Peubah Acak. Peubah Acak Diskrit dan Distribusi Peluang. Peubah Acak. Peubah Acak

Transkripsi

1 Peubah Acak Peubah Acak Diskrit dan Distribusi Peluang Peubah Acak (Random Variable): Sebuah keluaran numerik yang merupakan hasil dari percobaan (eksperimen) Untuk setiap anggota dari ruang sampel percobaan, peubah acak bisa mengambil tepat satu nilai Peubah Acak Peubah Acak Diskrit : Sebuah Peubah Acak yang hanya bisa bernilai terbatas atau terhitung Peubah Acak Peubah Acak dituliskan sebagai huruf kapital (X, Y, Z) Peubah Acak Kontinu: Sebuah Peubah Acak yang bisa bernilai pada sebarang nilai dalam sebuah selang Nilai-nilai tertentu yang merupakan keluaran percobaan dituliskan dengan huruf kecil (x, y, z)

2 Distribusi Peluang Distribusi Peluang adalah tabel, gambar, atau persamaan yang menggambarkan atau mendeskripsikan nilai-nilai yang mungkin dari peubah acak dan peluang yang bersesuaiannya (Peubah Acak Diskrit) atau kepadatan (Peubah Acak Kontinu) Distribusi Peluang Distribusi Peluang Diskrit: Memberikan peluang kepada tiap keluaran percobaan Merupakan probability mass functions (pmf) Distribusi Peluang Kontinu: Memberikan kepadatan (frekuensi) pada tiap titik, peluang pada selang bisa didapatkan dengan mengintegralkan fungsi (probability density function/pdf) Distribusi Peluang Peluang Diskrit dituliskan sebagai: p(y) = P(Y=y) Kepadatan Kontinu dituliskan sebagai: f(y) Fungsi Distribusi Kumulatif: F(y) = P(Y y) Cumulative Distribution Function (cdf) Discrete Probability Distributions Probability (Mass ) Function: p( y )=P(Y=y ) p( y ) 0 y p( y)=1

3 Discrete Probability Distributions Cumulative Distribution Function (CDF): F ( y)=p(y y) F (b )=P(Y b )= p( y) y= F ( )=0 F ( )=1 F ( y) is monotonically increasing in y b Contoh Melempar 2 dadu (Merah/Hijau) Y = Jumlah muka dadu yang nampak. Tabel dibawah memberikan semua nilai yang mungkin dalam himpunan S Merah\Hijau Melempar 2 Dadu Probability Mass Function (pmf) & CDF Melempar 2 Dadu Probability Mass Function (pmf) y p(y) F(y) 2 1/36 1/36 3 2/36 3/36 4 3/36 6/36 5 4/36 10/36 # banyak cara 2 dadu dijumlahkan sbg y p( y )= # cara 2 dadu dijumlahkan y F ( y)= t=2 p(t ) Dice Rolling Probability Function sub-title 6 5/36 15/36 p(y) /36 21/ /36 26/36 9 4/36 30/ y 10 3/36 33/ /36 35/36

4 Melempar 2 Dadu Cumulative Distribution Function (cdf) Nilai Harapan Peubah Acak Diskrit p(y) Dice Rolling Probability Function sub-title y Mean (alias Nilai Harapan) Rata-rata dari peubah acak yang diharapkan muncul dalam percobaan yang berulang-ulang. Varians Rata-rata beda kuadrat antara nilai nyata dari peubah acak dan meannya Standard Deviasi Akar positif dari varians (unitnya sama dengan datanya) Notasi: Mean: E(Y) = Varians: V(Y) = 2 Standard Deviasi: Nilai Harapan Varians dan Standard Deviasi Mean: E(Y )=μ= yp ( y) Mean of a function g(y ): E [g (Y )]= g( y ) p ( y ) Varians: V (Y )=σ 2 =E [(Y E(Y )) 2 ] =E [(Y μ) 2 ]= = ( y μ ) 2 p( y)= ( y 2 2yμ+μ 2 ) p ( y)= = y 2 p( y) 2μ =E [Y 2 ] 2μ( μ )+μ 2 (1 )=E [Y 2 ] μ 2 Standard Deviasi: σ =+ σ 2 yp ( y)+μ 2 p( y )=

5 Varians dan Standard Deviasi Varians: V (Y )=σ 2 =E [(Y E(Y )) 2 ] =E [(Y μ) 2 ]= = ( y μ ) 2 p( y )= ( y 2 2yμ+μ 2 ) p ( y)= = y 2 p ( y) 2μ =E [Y 2 ] 2μ( μ )+μ 2 (1 )=E [Y 2 ] μ 2 Standard Deviasi: σ =+ σ 2 yp ( y)+μ 2 p( y )= Nilai Harapan dari Fungsi Linear Peubah Acak Fungsi Linear: g (Y )=ay+b (a,b konstan ) E [ay+b ]= (ay+b ) p ( y)= =a yp ( y)+b p( y )=aμ+b Varians dan Standard Deviasi dari Fungsi Linear Peubah Acak Fungsi Linear : g(y )=ay+b (a,b konstan ) V [ ay+b ]= (( ay+b) ( aμ+b)) 2 p( y)= ( ay aμ) 2 p( y )= ( y μ) 2 p( y)=a 2 σ 2 =a 2 σ ay+b = a σ [ a 2 ( y μ ) 2 ] p( y )= Contoh Melempar 2 Dadu y p(y) yp(y) y 2 p(y) 2 1/36 2/36 4/36 3 2/36 6/36 18/36 4 3/36 12/36 48/36 5 4/36 20/36 100/36 6 5/36 30/36 180/36 7 6/36 42/36 294/36 8 5/36 40/36 320/36 9 4/36 36/36 324/ /36 30/36 300/ /36 22/36 242/ /36 12/36 144/36 Sum 36/36= /36= /36= μ=e(y )= yp( y )=7.0 y=2 σ 2 =E [Y 2 ] μ 2 = y 2 p( y ) μ 2 y=2 = (7.0) 2 = σ= =

6 Teorema Tchebysheff/Aturan Empirik Tchebysheff: Misalkan Y adl sebuah peubah acak dengan mean dan standard deviasi. Maka: P( -k Y +k ) 1-(1/k 2 ) for k 1 k=1: P( -1 Y +1 ) 1-(1/1 2 ) = 0 k=2: P( -2 Y +2 ) 1-(1/2 2 ) = ¾ k=3: P( -3 Y +3 ) 1-(1/3 2 ) = 8/9 Batasan ini merupakan batasan konservatif namun bisa berlaku untuk semua distribusi Aturan Empirik (Distribusi berbentuk gundukan/ bukit) k=1: P( -1 Y +1 ) 0.68 k=2: P( -2 Y +2 ) 0.95 k=3: P( -3 Y +3 ) 1 Proof of Tchebysheff s Theorem Breaking real line into 3 parts: i) (,( μ-kσ ) ] ii ) [( μ-kσ ),( μ+kσ )] iii) [( μ+kσ ) +, ) Making use of the definition of Variance: V (Y )=σ 2 = ( y μ ) 2 p( y )= ( μ-kσ ) ( y μ) 2 p( y)+ ( μ+kσ ) ( μ-kσ ) ( y μ ) 2 p( y)+ ( y μ) 2 p( y) (μ+kσ ) + In Region i) : y μ kσ ( y μ) 2 k 2 σ 2 In Region iii) : y μ kσ ( y μ) 2 k 2 σ 2 (μ+kσ ) σ 2 k 2 σ 2 P (Y<μ kσ)+ ( y μ) 2 p ( y)+k 2 σ 2 P(Y>μ+kσ ) ( μ-kσ ) σ 2 k 2 σ 2 P (Y<μ kσ)+k 2 σ 2 P(Y>μ+kσ )= =k 2 σ 2 [1 P( μ kσ Y μ+kσ )] σ2 k 2 σ 2 =1 k 2 [1 P( μ kσ Y μ+kσ )] P (μ kσ Y μ+kσ ) 1 1 k 2