BAB III MASALAH GEOMETRI DAN PEMECAHANNYA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB III MASALAH GEOMETRI DAN PEMECAHANNYA"

Transkripsi

1 BB III MSLH GEOMETRI N PEMECHNNY Menurut Posamentier dan Stepelmen (1986), masalah dalam geometri mencakup: 1. Membuktikan teorema atau berbagai akibat situasi geometri secara sistematis a. menggunakan geometri Euclides. b. menggunakan aljabar, aritmetika, geometri analitik, atau vektor.. Melukis bangun.. Menentukan ukuran unsur geometri dalam situasi yang problematik. Menurut Polya, yang kedua dan ketiga memiliki kesamaan: yaitu menentukan sesuatu berupa lukisan, atau hasil perhitungan. Secara umum strategi pemecahan masalah geometri sama dengan yang telah dikemukakan pada Bab II. Namun secara khusus perlu diperhatikan hal-hal sebagai berikut. 1. Pada pembuktian sering digunakan dasar-dasar analisis, yang dalam pelaksanaannya juga memuat strategi bergerak dari belakang.. Pada masalah geometri, gambar seringkali tidak cukup hanya dituangkan dari halhal yang telah diketahui dari masalahnya. Seringkali diperlukan adanya garis-garis pertolongan yang perlu dibuat untuk menjembatani hipotesis dan konklusinya.. Karena dalam penyelesaian masalah geometri sering tidak terlepas dari aritmetika dan aljabar (termasuk geometri analitik dan geometri transformasi), maka pengetahuan dasar dan keterampilan penerapan aritmetika dan aljabar perlu dimiliki pemecah masalah geometri. B. Masalah Pembuktian Salah satu cara membuktikan kebenaran suatu pernyataan dikenal dengan metode analitik (Posamentier dan Stepelmen,1986:117), yang menjembatani masalah yang muncul antara hipotesis dan konklusi. Metode ini memuat serangkaian langkah mun-dur yang berawal konklusi dan berakhir pada hipotesis. engan kata lain, keseluruhan bukti dapat dikonstruksi dengan berawal dari konklusi dan pemecah masalah mengaju-kan pertanyaan: Langkah sebelumnya yang bagaimanakah yang menghasilkan langkah atau tahapan ini? Setelah memperoleh jawabnya, pertanyaan yang sama diajukan lagi yang terkait dengan jawaban yang baru saja diperoleh, sampai seluruh langkah dengan urutan logis hingga menemukan jawabnya secara terbalik. Setelah sampai pada hipotesisnya, buktinya LKRIS: PPM

2 dituliskan secara terbalik dari pemikiran analisisnya tadi, sehingga cara ini sering dikenal sebagai strategi bergerak dari belakang. Tiga langkah penting dalam menggunakan analisis adalah: 1. Menganalisis hipotesis: Sketsa atau yang dibuat hendaknya mendekati atau tepat sama dengan kenyataan masalahnya. Beri nama-nama dan tanda-tanda/simbolsimbol yang sesuai (titik sudut, sudut yang siku atau yang sama, ruas garis yang sama panjang, garis-garis yang sejajar dan sebagainya). Gambar yang baik akan mempermudah dalam menganalisis masalahnya.. Menganalisis konklusi atau kesimpulan (yang hendak dibuktikan): Perhatikan konklusinya, dan bagaimana akan sampai ke kesimpulan itu, atau langkah-langkah apa saja yang menuntun paling dekat ke arah konklusi itu. Sangat membantu kiranya jika pemecah masalah mempertimbangkan pengalaman konklusi serupa yang pernah digunakan atau diperoleh dalam masalah lain. Kemudian majulah selangkah hal-hal atau apa saja sebelumnya yang dapat menuntun ke hal yang terdekat pada konklusi tersebut.. Menemukan hubungan antara hipotesis dan konklusi. alam memperoleh hubungan ini berbagai sifat, teorema, strategi dan teknik penyelesaian yang sebelumnya pernah dipelajari perlu dikuasai secara lengkap dan dapat segera diterapkan dalam menganalisis hubungan yang mungkin ada. Contoh 1: Jika panjang sisi-sisi suatu segitiga adalah a, b, dan c, buktikanlah bahwa: (ab + bc + ca) (a + b + c) < 4(ab + bc + ca) Karena tidak jelas mulai dari mana hubungan-hubungan itu muncul, maka salah satu cara ialah melihat dari belakang atau melihat hasil. Perhatikan pertidaksamaan pertama: (ab + bc + ca) (a + b + c) (ab + bc + ca) a + b + c + (ab + bc + ca) ab + bc + ca a + b + c a + b + c ab bc ca 0 a + b + c ab bc ca 0 (kedua ruas dikalikan ) (a ab + b ) + (b bc + c ) + (c ca + a ) 0 (a b) + (b c) + (c a) 0 LKRIS: PPM 004 0

3 Hal terakhir benar karena kuadrat bilangan real pasti non negatif. emikian juga jumlah beberapa kuadrat bilangan real pasti non negatif Karena itu untuk membuktikan kebenaran pertidaksamaan pertama (ruas kiri dan tengah), dilakukan sebagai berikut: Jika a, b, dan c panjang sisi-sisi segitiga, maka pastilah: (a b) 0 (b c) 0 (c a) 0 Jumlahnya: (a b) + (b c) + (c a) 0 (a ab + b ) + (b bc + c ) + (c ca + a ) 0 dan seterusnya menggunakan langkah dari bawah ke atas (dari belakang ke depan) pada analisis yang berupa bentuk-bentuk yang ekuivalen di atas, sehingga diperoleh bukti bahwa: (ab + bc + ca) (a + b + c) (1) engan cara sama, untuk membuktikan (a + b + c) < 4(ab + bc + ca), pertidaksamaan tersebut dijabarkan lebih dahulu: (a + b + c) < 4(ab + bc + ca) a + b + c + (ab + bc + ca) < 4(ab + bc + ca) a + b + c < (ab + bc + ca) a + b + c < a(b + c) + b(a + c) + c(b + a) Hal ini benar, karena dalam setiap segitiga dengan panjang sisi a, b, dan c, berlaku: a < (b + c) sehingga a < a(b + c) b < (a + c) sehingga b < b(a + c) c < (b + a) sehingga c < c(b + a) engan demikian maka untuk membuktikan kebenaran pertidaksamaan kedua (ruas tengah dan kanan), dimulai dengan: Untuk setiap segitiga dengan panjang sisi a, b, dan c, panjang sebuah sisi kurang dari jumlah panjang dua sisi lainnya, sehingga: a < (b + c) a < a(b + c) b < (a + c) b < b(a + c) c < (b + a) c < c(b + a) iperoleh: a + b + c < a(b + c) + b(a + c) + c(b + a), yang dengan bergerak dari belakang dari yang disajikan di atas diperoleh: (a + b + c) < 4(ab + bc + ca) () ari (1) dan () diperoleh bukti bahwa: (ab + bc + ca) (a + b + c) < 4(ab + bc + ca) LKRIS: PPM 004 1

4 Catatan: alam praktik pembuktian dengan cara ini, penjabaran (analisis) dari yang harus dibuktikan dikerjakan di luar tempat pengerjaan pembuktian. Contoh : Ruas garis B adalah sebuah talibusur sebuah lingkaran yang salah satu diameternya adalah ruas garis B ( ). Titik E adalah proyeksi titik pada B. Buktikanlah bahwa BE B = (B) ari masalah di atas, situasinya digambar: iketahui: Lingkaran (C, C ) E B Buktikan: BE B = (B) nalisis: B E C Gambar.1 1. BE B = (B) BE B dapat dibuktikan jika kita dapat menunjukkan bahwa =. B B. BE B = dapat dibuktikan jika kita dapat menunjukkan bahwa BE ~ B. B B engan demikian perlu ditarik ruas garis.. BE dapat dibuktikan sebangun dengan B jika dapat ditunjukkan bahwa mereka memiliki dua sudut sama besar (atau syarat kesebangunnan lainnya). 4. B adalah sudut persekutuan kedua segitiga. 5. BE dan B keduanya siku-siku. BE siku-siku karena titik E proyeksi titik pada B. B siku-siku karena menghadap busur setengah lingkaran (ingat, B diameter). Karena itu maka kesebangunan BE dan B dipenuhi. Tibalah pembuktiannya disajikan. Bukti: Tarik. B = 90 o, karena busur B adalah busur setengah lingkaran. Perhatikan BE dan B Gambar. B = B BE dan B sebangun (mempunyai sudut sama, berarti BE = B sudut sama) BE B kibat kesebangunan tersebut: = BE B = (B) (terbukti) B B B E C LKRIS: PPM 004

5 Kadang-kadang sulit untuk melakukan langkah-langkah terurut logis seperti yang dicontohkan di atas. Pemaksaan kadang dilakukan untuk membuktikan kebenaran, yaitu membawanya kepada situasi yang relevan. Tentu saja hal ini memerlukan pengetahuan geometri yang lebih luas, agar langkah yang ditempuh sungguh mengarah kepada penalaran yang benar sehingga kebenaran buktinya dapat dipertanggung jawabkan. Pemaksaan ini memberikan kemungkinan pemecahan masalah masih berada dalam lingkup geometri, tetapi juga dapat keluar melalui jalur lain, misalnya geometri analitik. Contoh Buktikanlah bahwa dalam setiap jajargenjang, jumlah kuadrat panjang diagonalnya sama dengan dua kali jumlah kuadrat panjang sisi-sinya. iketahui: jajargenjang BC. Buktikan : (C) + (B) = ((B) + () ) Bukti: Cara I t C t (Pemikiran awal: jumlah kuadrat panjang E B B F sisi terkait dengan teorema Pythagoras. Gambar. Karena itu maka masalahnya dipaksa dibawa ke segitiga siku-siku. Jadi perlu bantuan garis sehingga terjadi segitiga siku-siku). Tarik E dan CF tegaklurus B (lihat gambar) Misalkan E = BF = dan E = CF = t alam segitiga siku-siku BE: (B) = t + (B ) = t + (B) (B) +, dan pada segitiga siku-siku E t + = () ari kedua hubungan di atas didapat (B) = () + (B) (B) (*) Pada segitiga siku-siku CF: (C) = t + (B + ) = t + (B) + (B) +, Melalui substitusi t + = () didapat: (C) = () + (B) + (B) (**) ari penjumlahan kesamaan (*) dan (**) didapatkan: : (C) + (B) = ((B) + () ) (terbukti). Bukti: Cara II Y Jajargenjang BC diletakkan dalam sistem koordinat Kartesius. Jika koordinat, B dan berturutturut (0, 0), (a, 0), dan (b, c) maka (0, c) (b, c) C(b + a, c) X koordinat C adalah (b + a, c) O (0, 0) (b, 0) B(a, 0) (b + a, 0) Gambar.4 LKRIS: PPM 004

6 Karena bentuk kuadrat ruas garis terkait dengan rumus jarak antara dua titik, maka hubungan yang diperoleh adalah: (C) = ( C ) + (y C y ) = (b + a 0) + (c 0) = b + ab + a + c (B) = ( B ) + (y y B ) = (b a) + (c 0) = b ab + a + c (C) + (B) = (a + b + c ) (^) B = a, sehingga (B) = a (B) = ( B ) + (y y C ) = (b + a a) + (c c) = b + c Jika nilai (B) dan (B) digantikan pada (^) diperoleh: (C) + (B) = ((B) + (B )) (terbukti Contoh 4 Jika ketiga segiempat terkecil pada Gambar.5 adalah persegi-persegi yang kongruen, buktikanlah bahwa B C jumlah besar sudut B dan C adalah 45 o. Penalaran: Gambar.5 Tidak mudah untuk melakukan kegiatan bergerak dari belakang seperti pada contoh di atas. Namun memperhatikan tujuan pembuktian merupakan satu hal sangat penting. Perhatian pada tujuan dapat membantu mencari jembatan antara yang diketahui dan yang diminta untuk dibuktikan. Tujuan soal ini terkait dengan sudut 45 o. Pertanyaan yang muncul adalah dimana atau kapan sudut 45 o itu terjadi. Salah satu di antaranya adalah pada segitiga siku-siku samakaki. Karena itu perlu dibentuk suatu segitiga samakaki. Penjumlahan kedua sudut dapat dilakukan dengan memindahkan salah satu di antaranya. Cara yang dapat dilakukan adalah dengan pencerminan. ari kedua bahan jembatan di atas dapat disusun jembatan yang menghubungkan antara yang diketahui dan yang akan dibuktikan atau konklusinya, yaitu: Bagaimana dengan pencerminan dapat dibentuk suatu segitiga sama kaki. F B C Bukti: 1. Cerminkan C terhadap garis, diperoleh E besar C = E. Besar B + C = besar BE Gambar.6 E LKRIS: PPM 004 4

7 . Tarik BE FB dan BCE kongruen karena F = BC, F = C = 90 o, dan FB = CE. kibatnya BE = B (#) besar FB = CEB 4. Besar BE = 180 o FB CBE = 180 o ( FB + CBE) = 180 o 90 o = 90 o. (##) 5. ari (#) dan (##) didapat: BE siku-siku samakaki, sehingga besar BE = 45 o. 6. Jadi jumlah besar B + C = besar BE = 45 o. (terbukti). B. Masalah Menemukan alam masalah menemukan sesuatu dalam geometri (berupa lukisan atau bilangan), strategi umumnya seperti yang dikemukakan pada bagian pendahuluan bab ini, termasuk juga yang diuraikan pada Bab II. Masalah lukisan lebih banyak terkait dengan sifat-sifat yang berlaku dalam geometri, sedangkan dalam menemukan, selain konsep dan prinsip dalam geometri, sering memerlukan kemampuan dalam aritmetika dan aljabar. Contoh 1 Berapakah banyak diagonal sebuah segi-0? Masalah di atas diselesaikan secara induktif dengan pola. Menggambar sekaligus segi-0 beraturan beserta semua diagonalnya memuat kesulitan teknis, baik karena diperlukan gambar yang cukup besar dan penghitungan banyak diagonal yang sangat mungkin beberapa diagonal dihitung lebih dari sekali. Karena itu digunakan strategi menyederhanakan masalah. imulai dari poligon yang memiliki diagonal yaitu segi-4, kemudian segi-5, segi-6, dan segi-7 untuk memperoleh polanya. Perhatikan banyak diagonal pada segi-n berikut. segi-4 segi-5 segi-6 segi-7 Banyak diagonal: > 5 > 9 > Gambar.7 LKRIS: PPM 004 5

8 engan memperhatikan pola penambahannya, yaitu +, +4, +5, dan seterusnya, maka pada segi-0 terdapat 405 buah diagonal. Contoh Pada Gambar.8 di samping, segi-4-nya adalah persegi dengan panjang sisi 1 satuan dan garis lengkungnya masing-masing adalah busur seperempat lingkaran. Hitunglah luas daerah yang diarsir. Penyelesaian Gambar.8 lternatif 1 icari lebih dahulu separo gambar yang dimaksud, C sehingga diperoleh Gambar.9. Luas yang diarsir adalah setengah dari luas seperempat lingkaran berjari-jari 1, dipotong luas setengah persegi, yaitu 4 1 π 1 1 = 4 1 π 1. Luas seluruhnya yang diarsir = ( 4 1 π 1 ) = 1 π 1 Gambar.9 B lternatif Pengalaman menunjukkan, bahwa lternatif 1 adalah yang paling sering digunakan. Namun ada penyelesaian unik yang pernah dikemukakan siswa tetapi jarang ditemukan yaitu menggunakan pendekatan komplementer sebagai berikut. Yang dicari pertama adalah separo daerah tak terarsir, misal daerah tak terarsir BC pada Gambar.10, yang diperoleh dari luas daerah persegi, dikurangi dengan luas seperempat lingkaran berpusat. Hasilnya adalah 1 1 π. Berarti luas dua bagian 4 yang tak terarsir adalah (1 1 π.) = 1 π. 4 Luas daerah yang diarsir adalah komplemennya, yaitu luas persegi dikurangi yang tidak diarsir = 1 ( 1 π) = 1 π 1. LKRIS: PPM 004 6

9 lternatif C Seorang siswa yang tajam penglihatannya menemukan bahwa jika dihitung luas seperempat I lingkarannya, yaitu 1 π = 1 π, bagian II 4 II terhitung dua kali. Karena itu jika dikurangi dengan daerah tak terarsir, harus dikurangi lagi dengan daerah II (yang terarsir) yang tadi terhitung dua kali. Hal itu sama saja dengan mengurangi dengan luas Gambar.10 III B persegi. Jadi hasilnya adalah sama dengan luas dua buah seperempatan lingkaran ( 1 π) dikurangi luas persegi = 1 π 1. Contoh : alam BC, titik-titik P, Q, dan R berturutturut terletak pada sisi B, BC, dan C. P : PB = BQ : QC = CR : R = 1 :. Hitunglah perbandingan luas PQR : luas BC. Jawab: Tarik R BC dan E BC. engan demikian maka R E. alam CE, R E dan CR : C = 1 : 4. Luas Luas nalog: RQC BC = 1 1 Luas PR Luas BC R : E = CR : C = 1 : (1 + ) = 1 : 4 CQ R = CB E = 16 dan CQ R 1 = = CB E Luas Luas PBQ BC Jadi luas yang PQR = (1 16 ) Luas BC = 16 7 Luas BC tau: L PQR : L BC = 7 : 16. Catatan: 1) Untuk yang telah memahami bahwa: = 16 C {1} E R {} [] (1) P () Q [1] Gambar.11 B LKRIS: PPM 004 7

10 Jika dua segitiga mempunyai sebuah sudut sama besar maka perbandingan luasnya sebanding dengan perbandingan hasil kali panjang sisi-sisi yang mengapit sudut tersebut, maka pemecahan masalah di atas lebih dipermudah. Misal: PR dan BC bersudut sama yaitu sudut, Karena itu maka Luas PR P R = = Luas BC B C P R 1 = =. Hal yang sama dapat B C dikenakan terhadap segitiga-segitiga lainnya di luar PQR di dalam BC. ) kibat langsung dari hubungan di atas adalah, jika dua buah segitiga sebangun, maka perbandingan luasnya sebanding dengan perbandingan kuadrat panjang sebuah sisi seletaknya. ) Perbandingan luas tersebut dapat diperluas untuk setiap dua poligon sebangun. Perbandingan luas dua poligon sebangun sebanding dengan perbandingan kuadrat sebuah sisi seletaknya. Contoh 4: alam BC, B = 15, BC = 14, dan C = 1. garis tinggi dan garis bagi sudut B memotong di titik E. Hitung panjang E. (Soal ini mencakup substansi garis tinggi dan garis bagi suatu segitiga). iketahui: BC; a = 14, b = 1, c = 15. BC. 15 Besar BE = BE. 1 E Hitung: E o Jawab: s = ( )/ = 1. o B C = t a = s( s a )( s b )( s c ) 14 a Gambar.1 = 1(1 14)(1 1)(1 15) 14 1 = = 7 7 = 1 Pada B yang siku-siku di : B = B = = 81 B = 9 LKRIS: PPM 004 8

11 Pada B, BE merupakan garis bagi sudut B, sehingga E : E = B : B = 9 : 15 = : 5 Jika E =, maka E = 1 : (1 ) = : 5 5 = 6 8 = 6 = 4,5 Jadi E = 4,5. Contoh 5 Hitunglah luas sebuah segi-8 yang titik-titik sudutnya terletak selingkaran, empat sisi panjangnya masing-masing cm dan empat sisi lain panjangnya masing-masing cm. Masalah di atas akan dipecahkan dengan beberapa cara, untuk dapat menggambarkan berbagai strategi yang dapat digunakan untuk memecahkan sebuah masalah. Penyelesaian lternatif 1 Misalkan bangun yang dimaksud adalah segidelapan BCEFGH dengan pusat lingkaran luar titik O. Pada Gambar.1. C = E = EF = FG = cm dan CB = B = H = HG = cm. E F P C M O B Q Luas segi delapan adalah jumlah 4 kali luas OE dan 4 kali luas OB. G H Gambar.1 Karena panjang E dan B diketahui, yang diperlukan adalah garis tinggi segitigasegitiga tersebut, yang tidak lain adalah apotema terhadap talibusur E dan B, yaitu OP dan OQ. Keduanya masing-masing terletak pada segitiga siku-siku E dan BE sehingga ada sifat-sifat kesejajaran dan kesebandingan yang dapat digunakan. Berikut ini penyelesaiannya. Tarik apotema-apotema OP dan OQ, talibusur EB dan. Pada BE, B menghadap diameter E. Jadi besar BE = 90 o atau EB B OQ apotema OQ B. Berarti EB OQ. dengan demikian OQ = 1 EB. LKRIS: PPM 004 9

12 engan penalaran sama diperoleh OP = 1. Tarik B. Perhatikan MB dan CB: Besar MB = CB (keduanya menghadap busur bertalibusur sepanjang cm), B = B Besar MB = CB (keduanya menghadap busur bertalibusur sepanjang cm), MB. CB kibatnya: M = C = cm. Berarti EM siku-siku (di ) sama kaki (E = M = cm), sehingga EM = cm. nalog: BM siku-siku (di B) sama kaki.(bm = B = cm) sehingga M = cm. iperoleh: = M + M = ( + ) cm OP = 1 = 1 ( + ) cm BE = BM + ME = ( + ) cm OQ = 1 BE = 1 ( + ) cm. Luas OE = 1 E OP = 1 1 ( + ) cm = 1 ( + ) cm Luas OB = 1 B OQ = 1 1 ( + ) cm = ( + ) cm. 4 Luas segi delapan BCEFGH = 4 (L OE + L OB ) = 4 ( 1 ( + ) + ( + )) cm 4 = ( ) cm = (1 + 1 ) cm lternatif Karena segidelapan itu memiliki 4 sisi masing-masing sepanjang cm dan 4 sisi masing-masing sepanjang cm, maka segi delapan tersebut merupakan bagian dari sebuah persegi yang dapat digambar sebagai berikut: Kemungkinan (i) Kemungkinan (ii) y y y y (i) Gambar.14 y y y (ii) y LKRIS: PPM 004 0

13 ari gambar (i): = = 4 1 = ari gambar (ii): y = y = y = Luas segi-8 = ( + ) 4 1 Luas segi-8 = ( + y) 4 1 y = ( +) = ( + ) 4 1 = = = = engan kedua cara di atas diperoleh hasil sama, luas segi-8 tersebut = (1 + 1 ) cm. lternatif Untuk menentukan luas segi-8 yang memiliki 4 sisi berukuran cm dan 4 sisi berukuran cm, dipandang seperempat bagian daripadanya, yaitu yang memuat sebuah sisi berukuran cm dan sebuah sisi berukuran cm. Seperempat bagiannya dapat digambarkan seperti Gambar.15. Misalkan panjang jari-jari lingkaran luar segi-8 tersebut = R. Luas segi-8 = 4 luas segi-4 OBC p B = 4 (L OB + L OCB ) = 4 ( 1 Rp + 1 Rq) q = R(p + q) (^) Pada B: p + (R q) = (teorema Pythagoras) O E C p + R Rq + q = 4 Gambar.15 R Rq = 4, karena p + q = R R(R q) = 4 R q = 4 R (*) Pada EBC: q + (R p) = 9 (teorema Pythagoras) q + R Rp + p = 9 R Rp = 9, karena p + q = R R( R p) = 9 R p = 9 R (**) ari (*) dan (**) diperoleh: R p q = 1 1 p + q = R R R LKRIS: PPM 004 1

14 ari (^) diperoleh L segi-8 = R( p + q) = R (R 1 ) = 4R 1 (o) R R q = R 9 R q = 9(R 9/4) q = 9 81/(4R ) 4 R p = R 1 R p = 4(R 1) p = 4 16/(4R ) R = p + q = 1 97/(4R ) Misalkan R =, maka = 1 97/(4); > = 0 = 5 ± ; > 0 = = = R = yang jika digantikan pada (o) diperoleh: L segi-8 = = = Jadi Luas segi-8 BCEFGH = (1 + 1 ) cm. LKRIS: PPM 004

LAMPIRAN Data Penelitian Nilai Siswa

LAMPIRAN Data Penelitian Nilai Siswa LAMPIRAN Data Penelitian Nilai Siswa No Parameter Satuan Baku mutu Metode analisis G43 67 44 53 51 G44 67 43 39 39 G45 68 37 45 52 G46 71 41 41 53 G47 61 33 45 52 G48 66 39 41 53 G49 67 44 40 42 G50 75

Lebih terperinci

BAB V BAHAN LATIHAN DAN SARAN PEMECAHANNYA

BAB V BAHAN LATIHAN DAN SARAN PEMECAHANNYA V HN LTIHN N SRN PMHNNY. ahan Latihan Kerjakanlah soal-soal berikut. Jangan mencoba melihat petunjuk atau kunci, sebelum benar-benar nda mengalami jalan buntu. 1. alam sebuah persegipanjang ditarik 40

Lebih terperinci

DALIL PYTHAGORAS DAN PEMECAHAN MASALAH GEOMETRI

DALIL PYTHAGORAS DAN PEMECAHAN MASALAH GEOMETRI DALIL PYTHAGORAS DAN PEMECAHAN MASALAH GEOMETRI Segitiga 1. Beberapa sifat yang berlaku pada segitiga adalah : Jumlah sudut-sudut sembarang segitiga adalah 180 0 Pada segitiga ABC berlaku AC = BC B = A

Lebih terperinci

PENGAYAAN MATERI OLIMPIADE MATEMATIKA SD GEOMETRI. Oleh : Himmawati P.L

PENGAYAAN MATERI OLIMPIADE MATEMATIKA SD GEOMETRI. Oleh : Himmawati P.L PENGAYAAN MATERI OLIMPIADE MATEMATIKA SD GEOMETRI Oleh : Himmawati P.L Soal matematika yang diujikan di sekolah-sekolah maupun di Ujian Nasional pada umumnya dapat diselesaikan dengan cara-cara biasa.

Lebih terperinci

Pertemuan ke 11. Segiempat Segiempat adalah bidang datar yang dibatasi oleh empat potong garis yang saling bertemu dan menutup D C

Pertemuan ke 11. Segiempat Segiempat adalah bidang datar yang dibatasi oleh empat potong garis yang saling bertemu dan menutup D C Pertemuan ke Segiempat Segiempat adalah bidang datar yang dibatasi oleh empat potong garis yang saling bertemu dan menutup D C B Empat persegi panjang d D E a c C B b B = CD dan B // CD D = BC dan D //

Lebih terperinci

LINGKARAN. Lingkaran. pusat lingkaran diskriminan posisi titik posisi garis garis kutub gradien. sejajar tegak lurus persamaan lingkaran

LINGKARAN. Lingkaran. pusat lingkaran diskriminan posisi titik posisi garis garis kutub gradien. sejajar tegak lurus persamaan lingkaran LINGKARAN Persamaan Persamaan garis singgung lingkaran Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dan (a, b) Kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran Merumuskan persamaan garis singgung yang melalui suatu

Lebih terperinci

GEOMETRI Geometri Dasar Oleh: WIDOWATI Jurusan Matematika FMIPA UNDIP

GEOMETRI Geometri Dasar Oleh: WIDOWATI Jurusan Matematika FMIPA UNDIP GEOMETRI Geometri Dasar Oleh: WIDOWATI Jurusan Matematika FMIPA UNDIP 1 Geometri dasar Himpunan berbentuk beserta sistem aksioma yang melibatkan 5 aksioma disebut Struktur Geometri Euclid, dengan unsurunsur

Lebih terperinci

Rasio. atau 20 : 10. Contoh: Tiga sudut memiliki rasio 4 : 3 : 2. tentukan sudut-sudutnya jika:

Rasio. atau 20 : 10. Contoh: Tiga sudut memiliki rasio 4 : 3 : 2. tentukan sudut-sudutnya jika: Rasio Rasio adalah perbandingan ukuran. Rasio digunakan untuk membandingkan besaran dengan pembagian. Misal dua segitiga memiliki bentuk yang sama tetapi ukurannya berbeda. Salah satu sisinya yang seletak

Lebih terperinci

PROGRAM PEMBELAJARAN KELAS VII SEMESTER I. Mata Pelajaran : Matematika

PROGRAM PEMBELAJARAN KELAS VII SEMESTER I. Mata Pelajaran : Matematika PROGRAM PEMBELAJARAN KELAS VII SEMESTER I Mata Pelajaran : Matematika 191 PROGRAM SEMESTER TAHUN PELAJARAN 20 / 20 Nama Sekolah : Kelas/ Semester : VII/1 Mata Pelajaran : Matematika Aspek : BILANGAN Standar

Lebih terperinci

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak 4 Lingkaran 4.1. Persamaan Lingkaran Bentuk Baku. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak tetap dari suatu titik tetap. Titik tetap dari lingkaran disebut pusat lingkaran,

Lebih terperinci

Kumpulan Soal Matematika Kelas VIII (BSE Dewi N)

Kumpulan Soal Matematika Kelas VIII (BSE Dewi N) Faktorisasi Suku Aljabar A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat. 1. Pada bentuk aljabar 2x 2 + 3xy y 2 terdapat... variabel. a. 1 c. 3 b. 2 d. 4 2. Suku dua terdapat pada bentuk aljabar... a. 2x 2 +

Lebih terperinci

Uraian Materi. Keliling dan Luas Bangun Datar. A. Macam-Macam Bangun Datar Beraturan. Perlu Tahu

Uraian Materi. Keliling dan Luas Bangun Datar. A. Macam-Macam Bangun Datar Beraturan. Perlu Tahu Keliling dan Luas angun atar Segala sesuatu di muka bumi ini memunyai bentuk dan ukuran. i dalam matematika, benda yang memunyai ukuran dapat dilakukan perhitungan terhadap benda tersebut. Ilmu yang mempelajari

Lebih terperinci

Pertemuan ke 10 MODUL GEOMETRI

Pertemuan ke 10 MODUL GEOMETRI Pertemuan ke 0 MODUL GEOMETRI Standar Kompetensi Mengerti, memahami, dan memiliki pengetahuan serta kemampuan untuk menerapkan ilmu matematika dalam memecahkan masalah di bidang teknik Politeknik Negeri

Lebih terperinci

Tabel 1. Rata-rata Nilai Ujian Nasional Secara Nasional

Tabel 1. Rata-rata Nilai Ujian Nasional Secara Nasional Rekap Nilai Ujian Nasional tahun 2011 Pada tahun 2011 rata-rata nilai matematika 7.31, nilai terendah 0.25, nilai tertinggi 10, dengan standar deviasi sebesar 1.57. Secara rinci perolehan nilai Ujian Nasional

Lebih terperinci

Menemukan Dalil Pythagoras

Menemukan Dalil Pythagoras Dalil Pythagoras Menemukan Dalil Pythagoras 1. Perhatikan gambar di bawah ini. Segitiga ABC adalah sebuah segitiga siku-siku di B dengan sisi miring AC. Jika setiap petak luasnya 1 satuan, tentukan luas

Lebih terperinci

Bab 9. Segitiga. Standar Kompetensi. Memahami konsep segiempat dan segitiga serta menentukan ukurannya. Kompetensi Dasar

Bab 9. Segitiga. Standar Kompetensi. Memahami konsep segiempat dan segitiga serta menentukan ukurannya. Kompetensi Dasar Bab 9 Segitiga Standar Kompetensi Memahami konsep segiempat dan segitiga serta menentukan ukurannya. Kompetensi Dasar 6.2 Mengidentifikasi sifat-sifat segitiga berdasarkan sisi susdutnya. 6.3 Menghitung

Lebih terperinci

PERSIAPAN UN MATEMATIKA SMP 2014

PERSIAPAN UN MATEMATIKA SMP 2014 PERSIAPAN UN MATEMATIKA SMP 014 Berilah tanda silang (x) pada huruf a, b, c, atau d di depan jawaban yang benar! 1. Di suatu daerah yang berada pada ketinggian.500 meter di atas permukaan laut suhunya

Lebih terperinci

SOAL LATIHAN UKK MATEMATIKA KELAS VIII

SOAL LATIHAN UKK MATEMATIKA KELAS VIII SOAL LATIHAN UKK MATEMATIKA KELAS VIII SOAL PILIHAN GANDA 1. Perhatikan gambar berikut. Daerah yang diarsir disebut... a. juring b. busur c. tembereng d. tali busur 2. Perhatikan kembali lingkaran pada

Lebih terperinci

PREDIKSI UN 2012 MATEMATIKA SMP

PREDIKSI UN 2012 MATEMATIKA SMP Dibuat untuk persiapan menghadapi UN 2012 PREDIKSI UN 2012 MATEMATIKA SMP Lengkap dengan kisi-kisi dan pembahasan Mungkin (tidak) JITU 12 1. Menghitung hasil operasi tambah, kurang, kali dan bagi pada

Lebih terperinci

PEMBAHASAN SOAL MATEMATIKA UN 2014 Jawaban : Pembahasan : (operasi bilangan pecahan) ( ) Jawaban : (A) Pembahasan : (perbandingan senilai) 36 buku 8 mm x x 3. 0 X buku 24 mm Jawaban : (C) Pembahasan :

Lebih terperinci

KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS VII ( 1 ) SEMESTER I

KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS VII ( 1 ) SEMESTER I KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS VII ( 1 ) SEMESTER I 16 KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Sekolah : SMP/MTs... Kelas : VII Semester : I

Lebih terperinci

KUMPULAN RUMUS MATEMATIKA UNTUK SMP SESUAI DENGAN STANDAR KOMPETENSI LULUSAN UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2009/2010

KUMPULAN RUMUS MATEMATIKA UNTUK SMP SESUAI DENGAN STANDAR KOMPETENSI LULUSAN UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2009/2010 Rumus-rumus Matematika 1 Sesuai SKL UN 2010 KUMPULN RUMUS MTMTIK UNTUK SMP SSUI NGN STNR KOMPTNSI LULUSN UJIN NSIONL THUN PLJRN 2009/2010 SKL Nomor 1 : Menggunakan konsep operasi hitung dan sifat-sifat

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI A. Titik, Garis, dan Bidang Pada geometri, tepatnya pada sistem aksioma, terdapat istilah tak terdefinisi. Istilah tak terdefinisi adalah istilah dasar yang digunakan dalam membangun

Lebih terperinci

Bab 3 KONSTRUKSI GEOMETRIS 3.1. KONSTRUKSI-KONSTRUKSI DASAR.

Bab 3 KONSTRUKSI GEOMETRIS 3.1. KONSTRUKSI-KONSTRUKSI DASAR. Bab 3 KONSTRUKSI GEOMETRIS Materi : Konstruksi-konstruksi dasar. Garis-garis lengkung. Gambar proyeksi. Gambar pandangan tunggal. Proyeksi ortogonal (gambar pandangan majemuk). 3.1. KONSTRUKSI-KONSTRUKSI

Lebih terperinci

Pembahasan Soal UN Matematika SMP Tahun Ajaran 2010/2011 Paket 12

Pembahasan Soal UN Matematika SMP Tahun Ajaran 2010/2011 Paket 12 Pembahasan Soal UN Matematika SMP Tahun Ajaran 2010/2011 Paket 12 Tim Pembahas : Th. Widyantini Untung Trisna Suwaji Wiworo Choirul Listiani Estina Ekawati Nur Amini Mustajab PPPPTK Matematika Yogyakarta

Lebih terperinci

GARIS SINGGUNG LINGKARAN

GARIS SINGGUNG LINGKARAN RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN POKOK BAHASAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN Oleh: ZAINUL GUFRON SYAHRONI NIM. 070210191048 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS

Lebih terperinci

Ringkasan Materi Matematika Untuk SMP Persiapan UN Web : erajenius.blogspot.com --- FB. : Era Jenius --- CP

Ringkasan Materi Matematika Untuk SMP Persiapan UN Web : erajenius.blogspot.com --- FB. : Era Jenius --- CP Lingkaran & Garis Singgung A. Unsur-Unsur Lingkaran Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tetap yang disebut titik pusat lingkaran. Lambang lingkaran dengan

Lebih terperinci

MENGGAMBAR BIDANG A. MEMBAGI GARIS DAN SUDUT

MENGGAMBAR BIDANG A. MEMBAGI GARIS DAN SUDUT MENGGAMBAR BIDANG A. MEMBAGI GARIS DAN SUDUT 1. MEMBAGI GARIS a. Membagi garis menjadi 2 bagian yang sama panjang Membagi garis menjadi 2 bagian yang sama panjang menggunakan jangka dapat diikuti melalui

Lebih terperinci

. A.M. A. Titik, Garis, dan Bidang BANGUN GEOMETRI

. A.M. A. Titik, Garis, dan Bidang BANGUN GEOMETRI A. Titik, Garis, dan Bidang BANGUN GEOMETRI Suatu titik menyatakan letak atau posisi dari sesuatu yang tidak mempunyai ukuran, maka titik tidak mempunyai ukuran. Dikatakan bahwa titik berdimensi nol (tak

Lebih terperinci

BAB 1 KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN. Inti Materi A. KESEBANGUNAN BANGUN DATAR B. KEKONGRUENAN BANGUN DATAR

BAB 1 KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN. Inti Materi A. KESEBANGUNAN BANGUN DATAR B. KEKONGRUENAN BANGUN DATAR 1 KSNGUNN N KKONGRUNN Inti Materi asar Memahami kesebangunan bangun datar dan penggunaannya dalam pemecahan masalah Standar Kompetensi Mengidentifikasi bangun-bangun datar yang sebangun dan kongruen Mengidentifikasi

Lebih terperinci

BAB II MASALAH MATEMATIKA DAN STRATEGI PEMECAHANNYA

BAB II MASALAH MATEMATIKA DAN STRATEGI PEMECAHANNYA BAB II MASALAH MATEMATIKA DAN STRATEGI PEMECAHANNYA Soal-soal matematika yang muncul dalam IMO dan OMN umumnya merupakan soal yang memberikan tantangan untuk dikerjakan, tetapi tidak atau belum jelas benar

Lebih terperinci

41. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama (SMP)/Madrasah Tsanawiyah (MTs)

41. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama (SMP)/Madrasah Tsanawiyah (MTs) 41. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama (SMP)/Madrasah Tsanawiyah (MTs) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai

Lebih terperinci

Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus

Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus Modul 1 Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus Drs. Sukirman, M.Pd. D alam Modul Pertama ini, kita akan membahas tentang Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis

Lebih terperinci

8 SEGITIGA DAN SEGI EMPAT

8 SEGITIGA DAN SEGI EMPAT 8 SEGITIG N SEGI EMPT Hampir setiap konstruksi bangunan yang dibuat manusia memuat bentuk bangun segitiga dan segi empat. matilah lingkungan sekitarmu. entuk bangun manakah yang ada pada benda-benda di

Lebih terperinci

Modul 2 SEGITIGA & TEOREMA PYTHAGORAS

Modul 2 SEGITIGA & TEOREMA PYTHAGORAS Modul 2 SEGITIGA & TEOREMA PYTHAGORAS A. Pengantar Materi yang akan di bahas pada kegiatan pembelajaran ini terdiri atas pengertian segitiga, hubungan sisi-sisi segitiga, jenis-jenis segitiga ditinjau

Lebih terperinci

kombinasi antara aljabar dan geometri. Dengan membuat korespondensi antara

kombinasi antara aljabar dan geometri. Dengan membuat korespondensi antara Sistem Koordinat Cartesius.. Geometri Analitik Geometri analitik adalah suatu cabang ilmu matematika yang merupakan kombinasi antara aljabar dan geometri. Dengan membuat korespondensi antara persamaan

Lebih terperinci

SOAL 1. Diketahui bangun persegi panjang berukuran 4 6 dengan beberapa ruas garis, seperti pada gambar.

SOAL 1. Diketahui bangun persegi panjang berukuran 4 6 dengan beberapa ruas garis, seperti pada gambar. SOAL 1. Diketahui bangun persegi panjang berukuran 4 dengan beberapa ruas garis, seperti pada gambar. Dengan menggunakan ruas garis yang sudah ada, tentukan banyak jajar genjang tanpa sudut siku-siku pada

Lebih terperinci

VII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK

VII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK A. Sistem Koordinat Tegak Lurus Suatu sistem koordinat tegak lurus disebut juga dengan sistem koordinat cartesian. Di dalam ruang, terdapat tiga buah garis lurus

Lebih terperinci

Geometri Ruang (Dimensi 3)

Geometri Ruang (Dimensi 3) Geometri Ruang (Dimensi 3) Beberapa Benda Ruang Yang Beraturan Kubus Tabung volume = a³ luas = 6a² rusuk kubus = a panjang diagonal = a 2 panjang diagonal ruang = a 3 r = jari-jari t = tinggi volume =

Lebih terperinci

Bab. Lingkaran. A. Lingkaran dan Unsur- Unsurnya B. Keliling dan Luas Lingkaran C. Busur, Juring, dan Tembereng D. Sudut- Sudut pada Lingkaran

Bab. Lingkaran. A. Lingkaran dan Unsur- Unsurnya B. Keliling dan Luas Lingkaran C. Busur, Juring, dan Tembereng D. Sudut- Sudut pada Lingkaran ab 6 Sumber: okumentasi Penulis Lingkaran Pernahkah kamu berekreasi ke unia Fantasi? i tempat tersebut, kamu dapat menikmati berbagai macam permainan yang unik dan menarik. Mulai dari Halilintar, ntang-nting,

Lebih terperinci

SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com

SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN 05 yosprens.wordpres.com SOAL DAN PEMBAHASAN MATA UJI MATEMATIKA TKD SAINTEK SBMPTN 05 Berikut ini 5 soal mata uji matematika beserta pembahasannya yang diujikan

Lebih terperinci

BAB I TITIK DAN GARIS

BAB I TITIK DAN GARIS 1. Titik, garis, sinar dan ruas garis BB I TITIK DN GRIS Geometri dibangun atas dasar unsur-unsur yang tidak didefinisikan yaitu: titik, garis, dan bidang. Titik dipahami secara intuisi sebagai sebuah

Lebih terperinci

09. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang B. Tujuan

09. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang B. Tujuan 09. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan memajukan daya pikir

Lebih terperinci

BAHAN AJAR MATEMATIKA SMP KELAS VIII LINGKARAN (SUDUT KELILING, SUDUT PUSAT, PANJANG BUSUR, LUAS JURING DAN HUBUNGANNYA)

BAHAN AJAR MATEMATIKA SMP KELAS VIII LINGKARAN (SUDUT KELILING, SUDUT PUSAT, PANJANG BUSUR, LUAS JURING DAN HUBUNGANNYA) BAHAN AJAR MATEMATIKA SMP KELAS VIII LINGKARAN (SUDUT KELILING, SUDUT PUSAT, PANJANG BUSUR, LUAS JURING DAN HUBUNGANNYA) ANWARIL HAMIDY NIM. 15709251018 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM PASCASARJANA

Lebih terperinci

KUMPULAN SOAL MATEMATIKA SMP KELAS 8

KUMPULAN SOAL MATEMATIKA SMP KELAS 8 KUMPULAN SOAL MATEMATIKA SMP KELAS 8 Dirangkum oleh Moch. Fatkoer Rohman Website: http://fatkoer.co.cc http://zonamatematika.co,cc Email: fatkoer@gmail.com 009 Evaluasi Bab 1 Untuk nomor 1 sampai 5 pilihlah

Lebih terperinci

BAB 1 FAKTORISASI SUKU ALJABAR SOAL LATIHAN 1.1

BAB 1 FAKTORISASI SUKU ALJABAR SOAL LATIHAN 1.1 BAB FAKTORISASI SUKU ALJABAR SOAL LATIHAN. A. Pilihan Ganda. Bentuk + 48 jika difaktorkan A. ( 6)( 8) B. ( + 8)( 6) C. ( 4)( ) D. ( + 4)( ) + 48 ( + 8)( 6). Faktor dari y 4y A. (y 6) (y + ) B. (y + 6)

Lebih terperinci

LATIHAN PERSIAPAN UJIAN KENAIKAN KELAS (UKK) MATEMATIKA 8 TAHUN PELAJARAN 2011/2012

LATIHAN PERSIAPAN UJIAN KENAIKAN KELAS (UKK) MATEMATIKA 8 TAHUN PELAJARAN 2011/2012 LATIHAN PERSIAPAN UJIAN KENAIKAN KELAS (UKK) MATEMATIKA 8 TAHUN PELAJARAN 011/01 No. ALTERNATIF SOAL PEMBAHASAN 1 Unsur-unsur di bawah ini yang merupakan unsur lingkaran adalah. A. Jari-jari, tali busur,

Lebih terperinci

C. 30 Januari 2001 B. 29 Januari 2001

C. 30 Januari 2001 B. 29 Januari 2001 1. Notasi pembentuk himpunan dari B = {1, 4, 9} adalah... A. B = {x x kuadrat tiga bilangan asli yang pertama} B. B = {x x bilangan tersusun yang kurang dari 10} C. B = {x x kelipatan bilangan 2 dan 3

Lebih terperinci

Sumber Belajar 2x40mnt Buku teks. 2x40mnt. 2x40mnt. (2x + 3) + (-5x 4) (-x + 6)(6x 2) Tes tulis Tes uraian Berapakah: berikut: Teknik Bentuk

Sumber Belajar 2x40mnt Buku teks. 2x40mnt. 2x40mnt. (2x + 3) + (-5x 4) (-x + 6)(6x 2) Tes tulis Tes uraian Berapakah: berikut: Teknik Bentuk Sekolah : SMP Kelas : VIII Mata Pelajaran : Matematika Semester : I(satu) SILABUS Standar : ALJABAR 1. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus 1.1 Melakukan operasi aljabar Bentuk

Lebih terperinci

PEMBAHASAN SOAL UN MATEMATIKA SMP (KODE A) TAHUN PELAJARAN 2009/2010

PEMBAHASAN SOAL UN MATEMATIKA SMP (KODE A) TAHUN PELAJARAN 2009/2010 PEMBAHASAN SOAL UN MATEMATIKA SMP (KODE A) TAHUN PELAJARAN 009/00 PEMBAHAS: Th. Widyantini Wiworo Untung Trisna Suwaji Yudom Rudianto Sri Purnama Surya Nur Amini Mustajab Choirul Listiani PEMBAHASAN SOAL

Lebih terperinci

PEMBAHASAN SOAL UN MATEMATIKA SMP 2010 KODE B P48

PEMBAHASAN SOAL UN MATEMATIKA SMP 2010 KODE B P48 PEMBAHASAN SOAL UN MATEMATIKA SMP 010 KODE B P48 1. Pada awal Januari 009 koperasi Rasa Sayang mempunyai modal sebesar Rp5.000.000,00. Seluruh modal tersebut dipinjamkan kepada anggotanya selama 10 bulan

Lebih terperinci

PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*)

PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*) PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*) A. Faktor Prima Dalam tulisan ini yang dimaksud dengan faktor prima sebuah bilangan adalah pembagi habis dari sebuah bilangan

Lebih terperinci

Tidak diperjualbelikan

Tidak diperjualbelikan MATEMATIKA KATA PENGANTAR Keputusan Menteri Pendidikan Nasional No. 153/U/003, tanggal 14 Oktober 003, tentang Ujian Akhir Nasional Tahun Pelajaran 003/004, antara lain menetapkan bahwa dalam pelaksanaan

Lebih terperinci

MATEMATIKA EBTANAS TAHUN 1992

MATEMATIKA EBTANAS TAHUN 1992 MATEMATIKA EBTANAS TAHUN 99 EBT-SMP-9-0 Diketahui: A = {m, a, d, i, u, n} dan B = {m, a, n, a, d, o} Diagram Venn dari kedua himpunan di atas A. m a d o a m o i e e I d u a a u n e m i d o m i d a u n

Lebih terperinci

BAB 7 GEOMETRI NETRAL

BAB 7 GEOMETRI NETRAL BAB 7 GEOMETRI NETRAL Ilmuwan besar matematika ini lahir pada bulan April 1777, di Brunswick, Daerah duke Brunswick (sekarang Negara Jerman). Gauss tumbuh didalam keluarga yang agak sederhana, bukan kaya

Lebih terperinci

Kajian Matematika SMP Palupi Sri Wijiyanti, M.Pd Semester/Kelas : 3A3 Tanggal Pengumpulan : 14 Desember 2015

Kajian Matematika SMP Palupi Sri Wijiyanti, M.Pd Semester/Kelas : 3A3 Tanggal Pengumpulan : 14 Desember 2015 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA TAHUN 2015 Mata Kuliah Dosen Pengampu : : Kajian Matematika SMP Palupi Sri Wijiyanti, M.Pd Semester/Kelas

Lebih terperinci

Lingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Lingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Bab Sumber: www.panebiancod.com Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskan persamaan lingkaran dan menggunakannya dalam pemecahan masalah; menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran

Lebih terperinci

SILABUS PEMBELAJARAN

SILABUS PEMBELAJARAN Sekolah : SMP... Kelas : VII (Tujuh) Mata Pelajaran : Matematika Semester : I (satu) SILABUS PEMBELAJARAN BILANGAN Standar : 1. Memahami sifat-sifat operasi hitung bilangan dan penggunaannya dalam pemecahan

Lebih terperinci

5.1 KONSTRUKSI-KONSTRUKSI DASAR

5.1 KONSTRUKSI-KONSTRUKSI DASAR KONSTRUKSI GEOMETRI Unsur-unsur geometri sering digunakan seorang juru gambar atau ahli gambar teknik untuk menggambar konstruksi mesin. Unsurunsur goemetri yang dimaksudkan ini adalah busur-busur, lingkaran,

Lebih terperinci

Jika persegi panjang ABCD di atas diketahui OA = 26 cm, maka panjang BO adalah... A. 78 cm. C. 26 cm B. 52 cm. D. 13 cm Kunci : C Penyelesaian :

Jika persegi panjang ABCD di atas diketahui OA = 26 cm, maka panjang BO adalah... A. 78 cm. C. 26 cm B. 52 cm. D. 13 cm Kunci : C Penyelesaian : 1. Jika persegi panjang ABCD di atas diketahui OA = 26 cm, maka panjang BO adalah... A. 78 cm C. 26 cm B. 52 cm D. 13 cm 2. Gambar disamping adalah persegi panjang. Salah satu sifat persegi panjang adalah

Lebih terperinci

Feni Melinda Safitri. Sudah diperiksa. Pengertian Teorema Phytagoras. Rumus Phytagoras

Feni Melinda Safitri. Sudah diperiksa. Pengertian Teorema Phytagoras. Rumus Phytagoras BY : Feni Malinda Safitri Sudah diperiksa Pengertian Teorema Phytagoras Phytagoras adalah seorang ahli matematika dan filsafat berkebangsaan Yunani pada tahun 569-475 sebelum masehi, ia mengungkapkan bahwa

Lebih terperinci

GEOMETRI BIDANG. Disampaikan dalam PEMBEKALAN OSN-2010 SMP N I KEBBUMEN Mata Pelajaran: Matematika

GEOMETRI BIDANG. Disampaikan dalam PEMBEKALAN OSN-2010 SMP N I KEBBUMEN Mata Pelajaran: Matematika GEMETRI ING isampaikan dalam EMEKLN SN-00 SM N I KEUMEN Mata elajaran: Matematika leh: Murdanu, M.d. Jurusan endidikan Matematika FMI Universitas Negeri Yogyakarta SEKLH MENENGH ERTM NEGERI KEUMEN 00 GEMETRI

Lebih terperinci

Beberapa Benda Ruang Yang Beraturan

Beberapa Benda Ruang Yang Beraturan Beberapa Benda Ruang Yang Beraturan Kubus Tabung rusuk kubus = a volume = a³ panjang diagonal bidang = a 2 luas = 6a² panjang diagonal ruang = a 3 r = jari-jari t = tinggi volume = π r² t luas = 2πrt Prisma

Lebih terperinci

41. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama (SMP)/Madrasah Tsanawiyah (MTs)

41. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama (SMP)/Madrasah Tsanawiyah (MTs) 41. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama (SMP)/Madrasah Tsanawiyah (MTs) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai

Lebih terperinci

JARAK DUA TITIK KEGIATAN BELAJAR 2

JARAK DUA TITIK KEGIATAN BELAJAR 2 1 KEGIATAN BELAJAR 2 JARAK DUA TITIK Setelah mempelajari kegiatan belajar 2 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. menghitung jarak dua titik di bidang, 2. menghitung jarak dua titik di ruang, 3. menentukan

Lebih terperinci

C. 9 orang B. 7 orang

C. 9 orang B. 7 orang 1. Dari 42 siswa kelas IA, 24 siswa mengikuti ekstra kurikuler pramuka, 17 siswa mengikuti ekstrakurikuler PMR, dan 8 siswa tidak mengikuti kedua ekstrakurikuler tersebut. Banyak siswa yang mengikuti kedua

Lebih terperinci

TEOREMA PYTHAGORAS. Contoh Hitunglah nilai kuadrat bilangan-bilangan berikut

TEOREMA PYTHAGORAS. Contoh Hitunglah nilai kuadrat bilangan-bilangan berikut Teorema pythagoras berasal dari seorang matematikawan dari Yunani yang bernama Pythagoras, tetapi ada juga yang menyebutkan bahwa teorema pythagoras berasal dari Cina karena ada sebuah buku yang merupakan

Lebih terperinci

BAB II TABUNG, KERUCUT, DAN BOLA. Memahami sifat-sifat tabung, kerucut dan bola, serta menentukan ukurannya

BAB II TABUNG, KERUCUT, DAN BOLA. Memahami sifat-sifat tabung, kerucut dan bola, serta menentukan ukurannya BAB II TABUNG, KERUCUT, DAN BOLA Tujuan Pembelajaran Memahami sifat-sifat tabung, kerucut dan bola, serta menentukan ukurannya A. Pendahuluan Istilah tabung, kerucut, dan bola di sini adalah istilah-istilah

Lebih terperinci

BAB I KESEBANGUNAN BANGUN DATAR

BAB I KESEBANGUNAN BANGUN DATAR I KSNGUNN NGUN TR Peta Konsep Kesebangunan angun atar prasyarat Kesebangunan ua angun atar terdiri atas ua bangun datar kongruen khususnya Segitiga kongruen ua bangun datar sebangun khususnya Segitiga

Lebih terperinci

1. Jika B = {bilangan prima kurang dari 13} maka jumlah himpunan penyelesaiannya... A. 4

1. Jika B = {bilangan prima kurang dari 13} maka jumlah himpunan penyelesaiannya... A. 4 1. Jika B = {bilangan prima kurang dari 13} maka jumlah himpunan penyelesaiannya... A. 4 C. 6 B. 5 D. 7 Kunci : B B = (bilangan prima kurang dan 13) Anggota himpunan B = (2, 3, 5, 7, 11) Sehingga banyaknya

Lebih terperinci

1 Bilangan. 2 A. MACAM-MACAM BILANGAN B. SIFAT OPERASI PADA BILANGAN BULAT. b dan b 0. Contoh: 1 à a = 1 dan b = 4.

1 Bilangan. 2 A. MACAM-MACAM BILANGAN B. SIFAT OPERASI PADA BILANGAN BULAT. b dan b 0. Contoh: 1 à a = 1 dan b = 4. Matematika 1 Bilangan A. MACAM-MACAM BILANGAN 1. Bilangan Asli 1, 2, 3, 4, 5, 6,, dan seterusnya. 2. Bilangan Cacah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan seterusnya. 3. Bilangan Prima Bilangan prima yaitu bilangan

Lebih terperinci

PROGRAM TAHUNAN MATA PELAJARAN : MATEMATIKA

PROGRAM TAHUNAN MATA PELAJARAN : MATEMATIKA PERANGKAT PEMBELAJARAN PROGRAM TAHUNAN MATA PELAJARAN : MATEMATIKA Kelas VII SEMESTER 1 & 2 MTs.... PROGRAM TAHUNAN Sekolah : MTs.... Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Semester : VII / 1 dan 2 Tahun

Lebih terperinci

Pembahasan OSN Tingkat Provinsi Tahun 2012 Jenjang SMP Bidang Matematika

Pembahasan OSN Tingkat Provinsi Tahun 2012 Jenjang SMP Bidang Matematika Pembahasan OSN Tingkat Provinsi Tahun 202 Jenjang SMP Bidang Matematika Bagian A : Soal Isian Singkat. Sebuah silinder memiliki tinggi 5 cm dan volume 20 cm 2. Luas permukaan bola terbesar yang mungkin

Lebih terperinci

Ruang Lingkup Pengukuran di SD

Ruang Lingkup Pengukuran di SD PENGUKURAN DI SD Ruang Lingkup Pengukuran di SD Pengukuran tentang: 1. panjang dan keliling 2. luas 3. luas bangun gabungan 4. volum 5. volum bangun gabungan 6. sudut 7. suhu 8. waktu, jarak dan kecepatan

Lebih terperinci

2. Memahami dan mampu menyelesaikan Permasalahan yang berkaitan dengan vektor di Ruang Tiga, yaitu Persamaan Bidang

2. Memahami dan mampu menyelesaikan Permasalahan yang berkaitan dengan vektor di Ruang Tiga, yaitu Persamaan Bidang TUJUAN EMBELAJARAN Agar pembaca memahami tentang Sistem Koordinat Kartesian beserta fungsinya yaitu titik, jarak dua titik, persamaan bola serta Vektor dalam ruang dimensi tiga beserta aplikasinya yaitu

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA VEKTOR

MODUL MATEMATIKA VEKTOR MODUL MATEMATIKA VEKTOR Kementerian Pendidikan Nasional Universitas Negeri Manado Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Pendidikan Matematika 007 Kata Pengantar Modul pembelajaran ini dirancang

Lebih terperinci

KTSP Perangkat Pembelajaran SMP/MTs, KURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN (KTSP) Mapel Matematika kls VII s/d IX. 1-2

KTSP Perangkat Pembelajaran SMP/MTs, KURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN (KTSP) Mapel Matematika kls VII s/d IX. 1-2 KTSP Perangkat Pembelajaran SMP/MTs, PERANGKAT PEMBELAJARAN STANDAR KOMPETENSI DAN KOMPETENSI DASAR Mata Pelajaran Satuan Pendidikan Kelas/Semester : Matematika. : SMP/MTs. : VII s/d IX /1-2 Nama Guru

Lebih terperinci

Geometri Dimensi Dua

Geometri Dimensi Dua Geometri Dimensi Dua Materi Pelatihan Guru SMK Model Seni/Pariwisata/Bisnis Manajemen Yogyakarta, 28 November 23 Desember 2010 Oleh Dr. Ali Mahmudi JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN

Lebih terperinci

SMP / MTs Mata Pelajaran : Matematika

SMP / MTs Mata Pelajaran : Matematika Kunci Jawaban Latihan Soal Ujian Nasional 010 Sekolah Menengah Pertama / Madrasah Tsanawiyah SMP / MTs Mata Pelajaran : Matematika 1. Jawab: b Untuk menentukan hasil dari suatu akar telebih dahulu cari

Lebih terperinci

BANGUN RUANG BAHAN BELAJAR MANDIRI 5

BANGUN RUANG BAHAN BELAJAR MANDIRI 5 BAHAN BELAJAR MANIRI 5 BANGUN RUANG PENAHULUAN untuk membantu calon guru dan guru Sekolah dasar dalam memahami konsep geometri bangun ruang, bidang empat (limas), bidang enam (prisma), dan bangun ruang

Lebih terperinci

MODUL PENDALAMAN MATERI ESENSIAL DAN SULIT MATA PELAJARAN : MATEMATIKA ASPEK : GEOMETRI

MODUL PENDALAMAN MATERI ESENSIAL DAN SULIT MATA PELAJARAN : MATEMATIKA ASPEK : GEOMETRI MODUL PENDALAMAN MATERI ESENSIAL DAN SULIT MATA PELAJARAN : MATEMATIKA ASPEK : GEOMETRI STANDAR KOMPETENSI LULUSAN. Memahami bangun datar, bangun ruang, garis sejajar, dan sudut, serta menggunakannya dalam

Lebih terperinci

BAB IV KONSTRUKSI GEOMETRIS

BAB IV KONSTRUKSI GEOMETRIS BAB IV KONSTRUKSI GEOMETRIS Panduan Menggambar Teknik Mesin 1 A. Membuat Segilima Beraturan Gambar 4.1 menunjukkan cara membuat suatu segi lima yang panjang salah satu sisinya sudah diketahui. Garis AB

Lebih terperinci

MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS

MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS 1 MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS Dalam matematika, sistem koordinat kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x (absis)

Lebih terperinci

KISI-KISI UJIAN SEKOLAH

KISI-KISI UJIAN SEKOLAH KISI-KISI UJIAN SEKOLAH Matematika SEKOLAH MENENGAH PERTAMA DAERAH KHUSUS IBUKOTA (DKI) JAKARTA TAHUN PELAJARAN 2012-2013 KISI KISI PENULISAN SOAL UJIAN SEKOLAH TAHUN PELAJARAN 2012-2013 Jenjang : SMP

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN ( R P P No. 1 ) KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN ( R P P No. 1 ) KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN ( R P P No. 1 ) KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN Sekolah : SMP Negeri 9 Cimahi Kelas / Semester : IX / I Mata Pelajaran : Matematika Standar Kompetensi : Geometri dan Pengukuran

Lebih terperinci

Apa yang akan kamu pelajari? Syarat Dua Bangun Datar Sebangun. Kata Kunci:

Apa yang akan kamu pelajari? Syarat Dua Bangun Datar Sebangun. Kata Kunci: 933r 1.1 pa yang akan kamu pelajari? Membedakan dua bangun datar sebangun atau tidak seba ngun, dengan menye but syaratnya. Menghitung panjang sisi yang belum diketahui dari dua bangun yang sebangun. Syarat

Lebih terperinci

MATEMATIKA. Pertemuan 2 N.A

MATEMATIKA. Pertemuan 2 N.A MATEMATIKA Pertemuan 2 N.A smile.akbar@yahoo.co.id Awali setiap aktivitas dengan membaca Basmallah Soal 1 (Operasi Bentuk Aljabar) Bentuk Sederhana dari adalah a. b. c. d. Pembahasan ( A ) Soal 2 (Pola

Lebih terperinci

15. KOMPETENSI INTI DAN KOMPETENSI DASAR MATEMATIKA SMP/MTs

15. KOMPETENSI INTI DAN KOMPETENSI DASAR MATEMATIKA SMP/MTs 15. KOMPETENSI INTI DAN MATEMATIKA SMP/MTs KELAS: VII Tujuan kurikulum mencakup empat kompetensi, yaitu (1) kompetensi sikap spiritual, (2) sikap sosial, (3) pengetahuan, dan (4) keterampilan. Kompetensi

Lebih terperinci

MAKALAH TELAAH KURIKULUM MATEMATIKA SMP DISUSUN OLEH: KELOMPOK 1 OKTI ANGGUN PASESI (A1C013010) NISA SETIAWATI (A1C013012) MAISYAH RAHMA (A1C013030)

MAKALAH TELAAH KURIKULUM MATEMATIKA SMP DISUSUN OLEH: KELOMPOK 1 OKTI ANGGUN PASESI (A1C013010) NISA SETIAWATI (A1C013012) MAISYAH RAHMA (A1C013030) MAKALAH TELAAH KURIKULUM MATEMATIKA SMP DISUSUN OLEH: KELOMPOK 1 OKTI ANGGUN PASESI (A1C013010) NISA SETIAWATI (A1C013012) MAISYAH RAHMA (A1C013030) MELI DWI JAYANTI (A1C013040) DESSY AGUSTINA (A1C013054)

Lebih terperinci

Soal-soal dan Pembahasan UN Matematika SMP/MTs Tahun Pelajaran 2006/2007

Soal-soal dan Pembahasan UN Matematika SMP/MTs Tahun Pelajaran 2006/2007 Soal-soal dan Pembahasan UN Matematika SMP/MTs Tahun Pelajaran 2006/2007 1. Dari ramalan cuaca kota-kota besar di dunia, tercatat suhu tertinggi dan terendah adalah sebagai berikut: Moskow: terendah -5

Lebih terperinci

( ) 2. Nilai x yang memenuhi log 9. Jadi 4x 12 = 3 atau x = 3,75

( ) 2. Nilai x yang memenuhi log 9. Jadi 4x 12 = 3 atau x = 3,75 Here is the Problem and the Answer. Diketahui premis premis berikut! a. Jika sebuah segitiga siku siku maka salah satu sudutnya 9 b. Jika salah satu sudutnya 9 maka berlaku teorema Phytagoras Ingkaran

Lebih terperinci

Dari gambar jaring-jaring kubus di atas bujur sangkar nomor 6 sebagai alas, yang menjadi tutup kubus adalah bujur sangkar... A. 1

Dari gambar jaring-jaring kubus di atas bujur sangkar nomor 6 sebagai alas, yang menjadi tutup kubus adalah bujur sangkar... A. 1 1. Diketahui : A = { m, a, d, i, u, n } dan B = { m, e, n, a, d, o } Diagram Venn dari kedua himpunan di atas adalah... D. A B = {m, n, a, d} 2. Jika P = bilangan prima yang kurang dari Q = bilangan ganjil

Lebih terperinci

Matematika Semester IV

Matematika Semester IV F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri

Lebih terperinci

Hak Cipta 2014 Penerbit Erlangga

Hak Cipta 2014 Penerbit Erlangga 003-300-011-0 Hak Cipta 2014 Penerbit Erlangga Berilah tanda silang (X) pada huruf A, B, C, atau D pada jawaban yang benar! 1. Nilai dari 20 + 10 ( 5) ( 20) : 10 adalah.... A. 7 C. 68 B. 5 D. 72 2. Dea

Lebih terperinci

SEGI BANYAK BAHAN BELAJAR MANDIRI 2

SEGI BANYAK BAHAN BELAJAR MANDIRI 2 BAHAN BELAJAR MANDIRI 2 SEGI BANYAK PENDAHULUAN Secara umum bahan belajar mandiri ini menjelaskan tentang segitiga, segiempat, segilima, kongruensi dan kesebangunan. Setelah mempelajari BBM 2 ini anda

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR 16. Jika maka Jawab : E 17. Diketahui premis-premis sebagai berikut : 1) Jika maka 2) atau Jika adalah peubah pada himpunan bilangan real, nilai yang memenuhi agar kesimpulan dari kedua

Lebih terperinci

P2 KODE : 01. SMP / MTs Mata Pelajaran : Matematika Pembahasan Latihan Soal Ujian Nasional 2010

P2 KODE : 01. SMP / MTs Mata Pelajaran : Matematika  Pembahasan Latihan Soal Ujian Nasional 2010 Pembahasan Latihan Soal Ujian Nasional 00 Sekolah Menengah Pertama / Madrasah Tsanawiyah SMP / MTs Mata Pelajaran : Matematika P KODE : 0. Jawab: b Operasi dalam tanda kurung dikerjakan terlebih dahulu.

Lebih terperinci

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT KABUPATEN-KOTA TAHUN 2006

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT KABUPATEN-KOTA TAHUN 2006 OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT KABUPATEN-KOTA TAHUN 00 SOAL PILIHAN GANDA. Jumlah dua bilangan bulat yang berbeda adalah 4. Jika hasil bagi kedua bilangan tersebut adalah juga bilangan bulat,

Lebih terperinci

BAB 1 KESEBANGUNAN & KONGRUEN

BAB 1 KESEBANGUNAN & KONGRUEN 1 KESENGUNN & KONGRUEN. KESENGUNN 1. ua angun Yang Sebangun ua bangun datar dikatakan sebangun jika dan hanya jika memenuhi: a. Sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) sama besar. b. Sisi-sisi yang bersesuaian

Lebih terperinci

PEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 MATEMATIKA PROGRAM STUDI IPA

PEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 MATEMATIKA PROGRAM STUDI IPA PEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 009/00 MATEMATIKA PROGRAM STUDI IPA PEMBAHAS :. Sigit Tri Guntoro, M.Si.. Jakim Wiyoto, S.Si. 3. Marfuah, M.T. 4. Rohmitawati, S.Si. PPPPTK MATEMATIKA 00 . Perhatikan

Lebih terperinci