MAT. 08. Bilangan Real

Transkripsi

1 MAT. 08. Bilngn Rel i

2 Kode MAT.08 Bilngn Rel Henry Briggs Thun 6 Membut Tbel Logritm smpi desiml untuk bilngn smpi dn untuk bilngn smpi PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL 00 MAT. 08. Bilngn Rel ii

3 Kode MAT. 08 Bilngn Rel Penyusun: Drs. Meg Teguh B., M.Pd. Editor: Dr. Mnuhrwti, MSi. Dr. Kusrini, M.Pd. BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL 00 MAT. 08. Bilngn Rel iii

4 Kt Pengntr Puji syukur kmi pnjtkn ke hdirt Tuhn Yng Mh Es ts kruni dn hidyh-ny, kmi dpt menyusun bhn jr modul mnul untuk SMK Bidng Adptif, ykni mt peljrn Fisik, Kimi dn Mtemtik. Modul yng disusun ini menggunkn pendektn pembeljrn berdsrkn kompetensi, sebgi konsekuensi logis dri Kurikulum SMK Edisi 00 yng menggunkn pendektn kompetensi (CBT: Competency Bsed Trining). Sumber dn bhn jr pokok Kurikulum SMK Edisi 00 dlh modul, bik modul mnul mupun interktif dengn mengcu pd Stndr Kompetensi Nsionl (SKN) tu stndrissi pd duni kerj dn industri. Dengn modul ini, dihrpkn digunkn sebgi sumber beljr pokok oleh pesert diklt untuk mencpi kompetensi kerj stndr yng dihrpkn duni kerj dn industri. Modul ini disusun mellui beberp thpn proses, ykni muli dri penyipn mteri modul, penyusunn nskh secr tertulis, kemudin disetting dengn bntun lt-lt komputer, sert divlidsi dn diujicobkn empirik secr terbts. Vlidsi dilkukn dengn teknik telh hli (expertjudgment), sementr ujicob empirik dilkukn pd beberp pesert diklt SMK. Hrpnny, modul yng telh disusun ini merupkn bhn dn sumber beljr yng berbobot untuk membekli pesert diklt kompetensi kerj yng dihrpkn. Nmun demikin, kren dinmik perubhn sin dn teknologi di industri begitu cept terjdi, mk modul ini msih kn sellu dimintkn msukn untuk bhn perbikn tu direvisi gr supy sellu relevn dengn kondisi lpngn. Pekerjn bert ini dpt terselesikn, tentu dengn bnykny dukungn dn bntun dri berbgi pihk yng perlu diberikn penghrgn dn ucpn terim ksih. Oleh kren itu, dlm kesemptn ini tidk MAT. 08. Bilngn Rel iv

5 berlebihn bilmn dismpikn rs terim ksih dn penghrgn yng sebesr-besrny kepd berbgi pihk, terutm tim penyusun modul (penulis, editor, teng komputerissi modul, teng hli desin grfis) ts dediksi, pengorbnn wktu, teng, dn pikirn untuk menyelesikn penyusunn modul ini. Kmi menghrpkn srn dn kritik dri pr pkr di bidng psikologi, prktisi duni ush dn industri, dn pkr kdemik sebgi bhn untuk melkukn peningktn kulits modul. Dihrpkn pr pemki berpegng pd zs keterlksnn, kesesuin dn fleksibilits, dengn mengcu pd perkembngn IPTEK pd duni ush dn industri dn potensi SMK dn dukungn duni ush industri dlm rngk membekli kompetensi yng terstndr pd pesert diklt. Demikin, semog modul ini dpt bermnft bgi kit semu, khususny pesert diklt SMK Bidng Adptif untuk mt peljrn Mtemtik, Fisik, Kimi, tu prktisi yng sedng mengembngkn modul pembeljrn untuk SMK. Jkrt, Desember 00. n. Direktur Jenderl Pendidikn Dsr dn Menengh Direktur Pendidikn Menengh Kejurun, Dr. Ir. Gtot Hri Priowirjnto, M. Sc. NIP MAT. 08. Bilngn Rel v

6 DAFTAR ISI Hlmn Smpul... i Hlmn Frncis... ii Kt Pengntr... iii Kt Pengntr... v Dftr Isi... vi Pet Kedudukn Modul... viii Dftr Judul Modul... ix Glosry... x I. PENDAHULUAN A. Deskripsi... B. Prsyrt... C. Petunjuk Penggunn Modul... D. Tujun Akhir... E. Kompetensi... F. Cek Kemmpun... 6 II. PEMBELAJARAN A. Rencn Beljr Pesert Diklt... 8 B. Kegitn Beljr Kegitn Beljr Tujun Kegitn Pembeljrn... 9 b. Urin Mteri... 9 c. Rngkumn... d. Tugs... e. Kunci Jwbn Tugs... 6 f Tes Formtif... 7 g. Kunci Jwbn Formtif Kegitn Beljr Tujun Kegitn Pembeljrn... 9 b. Urin Mteri... 9 c. Rngkumn... d. Tugs... e. Kunci Jwbn Tugs... 6 f Tes Formtif... 8 g. Kunci Jwbn Formtif... 0 MAT. 08. Bilngn Rel vi

7 . Kegitn Beljr.... Tujun Kegitn Pembeljrn... b. Urin Mteri... c. Rngkumn... 6 d. Tugs... 6 e. Kunci Jwbn Tugs... 6 f Tes Formtif g. Kunci Jwbn Formtif III. EVALUASI KUNCI EVALUASI IV. PENUTUP... 7 DAFTAR PUSTAKA... 7 MAT. 08. Bilngn Rel vii

8 PETA KEDUDUKAN MODUL MAT.0 MAT.0 MAT.0 MAT.0 MAT.0 MAT.06 MAT.07 MAT.08 MAT.09 MAT.0 MAT. MAT. MAT. MAT. MAT. MAT.6 MAT. 08. Bilngn Rel viii

9 Dftr Judul Modul No. Kode Modul Judul Modul MAT.0 Mtrik MAT.0 Logik Mtemtik MAT.0 Persmn dn Pertidksmn MAT.0 Geometri Dimensi Du MAT.0 Relsi Dn Fungsi 6 MAT.06 Geometri Dimensi Tig 7 MAT.07 Pelung 8 MAT.08 Bilngn Rel 9 MAT.09 Trigonometri 0 MAT.0 Irisn Kerucut MAT. Sttistik MAT. Brisn MAT. Aproksimsi Keslhn MAT. ProgrmLinier MAT. Vektor 6 MAT.6 Mtemtik Keungn MAT. 08. Bilngn Rel ix

10 Glossry ISTILAH Bilngn rel Bilngn rsionl KETERANGAN Bilngn nyt. Bilngn nyt yng dimksud di sini dlh semu bilngn yng secr tertulis dpt dipeljri dn dijrkn secr ksiomtik. Bilngn rel terdiri dri du jenis bilngn yitu bilngn rsionl dn irsionl. Bilngn yng dpt dinytkn dlm bentuk b dengn, b bilngn bult dn b 0 misl:, Bilngn irsionl, 0, dn lin-lin Bilngn irsionl yng tidk dpt dinytkn dlm bentuk dengn, b bilngn bult dn b b 0 misl:,, 0. Membndingkn Bil kit mengmti buh bend, kit dpt membndingkn ukurn kedu bend tersebut, mislny membndingkn tingginy, pnjngny, bertny dn sebginy. Untuk membndingkn du ukurn dpt dinytkn dengn hsil bgi dri kedu ukurn tersebut. Bilngn pechn Bilngn yng menytkn setengh dn seperempt dinmkn bilngn pechn. Jdi bilngn yng dinytkn dlm bentuk b disebut bilngn pechn dengn sebgi pembilng dn b sebgi penyebut, dengn,b bilngn cch dn b nol. MAT. 08. Bilngn Rel x

11 BAB I. PENDAHULUAN A. Deskripsi Dlm modul ini nd kn mempeljri tentng opersi pd bilngn rel meliputi: opersi pd bilngn bult dn pechn, opersi pd bilngn berpngkt, menerpkn opersi pd bilngn irsionl (bentuk kr), opersi pd logritm. Sistem bilngn rel, opersi pd bilngn bult dn pechn, konversi bilngn-bilngn bult dn bilngn pechn ke tu dri bentuk persen, pechn desiml, pechn cmpurn. Pd modul ini jug mempeljri mslh perbndingn (senili dn berblik nili), skl, dn persen, sert yng terkhir dlh penerpn bilngn rel dlm menyelesikn mslh kejurun. B. Prsyrt Prsyrt untuk mempeljri modul ini dlh nd hrus sudh mempeljri konsep dsr penjumlhn dn pengurngn, perklin dn pembgin pd bilngn bult dn dpt mengusi teknik menjumlhkn, mengurngkn, menglikn, dn membgikn du bilngn tu lebih secr bik. C. Petunjuk Penggunn Modul Untuk mempeljri modul ini, hl-hl yng perlu nd lkukn dlh sebgi berikut:. Peljri dftr isi sert skem modul dengn cermt, kren dftr isi dn skem kn menuntun nd dlm mempeljri modul ini dn kitnny dengn modul-modul yng lin.. Untuk mempeljri modul ini hruslh berurutn, kren mteri yng mendhului merupkn prsyrt untuk mempeljri mteri berikutny. MAT. 08. Bilngn Rel

12 . Phmilh contoh-contoh sol yng d, dn kerjknlh semu sol ltihn yng d. Jik dlm mengerjkn sol nd menemui kesulitn, kemblilh mempeljri mteri yng terkit.. Kerjknlh sol evlusi dengn cermt. Jik nd menemui kesulitn dlm mengerjkn sol evlusi, kemblilh mempeljri mteri yng terkit.. Jik nd mempunyi kesulitn yng tidk dpt nd pechkn, cttlh, kemudin tnykn kepd guru pd st kegitn ttp muk tu bclh referensi lin yng berhubungn dengn mteri modul ini. Dengn membc referensi lin, nd jug kn mendptkn pengethun tmbhn. D. Tujun Akhir Setelh mempeljri modul ini dihrpkn nd dpt:. Memhmi tentng sistem bilngn rel dn opersiny meliputi: opersi penjumlhn, pengurngn, perklin dn pembgin pd bilngn bult dn pechn.. Memhmi tentng konversi bilngn, perbndingn, skl, dn persen sert dpt menyelesikn sol yng berkitn dengn konversi bilngn, perbndingn, skl, dn persen.. Menerpkn bilngn rel dlm menyelesikn mslh kejurun.. Menerpkn konsep skl, perbndingn, perbndingn senili dn perbndingn berblik nili.. Menerpkn pngkt tk sebenrny untuk memechkn mslh. 6. Menerpkn konsep ligritm untuk memechkn mslh. 7. Menggunkn tbel logritm untuk mencri nili sutu logritm sutu bilngn. 8. Menggunkn tbel logritm untuk mencri nili sutu nti logritm sutu bilngn. MAT. 08. Bilngn Rel

13 E. Kompetensi KOMPETENSI : BILANGAN REAL PROGRAM KEAHLIAN : progrm dptif KODE : MATEMATIKA/MAT 08 DURASI PEMBELAJARAN : 68 menit SUB KOMPETENSI. Menerpkn opersi pd bilngn rel KRITERIA KINERJA Bilngn rel dibedkn sesui mcmny. Du tu lebih bilngn bult diopersikn (dijumlh, dikurng, dikli, dibgi) sesui dengn prosedur. Du tu lebih bilngn pechn, diopersikn (dijumlh, dikurng, dikli, dibgi) sesui dengn prosedur. Bilngn pechn dikonversi ke bentuk persen, tu pechn desiml, sesui prosedur. Konsep perbndingn (senili dn berblik nili), skl, dn persen digunkn dlm penyelesin mslh kejurun. LINGKUP BELAJAR Sistem bilngn rel. Opersi pd bilngn bult. Opersi pd bilngn pechn. Konversi bilngn. Perbndingn (senili dn berblik nili), skl, dn persen. Penerpn bilngn rel dlm menyelesikn mslh kejurun. MATERI POKOK PEMBELAJARAN SIKAP PENGETAHUAN KETERAMPILAN Teliti dn cermt dlm perhitungn bilngn rel. Mcm-mcm bilngn rel. Pengopersin du tu lebih bilngn bult. Pengopersin du tu lebih bilngn pechn. Konversi pechn ke bentuk persen, pechn desiml, tu persen. Perbndingn (senili, dn berblik nili) skl dn persen. Penyelesin mslh kejurun. Menghitung dn mengopersikn bilngn rel. MAT. 08. Bilngn Rel

14 SUB KOMPETENSI. Menerpkn opersi pd bilngn berpngkt KRITERIA KINERJA Bilngn berpngkt dijelskn sesui dengn konsep yng berlku. Bilngn berpngkt dioper-sikn sesui dengn sift-siftny. Bilngn berpngkt disederhnkn tu ditentukn niliny dengn menggunkn sift-sift bilngn berpngkt. Konsep bilngn berpngkt diterpkn dlm penyelesin mslh. LINGKUP BELAJAR Konsep bilngn berpngkt dn sift-siftny. Opersi pd bilngn berpngkt. Penyederhnn bilngn berpngkt. MATERI POKOK PEMBELAJARAN SIKAP PENGETAHUAN KETERAMPILAN Penjelsn konsep dn sift-sift bilngn berpngkt. Pengopersin bilngn berpngkt. Penyederhnn bilngn berpngkt. Penyelesin mslh.. Menerpkn opersi pd bilngn irsionl (bentuk kr) Bilngn rel diklsifiksi ke bentuk kr dn bukn bentuk kr sesui dengn konsep yng berlku. Bilngn bentuk kr diopersikn sesui dengn sift-siftny. Bilngn bentuk kr disederhnkn tu ditentukn niliny dengn menggunkn sift-sift bentuk kr. Konsep bilngn irsionl diterpkn dlm penyelesi-n mslh. Konsep bilngn irsionl Opersi pd bilngn bentuk kr. Penyederhnn bilngn bentuk kr. Digunkn untuk : - Perhitungn konversi ukurn Penjelsn konsep dn sift-sift bilngn irsionl. Pengopersin bilngn irsionl. Penyederhnn bilngn irsionl. Penyelesin mslh. MAT. 08. Bilngn Rel

15 SUB KOMPETENSI. Menggunkn konsep logritm KRITERIA KINERJA Pengertin logritm dideskripsikn dengn tept. Opersi logritm diselesikn sesui dengn sift-siftny. Sol-sol logritm diselesikn dengn membc tbel dn tnp tble. Permslhn bidng kehlin diselesikn dengn menggunkn logritm. LINGKUP BELAJAR Konsep logritm. Opersi pd logritm. MATERI POKOK PEMBELAJARAN SIKAP PENGETAHUAN KETERAMPILAN Penjelsn konsep logritm. Pengopersin logritm Penyelesin mslh logritm. MAT. 08. Bilngn Rel

16 F. Cek kemmpun Kerjknlh sol-sol di bwh ini. Jik And mers dpt mengerjkn semu sol berikut. mk nd dpt lngsung mengerjkn sol-sol Evlusi pd BAB III.. Tulis dlm bentuk pngkt negtif ) b) x y c) 9 b b d) 6 b. Sederhnkn: ) n n.9. b) n n.. Hitunglh ) 8 b) ( 8 ) c) ( ) d) ( b ) 0. Tulis dlm pngkt pech. x y b. x y c. p q MAT. 08. Bilngn Rel 6

17 . Rsionlkn. b. c. 6. Jik log 0,77, log 0,60 dn log 6 0,778, hitunglh!. log b. log 8 7. Hitung x dri persmn berikut ini.. log( x ) b. log( x) 8. Sederhnkn. log b. log + log 6 + log 8 + log - log - log 8 9. Seorng yh kn membgikn sejumlh ung kepd tig orng nkny. Ank pertm memperoleh bgin, nk kedu bgin. Berp bgin yng diperoleh nk ketig 0. Lis membeli buh pel dn Tini membeli 8 buh pel, hrg seluruhny Rp.600,00. Berpkh bnykny ung yng hrus dikelurkn msing-msing oleh Lis dn Tini MAT. 08. Bilngn Rel 7

18 BAB II. PEMBELAJARAN A. Rencn Beljr Sisw Kompetensi : Menerpkn konsep opersi bilngn rel Sub Kompetensi :. Menerpkn opersi pd bilngn rel. Menerpkn opersi pd bilngn berpngkt. Menerpkn opersi pd bilngn irsionl (bentuk kr). Menerpkn konsep logritm Tulislh semu jenis kegitn yng nd lkukn di dlm tbel kegitn di bwh ini. Jik d perubhn dri rencn semul, berilh lsnny kemudin memint tnd tngn kepd guru tu instruktur nd. Jenis Kegitn Tnggl Wktu Tempt Beljr Alsn perubhn Tnd Tngn Guru MAT. 08. Bilngn Rel 8

19 . Kegitn Beljr B. Kegitn Beljr. Tujun Kegitn Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr ini, dihrpkn nd dpt: Memhmi pengertin sistem bilngn rel dn membedkn bilngn rel sesui mcmny. Menentukn hsil opersi dri du tu lebih bilngn bult. Menentukn hsil opersi dri du tu lebih bilngn pechn. Mengkonversi pechn ke bentuk persen, pechn desiml, tu persen. Memhmi pengertin perbndingn (senili dn berblik nili), skl dn mmpu menggunkn dlm menyelesikn sol-sol. Menyelesikn mslh kejurun yng berkitn dengn opersi pd bilngn rel. b. Urin Mteri SISTEM BILANGAN REAL Bilngn rel mempunyi rti menth yitu bilngn nyt. Bilngn nyt yng dimksud di sini dlh semu bilngn yng secr tertulis dpt dipeljri dn dijrkn secr ksiomtik. Keblikn bilngn rel dlh bilngn imjiner (tidk rel). Bilngn rel terdiri dri du jenis bilngn yitu bilngn rsionl dn irsionl. Bilngn rsionl dlh bilngn yng dpt dinytkn dlm bentuk dengn, b bilngn bult dn b 0 b misl:,, 0, dn lin-lin. Sedngkn bilngn irsionl bukn bilngn rsionl yitu bilngn yng tidk dpt dinytkn dlm bentuk b MAT. 08. Bilngn Rel 9

20 dengn, b bilngn bult dn b 0 misl:,, 0,960 (bilngn desiml yng dengn susunn tidk membentuk pol). Untuk lebih jelsny mengeni sistem bilngn rel mri kit perhtikn digrm berikut: BILANGAN I R M Q B C A KETERANGAN: A Bilngn sli yitu {,,, } C Bilngn cch yitu {0,,,, } B Bilngn bult yitu {,-,-,0,,, } Q Bilngn rsionl misl,, 0, I Bilngn irsionl bukn bilngn rsionl misl:,, 0,960 R Bilngn rel terdiri dri bilngn sli, cch, bult, rsionl dn irsionl M bilngn imjiner bukn bilngn rel misl:, log ( ), dn lin-lin Sift-sift opersi dsr pd bilngn rel Pd penjumlhn:. +b b+, untuk setip,b bilngn rel disebut sift komuttif pd penjumlhn.. (+b)+c +(b+c), untuk setip,b,c bilngn rel disebut sift sositif pd penjumlhn. MAT. 08. Bilngn Rel 0

21 . Ad bilngn nol yng merupkn bilngn rel sedemikin hingg ; untuk setip bilngn rel disebut sift identits, di mn sebgi elemen identits penjumlhn.. Untuk setip bilngn rel terdpt nggot bilngn rel sedemikin hingg +(-) (-) + 0 disebut sift invers. Pd perklin:..b b., untuk setip,b bilngn rel disebut sift komuttif pd perklin.. (.b).c.(b.c), untuk setip,b,c bilngn rel disebut sift sositif pd perklin.. Ad yng tidk sm dengn nol, bilngn rel mk d sedemikin hingg.. untuk setip bilngn rel disebut sift identits, di mn elemen identits sedngkn dlh invers perklin dri...(b+c).b +.c dn (b+c) b. + c. untuk setip,b,c bilngn rel disebut sift distributif. OPERASI PADA BILANGAN BULAT Kit ingt kembli himpunn bilngn cch yitu: {0,,,, }. Pd opersi penjumlhn bilngn cch pkh berlku sift tertutup, ykni hsil penjumlhn du bilngn cch dlh bilngn cch jug. Sedngkn untuk opersi pengurngn pd bilngn cch pkh jug berlku sift tertutup Ketik opersi pengurngn dikenkn pd du bilngn cch kn muncul mslh ketik bilngn pengurngny lebih besr dri yng dikurngi, sehingg muncullh bilngn bult negtif sehingg perpdun ntr bilngn cch dn bilngn bult negtif kit nmkn bilngn bult. MAT. 08. Bilngn Rel

22 Opersi pd bilngn bult yng kn dibhs pd kegitn ini meliputi opersi penjumlhn dn pengurngn, sert perklin dn pembgin. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN BULAT Di SMP And sudh mempeljri penjumlhn, pengurngn, pembgin, dn perklin bilngn bult. Pd kegitn ini diberikn sebuh lterntif untuk memudhkn And mengingtny. Penjumlhn dn pengurngn dpt kit gunkn turn sebgi berikut:. Untuk penjumlhn yng melibtkn bilngn nol, mk kit menggunkn turn 0 + dn + 0. Contoh : ) b) (-) +0 - c) Untuk menjumlhkn du bilngn bult yng bukn nol dlh sebgi berikut: ) Jik du bilngn mempunyi tnd yng sm (keduny bilngn bult positif tu bilngn bult negtif) mk perhtikn lngkhlngkh berikut: ) Tentukn nili mutlk kedu bilngn tersebut ) Jumlhkn kedu bilngn tersebut seperti pd bilngn sli. ) Temptkn tnd positif tu negtif sesui dengn tnd kedu bilngn yng dijumlhkn pd lngkh (). Contoh : Sesui ) dn ) sesui ) diperoleh Sesui ) dn ) sesui ) diperoleh - 0 MAT. 08. Bilngn Rel

23 b) Jik du bilngn mempunyi tnd yng sm (keduny bilngn bult positif tu bilngn bult negtif) mk perhtikn lngkhlngkh berikut: ) Tentukn nili mutlk kedu bilngn tersebut ) Kurngkn bilngn yng besr dengn yng kecil. ) Temptkn tnd sesui dengn bilngn tnd bilngn yng nili bsolutny terbesr pd hsil lngkh (). Contoh + Sesui ) dn ) sesui ) diperoleh Sesui ) dn ) sesui ) diperoleh + Sedngkn pd pengurngn bilngn bult didefinisikn dengn: b + (-b) Misl: ) (-) (-) (-) + + b) + (-) - c) (-) + 7 Pd perklin tu pembgin bilngn bult didptkn: Hsil perklin du bilngn bult yng lmbngny bertnd sm dlh bilngn positif. Contoh. x (-6) x (-) 0 Hsil perklin du bilngn bult yng lmbngny berbed tnd dlh bilngn bult negtif. Contoh (-) x (-0) ( x (-6) (-8) MAT. 08. Bilngn Rel

24 OPERASI PADA BILANGAN PECAHAN Pk Iwn mempunyi selembr krton yng berbentuk persegi seperti pd gmbr. Pk Iwn ingin membgikn krton kepd du orng nk sebgi tempt untuk tugs melukis. Berp bgin yng diterim msingmsing nk itu Bgimn And menuliskn lmbng bilngn yng menytkn setengh Jik krton itu dibgikn kepd orng nk. Berp bgin yng diterim msing-msing nk itu Bgimn And menuliskn lmbng bilngn yng menytkn seperempt Bilngn yng menytkn setengh dn seperempt dinmkn bilngn pechn. Jdi bilngn yng dinytkn dlm bentuk disebut b bilngn pechn dengn sebgi pembilng dn b sebgi penyebut, dengn,b bilngn cch dn b nol. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN PECAHAN Pd penjumlhn dn pengurngn bilngn pechn menggunkn prinsip yng sm seperti pd pejumlhn dn pengurngn pd bilngn bult. ) Jik du bilngn yng dijumlhkn tu yng dikurngkn penyebutny sm, mk berlku: Contoh 6 ) + b b ; untuk, b, c bilngn bult dn c nol c c c ( ) b) - c) - + ) Jik du bilngn yng dijumlhkn tu yng dikurngkn penyebutny berbed/tidk sm, mk berlku: c d bc ; untuk, b, c, d bilngn bult dn b, d b d bd nol MAT. 08. Bilngn Rel

25 Contoh 7 6 ) + 9 b) - 0 setelh disederhnkn menjdi 6 c) - ( ) 9 + PERKALIAN DAN PEMBAGIAN BILANGAN PECAHAN Pd perklin dn pembgin bilngn pechn menggunkn prinsip yng sm seperti pd perklin dn pembgin pd bilngn bult. Pd perklin dn pembgin ini tidk mensyrtkn penyebut dri kedu bilngn pechn sm. Pd Perklin Jik du bilngn pechn diklikn, mk menghsilkn bilngn pechn bru dengn pembilng merupkn hsil perklin pembilng dri du bilngn pechn tersebut, sedngkn penyebut merupkn hsil perklin penyebut dri du buh bilngn pechn. Secr mtemtis dituliskn sebgi berikut: c x b d c ; untuk, b, c, d bilngn bult dn b, d bd nol Contoh 6 x ) x x x b) x(- ) - - x 6 x c) (- )x(- ) x 0 MAT. 08. Bilngn Rel

26 Pd Pembgin Jik du bilngn pechn dibgikn, mk menjdi perklin du bilngn pechn tdi dengn cttn pechn yng kedu diblik (rtiny pembilng pechn menjdi penyebut dn seblikny) sehingg menghsilkn bilngn pechn bru dengn prosedur seperti di ts. Secr mtemtis dpt dituliskn sebgi berikut: c : b d d d x ; untuk, b, c, d bilngn bult dn b, c b c bc nol Contoh 9 ) : x 6 setelh disederhnkn menjdi x b) : (- ) x (- ) - x c) (- ) : (- ) x Mengubh Pechn Bis menjdi Pechn Desiml Diskusikn Pk Andi mempunyi 0, hektr swh. Swh tersebut kn ditnmi pdi. Ap yng dimksud dengn 0, hektr Perhtikn model di smping! ) Bgin yng dirsir menytkn pechn berp b) Bgimn bentuk desiml dri pechn tersebut Perhtikn contoh berikut: Contoh 0. Ubhlh pechn ke dlm bentuk desiml Jwb :... x 00 Gb. MAT. 08. Bilngn Rel 6

27 8 b. Ubhlh pechn ke dlm bentuk desiml 8 Jwb : 9,6 c. Ubhlh pechn ke dlm bentuk desiml Jwb : 0,. Cttn Pechn desiml 0,.. disebut pechn desiml berulng. Untuk menytkn bhw pechn itu berulng, ngk berulng cukup ditulis stu kli sj dn di tsny tnd, jdi 0,. Atu 0, Mengubh Pechn Bis menjdi Persen Jik And berbelnj ke toko swlyn bisny di toko itu tercntum hrg-hrg brng yng didiskon. Mislny Diskon 0%. Diskon 0%. Thukh And yng dimksud persen itu Apbil And membndingkn sebuh bilngn dengn 00 mk And kn menemukn persen. Jdi persen dlh pechn yng berpenyebut 00, 6 ditulis %. Mislny And dpt menuliskn perbndingn sebgi 6%, 00 sebgi % dn sebginy. 00 Contoh Ubhlh pechn-pechn berikut dlm bentuk persen b. c. MAT. 08. Bilngn Rel 7

28 Cr I : % b....% c....% 00 Cr II 6 6. x...%...% 0 0 b. x...%...% 7 c. x...%...% Dri hsil yng diperoleh di ts butlh sutu kesimpuln bgimn cr mengubh bentuk pechn ke bentuk persen. Selnjutny bgimnkh mengubh bentuk persen menjdi bentuk pechn bis. SKALA Dlm peljrn IPS (geogrfi) sering kmu dimint untuk menentukn letk sutu pulu, sungi, kot, dn gunung pd sutu wilyh tertentu. Klin tidk mungkin meliht keseluruhn dri hl tersebut. Untuk itu dibutknlh sutu gmbr (tls/pet) yng mewkili kedn sebenrny. Gmbr itu dibut sesui dengn kedn sebenrny, dengn perbndingn (skl) tertentu. Dlm membut gedung sekolh jug dibut gmbr berskl yng disebut mket. Gedung dn mketny mempunyi bentuk yng sm tetpi ukurnny berbed. Dpt jug And membut denh rungn yng d di sekolhmu. Rungn dn denh yng And but mempunyi bentuk yng sm tetpi ukurnny berbed. Mket dn denh dibut sesui dengn MAT. 08. Bilngn Rel 8

29 kedn sebenrny dengn perbndingn (skl) tertentu. And dpt meliht dengn jels posisi kot-kot, sungi-sungi, mupun bukit-bukit di propinsi Jw Timur di pet. Contoh Pd pet Jw Timur terter terter skl : Jrk kot Bnyuwngi dn Surby pd pet dlh cm. Berpkh jrk sesungguhny ntr kedu kot itu Penyelesin Jrk dlm pet cm Skl : Jrk sesungguhny x Jdi jrk sesungguhny ntr Surby dn bnyuwngi dlh cm 00 km Pernhkh And berfoto Msih puny negtif film Cob klin cetk ke studio dengn ukurn X dn x6. Foto kedu ukurn itu mempunyi bentuk yng sm dengn semu bgin diperbesr dengn perbndingn yng sm. Jdi bgin-bgin yng bersesuin dri kedu foto mempunyi perbndingn yng sm. Untuk membut peswt terbng tu mobil dibut terlebih dhulu model peswt terbng tu mobil itu. Bgin-bgin dri model perswt tu mobil mempunyi perbndingn yng sm dengn bgin-bgin yng bersesuin dri peswt tu mobil. Dlm membut pust pertokon tu perkntorn sering jug dibut model tu mket. Pnjng mket dn pnjng sebenrny, lebr mket dn lebr sebenrny, tinggi mket dn tinggi sebenrny mempunyi perbndingn yng sm. Contoh Tinggi pintu dn jendel rumh pd sutu mket berturut-turut 8 cm dn cm. Tinggi jendel sebenrny m. Berpkh tinggi pintu sebenrny Penyelesin Misl tinggi pintu x m, mk didpt model mtemtik 8 x MAT. 08. Bilngn Rel 9

30 x 8 x Jdi tinggi pintu sebenrny m. PENGERTIAN PERBANDINGAN Bil kit mengmti buh bend, kit dpt membndingkn ukurn kedu bend tersebut, mislny membndingkn tingginy, pnjngny, bertny dn sebginy. Untuk membndingkn du ukurn dpt dinytkn dengn hsil bgi dri kedu ukurn tersebut. Dengn demikin perbndingn dpt dinytkn dlm bentuk pechn sederhn. Untuk memhmi perbndingn perhtikn contoh berikut: Wwn mempunyi buku 9 buh, sedngkn Wti mempunyi 6 buh. Perbndingn bnykny buku Wwn dn bnykny buku Wti dlh 9 : 6 tu :. Bert bdn Eko kg dn bert bdn Gembul 6 kg. Perbndingn bert bdn Eko dn Gembul dlh : 6 tu 6 : 7. Jrk rumh Din ke Sekolh 00 m sedngkn jrk ke Kntor Pos km. Perbndingn jrk ke Sekolh dn jrk ke Kntor Pos dri rumh Din dlh 00 : 000 tu :. PERBANDINGAN SENILAI Untuk memhmi perbndingn senili, perhtikn du contoh berikut ini. Hrg semngkuk bkso dlh Rp.000,00. Jik Ali membeli mngkuk bkso, mk Ali hrus mebyr Rp 6.000,00. Motor Iwn membutuhkn liter bensin untuk menempuh jrk 0 km. Jik Iwn kn menempuh perjlnn 0 km dri slny, mk bensin yng dibutuhkn liter. Kedu contoh di ts merupkn contoh permslhn perbndingn senili. Fkt di ts menunjukkn bhw jik bnykny bkso yng dimkn bertmbh mk bnykny ung jug bertmbh. Demikin jug jik jrk semkin juh mk bnykny bhn bkr jug mkin bnyk. MAT. 08. Bilngn Rel 0

31 Contoh Ali membeli mngkuk bkso, i hrus membyr Rp 6.000,00. Jik An mentrktir temn-temnny hbis 8 mngkuk, berp i hrus byr Penyelesin Mslh di ts merupkn mslh senili Misl ung yng hrus dibyr x rupih Hl di ts dpt disjikn dlm tbel berikut untuk memudhkn membut model mtemtikny. Bnykny Bkso (dlm mngkuk) Hrg (dlm rupih) x Didpt model mtemtik 6000 x 8 x 8000 x 000 Jdi ung yng hrus dibyr Iwn untuk membyr bkso dlh.000,00. Rp Contoh Hrg buku tulis dlh Rp.000,00. Berpkh hrg buh buku tulis Mslh di ts merupkn mslh senili. Misl ung yng hrus dibyr p rupih. Hl di ts dpt disjikn dlm tbel berikut untuk memudhkn membut model mtemtikny. Bnykny Buku (dlm buh) Hrg (dlm rupih).000 p MAT. 08. Bilngn Rel

32 Didpt model mtemtik 000 p p 9000 P 00 Jdi hrg buh buku dlh Rp.00,00. PERBANDINGAN BERBALIK NILAI Untuk memhmi perbndingn berblik nili, perhtikn contoh berikut ini. Pd perushn konveksi, pr krywn hrus menyelesikn pembutn bju sesui dengn trget yitu 00 potong bju. Jik diselesikn orng kn selesi dlm 90 hri, diselesikn orng selm hri, diselesikn orng selm 0 hri, seperti disjikn tbel berikut. Bnykny krywn Lm Penyelesin Jik diperhtikn tbel di ts ternyt mkin bnyk krywn menyebbkn lm penyelesin mkin sedikit. Jik perbndingn bnyk krywn :, mk perbndingn lmny penyelesin 90 : 60 tu : Jik perbndingn bnyk krywn :, mk perbndingn lmny penyelesin 60 : tu : Jik perbndingn bnyk krywn :, mk perbndingn lmny penyelesin : 6 tu : MAT. 08. Bilngn Rel

33 Berrti d perbndingn berblik nili ntr bnykny krywn dengn lmny penyelesin. Perbndingn ntr bnykny krywn dn lmny penyelesin disebut perbndingn berblik nili. Bgimn hsil kli ntr bnykny krywn dn lmny penyelesin Ternyt sellu sm yitu 80. Itu merupkn slh stu ciri dri perbndingn berblik nili. Contoh 6 Sebuh mobil berjln dri kot A ke kot B. Jik keceptnny bertmbh, wktu tempuhny berkurng, seperti tbel berikut. Keceptn (km/jm) Wktu (jm) Tentukn hsil kli ntr keceptn dn wktu pd tbel di ts. b. Tentukn jrk tempuh mobil tersebut. c. Hitung wktu yng dibutuhkn jik keceptnny 0 km/jm. d. Hitung keceptn yng dibutuhkn gr wktuny jm. Penyelesin. Hsil kli ntr keceptn dn wktu pd tbel di ts dlh 00. b. Jrk tempuh mobil tersebut dlh keceptn diklikn wktu yitu 00 km. c. Misl wktu yng dibutuhkn p jm, mk didpt model mtemtik: 0 x p 00, ( perklinny sellu 00) 0 p 00 P 0 Jdi wktu yng dibutuhkn 0 jm. d. Misl keceptn yng dibutuhkn q km/jm q x 00, ( perklinny sellu 00) MAT. 08. Bilngn Rel

34 q 00 q 00 Jdi keceptn yng dibutuhkn 00 km/jm. c. Rngkumn b b ) ; untuk, b, c bilngn bult dn ctidk nol c c c c d bc ) ; untuk, b, c, d bilngn bult dnb, d tidk nol b d bd c c ) x ; untuk, b, c, d bilngn bult dnb, d tidk nol b d bd c d d ) : x ; untuk, b, c, d bilngn bult dnb, c tidk nol b d b c bc ) Membndingkn du bend rtiny membndingkn ukurn kedu bend itu. 6) Perbndingn diktkn senili jik slh stu ukurn bertmbh dengn m kli mk ukurn yng lin jug bertmbh m kli. 7) Perbndingn diktkn berblik nili i jik slh stu ukurn bertmbh dengn m kli mk ukurn yng lin jug bertmbh /m kli. d. Tugs. Hitunglh. (-) + 8 b. (-8) (-) c. (-) x 6 d. (-) x (-) e. f. 6 0 MAT. 08. Bilngn Rel

35 . Ubhlh. 8 7 dlm pechn deciml 7 b. dlm persen 8 c. 0, 6 dlm pechn bis. Seorng yh kn membgikn sejumlh ung kepd tig orng nkny. Ank pertm memperoleh bgin, nk kedu bgin. Berp bgin yng diperoleh nk ketig. Lis membeli buh pel dn Tini membeli 8 buh pel, hrg seluruhny Rp.600,00. Berpkh bnykny ung yng hrus dikelurkn msingmsing oleh Lis dn Tini. Seorng pemborong dpt menyelesikn pembngunn jembtn selm 6 hri dengn pekerj 8 orng. Berp pekerjkh yng diperlukn bil pembngunn jembtn ingin dipercept selesi menjdi hri MAT. 08. Bilngn Rel

36 e. Kunci Jwbn Tugs. Hitungn:. (-) + 8 b. (-8) (-) - c. (-) x 6 - d. (-) x (-) 0 e. f Hsil perubhn , 87 b ,% c. 0, 6 8. Bgin yng diperoleh nk ketig 6. Bnykny ung yng hrus dikelurkn oleh Lis Rp 6.000,00 dn Tini Rp 9.600,00. Hsi kli ntr lm pekerjn dn bnyk pekerj 08 Misl bnykny pekerj p orng, didpt model mtemtik p 07 p 8 Jdi bnykny pekerj 8 orng MAT. 08. Bilngn Rel 6

37 f. Tes Formtif. Hitunglh. (-9) + 8 b. (-) (-) c. (-) x (-6) d. (-) x () e. f. 6. Ubhlh. 8 dlm pechn desiml b. 8 dlm persen c. 0, 87 dlm pechn bis. Seorng yh kn membgikn sejumlh ung kepd tig orng nkny. Ank pertm memperoleh bgin, nk kedu bgin. Berp bgin yng diperoleh nk ketig. Lis membeli buh pel dn Tini membeli 8 buh pel, hrg seluruhny Rp.000,00. Berpkh bnykny ung yng hrus dikelurkn msingmsing oleh Lis dn Tini. Seorng pemborong dpt menyelesikn pembngunn jembtn selm 6 hri dengn pekerj 8 orng. Berp pekerjkh yng diperlukn bil pembngunn jembtn ingin dipercept selesi menjdi hri MAT. 08. Bilngn Rel 7

38 g. Kunci Tes Formtif. Hitungn. (-9) + 8 (-) b. (-) (-) c. (-) x (-6) d. (-) x () (-0) e. f Ubhn. 8 0, 7 b. 8 7,% c. 0, Bgin yng diperoleh nk ketig 0. Bnykny ung yng hrus dikelurkn msing-msing oleh Lis Rp.00,00 dn Tini Rp 9.600,00. Hsi kli ntr lm pekerjn dn bnyk pekerj 07 Misl bnykny pekerj p orng, didpt model mtemtik p 07 p 6 Jdi bnykny pekerj 6 orng. MAT. 08. Bilngn Rel 8

39 . Kegitn Beljr. Tujun Kegitn Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr ini, dihrpkn sisw dpt: Memhmi konsep bilngn berpngkt dn sift-siftny. Menentukn hsil opersi pd bilngn berpngkt menggunkn siftsiftny. Menyederhnkn bilngn berpngkt. Menentukn nili penyederhnn bilngn berpngkt menggunkn sift-siftny. Menggunkn konsep bilngn berpngkt untuk menyelesikn mslh. b. Urin Mteri. Pngkt Positip Dri modul sebelumny And sudh memhmi definisi bilngn berpngkt. Berikut ini beberp contoh rti bilngn berpngkt dn penggunnny. x (-) (-) x (-) x (-) x x x 0 x x.. x 0 fktor 8 x x.. x 8 fktor Jik bilngn rel dn n bilngn bult positif mk n x x.. x n fktor disebut bilngn pokok n disebut pngkt/eksponen MAT. 08. Bilngn Rel 9

40 Contoh Dengn menggunkn rti bilngn berpngkt sederhnkn bentuk dibwh ini. ) x b) (-) x (-) c) b x b d) Jik bilngn rel dn m, n bilngn bult positif, pkh bentuk sederhn dri m x n Penyelesin ) x (x) x (x)x xxxx + b) (-) x (-) ((-)x(-) x(-)) x ((-)x(-)x(-)x(-)) (-) 7 (-) + c) b x b (bxb) x (bxbx bxbx b) b 7 b + d) Bentuk sederhn dri m x n dlh m x n m + n Jik bilngn rel dn m, n bilngn bult positif, mk m x n m + n Contoh Dengn menggunkn rti bilngn berpngkt, sederhnkn: ) b) c) 6 6 x x c d) c e) Jik bilngn rel dn m, n bilngn bult positif, pkh bentuk m sederhn dri n MAT. 08. Bilngn Rel 0

41 Penyelesin xxxx ) xx - x 6 xxxxx b) 6 xxx x c) c c cxcxcxc c c c cxcxc m d) Bentuk sederhn dri n dlh m n m n Jik bilngn rel dn m, n bilngn bult m positif, mk n m n Contoh Dengn menggunkn rti bilngn berpngkt, sederhnkn: ) ( ) b) ((-) ) c) (c ) d) e) Jik bilngn rel dn m, n bilngn bult positif, 0, pkh bentuk sederhn dri ( m ) n Penyelesin ) ( ) x x ( x ) x ( x ) x ( x ) 6 b) ((-) ) (-) x(-) x(-) x(-) x(-) ((-)x(-))x((-)x(-))x((- )x(-))x((-) x (-))x((-)x(-))(-) 0 c) (c ) c x c x c x c (cxc)x(cxc)x(cxc)x(cxc)c 8 d) x x x x x x 6 MAT. 08. Bilngn Rel

42 e) Bentuk sederhn dri ( m ) n mn Jik bilngn rel dn m, n bilngn bult positif, Mk ( m ) n mn Contoh Dengn menggunkn rti bilngn berpngkt, sederhnkn: ) ( b) b) (m n) c) (p q) d) (x y) e) Jik dn b bilngn rel, n bilngn bult positif, pkh bentuk sederhn dri ( b) n Penyelesin ) ( b) ( b) ( b) ( b) ( ) (b b b) b b) (m n) (m x n)x(m x n) (m x m) x (n x n) m x n c) (p q) (p x q)x(p x q)x(p x q)x(p x q) (p x p x p x p)x(q x q x q x q) p x q d) (x y) (x x y)x(x x y)x(x x y)x(x x y)x(x x y)] (x x x x x x x x x)x(y x y x y x y x y) (x x y ) e) Bentuk sederhn dri ( b) n n x b n Jik bilngn rel dn m, n bilngn bult positif, Mk ( b) n n x b n MAT. 08. Bilngn Rel

43 MAT. 08. Bilngn Rel Contoh Dengn menggunkn rti bilngn berpngkt sederhnkn: ) b) c) 7 d) q p, p, q bilngn rel, q 0. e) 6 d c, c, d bilngn rel, d 0. f) Jik dn b bilngn rel, b 0, m bilngn bult positif pkh bentuk sederhn n b Penyelesin ) b) x x x x ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x x x x x x x x c) d) q p, p, q bilngn rel, q 0. q p x q p x q p qxqxq pxpxp q p

44 e) 6 c, c, d bilngn rel, d 0. d c x c x c x c x c x c d d d d d d cxcxcxcxc dxdxdxdxd c d 6 f) bentuk sederhn 6 b n n n b Jik bilngn rel dn m, n bilngn bult positif, Mk b n n n b. Pngkt Negtif Di depn klin sudh mempeljri bhw n. Bgimn jik m < n m m n n, 0 dengn m > Contoh 7 ) ) 8 8 dn dengn 8 demikin 6 6 demikin dn dengn 6 Jik bilngn rel, 0 dn n bilngn bult positif, bentuk lin yng sm dengn -n dlh -n n Contoh 8 Dengn menggunkn hsil yng kmu peroleh di ts: ). Ubhlh dlm pngkt negtif MAT. 08. Bilngn Rel

45 ) b) c) p d) x ). Ubhlh dlm pngkt positif ) - b) - c) p - d) x -6 Penyelesin ) ) - b) - c) p p- d) x x- ) ) - b) - c) p - p d) x -6 6 x Contoh 9 Dengn menggunkn rti bilngn berpngkt negtif -n n, 0 dn n bilngn bult positif, sederhnkn: ) - - b) (-) - (-) - c) - -6 d) Jik bilngn rel dn m, n bilngn bult negtif, pkh bentuk lin yng sm dengn m n Penyelesin ) ) - - x x b) (-) - (-) - ( ) (-) -6 (-) (-)+(-) c) - -6 x 6 x ( ) 6 x ( ) x( ) 6 - (-)+(-) 9 6 ( ) -9 (-)+(-6) d) Bentuk lin yng sm dengn m n dlh m n ( ) m n Jik bilngn rel dn m, n bilngn bult negtif, mk m n m n MAT. 08. Bilngn Rel

46 Contoh 0 Dengn menggunkn rti bilngn berpngkt negtif -n n, 0 dn n bilngn bult positif, sederhnkn: ) x b) x c) 6 d) Jik bilngn rel, 0 dn m, n bilngn bult negtif, pkh bentuk lin yng sm dengn Penyelesin ) x b) x x (-) (-) x x x m n x x x - (-) - (-) x x c) Jik bilngn rel, 0 dn m, n bilngn bult negtif, bentuk lin yng sm dengn m n dlh m n m - n Jik bilngn rel, 0 dn m, n bilngn bult negtif, mk m n m - n Contoh Dengn menggunkn rti bilngn berpngkt negtif -n n, 0 dn n bilngn bult positif, sederhnkn: MAT. 08. Bilngn Rel 6

47 ) ( - ) - b) (c - ) - c) ( - ) - d) Jik bilngn rel dn m, n bilngn bult negtif, pkh bentuk lin yng sm dengn ( m ) n Penyelesin ) ( - ) - ( ) x x 6 6 b) (c - ) - ( c ) xc c 0 c c 0 c) Jik bilngn rel dn m, n bilngn bult negtif, bentuk lin yng sm dengn ( m ) n mxn Jik bilngn rel dn m, n bilngn bult negtif, mk ( m ) n mxn Contoh Dengn menggunkn rti bilngn berpngkt negtif -n dn n bilngn bult positif, sederhnkn: ) ( ) - b) ( b) - c) (x y) - n, 0 d) Jik bilngn rel dn m, n bilngn bult negtif, pkh bentuk lin yng sm dengn ( b) n Penyelesin ) ( ) - (x) x x - x - b) (x y) - ( x. y) x. y x x y x- x y - c) Jik bilngn rel dn m, n bilngn bult negtif, bentuk lin yng sm dengn ( b) n dlh ( b) n n x b n MAT. 08. Bilngn Rel 7

48 Contoh Dengn menggunkn rti bilngn berpngkt negtif -n dn n bilngn bult positif, sederhnkn: ) b) p q n, 0 c) d) Jik bilngn rel, 0 dn m, n bilngn bult negtif, pkh bentuk lin yng sm dengn Penyelesin ) b) p q ( ) p ( ) q q n b x x p q p p x q p - x x q p - x q p q c) Jik bilngn rel, 0 dn m, n bilngn bult negtif, bentuk lin yng sm dengn b n n n b. Pngkt Nol Di bgin depn klin peljri positif. Bgimn jik m n ( ) 0 0 0, 0 m m n n, 0, m, n bilngn bult MAT. 08. Bilngn Rel 8

49 Jik 0 dn n bilngn bult positif, pkh yng sm dengn 0 Ingt Semu bilngn keculi nol jik dipngktkn nol hsilny. 0 Rngkumn Jik m dn n bilngn bult, dn, b bilngn rel mk berlku sift-sift berikut. m. n m+n ( m ) n mn m m n n, 0 (. b) n n. b n b m b m m 0, 0, b 0. Menyederhnkn Bentuk Akr Di Kegitn And telh mempeljri bilngn rsionl yitu bilngn yng dpt dinytkn dlm bentuk dengn dn b b bilngn bult, b 0. Bilngn-bilngn yng tidk dpt dinytkn sebgi seperti di ts dinmkn bilngn irsionl. Contoh bilngn b irsionl dlh,,, 6, 7, 8, 0. Apkh, 9, 6 bilngn irsionl Berikn lsnny! MAT. 08. Bilngn Rel 9

50 Menyederhnkn Bentuk Akr Jik, b bilngn bult positif mk b. b. Contoh b..( b ). b b. b b b. b b. b b b b b. Pngkt Pechn Dengn menggunkn sift-sift dri eksponen, And dptkn: ) ½. ½ dn. dn disimpulkn ½ b) /. /. / dn.. dn disimpulkn / Dengn menggunkn contoh di ts didpt: jik ditulis dlm bentuk kr jik ditulis dlm bentuk kr b n jik ditulis dlm bentuk kr dengn n bult positif dlh n b Contoh Dengn menggunkn sift-sift dri eksponen, kit dpt mengubh pngkt pechn menjdi bentuk kr. ) b).., ini berrti..., ini berrti c), >0 m n d) n b, b bilngn rel, n bilngn bult, mk b n b m m MAT. 08. Bilngn Rel 0

51 Contoh 6 Dengn menggunkn sift-sift dri eksponen, kit dpt menyederhnkn bentuk kr seperti berikut: ) 6 6 b) c) 6 6 ( 6) 6 ( 6 ) d) 8 y x jik dinytkn dlm eksponen rsionl 8 8x y 8 x y x y 6 e) x y xy 6. Perpngktn dri Akr sutu Bilngn n m n And telh memhmi bhw m n n n, b. b m dn n mn. Ketig hl di ts kit gunkn untuk menghitung permslhn menyederhnkn bentuk kr. Untuk memhmi, perhtikn contoh berikut: Contoh 7 ) ( ) ( ) ) ( ) 6 6 ) 6 ( ) 7 ) 6 ( ) 6 MAT. 08. Bilngn Rel

52 7. Penjumlhn dn Pengurngn Du buh Akr sutu Bilngn Kit menyederhnkn penjumlhn dn pengurngn dengn menggunkn sift distributif perklin terhdp penjumlhn. Contoh 8 Ingt Sift distributif perklin terhdp penjumlhn (b + c) b + c ( + b)c c + bc ) c + bc ( + b) c ) c - bc ( b) c ) - ( ) ) + + ( + + ) 0 ) ) Menyederhnkn bentuk kr. Di ts klin sudh mempeljri b. b. Bentuk ini dpt jug ditulis sebgi perklin bentuk kr. b b. Contoh ( - ) ().. + () Rngkumn Jik, b bilngn rel, p dn q bilngn rsionl, mk: p. q p+q p p q q ( p ) q pq MAT. 08. Bilngn Rel

53 9. Mersionlkn Penyebut Bentuk Akr Klin sudh memhmi bhw,,, 7 dlh bilngn irsionl. Demikin jug,,,,, 7 merupkn bilngn irsionl. Penyebut dri pechn-pechn tersebut dpt diubh menjdi bilngn rsionl, dn disebut mersionlkn bentuk kr. Perhtikn contoh berikut: Contoh 0 Rsionlkn bentuk. b. c. d. Penyelesin.. (pembilng dn penyebut diklikn ) tu b.. (pembilng dn penyebut diklikn ) 9. MAT. 08. Bilngn Rel

54 c.. supy menjdi bentuk b ) (pembilng dn penyebut diklikn - Ingt ( + b)( - b) b d. x c. Rngkumn ) Jik bilngn rel, 0 dn n bilngn bult positif, bentuk lin yng sm dengn -n dlh -n n ) Jik m dn n bilngn bult, dn, b bilngn rel mk berlku sift-sift berikut. m. n m+n ( m ) n mn m n m n, 0 (. b) n n b n m m m b b 0, 0, b 0 ) Jik, b bilngn rel, p dn q bilngn rsionl, mk: p. q p+q p p q q ( p ) q pq MAT. 08. Bilngn Rel

55 d. Tugs. Sederhnkn. 8 8 b. (-) (-) c. d. ( 0 ) ( 0 6 ) 8 e. 6 f.. Ubh bentuk-bentuk di bwh ini dlm pngkt negtif ) b). Ubhlh bentuk-bentuk di bwh ini dlm pngkt positif ) - - b) -. Sederhnkn: ) 8 b) 80 c). Hitunglh ) 8 b b) 7 7 c) 7.7 d) 6. Nytkn dlm bentuk kr 6 ) 6 b) x MAT. 08. Bilngn Rel

56 c) y 7. Nytkn dlm eskponen rsionl ) 6 b b) 6 b c) 0 b 8. Sederhnkn ) b) c) 8 d) ( + )( - ) e) ( - b)( + b) f) x x 9. Arsitektur. Seorng rsitek kn membut dinding dengn mengmbil ide dri gelembung sbun jik lus permukn gelembung sbun mk volumeny v diberikn oleh persmn v 0,9. Tentukn lus permukn gelembung jik volumeny 7, cm. e. Kunci Jwbn Tugs b. (-) (-) (-) 6 c. d. ( 0 ) ( 0 6 ) x 0 8 e. 6 f. (-) MAT. 08. Bilngn Rel 6

57 . ) x - b) x b b c. b,., b. b b b. Didpt hsil ) b) 7 ( 7) ( ) 9 7 c) Bentuk krny dlh 6 ) b) x x c) y y 7. Bentuk eskponen rsionl ) 6 6 b b b) 6 b b 6 c) b 0 b 8. Bentuk sederhnny dlh : ) b) MAT. 08. Bilngn Rel 7

58 c) 8 d) ( + )( - ) 9 e) ( - b)( + b) - b f) x x x 9. v 0,9 v (0,9), kedu rus dipngktkn (7,) 0,808 (hitungn dengn berbntun klkultor),87 0,808 07,9 07, 9 Jdi lus permukn gelembung 07, 9 cm. f. Tes Formtif. Bentuk Sederhn ) ( ) b) 6 (- ) c) ((() ) ) 60 d) ( ) 6 e) (-b) f) (-8() ), bilngn rel. Nytkn dlm pngkt negtif ) b) 7 c) b d) MAT. 08. Bilngn Rel 8

59 . Nytkn dlm pngkt positif ) (-) - (-) - b) (-) (-) - c) ( 0 - ) ( 0 - ). Sederhnkn ). 8 b) 6 c) d) 0 69 e) 8 f) 6. Tulis dlm bentuk kr. 9x y 0 b. x y 6. Dlm peljrn fisik terdpt persmn b, ubhlh persmn tersebut dlm bentuk pling sederhn tnp pngkt negtif. MAT. 08. Bilngn Rel 9

60 g. Kunci Tes Formtif. Bentuk Sederhn ) ( ) b) 6 (- ) c) ((() ) ) 60 d) ( ) 6 e) (-b) -7 b f). Dinytkn dlm pngkt negtif dlh: ) 9 b) 7 c). Dinytkn dlm pngkt positif ) (-) - (-) - 6 ( ) b) (-) (-) - ( ) c) ( 0 - ) ( 0 - ) 7 0. Disederhnkn ). 8 b) c) d) e) f) 6 6 MAT. 08. Bilngn Rel 0

61 . Ditulis dlm bentuk kr x y 0 b. y 9 x y x 0 x y b ) ( b ( b ) MAT. 08. Bilngn Rel

62 . Kegitn Beljr. Tujun Kegitn Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr ini, dihrpkn sisw dpt: Memhmi konsep logritm dn sift-siftny. Menentukn hsil opersi pd logritm menggunkn sift-siftny. Menentukn nili penyederhnn logritm menggunkn sift-siftny. Dpt menggunkn konsep logritm untuk menyelesikn mslh. b. Urin Mteri Menurut cerit, perminn ctur ditemukn oleh seorng Brhmn dri Indi dn dipersembhkn kepd Rj. Rj sngt terkesn dn berkenn memberi hdih p sj yng dimint sng Brhmn. Ternyt sng Brhmn hny memint bers dengn turn: butir pd kotk ctur pertm, butir pd kotk ke-, butir pd kotk ke-, 8 butir pd kotk ke-, dn seterusny hingg sebnyk kotk dlm perminn ctur. Semul Rj mengnggp enteng permintn itu, tpi ternyt seluruh bers di Indi tidk dpt mencukupi permintn Brhmn itu! Pd kotk ke berpkh yng terisi 6 butir bers Berpkh bnykny bers pd kotk ke 6 Pengertin Logritm Msih ingtkh tentng perpngktn Apkh yng dimksud dengn Disebut pkh bilngn pd Disebut pkh bilngn pd Msih ingtkh And dengn kudrt dn kr kudrt Bgimn crmu mencri nili Bgimn crmu mencri nili 6 MAT. 08. Bilngn Rel

63 Ap bed mengkudrtkn sutu bilngn dengn menrik kr sutu bilngn Penrikn kr merupkn invers dri pengkudrtn, begitu jug seblikny pengkudrtn merupkn invers dri penrikn kr. Secr umum, jik b c, mk berp nili b Bgimn mencri c Hl ini kn And peljri, nmun And hrus ingt mslh perpngktn dn penrikn kr di kegitn. Perhtikn pemsngn berikut ini. Dipsngkn dengn Dipsngkn dengn 8 Dipsngkn dengn 6 Dipsngkn dengn 8 Dipsngkn dengn 8 0 Dipsngkn dengn 0 Dipsngkn dengn... Dipsngkn dengn n x Dipsngkn dengn... Dptkh And mengisi tempt yng kosong pd tbel di ts Psngn dri n dlh n sedngkn psngn dri x dlh log x Dengn kt lin And melkukn invers dri perpngktn dengn bilngn pokok (bsis). Invers dri perpngktn dengn bsis dinmkn logritm bsis dn dilmbngkn dengn log Mislny 8, mk log 8 Dengn demikin jik y x,mk x log y. Seblikny jik x log y,mk y x. Jdi secr umum dpt ditulis b c sm rtiny dengn log c b, > 0,, c > 0 MAT. 08. Bilngn Rel

64 Pd log c b, disebut bsis tu bilngn pokok, dengn syrt > 0 dn c disebut numerus, dengn syrt c > 0 log c b dibc log c sm dengn b. Cttn: 0 logx ditulis log x sj Contoh Tentuknlh nili dri:. log 8 b. log 7 c. log 6 d. log 000 Penyelesin. log 8 7, sebb 7 8 b. log 7, sebb 7 c. log 6, sebb 6 d. log log000, sebb Contoh Tentukn nili x dri:. log x b. log (x + ) c. log (x + ) Penyelesin. log x, sm rtiny dengn x. Jdi x 6 b. log (x + ), sm rtiny dengn x +, Jdi x. MAT. 08. Bilngn Rel

65 c. log (x + ), sm rtiny dengn x + x x x Berpkh log Berpkh log Logritm Sutu Perklin Untuk memhmi sift-sift logritm perklin, perhtikn contoh berikut. Contoh. log(8 x 6) log 8 7 log 8 log6 log 8 + log 6 7 Jdi log(8x6) log 8 + log 6 b. log (6 x 6) log 0, sebb 0 log 6 log 6 log 6 + log 6 + Jdi log (6 x 6) log 6 + log 6 c. log (0 x 00) log 000 log 0 log 00 log 0 + log 00 + Jdi log (0 x 00) log 0 + log 00 MAT. 08. Bilngn Rel

66 Apkh yng dpt And ktkn tentng logritm dri sutu perklin log b p, sm rtiny dengn p b; log c q, sm rtiny dengn q c; log (b c ) r, sm rtiny dengn r b c ; Jik r b c mk r p q p+q Jik r p+q mk r p + q Sift Perpngktn Sift Kesmn Bilngn Berpngkt Dri r p + q disimpulkn Jdi log (b c ) log b + log c log (b c ) log b + log c Logritm Sutu Pembgin Untuk memhmi sift-sift logritm sutu pembgin, perhtikn contoh berikut. Contoh. log ( : ) log 8 log log log - log b. Jdi log ( : ) log - log log (8 : ) log 9 log 8 dn log log 8 - log Jdi log (8 : ) log 8 - log c. log (000 : 00) log 0 log 000 dn log 00 MAT. 08. Bilngn Rel 6

67 log log 00 Jdi log (000 : 00) log log 00 Ap yng dpt And ktkn tentng logritm dri sutu pembgin log b p, sm rtiny dengn p b; log c q, sm rtiny dengn q c; log (b : c ) s, sm rtiny dengn s b : c ; Jik s b : c mk s p : q p - q Jik s p q mk s p q Sift Perpngktn Sift Kesmn Bilngn Berpngkt Dri s p - q disimpulkn log (b : c ) log b log c Jdi, log (b : c ) log b log c Logritm sutu Perpngktn Untuk memhmi sift-sift logritm sutu perpngktn, perhtikn contoh berikut. Contoh. log ( ) log 6 6 log ( log ) x 6 b. Jdi log ( ) ( log ) log (7 ) log 79 6 log 7 ( log 7) x 6 Jdi log (7 ) ( log 7) c. log (00 ) log 0000 log 00 MAT. 08. Bilngn Rel 7

68 (log 00) x Jdi log (00 ) (log 00) Ap yng dpt And ktkn tentng logritm sutu perpngktn p log b p, sm rtiny dengn b; log b n t, sm rtiny dengn t b n ; Jik t b n, mk t ( p ) n pn Sift Perpngktn Jik t pn, mk t p n Dri t p n disimpulkn Jdi Sift Kesmn Bilngn n Berpngkt log b log b n n log b log b n n log b Contoh 6 Dengn menggunkn sift logritm hitunglh nili dri log ( x 6) Penyelesin : Nili log ( 6) dpt dihitung dengn du cr: (i) (ii.) log ( 6) log (08) (kren 08) log ( 6) log + log Contoh 7 Hitunglh nili dri log ( : ) Penyelesin Nili log ( : ) dpt dihitung dengn du cr: Contoh 8 (i) (ii) log ( : ) log (7) log ( : ) log : log Jik dikethui log 0,77, tentukn nili log 7 Penyelesin : log 7 log ( ) log 0,77, MAT. 08. Bilngn Rel 8

69 Henry Briggs Thun 6 Membut Tbel Logritm smpi desiml untuk bilngn smpi dn untuk bilngn smpi Menggunkn Tbel Logritm Dengn Bsis 0. Bgimn And menentukn nili dri log Tbel Logritm Tbel Logritm yng d di buku ini memut nili logritm bilngn ntr dn 0 yng terdiri dri ngk dn hsilny jug dlm desiml ( ngk di belkng kom). Mislny kit kn mencri log,. Liht pd Tbel Logritm bris dn kolom sebgi berikut: Istilh mntiss yng berrti tmbhn bersl dri Henry Briggs Diperoleh ngk 69 sehingg log, 0,69 log, 0, Krkteristik Mntiss MAT. 08. Bilngn Rel 9

70 Pd log, 0,69, ngk 0 disebut krkteristik, sedngkn ngk 69 (ngk di belkng kom) disebut mntiss. Bgimn mencri logritm untuk bilngn kurng dri tu lebih dri 0 dengn Tbel Logritm pd buku ini Msih ingtkh And dengn bentuk bku yng pernh And peljri di Kels Bentuk bku dri sutu bilngn dinytkn dlm notsi: 0 n, dimn < 0 dn n bilngn bult Dengn demikin, untuk mencri logritm bilngn yng lebih dri 0 tu kurng dri hrus diubh dulu pd bentuk bku. Selnjutny dicri nili log pd Tbel Logritm dn dengn menggunkn sift logritm dihitung nili log 0 n. Contoh 9 Hitunglh nili log,, log 00 dn log 0,0 Penyelesin ), diubh dlm bentuk bku dlh,, x 0, jdi log, log (, 0 ) log, + log 0 0,69 +,69 b) 00 diubh dlm bentuk bku dlh 00, x 0, jdi log 00 log (, 0 ) log, + log 0 0,69 +,69 c) 0,0 diubh dlm bentuk bju dlh 0,0, x 0 -, jdi log 0,0 log (, 0 - ) log, + log 0-0,69 + ( ) 0,69 -,6 MAT. 08. Bilngn Rel 60

71 Diskusi: Apkh yng dpt And simpulkn tentng hubungn pngkt dri bilngn 0 pd bentuk bku sutu bilngn dengn krkteristik dri logritmny Jik And kesulitn dlm mencri nili log pd Tbel Logritm, mk gunkn krton siku untuk menunjukkn rh mendtr dn rh tegk. Contoh 0 Hitunglh. log,86 b. log 8,6 c. log86 d. log 0, 86 e. log 0,086 dengn terlebih dulu mencri krkteristik dn mntiss Penyelesin. Dengn menggunkn tbel di ts mntis dicri dri 8 mendtr dn 6 menurun didpt 70,86 krkteristikny 0, jdi log,86 0, 70 b. Mntis sm yitu 70, mengp 8,6 krkteristikny, jdi log 8,6, 70 c. Mntis sm yitu 70, mengp 86 krkteristikny, jdi log 86, 70 d. Mntis sm yitu 70, mengp 0,86 krkteristikny -, jdi log 0,86 0, 70 - e. Mntis sm yitu 70, mengp 0,086 krkteristikny -, jdi log 0,086 0, 70 - Menggunkn Tbel Anti Logritm Mislkn log b. Jik nili dikethui, mk untuk mencri nili b berrti kit mencri logritm dri. Tetpi jik nili b yng dikethui mk untuk mencri nili berrti kit mencri ntilog dri b. Jik mencri logritm sutu bilngn menggunkn Tbel Logritm, mk mencri ntilog dri sutu bilngn menggunkn Tbel Anti Logritm. MAT. 08. Bilngn Rel 6

72 And tentu ingt bgimn mencri logritm dri bilngn yng lebih dri 0 tu kurng dri. Contoh: log,,7 ntilog,7, log 0,7 ntilog,7 0 log 0, 0,7 - ntilog 0,7-0, log 0,0 0,7 - ntilog 0,7-0,0 Bgimn crmu mencri nti logritm dri sutu bilngn dengn menggunkn Tbel Anti Logritm Dengn Tbel Logritm And kn mendptkn: log, 0,7 Ini berrti: ntilog 0,7, Jik diberikn Tbel Anti Logritm berikut, bgimn cr And mencri ntilog 0,7 Contoh Tentukn ntilog dri. 0, 9 b.,9 c.,9 d. 0,9- e. 0,9- Penyelesin Cri bilngn 9 pd tbel (bgin dlm), liht rh mendtr kn didpt bilngn dn liht rh ts kn didpt bilngn 6. Jdi yng berkorespondensi dengn 9 dlh 6. Dengn demikin:. Antilog 0,9 dlh,6 (ingt krkteristikny 0) b. Antilog,9 dlh,6 (ingt krkteristikny ) c. Antilog,9 dlh 6 (ingt krkteristikny ) d. Antilog 0,9- dlh 0,6 (ingt krkteristikny -) e. Antilog 0,9- dlh 0,06 (ingt krkteristikny -) MAT. 08. Bilngn Rel 6

73 Contoh Dengn menggunkn Tbel Logritm dn Tbel Anti Logritm hitunglh,9 7, nili 0,08 Penyelesin : log,9 7, 0,08 log,9 + log 7, log 0,08 0, 77 +,67 (0,9 ),998 ntilog, ,9 7, Jdi 0, Contoh Sutu fungsi didefinisikn sebgi f (x) x Tentukn nili f (x) jik x 0,7 Penyelesin : f (0,7) 0,7 Penghitungn dengn menggunkn logritm dpt digmbrkn pd tbel berikut: Bilngn Logritm 0,7 0,7-,8-0,77,76-0,077 0,76- Jdi f(0,7) 0,077 MAT. 08. Bilngn Rel 6

74 c. Rngkumn ) b c sm rtiny dengn log c b, > 0,, c > 0 ) Log ( x b) log + log b ) Log ( : b) log log b ) log b n n log b ) Pd log, 0,69, ngk 0 disebut krkteristik, sedngkn ngk 69 (ngk di belkng kom) disebut mntiss 6) Mislkn log b. Jik nili dikethui, mk untuk mencri nili b berrti kit mencri logritm dri. Tetpi jik nili b yng dikethui mk untuk mencri nili berrti kit mencri ntilog dri b. d. Tugs. Tentukn nili dri. b. log log. Hitunglh!. log 8 + log 6 b. log 8 log. Tentukn nili x jik. log (x + ) b. log (x ). Dengn menggunkn tbel, tentukn logritm dri:.,7 f.,8 k. 9. Dengn menggunkn tbel logritm, tentukn ntilog dri:. 0,67 f., k.,9 6. Hitunglh dengn menggunkn sift-sift logritm:. 6 log + 6 log 8 b. 9 log log 7 9 log MAT. 08. Bilngn Rel 6

75 7. Jik log 0,77, log 0,60 dn log 6 0,778, hitunglh!. log 8 b. log e. Kunci Tugs. Nili dri. b. log log log log. Penyelesinny:. log 8 + log 6 log + log + 7 b. log 8 - log log 7 - log 7-. Penyelesinny:. log (x + ) x + (definisi logritm) x 9-8 b. log (x- ) x (definisi logritm) x 0 X. Dengn menggunkn tbel, didpt:. log,7 0, 9 b. log,8, 8 c. log 9, 60. Dengn menggunkn tbel logritm, didpt. Antilog 0,67, 8 b. Antilog,,8 c. Antilog, Dengn menggunkn sift-sift logritm, didpt: MAT. 08. Bilngn Rel 6

76 . 6 log + 6 log 8 6 log ( x 8) 6 log 6 6 log 6 b. 9 log log 7-9 log 9 log log 8 7. Jik log 0,77, log 0,60 dn log 6 0,778, mk:. log 8 log b. log log 6 log + log 6 log 0,60 + 0,778 0,7 0,9 00 log 00 log 0, 60, 98 MAT. 08. Bilngn Rel 66

77 f. Tes Formtif. Tentukn nili dri. log 6 d. log 0,0 Hitunglh. log 6 + log 6 b. log 7 - log. Tentukn nili x jik. log (x + ) b. log ( x + ) -. Dengn menggunkn tbel, tentukn logritm dri:.,6 b. 0, c. 8,. Dengn menggunkn tbel, tentukn nti logritm dri:.,67 b. 0,9 - c. 0,0-6. Jik log 0,77, log 0,60 dn log 6 0,778, hitunglh!. log b. log 6 g. Kunci Tes Formtif. Nili dri. log log ( ) 6 d. log 0,0 log Diperoleh hsil:. log 6 + log b. log 7 - log (-). MAT. 08. Bilngn Rel 67

78 . Nili x didpt:. log (x + ) x + x x x b. log ( x + ) - ( x + ) - x - + ½ x -. Dengn menggunkn tbel, didpt:. log,6 0, 00 b. log 0, 0, c. log 8,, 6. Dengn menggunkn tbel, didpt:. Antilog,67 8, b. Antilog 0,9 0,8 c. Antilog 0,0 0,00 6. Jik log 0,77, log 0,60 dn log 6 0,778, hitunglh!. log log ( x ) log + log 0, , 60,09 b. log 6 log ( x ) log + log log + log 0,60 + x 0,77,6 Dpt menggunkn cr lin log 6 log 6 l0g 6 x 0, 778,6 MAT. 08. Bilngn Rel 68