Oleh : Annisa Dwi Sulistyaningtyas NRP Dosen Pembimbing : Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc

Transkripsi

1 Oleh : Annisa Dwi Sulistyaningtyas NRP Dosen Pembimbing : Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA

2 Kebutuhan air bersih meningkat seiring dengan bertambahnya jumlah penduduk. Jumlah penduduk yang setiap tahunnya selalu meningkat seharusnya diimbangi dengan penyediaan air bersih yang sesuai. Sistem perpipaam PDAM mempengaruhi sistem distribusi air bersih yang dialirkan ke perumahan. Pada kenyataannya, masih terdapat kawasan perumahan yang aliran airnya tidak sesuai dengan kebutuhan air yang diperlukan. Selain itu, developers lebih memilih mengembangkan lahan baru yang masih kosong mengakibatkan sistem perpipaan untuk pendistribusian air bersih pada lahan yang sudah ada kurang diperhatikan. Pemodelan distribusi air bersih pada sistem perpipaan membantu mempermudah dalam perhitungan kecepatan aliran air dalam pipa, diameter pipa, dan volume air yang dibutuhkan di suatu kawasan perumahan. Penyelesaian model matematika tersebut menggunakan Metode Beda Hingga Implisit (Alternating Direct Implicit Method) dan hasil tersebut disimulasikan dengan menggunakan Matlab. Hasil simulasi yang diperoleh menunjukkan bahwa semakin besar kecepatan awal dan diameter pipa, semakin besar pula iterasi yang dihasilkan di titik titik aliran pipa sehingga volume air pada pipa juga semakin besar.

3 Kebutuhan air bersih semakin meningkat seiring dengan pertambahan jumlah penduduk Kurang meratanya distribusi air bersih di setiap perumahan Developers lebih memilih mengembangkan lahan kosong daripada mengembangkan lahan yang sudah ada

4 1. Bagaimana pengembangan model matematika dari distribusi air bersih pada sistem perpipaan di suatu perumahan. 2. Bagaimana Metode Beda Hingga Implisit dapat diaplikasikan untuk menyelesaikan persamaan model matematika dari sistem distribusi tersebut. 3. Bagaimana visualisasi dari hasil penyelesaian model matematika pada sistem distribusi tersebut.

5 Data yang digunakan adalah data yang diambil dari PDAM Kota Surabaya. Area penelitian adalah kawasan perumahan Babatan Mukti Surabaya. Diameter pipa untuk perumahan Babatan Mukti Surabaya maksimal 300 mm. Aliran air distribusi menggunakan penjernihan air Karangpilang. Penyelesaian persamaan differensial menggunakan Metode Beda Hingga Implisit (Alternating Direction Implicit (ADI) Method). Simulasi numerik dan visualisasi hasil penelitian menggunakan software Matlab.

6 Diasumsikan bahwa kawasan penelitian adalah kawasan dengan dataran yang rata. Diasumsikan air mengalir secara kontinu. Diasumsikan tidak ada sumbatan pada masing masing pipa distribusi karena bahan pipa dari paralon tebal. Diasumsikan titik percabangan pipa 90 o.

7 Mengembangkan dan merumuskan model matematika untuk mendapatkan suatu persamaan. Menyelesaikan model matematika yang telah diperoleh menggunakan Metode Beda Hingga Implisit (Alternating Direction Implicit (ADI) Method). Menganalisis hasil yang telah diperoleh dengan menggunakan software Matlab.

8 Sebagai suatu bentuk konstribusi dalam pengembangan ilmu Matematika terapan di bidang sistem perpipaan. Sebagai dasar pengambilan kebijakan bagi stakeholders yang menggunakan dan memproduksi air bersih, seperti developers dan PDAM. Sebagai alternatif untuk penyediaan permasalahan sistem perpipaan di suatu kawasan perumahan.

9 1. BAB I PENDAHULUAN Bab ini menjelaskan latar belakang penyusunan Tugas Akhir, rumusan masalah, batasan masalah, asumsi masalah, tujuan, manfaat, dan sistematika penulisan laporan Tugas Akhir. 2. BAB II TINJAUAN PUSTAKA Bab ini menjelaskan tentang air bersih, sistem perpipaan, persamaan kontinuitas, metode perhitungan numerik yaitu Metode Beda Hingga Implisit (Alternating Direction Implicit (ADI) Method), dan menjelaskan tentang area penelitian yang digunakan untuk pengerjaan Tugas Akhir ini. 3. BAB III METODE PENELITIAN Bab ini menjelaskan tentang tahap tahap yang dilakukan dalam penyusunan Tugas Akhir ini. 4. BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Bab ini menjelaskan tentang bagaimana mengembangkan model matematika untuk distribusi air bersih pada sistem perpipaan yang diselesaikan dengan menggunakan Metode Beda Hingga Implisit (Alternating Direction Implicit (ADI) Method) dan analisis terhadap hasil penelitian berdasarkan hasil simulasi yang dilakukan. 5. BAB V KESIMPULAN DAN SARAN Bab ini menjelaskan tentang penarikan kesimpulan dan saran dari hasil analisis dan pembahasan yang telah dilakukan.

10 A. Definisi Air Bersih Air bersih adalah air yang digunakan untuk keperluan sehari hari dan akan menjadi air minum setelah dimasak terlebih dahulu. Sebagai batasannya, air bersih adalah air yang memenuhi persyaratan bagi sistem penyediaan air minum.

11 B. Persyaratan Dalam Penyediaan Air Bersih Persyaratan Kualitas : a. Persyaratan Fisika b. Persyaratan Kimiawi c. Persyaratan Bakteriologis d. Persyaratan Radioaktifitas Persyaratan Kuantitas : Penyediaan air bersih ditinjau dari banyaknya air baku yang tersedia dan ditinjau dari standar debit air bersih yang dialirkan ke konsumen sesuai dengan jumlah kebutuhan air bersih Persyaratan Kontinuitas Air baku untuk air bersih harus dapat diambil terus menerus dengan fluktuasi debit yang relatif tetap, baik pada saat musim kemarau maupun musim hujan

12 Tabel Konsumsi Air Berdasarkan Kategori Kota Kategori Kota Jumlah Penduduk (kota) Konsumsi Air (lt/org/hari) Metropolitan > Besar Sedang Kecil Sumber : Kimpraswil, 2003

13 C. Sistem Aliran Dalam Pipa Closed conduit : aliran dimana air kontak dengan penampang saluran Open chanel : aliran dengan permukaan bebas pada salurannya Terdapat dua macam aliran yaitu : 1. Aliran Laminer : aliran yang tenang, terjadi karena partikel partikel fluidanya bergerak sepanjang lintasan lintasan lurus, sejajar 2. Aliran Turbulen : aliran yang disebabkan oleh partikel partikel fluida yang bergerak secara random ke segala arah

14 D. Jaringan Pipa Distribusi Terbagi atas : a. Pipa Primer (Supply Main Pipe) b. Pipa Sekunder (Arterial Main Pipe) c. Pipa Tersier d. Pipa Servis (Service Pipe) E. Persamaan Kontinuitas Persamaan kontinuitas berlaku untuk : a. Untuk semua fluida (gas atau cairan) b. Untuk semua jenis aliran (laminer atau turbulen) c. Untuk semua keadaan (steady dan unsteady) d. Dengan atau tanpa adanya reaksi kimia di dalam aliran tersebut

15 AA 1 : luas penampang bagian pipa yang berdiameter besar AA 2 : luas penampang bagian pipa yang berdiameter kecil vv 1 : laju aliran fluida pada bagian pipa yang berdiameter besar vv 2 : laju aliran fluida pada bagian pipa yang berdiameter kecil L : jarak tempuh fluida Volume fluida yang mengalir pada pipa berdiameter besar : VV 1 = AA 1 LL 1 = AA 1 vv 1 tt Volume fluida yang mengalir pada pipa berdiameter kecil : VV 2 = AA 2 LL 2 = AA 2 vv 2 tt

16 1. Persamaan Kontinuitas untuk Fluida Tak- termampatkan (incompressible) Pada fluida tak-termampatkan (incompressible), kerapatan alias massa jenis fluida tersebut selalu sama di setiap titik yang dilaluinya. Mengingat bahwa dalam aliran tunak, massa fluida yang masuk sama dengan massa fluida yang keluar, maka : mm 1 = mm 2 ρρaa 1 vv 1 tt = ρρaa 2 vv 2 tt AA 1 vv 1 = AA 2 vv 2 Dimana AA 1 :luas penampang 1 AA 2 :luas penampang 2 vv 1 :laju aliran fluida pada penampang 1 vv 2 :laju aliran fluida pada penampang 2 Dimana QQ = debit (mm 3 /ss) VV = volume fluida (mm 3 ) tt = waktu fluida mengalir (ss) QQ = VV tt

17 2.Persamaan Kontinuitas untuk Fluida Termampatkan (compressible) Untuk kasus fluida yang termampatkan atau compressible, massa jenis fluida tidak selalu sama. mm 1 = mm 2 ρρ 1 AA 1 vv 1 tt = ρρ 2 AA 2 vv 2 tt Selang waktu (tt) aliran fluida sama sehingga bisa dihilangkan. Sehingga diperoleh persamaan : ρρ 1 AA 1 vv 1 = ρρ 2 AA 2 vv 2

18 F. Metode Beda Hingga Diberikan persamaan : 2 uu + 2 uu = 0, 2 uu + 2 uu = 2 uu , 2 uu + 2 uu = 2 2 Variabel uu selanjutnya didefinisikan sebagai uu = uu(xx, yy) dan uu(xx + h, yy + kk). Berdasarkan deret Taylor mempunyai hubungan sebagai berikut : uu xx + h, yy + kk = uu xx, yy + + kk uu xx, yy + 1 h 2! 1 h nn 1! RR nn h + kk + kk 2 uu xx, yy + + nn 1 uu xx, yy +

19 RR nn = 1 nn! h + kk nn uu xx + ξξξ, yy + ξξξξ, 0 < ξξ < 1 (ii 1, jj + 1) (ii, jj + 1) (ii + 1, jj + 1) yy (ii 1, jj) (ii, jj) (ii + 1, jj) xx (ii 1, jj 1) (ii, jj 1) (ii + 1, jj 1) Pola Beda Hingga

20 Titik dalam ruang atau grid (ii, jj) dan titik titik grid terdekat digambarkan pada tersebut. Pengembangan deret Taylor di sekitar titik uu ii,jj akan menghasilkan uu ii 1,jj = uu ii,jj xxxx xx + xx 2 uu 2! xxxx xx 3 uu 3! xxxxxx + xx 4 4! uu ii+1,jj = uu ii,jj + xxxx xx + xx 2 uu xxxx + xx 3 uu xxxxxx + xx 4 2! 3! 4! uu xxxxxxxx uu xxxxxxxx

21 Dalam hal ini uu xx = / dan uu xxxx = 2 uu/ 2. Semua turunan dievaluasi pada titik (ii, jj). Berdasar cara yang sama diperoleh turunan dengan orde yang lebih tinggi. = uu ii+1,jj uu ii,jj xx + 0( xx) forward difference = uu ii,jj uu ii 1,jj xx + 0( xx) backward difference = uu ii+1,jj uu ii 1,jj 2 xx + 0[ xx 2 ] central difference 2 uu 2 = uu ii 1,jj 2uu ii,jj+uuii +uu ii+1,jj ( xx) 2 + 0[ xx 2 ]

22 G. Alternating Direct Implicit (ADI) Method Metode Alternating Direct Implicit (ADI) adalah metode beda hingga yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial berbentuk parabolik dan eliptik. Misal diberikan sistem persamaan diferensial biasa : dddd dddd = (AA 1 + AA 2 )UU UU 0 = UU 0 dimana UU(tt) adalah vektor berdimensi N. UU mm+1 = UU mm + tt 2 [ AA 1 + AA 2 UU mm+1 + AA 1 + AA 2 UU mm ]

23 H. Metode Volume Hingga 1. Hukum kekekalan massa untuk suatu volume kendali dapat dinyatakan dengan persamaan (Apsley, 2005) : dd ρρ + ρρρρρρ = 0 dddd ffffffff 2. Hukum kekekalan momentum untuk suatu volume kendali dapat dinyatakan dengan persamaan (Apsley, 2005) : dd dddd ρρ uu + ρρρρρρρρ ffffffff = FF

24 I. Area Penelitian Lokasi area penelitian yang digunakan untuk penelitian dalam Tugas Akhir ini adalah perumahan Babatan Mukti Surabaya. Perumahan ini terletak di Jalan Raya Menganti, Wiyung, Surabaya, Jawa Timur.

25 Diagram Sistem Perpipaan Perumahan Babatan Mukti Surabaya

26

27 Transformasi Koordinat Kartesian ke Koordinat Polar A. Persamaan Massa dan Momentum pada Pipa Pada pipa terdapat dua jenis aliran, yaitu aliran lurus dan aliran menikung. Pipa yang aliran airnya menikung diasumsikan bahwa pipanya berbentuk busur seperempat lingkaran. Y θθ X

28 Dalam koordinat Kartesians diketahui bahwa xx 2 + yy 2 = 2 Maka dalam koordinat tabung dinyatakan dalam bentuk, θθ, dan zz, yaitu : xx =, yy = ssssssss, θθ = aaaaaaaaaaaa yy xx, zz = zz sehingga untuk = cccccccc, = ssssssss = 0, = 0 = ssssssss, = 0,, = cccccccc, = 0,

29 Oleh karena itu, bentuk determinan jacobi nya adalah : JJ = atau ditulis dengan JJ = cccccccc ssssssss 0 ssθθ ssssssss

30 1. Persamaan Kekekalan Massa Berdasarkan rumus yang tertulis pada Tugas Akhir Kajian Karakteristik Sedimentasi di Pertemuan Dua Sungai Menggunakan Metode Meshles Local Petrov-Galerkin dan Simulasi Fluent (Sholikin,M. 2011), diperoleh persamaan kekekalan massa sebagai berikut : + uuuuuuuuuu + vvvvvvvvvv ρρ cccccccc + ρρ ssssssss + vvvvvvvvvv + ρρ cccccccc uuuuuuuuuu + ρρ ssssssss = 0 (1) Karena aliran pipa merupakan aliran incompressible, maka ρρ = konstan : DDDD DDDD = 0 Jika dijabarkan, dapat ditulis sebagai : Atau dapat dinyatakan dengan + ρρρρ. UU = 0 = ρρρρ xxcccccccc + ρρρρ yycccccccccccc + ρρρρ zzcccccccc (2)

31 Untuk = AA. UU. tt. cos θθ atau = AA.. cos θθ Dengan : = volume fluida maka : AA = luas permukaan UU = kecepatan aliran fluida tt = waktu θθ = sudut yang dibentuk oleh pipa = AA xxtt ssssssss + AA yytt ssssssss + AA zztt ssssssss (3) = AA xxcccccccc + AA yy cccccccc + AA zz cccccccc (4)

32 Selanjutnya, karena pipa yang dikaji berbentuk menikung maka bentuk uu = (xx, yy, zz) diubah menjadi uu = (, θθ, zz) dalam koordinat tabung. Dengan menggunakan turunan total, maka diperoleh persamaan : = + +, = + +, = + + Dari perhitungan pada determinan jacobian sebelumnya, maka dapat ditulis ssssssss cccccccc +, (5) = = =. ssssssss + cccccccc, (6)

33 Dengan mensubstitusikan Persamaan (2) (6) ke Persamaan (1) dan karena ρρ adalah densitas air, maka ρρ 0, sehingga persamaan kekekalan massa dapat dinyatakan sebagai berikut : AA xxcccccc 2 θθ AA xx tttttttttttttttttt vvvvvvvvvv AA xxcccccccc ssssssss + AA xx tt ssssss2 θθ AA yycccccccccccccccc + ssssssss + uuuuuuuuuu vvvvvvvvvv uuuuuuuuuu cccccc 2 θθ AA yy + cccccccc + ssssssss + cccccccc AA zz cccccccc AA zz tttttttttt vvvvvvvvvv uuuuuuuuuu + uuuuuuuuuu + vvvvvvvvvv AA xx cccccccc + AA yy cccccccc + AA zz cccccccc = 0 + +

34 2. Persamaan Kekekalan Momentum Berdasarkan rumus yang tertulis pada Tugas Akhir Kajian Karakteristik Sedimentasi di Pertemuan Dua Sungai Menggunakan Metode Meshles Local Petrov-Galerkin dan Simulasi Fluent (Sholikin,M. 2011), diperoleh persamaan kekekalan momentum sebagai berikut : ρρ UU + vv UU + ρρ UUUU + ρρ UUUU cccccccc + ρρ UUUU + ρρ UUUU ssssssss + uuvvssθθ UU uuuuuuuuuuuu UU vvvvvvvvvv + 2ρρ UUUUUUUUUUUU 2ρρ UU + vv2 ssssssss UU + vv 2 cccccccc UU UU = gggg UUUUUUUUUU gggg UUUUUUUUUU UU + gggg UUUUUUUUUU UU + gggg UUUUUUUUUU UU + gg ρρ UU 2 (SS xx + SS yy ) (7) dengan : ρρ = massa jenis air = volume air uu = kecepatan aliran pipa pada sumbu x vv = kecepatan aliran pipa pada sumbu y gg = percepatan gravitasi = jari jari pipa SS xx = kemiringan dasar saluran pada sumbu x SS yy = kemiringan dasar saluran pada sumbu y

35 a. Persamaan Kekekalan Momentum pada Arah Sumbu x Pada aliran incompressible berlaku DDDD uu = FF DDDD Jika dijabarkan dapat ditulis sebagai uu + ρρρρ. UU. uu = FF Atau dapat dinyatakan dengan uu = FF ρρρρ xxuuuuuuuuuu + ρρρρ yyuuuuuuuuuu + ρρρρ zzuuuuuuuuuu (8)

36 Dengan mensubstitusikan Persamaan (2) (6) dan Persamaan (8) ke Persamaan (7), maka diperoleh persamaan kekekalan momentum ke arah sumbu x sebagai berikut : uu + uuuuaa xx cccccc 2 θθ + 2 uuuuuuuuuuuu + uuuu AA xxcccccccccccccccc + gggg uu2 2 uu2 vv 2 uu2 vv uuuuuu yycccccccccccccccc + uu 2 cccccccc + uuuu uuuu AA yycccccc 2 θθ + uu 2 ssssssss + uu2 vv 2 uuuuaa zz cccccccc + uu2 vv + gggg uu2 + gggg uu2 AA xx ttssssss 3 θθ + vv2 cccccccc + gggg uu2 + gggg uu2 2 AA xx ttcccccccccccccc 2 θθ + vv 2 ssssssss + + uuvv2 2 + gggg uu2 2 gggg uu2 uuvv2 AA xx ttttttttttssssss 2 θθ + gggg 2 uu gggg uu2 uuvv2 AA xx ttcccccc 2 θθθθθθθθθθ + gggg 2 uu cccccccc + ssssssss + ssssssss + cccccccc + AA yy ttssssss 3 θθ + 2 uuuuuuuuuuuu + AA yy ttttttttttssssss 2 θθ + AA yy ttttttttttssssss 2 θθ 2 uu vvvvvvvvvv + gggg uu2 uuvv2 AA 2 2 yy ttcccccc 2 θθθθθθθθθθ + AA zz ttssssss 2 θθ + gggg uu2 uuvv2 AA zz tttttttttttttttttt + vvvv + uu 2 vvvvvvvvvv + uuuu 2 ssssssss + gggg uu 2 cccccccc gggg uu 2 ssssssss AA xx cccccccc + AA yy cccccccc + AA zz cccccccc gg uu 2 SS xx + SS yy = 0 b. Persamaan Kekekalan Momentum Pada Arah Sumbu yy Seperti halnya pada arah sumbu xx, berlaku vv + ρρρρ. UU. vv = FF Jika dijabarkan dapat ditulis sebagai vv = FF ρρρρ xxvvvvvvvvvv + ρρρρ yyvvvvvvvvvv + ρρρρ zzvvvvvvvvvv (9)

37 Dengan mensubstitusikan Persamaan (2) (6) dan Persamaan (9) ke Persamaan (7), maka diperoleh persamaan kekekalan momentum ke arah sumbu y sebagai berikut : vv + vv 2 vv2 AA xx cccccc 2 θθ + vv 2 cccccccc + uuvv2 + gggg vv2 AA xxcccccccccccccccc + vv2 gggg vv2 ssssssss + 2 vv2 AA yy cccccccccccccccc + 2 uuvvssθθ + uuvv2 vv2 AA xx ttttttttttssssss 2 θθ + uuvv2 AA 2 xx ttssssss 3 θθ + vv3 + gggg vv2 2 AA yy ttssssss 3 θθ + 3 vv 2 ssssssss + gggg vv2 vv3 AA xx ttcccccc 2 θθθθθθθθθθ + AA 2 xx ttttttttttssssss 2 θθ + + gggg vv2 gggg vv2 vv3 AA yy ttttttttttssssss 2 θθ + gggg 2 vv cccccccc + ssssssss + AA yycccccc 2 θθ + uuvv2 + gggg vv2 AA 2 2 yy ttttttttttssssss 2 θθ vv2 cccccccc + gggg vv2 vv3 AA 2 yyttcccccc 2 θθθθθθθθθθ + gggg 2 vv cccccccc ssssssss + 2 vv 2 AA zz cccccccc + uuvv2 gggg vv2 AA zz ttssssss 2 θθ + gggg vv2 vv3 AA zz tttttttttttttttttt + vvvv + uuvv 2 cccccccc + vv 3 ssssssss + gggg vv 2 cccccccc + ssssssss AA xx cccccccc + AA yy cccccccc + AA zz cccccccc gg vv 2 SS xx + SS yy = 0 c. Persamaan Kekekalan Momentum pada Arah Sumbu zz Seperti halnya pada arah sumbu xx dddddd yy, berlaku ww + ρρρρ. UU. ww = FF Jika dijabarkan dapat ditulis sebagai ww = FF AA xxwwwwwwwwww + AA yywwwwwwwwww + AA zzwwwwwwwwww (10)

38 Dengan mensubstitusikan Persamaan (2) (6) dan Persamaan (10) ke Persamaan (7), maka diperoleh persamaan kekekalan momentum ke arah sumbu z sebagai berikut : ww + vvvvaa xxcccccc 2 θθ + wwwwwwwwwwww + uuuuuu + ρρρρ ww2 AA xx ttttttttttssssss 2 θθ + vv2 ww ρρρρ ww2 AA xx ttcccccc 2 θθθθθθθθθθ + vvvv AA xxcccccccccccccccc + vvvv ssssssss + uuuuuu ρρρρ ww2 AA 2 2 xx ttssssss 3 θθ + vv2 ww + ρρρρ ww2 AA 2 2 xx ttttttttttssssss 2 θθ + vvvvaa yycccccccccccccccc + uuuuuuuuuuuu + 2 vvvvvvvvvvvv + uuuuuu + ρρρρ ww2 AA yy ttssssss 3 θθ + vv2 ww ρρρρ ww2 AA yy ttttttttttssssss 2 θθ + vvvv AA yycccccc 2 θθ + + uuuu ssssssss 2 vvvv cccccccc + uuuuuu + ρρρρ ww2 AA 2 2 yy ttttttttttssssss 2 θθ + vv2 ww ρρρρ ww2 AA 2 2 yy ttcccccc 2 θθθθθθθθθθ + uuuuuuuuuuuu + vv2 ssssssss + ρρρρ 2 ww cccccccc + ssssssss + cccccccc vv2 + ρρρρ 2 ww cccccccc ssssssss + vvvvaa zz cccccccc + uuuuuu AA zz ttssssss 2 θθ + AA zz tttttttttttttttttt + + ρρρρ ww2 vv2 ww ρρρρ ww2 vvvv + uuuuuuuuuuuuuu + vv 2 wwwwwwwwww + ρρρρ ww 2 cccccccc + ssssssss AA xx cccccccc + AA yy cccccccc + AA zz cccccccc gg ww 2 SS xx + SS yy = 0

39 B. Penyelesaian Numerik Berdasarkan rumus yang tertulis pada Tugas Akhir Kajian Karakteristik Sedimentasi di Pertemuan Dua Sungai Menggunakan Metode Meshles Local Petrov-Galerkin dan Simulasi Fluent (Sholikin,M. 2011), persamaan kekekalan massa yang berlaku pada pipa yang alirannya menikung adalah sebagai berikut : + + = 0 karena h = konstan, maka persamaan tersebut dapat ditulis : + = 0 dapat ditulis dengan, = (11)