BAB 8 PENGANTAR GEOMETRI NON-EUCLIDES

Transkripsi

1 BAB 8 PENGANTAR GEOMETRI NON-EUCLIDES Riemann dilahirkan pada tanggal 17 September 1826 di Breselenz, sebuah desa di dekat Dannenberg di kerajaan Han-nover Jerman. Ayahnya bernama Friedrich Bernard Riemann dan ibunya bernama charlotte Ebell. Riemann mempunyai 5 saudara, 1 laki-laki dan 4 perempuan. pada tahun 1846, Riemann belajar di Universitas Gottingen, Jerman dan masuk fakultas Teologi. Riemann sangat tertutup dengan keluarganya dan dia selalu meminta izin ayahnya jika akan mengerjakan sesuatu.pada tahun 1847, Riemann belajar di universitas berlin Jerman. dia di ajar para tokohtokoh terkenal di dunia seperti Steiner, Jacobi, Dirichlet, dan Einstein. hal ini merupakan waktu yang paling penting buat Riemann karena dia bias belajar banyak dari Einstein dan diskusi tentang variable komplek dalam teori fungsi eliptik.riemann merupakan matematikawan jerman yang membuat kontribusi penting untuk analaisis dan geometri differensial. Teori-teorinya yang mempengaruhi perkembangan matematika adalah geometri Riemann, geometri aljabar dan teori manifold kompleks. Teori Riemann awalnya dipelajari oleh Felix Klein dan Adolf Hurwit berdasarkan pada toologi. Pada awal abad 20an teorinya dapat diaplikasikan pada fisika matematika. Pada tahun 1853 Gauss menanyakan pada Riemann untuk mempelajari Habilitation Schrift pada dasardasar geometri. Kemudian Riemann mengembangkan teorinya tentang dimensi tak hingga. Pengantar Geometri Non-Euclides/ 191

2 Saccheri meninggal tahun Hasil karyanya nampaknya hanya sedikit mempengaruhi perkembangan geometri sebab para penggantinya sampai dengan abad 19 terus mencoba membuktikan postulat kesejajaran Euclides. Pada gilirannya usahausaha pembuktian pada abad itu dilakukan oleh ahliahli matematika sekaliber Gauss ( ) dan Legendre ( ). Meskipun demikian, kegagalan-kegagalan yang terjadi pada abad 20 pada akhirnya menimbulkan keraguan di benak para ahli matematika. Sehingga pada tahun 1830, J. Bolyai ( ), seorang perwira AD Hungaria, N.I Lobachevsky ( ), seorang profesior matematika Rusia pada Universitas Kazan, dan Si Raksasa Gauss sendiri telah mengembangkan teoriteori Geometri yang berdasarkan pada suatu kontradiksi postulat kesejajaran Euclides. Secara khusus, mereka beranggapan bahwa ada lebih dari satu garis yang sejajar dengan suatu garis tertentu yang melalui suatu titik di luar garis tersebut. Gauss, yang tidak suka pertentangan, enggan menerbitkan ide-idenya, oleh karena itu Bolyai dan Lobacheskylah yang biasanya dianggap sebagai pencipta teori baru itu. Selanjutnya pada tahun 1854 ahli matematika terkenal dari Jerman B. Riemann ( ) memperkenalkan suatu teori baru non-euclides yang lain yang mendasarkan pada asumsi bahwa tidak ada garis-garis yang sejajar. Pada bab ini diberikan tentang pengenalan dasar teori-teori klasik dari Bolyai, Lobachevsky, dan Rieman. A. Geometri Lobachevsky 192 /Pengantar Geometri Non-Euclides

3 Sekarang, diperkenalkan geometri non-euclides dari Bolyai, dan Lobachevsky, sebagai teori formal y ang mendasarkan pada beberapa postulat. Teori ini dinamakan Geometri Lobachevsky untuk memudahkan dan menandai karya Lobachevsky. Geometri Lobachevsky dapat digolongkan pada geometri netral dengan memandang bahwa setiap segitiga jumlah besar sudutnya kurang dari Meskipun demikian, kita lebih suka mengikuti sejarah perkembangannya dan mempelajarinya secara langsung dalam hubungannya dengan postulat kesejajaran Euclides. Jadi, untuk menggolongkan pada geometri Lobachevsky hanyalah dengan menerima semua postulat geometri Euclides dengan membuang postulat kesejajarannya dan mengganti dengan postulat berikut ini : Postulat Kesejajaran Lobachevsky Paling tidak ada dua garis yang sejajar dengan suatu garis yang melalui suatu titik di luar garis tersebut. Jelaslah, geometri Lobachevsky merupakan jenis dari geometri netral. Sebagai akibatnya, kita lanjutkan pelajaran geometri netral dengan memberikan suatu batasan tambahan. Jadi, teorema-teorema pada geometri netral juga berlaku pada geometri Lobachevsky dan juga dapat dipakai pada pembuktian-pembuktian kita. B. Teorema non-metrical Teorema pertama geometri Lobachevsky merupakan teorema dasar yang tidak melibatkan ideide metrical (sistim perhitungan dengan dasar angka Pengantar Geometri Non-Euclides/ 193

4 10) seperti jarak, ketegak-lurusan, atau luas. Teorema tersebut mengenai kedudukan atau sifat garis. Teorema 6.1 Sebarang garis seluruhnya berada di dalam sudut tertentu. Bukti : Misalkan diketahui garis l. tentukan titik P di luar l. tentukan titik P diluar l. Menurut postulat kesejajaran geometri Lobachevsky ada garis m dan n yang melalui P dan sejajar l. Garis m dan n membagi bidang itu menjadi 4 daerah, masing-masing merupakan bagian dalam suatu sudut, yakni bagian dalam APB, A PB. A PB, dengan P terletak diantara A dan A pada garis m dan diantara B dan B pada garis n. Misalkan Q adalah titik pada l. Karena l tidak memotong m atau n, berarti Q tidak terletak pada m atau n. Jadi Q berada pada salah satu dari 4 bagian dalam sudut di atas, misalnya A PB. Sekarang, dimana letak l? Karena salah satu titiknya yaitu titik Q berada pada bagian dalam A PB dan l tidak memotong sisi-sisi sudutnya, yakni PA dan PB. Jadi jelaslah bahwa l berada di dalam A PB yang berarti garis l seluruhnya termuat di dalam A PB. Catatan : Sangat menarik bahwa Legendra membuktikan postulat kesejajaran Euclides dengan mengasumsikan bahwa suatu garis yang memuat suatu titik dalam suatu sudut pasti memotong sudut tersebut. 194 /Pengantar Geometri Non-Euclides

5 Teorema akibat Ada tak berhingga garis yang sejajar dengan suatu garis yang melalui suatu titik di luar garis itu. Bukti : Misalkan diketahui garis l dan titik P. Gunakan teorema l dan misalkan R sebarang titik yang terletak di dalam daerah APB (Gambar 4.1). Maka garis PR (kecuali titik P) seluruhnya termuat dalam daerah APB dan A PB dan tidak memotong garis l yang termuat dalam A PB. Jadi PR / / l. Karena terdapat tak berhingga garis yang seperti PR, berarti teorema akibat terbukti. Sungguh menarik kalau kita bandingkan Teorema 6.1 di atas dengan situasi dalam geometri Euclides (yang hanya sebagian garis dapat termuat dalam daerah suatu sudut). Karena dalam geometri bidang Euclides sebuah garis yang melalui titik dalam daerah sudut akan memotong sudut di dua titik atau satu titik. Jadi hanya sebuah segmen garis saja yang bisa termuat dalam daerah sudut, atau hanya sebuah sinar garis saja. Teorema di atas menunjukkan perbedaan yang jelas antara geometri Euclides dan geometri Lobachevsky jika dipandang dari sifat-sifat nonmetrik. Hal ini seharusnya tidaklah terlalu mengherankan, Pengantar Geometri Non-Euclides/ 195

6 karena postulat kesejajaran Euclides (dalam bentuk postulat Playfair) dan postulat kesejajaran Lobachevsky memang berbeda sifat khusus grafiknya. Perhatikan, hasil yang tak terhindarkan pasti terjadi, jika kita mengasumsikan postulat Lobachevsky. C. Sanggahan Anda mungkin keberatan bahwa Teorema 6.1 ternyata valid secara abstrak, tetapi tidak sesuai dengan kenyataan fisiknya. Jadi, konklusi di atas memang secara logis diperoleh dari postulat kesejajaran Lobachevsky, tetapi asumsi itu secara fisik keliru. Jika anda membuat pernyataan demikian, berarti anda mulai mengikuti jejak para ahli geometri non-euclides. Karena jika mereka mulai mengembangkan teori mereka, mereka pasti telah meragukan validitas empirik dari postulat kesejajaran yang baru itu. Yang diperlukan bagi seseorang untuk berpikir secara matematis adalah asumsi-asumsi (postulat-postulat) yang secara logis dapat menghasilkan konklusi (teorema). Validitas argumen matematis tidak bergantung pada benar atau salahnya asumsi dasar yang digunakannya. Meskipun demikian, wajarlah kita memilih asumsi yang akan menimbulkan kekeliruan jika diterapkan pada dunia nyata? Jawabnya sudah jelas, tetapi kenyataannya hal ini merupakan pertanyaan yang sulit dan rumit yang tidak mungkin dijawab dengan ya atau tidak saja. Harus ada beberapa penjelasan. Pertama, ahli matematika seharusnya bebas memilih postulat dan mempelajari konsekuensinya, 196 /Pengantar Geometri Non-Euclides

7 bebas dari pertimbangan kegunaan praktisnya maupun validitas empirisnya. Kedua, proporsi matematika itu abstrak; untuk mengujinya secara empiris kita harus menafsirkan istilah-istilah dasarnya. Meskipun tampaknya salah dalam suatu interpretasi (penafsiran), mungkin menjadi benar dalam intepretasi yang lain. Sebagai contoh, suatu postulat menjadi salah jika garis diinterpretasikan sebagai tali yang tegang, mungkin jadi benar jika diinterpretasikan sebagai sinar lampu. Akhirnya, janganlah kita lupa bahwa penentuan kebenaran empiris dari pernyataan geometris bukanlah urusan kita sebagai ahli matematika sebab hal itu bukanlah merupakan percobaan mental yang dapat disimpulkan secara santai. Hal itu termasuk dalam bidang pengetahuan tentang percobaan dan penelitian yang dilaksanakan oleh ahli fisika, astronom dan para peneliti. Untuk menentukan kebenaran pernyataan secara empiris, seringkali merupakan masalah yang sulit, dan seringkali hanya memperoleh pendekatannya saja atau kebenarannya secara statistik saja. Sebagai contoh yang klasik, perhatikan postulat kesejajaran Euclides : postulat itu telah digunakan turun-temurun oleh para ilmuwan dan insinyur; postulat tersebut telah mengalami pengujian waktu itu. Kita merasa yakin bahwa itu merupakan fakta empiris. Dengan proses berpikir yang sama kita yakin bahwa postulat kesejajaran Lobachevsky secara empiris adalah salah. Marilah kita renungkan masalah ini sebentar apa saja yang terlibat dalam pernyataanpernyataan ini? Adakah kita menyatakan bahwa, jika Pengantar Geometri Non-Euclides/ 197

8 diketahui garis (secara fisik) l dan titik P (secara fisik) di luar l, maka ada garis m (secara fisik) yang tidak memotong l tetapi melalui P yang tidak terletak pada l? Bagaimana kita menguji hal itu? Akankah kita gunakan tali, garis-garis di papan tulis, atau sinar lampu? Ingat, betapa lebih sulit lagi membuktikan secara empiris bahwa hanya ada satu garis yang demikian? Misalkan ada satu garis yang memenuhi, yaitu garis m. m P l m Apakah kita benar-benar tahu sifat-sifat fisiknya sehingga dapat menunjukkan hanya ada satu garis seperti itu? Misalkan m a dalah garis (secara fisik) yang melalui P dan membentuk sudut yang sangat kecil dengan m; dapatkah kita nyatakan bahwa secara fisik m pasti memotong l? Pernyataan tentang kebenaran empiris postulat kita memang sulit di jawab dan akan dibahas lebih lanjut pada bab 8. Saat ini kita puas jika kita telah dapat menghilangkan keraguan dan mempunyai secara empiris. Postulat kesejajaran Euclides pasti benar dan postulat kesejajaran Lobachevsky pasti salah. Kita harapkan hal ini cukup dengan menghilangkan perasaan bahwa geometri 198 /Pengantar Geometri Non-Euclides

9 Lobachevsky hanyalah abstrak yang jauh dari dunia nyata. D. Jumlah sudut segitiga dalam geometri Lobachevsky Teorema 1 menunjukkan bagaimana kedudukan atau sifat-sifat non metrical dalam geometri non- Euclides tentu berbeda dengan geometri Euclides. Akan ditunjukkan dalam Teorema 7.2 bagaimana sifat metrical, jumlah besar sudut dalam segitiga, tentu berubah jika kita mengubah postulat kesejajarannya. Kita awali dengan dua lemma yang valid dalam geometri netral. Kita tangguhkan pengenalannya karena kedua lemma tersebut hanya digunakan untuk menetapkan Teorema 7.2. Lemma 7.1 merupakan pengulangan kembali Teorema Saccheri Legendre Lemma 7.1. Jumlah besar dua sudut dalam segitiga adalah kurang atau sama dengan besar sudut luar yang tida bersisian dengan sudut tersebut. Bukti : Perhatikan ABC. Menurut Teorema Sacheri- Legendre : A + B + C < Jika kedua ruas ketidaksamaan dikurangi dengan C diperoleh : A B + < C. Lemma tersebut berlaku karena sudut luar C sama dengan C. Lemma 7.2 Misalkan diketahui garis l, titik P di luar l, titik Q pada l. Pengantar Geometri Non-Euclides/ 199

10 Misalkan diberikan sisi PQ. Maka ada titik R di l yang terletak satu pihak dengan PQ, sehingga PQR sekecil yang kita inginkan. P Q R l Bukti : Misalkan a adalah sudut yang kecil. Akan kita tunjukkan bahwa ada titik R pada l yang terletak di sebelah kanan PQ sedemikian hingga PRQ < a. Pertama, kita bentuk barisan sudut-sudut : PR1Q, PR2Q,.., yang setiap suku tidak lebih besar dari suku sebelumnya. Perhatikan gambar berikut ini. 200 /Pengantar Geometri Non-Euclides

11 Misalkan R1 titik pada l dan berada di sebelah kanan sisi PQ sedemikian hingga QR1 = PQ (Gambar 4.5). Tarik PR1. Maka PQR1 adalah sama kaki dan QPR1 = PR1Q = b1. Misal besar sudut luar PQR1 di Q = b. Menurut Lemma 7.1 b1 + b1 = 2b1 < b, berarti : b1 < 21 b.(1) Sekarang dibentuk segitiga baru dan diulang lagi argumen di atas. Perpanjang QR1 melalui R1 ke R2, sedemikian hingga R1R2 = PR1. Tarik PR2. Maka PR1R2 adalah samakaki dan R1PR2 = PR2R1 = PR2Q = b2 Jadi, sesuai dengan Lemma 6.1 b2 + b2 = 2b2 < b1 berarti : b2 < 21 b1 sesuai dengan persamaan (1) diperoleh : 1 b 2 Dengan melanjutkan proses di atas sebanyak n kali, maka akan diperoleh titik Rn pada l dan di sebelah kanan sisi PQ sedemikian hingga : b2 < 2 1 bn = PRnQ < n b 2 Dengan memilih n cukup besar maka bisa diperoleh 1 b < a. n 2 Pengantar Geometri Non-Euclides/ 201

12 Dengan demikian PRnQ < a. Jadi teorema berlaku untuk R = Rn. Teorema 7.2 Ada sebuah segitiga dengan jumlah besar sudut kurang dari Bukti : Misalkan l suatu garis dan P di luar l. Kita buat garis m melalui P sejajar l dengan cara biasa sebagai berikut : Misal PQ l di Q, dan m PQ di P. Menurut postulat kesejajaran Lobachevsky ada garis lain yaitu garis n yang melalui P dan sejajar l. Salah satu sudut yang dibentuk n dengan PQ adalah lancip. Misalkan : X titik pada n sedemikian hingga QPX lancip Y titik pada m dan n di sebelah kanan sisi PQ seperti X. a = XPY. Maka QPX = 90 0 a 202 /Pengantar Geometri Non-Euclides

13 180 0 Sekarang gunakan Lemma 7.2. Misalkan R pada l dan berada di sebelah kanan sisi PQ yang memuat X, sedemikian hingga PRQ < a. Perhatikan PQR. Kita punya : PQR = 90 0 QRP < a Jika dijumlahkan diperoleh : RPQ < XPQ = 90 0 a PQR + QRP + RPQ < a a = Jadi PQR mempunyai jumlah besar sudut kurang dari dan teorema terbukti. P m Q R l Urutan pembuktian di atas sungguh sangat sederhana. Untuk mengetahui lebih dalam, perhatikan dulu situasi yang sama dalam geometri Euclides. Misal : l dan m tegak lurus pada PQ di Q dan P. R sebarang titik pada l, di sebelah kanan sisi PQ Jika R menjauhi PQ sampai tak terhingga, maka QRP mendekati 0 0 dan QPR mendekati Dalam geometri Lobachevsky agak sedikit berbeda. Kita masih punya garis l dan m tegak lurus pada PQ di Q dan P sedemikian hingga m / / l. Tetapi sekarang (seperti pada pembuktian Teorema 2) ada garis lain PX yang sejajar l, sedemikian hingga : Pengantar Geometri Non-Euclides/ 203

14 QPX < Misalkan R sebarang titik pada l di sebelah kanan PQ seperti X. Jika R menjauhi PQ sampai tak terhingga, maka QRP mendekati 0 0 seperti pada geometri Euclides. Tetapi QPR tidak mendekati 90 0, karena QPR selalu kurang dari QPX. Jadi, jika R cukup jauh, PQR akan memiliki jumla besar sudut kurang dari Sebagai contoh, jika QPX = 89 0 kita hanya perlu menempatkan R sedemikian hingga QRP < 1 0. P m. X Q R l Akhirnya, Anda mungkin menolak bahwa kita tidak akan dapat mendapatkan QPR < QPX, yakni sinar PR terletak dalam QPX. Perhatikan bahwa sinar PR dan sinar PX adalah berbeda dan keduanya berada di dalam sudut yang dibentuk oleh sinar PQ dengan sinar yang lain. Misalkan sinar PX terletak di dalam QPR, maka sinar PX akan memotong QR dan sudah tentu memotong l. Karena hal ini tidak mungkin terjadi, berarti sinar PR harus berada di dalam QPX. Teorema berikut merupakan teorema yang penting, dan merupakan konsekuensi langsung dari Teorema /Pengantar Geometri Non-Euclides

15 Teorema 7. 3 Jumlah besar sudut setiap segitiga kurang dari Bukti : Menurut akibat 2 teorema 6.6 (geometri netral) : Jika ada sebuah segitiga yang jumlah besar sudutnya kurang dari 180 0, maka setiap segitiga jumlah besar sudutnya juga kurang dari (1) Menurut Teorema 7.2 (geometri Lobachevsky) : Ada sebuah segitiga yang jumlah besar sudutnya kurang dari (2) Berdasarkan (1) dan (2) maka jumlah besar sudut setiap segitiga kurang dari Akibat 1 Teorema 7.3 Jumlah besar sudut-sudut dalam segiempat kurang dari Akibat 2 Teorema 7.3 Tidak ada persegipanjang. Meskipun Teorema 7.3 tersebut berbeda dengan teorema serupa pada geometri Euclides, mungkin anda masih tetap berasumsi bahwa jumlah besar sudut suatu segitiga itu konstan, seperti pada geometri Euclides. Hal ini tidak mungkin pada geometri Lobachevsky, di mana jumlah besar sudut suatu segitiga bervariasi antara 0 0 dan Diskusikan Buktikan bahwa ada dua segitiga dengan jumlah besar sudut yang berbeda. Dapatkah anda menjumpai lebih dari dua? Pengantar Geometri Non-Euclides/ 205

16 (Petunjuk : Gunakan bukti tak langsung). E. Adakah segitiga-segitiga yang sebangun dalam geometri Lobachevsky? Berikut ini akan ditunjukkan bahwa segitigasegitiga yang sebangun tidak ada dalam geometri Lobachevsky, tetapi yang ada hanyalah segitigasegitiga yang kongruen. Hal ini sesuai dengan teorema berikut ini. Teorema 7.4 Dua segitiga dikatakan kongruen jika sudut-sudut yang bersesuaian sama. A A B C B C B C Bukti : Andaikan teorema 4 salah. Berarti ada dua segitiga, misal ABC dan A B C sedemikian hingga : A = A, B = B, C tetapi kedua segitiga tersebut tidak kongruen. Jadi AB A B (Jika AB = A B tentu kedua segitiga tersebut kongruen dengan sd-ss-sd). Demikian pula jika AC A C dan BC B C. 206 /Pengantar Geometri Non-Euclides

17 Perhatikan tripel segmen AB, AC, BC dan A B, A C, B C. Salah satu dari tripel segmen tersebut pasti terdiri atas dua segmen yang lebih besar dari dua segmen yang bersesuaian dari tripel yang lain. Akibatnya, kita dapat memisalkan AB > A B dan AC > A C. Selanjutnya tentukan titik B pada AB dan C pada AC sedemikian hingga A B = AB dan A B = AC Jadi AB C kongruen A B B. Akibatnya : BB C = B = B. Berarti BB C adalah suplemen B dan B C C adalah suplemen C, dengan demikian segiempat BB C C mempunyai jumlah besar sudut sama dengan (bertentangan dengan akibat 1 teorema 7.3). Di sini telah kita lihat perbedaannya dengan geometri Euclides. Sesuai dengan Teorema 7.4, dalam geometri Lobachevsky tidak ada teori tentang gambargambar sebangun yang didasarkan pada definisi biasa, karena jika dua segitiga sebangun maka sudut-sudut yang bersesuaian sama, dan oleh karena itu kedua segitiga pasti kongruen. Secara umum, dua gambar yang sebangun pasti kongruen, dan juga mempunyai ukuran yang sama. F. Teori Luas Lobachevsky Ukuran luas dalam geometri Lobachevsky berbeda dengan geometri Euclides yang menggunakan satuan luas persegi, karena persegi tidak ada dalam geometri Lobachevsky. Untuk perhitungan besarnya luas dapat digunakan metode perhitungan besarnya luas dapat digunakan metode perhitungan integral dan Pengantar Geometri Non-Euclides/ 207

18 metode pendekatan tertentu. Untuk penyederhanaan, kita batasi dengan luas segitiga saja. Tanpa memperhatikan bagaimana luas didefinisikan yang pasti luas memiliki sifat-sifat berikut : a) kepositifan: Setiap segitiga ditentukan secara tunggal oleh bilangan positif yang dinamakan luasnya. b) invariansi terhadap kongruensi : segitiga-segitiga yang kongruen memiliki luas yang sama. c) sifat aditif (penambahan) : Jika segitiga T dibelah menjadi segitiga T1 dan T2, maka luas T adalah jumlah luas T1 dan T2. Akibatnya, setiap pengukuran luas menentukan fungsi bernilai real yang didefinisikan pada semua segitiga yang memenuhi sifat a), b), dan c). Hal ini menunjukkan bahwa kita definisikan konsep pengukuran luas atau fungsi luas pada segitiga yang mempunyai ketiga sifat tersebut, lepas dari proses pengukurannya. Jadi kita tentuan definisi berikut. Definisi 7.1 Perhatikan suatu fungsi yang memasangkan setiap segitiga dengan bilangan real tertentu sedemikian hingga sifat a), b) dan c) terpenuhi. Fungsi tersebut dinamakan fungsi luas atau ukuran luas (untuk segitiga). Jika adalah fungsi semacam itu dan ABC adalah segitiga, maka (ABC) menyatakan suatu nilai yang dipasangkan oleh dengan segitiga ABC, dan disebut luas atau ukuran segitiga ABC yang ditetapkan oleh. Sudah tentu definisi di atas tidak terbatas pada geometri Lobachevsky saja; tapi juga berlaku untuk 208 /Pengantar Geometri Non-Euclides

19 sebarang geometri netral. Dalam geometri Euclides 1 telah kita kenal rumus luas segitiga (= a.t) yang 2 menghasilkan sebuah fungsi luas, dengan memasangkan setiap segitiga dengan bilangan 2 1 x alas x tingginya. Kita lanjutkan dengan mengamati sifat aditif c) dari fungsi luas, yang dapat dikembangkan sampai sejumlah suku-suku yang berhingga. Teorema 7.5 (Penjumlahan berhingga) Misalkan sebuah segitiga dipecah menjadi suatu himpunan berhingga segitiga-segitiga yang tidak saling menutupi 1, 2,, n. Maka fungsi luas nya : ( ) = ( 1) + ( 2) +. + ( n). Hasilnya akan sama pentingnya baik pada geometri Euclides maupun geometri Lobachevsky. Kita kenalkan idea fungsi luas dalam geometri Lobachevsky tanpa memberikan suatu contoh tertentu. Ada suatu contoh yang hanya penting dan dikenal pada geometri Euclides, tetapi umumnya dinyatakan dalam sudutsudut segitiga. Secara formal kita nyatakan definisi berikut. Definisi 7.2: Defect ABC adalah 180 ( A + B + C). Di sini A, B, C, diambil dari besar derajat dari sudutsudut yang dimaksud. Jadi defect suatu segitiga adalah bilangan real bukan bilangan derajat. Defect suatu segitiga berlaku seperti pengukuran luas : Pengantar Geometri Non-Euclides/ 209

20 Teorema 7.6 Defect adalah fungsi luas pada segitiga. Bukti : Sesuai dengan Teorema 7.3, sifat a) berlaku, sifat b) juga memenuhi, karena segitiga-segitiga yang kongruen mempunyai sudut-sudut yang bersesuaian sama, sehingga jumlah sudutnya sama dan defectnya juga sama. A B D C Untuk menyelidiki sifat c) misalkan diketahui ABC, dan D suatu titik pada BC sedemikian hingga AD memecah ABC menjadi ABD, dan ADC. Jumlah defect kedua segitiga ini adalah : 180 ( BAD + B + BDA) ( CAD + C + CDA). Dengan menyusun kembali, dan memperhatikan bahwa BDA + CDA = 180, kita dapatkan jumlah defect kedua segitiga tersebut adalah ( BAD + CAD + B + C). = ( BAC + B + C). yang merupakan defect ABC. Teorema di atas menunjukkan bahwa fungsi luas ada. Kita tentunya heran jika ada fungsi luas yang lain, dan seberapa banyak variasinya. Metode pembuatan fungsi luas yang baru akan diberikan pada 210 /Pengantar Geometri Non-Euclides

21 teorema berikut, yang merupakan akibat langsung dari definisi fungsi luas. Teorema 7.7 Perkalian fungsi luas dengan bilangan positif juga menghasilkan fungsi luas. Perkalian fungsi luas dengan bilangan positif mengakibatkan perubahan satuan ukurannya (yakni : sebarang segitiga mempunyai ukuran 1), tetapi tidak mengubah ratio ukuran segitiganya. Jika kita memakai satuan yang berbeda untuk ukuran sudut dan mendefinisikan defec dengan cara alami, kita akan memperoleh perkalian suatu defect dengan konstanta seperti yang kita definisikan semula. Sebagai contoh, misalkan kita ubah satuan sudut dari derajat ke menit. Maka hal tersebut akan menyebabkan dua macam peruahan : (1) setiap ukuran sudut harus dikalikan dengan 60. (2) angka kunci 180 harus diganti dengan 60 kali 180 atau Jadi definisi yang tepat untuk defect adalah 60 kali defect yang kita definisikan semula. Sayangnya teorema terakhir tidak menjawab pertanyaan kita tentang macam-macam fungsi luas yang mungkin. Kita bahas kemungkinan fungsi luas yang bukan merupakan perkalian defect dengan suatu konstanta. Kita mungkin merasa bahwa defect akan dibuang dan bukan merupakan fungsi luas tertentu, sementara fungsi luas yang lain mungkin diperoleh secara tidak proporsional terhadap defect. Jika hal itu yang terjadi, maka akan ada dua segitiga yang Pengantar Geometri Non-Euclides/ 211

22 mempunyai luas yang sama karena ditentukan oleh suatu fungsi luas tertentu, dan mempunyai luas yang tidak sama oleh fungsi luas yang lain. Dalam praktiknya, hal ini mungkin meresahkan : harga sebuah rumah yang bergantung pada sistem ukuran yang digunakannya. Untungnya, hal seperti itu tidak pernah terjadi dalam geometri Lobachevsky. Contoh 7.1 Jika diketahui ABC dan PQR di dalam ABC, buktikan bahwa defect ABC > defect PQR Bukti : Buat Segitiga ABC A P C R Q B Hubungkan titik A pada ABC dengan titik P pada PQR. Hubungkan titik A pada ABC dengan titik Q pada PQR Hubungkan titik B pada ABC dengan titik Q pada PQR Hubungkan titik B pada ABC dengan titik R pada PQR Hubungkan titik C pada ABC dengan titik R pada PQR Hubungkan titik C pada ABC dengan titik P pada PQR Berdasarkan Teorema 7.3 ABC : A3 + B1 + Q2 < 180 BQR : B2 + Q3 + R1 < 180 BCR : B3 + R2 + C1 < 180 CPR : C2+ P4 + R3 < 180 CPA : C3 + A1 + P1 < /Pengantar Geometri Non-Euclides

23 APQ : A2 + P2 + Q1 < 180 A123 + B123 + C123 + Q123 + R123+ P124 < A + B + C + P124+ Q123 + R123 < A + B + C < ( P124+ Q123 + R123) A + B + C < [(360- P3)+(360- Q4) +(360- R4)] A + B + C < P3 + Q4 + R4 A + B + C < P3 + Q4 + R4 - ( A + B + C) > ( P3 + Q4 + R4) Defect ABC > defect PQR. Terbukti Teorema 7.8 Sebarang dua fungsi luas adalah proporsional. Buktinya tidak dibahas, karena agak sulit dan memang merupakan bagian dari mata kuliah Analisis Real. Jika kita lihat teorema 7.6 dan 7.8, sangat mungkin mendefinisikan luas segitiga dengan menggunakan defectnya; dengan mengabaikan faktor proporsionalnya. Menarik untuk diperhatikan bahwa dalam geometri Euclides tiga-dimensi, jumlah sudut segitiga bola adalah lebih besar dari 180 0, dan luas segitiga bola didefinisikan sebagai kelebihannya, yakni jumlah derajat ukuran sudut-sudutnya dikurang 180. Kita dapat menyimpulkan bahwa teorema 7.8 juga benar untuk geometri Euclides dan diperlukan untuk memvalidasikan teori luas Euclides yang sudah kita kenal itu. Pengantar Geometri Non-Euclides/ 213

24 G. Garis-Garis Yang Sejajar Dan Sama Jaraknya Dalam geometri Euclides, ciri penting dari dua garis yang sejajar adalah bahwa kedua garis itu jaraknya sama di mana-mana. Hal itu tidak ada dalam geometri Lobachevsky, sesuai dengan teorema berikut ini. Teorema 7.9 Tidak ada dua garis sejajar yang jaraknya sama di mana-mana. A B C l A B C l Bukti: Akan kita tunjukkan bahwa untuk sebarang dua garis l dan l, maka tidak ada tiga titik di l yang jaraknya sama dari titik di l. Misalkan A, B, dan C adalah tiga titik berbeda pada l, dengan B di antara A dan C. Dari A, B, dan C tarik garis tegaklurus ke l, yang masing-masing memotong l di A, B dan C. Misalkan AA = BB = CC. Dari AA = BB, AA B = BB A dan A B = B A Jadi : AA B BB A. Akibatnya AB = BA 214 /Pengantar Geometri Non-Euclides

25 Karena BB = AA dan BA = AB maka AB B BA A. Akibatnya : A AB = B BA (1) yang berarti sudut-sudut atas (summit) segiempat AA B B adalah sama. Dengan cara dan alasan yang sama, dapat pula diterapkan pada segiempat CC B B, yang mengakibatkan : C CB = B BC (2) dengan menjumlahkan (1) dan (2) diperoleh : A AB + C CB = B BA + B BC = Jadi jumlah besar sudut dalam segiempat AA C C adalah yang bertentangan dengan akibat 1 Teorema 6.3. Dengan demikian pemisalan salah, dan yang benar adalah Teorema 7.9. Kita simpulkan bagian ini dengan diskusi tentang jenis-jenis pasangan garis-garis sejajar. Sesuai bukti teorema di atas: jika dua garis sejajar, maka hanya ada dua hal yang mungkin : (1) ada dua titik pada garis yang satu yang jaraknya sama dari garis yang lain. (2) tidak ada dua titik pada garis yang satu yang jaraknya sama dari garis yang lain. Masalah (1) terjadi jika dan hanya jika kedua garis itu punya garis tegaklurus persekutuan. Dalam hal ini kedua garis tersebut memencar (divergen) sampai tak berhingga baik di sebelah kiri maupun di sebelah kanan garis tegaklurus persekuruannya. Pengantar Geometri Non-Euclides/ 215

26 Sedangkan (2) terjadi jika salah satu garis tersebut merupakan asimptot dari garis yang lain. m Teorema 7.10 P S Q R l Dalam geometri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Euclides, maka ada sebuah persegipanjang. Misalkan diketahui garis l dan titik P. PQ tegaklurus dengan l di Q. Pilih titik R (yang berbeda dengan Q) yang terletak di l. Buatlah garis m yang tegaklurus dengan l di R. Buatlah garis melalui P yang tegaklurus m di S. Maka kita dapatkan segiempat PQRS dengan sudut Q, R, S yang masing-masing siku-siku. Akan dibuktikan PQRS persegipanjang. Bukti : Karena PS dan l keduanya tegaklurus terhadap m, maka PS sejajar l (akibat 1 teorema 2 geometri netral). Karena PS dan l memenuhi sifat kesejajaran Euclides, maka PS satu-satunya garis yang melalui P yang sejajar l (akibat 3 teorema 2 geometri netral). PQ tegaklurus l di Q dan PS sejajar l, maka PQ tegaklurus PS di P. Jadi segiempat PQRS adalah persegipanjang. 216 /Pengantar Geometri Non-Euclides

27 Akibat Teorema 7.10 Dalam geometri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Euclides maka setiap segitiga jumlah sudutnya adalah Bukti : Menurut Teorema 7.10: jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Euclides maka ada sebuah persegipanjang. Sedangkan menurut Teorema 7.5: jika ada sebuah persegipanjang maka setiap segitiga jumlah sudutnya adalah Dengan menggunakan prinsip silogisma dapat disimpulkan bahwa : Jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Euclides maka setiap segitiga jumlah sudutnya adalah Sekarang, perhatikan implikasi dari sifat kesejajaran Lobachevsky berikut. Teorema 7.11 Dalam geometri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky maka ada segitiga yang jumlah sudutnya kurang dari Bukti : Teorema ini sesungguhnya sesuai dengan teorema 2 yang telah dibuktikan. Jadi bukti teorema ini juga bisa menggunakan bukti teorema tersebut. Akibat teorema 7.11 Dalam geometri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Pengantar Geometri Non-Euclides/ 217

28 Lobachevsky maka setiap segitiga jumlah sudutnya kurang dari Bukti : Menurut Teorema 7.11: Dalam geometri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky maka ada segitiga yang jumlah sudutnya kurang dari Menurut akibat 2 Teorema 7.6 : Jika ada sebuah segitiga yang jumlahnya kurang dari maka setiap segitiga jumlah sudutnya kurang dari Berdasarkan prinsip silogisme dapat disimpulkan bahwa : Jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky maka setiap segitiga jumlah sudutnya kurang dari Teorema 7.12 Dalam geometri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky maka setiap garis dan setiap titik luarnya tentu memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky, yang berarti geometrinya adalah geometri Euclides. Bukti : Andaikan Teorema 7.12 salah. Berarti ada satu garis dan satu titik yang memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky. Menurut akibat Teorema 7.11, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky maka setiap segitiga jumlah sudutnya kurang dari Tetapi menurut akibat Teorema 7.10, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat 218 /Pengantar Geometri Non-Euclides

29 kesejajaran Euclides maka setiap segitiga jumlah sudutnya adalah Terjadi kontradiksi, maka pengandaian salah, berati teorema 7.12 benar. Akibat 1 teorema 7.12 Dalam geometri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky maka setiap garis dan setiap titik luarnya tentu memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky, yang berarti geometrinya adalah geometri Lobachevsky. Bukti : Misal diketahui garis l dan titik P memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky. Misalkan l sebarang garis dan P sebarang titik yang tidak dapat memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky. Berarti hal ini kontradiksi dengan teorema Akibat 2 teorema 7.12 Setiap geometri netral tentu merupakan geometri Euclides atau geometri Lobachevsky. Akibat 3 teorema 7.12 Suatu geometri netral merupakan geometri Euclides atau geometri Lobachevsky, yang berarti jumlah sudut segitiganya adalah sama dengan atau kurang dari Bukti : Dalam geometri netral, misalkan ada sebuah seigita yang memiliki jumlah sudut Maka geometri tersebut tidak mungkin merupakan geometri Lobachevsky, dan oleh karena itu tentu merupakan geometri Euclides (menurut akibat 2 teorema 7.12). Begitu pula dalam kasus yang lain. Pengantar Geometri Non-Euclides/ 219

30 Akibat 4 teorema 7.12 Suatu geometri netral yang memuat persegi panjang, tentu merupakan geometri Euclides. H. Pengenalan Geometri Elliptik Geometri Non-Euclides memuat Geometri Hiperbolik dan Geometri elliptik. Anda telah mempelajari Geometri Hiperbolik dari Gauss, Bolyai dan Lobachevsky yang sering disebut dengan Geometri Lobachevsky, sedang Geometri Elliptik yang akan Anda pelajari terkenal dengan Geometri Rieman.. Bernhard Riemann ( ) dari Jerman dalam tahun 1854 membacakan disertasinya tentang penemuannya yang baru di Fakultas Filsafat Gottingen. Ia mulai dengan asumsi : Garis-garis Euclides maupun dari Geometri Hiperbolik. Postulat Kesejajaran dari Riemann ialah : Tidak ada garis-garis yang sejajar dengan garis lain. Jadi dua garis selalu berpotongan dan tidak ada dua garis sejajar. Untuk mencari letak perbedaan utama teori Riemann dengan teori Euclides, maka kita ingatkan bahwa garis tidak berhingga biasanya dipakai untuk membuktikan adanya dua garis sejajar, yaitu suatu teorema dalam geometri Euclides sebagai berikut. Teorema 7.13 Dua garis tegaklurus pada satu garis yang sama adalah sejajar. Diketahui : garis itu l dan m yang tegaklurus pada n Akan dibutikan l dan m sejajar. C l m m Bukti : n B 220 /Pengantar Geometri Non-Euclides A n A B C

31 Andaikan l dan m tidak sejajar, maka garis l dan m berpotongan di C Pernyataan CA diperpanjang dengan AC = CA Alasan suatu segmen boleh diper-panjang dua kali. Dilukis C B dua titik menentukan 1 garis ABC ABC s, sd, s ABC = ABC unsur yang berkorespondensi Jadi, ABC = 90 0 = ABC, BC dan BC tegaklurus pada AB. BC dan BC berimpit melalui l titik pada suatu garis hanya ada l garis yang tegaklurus garis itu Jadi, AC dan BC atau garis l dan m mempunyai titik C dan C yang berimpit. Terdapat pertentangan dengan ketentuan, bahwa l dan m berlainan. Jadi pengandaian salah, berarti l dan m sejajar. Jika postulat Riemann harus berlaku, maka tentu ada yang salah dalam bukti di atas yang menyebabkan hasil yang berbeda. Kiranya langkah ke- 6 yang menyebabkan itu. Dalam bukti ini Euclides secara diam-diam menggunakan prinsip pemisahan ( separation principle ), yaitu bahwa setiap garis membagi bidang dalam 2 setengah bidang (2 daerah), yang tidak mempunyai titik persekutuan. Jadi dalam langkah pertama telah dianggap, bahwa C dan C berlainan. Jika prinsip pemisahan tidak digunakan, maka C dan C dapat berimpit dan bukti teorema di atas Pengantar Geometri Non-Euclides/ 221

32 kurang benar. Jika prinsip pemisahan tetap digunakan, C dan C harus berlainan. Kontradiksi dalam langkah 6 dapat dihilangkan, jika kita meninggalkan prinsip, bahwa dua titik menentukan l garis dan memungkinkan dua garis berpotongan pada dua titik. Hal ini menghasilkan teori baru. Maka timbul 2 kemungkinan : 1) setiap 2 garis berpotongan pada 1 titik dan tidak ada garis yang memisahkan suatu bidang (tidak menggunakan prinsip pemisahan) 2) setiap 2 garis berpotongan pada 2 titik dan setiap garis memisahkan bidang (menggunakan prinsip pemisahan). Euclides telah menggunakan prinsip, bahwa setiap 2 garis berpotongan pada 1 titik dan setiap garis memisahkan suatu bidang (menggunakan prinsip pemisahan). Maka kemungkinan pertama menghasilkan Geometri Single elliptic dan kemungkinan kedua menghasilkan Geometri double elliptic. Kata elliptik dididasarkan atas Klasifikasi Geometri Proyektif. Geometri Lobachevsky disebut Geometri Hiperbolik, mengingat bahwa melalui 1 titik diluar suatu garis dapat dibuat 2 garis yang sejajar garis tersebut. Geometri Euclides disebut Geometri Parabolik, mengingat bahwa hanya ada 1 garis yang sejajar garis tersebut dan Geometri Riemann disebut Elliptik karena tidak ada garis yang dapat dibuat sejajar garis tersebut. Geometri Riemann berguna sekali dalam Matematika dan Fisika Terapan ( applied Mathematics and Physics ) dan merupakan dasar matematik dari teori relativitas dari Einstein. 222 /Pengantar Geometri Non-Euclides

33 Untuk dapat mudah memahami teorema-teorema berikut, maka sebagai model dari geometri double elliptic ialah bola dan dari Geometri single elliptic suatu setengah bola. Dua garis berpotongan pada 2 titik; setiap garis memisahkan bidang menjadi 2 setengah bidang. Dua garis berpotongan pada 1 titik garis tidak memisahkan bidang menjadi 2 setengah bidang; 2 titik yang diametral dianggap sebagai 1 titik Penyajian Geometri double elliptic pada bola Euclides Titik garis bidang segmen Jarak antara 2 titik titik pada bola S lingkaran besar bola S bola S busur dari suatu lingkaran besar S panjang busur terpendek dari lingkaran besar S yang melalui kedua titik itu Pengantar Geometri Non-Euclides/ 223

34 Sudut antara 2 garis Ukuran sudut sudut pada bola (yang dibentuk oleh dua lingkaran besar) ukuran sudut pada bola Dapat dipahami, bahwa urutan tidak berlaku pada Geometri double elliptic, artinya [ABC] dapat sama dengan [BCA]. Dalam Geometri Elliptic tetap berlaku, bahwa melalui satu titik pada suatu garis hanya dapat dibuat 1 garis yang tegaklurus garis tersebut. Tetapi hal ini tidak berlaku, jika titiknya di luar garis tersebut. Untuk setiap garis l ada katub K sedemikian, hingga semua garis melalui K tegaklurus pada 1 (gambarannya seperti semua meridian melalui kutub tegaklurus pada ekuator atau khatulistiwa). Sifat kutub. Misalkan l suatu garis. Maka ada suatu titik K, yang disebut kutup dari l sedemikian, hingga : a) setiap segmen yang menghubungkan K dengan suatu titik pada l tegak lurus pada l. b) K berjarak sama dari setiap titik pada l Jarak K sampai sebarang titik pada l disebut jarak polar. Jarak polar suatu kutub sampai garisnya adalah konstan, demikian pula panjang suatu garis. Teorema-teorema dasar yang berlaku untuk Geometri Elliptic Teorema 7.14 Dua garis yang tegaklurus pada suatu garis bertemu pada suatu titik. 224 /Pengantar Geometri Non-Euclides

35 Teorema 7.15 Semua garis yang tegak lurus pada suatu garis, berpotongan pada titik yang disebut kutup dari garis itu dan sebaliknya setiap garis melalui kutub suatu garis tegaklurus pada garis itu. Teorema 7.16 Dalam sebarang segitiga ABC dengan C = 90 0, sudut A kurang dari sama dengan atau lebih besar dari 90 0, tergantung dari segmen BC kurang dari, sama dengan atau lebih besar dari jarak polar q. Teorema 7.17 Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga lebih besar dari Teorema 7.18 Jumlah besar sudut-sudut suatu segiempat lebih besar dari Teorema 7.19 Sudut-sudut puncak dari segiempat Saccheri sama dan tumpul. Teorema 7.20 Dalam segiempat Lambert ABCD dengan A = B = C = 90 0, maka sudut keempat D tumpul. Teorema 7.21 Tidak ada persegi dalam Geometri Elliptic. Teorema 7.22 Dua segitiga yang sebangun adalah kongruen. Teorema-teorema, di atas tidak kita buktikan di sini, tetapi dapat kita yakini dengan menggunakan model. Pengantar Geometri Non-Euclides/ 225

36 Dalam geometri Hiperbolik luas suatu segitiga adalah kelipatan dari defeknya. Maka dalam Geometri Elliptik luas suatu segitiga adalah kelipatan konstan dari ekses ( excess ) nyata, yaitu : = (A + B + C 180) atau = (A + B + C ) tergantung dari satuan-satuan yang dipakai. Contoh 7.2 Diketahui ABCD segiempat Saccheri, AB = DC ; AE = ED ; BF = FC ; EF AD dan EF BC karena garis EF adalah persekutuan dari segiempat Saccheri ABCD atau karena setiap garis yang melalui kutub G garis g dan n ABFE dan CDEF segiempat Lambert. GB = GC = G 1 B = G 1 C = jarak polar juga GF GBF dan GCF sama kaki GAD sama kaki karena GB, GC jarak polar artinya setiap titik di g memiliki jarak yang sama dengan titik kutub G dan ABCD adalah GAD sama kaki karena segiempat Saccheri dengan AB = CD sehingga GA = GA GD = BG AB GD = GC - CD GA = GD (jarak polar karena GA = GB AB dan GD = GC CD Mengakibatkan D1 = A1 lancip karena ABFE adalah Lambert dengan B = F = E = 90 0 Berdasarkan Teorema 7.5 Geometri Elipthik besar sudut segiempat > 260, sehingga disimpulkan : E > 90 0 (tumpul) Karena A2 saling berpelurus dengan A1 Untuk D1 lancip (alasannya analog dengan di atas menggunakan CDEF) 226 /Pengantar Geometri Non-Euclides

37 Maka AB < EF karena A2 tumpul Berdasarkan teorema, bahwa panjang sisi dihadapannya (EF) lebih panjang sisi AB. AE < BF karena dengan memperhatikan segiempat ABEF A2 tumpul berdasarkan teorema, bahwa sisi di depannya (BF) lebih panjang di banding AE LATIHAN Buktikan : a. sisi atas (summit) suatu segiempat Saccheri adalah lebih besar dari sisi alasnya. b. sudut atasnya lancip c. segmen yang menghubungkan titiktitik tengah dari sisi atas dan sisi alasnya lebih kecil dari kakinya. 2. Buktikan jika dua segiempat Saccheri mempunyai panjang sisi alas sama dan panjang kaki sama maka kedua segiempat itu kongruen. 3. Buktikan jika dua segiempat Saccheri mempunyai panjang sisi alas sama dan sudut atas sama maka kedua segiempat itu kongruen. 4. Buktikan jika dua segiempat Saccheri mempunyai panjang sisi atas sama dan sudut sama maka kedua segiempat itu kongruen. 5. Buktikan jika dua segitiga mempunyai defect yang sama, dan sebuah sisi dari kedua segitiga itu sama, maka kedua segitiga itu ekivalen. 6. Buktikan jika dua segitiga mempunyai defect yang sama maka kedua segitiga itu ekivalen. 7. Misalkan diketahui : PQ l di Q, PR / / l, QPR lancip. Pengantar Geometri Non-Euclides/ 227

38 R terletak berlawanan dari sisi PQ terhadap R sehingga QPR = QPR. Buktikan : PR / / l. 8. Buktikan segmen garis yang menghubungkan titiktitik tengah dari dua sisi segitiga adalah lebih kecil dari setengah dari sisi ketiganya. 9. Misalkan : A, B, C adalah titik-titik pada l, dengan B terletak di antara A dan C. A, B, C adalah titik-titkk pada l sedemikian hingga AA, BB, CC tegak lurus l, dan AA jika tegaklurus l. Buktikan bahwa AA < BB < CC Simpulkan bahwa jika dua garis mempunyai dua garis tegaklurus persekutuan, maka kedua garis itu divergen (memencar) pada kedua sisi yang tegak lurus tersebut. 10. Buktikan bahwa ada batas atas untuk luas semua segitiga. 11. Buktikan bahwa ada segitiga dengan defect kurang dari suatu bilangan positif tertentu. 12. Jika titik P terletak di dalam ABC, buktikan : defect (ABC) = defect (PAB) + defect (PBC) + defect (PAC). 13. Jika P, Q, R terletak pada sisi AB, BC, CA dari ABC buktikan: Defect (ABC) = defect (APR) + defect (BQP) + defect (CRQ) + defect (PQR). 14. Jika diketahui ABC, maka buktikan bahwa ada A B C yang ekivalen dengan ABC dan mempunyai jumlah sudut yang sama, dengan A < 21 A dan A + B = A. 228 /Pengantar Geometri Non-Euclides

39 15. Jika diketahui ABC. Buktikan bahwa ada A B C yang ekivalen dengan ABC dan mempunyai jumlah sudut yang sama, sedemikian hingga A < 21 A dan A + B = A. 16. Buktikan : sebarang segitiga siku-siku dapat diduakalikan ; yakni ada segitiga yang luas (defect)nya dua kali segitiga tersebut. 17. Buktikan : sebarang segitiga siku-siku dapat diparoh yakni ada segitiga yang luas (defect)nya separoh segitiga tersbut. 18. Jika diketahui dua buah segitiga, maka buktikan bahwa ada segitiga yang luas (defect)nya rata-rata dari luas kedua segitiga tersebut. LATIHAN 7.2 Jika model dari Geometri double elliptik adalah sebuah bola, maka : 1) Berikan gambaran dari teorema 3 2) Berikan juga gambaran teorema 4 3) Berikan juga gambaran teorema 6 4) Bandingkan teorema 4 dengan teorema serupa untuk Geometri Hiperbolik dan Geometri Euclides. 5) Bandingkan pula segiempat Saccheri dalam Geometri Elliptik dengan yang dalam Geometri Hiperbolik dan geometri Euclides. Pengantar Geometri Non-Euclides/ 229