peralatan

BAB 4 BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN METODE PENELITIAN. 3.2 Peralatan 4 3.2 Peralatan..(9) dimana,, dan.(10) substitusi persamaan (10) ke persamaan (9) maka diperoleh persamaan gelombang soliton DNA model PBD...(11) agar persamaan (11) dapat dipecahkan sehingga harus diterapkan

Lebih terperinci

FUNGSI GELOMBANG. Persamaan Schrödinger

FUNGSI GELOMBANG. Persamaan Schrödinger Persamaan Schrödinger FUNGSI GELOMBANG Kuantitas yang diperlukan dalam mekanika kuantum adalah fungsi gelombang partikel Ψ. Jika Ψ diketahui maka informasi mengenai kedudukan, momentum, momentum sudut,

Lebih terperinci

BAB FISIKA ATOM. Model ini gagal karena tidak sesuai dengan hasil percobaan hamburan patikel oleh Rutherford.

BAB FISIKA ATOM. Model ini gagal karena tidak sesuai dengan hasil percobaan hamburan patikel oleh Rutherford. 1 BAB FISIKA ATOM Perkembangan teori atom Model Atom Dalton 1. Atom adalah bagian terkecil dari suatu unsur yang tidak dapat dibagi-bagi 2. Atom-atom suatu unsur semuanya serupa dan tidak dapat berubah

Lebih terperinci

PENGARUH JUMLAH SUKU FOURIER PADA PENDEKATAN POLAR UNTUK SISTEM GEOMETRI KARTESIAN

PENGARUH JUMLAH SUKU FOURIER PADA PENDEKATAN POLAR UNTUK SISTEM GEOMETRI KARTESIAN PENGARUH JUMLAH SUKU FOURIER PADA PENDEKATAN POLAR UNTUK SISTEM GEOMETRI KARTESIAN IRMA ISLAMIYAH 1105 100 056 FISIKA FMIPA INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2010 PENDAHULUAN LATAR BELAKANG

Lebih terperinci

Bab 2 TEORI DASAR. 2.1 Linearisasi Persamaan Air Dangkal

Bab 2 TEORI DASAR. 2.1 Linearisasi Persamaan Air Dangkal Bab 2 TEORI DASAR 2.1 Linearisasi Persamaan Air Dangkal Persamaan air dangkal merupakan persamaan untuk gelombang permukaan air yang dipengaruhi oleh kedalaman air tersebut. Kedalaman air dapat dikatakan

Lebih terperinci

Karakteristik Gerak Harmonik Sederhana

Karakteristik Gerak Harmonik Sederhana Pertemuan GEARAN HARMONIK Kelas XI IPA Karakteristik Gerak Harmonik Sederhana Rasdiana Riang, (5B0809), Pendidikan Fisika PPS UNM Makassar 06 Beberapa parameter yang menentukan karaktersitik getaran: Amplitudo

Lebih terperinci

PENERAPAN PERSAMAAN PROCA DAN PERSAMAAN MAXWELL PADA MEDAN ELEKTROMAGNETIK UNTUK ANALISIS MASSA FOTON

PENERAPAN PERSAMAAN PROCA DAN PERSAMAAN MAXWELL PADA MEDAN ELEKTROMAGNETIK UNTUK ANALISIS MASSA FOTON PENERAPAN PERSAMAAN PROCA DAN PERSAMAAN MAXWELL PADA MEDAN ELEKTROMAGNETIK UNTUK ANALISIS MASSA FOTON Disusun oleh: OKY RIO PAMUNGKAS M0213069 SKRIPSI Diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan mendapatkan

Lebih terperinci

Sistem Hasil Kali Persamaan Diferensial Otonomus pada Bidang

Sistem Hasil Kali Persamaan Diferensial Otonomus pada Bidang Sistem Hasil Kali Persamaan Diferensial Otonomus pada Bidang SKRIPSI Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna

Lebih terperinci

Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya, Vol. 16, No. 2, Oktober 2015

Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya, Vol. 16, No. 2, Oktober 2015 Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya, Vol. 16, No., Oktober 15 Analisis Persamaan Dirac untuk Potensial Pöschl-Teller Trigonometrik dan Potensial Scarf Trigonometrik pada Kasus Spin Simetri Bagian Radial

Lebih terperinci

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN. dan medan hidrodinamik. Pertama, dengan menentukan potensial listrik V dan

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN. dan medan hidrodinamik. Pertama, dengan menentukan potensial listrik V dan BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4. 1 Analisis Elektrohidrodinamik Analisis elektrohidrodinamik dimulai dengan mengevaluasi medan listrik dan medan hidrodinamik. Pertama, dengan menentukan potensial listrik

Lebih terperinci

BAGIAN 1 PITA ENERGI DALAM ZAT PADAT

BAGIAN 1 PITA ENERGI DALAM ZAT PADAT 1.1. Partikel bermuatan BAGIAN 1 PITA ENERGI DALAM ZAT PADAT - Muatan elektron : -1,6 x 10-19 C - Massa elektron : 9,11 x 10-31 kg - Jumlah elektron dalam setiap Coulomb sekitar 6 x 10 18 buah (resiprokal

Lebih terperinci

Penentuan Spektrum Energi dan Fungsi Gelombang Potensial Morse dengan Koreksi Sentrifugal Menggunakan Metode SWKB dan Operator SUSY

Penentuan Spektrum Energi dan Fungsi Gelombang Potensial Morse dengan Koreksi Sentrifugal Menggunakan Metode SWKB dan Operator SUSY ISSN:2089 0133 Indonesian Journal of Applied Physics (2012) Vol.2 No.2 halaman 112 Oktober 2012 Penentuan Spektrum Energi dan Fungsi Gelombang Potensial Morse dengan Koreksi Sentrifugal Menggunakan Metode

Lebih terperinci

ORBITAL DAN IKATAN KIMIA ORGANIK

ORBITAL DAN IKATAN KIMIA ORGANIK ORBITAL DAN IKATAN KIMIA ORGANIK Objektif: Pada Bab ini, mahasiswa diharapkan untuk dapat memahami, Teori dasar orbital atom dan ikatan kimia organik, Orbital molekul orbital atom dan Hibridisasi orbital

Lebih terperinci

Bab II Fungsi Kompleks

Bab II Fungsi Kompleks Bab II Fungsi Kompleks Variabel kompleks z secara fisik ditentukan oleh dua variabel lain, yakni bagian realnya x dan bagian imajinernya y, sehingga dituliskan z z(x,y). Oleh sebab itu fungsi variabel

Lebih terperinci

PENERAPAN METODE DERET PANGKAT UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDEDUA KHUSUS SKRIPSI

PENERAPAN METODE DERET PANGKAT UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDEDUA KHUSUS SKRIPSI PENERAPAN METODE DERET PANGKAT UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDEDUA KHUSUS SKRIPSI Oleh: SAMSIATI NUR HASANAH NIM: 11321432 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN

Lebih terperinci

Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012

Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012 Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 01 Tanggal Ujian: 13 Juni 01 1. Lingkaran (x + 6) + (y + 1) 5 menyinggung garis y 4 di titik... A. ( -6, 4 ). ( -1, 4 ) E. ( 5, 4 ) B. ( 6, 4) D. ( 1, 4 )

Lebih terperinci

Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, dan Nanomaterial dengan Metode Ikatan Terkuat

Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, dan Nanomaterial dengan Metode Ikatan Terkuat Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, dan Nanomaterial dengan Metode Ikatan Terkuat Ahmad Ridwan Tresna Nugraha (NIM: 10204001), Pembimbing: Sukirno, Ph.D KK FisMatEl, Institut Teknologi Bandung

Lebih terperinci

BAB I ARTI PENTING ANALISIS NUMERIK

BAB I ARTI PENTING ANALISIS NUMERIK BAB I ARTI PENTING ANALISIS NUMERIK Pendahuluan Di dalam proses penyelesaian masalah yang berhubungan dengan bidang sains, teknik, ekonomi dan bidang lainnya, sebuah gejala fisis pertama-tama harus digambarkan

Lebih terperinci

Fisika Dasar I (FI-321)

Fisika Dasar I (FI-321) Fisika Dasar I (FI-31) Topik hari ini Getaran dan Gelombang Getaran 1. Getaran dan Besaran-besarannya. Gerak harmonik sederhana 3. Tipe-tipe getaran (1) Getaran dan besaran-besarannya besarannya Getaran

Lebih terperinci

FI-5002 Mekanika Statistik SEMESTER/ Sem /2017 PR#1 : Review of Thermo & Microcanonical Ensemble Dikumpulkan :

FI-5002 Mekanika Statistik SEMESTER/ Sem /2017 PR#1 : Review of Thermo & Microcanonical Ensemble Dikumpulkan : ISTITUT TEKOLOGI BADUG FAKULTAS MATEMATIKA DA ILMU PEGETAHUA ALAM PROGRAM STUDI FISIKA FI-500 Mekanika Statistik SEMESTER/ Sem. - 016/017 PR#1 : Review of Thermo & Microcanonical Ensemble Dikumpulkan :

Lebih terperinci

Teori Ensambel. Bab Rapat Ruang Fase

Teori Ensambel. Bab Rapat Ruang Fase Bab 2 Teori Ensambel 2. Rapat Ruang Fase Dalam bagian sebelumnya, kita telah menghitung sifat makroskopis dari suatu sistem terisolasi dengan nilai E, V dan N tertentu. Sekarang kita akan membangun suatu

Lebih terperinci