PENERAPAN TRANSFORMASI LAPLACE DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR PADA RANGKAIAN SERI RLC SKRIPSI SITI FATIMAH AISYAH

Transkripsi

1 PENERAPAN TRANSFORMASI LAPLACE DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR PADA RANGKAIAN SERI RLC SKRIPSI SITI FATIMAH AISYAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2017

2 PENERAPAN TRANSFORMASI LAPLACE DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR PADA RANGKAIAN SERI RLC SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat Mencapai gelar Sarjana Sains SITI FATIMAH AISYAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2017

3 PERSETUJUAN Judul : Penerapan Transformasi Laplace Dalam Menyelesaikan Persamaan Diferensial Linear Pada Rangkaian Seri RLC. Kategori : Skripsi Nama : Siti Fatimah Aisyah Nomor Induk Mahasiswa : Program Studi : Sarjana (S1) Matematika Departemen : Matematika Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Disetujui di Medan, 18 April 2017 Komisi Pembimbing : Pembimbing 2, Pembimbing 1, Asima Manurung, S.Si. M. Si NIP Drs. Agus Salim Harahap, M.Si NIP Disetujui Oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua, Dr. Suyanto, M. Kom NIP i

4 PERNYATAAN PENERAPAN TRANSFORMASI LAPLACE DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR PADA RANGKAIAN SERI RLC SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri. Kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing masing disebutkan sumbernya. Medan, 18 April 2017 SITI FATIMAH AISYAH iv ii

5 v PENGHARGAAN Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, dengan limpah karunia- Nya Penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Penerapan Transformasi Laplace Dalam Menyelesaikan Persamaan Diferensial Linear Pada Rangkaian Seri RLC. Shalawat dan salam penulis ucapkan kepada Rasulullahshalallahu Alaihi wa sallam, keluarga, para sahabat, dan orang-orang yang mengikutinya. Terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Drs. Agus Salim Harahap, M.Si selaku pembimbing 1 dan Ibu Asima Manurung, S.Si, M.Si selaku pembimbing 2 yang telah meluangkan waktu dan pikirannya, memberikan pengarahan, saran dan kritik terkait penulisan skripsi ini. Terima kasih sebesar-besarnya penulis sampaikan kepada kedua orang tua atas do a dan dukungannya kepada penulis baik secara moril ataupun materi, kepada abang Indra sastra winata yang telah memberikan motivasi kepada penulis sehingga terselesaikan skripsi ini. Terimakasih penulis sampaikan kepada bapak Drs. Ujian sinulingga, M.Si selaku penguji 1 dan bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si. selaku penguji 2 yang telah meluangkan waktu, pikiran dan memberikan kritik maupun saran untuk perbaikan skripsi ini dan sebagai pembelajaran bagi penulis. Terima kasih penulis sampaikan kepada seluruh dosen Matematika USU yang telah memberi ilmu kepada penulis selama masa perkuliahan, Dekan dan Wakil Dekan FMIPA USU, serta seluruh staf administrasi FMIPA USU. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada teman-teman yang telah memberikan do a dan motivasi kepada penulis dalam mengerjakan skripsi ini. Semoga Tuhan Yang Maha Esa membalas kebaikan teman-teman semua. iii

6 vi PENERAPAN TRANSFORMASI LAPLACE DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR PADA RANGKAIAN SERI RLC ABSTRAK Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui bagaimana bentuk karakteristik arus dan tegangan yang dihasilkan dari persamaan diferensial pada rangkaian seri RLC orde satu dan dua dengan menggunakan metode transformasi Laplace dan transformasi Laplace invers. Analisis rangkaian dilakukan dengan menerapkan hukum Kirchoff dan hukum Ohm lalu diselesaikan dengan transformasi Laplace dan inversnya. Penyelesaian ini adalah dengan menstrasformasikan persamaan rangkaian dalam fungsi waktu ke dalam kawasan frekuensi. Rangkaian seri RLC adalah rangkaian yang terdiri dari resistor R, induktor L, dan kapasitor C yang terhubung secara seri. Penamaan RLC disebabkan nama yang menjadi simbol listrik pada kapasitansi, induktansi dan resistansi. Untuk rangkaian orde satu bentuk karakteristik alami yang dihasilkan adalah bentuk eksponensial menurun dan bentuk karakteristik alami dari rangkaian orde dua, yaitu: teredam berlebih (Over Damped), terdeam kritis (Critically Damped), dan kurang teredam (Under Damped). Dengan mengubah nilai resistor (R) dan capasitor (C) diperoleh bentuk tanggapan alami yang berbeda dengan seiring berjalannya waktu tanggapan tersebut akan menghilang atau menuju nol yang merupakan tanggapan transien (sementara). Kata kunci: Rangkaian RLC, trasformasi Laplace, invers transformasi, hukum Kirchoff, hukum Ohm. iv

7 vii LAPLACE TRANSFORMATION APPLICATION IN COMPLETING THE LINEAR DIFFERENTIAL EQUATION IN RLC SERIES CIRCUIT ABSTRACT This study aimed to determine how the characteristic form of current and voltage generated from the differential equations in series RLC series of order one and two by using Laplace transform method and Laplace inverse transformation. The circuit analysis is carried out by applying Kirchoff's law and Ohm's law and is solved by Laplace transformation and its inverse. The solution is to menstrasform the circuit equation in the time function into the frequency region. RLC series circuit is a circuit consisting of resistor R, inductor L, and capacitor C are connected in series. The naming of the RLC is due to the name being the electrical symbol on capacitance, inductance and resistance. For the first order sequence the resulting natural characteristic form is the decreased exponential shape and the natural characteristic form of the second order circuit, namely: Overdamped, Critically Damped, and Under Damped. By changing the resistor value (R) and capasitor (C), there is a different natural response form as over time the response will disappear or toward zero which is a transient response. Keywords: Circuit RLC, Laplace transformation, transform Laplace invers, Kirchoff law, Ohm law. v

8 viii DAFTAR ISI PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN Halaman i ii iii iv v vi viii ix BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Rumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian Metodologi Penelitian 3 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial Linear Persamaan Diferensial Orde Satu Persamaan Diferensial Orde Dua Rangkaian Listrik Rangkaian Transien Hukum Hukum Rangkaian Listrik Elemen Resistor, Induktor, Kapasitor, dalam Rangkaian Seri dan Paralel Tanggapan Rangkaian RLC Seri Integral Parsial Transformasi Laplace Trasformasi Laplace Dari Turunan Transformasi Laplace Invers Transformasi Laplace Dalam Ekspansi Pecahan parsial Masalah Nilai Awal 21 vi

9 ix BAB 3 METODE PENELITIAN Halaman BAB 4 HASIL dan PEMBAHASAN 4.1 Tanggapan Alami Rangkaian Orde Satu Tanggapan Alami Rangkaian Orde Dua 28 BAB 5 KESIMPULAN dan SARAN 5.1 Kesimpulan Saran 38 DAFTAR PUSTAKA 39 TABEL TRANSFORMASI LAPLACE 40 vii

10 x DAFTAR GAMBAR Nomor Gambar Judul Halaman 2.1 Simpul Arus Sederhana Kombinasi Rangkaian N buah resistor Rangkaian Ekivalen resistor Kombinasi Rangkaian N buah Induktor Rangkaian Ekivalen N buah induktor Rangkaian Seri RLC Rangkaian RL Rangakaian Ekivalen RL Tanggapan Rangkaian RL Seri Rangkaian RC Kombinasi Seri dan Paralel Rangkaian Ekivalen RC Tanggapan Rangkaian RC Sebagai Rangkaian RLC Seri Tanggapan Rangkaian Kurang Teredam Rangkaian RLC Seri Rangkaian Ekivalen RLC Seri Tanggapan Rangkaian RLC Seri Teredam Berlebih Rangkaian RLC Kombinasi Seri dan Paralel Rangkain Ekivalen RLC Seri Tanggapan Rangkaian RLC Seri Teredam Kritis 37 viii

11 xi DAFTAR LAMPIRAN Nomor Lampi Judul Halaman 1 Tabel Transformasi Laplace 40 ix