Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional

Transkripsi

1

2 Pust Perbukun Deprtemen Pendidikn Nsionl i

3 Hk Cipt d Pd Deprtemen Pendidikn Nsionl Dilindungi Undng-undng Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK/MAK Penulis : Hendi Senj Gumilr Ukurn Buku : x 9,7 cm 0.07 GUM m GUMILAR, Hendi Senj Mtemtik kelompok seni, priwist, dn teknologi kerumhtnggn: untuk kels X SMK/MAK/oleh Hendi Senj Gumilr. -- Jkrt: Pust Perbukun, Deprtemen Pendidikn Nsionl, 008. viii, hlm.: ilus.; 0 cm. Bibliogrfi: hlm. 66 ISBN Mtemtik-Studi dn Pengjrn Diterbitkn oleh Pust Perbukun Deprtemen Pendidikn Nsionl Thun 008 Diperbnyk oleh... ii

4 Kt Smbutn Puji syukur kmi pnjtkn ke hdirt Allh SWT, berkt rhmt dn kruni-ny, Pemerinth, dlm hl ini, Deprtemen Pendidikn Nsionl, pd thun 007, telh membeli hk cipt buku teks peljrn ini dri penulis untuk disebrluskn kepd msyrkt mellui website Jringn Pendidikn Nsionl. Buku teks peljrn ini telh dinili oleh Bdn Stndr Nsionl Pendidikn dn telh ditetpkn sebgi buku teks peljrn yng memenuhi syrt kelykn untuk digunkn dlm proses pembeljrn mellui Perturn Menteri Pendidikn Nsionl Nomor 6 Thun 007. Kmi menympikn penghrgn yng setinggi-tingginy kepd pr penulis yng telh berkenn menglihkn hk cipt kryny kepd Deprtemen Pendidikn Nsionl untuk digunkn secr lus oleh pr pendidik dn pesert didik di seluruh Indonesi. Buku-buku teks peljrn yng telh dilihkn hk ciptny kepd Deprtemen Pendidikn Nsionl tersebut, dpt diunduh (down lod), digndkn, dicetk, dilihmedikn, tu difotokopi oleh msyrkt. Nmun, untuk penggndn yng bersift komersil hrg penjulnny hrus memenuhi ketentun yng ditetpkn oleh Pemerinth. Dihrpkn bhw buku teks peljrn ini kn lebih mudh dikses sehingg pesert didik dn pendidik di seluruh Indonesi mupun sekolh Indonesi yng berd di lur negeri dpt memnftkn sumber beljr ini. Kmi berhrp, semu pihk dpt mendukung kebijkn ini. Selnjutny, kepd pr pesert didik kmi ucpkn selmt beljr dn mnftknlh buku ini sebik-bikny. Kmi menydri bhw buku ini msih perlu ditingktkn mutuny. Oleh kren itu, srn dn kritik sngt kmi hrpkn. Jkrt, Februri 008 Kepl Pust Perbukun iii

5 Prkt Adlh hl bis jik terdengr ungkpn bhw mtemtik dlh peljrn yng sulit. Ungkpn ini tidk selmny benr kren mtemtik justru bis menjdi peljrn yng mudh, menrik, dn menntng kretivits berpikir. Sulitny peljrn mtemtik sebenrny lebih disebbkn oleh beberp fktor, di ntrny cr penyjin. Cr penyjin, bik secr lisn mupun tulisn, sngt berpengruh terhdp mudh tu tidkny peljrn mtemtik diserp. Beljr mtemtik buknlh bebn yng hrus dipikul sisw, terutm untuk menghfl rumus-rumus mtemtik. Nmun, beljr mtemtik lebih diteknkn pd pemhmn konsep-konsep mtemtik, kelncrn berprosedur, dn penlrn dptif. Berdsrkn hl tersebut, penulis mencob mewujudkn pemikirn tentng konsep penyjin mtemtik yng mudh dn terrh dlm buku Mtemtik untuk SMK Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X ini. Dengn demikin, dihrpkn sisw dpt dengn mudh mempeljri mtemtik dn menjdikn mtemtik sebgi peljrn fvorit. Untuk mencpi tujun ini, penulis menyjikn peljrn secr komuniktif yng mengcu pd fenomen mutkhir dn kesehrin sisw. Mteri peljrn tersji dengn bhs yng sederhn dn dimuli dri mteri yng mudh hingg mteri yng sulit. Tentu sj mteri peljrn diserti dengn contoh-contoh sol dn penyelesinny, sert tugs-tugs, kegitn, dn Uji Kompetensi Bb dn Semester. Dilengkpi jug dengn sol-sol dn mteri pengyn, seperti And Psti Bis, DigiMth, dn MthNews, di mn sepenuhny telh mengcu pd Stndr Isi 006. Mteri peljrn dlm buku Mtemtik untuk SMK Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn Kels X merupkn mteri dsr yng kn bergun untuk And. Oleh kren itu, sisw hendkny benr-benr cermt mempeljriny kren merupkn kunci untuk mempeljri peljrn selnjutny dengn mudh pul. Jdi, persipknlh diri sebik mungkin dn bunglh persn bhw peljrn mtemtik dlh peljrn yng sulit. Akhir kt, penulis berhrp buku ini benr-benr bergun sebgi pemndu mempeljri mtemtik secr mudh. Mtemtik kn bis dikusi jik bis beljr dn berltih. Selmt beljr dn semog berhsil. Bndung, September 007 Penulis iv

6 Pndun untuk Pembc Mteri-mteri pembeljrn dlm buku ini didsrkn pd Stndr Kompetensi dn Kompetensi Dsr 006 yng berlku st ini disjikn secr sistemtis, komuniktif, dn integrtif. Buku Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK ini, terdiri ts empt bb yng disjikn secr terstruktur dengn formt yng menrik dn bhs yng sederhn. Berikut ini cr yng ditwrkn kepd And sebgi pndun dlm membc buku ini, gr mteri yng disjikn dpt dengn mudh diphmi oleh And sebgi pembc Awl bb terdiri ts:. Judul Bb;. Gmbr Pembuk Bb; Berup foto tu sebgi gmbrn wl mengeni pliksi mteri yng kn dipeljri.. Judul Subbb;. Advnced Orgnizer. Berup pengntr yng merupkn gmbrn mengeni pliksi mteri tupun motivsi untuk mempeljri mteri. Bgin Isi Terdiri ts:. Tes Kompetensi Awl; Berup sol-sol mteri prsyrt sebgi pengntr ke mteri. 6. Mteri; 7. Cttn; 8. InfoMth; Berup informsi-informsi seputr tokoh-tokoh mtemtik, sejrh mtemtik, dn informsiinformsi lin yng berhubungn dengn mtemtik. 9. Contoh Sol; Berup sol-sol yng diserti lngkh-lngkh dlm menjwbny. 0. Kegitn; Berup kegitn yng dpt membntu sisw untuk lebih memhmi mteri.. DigiMth; Berup informsi mengeni lt-lt bntu yng dpt digunkn dlm pembeljrn tupun kegitn yng berhubungn dengn mtemtik And Psti Bis; Berup sol-sol yng menguji kecerdikn And dlm memechkn sutu mslh mtemtik.. Solusi. Berup sol-sol EBTANAS, UAN, UN, UMPTN, dn SPMB besert pembhsnny. Sol-Sol sert Akhir Bb Terdiri ts:. Tugs; Berup sol-sol, mencri informsi, berdiskusi dn melporkn sutu kegitn.. Uji Kompetensi Subbb; Berup sol-sol untuk mengukur pemhmn mteri dri subbb tertentu. 6. Rngkumn; Berup ringksn mteri dri sebuh bb tertentu. 7. Kt Mutir; 8. Dftr Topik; Berup pemetn mteri dri bb tertentu. 9. Ltihn Bb Bb; Berup sol-sol sebgi evlusi khir bb tertentu. 0. Ltihn Ulngn Semester. Berup sol-sol yng merupkn jng ltihn bgi And sebgi persipn menghdpi Ujin Akhir Semester. v

7 vi

8 Dftr Isi Dftr Isi And dpt menggunkn klkultor sebgi lt bntu dlm perhitungn logritm Sumber: world.csio.com Kt Smbutn iii Prkt iv Pndun untuk Pembc v Dftr Isi vii Bb Bilngn Riil A. Mcm-mcm Himpunn Bilngn B. Opersi Hitung pd Bilngn Riil C. Opersi Hitung pd Bilngn Pechn 6 D. Konversi Bilngn 0 Rngkumn Dftr Topik Ltihn Sol Bb 6 Bb Bentuk Pngkt, Akr, dn Logritm 9 A. Bilngn Pngkt 0 B. Bentuk Akr C. Mersionlkn Penyebut Bentuk Akr 9 D. Logritm Rngkumn Dftr Topik Ltihn Sol Bb 6 Ltihn Ulngn Semester 8 vii

9 Bb Persmn dn Pertidksmn A. Persmn Liner B. Persmn Kudrt C. Pertidksmn Liner 68 D. Pertidksmn Kudrt 7 E. Sistem Persmn Liner 7 Rngkumn 76 Dftr Topik 77 Ltihn Sol Bb 78 Bb Mtriks 8 A. Pengertin dn Jenis Mtriks 8 B. Opersi Aljbr pd Mtriks 88 C. Determinn dn Invers Mtriks 9 D. Apliksi Mtriks dlm Penyelesin Sistem Persmn Liner Du Vribel 0 Rngkumn 08 Dftr Topik 09 Ltihn Sol Bb 0 Ltihn Ulngn Semester Dftr Pustk 6 Kunci Jwbn 7 Dftr Lmpirn 0 Glosrium viii

10 Bb I Sumber: uplod.wikimedi.org Bilngn Riil And telh mempeljri konsep bilngn bult di Kels VII. Pd bb ini kn dibhs konsep bilngn riil yng merupkn pengembngn dri bilngn bult. Bilngn pechn yng merupkn bgin dri bilngn riil sngt bermnft dlm kehidupn sehri-hri. Mislny, sebuh toko ems kn membut stu set perhisn. Jik ems 8 krt mengndung cmpurn 8 ems murni dn 6 cmpurn logm lin, tentukn berp grm ems murni A. Mcm-Mcm Bilngn B. Opersi Hitung pd Bilngn Riil C. Opersi Hitung pd Bilngn Pechn D. Konversi Bilngn yng terdpt pd 8 grm ems krt? Dengn mempeljri bb ini, And kn dpt menyelesikn permslhn tersebut.

11 Tes Kompetensi Awl Sebelum mempeljri bb ini, kerjknlh sol-sol berikut.. Dikethui kumpuln bilngn berikut: 0 8 ; ; - ; ; ; ; 0, ; 0, ; p. Mnkh yng merupkn bilngn rsionl dn bilngn irsionl?. Hitunglh nili dri:. + c d. 0 % 0, +. Tentuknlh lus persegipnjng yng berukurn pnjng cm dn lebr cm.. Ung sebnyk Rp0.000,00 dibgikn kepd Fni, Sisk, dn Ary. Fni memperoleh, Sisk memperoleh, dn Ary sisny. Berp rupih bnykny ung yng diterim msing-msing? A. Mcm-Mcm Himpunn Bilngn Mtemtik ert sekli kitnny dengn bilngn-bilngn. Bilngn-bilngn tersebut dpt dibedkn berdsrkn definisi tertentu sehingg bilngnbilngn tersebut dpt dikelompokkn menjdi sutu himpunn bilngn tertentu pul. Mislny,,,... dn seterusny dpt dikelompokkn ke dlm himpunn bilngn sli. Himpunn bilngn sli tersebut dpt ditulis dengn notsi A {,,,,,...}. Himpunn bilngn-bilngn secr skemtis dpt ditunjukkn pd bgn berikut. Himpunn Bilngn Riil Himpunn Bilngn Rsionl Himpunn Bilngn Irsionl Himpunn Bilngn Bult Himpunn Bilngn Cch Himpunn Bilngn Bult Negtif Himpunn Bilngn Asli {0} Himpunn Bilngn Prim Himpunn Bilngn Komposit {} Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

12 Dri bgn tersebut dikethui bhw himpunn bilngn riil terdiri ts himpunn bilngn-bilngn berikut ini.. Himpunn Bilngn Asli Bilngn sli merupkn bilngn yng sering kit gunkn, seperti untuk menghitung bnykny pengunjung dlm sutu pertunjukn seni tu bnykny tmu yng menginp di hotel tertentu. Bilngn sli sering pul disebut sebgi bilngn nturl kren secr lmih kit muli menghitung dri ngk,,, dn seterusny. Bilngn-bilngn tersebut membentuk sutu himpunn bilngn yng disebut sebgi himpunn bilngn sli. Dengn demikin, himpunn bilngn sli didefinisikn sebgi himpunn bilngn yng diwli dengn ngk dn bertmbh stu-stu. Himpunn bilngn ini dilmbngkn dengn huruf A dn nggot himpunn dri bilngn sli dinytkn sebgi berikut. A {,,,,...}.. Himpunn Bilngn Cch Dlm sebuh survei mengeni hobi sisw di kels tertentu, dikethui bhw bnyk sisw yng hobi membc orng, hobi jln-jln sebnyk 6 orng, hobi olhrg sebnyk 9 orng dn tidk d sisw yng memilih hobi menri. Untuk menytkn bnykny nggot yng tidk memiliki hobi menri tersebut, digunkn bilngn 0. Gbungn ntr himpunn bilngn sli dn himpunn bilngn 0 ini disebut sebgi himpunn bilngn cch. Himpunn bilngn ini dilmbngkn dengn huruf C dn nggot himpunn dri bilngn cch dinytkn sebgi berikut: C {0,,,,,...}.. Himpunn Bilngn Bult Himpunn bilngn bult dlh gbungn ntr himpunn bilngn cch dn himpunn bilngn bult negtif. Bilngn ini dilmbngkn dengn huruf B dn nggot himpunn dri bilngn bult dinytkn sebgi berikut: B {...,,,, 0,,,,...}.. Himpunn Bilngn Rsionl Himpunn bilngn rsionl dlh himpunn bilngn yng dpt dinytkn dlm bentuk p, dengn p, q B dn q 0. Bilngn p disebut pembilng dn q Info Mth Bilngn-Bilngn Istimew Bilngn-bilngn istimew dlh bilngn-bilngn dengn ciri khusus yng membut merek berbed dengn bilngn-bilngn linny. Bilngn-bilngn ini di ntrny bilngn prim, bilngn sempurn, bilngn kudrt, dn bilngn segitig. Sift-sift yng istimew dri bilngn-bilngn ini memungkinkn merek untuk ditulis sebgi sebuh rumus, seperti n untuk bilngn kudrt. Sumber: Ensiklopedi Mtemtik dn Perdbn Mnusi, 00 q disebut penyebut. Himpunn bilngn rsionl dilmbngkn dengn huruf Q. Himpunn dri bilngn rsionl dinytkn sebgi berikut: p Q q p q B q,,dn 0.. Himpunn Bilngn Irsionl Himpunn bilngn irsionl dlh bilngn yng tidk dpt dinytkn dlm bentuk p q dengn p, q B dn q 0. Contoh bilngn irsionl dlh bilngn R desiml yng tidk berulng (tidk berpol), mislny:, π, e, log. Himpunn bilngn ini dilmbngkn dengn huruf I. Himpunn bilngn riil dlh gbungn ntr himpunn bilngn rsionl dn himpunn bilngn irsionl, yng dilmbngkn dengn huruf R. Hubungn ntr bilngn riil dn bilngn-bilngn pembentukny dpt Q B C A Bilngn Riil

13 Contoh Sol. Jik semest pembicrnny himpunn bilngn bult, nytkn himpunn bilngn di bwh ini dengn mendftr nggotny.. A {x x fktor positif dri 6} B {x < x < } c. C {x x 0} Jwb:. A {x x fktor positif dri 6} x didefinisikn sebgi fktor positif dri 6 mk nggot himpunn A jik semest pembicrny himpunn bilngn bult dlh A {,,,, 6, 9,, 8, 6}. B {x < x < } x didefinisikn sebgi bilngn bult ntr dn mk nggot himpunn B B {,,, 0,,, }. c. C {x x 0} x didefinisikn sebgi bilngn dimn bult yng jik dikurngi hsilny lebih besr tu sm dengn nol. Mk: C {,,,,...}. Digi Mth Klkultor dpt digunkn untuk menyelesikn Contoh Sol. (). Klkultor yng digunkn disini dlh klkultor jenis FX-600 PV. Tombol-tombol yng hrus ditekn untuk menyelesikn sol tersebut dlh sebgi berikut. + b c mk kn muncul Kemudin, tekn tombol b c Diperoleh hsilny, yitu 0. Contoh Sol. Tentukn bilngn rsionl yng terletk tept di tengh-tengh bilngn berikut ini.. dn c. 7 dn 7 dn Jwb:. dn Pertm-tm, nytkn setip bilngn di ts dlm bentuk perbndingn senili sehingg diperoleh: 0 0 Jdi, bilngn rsionl yng terletk tept di tengh ntr dn dlh. 0 7 dn 7 Dengn cr yng sm, diperoleh: Jdi, bilngn rsionl yng terletk tept di tengh ntr 7 dn 7 dlh 7. Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

14 c. dn Dengn cr yng sm, diperoleh: 0 Jdi, bilngn rsionl yng terletk tept di tengh ntr dn dlh. Ltihn Sol. Kerjknlh sol-sol berikut.. Nytkn himpunn-himpunn berikut dengn cr mendftr semu nggotny.. A {x < x <, x B} B {x x < 9, x A } c. C {x x <, x C}. Tentukn pkh bilngn-bilngn berikut rsionl tu irsionl.. 9 c. 0, d. dinytkn dlm digrm Venn di smping. B. Opersi Hitung pd Bilngn Riil Sebgimn yng telh dikethui sebelumny, opersi-opersi hitung dlm sistem mtemtik di ntrny penjumlhn dn perklin. Setip opersi hitung memiliki sift-sift tersendiri sehingg membentuk sebuh sistem bilngn. Berikut dlh sift-sift yng terdpt pd opersi hitung penjumlhn dn perklin pd bilngn riil:. Penjumlhn. Sift tertutup Untuk setip, b R berlku + b c, c R Sift komuttif Untuk setip, b R berlku + b b + c. Sift sositif Untuk setip, b, c R berlku ( + b) + c + (b + c) d. Ad elemen identits 0 dlh elemen identits penjumlhn sehingg berlku: , untuk setip R e. Setip bilngn riil mempunyi invers penjumlhn Untuk setip R, elemen invers pd penjumlhn dlh lwnny, yitu sehingg + ( ) ( ) + 0. Perklin. Sift tertutup Untuk setip, b R berlku b c, c R Sift komuttif Untuk, b R berlku b b Tugs. Diskusiknlh bersm temn And. Apkh sift-sift pd penjumlhn dn perklin pd bilngn riil berlku jug terhdp opersi hitung pengurngn dn pembgin? Bilngn Riil

15 c. Sift sositif Untuk setip, b, c R berlku ( b) c (b c) d. Terdpt elemen identits dlh elemen identits perklin sehingg berlku:, untuk setip R. e. Invers perklin Untuk setip R, 0 memiliki invers terhdp perklin. Akn tetpi, jik 0 mk 0. 0 f. Sift disributif perklin terhdp penjumlhn Untuk setip, b, c R berlku (b + c) ( b) + ( c); ( + b) c ( c) + (b c) g. Sift distributif perklin terhdp pengurngn Untuk setip, b, c R berlku (b c) ( b) ( c); ( b) c ( c) (b c) Contoh Sol. Mislkn: R, b R, dn c R mk: + b +, dn ( + b) + c ( + ) (b + c) + ( + ) R (sift tertutup pd penjumlhn) (sift sositif pd penjumlhn) b, dn R (sift tertutup pd perklin) Kegitn. Diskusikn dengn temn di kelompok And, sift-sift mnkh yng tidk berlku untuk opersi berikut dn berikn contohny.. Opersi penjumlhn dn perklin pd himpunn bilngn sli. Opersi penjumlhn dn perklin pd himpunn bilngn cch. Ltihn Sol. Kerjknlh sol-sol berikut.. Nytkn sift-sift yng digunkn pd sol-sol berikut.. ( ) ( ) ( + ) ( ) + ( ) c. (x + ) x + d. (x + ) (x + ) x(x + ) + (x + ). Jik, b, c, hitunglh nili dri:. + b c ( b)c c. c + b d. b (b + c + bc). Hitunglh keliling persegipnjng di bwh ini jik lusny dlh cm. x + x Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

16 C. Opersi Hitung pd Bilngn Pechn Bilngn rsionl disebut jug bilngn pechn yng dinytkn dlm bentuk b penyebut. dengn, b B dn b 0, dengn disebut pembilng dn b Pd bgin ini, And kn mempeljri opersi hitung pd bilngn pechn.. Penjumlhn dn Pengurngn Bilngn Pechn Jik b dn c msing-msing dlh bilngn pechn mk berlku opersi d penjumlhn dn pengurngn sebgi berikut: Contoh Sol. c d + bc + b d bd c d bc b d bd. Hitunglh nili opersi penjumlhn dn pengurngn pd bilngn pechn berikut d. 9 Info Mth Augustus De Morgn (806 87) + e. 6 c. + + d. 7 6 Jwb: ( + ) c. + + ( + ) Sumber: unm.mx Augustus De Morgn dlh slh stu mtemtikwn besr yng memperkenlkn notsi gris miring (slsh) untuk menunjukkn pechn seperti / dn /. Pd sutu st d yng bertny thun berp di lhir. De Morgn menjwb "Aku lhir x thun lebih tu dri x ". Dptkh And menentukn nili dri x? Sumber: Finite Mthemtics nd It's Applictions, 99 d Bilngn Riil

17 Solusi Dri sejumlh sisw bru yng diterim pd sutu SMK, bgin dri merek memilih kriy kyu, bgin memilih kriy logm, bgin memilih kriy 9 tekstil, dn sisny memilih kriy kermik. Sisw yng memilih kriy kermik dlh bgin 6 bgin c. 7 6 bgin d. 9 6 bgin e. 6 bgin Jwb: Mislkn, jumlh kegitn kriy bgin sehingg bnyk sisw yng memilih kriy kermik dlh Jdi, sisw yng memilih kriy kermik dlh bgin. Jwbn: Sumber: UN SMK 00 e. ( ) f ( + ) ( ) ( ) Pd sing hri, Ardi mengerjkn dri pekerjn rumhny, kemudin ny i kerjkn di sore hri, dn sisny dikerjkn pd mlm hri. Berp bginkh yng dikerjkn Ardi pd mlm hri? Jwb: Ardi hrus meyelesikn stu pekerjn sehingg bgin yng hrus dikerjkn pd mlm hri dlh 7 pekerjn Jdi, yng dikerjkn Ardi pd mlm hri dlh bgin.. Perklin dn Pembgin Bilngn Pechn Jik dn c msing-msing dlh bilngn pechn mk berlku opersi b d perklin dn pembgin sebgi berikut: c c b d b d c d d : b d b c b c 8 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

18 Contoh Sol. Hitunglh nili opersi perklin dn pembgin pd bilngn pechn berikut.. 7 c. : 0 7 d. : Jwb: c : d : : 6 6 Contoh Sol.6 Jik ems 8 krt mengndung 8 ems murni dn 6 cmpurn logm lin, tentukn bert ems murni yng terkndung dlm:. 7 grm ems 8 krt; 0 grm ems krt. Jwb:. Bert ems murni dlm 7 grm ems 8 krt d: 8 7 grm grm. Bert ems murni dlm 0 grm ems krt d: 0 0 grm grm. And Psti Bis Bisny pechn dinytkn dlm bentuk yng pling sederhn. Akn tetpi, pd persoln kli ini, And dpt memutrkn prosesny, kemudin mencri beberp cr yng berbed untuk menuliskn sebuh pechn yng sm dengn. Cob tuliskn pechn-pechn linny yng sm dengn dengn menggunkn semu ngk,,..., dn 9. Slh stu contoh jwbnny dlh Sebutkn enm. 8 jwbn lin! Sumber: Ensiklopedi Mtemtik dn Perdbn Mnusi, 00 Ltihn Sol. Kerjknlh sol-sol berikut.. Hitunglh hsil opersi-opersi bilngn berikut ini e f c. g. + d. h Hitunglh hsil opersi-opersi bilngn berikut ini.. e. : f. 8 : c. g. : d. 7 h. : 8 9 Bilngn Riil

19 . Dikethui p, q,dn r. Hitunglh nili dri bentuk-bentuk berikut.. p q r c. (q p) r pq + qr d. pq + pr qr. Dlm pemilihn ketu sutu orgnissi, terdpt tig clon, yitu A, B, dn C. Setelh didkn pemungutn sur, ternyt A memperoleh bgin, B memperoleh bgin, dn sisny diperoleh C.. Berp bgin jumlh sur yng diperoleh C? Jik pemilih 00 orng, berp sur yng diperoleh msing-msing clon?. Seorng krywn mendpt uph Rp0.000,00, per minggu. Berpkh uphny selm seminggu jik i mendpt kenikn dri uph semul? D. Konversi Bilngn Dlm keperlun tertentu, sutu bilngn perlu dinytkn dlm bentukbentuk tertentu. Seperti untuk menytkn tingkt inflsi ekonomi sutu negr digunkn persen (%), untuk ketelitin dlm perhitungn digunkn bentuk desiml, tu untuk menytkn perbndingn du buh objek digunkn pechn. Pd bgin ini, And kn mempeljri kembli mengeni konversi bilngn pechn dri stu bentuk ke bentuk yng lin.. Konversi Bentuk Pechn ke dlm Bentuk Desiml dn Persen Mengubh bentuk pechn menjdi bentuk desiml dpt dilkukn dengn cr membgi pembilng oleh penyebutny. Adpun bentuk persen diperoleh dengn cr menglikn bentuk pechn tu desiml dengn 00%. Contoh Sol.7 Nytkn pechn di bwh ini ke dlm bentuk desiml dn persen.. Jwb:. Bentuk Desiml ) , 6 Jdi, 0,6. Cr lin dlh dengn mengubh penyebutny menjdi bilngn 0, 00, 000, dst. 6 0, 6 0 Bentuk Persen 00 % 00 % 60% 0 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

20 Bentuk Desiml, 7 ) Jdi,,7. Cr lin dlh sebgi berikut , 7, 7. Bentuk Persen 00% 00 % 7%.. Konversi Bentuk Desiml ke dlm Bentuk Pechn dn Persen Mengubh bentuk desiml menjdi bentuk pechn hny berlku untuk bilngn desiml dengn ngk di belkng kom terbts tu bnykny ngk di belkng kom tk terbts dn berulng. Contoh Sol.8 Nytkn bilngn desiml berikut ke dlm bentuk pechn dn persen.., d.,666..., e.,60... c. 0, Jwb: Bentuk Pechn:., Terdpt ngk di belkng kom mk pechn tersebut merupkn pechn dengn penyebut 0 sehingg, 7 0., Terdpt ngk di belkng kom mk pechn tersebut merupkn pechn dengn penyebut 000 sehingg., Bilngn Riil

21 Cttn Penulisn bilngn desiml berulng dpt ditulis dengn cr yng lebih singkt. Mislny: 0, , 6 0, , 8,..., Info Mth Fiboncci (80 0) Sumber: Pechn telh digunkn sejk zmn Mesir kuno. Pd 0 seorng hli mtemtik Itli, Fiboncci, menjelskn sebuh sistem bilngn pechn yng rumit untuk digunkn dlm perubhn mt ung, i jug menciptkn tbel-tbel konversi dri muli pechn-pechn bis, seperti /8, smpi dengn pechn-pechn yng pembilngny sellu, seperti /8. Sumber: Ensiklopedi Mtemtik dn Perdbn Mnusi, 00 c. 0, Mislkn, x 0,666..., terdpt ngk berulng mk pemisln dikli 0. 0x 6, x 0, x 6 6 x 9 Jdi, 0, Dengn cr lin, yitu jik bnykny ngk yng berulng stu ngk mk pechnny dlh stu ngk yng berulng itu dibgi dengn 9. Jdi, 0, ngk yng berulng stu ngk, yitu ngk 6 mk 0, d., Mislkn, x, terdpt ngk berulng mk pemisln dikli x 6, x, x - x 99 Jdi,, e.,60... Bentuk bilngn di ts tidk dpt dinytkn dlm bentuk pechn kren ngk di belkng kom tk terbts dn tidk berulng. Bentuk Persen:.,, 00% 0%,, 00%,% c. 0, Angk di belkng kom tidk terbts mk dilkukn pembultn terlebih dhulu sehingg diperoleh: 0, ,667 0,667 0,667 00% 66,67%. d., Angk di belkng kom tidk terbts mk dilkukn pembultn terlebih dhulu sehingg diperoleh:,666...,67,66,67 00% 6,7%. e.,60... Angk di belkng kom tidk terbts mk dilkukn pembultn terlebih dhulu sehingg diperoleh,60...,6,6,6 00%,6%.. Konversi Persen ke dlm Bentuk Pechn dn Desiml Perubhn bentuk persen menjdi bentuk pechn dpt And lkukn dengn menggnti tnd persen (%) menjdi sepersertus 00, kemudin nytkn dlm bentuk yng pling sederhn. Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

22 Contoh Sol.9 Nytkn bentuk persen berikut ke dlm bentuk pechn dn desiml. % % Jwb:. Bentuk Pechn: % Bentuk Desiml: % 0, 00 Bentuk Pechn: 7 7 % % Bentuk Desiml: 7 % , Ltihn Sol. Kerjknlh sol-sol berikut.. Nytkn bentuk pechn berikut ke dlm bentuk desiml dn persen.. c. 0 e d. 6 7 f.. Nytkn bentuk desiml berikut ke dlm bentuk pechn dn persen.. 0, d. 0,... 8, e.,... c.,68 f., Nytkn bentuk persen berikut ke dlm bentuk pechn tu persen.. 0% d. 0 8 % % e. % c. f. 7 0 %. Hitunglh:. % + 0, 6 +, + % c. 6, 8 + % d. % + Bilngn Riil

23 Rngkumn. Himpunn bilngn riil dlh gbungn ntr himpunn bilngn rsionl dn himpunn bilngn irsionl.. Untuk setip, b, dn c R mk berlku sift-sift berikut:. Tertutup terhdp opersi hitung penjumlhn dn perklin. Komuttif terhdp opersi hitung penjumlhn dn perklin. c. Asositif terhdp opersi hitung penjumlhn dn perklin. d. Distributif terhdp opersi hitung perklin e. Memiliki elemen identits terhdp opersi hitung penjumlhn dn perklin. f. Memiliki invers terhdp opersi hitung penjumlhn dn perklin.. Jik b dn c dlh sutu bilngn pechn d mk berlku: c d + bc. + b d bd c. d. b c d bc d bd c b c d bd b : c d d b c d bc. Bilngn pechn dpt dikonversi menjdi bentuk lin, yitu pechn bis, desiml, dn bentuk persen. Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

24 Alur Pembhsn Perhtikn lur pembhsn berikut: Mteri tentng Bilngn Riil yng sudh And peljri digmbrkn sebgi berikut. Bilngn Riil membhs Mcm-mcm Bilngn Opersi Hitung pd Bilngn Riil Opersi Hitung pd Bilngn Pechn Konversi Bilngn Pechn mempeljri mempeljri menjdi Bilngn Asli, Bilngn Cch, Bilngn Bult, Bilngn Rsionl, Bilngn Irsionl. Sift Penjumlhn dn Pengurngn mempeljri Sift Perklin dn Pembgin Pechn Bis, Desiml, Persen. Kt Mutir Yng terpenting dri kehidupn buknlh kemenngn, nmun bgimn bertnding dengn bik. Pierre De Coubertin Bilngn Riil

25 Ltihn Sol Bb A. Pilihlh slh stu jwbn dn berikn lsnny.. Jik nili p, q, dn r, nili dri p + q r dlh.... d. e. 6 c.. Apbil nili dri, b 0, dn c mk nili dri [ (b + c )] (b + c).... d. e. c.. Anggot dri himpunn A {x 6 x <, x B} dlh.... { 6,,,,,, 0,,, } {,,,,, 0,,, } c. { 6,,,,,, 0,, } d. {,,,, } e. {,,, }. Hsil dri dlh.... d. e. c.. Hsil dri + dlh.... d. e. c. 6. Nili dri :.... d. 8 0 e. 6 c. 7. Seorng sisw berhsil menjwb dengn benr 8 sol, slh 9, sert tidk menjwb sol. Jwbn yng benr niliny, slh niliny, sert tidk menjwb niliny 0. Nili yng diperoleh sisw tersebut dlh d e. c Dlm sutu perminn, pbil menng mk diberi nili, tetpi pbil klh diberi nili, dn pbil seri diberi nili. Sutu regu telh bermin sebnyk 7 kli, kli menng dn kli seri. Nili yng diperoleh regu itu dlh.... d. 7 e. 60 c (6 ) 9 (p 9) (( m). Nili p dn m berturut-turut dlh dn d. dn 9 6 dn 6 e. 9 dn 6 c. 6 dn 9 0. Seorng krywn menggunkn % dri gjiny untuk biy trnsportsi selm sebuln,,% untuk sew rumh dn byr listrik selm sebuln, dn sisny 60% sebnyk Rp7.000,00 ditbung. Biy untuk mkn selm sebuln dlh.... Rp00.000,00 d. Rp.000,00 Rp0.000,00 e. Rp00.000,00 c. Rp0.000,00. Jik, b, dn c, nili dri + bc c d. e Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

26 . 8% dri sutu bilngn dlh 8. Bilngn tersebut dlh d e. 0 c. 00. Berikut dlh dt jumlh sisw yng mengikuti kegitn ekstrkulikuler di sutu SMK. Sisw yng mengikuti kegitn olhrg sebnyk 0%, musik 0%, Pskibr 0%, PMR %, dn sisny mengikuti kegitn Prmuk. Jik jumlh sisw seluruhny 600 orng mk bnykny sisw yng mengikuti kegitn ekstrkulikuler prmuk dlh orng d. 0 orng 60 orng e. 0 orng c. 0 orng. Bers sebnyk kg dibgikn kepd yng tidk mmpu. Jik setip orng mendptkn kg, orng yng mendpt bers tersebut d 8... orng.. 0 d e. 08 c. 06. Pk Willy mempunyi h tnh % dri lus tnh tersebut ditnmi jgung. Lus tnh yng ditnmi jgung dlh... h.. d. 0 6 e. 6 c. 6. Toko buku ABC menjul buh buku tulis dengn hrg Rp7.00,00, buh pensil dengn hrg Rp.000,00, dn 6 buh penghpus sehrg Rp.00,00. Jik Toni ingin membeli 0 buku tulis, buh pensil, dn buh penghpus dengn msing-msing mendpt diskon 0% mk Toni hrus membyr sebesr.... Rp69.6,00 d. Rp9.7,00 Rp6.0,00 e. Rp9.00,00 c. Rp.0,00 7. Pedgng elektronik menjul televisi inci sehrg Rp ,00 dn memperoleh keuntungn 0% dri penjuln tersebut mk hrg pembelin televisi itu dlh.... Rp70.000,00 Rp.0.000,00 c. Rp ,00 d. Rp.0.000,00 e. Rp ,00 8. Seperngkt perltn kntor dijul dengn hrg Rp ,00. Setelh dikenkn potongn, hrgny menjdi Rp ,00 mk persentse potongn tersebut dlh.... 6% 0% c. % d. % e. 0% 9. Rudi membeli sebuh buku. Setelh hrg dipotong 0%, i membyr sebesr Rp8.000,00. Hrg sebelum dipotong dlh.... Rp7.600,00 Rp60.000,00 c. Rp7.000,00 d. Rp86.000,00 e. Rp96.000,00 0. Menjelng hri ry, sebuh toko "M" memberikn diskon % untuk setip pembelin brng. Jik Rini membyr pd ksir sebesr Rp7.00,00 mk hrg brng yng dibeli Rini sebelum dikenkn diskon dlh.... Rp6.6,00 Rp0.000,00 c. Rp.00,00 d. Rp7.00,00 e. Rp9.0,00 Bilngn Riil 7

27 B. Jwblh sol-sol berikut.. Nytknlh himpunn-himpunn berikut dengn cr mendftrkn semu nggotny.. A {x < x <, x A} B {x < x < 0, x C}. Vin berbelnj di wrung dn membeli gul, kg menteg, dn kg telur. Hrg kg gul Rp6.00,00, kg menteg Rp8.00,00, dn hrg kg telur Rp0.000,00. Berpkh ung yng hrus dibyrkn Vin?. Sebuh sekolh kejurun memiliki sisw perempun sebnyk dri jumlh keseluruhn sisw. Jik 6 jumlh sisw perempun 6 orng, berp jumlh sisw lki-lki?. Nytknlh ke dlm bentuk desiml dn persen.. c. d. 6. Yuli menggunkn 0 bgin dri ungny untuk membeli pensil, bgin untuk membeli pulpen, dn bgin untuk membeli buku. Jik sis ung Yuli Rp.000,00, berp rupihkh hrg pensil, pulpen, dn buku msing-msing? 8 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

28 Bb II Sumber: Bentuk Pngkt, Akr, dn Logritm Mteri tentng bilngn berpngkt telh And peljri sebelumny di Kels IX. Pd bb ini kn dipeljri bilngn berpngkt dn dikembngkn smpi dengn bilngn berpngkt bult negtif dn nol. Selin itu, kn dipeljri pul tentng logritm. Dlm kehidupn sehri-hri, bnyk permslhn yng dpt diselesikn dengn menggunkn logritm. Sebgi contoh, Dodi menbung di bnk sebesr Rp ,00. Jik bnk tersebut memberikn bung 0% per thun, berp lm i hrus menbung gr nili tbungnny menjdi Rp.660.0,00? Mslh tersebut dpt diselesikn dengn menggunkn logritm. Untuk itu, peljrilh bb ini dengn bik. A. Bilngn Pngkt B. Bentuk Akr C. Mersionlkn Penyebut Bentuk Akr D. Logritm 9

29 Tes Kompetensi Awl Sebelum mempeljri bb ini, kerjknlh sol-sol berikut.. Sederhnknlh bentuk pngkt berikut:. Tentukn nili x dri persmn eksponen berikut:. () () c. ( ) :. Hitunglh nili dri: m n p 9m np 6. ( 8) + ( 8) ( ) Jik + dn b mk hitunglh nili dri:. + b b x + x+. Sederhnknlh bentuk logritm berikut:. log 8 + log 0 log log log log 6 log c. log + log log A. Bilngn Pngkt Thukh And, berp jrk ntr mthri dn bumi? Ternyt jrk ntr mthri dn bumi dlh km. Penulisn jrk ntr mthri dn bumi dpt ditulis dengn bilngn pngkt. Bgimn crny? Pngkt bilngn bult dpt berup bilngn bult positif, nol, tu negtif.. Pngkt Bult Positif. Pengertin Pngkt Bult Positif Jik dlh bilngn riil dn n bilngn bult positif mk n (dibc " pngkt n") dlh hsil kli n buh fktor yng msing-msing fktorny dlh. Jdi, pngkt bult positif secr umum dinytkn dlm bentuk dengn: bilngn pokok (bsis); n pngkt tu eksponen; n bilngn berpngkt. n... sebnyk n fktor Contoh Sol. Tentukn nili dri pemngktn berikut.. c. ( ) 7 Jwb:. 8 8 c. ( ) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dengn menggunkn konsep bilngn pngkt penulisn jrk ntr mthri dn bumi, yitu km dpt ditulis dengn cr yng lebih ringks, yng dikenl sebgi notsi ilmih, yitu, 0 8 km. 0 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

30 Sift-Sift Opersi Pemngktn ) Sift Perklin Bilngn Berpngkt Untuk R dn m, n bilngn bult positif, berlku: m n m + n Bukti: m n sebnyk m fktor sebnyk n fktor m + n (terbukti) sebnyk m+ n fktor ) Sift Pembgin Bilngn Berpngkt Untuk R, 0 dn m, n bilngn bult positif yng memenuhi m > n. Bukti: sebnyk m fktor m : n sebnyk n fktor m m n : n... m n (terbukti) sebnyk ( m n) fktor m n ) Sift Pngkt dri Bilngn Berpngkt Untuk R dn m, n bilngn bult positif, berlku: Bukti: ( m ) n m m m... m sebnyk n fktor ( m ) n m n (... ) (... )... (... ) m n (terbukti) sebnyk m n fktor ) Sift Pngkt dri Perklin Bilngn Untuk, b R dn n bilngn bult positif, berlku: Bukti: ( b) n b b b... b sebnyk n fktor ( b) n n b n (... ) ( b b b... b) n b n (terbukti) sebnyk n fktor sebnyk n fktor ) Sift Pngkt dri Pembgin Bilngn Untuk, b R, b 0 dn n bilngn bult positif, berlku: Bukti: n... b b b b b sebnyk n fktor... b b b... b sebnyk n fktor n b b n n b (terbukti) n n Solusi Bentuk sederhn dri ( ) dlh d. 8 e. 8 c. 9 Jwb: ( ) Jwbn: c Sumber: UN SMK 00 Bentuk Pngkt, Akr, dn Logritm

31 Contoh Sol. Sederhnknlh bentuk pemngktn berikut.. p p 0 p d. (x y) (x ) e. 7 b b c. 6 : Jwb:. p p 0 p p 9 (sift perklin bilngn pngkt) (x ) x x 8 (sift pngkt dri bilngn berpngkt) c. 6 : 6 (sift pembgin bilngn pngkt) d. (x y) (x ) y (sift pngkt dri perklin bilngn) x y (sift pngkt dri bilngn pngkt) 9x y e. 7 æ b ö 7 b èç b ø - - ( ) ( b ) ( ) ( b ) b (sift pembgin bilngn pngkt) (sift pngkt dri perklin bilngn) (sift pngkt dri bilngn pngkt) Cttn 0 0 tidk terdefinisi. kren: n n n 0 n tidk terdefinisi. Pngkt Bult Negtif dn Nol. Bilngn Berpngkt Nol Untuk R dn 0 mk Bukti: 0 n n n n 0 (sift pembgin bilngn berpngkt) n fktor Jdi, 0. n fktor Contoh Sol. Tentukn nili dri pemngktn bilngn-bilngn berikut () 0 c. x y 0 Jwb:. 6 0 () 0, dengn syrt 0 c. x y 0, dengn syrt x 0 dn y 0 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

32 Bilngn Berpngkt Negtif Untuk R dn 0 didefinisikn: n n Definisi ini bersl dri bentuk berikut. m m+ n m ( m+ n) n Mislkn : mk n m :. n m+ n m m n n Contoh Sol.. Nytkn bilngn-bilngn berpngkt di bwh ini ke dlm pngkt negtif.. x y c. p q Jwb:. - x y x y x c. y p q p q p q. Nytkn bilngn berpngkt di bwh ini ke dlm pngkt positif.. p pq c. x y z Jwb:. p p pq c. x y z x y p q z Solusi ( b ) Bentuk sederhn dri 9 b dlh.... b 6 b c. 6 b 8 d. 7 b 6 e. 8 b Jwb: b ( ) b b 9 9 b b b ( 9) 6 b 6 b 6 9 Jwbn: b Sumber: UN SMK 006 x z y x z y Ltihn Sol. Kerjknlh sol-sol berikut.. Sederhnkn bentuk pngkt berikut.. m m 7 c. d. ( x y) ( y ) 6 e. ( 7 p q r ) p qr. Sederhnkn bentuk pngkt berikut.. 0 : 8 b : b c. (p q r ) : (pq r ) d. 7x y z xy z Bentuk Pngkt, Akr, dn Logritm

33 e. b b b 7 b b. Sederhnkn bentuk pngkt berikut.. (p) (m n ) c. ( m n ) : (6 m n ) d. e. x y z b 6 ( b ) ( ). Sederhnkn bentuk pngkt berikut. Kemudin, nytkn dlm pngkt positif ( b ) : ( b ) c. x x y y d. c d c d e. + b. Jik dn b, tentukn nili dri: + b. + b ( ) b c. + b + b b + b ( ) B. Bentuk Akr Info Mth Notsi rdikl diperkenlkn pertm kli pd oleh seorng hli ljbr Jermn, Christoff Rudolf (00 ) dlm bukuny yng berjudul Die Coss. Simbol ini dipilih kren kelihtn seperti huruf r dri kt rdix, yng dlm bhs ltin berrti kr. Sumber: Finite Mthemtics nd It's Applictions, 99. Konsep Bilngn Irsionl Pd Bb, And telh diperkenlkn mengeni bilngn rsionl dn bilngn irsionl. Bilngn irsionl didefinisikn sebgi bilngn yng tidk dpt dinytkn dlm bentuk perbndingn dengn, b B dn b 0. b Sedngkn bilngn rsionl dlh blngn yng dpt dinytkn dlm bentuk perbndingn dengn, b, B dn b 0. b Contoh bilngn irsionl:. π,9... e, c.,... d. 7, Contoh bilngn rsionl:. 7 0, , c., d., 6, Perlu dikethui bhw bilngn irsionl umumny terdpt pd bilngn bentuk kr, tetpi tidk semu bentuk kr merupkn bilngn irsionl.. Bentuk Akr Dlm bilngn bentuk kr (rdikl), d bgin yng perlu dikethui, yitu lmbng bentuk kr, rdikn, dn indeks. Secr umum, bentuk kr ditulis dlm bentuk: n n ( dibc "kr pngkt n dri ") Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

34 dengn: n n disebut bentuk kr (rdikl), disebut lmbng bentuk kr, disebut indeks (pngkt kr), disebut rdikn (bilngn di bwh tnd kr), dengn bilngn riil positif untuk n bilngn sli dn untuk n bilngn gnjil, dpt berup bilngn riil negtif. Bentuk kr terbgi ts jenis:. Akr Senm Sutu bentuk kr diktkn kr senm jik indeks (pngkt kr) ny sm. Contoh:.,,, mempunyi indeks, 0,, mempunyi indeks.. Akr sejenis Sutu bentuk kr diktkn kr sejenis jik indeks dn rdiknny sm. Contoh:,, mempunyi indeks, rdiknny Seperti hlny bilngn pngkt, bentuk kr pun memiliki sift-sift tertentu, yitu sebgi berikut: Untuk, b bilngn riil dengn n bilngn sli yng sesui berlku:. n n n b b. n n n b b. n n p ± q p ± q n ( ) Sift-sift bentuk kr di ts menjelskn bhw perklin du bentuk kr senm dengn indeks n, sm dengn perklin rdikn dri msingmsing bentuk kr dengn indeks n. Hl demikin berlku jug untuk opersi pembgin bentuk kr senm. Untuk penjumlhn dn pengurngn dengn bentuk kr sejenis mk yng dijumlhkn tu dikurngknny dlh koefisien dri msing-msing bentuk kr, llu diklikn dengn bentuk kr tersebut. Contoh Sol.. Dengn menggunkn sift-sift bentuk kr, sederhnknlh bentuk kr berikut.. 7 c. d. 8 Jwb: c. d And Psti Bis Di ntr bilngn-bilngn berikut, mnkh yng merupkn bentuk kr?. 0, 06, c. 0, d., 69 e. 0, 06 f. 0, 6 Solusi Bentuk sederhn dri: dlh.... d. 0 7 e. c. 8 Jwb: Jwbn: c Sumber: Ebtns 998. Sederhnknlh opersi bentuk pngkt berikut. ( )( ) Bentuk Pngkt, Akr, dn Logritm

35 Jwb: ( ) + 6 ( ) ( )( ) Ltihn Sol. Kerjknlh sol-sol berikut.. Tentukn nili dri bentuk kr berikut ini. Kemudin, mnkh yng merupkn bilngn irsionl?. 8 d. 0, 0 e. 0, 06 c.. Sederhnknlh opersi bentuk pngkt berikut c. d ( ) ( + )( + ) e. ( )( ) ( + )( ) f. g Dikethui p + 7, q 6 + dn r 8 7. Tentukn bentuk pling sederhn dri p + q r.. Dikethui, sebuh persegipnjng dengn pnjng ( 7 ) cm dn lebr + lus persegipnjng tersebut? ( ) cm. Berp ( ) dn y ( + ),. Jik x + tentukn nili dri x y.. Pngkt Tk Sebenrny Bilngn berpngkt dengn pngkt nol, bult negtif, dn pechn disebut jug sebgi bilngn berpngkt tk sebenrny. Adpun bilngn berpngkt dengn pngkt bult positif disebut jug bilngn berpngkt sebenrny. Untuk sebrng nili dengn 0, m bilngn bult, n bilngn sli, dn n berlku: n. n n m m n Bilngn n m dn n disebut bilngn dengn pngkt tk sebenrny. 6 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

36 Contoh Sol.6. Ubhlh bilngn-bilngn berikut ke dlm bentuk bilngn dlm bentuk pngkt tk sebenrny.. x c. p d. 0 Jwb:. x x c. p p 0 d. 0. Ubhlh bilngn berikut ke dlm bentuk kr: ( ) c.. x 6p Jwb: x y ( ) ( ) d. x y ( ). x x x ( ) ( ) 6 p 6p 6 p c. x y x y ( ) x y 6p d. x y x y yx y x x xy x y x ( ) ( ) ( ) ( ) And Psti Bis Nili dri: 6 ( 6) ( ).... 0,6,6 c. 6, d. 6 e. 6. Sift-Sift Opersi Pngkt Tk Sebenrny Untuk, b R dengn, b 0, sert p, q bilngn rsionl mk berlku siftsift opersi pngkt tk sebenrny sebgi berikut.. p q p+q. p : q p q. ( p ) q p q. ( b) p p b p p p. b p b b, 0 p 6., 0 p Bentuk Pngkt, Akr, dn Logritm 7

37 Opersi pd bilngn bentuk pngkt tk sebenrny menjelskn bhw pd dsrny opersi yng berlku sm dengn opersi pd bilngn bentuk pngkt sebenrny. Perlu diperhtikn di sini bhw pngkt yng dipki dlh pngkt bilngn nol, bilngn bult negtif, dn bilngn pechn. And Psti Bis Tentukn bentuk sederhn dri x x. Contoh Sol.7 Sederhnkn opersi bentuk pngkt tk sebenrny dri: 6 7 ( ). x x c. b c : d. Jwb: + 6. x x x x x : c. b c b c ( ) 7 7 b c c b c æ ö d. 6 èç ø c Ltihn Sol. Kerjknlh sol-sol berikut.. Nytkn bilngn berikut ke dlm bentuk pngkt sebenrny:. b xy 6 c. x d. 6x 8 y 6. Nytkn bilngn berikut ke dlm bentuk kr:. p q c. b d. x ( 8). Tentukn hsil opersi dri: 0. ( 7) + ( 8) + 8 ( ) 7 ( ) ( ) + 8 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

38 . Jik x dn y 6, tentukn nili dri x y y x. Tentukn bentuk sederhn dri:. 6 0, 0 6 C. Mersionlkn Penyebut Bentuk Akr Dlm sutu bentuk opersi bilngn, d klny bilngn tersebut memiliki penyebut dlm bentuk kr, seperti:,,. + Bentuk-bentuk bilngn tersebut dpt disederhnkn dengn cr mersionlkn penyebut pechn-pechn tersebut. Kegitn mersionlkn pd intiny mengubh bentuk kr pd penyebut menjdi bentuk bilngn rsionl, yng pd khirny bilngn tersebut dpt dinytkn dlm bentuk yng lebih sederhn. Sutu bentuk pechn yng memut bilngn bentuk kr diktkn sederhn jik dipenuhi:. setip bilngn bentuk krny sudh dlm bentuk sederhn, dn. tidk d bentuk kr pd penyebut jik bilngn tersebut pechn. Pd bgin ini, And kn mempeljri mengeni cr mersionlkn berbgi bentuk pechn gr lebih sederhn.. Pechn Bentuk b Bentuk kr dengn b 0 dpt dirsionlkn penyebutny dengn cr b menglikn pechn dengn b sehingg: b b b b b b Contoh Sol.8 Sederhnknlh penyebut dri bentuk pechn berikut.. 6 Jwb:. c d. 6 + c. Agr penyebut dpt dirsionlkn, mk diklikn dengn sehingg didpt penyelesin sebgi berikut: 9 9 d Bentuk Pngkt, Akr, dn Logritm 9

39 Solusi Bentuk sederhn dri dlh c. + d. e. Jwb: ( ) + Jwbn: e Sumber: UN SMK 006. Pechn Bentuk b c Untuk menyederhnkn bentuk pechn tu dlh dengn b + c b c menglikn pechn dengn bentuk sekwn dri penyebut. Bentuk sekwn dri b + c dlh b c. Seblikny, bentuk sekwn dri b c dlh b + c sehingg b + b- Contoh Sol.9 b - c b + c b- b + c b - c b + ( ) c b- c c b -c ( ) c b + c c b -c Sederhnkn penyebut dri bentuk pechn berikut.. c Jwb: ( ) + 9- ( ) ( ) 7-7- ( ) c Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

40 . Pechn Bentuk b c Dn untuk menyederhnkn penyebut dri bentuk pechn tu b + c, yitu dengn cr menglikn pechn dengn bentuk sekwn dri b c penyebutny. Bentuk sekwn dri b + c dlh b c. Seblikny, bentuk sekwn dri b c dlh b + c sehingg b + b - c c b b + c - b - b b - c + b + ( ) c b - c c b-c ( ) c b + c c b-c Sederhnknlh penyebut dri bentuk pechn berikut Jwb: c. Contoh Sol ( ) ( ) c. Solusi Dengn mersionlkn penyebut, bentuk sederhn dri 6. c. 0 dlh d. + 0 e. Jwb: ( ) Jwbn: e Sumber: Ebtns 998 Bentuk Pngkt, Akr, dn Logritm

41 . Menyederhnkn Bentuk Akr ( + b ) b ( ) ± ( ) dengn Bentuk + b b dpt diubh menjdi bentuk ± b syrt, b R dn > Bukti: ( ) ± + ± b b b ( + b)± b ± b ( + b)± b Jdi, ( + b)± b ± b Contoh Sol. And Psti Bis 9 6 7x y Nili dri 6 x 6 y x untuk x dn y 7 dlh... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c. + 8 d. + 7 e. + 7 Sumber: UAN 00 Sederhnkn bentuk kr berikut.. 0 c d. Jwb: ( 0 + )- 0 ( ) ( 6 + )+ 6 ( ) ( ) c ( 9 + )+ 9 ( ) ( ) (cri fktor dri 0 yng jik dijumlhkn bernili ) (cri fktor dri 80 yng jik fktorny dijumlhkn bernili ) (cri fktor dri 8 yng jik fktorny dijumlhkn bernili ) d ( + ) - ( ) + (penyebutny diubh menjdi 6 ) Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

42 Ltihn Sol. Kerjknlh sol-sol berikut.. Sederhnkn penyebut dri bentuk kr berikut.. 6 d. e. 6 c. f Sederhnknlh penyebut dri bentuk kr berikut d. e c. 6 f Sederhnkn bentuk-bentuk kr berikut. g. h Dengn mersionlkn penyebut, tentukn bentuk sederhn dri: ( ) c Jik dikethui sebuh persegipnjng PQRS dengn pnjng + cm dn lebr cm. + Tentukn:. keliling persegipnjng tersebut; lus persegipnjng tersebut.. + d e. 8 + c. 0 0 f. 8 D. Logritm Pd pembhsn sebelumny, And telh mempeljri mengeni bilngn berpngkt, mislny 6, disebut sebgi bsis, sebgi pngkt (eksponen), dn 6 sebgi hsil pemngktn oleh. Jik pertnynny diblik, pngkt berp menghsilkn nili 6, And kn menjwb. Opersi keblikn dri menentukn nili pemngktn menjdi menentukn pngktny disebut sebgi opersi logrtim, yng dpt ditulis: 6 log 6 Secr umum: Jik x n mk log x n, dn seblikny jik log x n mk x n. Hubungn ntr bilngn berpngkt dn logritm dpt dinytkn sebgi berikut: log x n x n dengn: bilngn pokok tu bsis, > 0; ; x numerus (yng dicri nili logritmny), x > 0 n hsil logritm. ( logx dibc"logritm x dengn bsis ") Bentuk logritm dpt dinytkn dlm bentuk pngkt dn seblikny, bentuk pngkt dpt dinytkn dlm bentuk logritm. Bentuk Pngkt, Akr, dn Logritm

43 Info Mth John Npier (0 67) Contoh Sol.. Nytkn logritm berikut dlm bentuk pngkt.. log 9 log c. log p Jwb:. log 9 9 log c. log p p. Nytkn bentuk pngkt berikut ke dlm bentuk logritm. Sumber: cntiques.krokes.free.fr Metode logritm pertm kli dipubliksikn oleh mtemtikwn Scotlndi, yitu John Npier pd 6 dlm bukuny yng berjudul Mirifici Logrithmorum Cnonis Descriptio. Metode ini memberikn kontribusi yng besr untuk kemjun ilmu pengethun, slh stuny pd bidng stronomi dengn menjdikn perhitungn rumit menjdi mudh c. p Jwb:. 7 p 7 log 9 9 log p c. p log p p Solusi Nili dri log + log 8 log 6 dlh.... d. e. c. Jwb: Sumber: en.wikipedi.org log + log 8 log6 8 log log log 6 log Jwbn: b Sumber: UN SMK 00. Sift-Sift Logritm. Sift Untuk > 0,, berlku: log, log 0, log 0 Bukti: Setip bilngn pbil dipngktkn dengn hsilny dlh bilngn itu sendiri. Jdi, log Setip bilngn tidk sm dengn nol pbil dipngktkn nol hsilny sellu stu. Jdi, 0 log 0 Log 0 dlh sutu bentuk logritm dengn bsis 0 dn numerusny 0. Jdi, log 0 Sift Untuk > 0,, x > 0 dn y > 0 sert, x, dn y R berlku: log x + log y log xy Bukti: log x n n x log y m m y log xy p p xy Dri bentuk pngkt tersebut diperoleh xy n m xy n+m p n+m p n+m Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

44 Mk: n log x, m log y dn p log xy, sehingg log x + log y log xy c. Sift Untuk > 0,, x > 0 dn y > 0 sert, x, dn y R, berlku: x log x log y log y Bukti: log x n n x log y m m y x p x log p y y Dri bentuk pngkt tersebut diperoleh: n x x n m m y y p n m p n m x Jdi, log x log y log. y d. Sift Untuk > 0,,, n dn x R berlku: Solusi Nili dri log 8 + log 0 log log dlh.... d. 6 e. 6 c. 6 Jwb: log8 + log0 log log log8 log + log0 log 8 0 log + log log6 + log + 6 Jwbn: e Sumber: UN SMK 00 Bukti: n x + x + log x n n log x n fktor log x log ( x x x... x) log log... + log x n log x n fktor Jdi, log x n n log x. e. Sift Untuk, m > 0, sert, m, n, x R, berlku: Bukti: log x p p x n log x log x m m n m n m q n log x q x Dri bentuk pngkt di ts diperoleh: x n m q ( p ) n mq np mq np mq n q m p Jdi, m n log x n log x m. Bentuk Pngkt, Akr, dn Logritm

45 Contoh Sol. Solusi Jik log 0,77 dn log 0,00 mk nili dri log ,778 d., 0,909 e.,87 c.,079 Jwb: log 7 log 00 log 00 log log 00 + log log + 0,77 (0,00),77 0,600,87 Jwbn: e Sumber: UN SMK 00. Sederhnkn bentuk logritm berikut.. log 6 + log 8 log 7 log9 + log log 7 c. 8 log + 8 log 6 8 log 8 Jwb: 6 8. log6 + log8- log7 log 7 log log log c. log9 + log - log 7 log + log - log log + log6 + log8 log 8 8 log log+ log - log log log. Tentukn nili x dri bentuk logritm log x log8 + log9 log7 Jwb: log x log8 + log 9- log 7 log8 + log 9-log 7 ( sift ) log ( ) + log 9- log ( ) log + log9-log 9 log log6 log x log6 x 6 6 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

46 f. Sift 6 Untuk, p > 0, dn, p, sert, p, dn x R, berlku: p log x log x p log x x log Bukti: log x n x n log x log n log x n log n p p log x log log x p p log x log Jik p x mk log x x x x log x log log (sift logritm) (terbukti) g. Sift 7 Untuk > 0, x > 0, y > 0,, x, dn y R berlku: log x x log y log y Bukti: log x p p x x log y q x q y Dri bentuk pngkt tersebut diperoleh y x q y ( p ) q y pq log y log pq log y pq log log y pq log y log x x log y h. Sift 8 Untuk > 0, sert dn x R, berlku: Bukti: n log x n x Jdi, i. Sift 9 n log x x x log x x. log x Untuk > 0, sert dn x R berlku: Bukti: n n log x p log x p x x n log x n Jdi, x. n p n n log x x n log x n x And Psti Bis Jik dikethui log x dn log y b, log 0 x... y 0. b 0 b c. 0 ( b) d. 0 + b e. + b Sumber: UN SMK 00 Bentuk Pngkt, Akr, dn Logritm 7

47 Contoh Sol.. Jik log dn log b, nytkn log 0 dlm dn Jwb: log0 log0 log log( 6) log ( ) log+ log6 log + log log + log log + log + log + log log + b + + æ ö èç ø + b b b ( ). Sederhnknlh bentuk logritm berikut.. log log 8 log Jwb: log 7 log log ( sift 6) ( sift ). log log8 log 9 log log log log log log log log log log log log log ( ) + log 7 log log log log log log 8 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

48 Ltihn Sol. Kerjknlh sol-sol berikut.. Nytkn bentuk pngkt berikut ke dlm bentuk logritm d. p q e. 8 c. m n x. Nytkn bentuk logritm berikut ke dlm bentuk pngkt.. log d. log c. log x e. logr ( ) log p + q. Tentukn nili x dri logritm berikut.. log (x 6) logx c. log (x x + ). Sederhnkn bentuk logritm berikut.. log + log log 6 + log log c. log 00 log d. e. log 7 + log 6 log 6 log log log log Sederhnkn bentuk logritm berikut.. log log 9 log log log6 log8 7 6 c log0 log log log log d log log 6. Jik log ; b 0 log 0,0; c log 0,; d 8 log. ( ). Tentukn nili dri b + c 7. Jik log (x ) ; y log 0, ; log z, tentukn nili dri x y z. 8. Jik log x dn log y, tentukn nili dri log. 9. Jik log dn log b, tentukn nili dri log7. 0. Jik log, tentukn nili dri nili dri log + log +. log 7 d. Menentukn Logritm Berbsis 0 dri Sutu Bilngn dengn Menggunkn Tbel Logritm Dlm perhitungn mtemtik, untuk logritm bisny digunkn bsis 0. Pd logritm dengn bsis 0, bilngn pokok 0 bisny tidk ditulis. Selnjutny, And kn mempeljri tbel logritm (Tbel.) seperti berikut. Cttn Selin menggunkn tbel, perhitungn logritm sutu bilngn dpt jug dilkukn dengn menggunkn klkultor. Klkultor yng dpt digunkn untuk menghitung logritm dlh klkultor ilmih. Bentuk Pngkt, Akr, dn Logritm 9

49 Tbel. Tbel Logritm N Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

50 Sebelum menentukn nili logritm dengn menggunkn tbel ini, And perlu memhmi terlebih dhulu hl-hl yng berhubungn dengn tbel logritm tersebut. Logritm sutu bilngn niliny terdiri ts du bgin, yitu krkteristik (bilngn yng terletk di depn kom desiml) dn mntis (bilngn yng terletk di belkng kom). Contoh: }log,6 0, 667 krkteristik } mntis Dlm tbel logritm terdpt kolom-kolom, kolom pertm (disebut kolom N). Dri ts ke bwh memut bilngn-bilngn yng berurutn muli dri 0 smpi dengn 000. Bris judul pd kolom kedu smpi dengn kolom kesebels dri kiri ke knn berturut-turut diisi dengn ngk 0,,...,9. Pd kolom-kolom tersebut dri ts ke bwh memut mntis, yng terdiri ts ngk (digit). Besr krkteristik dri logritm dpt ditentukn berdsrkn nili numerusny. log x n Cttn Tbel logritm yng lebih lengkp dpt And liht di khir hlmn buku ini. Tugs. Dengn menggunkn tbel logritm dri sift-sift logritm, hitunglh:. log 7. log. log 7 Kemudin, diskusikn hsilny dengn temnmu.. Jik < x < 0 krkteristikny 0 Jik 0 < x < 00 krkteristikny c. Jik 00 < x < 000 krkteristikny Berikut kn diberikn lngkh-lngkh mencri logritm sutu bilngn dengn tbel logritm, seperti pd Contoh Sol.. Digi Mth Contoh Sol. Dengn menggunkn tbel logritm, tentukn:. log,6; log,6; c. log 6,; d. log 6. Jwb:. log,6 0,... Bgin desimlny (mntis) diperoleh dri pertemun ntr bris yng memut ngk dn kolom yng memut ngk 6, yitu 0. Jdi, log,6 0, 0. log,6 0,... Bgin desimlny (mntis) diperoleh dri pertemun ntr bris yng memut ngk 6 dn kolom yng memut ngk, yitu. Jdi, log,6 0,. c. log 6,,... Lngkh yng dilkukn sm seperti pd bgin (b) tersebut. Jdi log 6,,. d. log 6,... Lngkh yng dilkukn sm seperti pd bgin (b) dn (c) tersebut. Jdi log 6,. Perhitungn pd Contoh Sol. () dpt jug dilkukn dengn bntun klkultor. Klkultor yng digunkn di sini dlh klkultor jenis FX- 600 PV seperti pd gmbr berikut. Sumber: world.csio.com Cr untuk menentukn log,6 dlh sebgi berikut. Teknlh tombol-tombol 6 log sehingg hsil yng diperoleh dlh 0,978 0,0. Bentuk Pngkt, Akr, dn Logritm

51 Tugs. Dengn menggunkn klkultor, hitunglh nili-nili logritm pd Contoh Sol. dn Contoh Sol.6. Kemudin bndingknlh pkh hsilny sm? Jik numerus dri logritm 0 < x < mk sebelum dilogritmkn, nytkn bilngn itu dlm bentuk bku 0 n dengn 0, n bilngn bult positif. Contoh Sol.6 Dengn menggunkn tbel logritm, tentukn:. log 0,7; log 0,087; c. log 0,0098. Jwb:. log 0,7 log,7 0 log,7 + log 0 log,7 0,67 0,7 log 0,087 log 8,7 0 log 8,7 + log 0 log 8,7 0,99,06 c. log 0,0098 log 9,8 0 log 9,8 + log 0 log 9,8 0,99,007 Dftr logritm jug merupkn dftr ntilogritm. Artiny, jik dikethui log 0,9, berpkh nili? Untuk lebih memhminy, peljrilh contoh-contoh berikut. Contoh Sol.7 Digi Mth Untuk menghitung ntilpgritm dri Contoh Sol.7 () dengn bntun klkultor, terutm untuk klkultor scientific FX-600 PV, dpt dilkukn dengn menekn tombol-tombol sebgi berikut. 0 0 Shift log Sehingg hsil yng diperoleh dlh,79708,7 Tentukn nili x dengn menggunkn nti logritm berikut:. log x 0,0 log x,0 c. log x 0,7 d. log x,7 Jwb:. log x 0,0 Mntis dri 0,0 dlh 0, bilngn 0 dpt And temukn pd pertemun ntr bris yng memut ngk 7 dn kolom yng memut ngk 0. Oleh kren krkteristikny 0 mk numerusny dlh stun. Jdi, log x 0,0 mk x,7. log x,0 Lngkh -lngkh yng dilkukn sm seperti pd contoh sol (), yng membedkn dlh nili dri krkteristikny yng memut ngk mk numerusny dlh puluhn. Jdi, log x,0 mk x 7. Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

52 c. log x 0,7 0,8 log,77 log 0 log, 77 log 0, 77 0 x 0,77 d. log x,7 0,8 log,77 log 00, 77 log 00 x 0,077 Ltihn Sol.6 Kerjknlh sol-sol berikut.. Dengn menggunkn tbel logritm, tentukn:. log 7,6 d. log 0,9 log 80, e. log 0,06 c. log 76, f. log 0,000. Dengn menggunkn tbel nti logritm, tentukn nili x dri:. log x 0,8 d. log x,6 log x 0,79 e. log x 0,7 c. log x,7 f. log x,77 Bentuk Pngkt, Akr, dn Logritm

53 Rngkumn. Bilngn berpngkt n (dibc: " pngkt n") dlh hsil kli n buh fktor yng msing-msing fktorny dlh.. Bilngn berpngkt bult positif secr umum dpt dinytkn dlm bentuk: n... nfktor dengn: bilngn pokok n pngkt tu eksponen. Sift-sift bilngn pngkt Untuk R dn m, n bilngn bult positif berlku:. m n m+n m m n m n : n c. ( m ) n m n d. (b) n n b n e. n n n b b, b 0 Untuk R dn 0 berlku 0 n Untuk R dn 0 berlku n. Bilngn irsionl dlh bilngn yng tidk dpt dinytkn dlm bentuk b. untuk, b B, b 0. n Bilngn bentuk kr ditulis dlm bentuk dengn: rdikn; n indeks (pngkt kr); lmbng bentuk kr. 6. Sift-sift bilngn bentuk kr Untuk, b bilngn bult mk berlku. n n n b b n n b n b ( ) n n n c. p ± q p ± q 7. Hubungn ntr bentuk kr dengn pngkt tk sebenrny, yitu: Untuk sebrng dengn 0 berlku: n. n m n m n 8. Logritm didefinisikn sebgi keblikn dri bentuk pngkt sehingg berlku log x n x n 9. Sift-sift logritm Untuk, x, dn y bilngn riil positif dn mk berlku:. log log x + log y log xy c. log x x log y log y d. log x n n log x e. m n n log x log x m f. p log x log x p log x log g. log x x log y log y h. log x x n i. log x n x Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

54 Alur Pembhsn Perhtikn lur pembhsn berikut: Mteri tentng Bentuk Pngkt, Akr, dn Logritm dpt digmbrkn sebgi berikut. Bentuk Pngkt, Akr, dn Logritm meliputi Bilngn Pngkt Bentuk Akr Mersionlkn Penyebut Bentuk Akr Logritm mempeljri mempeljri Pngkt Bult Positif mempeljri Pngkt Bult Negtif dn Nol Definisi Hubungn Bentuk Akr dengn Pngkt Tk Sebenrny Definisi Sift Penggunn Tbel Logritm besert Sift-Siftny Definisi dn Sift Kt Mutir Ketik stu pintu tertutup, pintu lin terbuk, nmun terkdng kit meliht dn menyesli pintu tertutup tersebut terllu lm hingg kit tidk meliht pintu lin yng telh terbuk. Alexnder Grhm Bell Bentuk Pngkt, Akr, dn Logritm

55 Ltihn Sol Bb A. Pilihlh slh stu jwbn dn berikn lsnny.. Bentuk kr dri dlh d. e. 6 7 c.. Bentuk sederhn dri dlh d e. 6 7 c Bentuk sederhn dri (p ) (p ) dlh.... p d. p p 6 e. p 60 c. p. Bentuk sederhn dri dlh d. - e. - c. -. Bentuk sm dengn.... d. 9 e. c. 6. Bentuk sederhn dri ( ) d. ( ) e.. + c. ( 7 + ) 7. Bentuk sederhn dri dlh... ( 7 ) 6 8 ( ) d. 0 0 ( 0 0 ) e c dlh Bentuk notsi ilmih dri 8.6 dlh.... 8,6 0 d. 8,6 0 8,6 0 e. 8,6 0 c. 8, Nili dri log79 dlh.... d. 8 6 e. 9 c Jik log,6 dn log,6 mk nili dri log 6 dlh...., d.,6,6 e. 6, c.,. log 6 + log log.... d. 6 e. 7 c.. log6 + log.... d. e. c.. Jik, log 0,00; log 0,77; dn log 0,6990 mk nili dri log 0 dlh....,77 d. 0,78 d.,0880 e. 0,6 c. 0,78. Jik log 0,00; log 0,77; dn log 7 0,8 mk nili dri log dlh....,079 d. 0,97,79 e.,7 c. 0,797 6 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

56 . Dikethui 9 log n mk log dpt dinytkn dengn.... n d. n n 6 n e. c. 6 n 6 6. Bentuk sederhn dri bentuk kr dlh... ( ) d. ( 7 ) ( + ) e. ( 7 ) ( + ). c Jik x log 6 p dn x log 8 q mk p q dlh.... x log d. x log 0 x log e. x log 0 c. x log 8. Jik log b x dn b log d y mk d log dinytkn dlm x dn y dlh... x. x + y d. y x x y e. c. x y y 9. Jik log 0,77 dn log 0,00 mk nili dri log ,778 d., 0,909 e.,87 c., Jik log (x + 0), nili x dlh.... d. 7 e. 90 c. 9 B. Jwblh sol-sol berikut.. Sederhnkn bentuk-bentuk berikut.. e 7 p 6 e p c. 7 9 b 0 6b x y 7 x y. Rsionlkn penyebut pechn berikut, kemudin sederhnkn c. d Sederhnkn sol-sol berikut.. log + log log + log 0 c. log 60 log 0 d. log 8 + log 9 e. 6 log 96 6 log 6. Jik, log x; log y; dn log8 z, hitunglh:. log + log 8 log + log 0 c. log 0 log. Eli menbung di bnk sebesr Rp ,00 yng memberikn bung 7% per thun. Hitunglh jumlh ung Eli setelh ditbungkn selm 6 buln. Bentuk Pngkt, Akr, dn Logritm 7

57 Ltihn Ulngn Semester A. Pilihlh slh stu jwbn dn berikn lsnny.. Anggot dri himpunn A {x x < 6, x C} dlh.... {,,,, 0,,,,, } {,,, 0,,,,,, 6} c. {,,,, 0,,,,,, 6} d. {0,,,,, } e. {,,,,, 6}. Bilngn-bilngn berikut dlh bilngn rsionl, keculi.... d., e. 0,... c. 0, Hsil dri d c. 7 0 e. 0. Nili dri : d e. 6 6 c Pk Budi mempunyi h tnh. Kemudin dri lus tnh keseluruhn tersebut dijul kepd Pk Anto. Lus tnh yng dijul oleh Pk Budi dlh... h.. 8 d. e. 7 c. 6. Jik hrg kg minyk kelp Rp9.00,00 mk hrg kg minyk kelp tersebut dlh.... Rp.,00 d. Rp6.,00 Rp.,00 e. Rp7.,00 c. Rp.87,00 7. Tbungn unit produksi SMK terdiri ts tbungn kri logm bgin, tbungn kri kyu bgin, tbungn kri tekstil bgin, dn sisny tbungn 6 kri kulit. Besr tbungn kri kulit dlh bgin d. 7 bgin 7 bgin e. 9 0 bgin c. bgin 0 8. Dlm stu kels, sisw yng berkcmt d %. Jik jumlh seluruh sisw d 0 orng, mk bnykny sisw yng tidk berkcmt dlh orng d. 6 orng 6 orng e. 8 orng c. orng 9. Bentuk notsi ilmih dri dlh.... 0,8 0 d.,08 0,08 0 e c. 0, Bentuk sederhn dri b b 6 dlh d. 8 b 6 6b e. 8 6 b c. 8 b 0. Bentuk sederhn dri b b 7 b. b d. b b e. b 6 c. 8 b 6 dlh... 8 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

58 . Bentuk sederhn dri p p. 6 c. d. e. p 6. 6p 8 dpt ditulis sebgi.... b d. b b e. b c. b dlh.... Bentuk sederhn dri dlh d. + + e. + 8 c. +. Bentuk sederhn dri dlh d e. 7 c Bentuk sederhn dri 0 0 dlh d. + + e. + c Nili x jik x log dlh.... d. 6 e. 7 c. 9. Nili dri log (8 9) dlh.... d. 7 e. 8 c Jik log p; log q; dn log 8 r mk nili dri log + log 8 dlh.... p + q + r d. p + q + r p +q + r e. pq + r c. p + q r. Jik log 0,00; log 0,77; dn log 7 0,8 mk nili dri log dlh.... 0,07 d.,07 0,07 e.,7 c. 0,7. Nili x dri log (x + ) + log dlh.... d. e. c.. b c log log log b c.... bc d. + bc e. c.. Nili dri log.000 dlh....,8 d.,8,8 e.,6 c.,8. Nili dri log 0 dlh.... 0,6 d.,6 0,6 e.,6 c.,6 8. Jik b log dn b log 7 mk nili dri b log 80 dlh.... d. e. c. Uji Kompetensi Semester 9

59 B. Jwblh sol-sol berikut.. Tentukn hsil dri: Seorng yh mewriskn 8 ekor spi kepd orng nkny dengn turn sebgi berikut: putr yng sulung mendpt dri jumlh spi; putr kedu mendpt dri jumlh spi; putr ke tig mendptkn sisny. Tnp memotong seekor spi pun, berp ekor msing-msing nk mendptkn bginny?. Sederhnkn bentuk pngkt berikut.. 6 f g 8 h 7 9 b 0 6b. Jik log 0,0 dn log 0,699, tentukn: Dwi menbung di sebuh bnk dengn bung 8% per hri. Jik tbungn wl dlh Rp ,00, hrus berp lm Dwi menbung gr jumlh tbungnny tig kli liptny? 0 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

60 Bb III Sumber: mycityblogging.com Persmn dn Pertidksmn Konsep persmn dn pertidksmn telh And peljri sebelumny di Kels VII dn Kels VIII. Konsep persmn dn pertidksmn sngt bergun jik diterpkn dlm kehidupn sehri-hri seperti contoh berikut ini. Bu Din membeli krung bers bertny kg yng hrgny sm dengn kli dri hrg 0 kg cbe, sedngkn hrg kuintl bers dn 60 kg cbe dlh Rp ,00. Jik Bu Din membeli 0 kg bers dn kg cbe, berp ung yng hrus dibyr oleh Bu Din? Dengn mempeljri bb ini dengn bik, And kn dpt menyelesikn mslh tersebut. A. Persmn Liner B. Persmn Kudrt C. Pertidksmn Liner D. Pertidksmn Kudrt E. Sistem Persmn Liner

61 Tes Kompetensi Awl Sebelum mempeljri bb ini, kerjknlh sol-sol berikut.. Sederhnknlh bentuk ljbr berikut.. Tentukn nili x dri persmn-persmn berikut.. ( + ) 0. x p ( + ) p x + c. (x + ) + (x + ) c. (x + ) + 0 A. Persmn Liner Info Mth Rene Descrtes (96 60) Persmn liner dlh sutu persmn dengn stu vribel (peubh) yng mempunyi pngkt bult positif dn pngkt tertinggi vribelny stu. Bentuk umum persmn liner dlh x + b 0 dengn, b R dn 0, x disebut vribel;, b disebut konstnt. Dlm menyelesikn persmn liner dpt dilkukn dengn memishkn vribel dengn vribel dn konstnt dengn konstnt pd rus yng berbed. Sumber: centros.pntic.mec.es Pd 67, Rene Descrtes menjelskn bgimn susunnsusunn geometris dpt diubh ke dlm persmn-persmn ljbr. Dlm bukuny "Discours de l Methode" (Discourse on Method), i memperkenlkn huruf x, y, dn z untuk mewkili vribelvribel, sm hlny dengn simbol-simbol + dn untuk penmbhn dn pengurngn. Sumber: Ensiklopedi Mtemtik & Perdbn Mnusi, 00 Contoh Sol.. Tentukn himpunn penyelesin persmn berikut ini. x x + 0, x Q 7x + x, x R c. x + (x ) (x ) 7 (x + ), x R Jwb:. x x + 0 x x 0 + x x x 6 Jdi, himpunn penyelesinny dlh {6}. 7x + x 7x x + ( ) 7x + x 7x x x x x Jdi, himpunn penyelesinny dlh {}. Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

62 c. x + (x ) (x ) 7 (x + ) x + x 8 x 8 7x 8 7x 8 x 6 7x + x 8 6 0x 8 x Jdi, himpunn penyelesinny { }.. Hrg sebuh ts dlh delpn kli hrg tempt pensil. Hrg buh ts dn sebuh tempt pensil dlh Rp8.000,00. Berpkh hrg sebuh ts dn hrg sebuh tempt pensil? Jwb: Mislkn, hrg sebuh tempt pensil dlh x rupih; hrg sebuh ts dlh 8x rupih sehingg buh ts + buh tempt pensil Rp8.000,00 (8x) + x x + x x x Jdi, hrg sebuh tempt pensil dlh Rp.000,00 dn hrg sebuh ts dlh 8 Rp.000,00 Rp 0.000,00. And Psti Bis Sutu persegipnjng mempunyi lebr x meter dn pnjngny (x + 00) meter. Jik keliling persegipnjng 960 meter, tentukn lebrny? x + 00 x Sumber: New Course Mthemtics Yer 9 Advnced, 996 Ltihn Sol. Kerjknlh sol-sol berikut.. Tentukn himpunn penyelesin setip persmn di bwh ini, x B.. 8 x 7 x + 6 x c. x + 6 x d. (x + ) (7x ) e. x (x ) (x ) 7(x + ) f. (x + ) + (x ) (x ). Tentukn himpunn penyelesin setip persmn di bwh ini, x R.. x x + 6 x x x + + c. ( x ) ( x ) ( x 0) d. (x ) + (x + ) 7(x ). Hrg kg pel sm dengn kg jeruk, sedngkn hrg kg pel dn kg jeruk dlh Rp9.000,00. Jik Dewi membeli kg pel dn kg jeruk. Berpkh hrg yng hrus Dewi byr?. Hrg untuk sebuh kompor gs dlh 6 kli hrg kompor minyk tnh. Jik hrg kompor gs dn kompor minyk tnh Rp ,00. Berpkh hrg sebuh kompor gs dn hrg sebuh kompor minyk tnh? B. Persmn Kudrt. Bentuk Umum Persmn Kudrt Persmn kudrt didefinisikn sebgi klimt terbuk yng menytkn hubungn sm dengn () dn pngkt tertinggi dri vribelny du. Persmn kudrt memiliki bentuk umum: dengn, b, dn c R dn 0. x + bx + c 0 Persmn dn Pertidksmn

63 Contoh Sol. Tentukn setip koefisien vribel x, koefisien vribel x dn konstnt dri persmn kudrt berikut:. x x + 0 x + x 7 0 Jwb:. x x + 0 x + x 7 0 koefisien x koefisien x koefisien x koefisen x konstnt konstnt 7 Contoh Sol. Ubhlh setip persmn kudrt di bwh ini ke dlm bentuk umum dn tentuknlh koefisien-koefisienny sert konstntny.. + x c. x x + x 7 x x d. x x x + x + Jwb:. + x x x x + x x + 0x x + 0 8x 0x koefisien x 0 koefisien x 8 konstnt 7 x x x 7 x x x ( ) ( )( ) ( x ) x ( ) x x x + ( x )x x x + x x x x + x 6x 6x 8 x + 0 x 0 koefisien x 8 koefisien x 0 kontnt Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

64 c. x + x x x ( ) ( + ) ( x + ) ( x ) x 8 x x x x 0 x x x 0 x x x x koefisien x koefisien x konstnt 8 d. x x + x + x x ( )( + ) ( x ( x ) ( x + ) + ) ( x ) ( x + ) x + x + x x x x + 6x 6 x 6x 9 x x koefisien x koefisien x konstnt 7. Menentukn Akr-Akr Persmn Kudrt Dlm menyelesikn setip persmn kudrt yng And cri dlh krkr persmn kudrt tu nili x yng memenuhi persmn kudrt tersebut. Menyelesikn persmn kudrt dpt dilkukn dengn beberp cr, yitu memfktorkn, menyempurnkn, dn dengn rumus bc.. Memfktorkn Sift yng digunkn dlm menyelesikn persmn kudrt dengn cr memfktorkn dlh sift fktor nol, yitu: Untuk setip p dn q bilngn riil dn berlku p q 0 mk p 0 tu q 0 ) Memfktorkn Jenis x + bx 0 Untuk memfktorkn persmn kudrt dengn bentuk x + bx 0 dpt dilkukn dengn memishkn x sesui dengn sift distributif, yitu: x + bx 0 x(x + b) 0 Jdi, x 0 tu x + b 0. Contoh Sol. Selesiknlh persmn kudrt di bwh ini:. x x 0 x + x 0 Jwb:. x x 0 x(x ) 0 x 0 tu x 0 x Jdi, himpunn penyelesinny dlh {0, }. Persmn dn Pertidksmn

65 x + x 0 x(x + ) 0 x 0 tu x + 0 x x Jdi, himpunn penyelesinny dlh {-, 0}. Solusi Himpunn penyelesin dri persmn x + x 0 dlh.... {, } 6 {, } 6 c. {, } 6 6 d. {, } e. {, 6 } Jwb: x + x 0 ( )( + ) x 6 x 0 x 6 0 tu x + 0 x 6 tu x 6 x tu x Jwbn: e Sumber: UN SMK 006 ) Memfktorkn Jenis x + bx + c 0 Untuk persmn kudrt jenis x + bx + c 0 dpt difktorkn dlm q bentuk ( x + p) x + dengn p dn q bilngn bult tu q x + bx + c ( x + p) x + x x q pq + + px + pq x + qx + px + pq x + ( p + q) x + sehingg dpt disimpulkn x + bx + c x + p x dengn b p + q c pq tu c pq. Contoh Sol. ( ) + q Dengn memfktorkn, tentukn himpunn penyelesin untuk persmn kudrt di bwh ini.. x x 0 x + x 8 0 c. x + 9x d. x 7x 6 0 e. 6x Jwb:. x x 0 Dengn nili, b, c, mk p + q ; p q Nili p dn q dpt ditentukn dengn cr mencri bilngn yng pbil dijumlhkn menghsilkn dn diklikn menghsilkn. Untuk itu, didpt p 7 dn q sehingg: x x 0 (x 7) (x + ) 0 x 7 0 tu x + 0 x 7 tu x Jdi, himpunn penyelesinny dlh {, 7}. x + x 8 0 Dengn nili, b, c 8, mk p + q ; p q 8 Untuk nili p dn q dpt ditentukn dengn cr mencri bilngn yng pbil dijumlhkn menghsilkn dn diklikn menghsilkn 8. Didpt p 8 dn q 6 sehingg: 6 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

66 x + x 8 0 (x + 8) (x 6) 0 x tu x 6 0 x 8 tu x 6 Jdi, himpunn penyelesinny dlh { 8, 6}. c. x + 9x Dengn nili, b 9, c 7 p + q 9; p q c Untuk nili p dn q dpt ditentukn dengn cr mencri bilngn yng pbil dijumlhkn menghsilkn 9 dn diklikn menghsilkn. Didpt p 7 dn q sehingg: x + 9x (x + 7) (x + ) 0 x tu x + 0 x 7 tu x Jdi, himpunn penyelesinny dlh {- 7, }. d. x 7x 6 0 Dengn nili, b 7, c 6 p + q 7; p q 6 8 Dengn cr yng sm, untuk menentukn nili p dn q yng pbil dijumlhkn menghsilkn 7 dn diklikn menghsilkn 8. Didpt p dn q 9 sehingg: x 7x 6 0 (x + ) (x + 9 ) 0 (x + ) (x ) 0 x + 0 tu x 0 x tu x Jdi, himpunn penyelesinny dlh {-, }. e. 6x x Dengn nili 6, b, c 7 p + q ; p q 6 7 Dengn cr yng sm pul, nili p dn q dpt dicri dengn cr mencri bilngn yng pbil dijumlhkn menghsilkn dn diklikn menghsilkn. Didpt p dn q sehingg: 6x (6x ) (x ) 0 6 6x 0 tu x 6 0 6x tu x 6 Solusi Himpunn penyelesin dri persmn x + x 0 dlh.... {, 6 } {, 6 } c. {, 6 } d. {, 6 } e. {, 6 } Jwb: x + 0 ( )( + ) x 6 x 0 x 6 0 tu x + 0 x 6 tu x 6 x tu x Jwbn: e Sumber: UN SMK 00 x tu x 7 Jdi, himpunn penyelesinny dlh {, 7 }. Persmn dn Pertidksmn 7

67 Menyempurnkn Kudrt Dlm melengkpkn kudrt terhdp persmn kudrt x + bx + c 0, dpt dilkukn dengn beberp thp, yitu sebgi berikut. ) Pishkn konstnt tu pindhkn konstnt ke rus knn. x + bx c ) Jik, bgi kedu rus dengn. b x x c + ) Tmbhkn pd kedu rus kudrt dri kli koefisien x. b x x c b + + b + ) Nytkn dlm bentuk kudrt sempurn pd rus kiri. b c b x + + ) Tentukn penyelesin persmn kudrt sempurn di ts dengn menrik kr. b x + c b ± + Contoh Sol.6 Dengn melengkpkn kudrt, tentuknlh himpunn penyelesin untuk persmn kudrt di bwh ini:. x 6x + 0 c. x x 0 x + 9x + 0 d. x + x 6 0 Jwb:. x 6x + 0 x x x 6x 6x + 6x ( ) x 7 x ± 7 x ± x + 7 dn x 7 Jdi, himpunn penyelesinny dlh { 7, + 7 }. x x + 9x x 9 9 x + 9x x + 9x x 9 77 x + ± ± 9 x ± Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

68 x dn x Jdi, himpunn penyelesinny dlh { -9-77, }. c. x x 0 x x x x + + x x x x ± ± 6 x ± x + dn x Jdi, himpunn penyelesinny { - 7 d. x + x 6 0 x 6 + x x + x x + x x 9 9 x + ± ± 9 x ± , x dn x Jdi, himpunn penyelesinny { -- 9, }. }. c. Menggunkn Rumus bc Dlm melengkpkn kudrt sempurn, diperoleh cr mencri nili kr-kr persmn kudrt x + bx + c 0 dlh dengn menggunkn rumus b x + c b ± + Rumus tersebut dpt jug ditulis dlm bentuk b b c x, ± Persmn dn Pertidksmn 9

69 sehingg kr-kr persmn kudrt tersebut dlh: x b + b c, dn x b b c Contoh Sol.7 Dengn menggunkn rumus kudrt (rumus bc), tentuknlh himpunn penyelesin persmn kudrt di bwh ini:. x x 0 x x 6 0 c. x + 7x + 0 Jwb:. x x 0 Dengn nili, b, c mk x, x ( ) ± 6 ± + 0 ± ± ± ( ) + x ( ) Jdi, himpunn penyelesinny dlh {, + }. x x 6 0 Dengn nili, b, c 6 mk x, x ( ) ± ( ) 6 8 ± + 7 ± ; x ( ) Jdi, himpunn penyelesinny dlh { - 7 c. x + 7x + 0 Dengn nili, b 7, c mk 7 7 x, ± x ± ± x 0 0 Jdi, himpunn penyelesinny dlh { , + 7 }., } Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

70 . Menentukn Jenis Akr-Akr Persmn Kudrt dengn Pendektn Diskriminn Pd pembhsn sebelumny telh diperoleh cr mencri kr-kr persmn kudrt x + bx + c ( + 0,, b dn c riil) yitu dengn menggunkn rumus bc: b b c x, ± Pd rumus tersebut terdpt bentuk (b c) disebut diskriminn (D). Dengn menggunkn diskriminn (D b c), And dpt menentukn jenis kr-kr dri persmn kudrt, yitu:. Jik D > 0 mk persmn kudrt x + bx + c 0 mempunyi kr riil yng berlinn. Jik D berbentuk kudrt sempurn dn D 0 mk persmn kudrt memiliki kr riil berlinn dn rsionl jik, b, dn c bilngn rsionl. Jik D bukn bentuk kudrt sempurn dn D 0 mk memiliki kr riil berlinn dn irsionl Jik D < 0 mk persmn kudrt x + bx + c 0 tidk memiliki kr riil. c. Jik D 0 mk persmn kudrt x + bx + c 0 memiliki kr riil yng sm. Contoh Sol.8 Tentukn jenis kr-kr persmn kudrt berikut, tnp terlebih dhulu menentukn kr-krny.. x + x 0 c. x + x + 0 x x + 0 d. x x Jwb:. x + x 0 Dengn nili, b, c mk D ( ) 9 + Oleh kren D > 0 mk persmn kudrt x + x 0 mempunyi kr riil yng berbed. x x + 0 Dengn nili, b, c mk D ( ) Oleh kren D > 0 mk persmn kudrt x x + 0 mempunyi kr riil yng berbed. c. x + x + 0 Dengn nili, b, c mk D 9 Oleh kren D < 0 mk persmn kudrt x + x + 0 tidk mempunyi kr riil. d. x x Dengn nili, b, c 9 mk D ( ) 9 0 Oleh kren D 0 mk persmn kudrt x x mempunyi kr kembr. Solusi Dikethui x mx + m 0 supy kedu krny riil berbed dn positif hruslh.... m > 0 m > c. < m < tu m > 6 d. m > 6 e. m < tu m > 6 Jwb: x mx + m 0 Dengn nili, b m, c m, gr kedu krny riil berbed dn positif mk D > 0 b c > 0 ( m) ()(m ) 0 m m m 8m + 0 (m 6)(m ) 0 m 6 > 0 tu m > 0 m > 6 tu m > mk nili yng memenuhi m > 6 Jwbn: d Sumber: SPMB 00 Persmn dn Pertidksmn 6

71 Contoh Sol.9. Persmn kudrt px + ( p)x + p 0 mempunyi kr riil yng berbed. Tentukn nili p. Jwb: px + ( p)x + p 0 Dengn nili p, b p, c p mk D ( p) p p 8p + p p 8p Agr persmn kudrt tersebut mempunyi du kr riil yng berbed mk syrtny dlh D > 0 sehingg 8p > 0 8p > p < 8 p < Jdi, p <.. Jik persmn kudrt kx + kx + 0 mempunyi kr kembr, tentukn nili k dn tentukn kr-kr kembr tersebut. Jwb: kx + kx + 0 Dengn nili k, b k, c, gr persmn kudrt tersebut mempunyi kr riil yng sm mk syrtny D 0 sehingg k k 0 k k 0 k (k ) 0 k 0 tu k 0 mk k k 0, k dn k k sehingg {0, } Jik k 0 mk persmn semul bukn merupkn persmn kudrt. Jik k mk persmn semul menjdi x + x + 0 x + x + 0 Dengn nili, b, c p + q ; p q c Dengn cr mendug-dug diperoleh p dn q, sehingg: x + x + 0 ( x + ) x + 0 ( x + ) x + 0 x + 0 tu x + 0 x tu x Jdi, kr persmn kudrt tersebut dlh. 6 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

72 . Jumlh dn Hsil Kli Akr-kr Persmn Kudrt Pd pembhsn sebelumny, And dpt mencri kr-kr persmn kudrt dengn berbgi cr. Jik kr-kr persmn kudrt telh And peroleh mk And dpt mencri hsil kli dn jumlh kr-kr persmn kudrt tersebut. Bgimn hlny jik kr-kr persmn kudrtny belum And peroleh, dn And kn mencri jumlh dn hsil kli kr-kr persmn kudrt? Jumlh dn hsil kli kr-kr persmn kudrt dpt diperoleh dengn cr berikut ini. Mislkn persmn kudrt x + bx + c 0 memiliki kr-kr x, x : x x b b c b b c + ; x mk b b c b b c + x b b c b b c b - - b b Jdi, rumus kr-kr persmn kudrt dlh: x + x - rumus jumlh kr-kr persmn kudrt dlh: æ b b c b b c x x öæ ö èç ø èç ø ( ) ( ) - - -b b c ( ) ( ) b b c - - b b c - + c Solusi Akr-kr dri x x 9 0 dlh x dn x. Nili dri x + x c. Jwb: x x 9 0 d. e. 6 dengn nili, b, c 9 mk b x + x ( ) c 9 x x x + x x + x x x ( ) Jwbn: Sumber: Ebtns SMK 00 Jdi rumus persmn kr-kr persmn kudrt dlh, x x c Bentuk-bentuk simetri kr-kr persmn kudrt ) x + x (x + x ) x x (jumlh kudrt kr-kr) ) x + x (x + x ) x x (x +x ) ) x + x (x + x ) (x x ) Persmn dn Pertidksmn 6

73 Contoh Sol.0. Dikethui x, x merupkn kr-kr dri persmn kudrt x x + 0, tentukn nili dri:. x + x d. x x + x x x x e. x + + x + c. x + x And Psti Bis Jik x dn x dlh kr-kr persmn x + px + 0 mk... x x. q p q ( q p q ) ( ) ( ) ( ) ( ) c. p q d. q p q e. q p q Sumber: UMPTN 000 Jwb: x x + 0 Dengn nili, b, c, mk. b x + x - c x x c. d. e. x + x x + x x x x x x x x + + x x x ( ) - ( ) x x + + x + + x + x x ( ) + + x ( ) + ( x + x )+ x x + ( x + x )+ + + ( )+ ( + ) ( x + ) 7. Jik jumlh kudrt kr-kr persmn x x + k 0 dlh 0 mk tentukn nili k. Jwb: x x + k 0 Dengn nili, b, c k mk b x + x x x k x Jumlh kudrt kr-krny 0 + x 0 ( ) ( ) ( k ) 0 x + x x x 0 k k k k Jdi, nili k. 6 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

74 Jdi nili k.. Jik slh stu kr persmn x 0x + (k ) 0 dlh empt kli kr yng lin mk tentukn nili k dn kr-kr tersebut. Jwb: x 0x + (k ) 0 Dengn nili, b 0, c k dn slh stu kr empt kli kr yng lin c x x x x b x + x 8 k 0 x + x 0 6 k x k x x x 8 k 8 Jdi, nili k 8 sert x 8 dn x. Ltihn Sol. Kerjknlh sol-sol berikut.. Jik p dn q dlh kr dri persmn kudrt x x + 6 0, tentukn nili dri. + c. p + q p q p q + d. q p p q + q p. Jik x dn x kr persmn kudrt x x 7 0, mk tentuknlh nili dri:. x +x c. x + x. Slh stu kr persmn x x + n 0 dlh kurngny dri kli kr yng lin. Tentukn nili dri n.. Akr-kr persmn kudrt x x + x 0 dlh p dn q. Jik p + q 0, hitunglh nili.. Dikethui x dn x dlh kr dri persmn kudrt x 7 + x n + 0. Jik x x, tentuknlh nili n. x x + d. x x x x + x x. Menyusun Persmn Kudrt Bru. Menyusun Persmn Kudrt jik Dikethui Akr- Akrny Jik sutu persmn kudrt memiliki kr-kr x dn x mk persmn kudrtny dpt dinytkn dlm bentuk: (x x ) (x x ) 0 Persmn dn Pertidksmn 6

75 Contoh Sol. Susunlh persmn kudrt jik dikethui kr-krny:. dn dn c. dn Jwb:. x dn x (x ( )) (x ) 0 (x + ) (x ) 0 x x + x 6 0 x x 6 0, yitu dengn mengmbil x dn x ( x ) ( x ( ) ) 0 ( x ) ( x + ) 0 x 0 c. x dn x x x 0 ( ( )) x x 0 ( + ) x x 0 ( )( + ) x + x x 0 x + x 0 Menyusun Persmn Kudrt Jik Dikethui Jumlh dn Hsil Kli Akr-krny Jik sutu persmn kudrt memiliki kr-kr x dn x dn dikethui (x + x ) dn (x x ) mk persmn kudrtny dpt dinytkn dlm bentuk x (x + x )x + (x x ) 0 Bentuk persmn tersebut dpt digunkn untuk menyusun persmn kudrt bru jik dikethui kr-kr persmn kudrt bru berhubungn dengn persmn kudrt yng lin. Contoh Sol.. Tentukn persmn kudrt dengn rumus yng kr-krny dn. Jwb: x dn x x x 6 + x x 66 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

76 mk persmn kudrtny dlh x x + x x x 0 x ( ) + x 0 + x x 0. Tentukn persmn kudrt yng kr-krny lebihny dri krkr persmn x x + 0 Jwb: Mislkn, persmn kudrt bru memiliki kr x + x x + x Substitusikn x ke dlm persmn kudrt semul sehingg diperoleh: ( ) ( ) + 0 ( + ) Jdi, persmn kudrt bruny dlh Dikethui kr-kr persmn kudrt x 8x 0 dlh x dn x. Susunlh persmn kudrt bru yng kr-krny x x dn. x x Jwb: x 8x 0 Dengn nili, b 8, c mk 8 x + x 8 x x Mislkn, kr-kr persmn kudrt bruny dlh dn x x ; b x x x x x + b + x x + x x x ( x + x ) - x x x x x x b x x ( ) Jdi, persmn kudrt bruny dlh: x ( + b)x + ( b) 0 x ( )x + 0 x + x + 0. Solusi Persmn kudrt x + bx + c mempunyi kr x dn x. Jik x + x dn x x, persmn kudrt tersebut dlh.... x 6x 0 x + 6x 0 c. x x d. x + x 6 0 e. x 6x 0 Jwb: Dikethui, x + x, x x mk persmn kudrtny dlh x (x + x ) x + (x x ) 0 x -( ) x + æ ö - 0 èç ø x -x - 0 x -6 x - 0 Jwbn: Sumber: UN SMK 00 Persmn dn Pertidksmn 67

77 Ltihn Sol. Kerjknlh sol-sol berikut.. Susunlh persmn kudrt jik dikethui krkrny sebgi berikut.. dn c. dn dn d. dn. Tentukn persmn kudrt yng kr-krny kli dri kr persmn kudrt x x Dikethui kr-kr persmn kudrt x + 7x + 0 dlh x dn x, susunlh persmn kudrt bru yng kr-krny sebgi berikut.. x dn x dn x x c. x dn x x. Jik kr-kr persmn kudrt x + x 7 0 dlh x dn x, susunlh persmn kudrt bru. jik kr-krny x dn x.. Hrg krung bers yng bertny kg dlh kli dri hrg 0 kg cbe. Sedngkn hrg kwintl bers dn 60 kg cbe dlh Rp ,00. Jik Bu Din membeli 0 kg bers dn kg cbe. Berp ung yng hrus dibyr Bu Din. Cttn Klimt terbuk dlh klimt yng belum dpt ditentukn nili kebenrnny. Klimt tertutup dlh klimt yng dpt ditentukn nili kebenrnny. C. Pertidksmn Liner Pertidksmn liner dlh klimt terbuk yng menggunkn tnd <,, >, tu, dn mengndung vribel dengn pngkt bilngn bult positif dn pngkt tertingginy stu. Bentuk umum dri pertidksmn liner : dengn, b R, 0. x + b > 0; x + b 0 x + b < 0; x +b 0. Sift-Sift Pertidksmn. Sift tk negtif Untuk R mk 0. Sift trnsitif Untuk, b, c R jik < b dn b < c mk < c; jik > b dn b > c mk > c. c. Sift penjumlhn Untuk, b, c R jik < b mk + c < b + c; jik > b mk + c > b + c. Jik kedu rus pertidksmn dijumlhkn dengn bilngn yng sm tidk mengubh tnd ketidksmn. d. Sift perklin Jik < b, c > 0 mk c < bc. Jik > b, c > 0 mk c > bc. Jik < b, c < 0 mk c < bc. Jik kedu rus pertidksmn diklikn bilngn (riil) positif tidk kn mengubh tnd ketidksmn, sedngkn jik diklikn bilngn negtif kn mengubh tnd ketidksmn. e. Sift keblikn Jik > 0 mk > 0. Jik < 0 mk < Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

78 Sutu bilngn dn kebliknny memiliki tnd yng sm bik untuk bilngn positif mupun negtif. Contoh Sol. Tentukn himpunn penyelesin dri pertidksmn berikut.. x + x x 6 x 9 c. x 7 > x Jwb:. x + x x x + x x (kedu rus dikurngi x) x + x + (kedu rus dikurngi ) x 9 x 6 x 9 x x 6 x x 9 (kedu rus dikurngi x) x 6 9 x (kedu rus ditmbh 6) x x (kedu rus dibgi ) x c. x 7 x x x 7 x x (kedu rus dikurngi x) x 7 x (kedu rus ditmbh 7) x x (kedu rus dibgi ) x. Himpunn Penyelesin Pertidksmn Himpunn penyelesin dri pertidksmn dpt digmbrkn pd gris bilngn, khususny untuk himpunn penyelesin berup intervl. Bts-bts intervl digmbrkn dengn menggunkn tnd " " (bultn penuh) tu " " (bultn kosong). Tnd bultn penuh menunjukkn bilngn tersebut termsuk ke dlm himpunn penyelesin, dn tnd bultn kosong menunjukkn bilngn tersebut tidk termsuk ke dlm himpunn penyelesin. Berikut ini beberp bentuk dri intervl yng sering dijumpi dlm pertidksmn. Gris bilngn Himpunn Intervl tertutup Solusi Himpunn penyelesin dri pertidksmn x <, x R dlh.... {x x >, x R} {x x <, x R} c. {x x >, x R} d. {x x <, x R} e. {x x > 8, x R} Jwb: x < x < 9 x < 8 x > 8 x > Jdi, himpunn penyelesinny dlh {x x >, x R} (, ) s Jwbn: Sumber: Ebtns SMK 00 b Intervl setengh tertutup b b Intervl terbuk {x x b, x R} [, b] {x x < b, x R} [, b) {x < x b, x R} (, b] Persmn dn Pertidksmn 69

79 b {x < x < b, x R} (, b) Intervl setengh gris {x x, x R} [, ) {x x >, x R) (, ) {x x, x R) (-, ] {x x <, x R) (-, ) Contoh Sol.. Tentukn himpunn penyelesin dri x 7 + x dn tunjukkn dengn gris bilngn jik :. x B x R Jwb: x 7 + x x x + 7 x 0 x 0 x. Himpunn penyelesin {x x, x B} Himpunn penyelesin {x x x R}. Tunjukkn dengn gris bilngn,. {x x, x R} {x x, x B} c. {x < x, x R} Jwb:. {x x, x R} {x x, x B} 0 c. {x < x, x R} 70 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

80 Ltihn Sol. Kerjknlh sol-sol berikut.. Tentukn himpunn penyelesin untuk pertidksmn berikut dengn x R.. x 7 x x + 7x 6 c. x x d. 7 x x e. (x + 0) + (x + ). Tentukn himpunn penyelesin untuk pertidksmn berikut dn sjikn dlm gris bilngn untuk x R.. x + x + c. x + x + x + x d. (x ) + x 6. Gmbrlh pd gris bilngn, himpunn berikut ini:. {x x, x B} {x x, x R} c. {x x >, x R} d. {x x <, x R} e. {x < x < 9, x R} f. {x x < tu x <, x R} D. Pertidksmn Kudrt Sutu klimt terbuk yng memut vribel dengn pngkt positif dn memiliki pngkt tertinggi du dihubungkn dengn tnd disebut pertidksmn kudrt. Bentuk umum pertidksmn kudrt : dengn, b, dn c R dn 0. x + bx + c > 0 x + bx + c 0 x + bx + c < 0 x + bx + c 0. Menyelesikn Pertidksmn Kudrt Menyelesikn pertidksmn kudrt lebih mudh pbil menggunkn gris bilngn. Menentukn himpunn penyelesin pertidksmn kudrt berbed dengn menentukn himpunn penyelesin pertidksmn liner. Pd pertidksmn liner, And dpt lngsung menentukn derh penyelesin setelh memperoleh himpunn penyelesinny. Adpun pd pertidksmn kudrt And hrus menentukn derhny terlebih dhulu untuk dpt menentukn himpunn penyelesinny. Berikut ini beberp lngkh yng hrus diphmi dlm menyelesikn pertidksmn kudrt.. Nytkn bntuk pertidksmn kudrt dengn cr menjdikn rus knn sm dengn nol Tentukn kr-kr dri pertidksmn kudrt dengn cr memfktorkn, melengkpkn kudrt sempurn, tu rumus bc c. Tentukn nili-nili pembut nol dri kr-kr petidksmn kudrt pd thp d. Gmbrknlh nili-nili pembut nol yng diperoleh pd lngkh pd digrm gris bilngn Solusi Himpunn penyelesin dri pertidksmn x + x 0, x R dlh.... {x x 6, x R} {x 6 x, x R} c. {x x 6, x R} d. {x x tu x 6, x R} e. {x x 6 tu x, x R} Jwb: x + x 0 x + x 0 (x + 6) (x ) 0 x tu x 0 x 6 tu x mbil x 0 x + x (negtif) Jdi, himpunn penyelesinny dlh {x 6 x, x R} Jwbn: b Sumber: UAN SMK 00 x x e. Tentuknlh tnd di derh sekitr pembut nol, yitu + tu dengn cr menyubstitusikn nili x yng lebih besr tu lebih kecil dri x tu x. Persmn dn Pertidksmn 7

81 f. Himpunn penyelesin dri sutu pertidksmn diliht dri tnd pertidksmnny. Jik tndny < tu mk derh hsil yng dimksud dlh derh negtif. Dn jik tndny > tu mk derh hsil yng dimksud dlh derh negtif. Himpunn penyelesin dri pertidksmn tersebut dinytkn dlm bentuk intervl. Contoh Sol.. Tentukn himpunn penyelesin dri pertidksmn x x 0, untuk x R. Jwb: x x 0 x x 0 (x 7) (x + ) 0 x 7 x mbil x 0 x x 0. 0 (negtif) Jdi himpunn penyelesinny dlh { x x 7, x R}.. Tentukn himpunn penyelesin dri pertidksmn x + x + < x + x, untuk x R. Jwb: x + x + < x + x x + x + x x + < 0 x + 6 < 0 x 6 > 0 x 6 0 (x ) (x + ) 0 x tu x mbil x 0 x (negtif) + + Jdi, himpunn penyelesin dlh {x x < tu x >, x R}. Ltihn Sol. Kerjknlh sol-sol berikut.. Tentukn himpunn penyelesin untuk pertidksmn di bwh ini.. x + x 0 c. x + x 6 < 0 x x 0 d. x + x 7 > 0. Tentukn himpunn penyelesin untuk pertidksmn di bwh ini :. x + x < c. > x 7x x d. 9x x < x +. Sebuh peluru ditembkkn ke ts dri ketinggin m di ts tnh. Jrk yng dicpi oleh peluru setelh t detik ditentukn oleh s + 0t t. Kpn peluru berd pd ketinggin tidk kurng dri 7 m di ts tnh? 7 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

82 E. Sistem Persmn Liner Di SMP, And telh mempeljri mteri mengeni sistem persmn liner. Msih ingtkh And p sistem persmn liner itu? Sistem persmn liner dlh sutu sistem persmn yng peubh-peubhny berpngkt stu. Sistem persmn liner dpt terdiri dri du tu lebih vribel. Untuk pembhsn kli ini nd kn mempeljri kembli mengeni sistem persmn liner (SPL). Bentuk umum dri sistem persmn liner du vribel dlh sebgi berikut : x + b y c x + b y c dengn, b, dn c R. Berdsrkn grdien gris (m) dn nili c pd persmn gris y mx + c, SPL memiliki tig kemungkinn bnykny penyelesin.. Memiliki sebuh penyelesin jik m m. y g g HP x. Memiliki bnyk penyelesin jik m m dn c c.. y g g HP di sepnjng gris. Tidk memiliki penyelesin jik m m dn c c. x y g gris tidk g berpotongn x Dlm menentukn penyelesin dri SPL, And dpt menggunkn beberp cr berikut ini :. grfik;. eliminsi;. substitusi;. gbungn (eliminsi dn substitusi);. Aturn Crmer (determinn). Pd pembhsn kli ini kit kn menggunkn metode untuk menentukn penyelesin dri SPL yitu eliminsi, substitusi, dn gbungn. Persmn dn Pertidksmn 7

83 Info Mth Krl Friederich Guss (777 8) Sumber: content.nswers.com Metode Substitusi untuk menyelesikn persmn dengn beberp vribel bersl dri zmn kuno. Metode eliminsi, wlupun telh dikenl sejk beberp bd yng llu, tetpi bru dibut sistemtis oleh Krl Friederich Guss (777 8) dn Cmille Jordn (88 9). Sumber: Preclculus, 999. Metode Eliminsi Eliminsi rtiny menghilngkn slh stu vribel dri sistem persmn liner dengn cr menjumlhkn tu mengurngkn du buh persmn liner dlm sutu sistem persmn. Dlm menentukn vribel mn yng hrus dieliminsi liht vribel yng koefisiensiny sm, dn jik tidk d yng sm mk And klikn dengn koefisien-koefisien vribel yng kn dieliminsi secr silng. Contoh Sol.6 Tentukn penyelesin dri SPL berikut: x y x + y dengn metode eliminsi. Jwb: Dri sol dikethui bhw, tidk d vribel yng memiliki koefisien sm mk And hrus menytkn koefisien dri vribel yng kn dieliminsi. Mislkn, vribel y yng kn dieliminsi terlebih dhulu diperoleh : x y x y 6 x + y x + y + 7x 8 x 8 7 x Selnjutny, dengn cr yng sm eliminsi x, diperoleh: x y 6x y 9 x + y 6x + y 7y y 7 y Jdi, penyelesin SPL di ts dlh {(, )}.. Metode Substitusi Penyelesin dengn metode substitusi dilkukn dengn cr menggnti slh stu vribel dengn vribel yng linny sehingg diperoleh persmn liner stu peubh. Contoh Sol.7 Tentukn penyelesin dri SPL berikut: ìx + y í ï ( ) îï x - y - ( ) Jwb: x + y x y Substitusikn x y ke persmn () sehingg diperoleh ( y) y 6y y y y y y 7 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

84 Substitusi y ke persmn x y sehingg diperoleh: x. 9 Jdi, penyelesin SPL {(,)}.. Metode Gbungn Metode ini merupkn perpdun ntr metode eliminsi dn substitusi. Dengn metode ini sistem persmn liner di eliminsi terlebih dhulu, kemudin untuk menentukn vribel yng linny digunkn metode substitusi. Contoh Sol.8 Tentukn himpunn penyelesin dri SPL berikut: x + y x y 0 Jwb: Eliminsi nili x untuk mendptkn nili y x + y 6x + 9y x y 0 6x 8y 60 7y 0 y 0 7 y 6 Substitusikn y 6 ke dlm persmn x + y, sehingg diperoleh: x + y x + ( 6) x 8 x x Jdi, himpunn penyelesinny dlh {(, 6)}. Solusi Hrg buh buku dn penggris Rp9.000,00. Jik hrg sebuh buku Rp00,00 lebih mhl dri hrg sebuh penggris, hrg sebuh buku dn buh penggris dlh.... Rp6.00,00 Rp7.000,00 c. Rp8.000,00 d. Rp8.00,00 e. Rp9.000,00 Jwb: Mislkn, hrg buku x hrg penggris y mk model mtemtik x + y 9000; x y + 00 Gunkn metode substitusi: Substitusi x y + 00 ke persmn x + y x + y 9000 (y + 00) + y y y y 7.00 y.00 mk hrg penggris dlh Rp.00,00 dn hrg buku x y Rp.000,00. Sehingg hrg buku dn penggris (.00) Rp6.00,00 Jwbn: Sumber: UN SMK 00 Ltihn Sol.6 Kerjknlh sol-sol berikut.. Tentukn penyelesin dri SPL berikut :. x y 0 0, x +, y 0 c. x + y, x, y 6, 9 x + y + d. x y x + y + 8 x 7. Du buh bilngn jumlhny dn selisihny. Tentukn kedu bilngn itu.. Sebuh gedung bioskop jumlh penontonny 0 orng. Setip orng yng menonton di kels I, krcisny Rp.000,00 dn penonton kels II per orng membyr Rp.000,00. Jik ung yng terkumpul dri penjuln krcis Rp ,00, berpkh bnykny penonton di setip kels? Persmn dn Pertidksmn 7

85 Rngkumn. Persmn liner dlh sutu persmn dengn vribel yng mempunyi pngkt bult positif dn pngkt tertinggi vribelny stu. Dengn bentuk umum persmn liner dlh x + b 0 dengn, b R dn 0.. Persmn kudrt dlh sutu persmn dengn stu vribel yng mempunyi pngkt bult positif dn pngkt tertinggi dri vribel dlh du. Bentuk umum persmn kudrt dlh : x + bx + c 0 dengn, b, dn c R dn 0.. Penyelesin persmn kudrt dpt dilkukn dengn beberp cr, yitu:. memfktorkn, menyempurnkn kudrt, c. menggunkn rumus kudrt (rumus bc), yitu x, b ± b c. Untuk menentukn jenis kr-kr persmn kudrt dpt digunkn rumus diskriminn (D b c). Jik D > 0, persmn kudrt memiliki kr riil yng berlinn. Jik D 0, persmn kudrt memiliki kr rill yng sm. c. Jik D < 0, persmn kudrt tidk memiliki kr rill.. Jik persmn kudrt x + bx + c 0 mk dengn rumus bc kn diperoleh rumus berikut.. Rumus jumlh kr-kr persmn kudrt, yitu:. 6. Untuk penyusunn persmn kudrt. jik dikethui kr-krny x dn x mk persmn kudrtny (x - x ) (x - x ) 0 jik dikethui jumlh dn hsil kli kr-krny (x + x ) dn (x x ) 0 mk persmn kudrtny x (x + x ) x + (x x ) Pertidksmn liner dlh klimt terbuk yng menggunkn tnd pertidksmn (<,, >, dn ) dn memiliki vribel dengn pngkt bilngn bult positif dn pngkt tertingginy stu. Bentuk umum : x + b > 0; x + b 0; x + b < 0; x + b Pertidksmn kudrt dlh klimt terbuk yng memut vribel dengn pngkt bult positif dn memiliki pngkt tertinggi du yng dihubungkn dengn tnd ketidksmn. Bentuk umum : x + bx + c > 0; x + bx + c 0; x + bx + c < 0; x + bx + c Himpunn penyelesin dri pertidksmn liner dn pertidksmn kudrt dinytkn dengn menggunkn gris bilngn. 0. Untuk menentukn himpunn penyelesin pd sistem persmn liner du vribel, dpt menggunkn:. metode grfik, metode eliminsi substitusi, c. metode gbungn. x + x b Rumus hsil kli kr-kr persmn kudrt, yitu: x. x c 76 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

86 Alur Pembhsn Perhtikn lur pembhsn berikut: Mteri tentng Persmn dn Pertidksmn dpt digmbrkn sebgi berikut. Persmn dn Pertidksmn membhs Persmn Pertidksmn Liner Kudrt Liner Kudrt mempeljri Mencri Himpunn Penyelesin Menyusun Persmn dri Akr-Akr mempeljri Mencri Himpunn Penyelesin dengn Menggunkn Gris Bilngn Stu Vribel Du Vribel dpt membentuk mempeljri SPL mempeljri Mencri Himpunn Penyelesin Mencri Himpunn Penyelesin Kt Mutir Keggln bisny merupkn lngkh wl menuju sukses, tnp sukses itu sendiri sesungguhny bru merupkn jln tk berketentun menuju punck sukses. Lmbert Jeffries Persmn dn Pertidksmn 77

87 Ltihn Sol Bb A. Pilihlh slh stu jwbn dn berikn lsnny.. Himpunn penyelesin (x 6) + (x + ) (x ) dlh.... d. e. c.. Himpunn penyelesin dri : x x x + + dlh.... d. e. 0 c.. Hrg kg bers dlh tig kli hrg kg tepung terigu. Hrg 6 kg bers dn kg tepung terigu dlh Rp6.00,00. Jik Putri membeli kg bers dn kg tepung terigu, berp rupihkh Putri hrus membyr?. Rp.00,00 d. Rp.000,00 Rp.00,00 e. Rp.00,00 c. Rp.00,00. Jik x + < x + mk nili x yng memenuhi 6 dlh Himpunn penyelesin dri pertidksmn (x ) < (x ) dlh.... {x x > } d. {x x > } {x x < } e. {x x > } c. {x x < } 8. Persmn kudrt yng kr-krny dn dlh.... x - 7x x - 0x + 0 c. x - x + 0 d. x x + 0 e. x - x 0 9. Agr persmn x + (k + )x + (k + ) 0 mempunyi kr kembr mk nili k.... ± 8 d. ± ± e. ± c. ± 0. Jik p dn q dlh kr-kr persmn x - x + 0 mk p q + p q.... x < x < 6 c. x < d. x > 6 e. x >. Nili terbesr x gr x x x + dlh d. e. c. 6. Penyelesin dri t ( + t) dlh.... t d. 0 t < t > e. t c. t. c. d. 9 e. 7. Jik persmn x x mempunyi krkr bdn b dengn b b mk b+b d. e. 8 c.. Persmn kudrt yng kr-krny lebih dri kr-kr persmn kudrt x + x 0 dlh.... x - x d. x + x - 0 x - x e. x + 8x - 0 c. x + x Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

88 . Nili x yng memenuhi pertidksmn x 8x + > 0 dlh.... x < tu x > x > tu x > c. x < tu x < d. x > tu x < e. x > tu x >. Nili x yng memenuhi pertidksmn x < 9 dlh.... x > d. x < tu x > x > e. x < tu x > c. < x <. Nili yng memenuhi x x - 0 dlh.... < x d. x < x e. x c. < x < 6. Himpunn penyelesin pertidksmn (x + )x (x + ) dlh.... {x x tu x } {x x tu x } c. {x x } d. {x x } e. {x x } 7. Bentuk pertidksmn x + x + 0 kn bernili benr jik.... x d. x < tu x x e. Semu bilngn riil c. x < tu x 8. Himpunn penyelesin dri x y 0 x + y dlh.... { 8, } d. { 6, } { 6, } e. { 6, } 6 c. {, } 9. Himpunn penyelesin dri x + y x + y 9 dlh x 0 dn y 0 mk nili dri x 0 dn y 0 dlh.... d. 8 6 e. 9 c Himpunn penyelesin dri x + y 8 x + y 7 dlh.... {, 6} d. {, 6} {, 6} e. {, 6} c. {, 6} Persmn dn Pertidksmn 79

89 B. Jwblh sol-sol berikut.. Tentukn himpunn penyelesin dri persmn kudrt berikut.. x x - 0 x x +. Tentukn jenis kr-kr dri persmn kudrt berikut. x + 6x 8 x + x 0 c. x + x 0. Pnjng dn lebr sebuh rungn berselisih cm. Jik lus rungn tersebut cm, berpkh ukurn pnjng dn lebrny?. Tentun himpunn penyelesin pertidksmn kudrt berikut.. x x 6 x 7x + 0 c. (x ) (x + ) < x( x) d. (x ) > x. Himpunn penyelesin dri x y 6 x + y dlh x 0 dn y 0. Crilh nili x 0 y Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

90 Bb IV Sumber: Mtriks Pd bb sebelumny, And telh mempeljri persmn dn pertidksmn. Bentuk persmn dpt diubh ke bentuk mtriks untuk mempermudh dlm perhitungn, mislny pliksi berikut ini. Ti, Mirn, dn Yenny kn memesn mcm kue, kue yng dipesn Ti, dlh kue rs cokelt, kue rs keju, dn kue rs susu. Mirn memesn kue rs cokelt, kue rs keju, dn kue rs susu, sedngkn Yenny memesn kue rs cokelt, kue rs keju, dn kue rs susu. Jik hrg untuk stu kue rs cokelt, kue rs keju, dn kue rs susu msing-msing dlh Rp.000,00, Rp.00,00, dn Rp.00,00. Berpkh jumlh ung yng hrus dibyrkn oleh msingmsing orng? Mslh tersebut dpt diselesikn dengn menggunkn mtriks. Untuk itu, peljrilh bb ini dengn bik. A. Pengertin dn Jenis Mtriks B. Opersi Aljbr pd Mtriks C. Determinn dn Invers Mtriks D. Apliksi Mtriks dlm Penyelesin Sistem Persmn Liner Du Vribel 8

91 Tes Kompetensi Awl Sebelum mempeljri bb ini, kerjknlh sol-sol berikut.. Selesikn persmn berikut ini.. x + (x + 9) + 6 x + 0. Selesikn sistem persmn liner berikut dengn metode gbungn eliminsi dn substitusi.. x + y x y x + y 0 x + y A. Pengertin dn Jenis Mtriks Sumber: smtfiles.wordpress.com Gmbr. Dt bsensi sisw dpt ditmpilkn dlm bentuk mtriks. Pengertin Mtriks Dlm kehidupn sehri-hri And psti sering dihdpkn pd informsi yng disjikn dlm bentuk tbel. Sebgi contoh, jik And seorng pecint sepkbol, And psti sering memperhtikn dn mencri informsi mengeni klsemen sementr dri kejurn yng diikuti oleh tim kesyngn And. Bnyk informsi yng sering disjikn dlm bentuk tbel, dintrny dt rekening telepon, dt tgihn listrik, dt tbungn, hrg penjuln brng, dt bsensi sisw dn lin-lin. Sebgi ilustrsi wl untuk memhmi pengertin mtriks, peljri urin berikut. Dikethui dt kunjungn wistwn, bik domestik mupun sing di sutu objek wist selm empt buln berturut-turut, disjikn dlm tbel berikut (dlm ribun). Wistwn Tbel.. Jumlh kunjungn wistwn domestik dn sing Buln I II III IV Domestik Asing Berdsrkn Tbel., And psti memperhtikn setip keterngn yng d terkit jumlh wistwn domestik mupun sing dlm bentuk ngk yng terter pd tbel yng disusun letkny berdsrkn bris dn kolom. Tbel yng bru And bc dpt disederhnkn dengn menghilngkn keterngn-keterngn yng terdpt pd tbel, dn menggnti tbel dengn tnd kurung seperti berikut ini Kini, dt yng telh diubh bentukny hny terdiri ts bilngnbilngn yng disusun menurut bris dn kolom. Bentuk bru seperti inilh yng dinmkn sebgi mtriks. Mtriks merupkn kumpuln bilngn yng tersusun menurut bris dn kolom sedemikin sehingg tmpk seperti bentuk sebuh persegipnjng. Sebuh mtriks memut tnd kurung sebgi pembts. Tnd kurung yng digunkn dpt berup tnd kurung bis tupun tnd kurung siku. Pd umumny, mtriks diberi nm dengn memki huruf kpitl, seperti A, 8 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

92 B, C. Bilngn-bilngn yng menyusun sebuh mtriks dinmkn unsur tu nggot dri mtriks tersebut dn dinotsikn dengn huruf kecil berindeks yng menytkn letk dri unsur tersebut dlm mtriks (bris dn kolom). Perhtikn kembli mtriks pd urin sebelumny. Mislkn mtriks tersebut dlh mtriks A mk A Pd mtriks A, yng dimksud dengn dlh unsur dri mtriks A yng berd pd bris kedu dn kolom ketig, yitu. Jik And perhtikn, mtriks A terdiri ts buh bris dn buh kolom. Bnykny bris dn kolom yng menyusun sebuh mtriks dinmkn sebgi ordo tu ukurn mtriks. Sehingg mtriks A disebut sebgi mtriks berordo. Secr umum, mtriks dengn m bris dn n kolom dpt disjikn sebgi berikut. A m n é ù... n... n ú úúúú ëê m m... mn û bris bris bris m Info Mth Arthur Cyley (8 89) kolom kolom kolom n Contoh Sol. Dikethui, mtriks B Tentukn:. ordo mtriks B, b dn b, c. bnykny elemen pd mtriks B. Jwb:. Ordo dri mtriks B dlh kren mtriks B terdiri dri bris dn kolom. b rtiny unsur mtriks B yng terletk pd bris ke- dn kolom ke- sehingg b. b rtiny unsur mtriks B yng terletk pd bris ke- dn kolom ke- sehingg b. c. Mtriks B memiliki 6 unsur. Teori tentng mtriks pertm kli dikembngkn oleh Arthur Cyley (8 89) pd 87. Sekrng, mtriks telh menjdi lt yng bergun di berbgi bidng. Adpun metode determinn ditemukn oleh Seki Kow (6 708) pd 68 di Jepng dn ditemukn pul oleh Gottfried Wilhelm Von Leibnitz (66 76) di Jermn. Keduny hny menggunkn mtriks dlm persmn liner. Sumber: Finite Mthemtics nd It's Applictions, 996 Mtriks 8

93 Contoh Sol. Tentukn mtriks koefisien dri sistem persmn liner berikut. x + y z 6 x y + z x + y z 9 Jwb: Mtriks koefisien dri sistem persmn tersebut dlh Tugs. Diskusikn dengn temn sebngku And.. Apkh mtriks persegi merupkn mtriks digonl? Berikn lsnny.. Apkh mtriks digonl merupkn mtriks persegi? Berikn lsnny.. Jenis-Jenis Mtriks Mtriks terdiri ts berbgi jenis ntr lin, mtriks nol, mtriks bris, mtriks kolom, mtriks persegi, mtriks segitig ts, mtriks segitig bwh, mtriks digonl, dn mtriks identits. Agr And lebih memhmi mengeni jenis mtriks tersebut perhtikn urin mteri berikut.. Mtriks Nol Mtriks nol dlh mtriks yng semu elemenny bernili nol, contohny é0 0ù 0 0 A 0 0 B 0 0 C [ 0 0 0] ê ë0 0ú û Semu unsur pd mtriks A, B, dn C dlh ngk 0, sehingg disebut sebgi mtriks nol. Mtriks Bris Mtriks bris dlh mtriks yng hny terdiri ts stu bris sj, contohny P [ ] Q [- ] R [ 6 0-6] Mtriks P berordo, Q berordo, dn R berordo. Mtriks P, Q, dn R di ts hny memiliki stu bris sj sehingg disebut sebi mtriks bris. c. Mtriks Kolom Mtriks kolom dlh mtriks yng terdiri ts stu kolom, contohny é-ù é K ù ê ëú L M û 6 ëê ûú Mtriks K berordo, mtriks L beordo, dn mtriks M berordo. Mtriks K, L, dn M di ts hny memiliki stu kolom sj sehingg disebut sebgi mtriks kolom. d. Mtriks Persegi Mtriks persegi dlh mtriks yng bnyk bris dn bnyk kolomny sm, contohny é 0 -ù 8 N 7 M 6-0 ê ë 6 ú û 8 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

94 Mtriks N berordo dn mtriks M berordo. Kren bnykny bris sm dengn bnykny kolom, mk mtriks N dn M disebut sebgi mtriks persegi. e. Mtriks Segitig Ats Mtriks segitig ts dlh mtriks persegi yng elemen di bwh digonl utmny bernili nol, sebgi contohny b c 0 d e 0 0 f digonl utm f. Mtriks Segitig Bwh Mtriks segitig bwh dlh mtriks persegi yng elemen di ts digonl utmny bernili nol, contohny 0 0 b c 0 d e f g. Mtriks Digonl Mtriks digonl dlh mtriks persegi yng elemen-elemenny bernili nol, keculi pd digonl utmny tidk sellu nol, sebgi contoh b c h. Mtriks Identits Mtriks identits dlh mtriks sklr yng elemen-elemen pd digonl utmny bernili, Kesmn Du Mtriks Dlm mtriks dikenl dny kesmn du mtriks yng didefinisikn sebgi berikut. Du mtriks diktkn sm jik ordo yng dimiliki keduny sm, dn elemen-elemen yng bersesuin (seletk) sm. Supy And lebih memhmi definisi tersebut, peljri contoh sol berikut. Contoh Sol. Dikethui mtriks-mtriks berikut. A C 0 0 B D 0 Solusi Dikethui mtriks b c b Nili dri + b + c.... d. 8 e. 0 c. 6 Jwb: b c b 8 Nili dri + b + c Jwbn: b Sumber: UAN SMK 00 Mtriks 8

95 Solusi Tentukn pkh:. A B, c. A D. A C, Jwb:. A B kren ordo mtriks A tidk sm dengn ordo mtriks B. A C kren ordo mtriks A sm dengn ordo mtriks B dn elemenelemen yng bersesuin pd mtriks A sm dengn elemen-elemen pd mtriks C. c. A D kren elemen-elemen yng bersesuin pd kedu mtriks tersebut d yng tidk sm, yitu d. Jik p P p + q 7 8, Q q r 6 8 dn P Q T mk nili p, q, dn r berturut -turut dlh....,, dn,, dn 9 c.,, dn d.,, dn e.,, dn Jwb: P Q T Q T q Contoh Sol. x Jik A dn B y mk tentuknlh nili x + y. Jwb: x y Kren A B mk diperoleh x dn y x y Dengn demikin, x + y + ( ) Jdi, nili dri x + y dlh. dn A B P Q T p 6 p + q r q p 6 p p + q 7 + q 7 q q r q r Jdi, nili dri p, q dn r. Jwbn: d Sumber: UN SMK 007. Trnspos Mtriks é ù Dlm sebuh mtriks A dimn A, setip bris dri mtriks ê ë ú û A dpt diubh menjdi kolom dn jug seblikny setip kolom dri mtriks A menjdi bris dri sutu mtriks yng bru mislny mtriks B, mk mtriks B disebut trnspos dri mtriks A, ditulis: B A T é ù B. ê ë ú û Contoh Sol. Jik A Tentukn:. A T B T dn B 0 86 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

96 Jwb:. é -ù A mk A T é ù ê ú ê ú ë û ë û é ù B mk B T é 0 ù 0 ê ú ê ë- ú ë û û Contoh Sol.6 Dikethui mtriks-mtriks berikut. x R S dn y Jik R S T, tentukn nili x + y. Jwb: y x S T S x y kren R S T mk y x Dri persmn tersebut diperoleh x dn y x 8 y dengn demikin, x + y Jdi, nili x + y dlh 8. Ltihn Sol. Kerjknlh sol-sol berikut.. Dikethui mtriks berikut. 0 B Tentukn:. ordo mtriks B, elemen-elemen pd kolom ke- mtriks B, c. nili dri b dn b.. Untuk setip sistem persmn liner berikut, tulislh mtriks koefisienny.. x + y x y x 8 6x + y x y + z c. x + y z 7 x + y z 6. Dikethui p p A B + 8 q dn 0 Jik A B, tentukn nili p + q. Mtriks 87

97 . Dikethui kesmn mtriks berikut. b c b Tentukn nili + b + c.. Tentukn mtriks trnspos dri mtriks-mtriks berikut. c. P b d c. Q R 6. Dikethui K x dn L x + y 6 Jik K L T, tentukn nili dri x dn y yng memenuhi persmn tersebut. B. Opersi Aljbr pd Mtriks Sumber: dunimusikinstrument.com Gmbr. Menggmbrkn sejumlh lt musik yng kn dibeli oleh SMK A dn B di sutu toko lt musik Pd subbb sebelumny, telh And peljri mengeni pengertin, jenis-jenis, kesmn, dn trnspos dri sutu mtriks. Peljrn selnjutny pd subbb ini dlh opersi ljbr pd mtriks. Jdi, sm seperti pd bilngn, pd mtriks pun berlku sift-sift opersi ljbr.. Penjumlhn dn Pengurngn Mtriks Sebgi ilustrsi wl, supy And lebih memhmi penjumlhn pd mtriks, peljrilh urin berikut. Di sebuh kot terdpt du SMK yng menyelenggrkn progrm kesenin khususny gitr, pino, drum, dn biol. Berikut ini dlh tbel yng menyjikn jumlh lt-lt musik yng dimiliki oleh kedu sekolh tersebut. Tbel.. Jumlh lt-lt musik yng dimiliki SMK Gitr Pino Drum Biol SMK A 0 6 SMK B 8 9 Berdsrkn Tbel.. di ts SMK A memiliki 0 gitr, pino, drum, dn 6 biol. SMK B memiliki 8 gitr, pino, drum, dn 9 biol. Dikrenkn pd thun jrn bru ini kedu SMK tersebut menmbh dy tmpung siswny sedemikin rup sehingg lt-lt musik yng diperlukn untuk kegitn beljr-mengjr pun perlu ditmbh. Oleh kren itu, kedu SMK tersebut melkukn pembelin lt-lt musik bru untuk melengkpi kekurngn lt-lt musik pd msing-msing SMK. Dftr jumlh pembelin lt-lt musik bru yng dibeli oleh kedu SMK tersebut disjikn dlm tbel berikut. Tbel.. Jumlh lt-lt musik yng di beli SMK Gitr Pino Drum Biol SMK A 6 SMK B 7 88 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

98 Berdsrkn tbel.. dikethui bhw SMK A membeli 0 gitr, pino, 7 drum, dn 6 biol, sedngkn SMK B memiliki gitr, pino, drum dn 7 biol. Setelh dny penmbhn lt-lt musik tersebut, dptkh And menentukn bnykny lt-lt musik menurut jenisny di msing-msing SMK tersebut? Dpt dipstikn And dpt menjwb pertnyn tersebut kren And hny tinggl menjumlhkn msing-msing bnykny lt musik pd setip SMK, menurut jenis lt musikny. Proses penjumlhn pd kedu tbel tersebut sm dengn proses penjumlhn tupun pengurngn pd mtriks. Elemen-elemen yng dijumlhkn tupun dikurngkn hrus sejenis dn pd sumber yng sm (mislny, bnykny gitr pd SMK A psti ditmbhkn dengn bnyk gitr yng dibeli oleh SMK A). Du buh mtriks dpt dijumlhkn tu dikurngkn pbil ordo dri kedu mtriks tersebut sm. Opersi penjumlhn dn pengurngn pd mtriks dilkukn dengn cr menjumlhkn tu mengurngkn elemen-elemen yng bersesuin (seletk). Jik kedu dt pd tbel And ubh ke dlm bentuk mtriks, And kn memperoleh mtriks A dn B berikut ini. A B 6 Jik mtriks A dn mtriks B dijumlhkn, diperoleh A + B Dn jik mtriks A dikurngi mtriks B, diperoleh A B Mislkn, Tugs. A B 7 dn C Hitung:. (A + B) e. (B + C) (B + A) f. (A + B) + C c. (A B) g. A + (B + C) d. (B A) Dri hsil yng And peroleh, p yng dpt And simpulkn? Contoh Sol.7 Dikethui mtriks-mtriks berikut. A B C D Tentukn:. A + C B D Mtriks 89

99 c. A + B d. D A Jwb:. A + C + 0 ( ) Tugs. Mislkn, A B, p dn q Hitung:. (p + q) A dn pa + qa p (A + B) dn pa + pb c. p (qa) dn (pq) A Dri hsil yng And peroleh, p yng dpt And simpulkn? B D ( ) c. Pd mtriks A dn mtriks B tidk dpt dilkukn opersi penjumlhn kren ordo mtriks A tidk sm dengn ordo mtriks B. d. Pd mtriks D dn mtriks A tidk dpt dilkukn opersi pengurngn kren ordo mtriks D tidk sm dengn ordo mtriks A.. Perklin Sklr dengn Mtriks Jik A dlh sutu mtriks dn k dlh bilngn riil mk ka dlh mtriks bru yng elemen-elemenny diperoleh dri hsil perklin k dengn setip elemen pd mtriks A. Supy And lebih memhminy, peljri contoh berikut dengn bik. Contoh Sol.8 Dikethui: A B 8 dn 6 7 Tentukn:. A B c. (A + B) Jwb: é. 6 A - ù ê 6ú é (- ) ( ) ù ë û ëê ( ) ( 6) é ù ûú ê ë0 ú û ( ) ( ) é B - ù ê 7 -ú é - ù ë û ëê ( 7) ( -) é ù ûú ê ë 6ú û 8 e. ( A + B) Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

100 . Perklin Mtriks Du buh mtriks A dn B dpt diklikn, jik bnyk kolom pd mtriks A sm dengn bnyk bris pd mtriks B. Elemen-elemen pd mtriks A B diperoleh dri penjumlhn hsil kli elemen bris pd mtriks A dengn elemen kolom pd mtriks B. Sebgi contoh, diberikn mtriks A dn mtriks B sebgi berikut. b b A B dn b b b A B b mk b b b + b b + b b + b b + b Supy And lebih memhmi perklin mtriks, peljri contoh sol berikut. Contoh Sol.9 Dikethui mtriks-mtriks berikut. 0 P Q R, dn Tentukn:. P Q Q P c. P R d. R P Jwb: é ù é ù. P Q ê ë - ú ê û ë- ú é ù ê û ë ú é 0ù 8 0 ê û ë 7 ú û é ù é ù Q P ê ë - ú ê û ë- ú é ù ê û ë ú é 9ù 8 0 ê û ë 0 7 ú û Mislkn, Tugs. A B, dn C 7 Hitung:. AB, BA, dn BC (AB) C dn A (BC) c. (B + C) dn AC d. A (B + C) A dn (BA + CA) e. (B + C) A dn (BA + CA) Dri hsil yng And peroleh, p yng dpt And simpulkn? c. é ù é 0 -ù P R ê ë - ú ê û ë - - ú é ù ê û ú ë û 6 é ù ê ë6 0 ú û d. Hsil kli mtriks R dn mtriks P tidk d kren bnyk kolom pd mtriks R tidk sm dengn bnyk bris pd mtriks P. Mtriks 9

101 Solusi Dikethui mtriks A B,. Mtriks A B dlh c. 6 6 d. 7 e. 8 Jwb: A B Jwbn: c Sumber: UN SMK 00. Perpngktn Mtriks Persegi Sift perpngktn pd mtriks, sm hlny seperti sift perpngktn pd bilngn-bilngn, untuk setip bilngn riil, berlku n sebnyk nfktor Pd mtriks pun berlku hl yng sm untuk setip mtriks persegi A berlku A A A A A A A n A A A A sebnyk nmtriks Supy And memhmi mteri perpngktn mtriks, peljri contoh sol berikut. Contoh Sol.0 Dikethui mtriks A 0 Tentukn:. A dn A A A Jwb:. A A A 0 0 A A A 0 6 A A Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

102 Contoh Sol. Dikethui mtriks-mtriks x y P 0 Q dn z w Tentukn nili-nili w, x, y, dn z sedemikin rup hingg dipenuhi persmn P Q. Jwb: P Q P P Q 0 0 x z 0 x z 0 x 8 z y w y w y w Dengn memperhtikn elemen-elemen seletk pd kedu mtriks, mk diperoleh w 8 w 8 x x y 0 z z Jdi, nili w, x, y, dn z yng memenuhi persmn P Q berturut-turut dlh 8,, 0, dn. Ltihn Sol. Kerjknlh sol-sol berikut.. Crilh hsil opersi mtriks berikut c d. 6. Jik + k, tentukn nili k.. Crilh mtriks P yng memenuhi persmn P 8. Dikethui mtriks-mtriks berikut. A B C, dn 6 8 Tentukn:. A + B A B c. AB + AC d. A (B + C). Dikethui mtriks-mtriks berikut. é -ù é X Y - ù dn ê ú ê ú ë 0 û ë û Tentukn:. X + Y X + XY Mtriks 9

103 C. Determinn dn Invers Mtriks. Determinn Pd Subbb A And telh dikenlkn pd mtriks persegi, yitu mtriks yng jumlh bris dn jumlh kolomny sm. Pd bgin ini, And kn dikenlkn pd determinn dri sutu mtriks persegi.. Determinn Mtriks Mislkn A dlh mtriks persegi ordo berikut. b A c d Determinn dri mtriks A didefinisikn sebgi selisih ntr hsil kli elemen-elemen pd digonl utm dengn hsil kli elemen-elemen pd digonl sekunder. Determinn dri mtriks A dinotsikn dengn det A tu A. Berdsrkn definisi determinn, diperoleh determinn dri mtriks A sebgi berikut. Info Mth Seki Kow tu Seki Tkkzu (67 708) dlh seorng mtemtikwn dri Jepng yng menciptkn sistem notsi bru mtemtik yng digunkn di bnyk teorem dn teori. Sumbngn terkenl dri Seki pd ljbr dlh menemukn determinn. Beliu hny dpt menyelesikn mtriks ordo dn, dn ggl untuk ordo yng lebih tinggi. Akn tetpi, muridny, yitu Lplce berhsil menyelesikn unsur untuk mtriks ordo yng lebih tinggi yng digunkn untuk mengeliminsi vribel pd sistem persmn. Sumber: en.wikipedi.org digonl sekunder b det A A ( d)- ( b c) d -bc c d digonl utm Contoh Sol. Tentukn nili determinn dri mtriks-mtriks berikut. A B dn 7 Jwb: det A (- (- ))-(- ) det B (- ) - - ( )-(-7 ) Contoh Sol. Dikethui mtriks-mtriks berikut. x A B 8 x dn Jik det A det B, tentukn nili-nili x yng memenuhi persmn tersebut. Jwb: det A x ( x)( x) ( ) x 0 x 8 det B ( ) ( )( ) Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

104 Kren det A det B mk x 0 6 x x 6 x ± Jdi, nili-nili x yng memenuhi persmn tersebut dlh dn. Determinn Mtriks Mislkn, A mtriks persegi berordo berikut ini. b c A d e f g h i Untuk mencri nili determinn dri mtriks A yng berordo, digunkn Metode Srrus. Adpun lngkh-lngkh Metode Srrus dlh sebgi berikut. ) Slin kembli kolom pertm dn kolom kedu dri mtriks A kemudin diletkkn di sebelh knn tnd determinn. ) Hitung jumlh hsil kli elemen-elemen pd digonl utm dn digonl lin yng sejjr dengn digonl utm. Nytkn jumlh tersebut sebgi D. b c d e f g h i d g b e h D ()(e)(i) + (b)(f)(g) + (c)(d)(h) ) Hitung jumlh hsil kli elemen-elemen pd digonl sekunder dn digonl lin yng sejjr dengn digonl sekunder. Nytkn jumlh tersebut sebgi D. b c d e f g h i d g b e h D (g)(e)(c) + (h)(f)() + (i)(d)(b) ) Determinn dri mtriks A dlh pengurngn D oleh D, mk det A D D b c det A d e f d g h i g b e h Solusi Determinn dri mtriks 0 0 dlh d. e. c. Jwb: Gunkn turn Srrus 0 det A A ()()(0) + ()( )() + (0)(0)( ) ()()(0) ( )( )() (0)(0)() Jwbn: Sumber: UN SMK 007 ()(e)(i) + (b)(f)(g) + (c)(d)(h) (g)(e)(c) (h)(f)() (i)(d)(b) D D Berdsrkn nili diskriminnny sutu mtriks dibedkn menjdi jenis yitu mtriks singulr dn mtriks non singulr. Mtriks singulr dlh mtriks yng determinnny nol, sedngkn mtriks non singulr dlh mtiks yng determinnny tidk sm dengn nol. Mtriks 9

105 Contoh Sol. Tentukn nili determinn dri mtriks berikut. A 0 Mislkn, Tugs. A B Hitung:. AB dn BA A dn B c. (AB) dn (BA) d. A B e. B A Dri hsil yng And peroleh, p yng dpt And simpulkn? Jwb: det A 0 0 ( ) + ( ) ( 0) + ( ) ( 0 ( ) ) + ( ( ) ) + ( ) [ ] [ + ] 7. Invers Mtriks Pd ljbr bilngn, And telh mengenl bhw jik sutu bilngn diopersikn dengn invers perklinny mk kn diperoleh unsur identits. Begitu pul dlm mtriks, jik sutu mtriks diklikn dengn inversny mk kn diperoleh mtriks identits. Supy And lebih memhmi pernytn tersebut, peljri ilustrsi berikut. Mislkn, A B dn mk AB Kren perklin ntr mtriks A dn mtriks B menghsilkn mtriks identits mk dpt And simpulkn bhw mtriks A dn mtriks B sling invers. Hl ini berrti mtriks B merupkn mtriks invers dri mtriks A (dutulis B A ) tu mtriks A merupkn mtriks invers dri mtriks B (dutulis A B ). Dengn demikin And dpt menytkn sebgi berikut: Jik A dn B du mtriks persegi yng berordo sm dn memenuhi persmn AB BA I mk mtriks A dlh mtriks invers dri B tu mtriks B dlh mtriks invers dri mtriks A. Contoh Sol. Dikethui mtriks-mtriks berikut. G H K, dn Jwblh pertnyn berikut ini.. Apkh mtriks H merupkn mtriks invers dri mtriks G? Apkh mtriks K merupkn mtriks invers dri mtriks G? Jwb:. Mtriks H merupkn mtriks invers dri mtriks G jik memenuhi persmn GH I. GH I Kren GH I, mk mtriks H merupkn invers dri mtriks G. 96 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

106 Mtriks K merupkn mtriks invers dri mtriks G, jik memenuhi persmn GK I. GK I Kren GK I mk mtriks K bukn invers dri mtriks G. Sebelum And mempeljri invers mtriks lebih lnjut d konsep yng terlebih dhulu hrus And phmi yitu bgimn cr menentukn invers dri sutu mtriks.. Adjoin Mtriks Berordo Adjoin dri mtriks berordo diperoleh dengn cr menukr elemen pd digonl utm dn elemen pd digonl sekunder diklikn dengn ( ). b Mislkn, jik A c d, mk djoin A d b c. Contoh Sol.6 7 Dikethui mtriks A, tentukn djoin dri mtriks A. Jwb: 7 7 A mk djoin A é 7ù Jdi, djoin mtriks A dlh ê ë ú. û Minor, Kofktor, dn Adjoin mtriks ) Minor Mislkn mtriks A berordo sebgi berikut: A. Jik bris ke- dn kolom ke- dri mtriks tersebut dihilngkn mk kn diperoleh mtriks bru dengn ordo, determinn dri mtriksny dinmkn minor. Kren kit menghilngkn bris kestu dn kolom kedu mk minor tersebut dinmkn minor dri bris ke- kolom ke- yng dilmbngkn oleh M. Dri mtriks A di ts mk minor-minor dri mtriks tersebut dlh Minor dri bris ke- kolom ke- dlh M Minor dri bris ke- kolom ke- dlh M Minor dri bris ke- kolom ke- dlh M Minor dri bris ke- kolom ke- dlh M Mtriks 97

107 Minor dri bris ke- kolom ke- dlh M Minor dri bris ke- kolom ke- dlh M Minor dri bris ke- kolom ke- dlh M Minor dri bris ke- kolom ke- dlh M Minor dri bris ke- kolom ke- dlh M Diperoleh mtriks minor dri mtriks A dlh sebgi berikut. M M M M M M M M M ) Kofktor Jik M ij merupkn minor ke-ij dri mtriks A mk kofktor dlh hsil perklin elemen minor M ij dengn ( ) i+j. Dengn demikin, K ij ( ) i+j M ij Sehingg diperoleh mtriks kofktor dri mtriks A dlh K K K K K K K K K K ) Adjoin Mtriks Jik kofktor dri mtriks A tersebut di trnsposkn, mk didpt mtriks bru yng disebut sebgi Adjoin A. Ditulis: ék K K ù Adj A K K K ê ëk K K ú û Contoh Sol.7 Dikethui mtriks A Tentukn:. minor mtriks A, kofktor mtriks A, c. djoin A. Jwb:. Menentukn minor. M + M + 98 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

108 M 6 M M 9 M + M M M + Berdsrkn nili-nili minor di ts mk mtriks minorny dlh Menentukn mtriks kofktor. K ( ) + M ( ) K ( ) + M ( ) K ( ) + M ( ) K ( ) + M ( )( ) K ( ) + M ( ) K ( ) + M ( ) K ( ) + M ( ) K ( ) + M ( ) ( ) K ( ) + M Sehingg, mtriks kofktor A dlh c. Menentukn djoin. é ù. ê ë ú û Adjoin merupkn trnspos dri mtriks kofktor sehingg diperoleh. Adjoin A c. Invers Mtriks Berordo b Mislkn A c d merupkn mtriks yng memiliki invers yitu mtriks yng memiliki nili determinn tidk nol (mtriks ini disebut mtriks nonsingulr) mk invers dri A yitu A dinytkn A det A Adjoin A Mtriks 99

109 Contoh Sol.8 Dikethui mtriks A, tentukn invers dri mtriks A. Jwb: A A det + A Adjoin A det A é ù Jdi, invers dri mtriks A dlh A ê ë ú. û Cttn A terdefinisi jik det A 0 rtiny mtriks A memiliki invers jik mtriks A memiliki determinn yng tidk sm dengn nol. Contoh Sol.9 Dikethui mtriks-mtriks berikut. P Q 8 dn 7 6 Tentukn invers dri mtriks-mtriks tersebut jik d. Jwb: P 7 Periks nili determinn dn mtriks P det P 0 7 kren det P 0 mk mtriks P memiliki invers P 7 P P 7 Adjoin det Q 8 6 Periks nili determinn dri mtriks Q 8 det Q 0 6 Kren det Q 0 mk mtriks Q tidk memiliki invers. 00 d. Invers Mtriks Berordo Mislkn, A merupkn mtriks yng memiliki invers, Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

110 dengn det A 0 mk invers dri A, yitu A dinytkn A Adjoin A det A Contoh Sol.0 Tentukn invers dri A Jwb: A det A Berdsrkn Contoh Sol.7 diperoleh Adjoin A. Dengn demikin. A A A Adjoin det Jdi, invers mtriks A dlh é 0 0 ëê 0 0 ù. ûú Jik A B dn mk (A B ).... c. And Psti Bis d. 7 7 e Sumber: UMPTN, 999 Contoh Sol. Dikethui mtriks-mtriks R dn S 0 0 Tentukn:. R S (RS) Mtriks 0

111 Jwb:. R é - ù mk R ê ú R Adjoin R é - ù - ë 0 û ê ë - ú - é -ù é- ù det 0 ê û 0 -ú ê ë 0 ú û ë û é - ù é ù - R S ê ë 0 ú ê û ë- 0ú é ù ê û ë- 0 ú û é - - ù - 7 Jdi, R S. ê ë- 0 ú û é RS - ù é ù ê ú ê ë û ë- ú é ù 0 0 ê û ë- 0 ú û - é0 ù ( RS) 0 ê -7ú ë û é0 ù - ê -7ú ë û é ù ëê ûú é ù 0 - Jdi,( RS) ëê ûú Ltihn Sol. Kerjknlh sol-sol berikut.. Tentukn nili determinn dri mtriks-mtriks berikut.. d e c. 7. Tentukn pkh mtriks-mtriks berikut memiliki invers.. P 7 Q 7 c. R 0 6 d. S Dikethui P 8 Q x 9 dn Jik det P det Q, tentukn nili x.. Tentukn minor dn kofktor dri mtriks-mtriks berikut Tentukn invers dri mtriks-mtriks berikut. 7. c d Dikethui mtriks-mtriks berikut. A B 7 Tentukn:. AB (AB) 0 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

112 D. Apliksi Mtriks dlm Penyelesin Sistem Persmn Liner Du Vribel Pd Bb III And telh mempeljri metode penyelesin dri sistem persmn liner dengn metode substitusi eliminsi. Pd subbb ini, And kn mempeljri metode lin dengn menggunkn mtriks. Nmun sebelumny, And kn diperkenlkn dhulu bgimn menyelesikn persmn AX B dn XA B.. Penyelesin Persmn Mtriks AX B dn XA B Dlm menyelesikn persmn mtriks AX B dn XA B, digunkn konsep invers mtriks yng telh And peljri pd Subbb C. Dlm hl ini konsep yng And gunkn dlh A A I AA I Jik A dn B merupkn mtriks berordo sm, dengn A mtriks non singulr bgimnkh cr mencri mtriks X yng memenuhi persmn AX B dn XA B. Untuk mengethuiny, peljrilh urin berikut dengn bik.. Persmn AX B AX B A AX A B (kedu rus diklikn dengn invers mtriks A dri kiri) IX A B (AA I) X BA (IX X) Jdi, persmn AX B dpt diselesikn dengn X A B Persmn XA B XA B XAA BA (kedu rus diklikn dengn invers mtriks A dri knn) XI BA (AA I) X BA (XI X) Jdi, persmn XA B dpt diselesikn dengn X BA Supy And lebih memhmi mksudny, peljri contoh sol berikut. Contoh Sol. Mislkn A B dn, tentukn mtriks X yng memenuhi persmn 0. AX B XA B Jwb: A é ù mk det A ( )- ( ) ê ú ë û é - -ù A det A ê ë- ú é -ù ê û ë- ú é -ù ê û ë- ú û. AX B X A B é -ù é- ù X ê ë- ú ê ú é ù ê ú û ë 0 û ë û XA B X BA X é ù é -ù ê ú ê ë û ë- ú é 9 ù 0 ê ú û ë û Solusi Mtriks X berordo ( ) yng memenuhi X dlh.... c. d. e. Jwb: Misl, A B, AX B mk X A B det A 6 A det A X A B 6 Jwbn: Sumber: UAN 00 Mtriks 0

113 Solusi Jik x y 0 mk x + y d. e. c. Jwb: Misl, x A B X,, 0 y det A A A det A x A B 0 mk x + y + Jwbn: c Sumber: UAN 00. Menyelesikn Sistem Persmn Liner dengn Invers Mtriks Slh stu metode dlm menyelesikn sistem persmn liner du vribel dlh dengn menggunkn invers mtriks. Perhtikn bentuk umum dri SPL berikut: x + b y c x + b y c Bentuk di ts dpt ditulis dlm bentuk perklin mtriks koefisien dengn vribelny, yitu: æ b öæxö c èç b ø èç yø æ ö èç c ø dengn æ b ö merupkn mtriks koefisien. èç b ø Berikut dlh lngkh-lngkh dlm menyelesikn sistem persmn liner dengn menggunkn invers mtriks.. Nytkn sistem persmn liner tersebut ke dlm bentuk mtriks. Tentukn mtriks koefisien dri sistem persmn liner tersebut. c. Tentukn invers dri mtriks koefisien. d. Gunkn konsep persmn AX B tu XA B. Supy And memhmi lngkh-lngkh tersebut, perhtikn contoh sol berikut. Contoh Sol. Tentukn himpunn penyelesin dri sistem persmn liner berikut dengn menggunkn metode invers mtriks. x y x + y Jwb: Lngkh x, misl A, B y x, dn X y Lngkh A A mk det A Adjoin A det A Lngkh X diperoleh x dn y Jdi, himpunn penyelesinny dlh {(, )}. Contoh Sol. Zoel dn Ade pergi ke kios puls. Zoel membeli buh krtu perdn A dn buh krtu perdn B. Untuk itu Zoel hrus membyr Rp.000,00. Ade membeli buh krtu perdn A dn sebuh krtu perdn B, untuk itu Ade hrus membyr Rp.00,00. Mislkn, hrg sebuh krtu perdn 0 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

114 A dlh x rupih dn hrg sebuh krtu perdn B dlh y rupih. Tentukn penyelesin dri mslh tersebut. Jwb: Butlh Tbel untuk mslh tersebut Krtu Perdn A Krtu Perdn B Jumlh Zoel.000 Ade.00 Hrg sebuh krtu perdn A dlh x rupih Hrg sebuh krtu perdn B dlh y rupih Sistem persmn liner dri mslh tersebut dlh x + y. 000 x + y. 00 Bentuk mtriks dri sistem persmn liner tersebut dlh 000 x. y. 00 A X B det A A A det A Adjoin X A B. 000 X. 00 X Diperoleh, x.000 dn y Jdi, hrg sebuh krtu perdn A dlh Rp.000,00 dn hrg krtu perdn B dlh Rp8.00,00.. Menyelesikn Sistem Persmn Liner Du Vribel dengn Aturn Crmer Determinn yng telh And peljri di Subbb C, selin digunkn mencri invers dri sutu mtriks, dpt pul digunkn dlm mencri penyelesin sistem persmn liner du vribel. x + b y c x + b y c Sistem persmn liner tersebut jik diselesikn kn diperoleh nilinili x dn y sebgi berikut. cb cb x b b c y b c b Bentuk-bentuk (c b c b ), ( b b ) dn ( c c ) jik dinytkn dlm bentuk determinn dlh sebgi berikut. Mtriks 0

115 And Psti Bis Dengn menggunkn metode determinn. Tentukn x y nili x y jik x y 9 Sumber: UMPTN 999 c b b c c c b c b c b b b b c c Dengn demikin nili x dn nili y jik dinytkn dlm bentuk determinn dlh sebgi berikut. dengn: D b b D D c c b b x c c y c b b c b x dn y b tu D D x y x dn y D D c c b b yitu determinn dri mtriks koefisien x dn y. yitu determinn dri mtriks koefisien x dn y yng kolom pertmny dignti oleh konstnt c dn c. yitu determinn dri mtriks koefisien x dn y yng kolom keduny dignti oleh konstnt c dn c. Berdsrkn urin tersebut mk diperoleh kesimpuln berikut: Jik diberikn sistem persmn liner du vribel x + b y c x + b y c Sistem persmn liner tersebut memiliki penyelesin D D x y x dn y, dengn D 0 D D dimn D b b D c b c x dn Dy c b c Contoh Sol. Tentukn himpunn penyelesin sistem persmn liner pd Contoh Sol. dn Contoh Sol. dengn menggunkn Aturn Crmer. Jwb: Dri Contoh Sol. dikethui sistem persmn liner berikut. x y x y 06 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

116 Tentukn terlebih dhulu nili D, D x, dn D y. D D D x y 8 ( 9) 6 Dengn demikin diperoleh Dx x D Dy y D Jdi, himpunn penyelesinny dlh {(, )}. Dri Contoh Sol. dikethui sistem persmn liner berikut. x + y. 000 x + y. 00 D D D x y Dengn demikin, diperoleh Dx x D Dy y D Jdi, himpunn penyelesinny dlh {(.000, 8.00)}. Ltihn Sol. Kerjknlh sol-sol berikut.. Jik P mtriks berordo, tentukn mtriks P yng memenuhi. P P Jik p dn q memenuhi persmn p 6 q Tentukn nili-nili dri. (p + q) p + pq. Tentukn himpunn penyelesin dri sistem persmn liner berikut dengn menggunkn metode invers mtriks.. x + y x y x + y x + y. Tentukn himpunn penyelesin dri sistem persmn liner berikut dengn menggunkn Aturn Crmer.. x + y x y 7x + y 7 x y 6 Mtriks 07

117 . Pk Heru bekerj selm hri dengn hri dintrny lembur, untuk itu i mendpt uph Rp8.000,00. Pk Heri bekerj selm hri dn selm hri tersebut i lembur, untuk itu i mendpt uph Rp60.000,00. Jik Pk Heru, Pk Heri, dn Pk Willi bekerj pd perushn yng sm, berpkh uph yng diperoleh Pk Willi jik bekerj selm hri dn hri dintrny lembur? Rngkumn. Mtriks merupkn kumpuln bilngn yng tersusun menurut bris dn kolom sedemikin sehingg tmpk seperti bentuk sebuh persegipnjng.. Jik mtriks A mempunyi m bris dn n kolom mk mtriks berordo m n dn ditulis A m n.. Du mtriks diktkn sm jik ordo yng dimiliki keduny sm dn elemen-elemen yng bersesuin (seletk) sm.. Trnspos dri mtriks A dlh mtriks bru yng disusun dengn cr mengubh setip bris menjdi kolom jug seblikny setip kolom menjdi bris.. Du buh mtriks dpt dijumlhkn tu dikurngkn pbil ordo dri kedu mtriks tersebut sm. Penjumlhn dn pengurngn pd mtriks dilkukn dengn cr menjumlhkn tu mengurngkn elemen-elemen yng bersesuin (seletk). 6. Jik A dlh sutu mtriks dn k dlh bilngn riil mk ka dlh sutu mtriks bru yng elemenelemenny diperoleh dri hsil perklin k dengn setip elemen pd mtriks A. 7. Perklin mtriks A dn mtriks B diperoleh dri penjumlhn hsil kli elemen bris pd mtriks A dengn elemen kolom pd mtriks B. b 8. Jik A b c d mk det A A d bc c d 9. Jik A mk det A + +. b 0. Jik A c d mk invers dri A, yitu A d b dinytkn dengn A A c. det. Jik A mk invers dri A, yitu A dinytkn dengn A Adj A. det A. Invers mtriks dpt digunkn untuk menyelesikn sistem persmn liner du vribel dengn menggunkn konsep AX B X A B tu XA B X BA jik A mempunyi invers.. Penyelesin persmn liner du vribel dengn Aturn Crmer. D D x y x dn y, D D D 0 dimn D b c b c, D, dn D. x y b c b c 08 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

118 Alur Pembhsn Perhtikn lur pembhsn berikut: Mteri tentng Mtriks dpt digmbrkn sebgi berikut. Mtriks membhs Pengertin dn Jenis-Jenis Mtriks Opersi Aljbr pd Mtriks Determinn dn Invers Apliksi Mtriks dlm SPL mempeljri mempeljri mempeljri mempeljri Jenis-Jenis Mtriks Kesmn Du Mtriks Trnspos Mtriks Determinn Invers untuk Ordo dn Ordo Penjumlhn dn Pengurngn pd Mtriks Perklin Sklr dengn Sebuh Mtriks Perklin Mtriks Perpngktn Mtriks Persegi Penyelesin SPL dengn Invers Mtriks Penyelesin SPL dengn Metode Determinn Kt Mutir Ad du hl yng hrus And lupkn: kebikn yng And lkukn kepd orng lin dn keslhn orng lin kepd And Si Bb Mtriks 09

119 Ltihn Sol Bb A. Pilihlh slh stu jwbn dn berikn lsnny.. Dikethui mtriks H Mtriks H merupkn mtriks, keculi.... Mtriks sklr d. Mtriks persegi Mtriks digonl e. Mtriks ordo c. Mtriks identits. Trnspos dri mtriks M dlh.... d. c. e. 0. Jik Y dn Z mk Y + Z d. 7 c. 0 e Dikethui mtriks-mtriks berikut. x y A B 8 z dn Jik A B T, mk nili x, y. dn z berturut-turut dlh....,, d.,,,, e.,, c.,,. Jik B 0 C dn 0 mk BC d. c. e. 6. Jik F mk F.... c. 6 d. 6 8 e Jik R mk R d. 6 6 e. 6 c Jik x x + x + mk nili x.... d. e. c. tu 9. Jik P (ordo ) diklikn dengn Q (ordo ) mk dihsilkn R yng berordo.... d. e. c. 0 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

120 0. Mtriks X yng memenuhi dlh d. c. 6 e. X 6. Jik x 7 y mk nili x dn y berturut-turut dlh.... dn d. dn dn e. dn c. dn. Nili x dn y yng memenuhi persmn x + y y dlh.... x dn y d. x dn y x dn y e. x dn y c. x dn y. Invers dri mtriks Q 7 dlh d c. 7 x. Jik mtriks A x + tidk memiliki invers mk nili x dlh.... d. e. c.. Nili yng memenuhi persmn dlh.... d. e. c. 6. Jik A - B dn mk A B d e. 9 8 c Jik A 0 dn I mtriks stun ordo du mk A A + I d. c. 0 0 e Nili yng memenuhi b b + b dlh.... d. e. c. 9. Mtriks b + b tidk mempunyi invers bil.... dn b sebrng 0, b 0, dn b c. 0, b 0, dn b d. 0 dn b sebrng e. b 0 dn sebrng 0. Jik mtriks B dlh invers dri mtriks A dn AC B mk C d. B e. AB c. A Mtriks

121 B. Jwblh sol-sol berikut.. Jik A B 7, dn C 7, tentukn:. BC A T (A + B) c. CA. Jik A 0 dn f(x) x. Tentukn f(a).. Tentukn invers dri mtriks-mtriks berikut: Jik A, tentukn nili A Dikethui, mtriks P, tentukn nili k 6 yng memenuhi det P T k det P. Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

122 Ltihn Ulngn Semester A. Pilihlh slh stu jwbn dn berikn lsnny.. Himpunn penyelesin dri persmn x + 7x + 7, x R dlh.... d. e. c.. Hrg krcis kebun bintng untuk orng dlh Rp.000,00 mk hrg krcis untuk orng dlh.... Rp8.000,00 d. Rp.000,00 Rp9.000,00 e. Rp.000,00 c. Rp0.000,00. Nili x dn y yng memenuhi persmn x + y dn x y 0 dlh.... x, y 6 d. x 6, y x, y 6 e. x 6, y c. x, y 6. Himpunn penyelesin sistem persmn liner x y 0 x + y 7 dlh.... {, } d. {, } {, } e. {,} c. {, }. Dikethui, hrg kg bers dn kg gul psir dlh Rp8.00,00 sedngkn hrg kg bers dn kg gul psir dlh Rp.000,00 mk hrg kg gul psir dlh.... Rp.00,00 d. Rp7.000,00 Rp6.000,00 e. Rp7.00,00 c. Rp6.00,00 6. Persmn kudrt yng kr-krny tu dlh.... x + x 0 x x 0 c. x x + 0 d. x + x + 0 e. x + x 0 7. Persmn kudrt x p(x ) 0 mempunyi kr kembr untuk nili p sm dengn.... d. e. 8 c. 8. Himpunn penyelesin dri pertidksmn x x dlh.... d e. c Pertidksmn x p < 7x + mempunyi penyelesin x >. Nili p dlh.... d. 8 8 e. c Pertidksmn x x 6 dipenuhi oleh.... x tu x x tu x c. x tu x d. x tu x e. x tu x. Nili m yng memenuhi persmn kudrt (m + )x x 9 0. Agr persmn kudrt tersebut mempunyi du kr yng sm (kembr) dlh.... d. e. 6 c.. Persmn kudrt yng mempunyi du kr riil yng berbed dlh.... x + x + 0 d. x + x + 0 x x + 0 e. x x + 0 c. x + x + 0 Uji Kompetensi Semester

123 . Jik x + x dn x x 7 mk persmn kudrt yng memenuhi dlh.... x + x d. x + x 7 0 x x e. x x 7 0 c. x x 7 0. Himpunn penyelesin dri pertidksmn x x + + dlh.... x 7 x 7 c. x 7 d. x 8 7 e. x 8 7. Himpunn penyelesin dri pertidksmn x 8 dlh... x. {x x < tu x, x R} {x x tu x, x R} c. {x x < ; x R} d. {x x ; x R} e. {x < x ; x R} 6. Ordo mtriks berikut yng termsuk ke dlm mtriks kolom dlh.... A( ) A( ) c. A( ) d. A( ) e. A( ) 7. Dikethui A B dn. Pernytn berikut yng benr dlh.... AB A AB B c. BA A d. BA B e. BA A 8. Jik A B dn mk B + A T dlh.... c. 8 8 d. 6 6 e Jik A, mk determinn mtriks AT 0 dlh c. 9 d. 9 e. 0. Invers mtriks A dlh d. 9 e. c.. Determinn mtriks A dlh c. d. 8 e. Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK

124 . Dikethui mtriks A B dn 6 0 mtriks yng memenuhi C A B dlh d. 0 0 e. 0 c. 0. Mtriks X berordo ( ) yng memenuhi 0 x 6 dlh.... d. 6 7 e. c.. Mtriks b A + B C b c c d, 0 dn 0 Jik A + B C dengn B T trnspose dri B mk nili d dlh.... d. e. c. 0. Jik A B 0 dn 0 mk (A + B) (A B) (A B) (A + B) d e c. 0 B. Jwblh sol-sol berikut.. Tentukn himpunn penyelesin persmn berikut.. x + y x + y x x + 0. Tentukn himpunn penyelesin pertidksmn berikut.. x + x x + (x )(x + ) < x( x). Jik A B 9 tentukn 6 7. A B Determinn dri A B c. Invers (A B). Dikethui A B, tentukn nili x dn y jik x dikethui mtriks A B dn y. Tentukn determinn dri mtriks C dengn turn Srrus. 7 Uji Kompetensi Semester

125 Dftr Pustk Anton, H Aljbr Liner Elementer (terjemhn). Jkrt: Erlngg. Ayres, F. dn Schmidt, P. 99. Schum s Outline of College Mthemtics. New York: Mc Grw Hill. Brnett, R.A. dn Zieglr, M.R. 99. College Algebr. New York: Mc Grw Hill. Brtle, R. G. dn Sherbert, D. R. 99. Introduction to Rel Anlysis. Michign: John Wiley nd Sons. BSNP Stndr Kompetensi dn Kompetensi Dsr 006 Mt Peljrn Mtemtik Sekolh Menengh Ats/Mdrsh Aliyh. Jkrt: Deprtemen Pendidikn Nsionl. Deprtemen Pendidikn dn Kebudyn, Sol-Sol Evlusi Beljr Thp Akhir Nsionl (Ebtns) Thun 986 smpi dengn Thun 999. Deprtemen Pendidikn dn Kebudyn, Sol-Sol Ujin Akhir Nsionl (UAN) Thun 00 smpi dengn Thun 00. Deprtemen Pendidikn dn Kebudyn, Sol-Sol Ujin Nsionl (UN) Thun 00 smpi dengn Thun 006. Deprtemen Pendidikn dn Kebudyn Dirjen Pendidikn Tinggi, Sol-Sol Ujin Msuk Pergurun Tinggi Negeri Thun 987 smpi dengn Thun 00. Deprtemen Pendidikn dn Kebudyn Dirjen Pendidikn Tinggi, Sol-Sol Seleksi Penerimn Mhsisw Bru (SPMB) Thun 00 smpi dengn Thun 006. Frlow, Stnley. J. 99. Finite Mthemtics And It's Applictions. Singpore: Mc Grw Hill. Spiegel, M.R. 99. Seri Buku Schum Teori dn Sol-Sol Mtemtik Dsr. Jkrt: Erlngg. Sulvivn, M Pre Clculus. Upper Sddle River: Prentice Hll. Vrberg, D. dn Purcell, E. J. 00. Clculus (terjemhn). Jkrt: Interksr. Whyudin. 00. Ensiklopedi Mtemtik dn Perdbn Mnusi. Jkrt: Trity Smudr Berlin. 6 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggnuntuk untuk SMK Kels Kels X SMK I

126 Kunci Jwbn Uji Kompetensi... {,,0,,,,} BAB I Bilngn Riil Uji Kompetensi... sositif memiliki elemen penting. 0 Uji Kompetensi... e. c. 8.. c.. Rp.000,00 g. 0 Uji Kompetensi tu 80% c., tu 0% e. 0, tu 0,%.. c. %. Rp00.000,00 Uji Kompetensi Bb I A.. d. d. c. d. c. b 7. d 7. c 9. c 9. b B... A {,, 6, 7, 8, 9, 0, }. 78 orng. hrg pensil Rp.000,00 hrg Pulpen Rp.000,00 hrg buku Rp.000,00 BAB II Bentuk Pngkt, Akr, dn Logritm Uji Kompertensi... m c. 8 e. 7 p 7 q 7 r 7.. 8p c. ( m n ) e. 0 b c. Uji Kompetensi... bukn bentuk kr bentuk kr c. bukn bentuk kr Uji Kompetensi... c. x b.. 9 c. Uji Kompetensi... e. 0 c. 0 g c. e

127 Uji Kompetensi... 7 log 7 c. log x m + n e. log q p.. x 7 c. x tu x.. c. 7 Uji Kompetensi.6.. 0,878 c.,878 e.,9 Uji Kompetensi Bb II A.. c. c. b. d. c. 7. b 7. c 9. b 9. e Uji Kompetensi... 6 Uji Kompetensi... x x 0 c. x 7x 0.. x + x c. x x Rp.000,00 Uji Kompetensi... x c. x 7 e. x.. B... e 9 p 0 c. x y c... 7 c. e.. Rp.6.,00 Uji Kompetensi Semester A.. d.. b. b. d. d. c.. c c 9. b 9. B... c. f9 h BAB III Persmn dn Pertidksmn e. Uji Kompetensi... {x x 6 tu x, x R}. t Uji Kompetensi Bb III A.. c. d. b.. c. e 7. d 7. b 9. c 9. b B. 9.. x tu x. p 9 cm, l 6 cm. Uji Kompetensi... x c. 0 e. x. Rp7.000,00 8 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggnuntuk SMK Kels I

128 Uji Kompetensi..... B ( ) c. b b c. c b d Uji Kompetensi c Uji Kompetensi... c. e. 8., Uji Kompetensi. 0.. P. x, y. Rp6.000,00 BAB IV Mtriks Uji Kompetensi Bb IV A.. c.. e.. b. e 7. d 7. d 9. d 9. e B... B tidk bis diklikn dengn C kren sift dri perklin du mtriks c Uji Kompetensi Semester A... b.. c. b. e. c.. c c 9. d 9. b B... 7,.. c. Tidk terdpt invers. Kunci Jwbn 9

129 Dftr Lmpirn Tbel Logritm B : Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggnuntuk SMK Kels I

130 B Dftr Lmpirn

131 Glosrium A Adjoin: menukrkn elemen pd digonl utm dengn elemen pd digonl sekunder diklikn dengn ( ) dri sutu mtriks berordo [97] Antilogritm: keblikn dri logritrm [] B Bsis: bilngn pokok dri sutu bentuk pemngktn [0] Himpunn bilngn sli: himpunn bilngn yng diwli dengn ngk dn bertmbh stu-stu [] Himpunn bilngn bult: Himpunn bilngn yng merupkn gbungn ntr himpunn bilngn cch dengn himpunn bilngn bult negtif [] Himpunn bilngn cch: Gbungn ntr himpunn bilngn sli dn himpunn bilngn 0 [] Himpunn bilngn rsionl: himpunn bilngn yng dpt dinytkn dlm bentuk, dengn p, q B dn q 0 [] Himpunn bilngn riil: gbungn bilngn rsionl dengn bilngn irsionl [] D Desiml: bilngn pechn yng ditulis dengn ngk keliptn per sepuluh, per sertus, dn sebginy [0] Diskriminn: bentuk (b c) pd rumus bc [6] E Eksponen: ngk d sebginy yng ditulis di sebelh knn ts ngk lin yng menunjukkn pngkt dri ngk tersebut [0] Elemen: bgin dri keseluruhn unsur, nggot [8] K Klkultor: lt hitung elektronik [] Koefisien: bgin suku yng berup bilngn tu konstn yng bisny dituliskn sebelum lmbng peubh [] Kofktor: hsil perklin elemen minor M ij dengn ( ) i + j [97] Konstnt: lmbng untuk menytkn objek yng sm di keseluruhn opersi mtemtik [] Konversi: perubhn dri stu bentuk tu besrn ke bentuk (besrn) yng lin [0] L Lmbng: simbol yng digunkn untuk menytkn unsur, senyw, sift, dn stun mtemtik [] Logritm: eksponen pngkt yng diperlukn untuk memngktkn bilngn dsr supy memperoleh bilngn tertentu [] M Mntis: bgin dri desiml logritm bis [] Mtriks: kumpuln bilngn yng tersusun menurut bris dn kolom sedemikin sehingg tmpk seperti bentuk sebuh persegipnjng [8] Metode Srrus: slh stu metode dlm menentukn nili determinn mtriks berordo [9] N Notsi: cr penulisn tu melmbngkn [7] Numerrus: bilngn yng dicri nili logritmny [] O Ordo: ukurn, ordo pd mtriks ditentukn oleh bnykny bris dn kolom [8] P Pngkt: sutu bentuk perklin bilngn itu sendiri [0] Persmn kudrt: persmn berderjt du [] Persmn liner: persmn berderjt stu [] Persen: per sertus [0] S Sklr: besrn yng hny memiliki ukurn dn tidk memiliki rh [90] T Teorem: teori yng hrus dibuktikn [9] Trnspos: menukr semu kolom menjdi bris dn bris menjdi kolom dlm mtriks [86] V Vribel: peubh [] Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggnuntuk SMK Kels I

132