SEMUA SUBGRUP SIKLIK DARI GRUP Z,

Jural Teorema: Teori da Riset Matematika Vol 3 No 2, Hal 177-186, September 2018 p-issn 2541-0660, e-issn 2597-7237 2018 SEMUA SUBGRUP SIKLIK DARI GRUP Z, Idra Bayu Muktyas 1, Samsul Arifi 2 1,2 Program Studi Pedidika Matematika, STKIP Surya email: idrabayu.muktyas@stkipsurya.ac.id Grup Z, ABSTRAK adalah grup himpua bilaga bulat modulo terhadap operasi pejumlaha modulo. Subgrup siklik adalah subgrup yag dibagu oleh satu buah eleme suatu grup. Pada grup Z,, semua subgrup siklik di dalamya dapat ditetuka melalui pembagu yag merupaka faktor dari. Dalam tulisa ii aka ditetuka semua subgrup siklik di grup Z, dega megguaka batua pemrograma Pytho. Kata Kuci: Grup Z,, Subgrup Siklik, Pytho. Dikirim: 13 Agustus 2018; Diterima: 17 September 2018; Dipublikasika: 29 September 2018 Cara sitasi: Muktyas, I. B., da Arifi, S. 2018. Semua Subgrup Siklik dari Grup Z,. Jural Teorema: Teori da Riset

178 Jural Teorema: Teori da Riset Matematika Vol 3 No 2, Hal 178-186, September 2018 PENDAHULUAN Suatu grup adalah himpua tak kosog G yag dilegkapi dega operasi bier *, sedemikia higga berlaku tertutup, asosiatif, terdapat eleme idetitas da setiap eleme memiliki ivers. Jika suatu grup memiliki sifat a*b=b*a, utuk setiap eleme a da b, maka dikataka bahwa grup tersebut komutatif. Sifat-sifat dasar megeai grup dibahas oleh Fraleigh (2000), Herstei (1996) da Isaacs (1994). Grup Siklik adalah grup di maa setiap elemeya dapat ditulis sebagai perpagkata dari setiap usur tetap pada grup tersebut. Karakteristik dari grup siklik dibahas oleh Rotma (2003), Gallia (2017) da Malik (1997). Subgrup adalah subhimpua H di dalam grup G yag juga merupaka grup dega operasi bier yag sama di G. Utuk suatu a eleme grup G, dapat dibetuk subhimpua S berisi semua eleme G yag merupaka hasil perpagkata dari eleme a. Subhimpua S tersebut membetuk subgrup di G, da disebut subgrup siklik yag dibagu/diretag oleh a. Igat bahwa setiap grup siklik adalah grup komutatif da subgrup dari suatu grup siklik juga siklik. Himpua semua bilaga bulat modulo, diotasika dega, adalah suatu grup terhadap operasi pejumlaha modulo. Grup Z ii mejadi salah satu cotoh yag sagat petig dalam mempelajari teori grup. Grup Z, dikostruksi dega memafaatka algoritma pembagia pada himpua semua bilaga bulat Z. Proses pembetuka dibahas oleh Dummit (2004). Pegaplikasia dari grup (Z, +) dapat dilakuka dega batua pemrograma komputer berbahasa Pytho. Pytho adalah salah satu bahasa pemrograma yag mudah utuk dipelajari. Pytho juga dapat berjala di berbagai sistem operasi, seperti Widows yag dibahas pada Pytho (2018), Liux, Mac OS, Adroid yag dibahas pada QPytho (2018), da lai lai. Dalam tulisa ii aka dikaji peetua semua subgrup siklik dari grup Z, dega megguaka batua pemrograma Pytho. Z Z METODE PENELITIAN Secara umum metode peelitia yag diguaka dalam peelitia ii adalah metode eksplorasi da adaptasi dari hasil-hasil yag sudah ada, yag dicermati dari studi literatur. Berikut ii adalah gambara tahapa dari recaa kerja yag ditempuh dalam peelitia tetag peetua semua subgrup siklik dari grup Z, dega megguaka Pytho. Utuk mecapai sasara peelitia yag igi dicapai, peelitia dibagi mejadi tiga tahapa, yaitu megkaji tetag kosep grup da subgrup siklik, meetuka lagkah-lagkah dalam meetuka semua subgrup siklik dari grup Z,, da membuat programya megguaka Pytho. HASIL DAN PEMBAHASAN PENGERTIAN GRUP Z, Di sesi ii aka dikaji megeai kostruksi dari grup Z,. Dalam tulisa ii diasumsika bahwa semua grup bersifat komutatif. Berikut diberika pegertia dari grup. Dikirim: 13 Agustus 2018; Diterima: 17 September 2018; Dipublikasika: 29 September 2018 Cara sitasi: Muktyas, I. B., da Arifi, S. 2018. Semua Subgrup Siklik dari Grup Z,. Jural Teorema: Teori da Riset

Muktyas, I. B & Arifi, S 179 Defiisi 2.1. Fraleigh [1]. Diberika himpua tak kosog G yag dilegkapi dega operasi. Himpua G disebut grup terhadap operasi jika memeuhi empat aksioma berikut ii: a bg a b G 1., 2. a, b, c Ga bc a b c 3. ega Ga e ea a 4. 1 1 1 a G a G a a a a e Dalam Gallia (2017), telah dibuktika bahwa eleme idetitas da eleme ivers dari suatu grup adalah tuggal, berlaku sifat kaselasi da berlaku sifat Socks-Shoes. Selajutya diberika pegertia megeai salah satu cotoh grup, yaitu (Z, +). Grup tersebut dibetuk dega memafaatka algoritma pembagia pada himpua semua bilaga bulat Z. Igat bahwa suatu relasi ~ disebut relasi ekivalesi jika bersifat reflektif, simetris, da trasitif. Diberika suatu a Z da bilaga bulat positif Z +. Berdasarka algoritma pembagia pada bilaga bulat, terdapat dega tuggal k, l Z sedemikia higga berlaku a = k + l dega 0 l 1. Bilaga bulat k disebut hasil bagi (quotiet) da bilaga bulat l disebut sisa (residu). Sisa pembagia l ditulis l = a mod. Selajutya, disajika kosep kogruesi pada bilaga bulat sebagai berikut. Misalka diberika bilaga bulat da bilaga bulat positif Z. Bilaga bulat a disebut kogrue b modulo jika berlaku, ditulis dega a b mod itu, himpua Z abz, a b. Mudah ditujukka bahwa kogruesi modulo adalah relasi ekivalesi. Oleh karea terbagi mejadi kelas-kelas himpua yag tidak beririsa. Utuk suatu eleme a Z, berlaku a xz x amod, yaitu kelas himpua yag memuat a. Secara umum, utuk setiap Z^, terdapat partisi yag tidak beririsa pada himpua Z, yaitu 0, 1, 2,..., da Dibetuk himpua, yaitu himpua yag berisi koleksi semua kelas yag diperoleh dari 1. Z relasi ekivalesi kogrue modulo, ditulis 0,1, 2,..., 1 Z. Pada himpua Z didefiisika operasi pejumlaha +, yaitu utuk setiap abz, didefiisika a b : a b. Dapat ditujukka bahwa Z, merupaka grup komutatif komutatif dega eleme idetitasya adalah 0Z. PENGERTIAN SUBGRUP SIKLIK Dalam sesi ii aka dikaji megeai subgrup siklik. Berikut adalah defiisi dari grup siklik da pembagu dari suatu grup. Defiisi 3.1. Adkis [6]. Suatu grup G, disebut grup siklik jika terdapat g G sedemikia higga utuk setiap a G dapat diyataka sebagai a g, utuk suatu Z. Eleme g G tersebut disebut dega geerator atau eleme pembagu grup G,, diotasika dega G g. Dikirim: 13 Agustus 2018; Diterima: 17 September 2018; Dipublikasika: 29 September 2018 Cara sitasi: Muktyas, I. B., da Arifi, S. 2018. Semua Subgrup Siklik dari Grup Z,. Jural Teorema: Teori da Riset

180 Jural Teorema: Teori da Riset Matematika Vol 3 No 2, Hal 180-186, September 2018 Dari defiisi grup siklik di atas, jelas bahwa G g g. Di lai pihak, grup Perhatika cotoh berikut. Grup Z72 1 Z 72, Z 72, Z utuk suatu pembagu g G. merupaka grup siklik yag dibagu oleh 11Z 72 1Z 72, yaitu Z72 11 teryata juga dibagu oleh, yaitu. Mudah dilihat bahwa grup adalah grup komutatif. Hal ii seada dega sifat bahwa setiap grup siklik adalah grup komutatif (lihat[1]). Misalka diberika grup da himpua bagia tidak kosog H G. Igat bahwa Z 72, himpua H dikataka subgrup dari G, G, jika H juga merupaka grup terhadap operasi bier yag sama pada grup G, diotasika dega H G ( Herstei (1996)). Rotma (2003) mejelaska bahwa suatu subhimpua dari suatu grup dapat diuji apakah merupaka subgrup atau buka, yaitu misalka diberika grup da H suatu subhimpua tidak kosog dari G, maka H G jika G, 1 berlaku a, b H a b H. Selajutya aka dibuktika bahwa utuk suatu eleme dapat dibetuk subhimpua dega pembagu g G Teorema 3.2. Dummit [2]. Diberika grup G da g G, maka g g disebut dega subgrup siklik dari G dega pembagu g. Bukti: Jelas bahwa da tidak kosog, sebab sebarag a, b g g G, maka a g m g da Selajutya, perhatika bahwa 1 terbukti bahwa g subgrup dari G. G, da membetuk subgrup di merupaka subgrup dari G. Selajutya, b g, utuk suatu, 1 m m m ab g g g g g g gg 0 g e g. Selajutya diambil m, sehigga m.. Dega demikia, Igat bahwa order suatu subgrup adalah bayakya eleme dari subgrup tersebut. Perhatika cotoh berikut. Cotoh 3.3. Diberika grup 106 0,1,2,...,105 S 0,2,...,104 adalah subgrup dari grup 53. Z terhadap operasi pejumlaha modulo 106. Himpua Misalka diberika sebarag k, Z, 106 yag dibagu oleh 2Z 106 dega order Z. Perhatika bahwa FPB, k 1 bermaka bahwa tidak ada faktor persekutua lai dari da k selai 1. Berikut adalah lemma yag megataka bahwa pembagu dari grup Z, adalah bilaga k sedemikia higga berlaku FPB, k 1, serta subgrup-subgrup di grup Z, adalah subhimpua yag dibagu oleh faktor-faktor dari.. g, Dikirim: 13 Agustus 2018; Diterima: 17 September 2018; Dipublikasika: 29 September 2018 Cara sitasi: Muktyas, I. B., da Arifi, S. 2018. Semua Subgrup Siklik dari Grup Z,. Jural Teorema: Teori da Riset

Muktyas, I. B & Arifi, S 181 Lemma 3.4. Gallia [7]. a) Suatu k Z b) Di grup, adalah pembagu dari Z, k Z dega order k. Lebih lajut, haya Z pembagi dari k jhj FPB, k 1., himpua k subgrup-subgrup di Lemma tersebut mejami bahwa semua subgrup siklik di grup Z adalah subgrup tuggal di. Z, Z adalah subhimpua yag dibagu oleh semua faktor dari. Hal ii yag aka mejadi dasar dari peetua semua subgrup siklik di pemrograma megguaka Pytho. Perhatika cotoh berikut. Cotoh 3.5. Z. Igat bahwa faktor dari adalah {1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, Misalka diberika grup 70 0,1,2,...,69 70}, sehigga diperoleh subgrup-subgrup di grup 1 0,1,...,69 order 70 2 0,2,...,68 order 35 5 0,5,...,65 order 14 7 0,7,...,63 order 10 10 0,10,...,60 order 7 14 0,14,...,56 order 5 35 0,35 order 70 70 0 order 70 Z 70, adalah: Eleme pembagu suatu subgrup siklik tidak tuggal. Perhatika kembali cotoh berikut. Z. Subgrup siklik dega pembagu 10Z 100 adalah Misalka diberika grup 100, 10 10 0,10,20,...,90 sebagai berikut, 11 11 Z. Subgrup siklik dega pembagu 11Z 100 adalah dilihat bahwa 11 Z 100, yaitu 100. Di lai pihak grup 100, 0 1 2 3 Z 11 0,11 11,11 22,11 33,... 0,1,2,...,99 Z. Dapat 11Z merupaka eleme pembagu dari grup siklik Z, 100 Z juga dibagu oleh 1, yaitu Z 100 1. 100 PEMBAHASAN HASIL Dalam sesi ii aka dikaji pemrograma dalam meetuka semua subgrup siklik dari grup Z, dega megguaka Pytho 2.7.14, yag merupaka hasil utama dari tulisa ii. Hal-hal yag mejadi dasar dalam pembuata program adalah Lemma 3.4. di atas. Berikut adalah tampila pemrograma yag diguaka dalam tulisa ii. Dikirim: 13 Agustus 2018; Diterima: 17 September 2018; Dipublikasika: 29 September 2018 Cara sitasi: Muktyas, I. B., da Arifi, S. 2018. Semua Subgrup Siklik dari Grup Z,. Jural Teorema: Teori da Riset

182 Jural Teorema: Teori da Riset Matematika Vol 3 No 2, Hal 182-186, September 2018 lagi = "y" while lagi == "y": from fuctools import reduce def factors(): retur set(reduce(list. add, ([j, //j] for j i rage(1, it(pow(, 0.5) + 1)) if % j == 0))) prit "==========================================" prit "Meetuka Semua Subgrup Siklik di Grup Z" = iput("masukka :") prit "Z_%d : %s" %(, rage()) faktor = factors() listfaktor = list(faktor) listfaktor.sort() prit "Faktor-faktor dari",," = %s" %(listfaktor) prit "------------------------------------------" prit "Semua subgrup siklik di Z_",,":" for a i listfaktor: bagua = [] for i i rage(): hasil = a*i% if hasil ot i bagua: bagua.apped(hasil) bagua.sort() prit "<",a,"> =", bagua, ", ---> orde", le(bagua) quotiet = [] for i i rage(): hasil2 = [ (i+b)% for b i bagua ] hasil2.sort() if hasil2 ot i quotiet: quotiet.apped(hasil2) lagi = raw_iput("mau lagi? (y atau t):") Berikut adalah tampila program megguaka Pytho da cotoh output dari program di atas, yaitu utuk grup Z, 72 da Z utuk versi OS Widows. 108, Dikirim: 13 Agustus 2018; Diterima: 17 September 2018; Dipublikasika: 29 September 2018 Cara sitasi: Muktyas, I. B., da Arifi, S. 2018. Semua Subgrup Siklik dari Grup Z,. Jural Teorema: Teori da Riset

Muktyas, I. B & Arifi, S 183 Berikut adalah tampila program megguaka Pytho da cotoh output dari program di atas, yaitu utuk grup da Z, 108 utuk versi OS Widows. Tampila keluara berikut aka meutup sesi ii. 1. Utuk grup Z, 72 Z 72, ========================================== Meetuka Semua Subgrup Siklik di Grup Z ------------------------------------------ Masukka :72 Z_72 : [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71] Faktor-faktor dari 72 = [1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72] ------------------------------------------ Semua subgrup siklik di Z_ 72 : < 1 > = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71] ---> orde 72 < 2 > = [0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70] ---> orde 36 < 3 > = [0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69] ---> orde 24 < 4 > = [0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68] ---> orde 18 < 6 > = [0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66] ---> orde 12 < 8 > = [0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64] ---> orde 9 < 9 > = [0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63] ---> orde 8 < 12 > = [0, 12, 24, 36, 48, 60] ---> orde 6 < 18 > = [0, 18, 36, 54] ---> orde 4 < 24 > = [0, 24, 48] ---> orde 3 < 36 > = [0, 36] ---> orde 2 < 72 > = [0] ---> orde 1 Mau lagi? (y atau t): Dikirim: 13 Agustus 2018; Diterima: 17 September 2018; Dipublikasika: 29 September 2018 Cara sitasi: Muktyas, I. B., da Arifi, S. 2018. Semua Subgrup Siklik dari Grup Z,. Jural Teorema: Teori da Riset

184 Jural Teorema: Teori da Riset Matematika Vol 3 No 2, Hal 184-186, September 2018 Z 108, 2. Utuk grup ========================================== Meetuka Semua Subgrup Siklik di Grup Z ------------------------------------------ Masukka :72 Z_72 : [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71] ========================================== Meetuka Semua Subgrup Siklik di Grup Z ------------------------------------------ Masukka :108 Z_108 : [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107] Faktor-faktor dari 108 = [1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108] ------------------------------------------ Semua subgrup siklik di Z_ 108 : < 1 > = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107] ---> orde 108 < 2 > = [0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100, 102, 104, 106] ---> orde 54 < 3 > = [0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99, 102, 105] ---> orde 36 < 4 > = [0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100, 104] ---> orde 27 < 6 > = [0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102] ---> orde 18 < 9 > = [0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99] ---> orde 12 < 12 > = [0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96] ---> orde 9 < 18 > = [0, 18, 36, 54, 72, 90] ---> orde 6 < 27 > = [0, 27, 54, 81] ---> orde 4 < 36 > = [0, 36, 72] ---> orde 3 < 54 > = [0, 54] ---> orde 2 < 108 > = [0] ---> orde 1 Mau lagi? (y atau t): Dega program yag telah dibuat, dapat dihitug ilai maksimal sebesar 1.7x10 308. Nilai ii sesuai dega batas atas bilaga bulat di Pytho yag dapat dicek dega meuliska peritah berikut ii. import sys it(sys.float_ifo.max) Dikirim: 13 Agustus 2018; Diterima: 17 September 2018; Dipublikasika: 29 September 2018 Cara sitasi: Muktyas, I. B., da Arifi, S. 2018. Semua Subgrup Siklik dari Grup Z,. Jural Teorema: Teori da Riset

Muktyas, I. B & Arifi, S 185 KESIMPULAN Kesimpula yag dapat diperoleh dari peelitia ii adalah sebagai berikut: 1. Semua subgrup dari suatu grup siklik juga merupaka grup siklik. adalah subhimpua yag dibagu oleh semua faktor dari Z, 2. Semua subgrup siklik di grup. Z, 3. Dega megguaka program Pytho, dapat ditetuka semua subgrup siklik dari grup dega mudah. REKOMENDASI Rekomedasi yag dapat diberika utuk peelitia selajutya adalah sebagai berikut: 1. Meetuka grup factor dari semua subgrup siklik utuk grup, Pytho. 2. Meetuka geerator-geerator dari semua subgrup siklik utuk grup megguaka Pytho. Z dega megguaka Z, dega UCAPAN TERIMA KASIH Peelitia ii terseleggara atas batua saraa da prasaraa dari STKIP Surya Taggerag. Kami berterima kasih sedalam-dalamya atas dukugaya selama ii. REFERENSI Dummit, D.S. (2004). Abstract Algebra, 3 rd Editio. New York: Joh Wiley ad Sos, Ic. Fraleigh, J.B. (2000). A First Course i Abstract Algebra, 6 th Editio. New York: Addiso-Wesley. Gallia, J.A. (2017). Cotemporary Abstract Algebra, 9th Editio. Bosto: Cegage-Learig. Herstei, I. (1996). Abstract Algebra, 3 rd Editio. New York: Pretice Hall. Isaacs, I.M. (1994). Algebra, A Graduate Course. New York: Wadsworth, Ic.. Malik, D.S. (1997). Fudametals of Abstract Algebra. New York: The McGraw-Hill, Ic. Pytho. (2018). [Olie] Tersedia: https://www.pytho.org/ [30 April 2018] QPytho. (2018). [Olie] Tersedia: https: //play.google.com/store/apps/details?id=org.qpytho.qpy&hl=e [30 April 2018] Rotma, J.J. (2003). Advaced Moder Algebra. New York: Pretice Hall. Dikirim: 13 Agustus 2018; Diterima: 17 September 2018; Dipublikasika: 29 September 2018 Cara sitasi: Muktyas, I. B., da Arifi, S. 2018. Semua Subgrup Siklik dari Grup Z,. Jural Teorema: Teori da Riset

186 Jural Teorema: Teori da Riset Matematika Vol 3 No 2, Hal 186-186, September 2018 Dikirim: 13 Agustus 2018; Diterima: 17 September 2018; Dipublikasika: 29 September 2018 Cara sitasi: Muktyas, I. B., da Arifi, S. 2018. Semua Subgrup Siklik dari Grup Z,. Jural Teorema: Teori da Riset