BAB IV PENALARAN MATEMATIKA
|
|
- Glenna Hardja
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB IV PENALARAN MATEMATIKA A. Pendahuluan Materi penalaran matematika merupakan dasar untuk mempelajari materimateri logika matematika lebih lanjut. Logika tidak dapat dilepaskan dengan penalaran, karena logika adalah suatu prinsip yang membedakan antara penalaran benar dan penalaran tidak benar. Sementara itu, penalaran dapat diartikan sebagai cara berpikir, merupakan penjelasan dalam upaya menunjukkan hubungan antara beberapa hal yang berdasarkan pada sifat-sifat atau hukum-hukum tertentu yang telah diakui kebenarannya. Langkah-langkah tertentu itu akan berakhir pada suatu penarikan kesimpulan. Secara singkat, penalaran dapat diartikan sebagai proses penarikan kesimpulan dalam sebuah argumen. Kemampuan memahami materi matematika seseorang tidak dapat dilepaskan dari kemempuan penalaran. Artinya materi matematika akan mudah dipahami dengan adanya kemampuan nalar yang baik. Adapun penalaran dapat berkembang jika penguasaan materi matematikanya pun baik. Untuk itu marilah kita pelajari bagai mana kita menggunakan penalaran tersebut. Dengan menguasai materi ini akan memudahkan mempelajari dan memahami materi-materi matematika lain, baik yang berhubungan dengan logika matematika, matematika secara umum, maupun yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari. Bahkan dalam kegiatan sehari-hari sangat erat kaitannya dengan proses penalaran. Misalnya ketika seseorang merasakan bahwa kopi yang akan diminum masih panas, mungkin orang akan berpikir untuk membuka tutup gelasnya, atau merendam gelasnya di air dingin, atau meniupnya supaya segera hangat dan dapat diminum, atau bisa juga berpikir untuk menunggunya sampai cukup hangat atau cukup dingin untuk diminum. Singkatnya, setiap kesan yang ditangkap oleh indera manusia akan menjadikannya melakukan kegiatan berpikir. Dari berbagai kegiatan berpikir dalam kehidupan manusia, suatu saat diperlukan proses berpikir secara sistematis dan logis untuk mendapatkan sebuah Konsep Dasar Matematika 1
2 kesimpulan atau keputusan. Kegiatan berpikir yang semacam ini disebut dengan kegiatan bernalar. Untuk dapat melakukan suatu kegiatan penalaran yang benar sehingga menghasilkan sebuah kesimpulan atau keputusan yang tepat, dibutuhkan data-data dan fakta serta kaidah-kaidah yang benar yang dirangkai dalam suatu alur yang sistematis dan logis. Konsep-konsep yang muncul dalam setiap bidang ilmu pasti merupakan hasil dari suatu proses penalaran, terlebih dalam bidang matematika. Matematika pada hakekatnya berkenaan dengan struktur dan ide-ide abstrak yang disusun secara sistematis dan logis melalui proses penalaran. Oleh karenanya untuk dapat memahami konsep-konsep matematika secara benar maka terlebih dahulu harus memahami bagaimanakah pola penalaran dan kaidah-kaidah logika yang digunakan sebagai alat berpikir kritis dalam matematika. Penalaran matematika dibedakan menjadi dua, yaitu penalaran induktif dan penalaran deduktif. Materi yang dibahas dalam bab ini merupakan dasar untuk mempelajari materi-materi logika lebih lanjut. Dengan mengusai materi ini kita akan terbantu dalam mempelajari dan mencerna materi-materi lain, baik yang berhubungan dengan logika matematika, matematika secara umum, maupun materi yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari. Secara umum, setelah menyelesaikan materi bab ini diharapkan mahasiswa mampu memahami kalimat matematika, mampu memahami penalaran induktif, dan mampu memahami penalaran deduktif. Sedangkan secara khusus diharapkan mahasiswa dapat: 1. Menjelaskan pengertian penalaran 2. Menjelaskan jenis-jenis kalimat matematika 3. Memberikan contoh kalimat matmatika berdasarkan jenisnya 4. Menjelaskan penalaran induktif 5. Memberikan contoh penalaran induktif 6. Menyelesaikan masalah dengan menggunakan penalaran induktif 7. Menjelaskan penalaran deduktif 8. Memberikan contoh penalaran deduktif 9. Menyelesaikan masalah dengan menggunakan penalaran deduktif 2 Konsep Dasar Matematika
3 B. Penalaran Induktif Penalaran induktif adalah kemampuan berpikir seseorang dari hal-hal yang bersifat khusus untuk menarik kesimpulan yang bersifat umum. Penalaran yang menggunakan pendekatan induktif pada prinsipnya menyelesaikan persoalan (masalah) matematika tanpa memakai rumus (dalil), melainkan dimulai dengan memperhatikan data/ soal. Dari data/ soal tersebut diproses sehingga berbentuk kerangka/ pola dasar tertentu yang kita cari sendiri, sedemikian rupa sehingga kita dapat menarik kesimpulan. Oleh karena itu proses berpikir induktif meliputi pengenalan pola, dugaan dan pembentukan generalisasi. Ketepatan sebuah dugaan atau pembentukan generalisasi dalam pola penalaran ini sangatlah tergantung dari data dan pola yang tersedia. Semakin banyak data yang diberikan atau semakin spesifik pola yang diberikan, maka akan menghasilkan sebuah dugaan atau generalisasi yang semakin mendekati kebenaran. Sebaliknya, semakin sedikit data yang diberikan atau semakin kurang spesifiknya pola yang disediakan, maka dugaan atau generalisasi bisa semakin jauh dari sasaran, dan bahkan bisa memunculkan dugaan atau generalisasi ganda. Contoh: 1. Barisan bilangan: 1, 5, 9, 13, 17,...,.... Untuk melengkapi dua suku terakhir diperlukan pengenalan pola dimaksudkan sebagai suatu identifikasi tentang tata aturan penulisan barisan tersebut. Dari contoh ini dapat dilihat bahwa untuk mendapatkan bilangan berikutnya, maka sebuah bilangan dalam barisan tersebut harus ditambah dengan 4. 1, 5, 9, 13, 17,..., Maka dapat disimpulkan dua suku terakhir adalah 21 dan 25. Setelah mengetahui polanya, selanjutnya dapat dilakukan dugaan-dugaan tentang bilangan-bilangan yang akan muncul pada urutan yang lebih tinggi. Konsep Dasar Matematika 3
4 Selanjutnya hasil dari proses pengenalan pola dan pendugaan tersebut dapat digunakan untuk membentuk sebuah generalisasi, yakni dengan menyusun formula untuk menentukan bilangan yang akan muncul pada urutan ke n. 2. Barisan huruf: C, A, G, E, K, L, O, M,...,.... Dengan mengetahui urutan huruf abjad, maka terlihat bahwa masing-masing suku ganjil dan suku genap memiliki pola. C, A, G, D, K, G, O, J,...,... D,E,F B,C Maka dapat disimpulkan bahwa dua suku terakhir adalah huruf S dan M. Latihan 3.1 Isilah titik-titik pada soal berikut dengan membubuhkan bilangan yang tepat? a. 2, 4, 6, 8,...,...,.... b. 0, -3, -6, -9,...,...,.... c. 2, 5, 4, 5, 8, 5,...,..., Pola gambar Pada deretan gambar tersebut dapat diketahui adanya kombinasi bentuk dan warna. Kombinasi bentuk berubah untuk bidang kiri atas dan kanan bawah. Sedangkan bentuk bidang kanan atas dan kiri bawah tidak berubah. Untuk warna, semua posisi mengalami perubahan yakni antara hitam dan putih. Bidang lingkaran putih kiri atas menjadi lingkaran hitam kanan bawah, segitiga hitam kiri atas menjadi segitiga putih kanan bawah, maka untuk gambar terakhir disimpulkan lingkaran putih di kanan bawah. Dari pilihan yang ada maka hanya C yang sesuai. Maka dapat dipastikan jawaban untuk gambar selanjutnya adalah C. 4 Konsep Dasar Matematika
5 4. Menyelesaikan permasalahan a. Berapakah hasil dari: Penyelesaian : Mencari pola hasil penjumlahan bilangan ganjil. 1 = 1 = 1 x = 4 = 2 x = 9 = 3 x = 16= 4 x 4, dst Karena bilangan ganjil dari 1 sampai 19 ada 10 bilangan maka dengan menggunakan pola di atas maka tanpa menghitung penjumlahan semua angka, dapat diperoleh hasilnya denga lebih cepat, yaitu 10 x 10 = 100. Misalnya ditanyakan jumlah 50 suku ganjil yang pertama, maka dengan pola tersebut dapat diketahui jawabannya adalah 50 x 50 = b. Soal cerita Dalam suatu pesta terdapat 100 orang yang hadir. Semua orang yang hadir pada acara tersebut saling bersalaman satu dengan yang lainnya tepat satu kali. Berapa banyak kejadian bersalaman yang terjadi pada acara tersebut? Penyelesaian: Kemungkinan terjadinya bersalaman : A 1 orang : 0 (tidak terjadi salaman) A 2 orang : 1 kali B A B A B C 3 orang : 3 kali C D 4 orang : 6 kali Konsep Dasar Matematika 5
6 Jumlah Orang (n) Salaman yang Terjadi ? Dari tabel tersebut kita dapat mencoba untuk mengambil kesimpulan sementara tentang pola yang terjadi antara kolom kedua (banyaknya salaman) dengan kolom pertama (jumlah orang). 0 = 1 x 0 x ½ 1 = 2 x 1 x ½ 3 = 3 x 2 x ½ 6 = 4 x 3 x ½ Jika operasi hitung tersebut dituliskan dalam tabel maka: Jumlah Orang (n) Salaman yang Terjadi Pola operasi Hitung x 0 x ½ x 0 x ½ x 0 x ½ x 0 x ½ ? 100 x 99 x ½ n n x (n-1) x ½ Kesimpulan: Jika ada 100 orang yang hadir dalam pesta tersebut maka banyaknya salaman yang terjadi adalah 100 x 99 x ½ = kali. Jika ada n orang yang hadir dalam pesta tersebut maka banyaknya salaman yang terjadi adalah n x (n-1) x ½. 6 Konsep Dasar Matematika
7 Latihan 3.2 Pilihlah gambar yang sesuai! Seperti yang telah disebutkan sebelumnya bahwa keakuratan hasil kesimpulan penalaran induktif akan sangat tergantung pada lengkap tidaknya data yang ada. Misalnya, barisan bilangan 3, 6, 10, 15,...,.... Kemudian untuk menentukan dua bilangan selanjutnya ternyata menghasilkan pola penyimpulan yang tidak tunggal. Jika menggunakan kunci selisih 3,4,5,6,7 maka diperoleh jawaban 21 dan 28. Namun bila menggunakan kunci selisih 3,4,5,7,9 maka diperoleh jawaban 22 dan 31. Dari contoh tersebut dapat diketahui bahwa hasil kesimpulan yang diperoleh akan menjadi kurang valid atau bisa mengakibatkan kesalahan penafsiran apabila data yang dipergunakan kurang lengkap atau pola yang diamati kurang spesifik karena hasil observasi yang terbatas. Oleh karena itu, penalaran induktif lebih cocok untuk bidang non-matematika yang hasil perumusan konsepnya sering harus diperbaiki agar teori-teori yang muncul sesuai dengan hasil penelitian yang terbaru. Sementara itu konsep-konsep dalam matematika hampir tidak pernah mengalami perubahan dan kalaupun ada, sifatnya hanyalah penambahan karena adanya temuan baru dan tidak sampai merubah konsep yang sudah ada sebelumnya. Hal ini karena sistem yang ada dalam matematika merupakan sistemsistem deduktif, dimana kebenaran suatu konsep didasarkan pada konsep-konsep sebelumnya. Oleh karenanya sistem penalaran yang paling banyak berperan dalam matematika adalah penalaran deduktif. Konsep Dasar Matematika 7
8 C. Penalaran Deduktif Proses penarikan kesimpulan pada penalaran deduktif merupakan kebalikan dari penalaran induktif. Jika pada penalaran induktif terjadi proses penarikan kesimpulan dari hal-hal khusus menuju hal-hal-hal umum, maka pada penalaran deduktif terjadi proses penarikan kesimpulan dari hal-hal umum menuju ke halhal khusus. Di dalam membuktikan dengan penalaran deduktif, kesimpulan didasarkan atas pernyataan generalisasi yang berlaku umum dan pernyataan khusus serta tidak menerima generalisasi dari hasil observasi seperti yang diperoleh dari penalaran induktif. Dasar penalaran deduktif yang berperan dalam matematika adalah kebenaran suatu pernyataan haruslah didasarkan pada kebenaran pernyataan-pernyataan lain. Penarikan kesimpulan yang demikian ini sangat berbeda dengan penarikan kesimpulan pada penalaran induktif yang didasarkan pada hasil pengamatan atau eksperimen yang terbatas. Kebenaran yang diperoleh dari hasil pengamatan atau eksperimen tidak bisa dijamin bebas dari kesalahan atau salah menafsirkan. Apabila dalam penalaran deduktif, kebenaran setiap pernyataan harus berdasarkan pada pernyataan sebelumnya yang benar, maka muncul pertanyaan Bagaimana menyatakan kebenaran dari pernyataan pertama? Untuk mendapatkan pernyataan yang berlaku secara umum tersebut dengan adanya proses untuk membangun sebuah sistem deduktif dalam matematika yang diawali dengan membuat suatu konsep pangkal. Konsep pangkal ini diperlukan sebagai sarana komunikasi untuk menyusun pernyataan-pernyataan selanjutnya, baik berupa kesepakatan, definisi, aksioma maupun teorema. Selanjutnya kebenaran suatu konsep didasarkan pada kebenaran konsep-konsep sebelumnya dan mendasari proses penyusunan konsep-konsep selanjutnya. Misalkan T n benar berdasarkan T n-1 yang sudah dibuktikan kebenarannya dan kebenaran T n-1 telah dibuktikan atas kebenaran T n-2, demikian juga kebenaran T n-2 sudah dibuktikan berdasarkan atas kebenaran T n-3 dan seterusnya sampai dengan T 0 yang kebenarannya tidak perlu dibuktikan lagi karena adanya kesepakatan konsep pangkal bahwa T 0 benar. Dapat digambarkan seperti ilustrasi berikut. T 0 T 1 T 2... T n-1 T n 8 Konsep Dasar Matematika
9 Dalam hal ini T 0 merupakan pernyataan pangkal yang kebenarannya tidak perlu dibuktikan. Sedangkan untuk menyatakan T 0 diperlukan adanya suatu konsep pangkal. Contoh: Buktikan bahwa jumlah dua buah bilangan ganjil adalah bilangan genap! Penyelesaian: Dapat dibuat permisalan secara umum bahwa m dan n adalah sembarang dua bilangan bulat, maka 2m+1 dan 2n+1 tentunya masing-masing merupakan bilangan ganjil. Jika dijumlahkan: (2m+1)+(2n+1) = 2(m+n+1) Karena m dan n bilangan bulat, maka ( m+n+1) bilangan bulat, sehingga 2(m+n+1) adalah bilangan genap. Jadi jumlah dua bilangan ganjil selalu genap. Buktikan persamaan berikut: b + (a + b) = a! Penyelesaian: Dalam pembuktian persamaan tersebut digunakan pengetahuan aljabar yang berkait dengan bilangan real a, b, dan c terhadap operasi penjumlahan (+) dan perkalian (.) yang didasarkan pada enam aksioma atau postulat berikut: 1. tertutup, a+b R dan a.b R 2. asosiatif, a+(b+c) = (a+b)+c dan a.(b.c) = (a.b).c 3. komutatif, a+b = b+a dan a.b = b.a 4. distributif, a.(b+c) = a.b + a.c dan (b+c).a = b.a + c.a 5. identitas, a+0 = 0+a = a dan a.1 = 1. a = a 6. invers, a+( a) = ( a)+a = 0 dan a.1/a = a/1.a = 1 untuk a 0 Berdasar enam aksioma itu, teorema seperti b + (a + b) = a dapat dibuktikan sebagai berikut: b + (a+b) = b + (b+a) Aksioma 3 Komutatif = ( b+b) + a Aksioma 2 Asosiatif = 0 + a Aksioma 6 Invers = a Aksioma 5 Identitas Jadi terbukti bahwa b + (a + b) = a adalah benar. Konsep Dasar Matematika 9
10 Buktikan besar sudut setiap segitiga adalah 180 o! Penyelesaian: Untuk membuktikannya, pada segitiga sembarang ABC dibuat garis perpanjangan AC dan BC serta garis yang sejajar AB C A B Kemudian dengan teorema sudut yang ada dapat dibuktikan: A = C 4 B = C 2 C 1 = C 3 (sudut sehadap) (sudut sehadap) (sudut bertolak belakang) A + B + C 1 = C 4 + C 2 + C 3 = 180 o (sudut garis lurus) Jadi dapat disimpulkan besar sudut setiap segitiga 180 o adalah benar. Suatu bak mandi mempunyai panjang 3 m lebihnya dari lebar bak tersebut, sedangkan lebar 2 m kurangnya dari tinggi bak. Bila luas alas bak tersebut sama dengan 4 m 2 berapakah isi bak mandi tersebut? Penyelesaian: Diketahui : Luas = 4 m 2 Misal tinggi bak mandi adalah t m Lebar = t 2 Panjang = (t 2) + 3 L = p x l 4 = {(t 2)+3} x (t 2) 4 = (t + 1) (t 2) t 2 t 2 = 4 t 2 t 6 = 0 10 Konsep Dasar Matematika
11 (t 3) (t + 2) = 0 t 1 = 3 atau t 2 = -2 Bila diambil t = 3 m maka didapat p = 4 m dan l = 1 m Volume balok = p x l x t = 4 x 1 x 3 = 12 m 3 Jadi isi bak mandi adalah 12 m 3. Latihan 3.3 Perhatikan pernyataan-pernyataan aksioma berikut, kesimpulan apa yang dapat dibentuk dari aksioma-aksioma berikut. A 1 : a + b = c A 2 : d + e = f A 3 : (a + b). (d + e) = g Sistem penalaran yang banyak berperan dalam matematika adalah penalaran secara deduktif. Namun sering terdengar sebuah metode pembuktian yang bernama induksi matematika. Meskipun namanya induksi matematika, proses penalarannya tetap menggunakan penalaran deduktif. Untuk membedakan pembuktian secara induktif dengan pembuktian secara induksi matematika, perhatikan contoh berikut. Buktikan bahwa n = ( ), untuk n bilangan asli! Pembuktian secara induktif: 1 = 1 = ( ) 1+2 = 3 = ( ) = 6 = ( ) = 10 = ( ) = 15 = ( ) Jadi n = ( ) Konsep Dasar Matematika 11
12 Pembuktian secara induksi matematika: Untuk n=1, ( ) = ( ) = 1 Benar Untuk n=k, dianggap benar sehingga: k = ( ) Untuk n = k k + (k+1) = ( ) + (k+1) = + = = ( )[( ) ] Pola yang dihasilkan sama untuk n = k+1, maka terbukti bahwa n = ( ), untuk n bilangan asli adalah benar. Dari contoh tersebut terlihat perbedaan antara pembuktian secara penalaran induktif dan induksi matematika. Pada penalaran induktif dilakukan dengan menyelidiki kebenaran rumus untuk n = 1,2,3,4 dan 5. Setelah terbukti kebenarannya untuk kelima contoh empiris, kemudian digeneralisasikan untuk semua bilangan asli. Penarikan kesimpulan secara demikian memiliki kelemahan, sebab penyelidikan baru dilakukan pada 5 bilangan asli pertama dan belum terbukti untuk 6, 7, 8, 9, 10, dan seterusnya. Sedangkan dalam pembuktian secara induksi matematika, pada awalnya didapatkan kebenaran rumus untuk n=1. Dan dengan asumsi bahwa rumus benar untuk n = k, maka selanjutnya terbukti bahwa rumus juga benar untuk n = k+1. Hal ini memberikan suatu implikasi: Jika untuk n = 1 dan n = k benar maka untuk n = k + 1 juga benar. Dengan implikasi ini maka sudah dapat disimpulkan bahwa rumus akan berlaku untuk semua bilangan asli, sebab diawali bahwa rumus benar untuk n = 1 maka juga benar untuk n = 1+1 = 2; karena benar untuk n = 2 maka juga benar untuk n = 2+1 = 3; karena benar untuk n = 3 maka juga benar untuk n = 3+1 = 4; karena benar untuk n = 4 maka juga benar untuk n = 4+1 = 5; karena benar 12 Konsep Dasar Matematika
13 untuk n = 5 maka juga benar untuk n = = 6; demikian seterusnya. Dengan demikian jelaslah bahwa dengan pembuktian kebenaran satu implikasi di atas maka hal tersebut sudah dapat diterapkan pada seluruh bilangan asli dan pengambilan kesimpulan semacam ini adalah valid. Oleh karena itu, dapat diketahui bahwa pola penalaran yang digunakan dalam induksi matematika adalah pola penalaran deduktif. Rangkuman 1. Penalaran matematika menjadi dasar untuk mempelajari materi-materi logika matematika lebih lanjut. Penalaran dapat diartikan sebagai cara berpikir sebagai proses penarikan kesimpulan dalam sebuah argumen. 2. Penalaran dibedakan menjadi penalaran induktif dan penalaran deduktif. 3. Penalaran induktif adalah kemampuan berpikir seseorang dari hal-hal yang bersifat khusus untuk menarik kesimpulan yang bersifat umum. Proses berpikir induktif meliputi pengenalan pola, dugaan dan pembentukan generalisasi. 4. Ketepatan sebuah generalisasi pada penalaran induktif tergantung dari data dan pola yang tersedia. Semakin banyak data atau semakin spesifik pola yang ada, maka akan menghasilkan generalisasi yang semakin mendekati kebenaran. Begitupun sebaliknya. 5. Penalaran deduktif terjadi proses penarikan kesimpulan dari hal-hal umum menuju hal-hal khusus. Kesimpulan didasarkan atas pernyataan generalisasi yang berlaku umum diterapkan pada hal-hal khusus. 6. Dasar penalaran deduktif yang berperan dalam matematika adalah kebenaran suatu pernyataan haruslah didasarkan pada kebenaran pernyataan-pernyataan lain. 7. Sistem penalaran yang banyak berperan dalam matematika adalah penalaran secara deduktif. 8. Metode pembuktian yang sering disebut induksi matematika menggunakan proses penalaran deduktif bukan penalaran induktif. Konsep Dasar Matematika 13
14 Soal Untuk meningkatkan pemahaman pada bab ini, kerjakan soal-soal berikut ini. 1. Tentukan pola suku ke n dari barisan berikut: a. 1, 4, 9, 16,... b. 2, 5, 8, 11, 14, Apabila ada 100 garis bertemu di satu titik. Berapa pasang sudut yang terbentuk oleh garis-garis tersebut? 3. Dengan pendekatan deduktif, buktikan bahwa: a. Kuadrat bilangan genap adalah genap b. Kuadrat bilangan ganjil adalah ganjil 14 Konsep Dasar Matematika
15 DAFTAR PUSTAKA Antonius Cahya P Memahami Konsep Matematika Secara Benar dan Menyajikannya dengan Menarik. Jakarta: Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi Departemen Pendidikan Nasional Booker, G., Bond, D., Sparrow, L., & Swan P Teaching Primary Mathemathics(3th Ed), Pearson Education Australia Frans Susilo Landasan Matematika. Yogyakarta: Graha Ilmu Gatot Muhsetyo, dkk Pembelajaran Matematika SD. Jakarta: Universitas Terbuka John Bird Matematika Dasar: Teori dan Aplikasi Praktis. Jakarta: Erlangga Kasir Iskandar Matematika Dasar. Jakarta: Erlangga Sufyani P Konsep Dasar Matematika. Jakarta: Direktorat Jenderal Pendidikan Islam Kementrian Agama Republik Indonesia Konsep Dasar Matematika 15
BAB II HAKIKAT DAN PERANAN MATEMATIKA
BAB II HAKIKAT DAN PERANAN MATEMATIKA Matematika merupakan ilmu dasar yang sudah menjadi alat untuk mempelajari ilmu-ilmu yang lain. Oleh karena itu penguasaan terhadap matematika mutlak diperlukan dan
Lebih terperinciBAGAIMANA MENENTUKAN BENAR TIDAKNYA SUATU PERNYATAAN?
BAGAIMANA MENENTUKAN BENAR TIDAKNYA SUATU PERNYATAAN? Fadjar Shadiq Dimulai sejak kecil, setiap manusia, sedikit demi sedikit akan melengkapi perbendaharaan kata-katanya. Di saat berkomunikasi, seseorang
Lebih terperinciPENALARAN INDUKTIF DAN DEDUKTIF
Unit 6 PENALARAN INDUKTIF DAN DEDUKTIF Wahyudi Pendahuluan U nit ini membahas tentang penalaran induktif dan deduktif yang berisi penarikan kesimpulan dan penalaran indukti deduktif. Dalam penalaran induktif
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciDrs. Slamin, M.Comp.Sc., Ph.D. Program Studi Sistem Informasi Universitas Jember
Penalaran Dalam Matematika Drs. Slamin, M.Comp.Sc., Ph.D Program Studi Sistem Informasi Universitas Jember Outline Berpikir Kritis 1 p 2 Penalaran Induktif 3 Bekerja dengan Pola Pola Bilangan Pola Geometri
Lebih terperinciMATEMATIKA 1. Pengantar Teori Himpunan
MATEMATIKA 1 Silabus: Logika, Teori Himpunan, Sistem Bilangan, Grup, Aljabar Linier, Matriks, Fungsi, Barisan dan deret, Beberapa Cara pembuktian Pengertian Himpunan Pengantar Teori Himpunan Himpunan adalah
Lebih terperinciPelabelan matriks menggunakan huruf kapital. kolom ke-n. kolom ke-3
MATRIKS a. Konsep Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegipanjang dan diletakkan di dalam kurung biasa ( ) atau
Lebih terperinciDEDUKSI ATAU PENALARAN DEDUKTIF: KELEBIHAN DAN KEKURANGANNYA. Fadjar Shadiq
DEDUKSI ATAU PENALARAN DEDUKTIF: KELEBIHAN DAN KEKURANGANNYA Fadjar Shadiq Salah satu hal yang membedakan manusia dari binatang adalah manusia dikaruniai Allah S.W.T. dengan akal yang paling sempurna (QS
Lebih terperinciHimpunan dan Sistem Bilangan Real
Modul 1 Himpunan dan Sistem Bilangan Real Drs. Sardjono, S.U. PENDAHULUAN M odul himpunan ini berisi pembahasan tentang himpunan dan himpunan bagian, operasi-operasi dasar himpunan dan sistem bilangan
Lebih terperinciPENDAHULUAN INDUKSI MATEMATIKA Di dalam Matematika, sebuah pernyataan atau argumen dan bahkan sebuah rumus sekalipun tidak hanya sekedar dibaca.
PENDAHULUAN INDUKSI MATEMATIKA Di dalam Matematika, sebuah pernyataan atau argumen dan bahkan sebuah rumus sekalipun tidak hanya sekedar dibaca. Karena hampir semua rumus dan hukum yang berlaku tidak tercipta
Lebih terperinciMatriks. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Matriks Drs. H. Karso, M. M.Pd. M PENDAHULUAN odul pertama dari mata kuliah Aljabar Linear ini merupakan materi prasyarat untuk mempelajari konsep-konsep dalam Aljabar Linear berikutnya. Pendahuluan
Lebih terperinciSOLUSI OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI TAHUN 2004
SOLUSI OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI TAHUN 004 A. ISIAN SINGKAT. Setiap muka sebuah kubus diberi bilangan seperti pada gambar. Kemudian setiap titik sudut diberi bilangan yang merupakan hasil penjumlahan
Lebih terperincimatematika Wajib Kelas X PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL K-13 A. DEFINISI PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL
K-3 Kelas X matematika Wajib PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami definisi dan solusi persamaan linear
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciPENGERTIAN RING. A. Pendahuluan
Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciPenulis : Tyas Rangga Kristianto, M.Si. Copyright 2013 pelatihan-osn.com. Cetakan I : Oktober Diterbitkan oleh : Pelatihan-osn.
Penulis : Tyas Rangga Kristianto, M.Si. Copyright 2013 pelatihan-osn.com Cetakan I : Oktober 2012 Diterbitkan oleh : Pelatihan-osn.com Kompleks Sawangan Permai Blok A5 No.12 A Sawangan, Depok, Jawa Barat
Lebih terperinciBENTUK-BENTUK ALJABAR
BENTUK-BENTUK ALJABAR (Pembelajaran Matematika SMP) Oleh : H. Karso FPMIPA UPI A. Kalimat Matematika dalam Bentuk Aljabar Serta Unsur-unsurnya Dalam pelajaran matematika pengertian kalimat matematika dibedakan
Lebih terperinciSELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2013 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2014
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2013 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2014 Waktu : 210 Menit KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT
Lebih terperinciKebenaran suatu teori yang dikemukakan setiap ilmuwan, matematikawan, maupun
LOGIKA DAN PERNYATAAN DALAM ILMU MATEMATIKA (Pendalaman Materi Untuk Peserta Diklat Guru Matematika MA) By : Drs. Swengli Umar, M.Si Widyaiswara pada Balai Diklat Keagamaan Manado A. Pendahuluan Kebenaran
Lebih terperinciUnit 5 PENALARAN/LOGIKA MATEMATIKA. Wahyudi. Pendahuluan
Unit 5 PENALARAN/LOGIKA MATEMATIKA Wahyudi Pendahuluan D alam menyelesaikan permasalahan matematika, penalaran matematis sangat diperlukan. Penalaran matematika menjadi pedoman atau tuntunan sah atau tidaknya
Lebih terperinciContoh Penalaran Induktif dan Deduktif Menggunakan Kegiatan Bermain-main dengan Bilangan
Contoh Penalaran Induktif dan Deduktif Menggunakan Kegiatan Bermain-main dengan Bilangan Pengantar Fadjar Shadiq (fadjar_p3g@yahoo.com & www.fadjarp3g.wordpress.com) Perhatikan tujuh perintah berikut.
Lebih terperinciMATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinciEKSPLORASI BILANGAN. 1.1 Barisan Bilangan
EKSPLORASI BILANGAN Fokus eksplorasi bilangan ini adalah mencari pola dari masalah yang disajikan. Mencari pola merupakan bagian penting dari pemecahan masalah matematika. Eksplorasi pola-pola bilangan
Lebih terperinciBab. Faktorisasi Aljabar. A. Operasi Hitung Bentuk Aljabar B. Pemfaktoran Bentuk Aljabar C. Pecahan dalam Bentuk Aljabar
Bab Sumber: Science Encylopedia, 997 Faktorisasi Aljabar Masih ingatkah kamu tentang pelajaran Aljabar? Di Kelas VII, kamu telah mengenal bentuk aljabar dan juga telah mempelajari operasi hitung pada bentuk
Lebih terperinciGeometri di Bidang Euclid
Modul 1 Geometri di Bidang Euclid Dr. Wono Setya Budhi G PENDAHULUAN eometri merupakan ilmu pengetahuan yang sudah lama, mulai dari ribuan tahun yang lalu. Berpikir secara geometris dari satu bentuk ke
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciKegiatan Belajar 1 HAKIKAT MATEMATIKA
Kegiatan Belajar 1 HAKIKAT MATEMATIKA A. Pengantar Matematika merupakan salah satu bidang studi yang dijarkan di SD. Seorang guru SD yang akan mengajarkan matematika kepada siswanya, hendaklah mengetahui
Lebih terperinciUnit 6 PENALARAN MATEMATIKA. Clara Ika Sari Budhayanti. Pendahuluan. Selamat belajar, semoga Anda sukses.
Unit 6 PENALARAN MATEMATIKA Clara Ika Sari Budhayanti Pendahuluan D alam menyelesaikan permasalahan matematika, penalaran matematis sangat diperlukan baik di bidang aritmatika, aljabar, geometri dan pengukuran,
Lebih terperinciRelasi, Fungsi, dan Transformasi
Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian
Lebih terperinci1.3 Pembuktian Tautologi dan Kontradiksi. Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar bagaimanapun nilai proposisi
1.3 Pembuktian 1.3.1 Tautologi dan Kontradiksi Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar bagaimanapun nilai proposisi yang membentuknya disebut toutologi, sedangkan proposisi yang selalu bernilai salah
Lebih terperinciMETODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA Dr. Julan HERNADI & Uki Suhendar, S.Pd (Asrul dan Enggar) Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unmuh Ponorogo Pertemuan 8 FONDASI MATEMATIKA Matematika Bukan Sekedar
Lebih terperinciHimpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada
Lebih terperinciPENALARAN DALAM MATEMATIKA
PENALARAN DALAM MATEMATIKA A. PENDAHULUAN Siswa belajar dimulai dari mengamati contoh-contoh atau fenomena Dari informasi-informasi yang diperoleh secara khusus siswa mencoba melakukan generalisasi secara
Lebih terperinciTabel 1. Rata-rata Nilai Ujian Nasional Secara Nasional
Rekap Nilai Ujian Nasional tahun 2011 Pada tahun 2011 rata-rata nilai matematika 7.31, nilai terendah 0.25, nilai tertinggi 10, dengan standar deviasi sebesar 1.57. Secara rinci perolehan nilai Ujian Nasional
Lebih terperinciBAB II TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN
BAB II TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN 2.1 Pendahuluan Pada bab ini akan dibicarakan rumus-rumus tautologi dan prinsip-prinsip pembuktian yang tidak saja digunakan di bidang matematika, tetapi
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang
Lebih terperinciPAKET 2 CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN MATEMATIKA SMP/MTs
PAKET CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN MATEMATIKA SMP/MTs 1. * Kemampuan yang diuji. Menghitung hasil operasi tambah, kurang, kali dan bagi pada bilangan bulat Menentukan hasil operasi campuran bilangan bulat.
Lebih terperinciMatriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks
Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Matriks -
Lebih terperinciUnit 7 PENALARAN INDUKTIF DAN DEDUKTIF. Clara Ika Sari Budhayanti. Pendahuluan. Selamat belajar dan tetap bersemangat, semoga Anda sukses.
Unit 7 PENALARAN INDUKTIF DAN DEDUKTIF Pendahuluan Clara Ika Sari Budhayanti U nit penalaran induktif dan deduktif ini akan membahas mengenai penarikan kesimpulan dan penalaran indukti deduktif. Dalam
Lebih terperinciBAB V BILANGAN BULAT
BAB V BILANGAN BULAT PENDAHULUAN Dalam bab ini akan dibicarakan sistem bilangan bulat, yang akan dimulai dengan memperluas sistem bilangan cacah dengan menggunakan sifat-sifat baru tanpa menghilangkan
Lebih terperinci44. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Atas (SMA)/ Madrasah Aliyah (MA)
44. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Atas (SMA)/ Madrasah Aliyah (MA) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga negatif dari bilangan
Lebih terperinciBAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi +
5 BAB II KERANGKA TEORITIS 2.1 Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan,
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN BULAT
SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2
Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut
Lebih terperinciBab 1. Bilangan Bulat. Standar Kompetensi. 1. Memahami sifat-sifat operasi hitung bilangan dan pengunaannya dalam pemecahan masalah.
Bab 1 Bilangan Bulat Standar Kompetensi 1. Memahami sifat-sifat operasi hitung bilangan dan pengunaannya dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar 1.1. Melakukan operasi hitung bilangan pecahan. 1.2. Menggunakan
Lebih terperinciPAKET 2 CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN MATEMATIKA SMP/MTs
PAKET CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN MATEMATIKA SMP/MTs 1. * Kemampuan yang diuji. Menghitung hasil operasi tambah, kurang, kali dan bagi pada bilangan bulat Menentukan hasil operasi campuran bilangan bulat.
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL
DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real..................... 1 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real............
Lebih terperinciII. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351)
II. SISTEM BILANGAN RIIL Handout Analisis Riil I (PAM 351) Sifat Aljabar (Aksioma Lapangan) dari Bilangan Riil Bagian ini akan membicarakan struktur aljabar bilangan riil dengan terlebih dahulu memberikan
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA Latihan 1 1. A. NOTASI SIGMA 1. Pengertian Notasi Sigma Misalkan jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah S n = U 1 + U 2 + U 3 + + U
Lebih terperinciMAKALAH. GEOMETRI BIDANG Oleh Asmadi STKIP Muhammadiyah Pagaralam
MAKALAH GEOMETRI BIDANG Oleh Asmadi STKIP Muhammadiyah Pagaralam 1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Kata geometri berasal dari bahasa Yunani yang berarti ukuran bumi. Maksudnya mencakup segala sesuatu
Lebih terperinciMA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3 DEFINISI DAN PERISTILAHAN MATEMATIKA (c) Hendra Gunawan (2015) 2 Ingat PROPOSISI Ini? Proposisi. Jika segitiga siku-siku XYZ dengan
Lebih terperinciPENDEKATAN IDENTIFIKASI LOGIK UNTUK MENGATASI KESULITAN MAHASISWA DALAM MEMAHAMI DEFINISI DAN TEOREMA PADA STRUKTUR ALJABAR LANJUT 1
PENDEKATAN IDENTIFIKASI LOGIK UNTUK MENGATASI KESULITAN MAHASISWA DALAM MEMAHAMI DEFINISI DAN TEOREMA PADA STRUKTUR ALJABAR LANJUT 1 Antonius Cahya Prihandoko 2 Abstract Many students who take the Advanced
Lebih terperinciPENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*)
PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*) A. Faktor Prima Dalam tulisan ini yang dimaksud dengan faktor prima sebuah bilangan adalah pembagi habis dari sebuah bilangan
Lebih terperinci09. Mata Pelajaran Matematika
09. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan mengembangkan daya
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu
BAB IV RELASI DAN FUNGSI Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu relasi, relasi invers, relasi identitas, pengertian fungsi, bayangan invers
Lebih terperinciHimpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan Bahan kuliah Matematika Diskrit 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan,
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Pertemuan Standar kompetensi: mahasiswa memahami cara membangun sistem bilangan real, aturan dan sifat-sifat dasarnya. Kompetensi dasar Memahami aksioma atau sifat aljabar bilangan real Memahami fakta-fakta
Lebih terperinciFAKTORISASI SUKU ALJABAR
1 FAKTORISASI SUKU ALJABAR Pernahkah kalian berbelanja di supermarket? Sebelum berbelanja, kalian pasti memperkirakan barang apa saja yang akan dibeli dan berapa jumlah uang yang harus dibayar. Kalian
Lebih terperinciEKSPLORASI BILANGAN. 1.1 BARISAN BILANGAN
EKSPLORASI BILANGAN. 1.1 BARISAN BILANGAN 1 EKSPLORASI BILANGAN Fokus eksplorasi bilangan ini adalah mencari pola dari masalah yang disajikan. Mencari pola merupakan bagian penting dari pemecahan masalah
Lebih terperinciHimpunan dan Sistem Bilangan
Modul 1 Himpunan dan Sistem Bilangan Dr. Wahyu Widayat H PENDAHULUAN impunan adalah bagian dari Matematika yang bahannya pernah Anda pelajari. Materi tersebut akan dibahas sehingga Anda menjadi lebih memahami
Lebih terperinciLINGKARAN. Lingkaran. pusat lingkaran diskriminan posisi titik posisi garis garis kutub gradien. sejajar tegak lurus persamaan lingkaran
LINGKARAN Persamaan Persamaan garis singgung lingkaran Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dan (a, b) Kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran Merumuskan persamaan garis singgung yang melalui suatu
Lebih terperinciMatematika Teknik INVERS MATRIKS
INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien
Lebih terperinciPEMBELAJARAN MATEMATIKA di SD
Kegiatan Belajar 3 PEMBELAJARAN MATEMATIKA di SD A. Pengantar Seorang guru SD atau calon guru SD perlu mengetahui beberapa karakteristik pembelajaran matematika di SD. Seperti yang telah diuraikan sebelumnya,
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciSTUDI PENALARAN DEDUKTIF MAHASISWA PGMI STAIN PURWOKERTO DITINJAU DARI KEMAMPUAN PEMBUKTIAN MATEMATIKA. Mutijah
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 18 Mei 2013 STUDI PENALARAN DEDUKTIF MAHASISWA PGMI STAIN PURWOKERTO DITINJAU DARI KEMAMPUAN
Lebih terperinciHimpunan Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed Iwan Setiawan Tahun Ajaran 2013/2014 Obyek-obyek diskret ada di sekitar kita. Matematika Diskret (TKE132107)
Lebih terperinciBILANGAN. Kita bisa menggunakan garis bilangan di bawah ini untuk memaknai penjumlahan 3 ditambah 4.
BILANGAN A. BILANGAN BULAT Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang terdiri dari himpunan bilangan positif (bilangan asli), bilangan nol, dan bilangan bulat negatif. Himpunan bilangan bulat
Lebih terperinciStruktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
Lebih terperinci42. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Luar Biasa Tunanetra (SMPLB A)
42. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Luar Biasa Tunanetra (SMPLB A) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai
Lebih terperinciLogika. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Logika Drs. Sukirman, M.Pd. L PENDAHULUAN ogika merupakan salah satu bidang ilmu yang mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan yang absah, baik yang bersifat deduktif
Lebih terperinci2. Suku-suku sejenis Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang mempunyai variabel dan bilangan pangkat dari variabel tersebut sama.
A. OPERASI BENTUK ALJABAR 1. Pengertian suku, koefisien, variabel, dan konstanta bentuk aljabar Bentuk 8x + 17 merupakan bentuk aljabar dengan x sebagai variabel, 8 sebagai koefisien, dan 17 adalah konstant
Lebih terperinciDefinisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga;
BAB I VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR 1). Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya,
Lebih terperinciMatematika dan Pendidikan Matematika
Modul 1 Matematika dan Pendidikan Matematika Dra. Susanah, M.Pd. B PENDAHULUAN erbicara tentang hakikat matematika berarti berbicara tentang apa sebenarnya matematika itu, baik itu ditinjau dari pengertian
Lebih terperinciTEKNIK BUKTI: I Drs. C. Jacob, M.Pd
TEKNIK BUKTI: I Drs C Jacob, MPd Email: cjacob@upiedu Dalam dua bagian pertama kita memperkenalkan suatu kata-kata sukar logika dan matematika Tujuannya adalah tentu, agar mampu untuk membaca dan menulis
Lebih terperinciTEKNIK MEMBILANG. b T U V W
TEKNIK MEMBILANG Berikut ini teknik-teknik (cara-cara) membilang atau menghitung banyaknya anggota ruang sampel dari suatu eksperimen tanpa harus mendaftar seluruh anggota ruang sampel tersebut. A. Prinsip
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. masalah kehidupan sehari-hari. Matematika terdiri dari beberapa komponen yang. serta sifat penalaran matematika yang sistematis.
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Matematika sering digunakan sebagai alat untuk mencari solusi berbagai masalah kehidupan sehari-hari. Matematika terdiri dari beberapa komponen yang meliputi aksioma/postulat
Lebih terperinciMATRIKS. 3. Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai baris dan kolom yang sama.
MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital (huruf besar)
Lebih terperinciINDUKSI MATEMATIKA A. Penalaran Induktif dan Deduktif Penalaran dalam matematika ada dua jenis, yaitu penalaran induktif dan penalaran deduktif. 1.
INDUKSI MATEMATIKA A. Penalaran Induktif dan Deduktif Penalaran dalam matematika ada dua jenis, yaitu penalaran induktif dan penalaran deduktif. 1. Penalaran induktif Penalaran Induktif adalah proses berpikir
Lebih terperinciSumber: Kamus Visual, 2004
1 BILANGAN BULAT Pernahkah kalian memerhatikan termometer? Termometer adalah alat yang digunakan untuk mengukur suhu suatu zat. Pada pengukuran menggunakan termometer, untuk menyatakan suhu di bawah 0
Lebih terperinciBAB I MATEMATIKA: HAKEKAT, NILAI DAN PERANANNYA
BAB I MATEMATIKA: HAKEKAT, NILAI DAN PERANANNYA Matematika merupakan ilmu dasar yang sudah menjadi alat untuk mempelajari ilmu-ilmu yang lain. Oleh karena itu penguasaan terhadap matematika mutlak diperlukan
Lebih terperinciMETODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
1 1 Program Studi Pend Matematika FKIP UM Ponorogo January 12, 2011 Jenis Pernyataan dalam Matematika Denisi (Denition) Kesepakatan mengenai pegertian suatu istilah. Teorema (Theorem) Pernyataan yang dapat
Lebih terperinciUKURAN RUAS-RUAS GARIS PADA SEGITIGA SKRIPSI
UKURAN RUAS-RUAS GARIS PADA SEGITIGA SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana
Lebih terperinciBAB 6 RING (GELANGGANG) BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 6 RING (GELANGGANG) Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat suatu Ring, Integral Domain dan Field Tujuan Instruksional
Lebih terperinciPembahasan OSN Matematika SMA Tahun 2013 Seleksi Tingkat Provinsi. Tutur Widodo. Bagian Pertama : Soal Isian Singkat
Pembahasan OSN Matematika SMA Tahun 013 Seleksi Tingkat Provinsi Tutur Widodo Bagian Pertama : Soal Isian Singkat 1. Diberikan tiga lingkaran dengan radius r =, yang saling bersinggungan. Total luas dari
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Kajian tentang Pembelajaran Matematika. 1. Pengertian belajar. Menurut Pedoman Pembinaan Profesional Guru Sekolah Dasar dan Menengah, Dirjen Dikdasmen, Depdikbud, Jakarta (1997-1998)
Lebih terperinciMatematika Industri I
LOGIKA MATEMATIKA TIP FTP - UB Pokok Bahasan Proposisi dan negasinya Nilai kebenaran dari proposisi Tautologi Ekuivalen Kontradiksi Kuantor Validitas pembuktian Pokok Bahasan Proposisi dan negasinya Nilai
Lebih terperinciGLOSSARIUM. A Akar kuadrat
A Akar kuadrat GLOSSARIUM Akar kuadrat adalah salah satu dari dua faktor yang sama dari suatu bilangan. Contoh: 9 = 3 karena 3 2 = 9 Anggota Himpunan Suatu objek dalam suatu himpunan B Belahketupat Bentuk
Lebih terperinci51. Mata Pelajaran Matematika Kelompok Teknologi, Kesehatan dan Pertanian untuk Sekolah Menengah Kejuruan (SMK)/Madrasah Aliyah Kejuruan (MAK) A.
51. Mata Pelajaran Matematika Kelompok Teknologi, Kesehatan dan Pertanian untuk Sekolah Menengah Kejuruan (SMK)/Madrasah Aliyah Kejuruan (MAK) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang
Lebih terperinciMA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun
MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Tentang Mata Kuliah MA3231 Mata kuliah ini merupakan mata kuliah wajib bagi mahasiswa program studi S1 Matematika, dengan
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA LOGIKA. Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom
LOGIKA MATEMATIKA LOGIKA Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom Pendahuluan Untuk menemukan suatu gagasan baru dari informasi dan gagasan yang telah ada, diperlukan proses berpikir. Proses ini dikenal
Lebih terperinciModul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 2) A. Pendahuluan Matriks dan Sistem Persamaan Linear
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 2) A. Pendahuluan Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan
Lebih terperinciMETODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA Dr. Julan HERNADI & Uki Suhendar, S.Pd (Asrul dan Enggar) Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unmuh Ponorogo Pertemuan 8 FONDASI MATEMATIKA Matematika Bukan Sekedar
Lebih terperinciPEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA
PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA Oleh: Kusnandi A. Pengantar Masalah dalam matematika adalah suatu persoalan yang siswa sendiri mampu menyelesaikannya tanpa menggunakan cara atau algoritma yang rutin. Maksudnya
Lebih terperinciII. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3
11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan
Lebih terperinciRepresentasi Boolean
Aljabar Boolean Boolean Variable dan Tabel Kebenaran Gerbang Logika Aritmatika Boolean Identitas Aljabar Boolean Sifat-sifat Aljabar Boolean Aturan Penyederhanaan Boolean Fungsi Eksklusif OR Teorema De
Lebih terperinci09. Mata Pelajaran Matematika
09. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan mengembangkan daya
Lebih terperinci