09. MA Jika A = { x x 2 + 5x + 6 = 0 } B = { x x 2 2x 3 = 0, x bilangan cacah} maka A. A B = B. A = B C. A B D. B A E.

Transkripsi

1 HIMPUNAN. MA-78-8 Jik P Q dn P Q mk P Q = P P Q = Q P Q P Q P Q P Q = Q. MA-77- H = { P = bilngn rsionl, p bilngn bult positif}, mk nggot H semuny bilngn pech d yng bilngn irrsionl semuny bilngn rsionl d yng bilngn khyl semuny bilngn bult. MA-77-7 Bil R = { = bilngn rsionl }; S = { = bilngn bult }. Mk R S = { = bilngn cch } { = bilngn irsionl } { = bilngn cch } { = bilngn sli }. MA-79- Dri pernytn berikut, yng benr dlh () Jik A B, mk A B = A () Jik A B, mk A B = B () Jik A B, B C =, mk A C = () Jik A B, A C =, mk B C =. MA-8- Di ntr lim hubungn di bwh ini, yng benr dlh Jik B C dn B C, mk A C Jik A B dn C B, mk A C Jik B A dn C B, mk A C Jik A C dn C B, mk B A Jik A B dn B C, mk A C. MA-8- Himpunn A dn B leps bil () A himpunn semu bilngn rsionl dn B him punn semu bilngn tk rsionl () A himpunn semu bilngn rel dn B himpunn kosong () A himpunn semu bilngn cch dn B himpunn semu bilngn bult negtif () A himpunn semu bilngn sli dn B himpunn semu bilngn rsionl tk positif 7. MA-8- Dlm himpunn semu bilngn rel, yng merupkn himpunn kosong ilh () { <, =, bilngn rel } () { + =, < } () { + =, > } () { } 8. MA-8- Himpunn {{}, {}, {}, {, }, {, }, {, }} terdiri dri enm himpunn bgin dri {,, }. Mk terhdp opersi (irisn) himpunn di ts merupkn sistem () tertutup () mempunyi sift komuttif () mempunyi unsur identits () mempunyi sift sositif 9. MA-8- Jik A = { + + = } B = { =, bilngn cch} mk A B = A = B A B B A A = tu B =. MA-8-8 Dengn n(s) dimksud bnykny nggot himpunn S Jik n(a) =, n(b) = b dn n(a B) = c, mk n(a B) sm dengn + b + c + b c b c b c + b c. MA-8-7 A himpunn bilngn sli dn C himpunn bilngn cch. Bnyk himpunn bgin dri (C A). MA-8- Jik himpunn P dn himpunn Q berpotongn, sedng kn P C dn Q C berturut-turut dlh komplemen dri P dn Q, mk (P Q) (P Q C ) = P C Q C Q P P C Q C

2 . MA-78- Jik P dlh himpunn semu bilngn genp yng le-bih kecil dri 7, dn himpunn semu pngkt du bi-lngn bult, mk P Q sm dengn {, 9,, 9} {,,, } {,,, } {,,, } {,,, }. MA-8- Jik X himpunn, X ` menytkn komplemen X, n(x) menytkn bnyk unsur X, sedngkn S menytkn himpunn semest, sendiny n(s) =, n(a) = 7, n(b) = 8 dn n(a B ), mk n(a B) dlh 7. MA-8- Mislkn B bgin dlm lingkrn yng besr dn A bgin dlm lingkrn yng kecil yng sepust seperti dlm di-grm di bwh ini. Jik A komplemen A dn B komplemen B, mk A B ilh derh yng bergris dlm digrm B A B A. MA-8- Sutu himpunn bilngn sli terdiri dri bilngn yng hbis dibgi, bilngn yng hbis di bgi, dn bilngn yng hbis di bgi dn stu bilngn lgi yng tidk hbis dibgi tupun, bnykny unsur himpunn tersebut dlh 7. MA-8- Jik A, B dn C berturut-turut dlh komplemen A, komplemen B dn komplemen Mk himpunn yng dirsir ilh A B C A B C A B C A B C A B C 8. MA-8- Perhtikn digrm Venn di T sebelh ini. Bgin yng dir- S sir menggnbrkn (S T) W (S T) W W S (T W) (S T) W S W (S - T) B A B A 9. MA-8- Perhtikn digrm Venn di bwh ini. Bgin derh yng dirsir dpt dinytkn sebgi di bwh ini dengn mengingt bhw X ` menytkn komplemen himpunn X, yitu A B (A B) C (A B ) C (A B) C C (A B) C (A B) C B A. MA-79-8 Gmbr yng dirsir dlh (A B) (A C) B A (B C) (A B) (A C) A A (B C) C A (B C)

3 . MA-79-8 Apbil : P { p = peljr} G { g g = pemud bermbut gondrong} T = { t t = peljr berbju putih} P T G () beberp peljr yng tidk bermbut gondrong tidk berbju putih () tidk stupun peljr yng tidk berbju putih bermbut gondrong () semu pemud bermbut gondrong yng bukn peljr tidk berbju putih () semu pemud bermbut gondrong yng tidk berbju putih bukn peljr. MA-8-7 Relsi relsi dri himpunn A = {, b, c} ke himpunn B = {p, q, r} mnkh yng merupkn fungsi? () p b q c r () p b q c r () p b q c r () p b q c r. MA-8-9 A menytkn himpunn peljr yng lulus ujin mte-mtik dn B menytkn himpunn peljr yng lulus ujin Biologi, sedngkn syrt msuk sutu fkults ilh lulus ujin mtemtik dn lulus ujin biologi. Bil Amin tidk diterim msuk fkults itu, mk Amin A Amin B Amin (A B ) Amin (A B ) Amin (A B ). MA-8-8 Untuk dpt diterim di sutu pendidikn, hrus lulus test mtemtik dengn nili tidk kurng dri 7, dn test biologi dengn nili tidk kurng dri, sedngkn jumlh nili mtemtik dn biologi tidk boleh kurng dri. Seorng clon dengn jumlh du kli nili m temtik dn kli nili biologiny sm dengn psti ditolk psti diterim diterim sl nili mtemtik tidk lebih dri 9 diterim sl nili biologi tidk kurng dri diterim hny bil nili biologi. MA-8-8 Di sebuh des yng terdiri dri kelurg terdpt kelurg yng tidk memiliki televisi, kelurg yng tidk memiliki rdio dn kelurg memiki kedu-duny. Kelurg yng tidk memiliki televisi mupun rdio dlh sebnyk 8 7. MA-77-7 Sutu survi yng dilkukn terhdp orng, menytkn bhw : d orng yng memiliki peswt rdio dn orng yng memiliki peswt TV. Selnjutny ternyt d orng yng tidk memiliki peswt rdio mupun TV. Adpun berp orngkh yng memiliki peswt rdio dn TV? 7 7. MA-79-8 Hsil penelitin yng dilkukn terhdp orng penduduk sutu des menytkn bhw d orng pemilik swh dn orng penggrp swh. Di smping itu d pul orng yng bukn pemilik mupun penggrp swh. Mk bnykny orng yng sebgi pemilik dn penggrp swh ilh 7 9 7

4 8. MA-8-9 Dri sutu survi tentng pengethun bhs sing (Inggris, Perncis, Jermn) yng dilkukn terhdp mhsisw, dikethui bhw d orng yng dpt berbhs Inggris, orng yng dpt berbhs Perncis dn orng lgi yng dpt berbhs Jermn, sedngkn orng dpt ber bhs Inggris, Perncis mupun Jermn. Dri pengethun itu dpt disimpulkn bhw yng dpt menggunkn pling sedikit mcm bhs sing di ts orng orng orng orng 8 orng 9. MA-8- Mislkn G = { A A X }. Dlm G didefinisikn opersi binr ( = irisn ). Unsur identits opersi binr ini dlm G dlh X G { } {X}. MA-8-8 Dikethui S = {, e, b} dengn opersi perklin yng didefinisikn menurut tbel berikut X e b A b e e e b b e b Mk () tip elemen S mempunyi invers () S tertutup terhdp perklin () dlm S berlku hukum komuttif () dlm S berlku hukum sositif PERSAMAAN LINIER. MA-79-7 Fungsi yng grfikny merupkn gris lurus dlh () y = () y = + () y = ( + ) () y =. MA-77- Persmn tempt kedudukn semu titik yng berjrk dri sumbu y ilh y = y = + y = = =. ITB-7- Persmn gris yng mellui titik (,) dn titik (,) dlh y = y = + y = y = +. ITB-7- Dikethui titik-titik M(, ) dn N(,). Tentukn bsis sutu titik pd gris mellui M dn N yng mem-punyi ordint.. ITB-7- Jik (, y ) memenuhi persmn + by + c = (, b, c ) mk (, y ) memenuhi persmn b + y + c = + by + c = y + = c b y + = c b ( y) + b(y ) + c =. ITB-7- Titik-titik A(,), B(,), C(,) dn D(, ) membentuk bujur sngkr jjrn genjng bukn bujur sngkr lyng-lyng bukn bujur sngkr trpesium bukn jjrn genjng

5 7. MA-8- Sisi persegi pnjng ABCD sejjr dengn sumbu koordint. Titik A (, ) dn titik C (, ) dlh titik sudut yng berhdpn. Digonl BD terletk pd gris + y 7 = + y + = + y + = + y 7 = + y = 8. MA-77-8 Titik-titik P, Q dn R segris, sert P = (, ) dn R (, ). Klu PQ = QR mk Q = (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) 9. MA-77-7 Persmn gris mellui titik P (, ) dn membentuk sudut sm dengn sumbu dn dengn sumbu y d-lh () y + = () + y = () y = () y = ( ). MA-8- PQR sutu segitig sm kki dengn PQ = PR =. PQ terletk pd sumbu X dengn bsis P = 8 dn R terletk pd sumbu Y. Persmn gris QR ilh y + = + y + = y + = + y = + y + 8 =. MA-78- Sutu gris y = jik digeser ke knn sejuh stun, persmnny menjdi y = y = y = y + = y =. MA-78-9 Gris lurus mellui titik (, ) dn sejjr dengn gris 8 y + = mempunyi persmn y + = + y + = y = + y + = + y + =. MA-77- Persmn gris mellui titik (, ) dn tegk lurus gris y = y = y = y + = y + = y =. ITB-7- Persmn gris yng mellui A(,) dn tegk lurus gris + y = dlh + y = + y = y + = y + =. MA-8- ABC dlh sebuh segitig dengn titik sudut A (,) B (,) dn C (9,). Persmn gris tinggi AD dlh y + = y = y + 9 = + y 9 = y + 8 =. MA-8-7 Dri segitig ABC dikethui bhw titik A dlh perpotongn gris + y = dengn gris + y = sedngkn koordint B dn C berturut - turut dlh (,) dn (, ). Persmn gris tinggi dri titik A ilh y + = y + = y + = y + = y + + = 7. MA-8-9 Jik titik P(, ) dicerminkn terhdp sebuh gris lurus m menghsilkn byngn P (, ), mk persmn gris lurus m dlh y = y + = + y = + y + 7 = + y 7 = 8. MA-8-8 Dikethui du buh gris : + by + c = dn p + qy + r = dengn, b, c, p, q dn r dlh tetpn-tetpn riel. Syrt gr kedu gris itu berpotongn dlh q bp q bp = r cp b pq = br cq

6 9. MA-8- Supy ketig gris y = ; y = dn y 7 =, mellui stu titik, hrus diberi nili. MA-8-7 Bil mellui titik potong gris-gris y = dn + 7y = 8 ditrik gris g yng mellui titik (, ) persmn g ilh 7 y = 7 + y = y = 7 + 7y = 7 + 7y =. MA-8- Persmn gris yng mellui titik potong gris + 7y = dn y = 9, dn tegk lurus pd gris + y = ilh y = y = y = + y = y =. MA-79- Persmn gris lurus yng mellui titik potong gris + 7y = dengn gris 9 y = dn tegk lurus pd gris + y = dlh + y = + y = y + = y + = y =. MA-8- Gris yng mellui titik potong du gris + y + = dn y + =, dn tegk lurus pd gris + y + = dlh y + = y + = y + = y = y + =. MA-8- Sebuh gris g dibut menyinggung kurv y = p pd titik (, b). Persmn gris yng mellui (c, d) dn tegk lurus g dlh p (y d) + ( c) = p (y d) + ( c) = (y d) + p ( d) = (y d) p ( c) = (y d) p ( c) =. MA-8- Sebuh gris lurus bersm dengn sumbu-sumbu ko-ordint membentuk sebuh segitig yng lusny. Jik gris itu jug mellui (, ), mk persmnny ilh () y = () + y = () y = () + y =. ITB-7- Du gris g dn h membut sudut θ. Persmn gris g dlh y = + b sedngkn persmn h dlh y = p + q. Kesimpulnny + p tn θ = + p + p tn θ = θ p p tn θ = + p p tn θ = p 7. MA-78-9 Jik sudut ntr gris-gris dengn persmn = dn y = dlh α, mk tn α = 8. MA-79- Du gris g dn h sling berpotongn dn membentuk sudut. Persmn g dlh y = + b, sedngkn per smn h dlh y = p + q. Berdsrkn itu mk tg = - p + + p - p + p + p - p - p + p + p 9. ITB-7- Agr jrk dri titik (, ) ke gris 8 + y + m = sm dengn mk m hrus sm dengn tu tu tu tu

7 . MA-79- Jik jrk dri (,) ke gris + sm dengn setengh pnjng potongn gris yng menghubungkn titik-titik (,) dn (,) mk hrg sm dengn MA-8-9 Sebuh titik A bergerk sedemikin, sehingg jrkny terhdp O (, ) senntis sm dengn du kli jrk ny terhdp titik B (, ). Tempt kedudukn titik A ini ilh lingkrn yng berpust pd P dn mempunyi jri-jri r dengn P = (, ) dn r = P = (, ) dn r = P = (, ) dn r = P = (, ) dn r = P = (, ) dn r =. MA-8- Titik-titik yng berjrk dri titik (, ) dn berjrk dri gris y = 7 dlh (7, ) dn (7, ) (8, ) dn (, ) (, ) dn (, ) (, ) dn (, ) (, ) dn (8, ). MA 99 Gris g mellui titik (, ) dn menyinggung prbol y = 8. Jik h mellui (, ) dn tegk lurus pd gris g, mk persmn gris h dlh + y = y = + y = y = + y =. MA-77- Perbndingn ntr umur A dn B sekrng dlh sebgi :. Enm thun yng llu perbndingn ntr umur merek : 7. Bgimn perbndingn ntr umur merek enm thun yng kn dtng? 8 : : 8 : 9 7 : 9 :. ITB-7-9 Seorng nlis kimi ingin membut lrutn lkohol %. Lebih dhulu pd cc lrutn lkohol % ditmbhkn lkohol murni smpi diperoleh lrutn lkohol %. Dengn mengbikn penyusutn volume pd pencmpurn, mk gr diperoleh lrutn lkohol % pd lrutn terkhir perlu ditmbh ir sebnyk, cc, cc, cc, cc. ITB-7- Seorng pengush mempunyi 9 rungn gudng. Menurut besrny d du mcm gudng, yitu yng mempunyi dy tmpung m dn 9 m. Klu dikethui bhw dy tmpung seluruhny m, tentukn bnyk gudng yng mempunyi dy tmpung m. 7. MA-97- P, Q dn R memncing ikn. Jik hsil Q lebih sedikit dri hsil R, sedngkn jumlh hsil P dn Q lebih b-nyk dri du kli hsil R, mk yng terbnyk men-dpt ikn dlh P dn R P dn Q P Q R 8. MA-78- Du orng berbelnj pd sutu toko. A hrus membyr Rp. 8,- untuk stun brng I dn brng II, sedngkn B hrus membyr Rp.,- untuk stu-n brng I dn stun brng II. Hrg-hrg per stun brng I dn II dlh Rp.,- dn Rp.,- Rp. 7,- dn Rp.,- Rp. 8,- dn Rp. 7,- Rp. 9,- dn Rp. 9,- Rp.,- dn Rp. 8,- 9. MA-78- Du jenis teh dicmpur. Teh Sukbumi hrgny Rp.9,- per kg dn teh Slwi hrgny Rp.,- per kg. Untuk mendptkn teh yng hrgny Rp.,- per kg, teh Sukbumi dn teh Slwi hrus dicmpur dengn perbndingn : : : : : 7

8 . MA-78- Hrg krcis bis untuk nk Rp.,- dn untuk dews Rp.,-. Terjul 8 krcis dlm seminggu dengn h-sil penjuln Rp.,-. Krcis nk dn dews yng terjul dlm minggu tersebut msingmsing dlh nk dn dews nk dn dews 8 nk dn dews nk dn dews nk 8 dn dews. MA-79- T sutu trnformsi linier yng memetkn titik-titik (,) dn (,) berturut-turut menjdi titik-titik (,) dn (,). Mk T memetkn titik (,) menjdi titik (, ) (, ) (, ) (, ) (, ). MA-78- Seorng berjln lurus dengn keceptn tetp km/jm selm jm pertm. Pd jm kedu keceptn dikurngi menjdi setenghny, demikin seterusny, setip jm keceptn menjdi setengh keceptn jm sebelumny. Berp km kh jrk terjuh yng dpt dicpi orng tersebut? tk tertentu 8 km km km tk terhingg. MA-77- Keret pi pertm meningglkn stsiun dengn kece-ptn km per jm. Du jm kemudin keret pi ke-du meningglkn stsiun dengn keceptn km per jm. Keret pi kedu menyusul keret pi pertm di sutu tempt yng jrkny dri stsiun km km 7 km km km. MA-78- Sebuh jip berjln-jln dri kot P ke kot Q dengn keceptn tetp km tip jm. Tnp berhenti di Q per jlnn diteruskn ke kot R dengn keceptn km tip jm. Jik jrk P ke R mellui Q km ditempuh dlm jm, mk jrk kot P dengn kot Q ilh km 8 km km km 8 km. MA-77- Bert bend B kn ditentukn dengn sutu nerc yng lengnny tidk sm pnjng, piringnpiringn P dn P sngtlh ringn (nggplh bertny nol) yng digntung pd ujung-ujung lengn nerc itu. Supy nerc seimbng, bil bend B diletkkn pd piringn P, pd piringn P hrus diletkkn nk timbngn sebert kg. Bil bend diletkkn pd piringn P, pd piringn P hrus diletkkn nk timbngn sebert kg. Bert bend B dlh 9 kg kg kg kg kg. MA-88-9 Dikethui titik A (, b), B (, b) dn kurv C terle-tk di bidng XOY. Titik P bergerk sepnjng kurv Jik hsil kli grdien gris PA dn grdien gris PB sellu sm dengn konstn k, mk C merupkn lingkrn bil k = < = > sembrng 7. ITB-7- Dri grfik di bwh dpt disimpulkn bhw y (, p) y = f() (, p) y = g() O (,) (b,) g() = {f() p} g() = f() p p g() = f() g() = f ( ) p 8. MA-8- Dikethui titik A(, ) dn B(, ). Jik titik P(, y) terletk sedemikin sehingg (PA) + (PB) = (AB), mk P merupkn titik-titik yng terletk pd busur lingkrn yng memotong sumbu pd = + dn = = + dn = + = dn = = + dn = = + dn = 8

9 9. MA-8-8 Bil sisi miring sebuh segitig siku-siku dlh dn kelilingny dlh, mk sisi siku-sikuny ilh dn 7 dn dn dn 7 dn 9. MA-8- A, B dn C berbelnj di sutu toko : A membyr Rp 8.,- untuk stun brng I dn stun brng II, sedngkn B hrus membyr Rp.,- untuk stun brng I dn stun brng II. Yng hrus dibyr C bil i mengmbil stun brng I dn stun brng II ilh Rp.,- Rp.,- Rp.,- Rp.,- Rp.8,- PROGRAM LINIER. MA-8- Dikethui model mtemtik sebgi berikut : + y 8 ;, y. Nili minimum yng dihsilkn oleh fungsi ssrn f (,y) = + dlh 8. MA-8-8 Nili mksimum dri + y dengn syrt, y, + y dlh. MA-8- Kordint titik titik di dlm y dn sepnjng sisi segi 8 tig ABC dlm gmbr di smping ini memenuhi A pertidksmn : B C (,) (8,) (,) + y 8, + y, + y + y 8, + y, + y + y 8, + y, + y + y 8, + y, + y + y 8, + y, + y. MA-8- Derh yng dirsir pd gmbr berikut y (,) (,) (, (,) (,) menunjukkn himpunn penyelesin dn pembtsn pembtsn untuk bilngn-bilngn nyt dn y di bwh ini ; y ; + y 8 ; + y ; y ; + y 8 ; + y ; y ; + y 8 ; + y ; y ; + y 8 ; + y ; y ; + y 8 ; + y 9

10 . MA-8-7 Seorng pedgng kki lim menyedikn ung Rp.., untuk membeli kemej dengn Rp., dn Rp.,. Jumlh kemej yng i beli tidk kurng dri kli jumlh celn, I mengmbil keuntungn Rp, untuk setip potong celn. Jik brng-brng yng i beli dengn cr tersebut di ts terjul hbis, berp keuntungn sebesr-besrny yng i peroleh Rp., Rp., Rp 7., Rp 8., Rp 9.,. MA-8- Seorng penjj buh-buhn yng menggunkn gero-bk menjul pel dn pisng. Hrg pembelin pel Rp.,- tip kg dn pisng Rp.,- tip kg. Modlny hny Rp..,- dn mutn gerobk tidk dpt melebihi kg. Jik keuntungn tip kg pel du kli keuntungn tip kg pisng, mk untuk memperoleh keuntungn sebesr mung-kin pd setip pembelin, pedgng itu hrus membeli kg pel kg pisng 7 kg pel dn kg pisng kg pel dn kg pisng kg pel dn kg pisng MA-8- Rokok A yng hrgny Rp,- per bungkus dijul dengn lb Rp,- per bungkus, sedngkn rokok B yng hrgny Rp,- per bungkus dijul dengn lb Rp,- per bungkus. Seorng pedgng rokok yng mempunyi modl Rp 8.,- dn kiosny mksiml dpt menmpung bungkus rokok, kn memper-oleh keuntungn yng sebesrbesrny jik i membeli bungkus rokok A dn bungkus rokok B bungkus rokok A dn bungkus rokok B bungkus rokok A dn bungkus rokok B bungkus rokok A dn bungkus rokok B bungkus rokok A dn bungkus rokok B PERTIDAKSAMAAN. MA-77- dn b dlh buh bilngn rel yng positif. Jik < b, mnkh dri hsil nlis berikut yng betul? () b < () < b () < b () b <. MA-79- Dikethui > b, dengn dn b bilngn rel. Untuk setip bilngn c rel sellu berlku () + c > b + c () c > bc () c > bc () c > bc. MA-8-9 Jik bilngn-bilngn rel, b dn c memenuhi pertidksmn > b dn b > c, mk () + b > + c () + c c > () > c () b + c >. MA-8- Bil bilngn-bilngn rel, b, c dn d memenuhi per-smn b dn c d, mk () d b c () + c b + d () c b d () c bd. MA-8- Bil dikethui b >, mk dpt disimpulkn bhw () > () > dn b > () b > () dn b bertnd sm. MA-8- Jik < b < c <, mk () < c b () b + c < () b > c () c < bc 7. MA-8- Dikethui f() = ( ) ( b) dengn, b dn bilngn rel dn < b jik < < b, mk f() < <, mk f() < < < b, mk f() > b =, mk f() = untuk setip hrg < b, mk f() >

11 8. MA-79- Di ntr pernytn-pernytn di bwh ini, yng benr ilh Jik b dn b c, mk > c Jik < b dn b < c, mk > c Jik < b dn b < c, mk < c Jik > b dn b > c, mk < c Jik > b dn b > c, mk > c 9. MA-8- Jik konstnt, mk < memberikn () < untuk < () = untuk = () > untuk > () > untuk semu. MA-8- Pertidksmn ( ) < ( + ) menjdi oleh () { < < } () { < } () { < < } () { < < }. MA-8- Himpunn penyelesin pertidksmn < + <, ilh { < } { < } { < < } { > } { > }. MA-79- Irisn himpunn : A = { < } dn himpunn B = { < < 8 } ilh himpunn { < 8 } { < } { < < 8 } { < < } { < }. MA-78-9 Hrg-hrg yng memenuhi pertidksmn + + > dlh < < < < > tu < >. MA-77-9 Bil ( ) ( + ) >, mk hrg yng memenuhi dlh () > () < < () < () >. ITB-7- Nili-nili yng memenuhi ketidksmn kudrt 7 dlh tu tu < 7. MA-78- Bentuk + + m > untuk semu, bil m > 9 m < 9 m = 9 m 9 m 9 8. MA-77- Pertidksmn ( ) ( ) > dipenuhi oleh < < < < < > < dn > 9 MA-79- Pertidksmn < dn < < 7 <. MA-77-8 Pertidksmn < 8 < < 7 - dn <, dipenuhi oleh + 7 dipenuhi oleh -. ITB-7- Jik =, y =, z =, mk ketidksmn yng berlku dlh y < < z y < z < z < < y z < y <

12 . MA Pertidksmn : < dipenuhi oleh - + () { < < } () { < < } () { < < () { > }. MA-78- Jwb pertidksmn < < < < tu > tu tidk d hrg yng memenuhi dlh. MA-8- Bilngn rel yng memenuhi pertidksmn - < dlh < tu < < < < tu > < tu < < < < tu > < tu < <. MA Grfik dri y = terletk di ts sumbu, - + untuk < < ; < < < ; < < ; > < ; < < ; > < ; - < semu. MA < untuk ( + ) ( + ) < - tu < < < < tu < < < < tu < < < tu < < tu > <. MA Nili pechn terletk di ntr + dn dn dn dn dn 7. MA Fungsi f() = bertnd positif untuk + - () < () < < () > () setip hrg 8. MA-79- Agr ungkpn (t + ) t + (t ) berhrg negtif untuk semu, mk hrg t dlh < t < t < t > < t < t > 9. MA-77- Grfik y = lebih tinggi dri pd grfik y = dlm derh > semu < < >. MA-8- Jik A = { } B = { < 9 } C = { } mk (A B) (B C) = { > 9 } { 9 } { < 9 } { < } { < < }. MA-89- Nili yng memenuhi pertksmn 9 > ( ) > < > > <

13 . MA--7 Semu nili yng memenuhi dlh < < < < < < < < < < + <. MA-- Himpunn penyelesin dlh himpunn nili yng memenuhi tu tu. MA--8 Himpunn penyelesin pertksmn + dlh { } { } { tu }} { tu } { tu }. MA-8- Jik < dn <, mk < < < < < < >. MA-- + Himpunn penyelesin pertksmn dlh { } { tu } { < } { } { < tu } 7. MA 98 8 Himpunn penyelesin pertidksmn + dlh { } { } { } { } { } 8. MA-9-7 Himpunn semu yng memenuhi pertksmn + < { < } { < } { < } { > } { > } 9. ITB-7- Bil <, mk < tidk d jwbn di ts yng benr. MA-9- Himpunn penyelesin pertksmn > dlh { < } { < < } { > } { < } { < < } { > } { < } { < < } { > } { < } { < < } { > } { < } { < < } { > }. MA-8-7 Jwb pertksmn logritm : log ( ) ilh < tu >, dn tu < < tu tu. MA-8- Himpunn jwb pertidksmn < + dlh { < 8 } { < < 8 } { 8 < < } { bilngn rel }. ITB-7- Kumpuln titik-titik (,y) dimn dn y, terletk di derh yng dibtsi oleh, y dn y y = dn y = untuk, y = dn y = y >, y = dn y =

14 . MA-- Himpunn semu sudut lncip yng memenuhi sin + pertksmn dlh sin < < <. MA-8- log ( ) < dipenuhi pd selng < > < < < tu > < <. MA-8- Jik <, mk < < < < 7. MA-8- Hrg yng memenuhi pertidksmn + > 8 ilh > < < > < PERSAMAAN KUADRAT. MA-78- Persmn c + b + =, mempunyi kr-kr dn, mk berlku + = b + = c b = c = c = c. MA-78- Dikethui y = dn y =. Sistem persm-n ini mempunyi kr = 7, y = = 7, y = = 7, y = dn = 7, y = = 7, y = dn =, y = tidk d. MA-79-7 Jik f () = +, mk f ( ) + [f ()] f () = ITB-7-7 Dikethui y = dn hny berlku untuk < 8, mk y = dicpi pd = = = dn = 7 = dn = 7. MA-78-8 Akr-kr persmn 9 = ilh = sj = dn = sj = dn = sj =, = dn = =, = 9 dn = 9. MA-8- Persmn + = mempunyi kr dintr dn SEBAB Fungsi f() = + mempunyi sift f (). f () <

15 7. MA-79-7 Jik ( ) + ( + ) =, mempunyi kr kembr, mk kr kembr itu sm dengn 8. MA-78-7 Akr-kr persmn kudrt p + p q + qr r = dlh keduny khyl keduny irrsionl keduny rsionl stu khyl dn stu rsionl stu irrsionl dn stu rsionl 9. MA-77- Jik, mk + b + c = mempunyi krkr yng nyt bil > khyl bil < sm bil > bertnd sm bil b berkeblikn bil = c. MA-77- Persmn kudrt + b + c = () mempunyi kr rel yng berlinn, jik b c > () mempunyi kr rel yng sm, jik b c = () tidk mempunyi kr rel, jik b c () mempunyi kr rel, jik b c > dn c <. MA-8- Persmn kudrt ( ) + = mempunyi du kr rel yng berbed pbil > <. ITB-7- Bil persmn + c + c = ( c bilngn rel/nyt) tidk mempunyi kr rel/nyt, mk < c < < c < c < tu c > c < tu c >. MA-8-9 Bil kr-kr persmn kudrt + + = tidk sm tndny, mk < tu > < < < < < < <. MA-8- Supy persmn + + = mempunyi du kr berlinn, hrg hrus memenuhi tu < tu > < < < <. MA-- Syrt gr kr-kr persmn kudrt (p ) + p + p = negtif dn berlinn dlh p > p < tu p > < p < < p < < p <. MA-77-7 Persmn : + = 9 (kr-kr) dn dn yng lin dn yng lin bukn tupun mempunyi kr 9 7. MA-77- Bil + = dn. = b, mk = b b ( b ) ( b) b 8. MA-77-9 Du persmn + = dn + = mempunyi kr persekutun = = = = =

16 9. MA-8-8 Jik dn kr-kr persmn kudrt + + =, mk ( ) + + sm dengn 8. MA-8- Perhtikn persmn kudrt = () + b = () Jumlh kedu kr persmn () sm dengn tig kli jumlh kr kedu persmn (), sedngkn kudrt selisih kedu kr persmn () sm dengn kudrt selisih kedu kr persmn (). Dlm hl ini b = b = b = b = 7 b = 8. MA-8- Dikethui persmn kudrt + + =... () + + b =... () Jik jumlh kedu kr persmn () sm dengn du kli jumlh kedu kr persmn (), sedngkn hsil kli ku-drt kedu kr persmn () sm dengn tig kli hsil kli kedu kr persmn (), mk persmn () dlh + + = + + = + + = + 8+ = + 8+ =. MA 98 Jik α dn β merupkn kr-kr rel persmn + =, mk nili α. β dlh + + tu tu tu. MA-9- Dikethui f() = +. Jik f( ) = f( ) = mk. =. MA-97- Supy kedu kr persmn p + q + p = rel dn yng stu keblikn dri yng lin mk hruslh q = p < tu p > q < tu q > q p p > p = P. MA-8- Bil kr-kr persmn = dlh p dn q, mk persmm kudrt yng mempunyi kr p dn q dlh = 9 + = + + = = 9 + =. MA 99 7 Akr-kr persmn kudrt (p ) + + (p + ) = dlh α dn β Jik α β + β α =, mk p = tu tu tu tu tu 7. MA-8- Akr-kr persmn + ( ) = dlh dn. Hrg minimum untuk ( + ) kn dicpi bil sm dengn 8. MA-9- Jik p dn kr-kr persmn + p + q = dlh p dn q, mk p + q =

17 9. MA-8- dn dlh kr-kr persmn kudrt (p+) + (p+) =. Jik p bilngn sli, mk = pbil p sm dengn 8. MA-9- Jik dn merupkn kr-kr persmn + b + =, b, mk + = ( + ) berlku untuk b b sm dengn tu tu tu tu 7 tu 9. MA-8-8 Jik dn merupkn kr-kr persmn kudrt ( ) + =. Mk + kn men-cpi nili mksiml sebesr 8 8. MA-8- Jik dn kr-kr dri persmn = mk jumlh kedu kr tersebut dlh log log log. MA-8- Jik kr-kr persmn kudrt + + = bilngn rsionl dn bilngn cch, mk nili dlh :, tu 8, tu, tu 8, 7 tu 8, 7 tu 9. MA-79-9 Bil dn kr-kr persmn + k + k =, mk hrg k yng menyebbkn + mencpi hrg minimum dlh. MA-78- Bil dn dlh kr-kr dri persmn kudrt + =, mk + = 7. MA-79- Akr-kr persmn kudrt p = ilh dn. Jik =, mk hrg p dlh MA--8 dn dlh kr-kr persmn (m ) m + m = Jik + = +, mk nili m dlh tu tu tu tu 8. ITB-7- Jik dn dlh kr-kr persmn + b + c =, mk nili + dlh b + bc b bc b + bc b b bc b 7

18 9. MA-- Akr-kr persmn kudrt + + c = dlh dn. Akr-kr persmn kudrt + ( + ) + = dlh u dn v. Jik u + v = uv, mk + =. MA-- Jik jumlh kudrt kr-kr persmn + n = sm dengn jumlh pngkt tig kr-kr persm-n + n =, mk nili n dlh 9 8. MA-- Jik jumlh kudrt kr-kr rel persmn = sm dengn jumlh keblikn kr-kr persmn 8 + ( ) =, mk nili sm dengn. MA-8- Bil jumlh kudrt du bilngn bult yng berurutn sm dengn, mk slh stu bilngn bult itu dlh 7 9. MA-79- Bil jumlh pngkt tig dri tig bilngn yng berurut n dlh 8 lebih besr dri pd tig kli pngkt tig bilngn kedu, mk bilngn-bilngn itu dlh,,,,,,,, 7,,. MA-9- Dikethui dn dlh kr-kr positif persmn kudrt + + b =. Jik,, dlh tig suku pertm brisn ritmtik, dn,, dlh tig suku pertm brisn geometri, mk diskriminn persmn kudrt tersebut dlh 9. MA-9-7 Akr-kr persmn kudrt + + (7k ) = merupkn suku pertm dn suku kedu sutu deret geometri dengn pembnding lebih besr dri. Jik kedu kr persmn itu berbnding sebgi dn, mk suku keempt deret geometri tersebut dlh 9 untuk k = 7 untuk k sembrng untuk k = 7 untuk k sembrng untuk k = 7. MA-9-7 dn dlh kr-kr persmn kudrt (k + ) + ( + ) =. Kedu kr itu bilngn bult, dn k konstn, jik, k, merupkn tig suku pertm deret geometri, mk suku ke-n deret tersebut dlh ( ) n ( ) n + ( ) n ( ) n 7. ITB-7-7 Supy negtip untuk setip nili, mk nili-nili dlh < < < < 9 < < 8. MA-9-9 Dikethui persmn kudrt + p + q = dengn p dn q bilngn rel konstn., +, merupkn deret hitung, mk p q > p q < p q = p =, q q =, p 8

19 9. MA-8- Agr ungkpn (t + ) t + (t ) bernili negtif untuk semu, mk nili t dlh t > t < t > < t < < t <. MA Jik = mk hruslh - = = + = = =. MA-9-7 Jik keempt pojok bujur D P O C sngkr ABCD di gunting sehingg di peroleh segi Q N delpn berturn KLMNOPQR, mk Lus KLMNOPR = Lus ABCD R M B ( ) ( ) A K L. MA-8- Supy ( ) ( ) + ( ) > untuk setip bilngn rel, mk > > > > > FUNGSI KUADRAT. ITB-7- Dri fungsi kudrtik y = f() dikethui bhw fungsi y = f( + ) mencpi nili mksimum untuk = p. Mk dpt ditrik kesimpuln bhw fungsi y = f( ) mencpi nili mksimum untuk = p = p + = p = p +. MA-79- Dri fungsi kudrt y = f() dikethui bhw fungsi y = f(+) mencpi nili mksimum untuk = p. Mk dpt disimpulkn bhw fungsi y = f( ) mencpi titik mksimum untuk = p + p p + p p. MA-7- Jik sutu fungsi kudrt f() mencpi hrg mksimum m pd titik = dn F() = f( + ) f(), mk F() mencpi hrg mksimum pd = mencpi hrg mksimum m pd = mencpi hrg mksimum m, tpi bukn pd = tidk mempunyi hrg mksimum. MA-- Prbol y = + 8 digeser ke knn sejuh stun serh sumbu dn digeser ke bwh sejuh stun. Jik prbol hsil pergesern ini memotong sumbu di dn mk + = 8 9. MA-7-8 Dri titik (,99,,) dpt ditrik n gris singgung pd prbol y =, dimn n dlh lebih besr tu sm dengn. MA-8- Grfik fngsi y = () simetri terhdp sumbu y () membuk ke ts () memotong sumbu y pd (, ) () mempunyi punck di (, ) 9

20 7. MA-79- Grfik fungsi y = dlh () terbuk ke ts () simetri terhdp sumbu () memotong sumbu y () mellui titik O 8. MA-8-9 P sebuh titik pd prbol y = di bsis. Gris singgung prbol pd P memotong sumbu Y di titik M. Jik O pust koordint mk pnjng OM dlh MA-79- Apbil P (,) dlh punck prbol, mk persmn prbol yng terdpt pd gmbr berikut, dlh y = + P(,) y = y = + y = + y =. MA-8- Ciri dri grfik y = + ilh () memotong sumbu pd du tempt () untuk < grfik terletk di ts sumbu () simetris terhdp gris = () menyinggung gris y =. MA-79-8 Apbil sebuh fungsi kudrt mempunyi mksimum untuk =, sedngkn untuk = fungsi berhr-g, mk fungsi tersebut ilh ITB-7- Jik grfik fungsi kudrt y = f() memotong sumbu di du titik yng berlinn, mk grfik fungsi y = f( + ) (f( + ) + f() memotong sumbu di stu titik memotong sumbu di du titik yng berlinn memotong sumbu di tig titik yng berlinn tidk memotong sumbu sm sekli. MA-7- Sutu fungsi f() yng memotong sumbu di = dn di =, dn yng mempunyi hrg minimum dlh ( + )( ) f() = ( + )( ) f() = f() = ( + ) ( ) f() = ( + ) ( ). MA-8- Grfik fungsi y =, > () terbuk ke ts () memotong sumbu di titik (, ) () mempunyi sumbu simetri gris = () mellui titik (, ). ITB-7- Supy grfik fungsi y = m m + m (m bilngn rel/nyt) seluruhny di ts grfik fungsi y =, nili m hrus memenuhi m > m > < m < < m <. MA-- Semu prbol y = m + m sellu di bwh sumbu-, pbil m < < m < m < tu m > < m < m < 7. MA-89- Gris y = kn memotong prbol y = ( ) + hny jik 7 tu 8 tu 9 7 tu MA-8-7 Agr gris y = + menyinggung prbol y = 8 hrg hrus sm dengn 7

21 9. MA-- Gris singgung pd kurv y + = yng tegk lurus pd gris y + = mempunyi persmn y = y + + = y + + = y + 7 = y + =. MA-- Mellui titik (, ) pd prbol dibut du buh gris singgung y = singgungny dlh dn dn dn dn dn. Absis kedu titik. MA-8-9 Grfik fungsi y= (m ) + m + (m+) menyinggung sumbu X di titik P dn memotong sumbu Y di titik Q. Pnjng PQ ilh 7 7. MA-8- Pust sebuh titik yng bergerk di sumbu X pd setip wktu t dinytkn oleh fungsi X(t) = t + t +. Posisi titik tersebut kn berimpit dengn titik sl O tept stu kli berimpit dengn titik sl O tept du kli tidk pernh berimpit dengn titik sl O berimpit dengn titik sl O sekurngny stu kli berimpit dengn titik sl O hny pd wlny. MA-79-8 Sutu lpngn berbentuk persegi pnjng, pnjngny du kli lebrny. Pd tepi sebelh lur dri tig sisi lpngn tersebut dibut jlur yng lebrny meter. Jik lus seluruh jln (bgin yng dirsir pd gmbr) 8 m, mk lus lpngn 8 m m 8, m m m m m. MA-7-7 Dikethui sistem koordint dengn sumbu OX horizon-tl (dtr) dn sumbu OY vertikl (tegk). Terhdp sistem koordint tersebut dikethui grfik = y + y +. Grfik tersebut mempunyi titik pling knn titik pling kiri titik pling tinggi titik pling rendh. MA-9- Nili minimum dri kudrt jrk titik P(, ) ke titik Q yng terletk pd prbol y = + dlh MA-87-8 Untuk y = sin, fungsi f(y) = y y y bernili rel bil : () {y y < tu < y } () {y y < tu y } () { k + bult} () { (k + ) bilngn bult} < < (k + ), k bilngn < < (k + ) +, k 7. MA-88- Lingkrn yng menyinggung gris + y = di titik (,) dn mellui titik (,) mempunyi jri-jri 8. MA-77- Dri persmn-persmn berikut ini, mnkh yng menytkn sutu hiperbol? () y = () y + = () y = () + y =

22 9. MA-8- Seekor semut meryp pd bidng XOY sedemikin sehingg pd st t i berd di titik (, y), dengn = (t + ) dn y = t +. Lintsn semut itu dlh busur prbol yng punckny kn dicpi pd st t sm dengn. MA-8- Dikethui + y = dn z = y. Hrg z kn mencpi mksimum pbil = dn y = = dn y = = dn y = 7 = dn y = = dn y = 9. MA-77- Grfik dri fungsi f() = ( + ) ( ) dlh. MA-- Gris yng mellui titik (,) menyinggung kurv + y = di titik (,) dn (, ) (,) dn (, ) (, ) dn (, ) (, ) dn (, ) (,) dn (, ). MA-78- Asimtot miring fungsi y = y = y = y = + y = + y = ilh +. MA Pechn dpt disederhnkn, bil - + pd diberikn nili (A), (B), (C) dn (D) tidk d yng benr. MA-- Jrk kedu titik potong kurv y = +. + dengn sumbu dlh

23 BILANGAN IMAJINER. MA-78- Bil dikethui bhw i = mk i 7 + i + i + i = + i i + i i i. MA i dlh sm dengn i + i tu ( + i) i tu ( i) + i + i, ( + i), i tu -( i) FUNGSI KOMPOSISI dn FUMGSI INVERS. MA-8-8 Di ntr gmbr-gmbr berikut, yng kurvny merupkn grfik dri fungsi yng puny invers ilh () () () (). MA Jik p = dn q = + sm dengn mk p + q. MA-8- Fungsi yng mempunyi invers dlh () y = + () y = () y = log () y =. MA-8-9 Jik f() = dn g() = + mk komposisi f{g()} = MA-8- Jik f dn g berturut-turut dlh invers fungsi f dn fungsi g, dengn f() = + dn g() =,, mk () (f o f) () = f (f()) = + () (f o f ) () = f (f ) () = () (g o g) () = g (g()) = () (f o g) () = f (g()) = +. MA-8- Bil f : R R ditentukn oleh f() = dn f invers f mk f ({, }) ilh himpunn { } { } { tu } { < } { < < }

24 . MA-8- Jik A = { : < }, B dn C dlh himpunn bilngn rel, f : A B dengn f() = + : g: B C dengn g() = dn h = g o f : A C, bilngn di A dipetkn ke di C, mk sm dengn MA-8-8 Jik F() = dlh ( - ) ; mk fungsi inversny F - () 8. MA-8- Dikethui fungsi f dn h, dengn f() = dn h() = + untuk setip bilngn rel. Untuk mk f {h ( ) } = log log log ( + ) log ( ) log ( + ) 9. MA-8-8 Jik f () = 8 + dn g () = untuk >, mk f { g ()} = + ( + ) + tidk d. MA-8- Jik f () =, g () = - mk h () = dn h () = g [f()],. MA-8-7 Jik f () = dn f () invers dri f (), mk nili f ( ) dlh. MA-8- Bil f :, mk f dlh log log log log log. MA-8- Mislkn f() = + untuk > dn g() = untuk >. Dengn demikin (f o g ) () = untuk sm dengn 8

25 . ITB-7- Dikethui grfik-grfik dri fungsi-fungsi y = f() dn y = g() seperti pd gmbr di bwh (,) f() f ( ) mk y = > bil g( ) < < tu b < < c tu b c <, < < b, > c < < c g() (b,) (c,). MA-8-7 Jik f() = + dn g () = - mk g {f()} dlh MA-8- Fungsi invers dri f () = dlh DERET DERET ARITMATIKA. MA-78-8 log, log, log 8, log, log, log, Bilngn bilngn tersebut membentuk deret ukur dengn pembnding log deret hitung dengn bed deret hitung dengn bed log deret ukur dengn pembnding bukn deret hitung mupun deret ukur. MA-8- Jik b, n dn S berturut-turut dlh bed, bnykny suku dn jumlh n suku pertm dri deret hitung, mk suku pertm dpt dinytkn dlm b, n dn S sebgi = n S + (n )b = n S (n + )b = n S (n )b = n S (n )b = n S (n + )b. MA-8- Jumlh n suku yng pertm sutu deret ritmtik dlh : Sn = n (n 7). Rumus untuk suku ke-n deret ini dlh n n 8 n n n. MA-8- Dri sutu deret hitung dikethui jumlh suku pert-m sm dengn 7 dn jumlh 8 suku pertm sm dengn 8. Mk suku pertm dri deret tersebut ilh

26 . MA-8- Jumlh n suku pertm sutu deret ritmtik dlh S n = n n. Suku ke-n deret ini sm dengn n 9 n 8 n 9 n + 9 n + 8. MA-77- Dikethui sutu deret hitung 8, 8,. Suku ke-n kn menjdi nol bil n = 7. MA-78-8 Jumlh semu bilngn-bilngn bult di ntr dn yng hbis dibgi ilh MA-8- Jumlh semu bilngn sli ntr dn yng hbis dibgi, tetpi tidk hbis dibgi ilh ITB-7-8 Seorng nk menumpuk bt dlm bris-bris. Bnykny bt pd sutu bris, stu lebih bnyk dri bnykny bt pd bris di tsny. Tumpukn bt ini dimuli dri bt di bris yng pling bwh. Jumlh semu bt yng ditumpukkn dlh. buh. buh. buh. buh. MA-8-7 Seorng pegwi mendpt gji permuln Rp.,- sebuln. Jik setip thun i mendpt kenikn gji Rp.,- mk dlm wktu thun jumlh pendptn yng diterim pegwi tersebut dlh Rp.8.,- Rp.7.,- Rp.7.,- Rp.7.,- Rp.7.,-. MA-- Si A kulih di sutu Pergurun Tinggi selm 8 semester. Besr SPP yng hrus dibyr pd setip semester dlh Rp.. lebih besr dri SPP semester sebelumny. Jik pd semester ke-8 di membyr SPP sebesr Rp..., mk totl SPP yng dibyr selm 8 semester dlh Rp..8. Rp... Rp... Rp... Rp.... MA-8- Jumlh semu bilngn sli ntr dn yng hbis di bgi, tetpi tidk hbis dibgi 7 dlh 8 9. MA 98 Keuntungn seorng pedgng bertmbh setip buln dengn jumlh yng sm. Bil keuntungn smpi bu-ln keempt ribu rupih dn smpi buln kedelpn 7 ribu rupih, mk keuntungn smpi buln ke-8 dlh.7 ribu rupih. ribu rupih. ribu rupih. ribu rupih.7 ribu rupih. ITB-7- Dlm sebuh deret hitung, suku kedu dlh, jumlh suku keempt dn keenm dlh 8. Hitunglh suku yng ke sembiln MA-9-8 Jumlh buh bilngn yng membentuk brisn rit-mtik dlh 7. Jik hsil kli bilngn terkecil dn terbesr dlh, mk selisih dri bilngn terbesr dn terkecil dlh 8

27 . MA-79- Dri sebuh deret ritmtik (deret hitung) dikethui suku ke tig sm dengn 9, sedngkn jumlh suku ke lim dn ke tujuh sm dengn. Mk jumlh suku yng pertm sm dengn MA-- Diberikn suku bnyk f() = + +. Jik f (), f (), f() membentuk brisn ritmtik, mk f () + f () + f() = F. 7 G. H. I. J MA-- Dikethui sutu persmn prbol y = + b + c Jik, b dn c berturut-turut merupkn suku pertm, kedu dn ketig sutu brisn ritmtik, sert gris singgung prbol tersebut di titik (, ) sejjr dengn gris y =, mk nili ( + b + c) sm dengn 8 9. MA--8 Dri brisn empt bilngn, jumlh tig bilngn per-tm sm dengn nol dn kudrt bilngn pertm sm dengn kli bilngn ketig. Jik setip du bilngn yng berdektn sm selisihny, mk bilngn keempt dlh 9 9. MA-8-9 Apbil kr-kr persmn 8 b + c = membentuk deret ritmtik dengn bed, mk = 8, b =, c = = 8, b =, c = =, b = 8, c = =, b = 8, c = =, b = 8, c =. MA-78- Antr bilngn dn disisipkn bilngn. Bi-lngn itu bersm bilngn semul membentuk sebuh deret hitung. Jumlh deret hitung dlh MA-77-9 Antr bilngn dn disisipkn bilngn se-hingg terjdi sebuh deret hitung. Mk jumlh deret hitung dlh MA-9-8 Semu bilngn genp positif dikelompokkn seperti berikut : (), (, ), (8,, ), (,, 8, ), Bilngn yng terletk di tengh pd kelompok ke dlh MA-87- Ukurn sisi sebuh segitig siku-siku membentuk sutu brisn ritmtik. Jik lus segitig itu, mk ke-lilingny sm dengn 8 7

28 DERET GEOMETRI. MA-8- Brisn (yng suku umumny diberikn di bwh ini ) yng merupkn brisn geometri ilh Un = n Un = n n - Un = n Un = n -n Un = n+ -n. MA-8- Deret dengn suku umum S n = n+ merupkn deret hitung dengn bed deret ukur dengn p = deret hitung dengn bed deret ukur dengn p = bukn deret hitung mupun deret ukur. MA-77- Deret mnkh yng merupkn deret ukur? (),,,, (), +,, +,... (),,,,..... (),,, 8,..... ITB-7- Persmn-persmn kudrt + b + c = mempunyi kr-kr p dn q + b + c = mempunyi kr-kr p dn q.. n + b + c = mempunyi kr-kr p dn q n Mk dpt ditrik kesimpuln bhw q, q, q merupkn bukn deret hitung tupun deret ukur deret hitung dengn bed deret ukur dengn pembnding deret ukur dengn pembnding. MA-97- Dikethui deret geometri : Jik = dn log + log + log + log = log + log, mk = 8 9. MA-9-9 Tig buh bilngn merupkn brisn geometri dengn pembnding lebih besr stu. Bil suku terkhir dikurngi, mk ketig bilngn itu merupkn brisn ritmtik dengn jumlh. Selisih suku ketig dn suku pertm deret rimtik ini dlh 8 7. ITB-7- Jik t n dlh suku ke-n dri sutu deret ukur, mk t p. t p+ (p > ) sm dengn (t p+ ) (t p+ ) (t p ) (t p ) 8. ITB-7- Suku pertm sutu deret ukur dlh m (m > ), sedngkn suku ketig dlh m. Mk suku ke- (ketig bels) deret ukur tersebut dlh m m m m m m m 9. MA-79- Suku pertm dn suku kedu stu deret geometri (deret ukur) berturut-turut - dn. Jik suku ke delpn ilh, mk sm dengn 8. MA-8- Sutu tli dibgi menjdi enm bgin dengn pnjng yng membentuk sutu brisn geometri. Jik yng pling pendek dlh cm dn yng pling pnjng 9 cm mk pnjng tli semul dengn 8 cm 8 cm 87 cm 89 cm 9 cm 8

29 . MA-8- Tip thun jumlh penduduk sebuh kot bertmbh menjdi du kli lipt jumlh semul. Menurut tksirn pd thun nnti penduduk kot tersebut menjdi, jut orng. Ini berrti bhw pd thun 9 jum-lh penduduk kot itu bru mencpi ribu orng ribu orng ribu orng ribu orng ribu orng. MA dlh. MA-79-9 Jumlh penduduk sebuh kot tip thun menjdi du kli lipt. Menurut perhitungn, pd thun nnti kn mencpi, jut orng. Ini berrti bhw pd thun 9 jumlh penduduk kot itu bru mencpi : ribu orng ribu orng ribu orng ribu orng ribu orng. MA--7 Jik di ntr suku pertm dn suku- sutu brisn geometri disisipkn bilngn, mk dpt diperoleh brisn ritmtik dengn bed dn jik suku ke- brisn geometri tersebut dlh, mk rsio brisn geometri dlh. ITB-7-8 Di sutu propinsi prosentse bertmbhny kendrn bermotor tip thunny tk berubh dri thun 97 smpi thun 97. Jumlh kendrn bermotor pd khir thun 9 dlh P, dn pd khir thun 97 dlh Q. Jumlh kendrn bermotor pd khir thun 98 dlh P + Q p + q P PQ Q PQ. MA-9-7 dn dlh kr-kr persmn kudrt (k + ) + (k + ) =. Kedu kr itu bilngn bult, dn k konstn, jik, k, merupkn tig suku pertm deret geometri, mk suku ke-n deret tersebut dlh ( ) n ( ) n + ( ) n ( ) n 7. MA-8- Rsio sutu deret geometri dlh 7 log ( ). Deret ini konvergen untuk semu yng memenuhi < < < > 8. MA-8- Suku ke-n sutu deret geometri dlh n. Mk jumlh deret tk hingg tersebut dlh 9. MA-8-9 Syrt supy deret geometri tk berhingg dengn suku pertm konvergen dengn jumlh dlh < < < < < < < < < < 9

30 . MA-- Jumlh sutu deret geometri tk hingg dengn suku pertm dn rsio r dengn < r < dlh S. Jik suku pertm tetp dn rsio berubh menjdi r, mk jumlhny menjdi S r S r S r r S r S r. MA-97- Jik ( ), ( ), ( ) dlh tig suku pertm sutu deret geometri tk hingg, mk jumlh semu suku-sukuny dlh 9. MA-9-7 Akr-kr persmn kudrt + + (7k ) = merupkn suku pertm dn suku kedu sutu deret geometri dengn pembnding lebih besr dri. Jik kedu kr persmn itu berbnding sebgi dn, mk suku keempt deret geometri tersebut dlh 9 untuk k = 7 untuk k sembrng untuk k = 7 untuk k sembrng untuk k = 7. MA--9 Jumlh sutu deret geometri tk hingg dlh dn jumlh dri suku-suku yng bernomor gnjil dlh. Suku ke- deret tersebut dlh. MA-77- Sebuh bol dijtuhkn dri ketinggin meter. Setip kli sesudh jtuh mengeni lnti, bol itu dipntulkn lgi mencpi tinggi dri tinggi sebelumny. Mk pnjng seluruh jln yng dillui bol itu smpi ber-henti dlh m m m 7 m 8 m. MA-8- Sebuh bol tenis dijtuhkn ke lnti dri tempt yng tingginy, meter. Setip kli setelh bol memn-tul, i mencpi ketinggin sm dengn du per tig dri ketinggin sebelum pemntuln terkhir. Pnjng lints-n bol itu smpi i berhenti dlh m m m ~ semu slh. MA-78-7 Deret ukur tk hingg : ( ), ( ), ( ), konvergen (jumlhny d) untuk nili-nili dlm selng < < < < < < < < < < 7. ITB-7- Deret Ukur + log ( ) + log ( ) + konvergen jik < < < < 8. MA-- Nili-nili yng memenuhi + + < dlh > > < < < < tu < < < < tu < <

31 9. MA-77-7 Jumlh suku-suku yng nomor gnjil pd sutu deret ukur tk berhingg dlh. Klu deret itu sendiri jum lhny =, mk deret itu dlh,,,, 8,,,,,, 8,,...,,, 8. MA-9- Jumlh tk hingg sutu deret geometri dlh 8 dn jumlh semu suku pd kedudukn (urutn) genp dlh 8. Suku kelim deret tersebut dlh. MA 99 Jik = lim ( y + ) y y + y mk untuk < <, deret + log sin + log sin + log sin + konvergen hny pd selng < < < < < < < < < <. MA 99 9 Dikethui sebuh segitig OP P dengn sudut sikusi-ku pd P dn sudut punck pd O. Dengn OP sebgi sisi miring dibut pul segi tig sikusiku OP P dengn sudut punck P OP sebesr. Seln-jutny dibut pul segitig siku-siku OP P dengn OP sebgi sisi miring dn sudut punck P OP sebesr. Proses ini dilnjutkn terus menerus. Jik OP =, mk jumlh seluruh lus segitig dlh 8 8. ITB-7-7 Pd segitig ABC: A dlh pertenghn sisi AC dn B pertenghn BC A dlh pertenghn sisi A C dn B pertenghn B C A n dlh pertenghn sisi A n- C dn B n pertenghn B n- C dn seterusny. Jik S = AB + A B + + A n B n +, mk S sm dengn AB AB AB tk terhingg. MA-9- Perhtikn deret : + log cos + log cos + log cos + Jumlh deret ini, yitu S, dpt mengmbil setip nili < S < < S < S < S > S >. MA-89- Jumlh deret geometri tk hingg log + log + log +... dlh log log log log log. MA-9- Diberikn lingkrn L dengn jri-jri R di dlm ling-krn L dibut bujur sngkr B dengn keempt titik sudutny terletk terletk pd busur L. Di dlm B dibut pul lingkrn L yng menyinggung keempt sisi bujur sngkr. Dlm L dibut pul lingkrn B dengn keempt titik sudutny terletk pd busur L. Demikin seterusny sehingg diperoleh lingkrn-ling krn L,L,L..... dn bujur sngkr-bujur sngkr B,B,B Jumlh lus seluruh lingkrn dn bu-jur sngkr dlh ( + ) R ( + ) R ( + ) R ( + ) R ( + ) R

32 7. MA-88- A A Dlm gmbr di smping, OA A siku-siku A di A dn A OA = OA A siku-siku di A A O dn A OA = OA A siku-siku di A dn A OA = dn seterusny. Jik OA =, mk segitig ke-n dengn sisi miring lebih kecil dri dlh untuk n > log n > + log n > log n > + log n sembrng 8. MA-79- Dikethui bujur sngkr A B C D, A B C D, A K B K C K D K. Dlm hl ini A titik tengh A B, B titik tengh B C, C titik tengn C D dn D titik tengh D A. Demikin selnjutny sehingg pd umumny A k titik tengh A k- B k-, B k titik tengh B k- C k-, C k titik tengn C k- D k- dn seterusny.. Jik K k merupkn keliling bujur sngkr A k B k C k D k dn S = K + K + K K k + mk S/K sm dengn +. MA-- Keceptn tu lju pertumbuhn penduduk sutu kot untuk t thun yng kn dtng dinytkn sebgi N(t) = t + t, t 9 Jik bnyk penduduk st ini dlh. jiw, mk bnyk penduduk 9 thun yng kn dtng dlh 7. jiw. jiw. jiw. jiw. jiw. MA-- Sebongkh gul btu dimsukkn ke dlm ir dn diduk. Dlm menit volume gul berkurng % dri volume sebelumny (bukn % dri volume wl). Jik volume gul dimti pd setip menit, mk volume gul menjdi kurng dri sepruh volume wl muli menit ke 9. MA-9-9 Sebuh yunn mtemtik yng yng pnjng tliny cm mu- li beryun dri posisi terjuh d ri kedudukn seimbng sebesr rdil. Posisi terjuh yng dicpiny setip kli berkurng sebesr posisi sebelumny Pnjng busur yng dijlni ujung yunn itu smpi berhenti penuh dlh : rdil rdil rdil rdil rdil

33 EKSPONEN. MA-77-8 Jik n bilngn sli, mk n hbis dibgi oleh () () 9 () 99 (). MA-78- Akr dri persmn = 7 + dlh. MA-8- Jik dikethui () () () () + - = 7, mk =. MA-89- Nili yng memenuhi pertksmn 9 > ( ) dlh > < > > <. MA-8- Hrg yng memenuhi persmn + = 8 + ilh 9 9. MA-8- Nili dri persmn = MA-- Jik F. G. H. I. 7 J. 8 8 y dlh = dn. y =, mk + y = 8. MA-9- Dikethui f () = +. Jik f ( ) = f ( ) = mk. = 9. MA-87-9 Jik f () = dn g () =, mk () grfik f () dn grfik g () berpotongn di (,) () g () dlh fungsi invers dri f () () grfik g () dlh cermin grfik f () terhdp sumbu y () grfik f () turun dn grfik g () nik. MA-77- Bil rumus pertumbuhn sutu kecmbh dlh y = t, mk gris bts pertumbuhnny dlh y = y = y = y = y =

34 . MA--7 Sutu populsi hewn mengikuti hukum pertumbuhn yng berbunyi : N(t) =.. t N(t) : besr populsi pd st t t : wktu dlm stun thun Agr besr populsi menjdi kli lipt populsi wl (st t = ) mk t = log log log log log. MA-- + Kurv y = berd di bwh kurv 9 y = + pd st < > < > < Logritm. MA-8- Jik dikethui:, b dn c bilngn-bilngn nyt, >, dn b > mk hubungn c = b dpt dituliskn jug sebgi log b = c b log = c c log = b log c = b b log c =. ITB-7-9 Grfik fungsi y = log, > dn, simetris terhdp gris y = gris y = sumbu y sumbu. MA-78- Hrg dri log b. b log c. c log d ilh log d d log log log d log d log log. log d. MA-78- Jik log ( b ) = log ( b) dn > b, mk ( b) = ( b) = ( + b) = ( + b) = ( + b) =. MA-77- Bil g dn msing-msing bilngn nyt positif, mk g log berhrg negtif bil tidk negtif lebih besr dripd lebih kecil dripd tidk sm dengn lebih kecil dripd g. MA-8- Bil >, b > dn log b = p, mk log b sm dengn p p p p p

35 7. MA-8-7 Dikethui y = log dn + + ( ) =. Agr y d niliny untuk semu tersebut di ts, hruslh > < < < 8. MA-8- Bil >, mk mn log (m + n) log (m + n) log log (m + n) log mn m log + n log 9. MA-8- Jik m = log dn n = b log, mk () m = log b n () = log m n b () n = b log m () + = log b m n. MA-77- b log. log. c log = b c bc + bc bc. MA-88- sm dengn. MA-78- Grfik fungsi y = log berd di bwh sumbu jik < < < < < < <. ITB-7- Fungsi log hny didefinisikn untuk positif, bilngn-bilngn sli yng terkndung didlm derh definisi fungsi ( ) f = log + dlh,,,,,,,,,,,. MA-8- Penyelesin persmn ( log ) = = dn = = dn = = = dn = =. MA 98 Grfik fungsi y = log y y y dlh C C grfik fungsi (,) y = log C grfik fungsi C y = (,) log ( + ) log ( + ) log log log y y

36 . MA-77- log 9 d dintr dn dn dn dn dn 7. MA-8- Jik log 8 8 b =, mk log b sm dengn 8. MA-8-7 Jik log =, mk log b b sm dengn 9. MA-8-9 Bil 7 log = dn log = b, mk log 98 sm dengn + b + b + + (b + ) + b + + b( + ). MA-- Jik log + log y = log z, mk z = y y y y y. MA 99 Himpunn jwb pertidksmn log + log ( ) < dlh { > } { > 9 } { < < 9 } { < < 9 } { < < 9 }. MA-8-9 Jik > dn, mk nili yng memenuhi persmn log ( + ) log + = dlh 8. MA-8- Jik { log ( ) } ( log ) =, mk = 9 8. MA-97- Jik log + log b = log log b = mk + b = 7 8. MA-9- Himpunn penyelesin pertksmn log log ( + ) + log dlh { } { } { < } { < } { < tu }. MA-- Himpunn penyelesin pertksmn log + dlh { R tu } { R < tu } { R < tu } { R tu } { R }

37 7. MA-8-7 Jwb pertksmn logritm : log ( ) ilh < tu >, dn tu < < tu tu 8. MA-8- Himpunn penyelesin persmn log ( ) = log ilh {} {, } {,, } {,,, } {,,,, } 9. MA-- Penyelesin pertksmn + log log + dlh tu < < < < < tu < tu tu tu. MA-9- Himpunn jwb pertksmn log ( +) + log > log dlh { < < } { < < } { < < } { < < } { < < } { > } { < } { > }. MA-9- Hsil kli semu yng memenuhi persmn log 7 ( ) = dlh. MA-- Dikethui ( log ) log =. Jik kr-kr persmn di ts dlh dn, mk + =. MA-9- Jik dn memenuhi persmn : log log = ; mk + =... log log. MA-8- Jik dn >, mk nili yng memenuhi per-smn log ( + ) log + = dlh 8. MA Jik t = ; mk log ( t ) dpt ditentukn - 7 untuk < < < < tu > < tu >. MA-77-9 Nili-nili yng memenuhi log( ) < < < < tu < < < < tu > tu < > dlh 7. MA-- Nili yng memenuhi persmn log log ( + + ) = + log dlh log log log tu 8 tu 7

38 8. MA--8 Jumlh semu kr-kr persmn log ( ) ( ) = ( ) ( ) + dlh. MA-89- Jumlh deret geometri tk hingg log + log + log +... dlh log log log log log 9. MA-- Jik log = m dn log b log = n, > dn b >, log b mk n m = log log log 9 ( log ) ( log ). MA--7 Jik 8 log = log = y log, mk y = y MA-97- Dikethui deret geometri : Jik = dn log + log + log + log = log + log, mk = 8 9. MA-9- Perhtikn deret : + log cos + log cos + log cos + Jumlh deret ini, yitu S, dpt mengmbil setip nili < S < < S < S < S > S > 8

39 MATRIKS. MA-8- Pndng himpunn mtriks b A = {A A =,, b, c bilngn rel,, c c } Terhdp opersi perklin mtriks, A merupkn sistem yng () tertutup () sositif () mempunyi invers () komuttif. MA-79-9 b u v Dikethui mtriks P = c d dn Q = w z e f Dintr opersi-opersi di bwh ini, mn sj yng dpt dikerjkn? () P Q () P + Q () Q () Q P. MA-8- Jik dikethui du buh mtriks A = dn B =. Yng benr di ntr hubungn berikut dlh A B = A A B = B B A = A B A = B B A = A. MA-8- Jik : + + k = mk k dlh. MA-8- Jik untuk mtriks A = berlku A B = B A, mk ( + d) b = (p + s) q ( + d) q = (p + s) b ( d) b = (p s) q ( d) q = (p s) b ( d) b = (s p) q b p dn B = d. MA-8- Bil dikethui : 8 + = mk hrg sm dengn p s 7. MA-8-9 p q Jik p = r s p + q + s mk r + s hrg p, q, r dn s dlh p =, q =, r =, s = p =, q =, r =, s = p =, q =, r =, s =- p =, q =, r =, s = p =, q =, r =, s = 8. MA-9- Jik y = y = y = y = y = = y mk 9. MA-- + Oleh mtriks A =, titik P (, ) dn + titik Q msing-msing ditrnsformsikn ke titik P (, ) dn titik Q (, ). Koordint titik Q dlh (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) 9

40 . MA-8- Jik y = b dn b = q p mk y sm dengn q p q p q p 7 q p 9 q p. MA-8- Jik A = dn B =, mk (A + B) (A B) (A B) (A + B) sm dengn A. 8. MA-8-7 Jik b c, invers mtriks c b dlh c b bc b c bc c b bc c b bc b c bc. MA-- Jik A = 7 k, A merupkn mtriks invers dri A A dn A mempunyi determinn yng sm dn positif, mk nili k sm dengn -. MA-8-8 Jik M = mk inversny yitu M - dlh :. MA-8- Invers mtriks dlh

41 . MA-89- Jik. A =, mk A sm dengn 8 7. MA-79-9 Mtriks X berordo yng memenuhi X =, dlh mtriks 8. MA-9-9 Vektor = r diputr mengelilingi pust koordint O sejuh 9 dlm rh berlwnn perputrn jrum jm. Hsilny dicerminkn terhdp sumbu, mengh-silkn vektor = y y y r Jik y A r r =, mk A = 9. MA-9- Jik d bc, dn dri sistem persmn + dy' y = c = ' + by' ' dpt dihitung menjdi y' = r + sy = p + qy ', mk t m h g d c b s r q p = g m h t t m h g g h m t t m h g t m h g. MA-88-8 Dikethui sutu trnsformsi T dinytkn oleh mtrik mk trnsformsi T dlh pencerminn terhdp sumbu pencerminn terhdp sumbu y perputrn perputrn pencerminn terhdp gris y =. MA-87- Bentuk kudrt + b + c dpt ditulis sebgi per-klin mtriks ( ) A, A dlh mtriks () c () c b () b c () c b

42 . MA-8- Dikethui A =, B =, C = y Apbil A. B = C, mk nili dn y berturut-turut dlh dn dn - dn dn dn. MA-8- Mtriks yng menytkn pencerminn titik-titik pd bidng XY terhdp sumbu dlh. MA-- Sutu gmbr dlm bidng-y diputr o serh per-putrn jrum jm kemudin dicerminkn terhdp sumbu-. Mtriks yng menytkn hsil kedu trnsformsi tersebut dlh. MA-8-8 Untuk θ sutu konstnt, tentuknlh nili dn y sin θ - cosθ sin θ sehingg = cosθ sin θ y cosθ = ; y = = ; y = = ; y = = sin θ ; y = cos θ = cos θ ; y = sin θ DALIL SISA. MA-7-8 Dlil sis mengtkn : Jik f() hbis dibgi oleh ( ), mk f() = Ucpn tersebut berlku hny jik f() merupkn fungsi logritm rsionl polinom sinus. MA-77- Jik f() dibgi ( ), mk sisny dlh f( + ) f( ) f() f( ). MA-78-9 Sis ( 7 + ) : ( ) dlh. MA-8-7 Jik f() = + dibgi dengn ( + ) sisny. MA-8- Jik dri fungsi f() = + b + c dikethui f() =, f() =, dn f() = 8, mk f() = untuk sm dengn tu tu tu tu tu