METODE PEMBUKTIAN MATEMATIKA Toto Hermawa totohermawa@mail.ugm.ac.id ABSTRAK Persepsi bahwa matematia ideti dega aga-aga da operasi hitug (tambah, ali, bagi,urag, pagat, dll) tida selamaya bear. Matematia berhubuga juga dega pealara area matematia merupaa hasil abstrasi (pemiira) mausia terhadap obje-obje seitar.di dalam matematia, buti adalah seragaia argume logis yag mejelasa ebeara suatu peryataa. Argumeargume ii dapat berasal dari premis peryataa itu sediri, teoremateorema laiya, defiisi, da ahirya dapat berasal dari postulat dimaa sistem matematia tersebut berasal. Yag dimasud logis di sii, adalah semua lagah pada setiap argume harus dijustifiasi oleh lagah sebelumya. Jadi ebeara semua premis pada setiap dedusi sudah dibutia atau diberia sebagai asumsi. Pada tulisa sederhaa ii dibahas seilas tetag buti dalam matematia da beberapa metoda pembutiaya. Kata uci: Abstrasi, Argume Logis, Badwidth, Postulat, Teorema, Difiisi, Da Pembutia. PENDAHULUAN Matematia sebagai ilmu dasar (basic sciece). Teori-teori yag ada di dalam matematia diguaa sebagai ladasa utu pegembaga ilmu terapa da teologi. Selai itu, Matematia sebagai ilmu pegetahua dega pealara dedutif megadala logia dalam meyaia aa ebeara suatu peryataa. Fator ituisi da pola berpiir idutif baya berpera pada proses awal dalam merumusa suatu ojetur (cojecture) yaitu dugaa awal dalam matematia. Proses peemua dalam matematia dimulai dega pecaria pola da strutur, cotoh asus da obje matematia laiya. Selajutya, semua iformasi da fata yag terumpul secara idividual ii dibagu suatu oheresi utu emudia disusu suatu ojetur. Setelah ojetur dapat dibutia ebearaya atau etidabearaya maa selajutya ia mejadi suatu teorema. Peryataa-peryataa matematia seperti defiisi, teorema da peryataa laiya pada umumya berbetu alimat logia, dapat berupa impliasi, biimpliasi, egasi, atau berupa alimat beruator. Operator logia seperti ad, or, ot, xor juga serig termuat dalam suatu peryataa matematia. 5
Daftar Pustaa Jadi membutia ebeara suatu teorema tida lai adalah membutia ebeara suatu alimat logia. Materi logia sudah diberia seja disma. Namu selama ii, sebagia siswa atau guru masih megaggap logia sebagai materi hapala, hususya meghapal tabel ebeara. Belum tahu megapa da utu apa logia dipelajari. Tapa meguasai logia maa sulit utu terbetuya apa yag disebut dega logically thiig. Apa yag terbetu pada siswa, mahasiswa, guru atau baha dose selama ii lebih domia pada algorithm thiig atau berpiir secara algoritma. Cara berpiir algoritmis dalam belajar matematia ii lebih diteaa pada memahami lagahlagah dalam meyelesaia suatu soal, tapa melihat lebih dalam megapa lagah-lagah tersebut dapat dilaua. Bila pedeata ii medomiasi dalam pembelajara matematia, misalya di seolah meegah maa aibatya siswa aa mejadi robot matematia. Merea mampu da cepat meyelesaia soal yag mirip (similar) dega cotoh sebelumya, tetapi tida beruti bilamaa soal tersebut dimodifiasi sediit, sehigga tida tampa secara asat mata emiripaya dega soal yag sudah ada, walaupu sesugguhya materiya tetap sama. Pada tahap awal, peerjaa memahami buti bualah sesuatu yag meari area ita lebih baya bergelut dega simbol da peryataa logia etimbag berhadapa dega aga-aga yag biasaya diaggap sebagai arater matematia. Keyataa iilah mejadia salah satu alasa orag malas utu memahami buti dalam matematia. Alasa laiya adalah peerjaa membutia lebih sulit da tida petig. Padahal baya mafaat yag dapat diperoleh pada pegalama membutia ii, salah satuya adalah melatih logically thiig dalam belajar matematia. Secara rici megeai buti dalam matematia meliputi what is proof, why do we prove, what do we prove, da how do we prove. Dari peryataa diatas palig tida terdapat eam motivasi megapa orag membutia, yaitu to establish a fact with certaity, to gai uderstadig, to commuicate a idea to others, for the challege, to create somethig beautiful, to costruct a large mathematical theory. To establish a fact with certaity merupaa motivasi palig dasar megapa orag perlu membutia suatu peryataa matematia, yaitu utu meyaia bahwa apa yag selama ii diaggap bear adalah memag bear. Tida dapat dipugiri selama ii baya ebeara fata di dalam matematia haya dipercaya begitu saja tapa adaya ecurigaa terhadap 6
ISSN : xxxxxxxxxxx ebeara tersebut, tida berusaha membutia sediri, termasu fata-fata yag sagat sederhaa. Kita haya megguaa fata tersebut area sudah ada dalam buu (it was i the text), atau area sudah perah disampaia oleh guru ita. Baya pembutia yag tida haya membutia suatu fata tetapi juga memberia pejelasa tetag fata tersebut. Disiilah, pembutia teorema berfugsi utu medapata pemahama (to gai uderstadig). PERNYATAAN DALAM MATEMATIKA DAN PEMBUKTIAN-NYA Defiisi adalah esepaata bersama megeai pegertia atau batasa suatu istilah. Misalya bilaga prima adalah bilaga lebih besar dari yag tida mempuyai fator selai dari da diriya sediri. Teorema adalah peryataa yag ebearaya dapat dibutia. Teorema dapat berupa alimat beruator yag memuat oetivitas dega satu atau beberapa premis da satu olusi. Teorema Pythagoras: Jia ABC segitiga siu-siu dega sudut siu-siu di B maa berlau AB + BC = AC. Proposisi merupaa teorema ecil dimaa tigat sigi_asiya lebih redah dari Teorema. Cotoh: peralia atara dua bilaga gajil meghasila sebuah bilaga gajil. Fata adag diguaa utu meyataa Teorema atau Proposisi tetapi ebearaya dapat dipahami lagsug da mudah. Cotoh: adalah satu-satuya bilaga geap yag sealigus prima. Pembutia (proof ) adalah seragaia argume logis yag mejelasa ebeara suatu peryataa. Asioma atau postulat adalah peryataa yag mejadi asumsi dasar dalam peyusua suatu osep dalam matematia. Asioma biasa diguaa utu membagu de_isi, atau utu membutia Teorema. Cotoh: melalui dua titi berlaia dapat dibuat sebuah garis Lemma adalah teorema ecil yag biasaya diguaa utu membutia Teorema. Aibat (collorary) merupaa fata yag diturua 7
Daftar Pustaa lagsug dari Teorema dimaa ebearaya dapat dibutia dari Teorema lagsug. Cotoh: jia salah satu sisi pada segitiga siu-siu adalah gajil maa terdapat satu lagi sisiya yag juga gajil. (Aibat dari teorema Pythagoras). Kojetur adalah peryataa yag diduga bear berdasara data empiris (evidece), argume heuristi, atau ituisi para ahli; tetapi belum berdasara argume valid. Bila ojetur dapat dibutia dega argme yag valid maa ia berubah mejadi Teorema atau proposisi. SKEMA PERNYATAAN DALAM MATEMATIKA METODE PEMBUKTIAN MATEMATIKA Defiisi memaia peraa petig di dalam matematia. Topitopi baru matematia selalu diawali dega membuat defiisi baru. Sebagai cotoh, teori fugsi omples diawali dega medefiisia bilaga imajier i, yaitu i = -. Beragat dari defiisi dihasila sejumlah teorema beserta aibat-aibatya. Teorema-teorema iilah yag perlu dibutia. Pada asus sederhaa, adagala teorema pada suatu buu ditetapa sebagai defiisi pada buu yag lai, begitu juga sebaliya. Selajutya, utu memahami materi selajutya dibutuha prasyarat pegetahua logia matematia.. Pembutia Lagsug Buti lagsug ii biasaya diterapa utu membutia teorema yag berbetu impliasi p q. Di sii p sebagai hipotesis diguaa sebagai fata yag dietahui atau sebagai asumsi. Selajutya, dega megguaa p ita harus meujua berlau q. Secara logia pembutia lagsug ii euivale dega membutia bahwa peryataa p q bear dimaa dietahui p bear. Cotoh Jia dietahui adalah gajil, maa butia bahwa adalah gajil. Buti : Dietahui adalah gajil, artiya terdapat suatu bilaga bulat sehigga = +. 8
ISSN : xxxxxxxxxxx Aa ditujua bahwa gajil. = ( + ) = 4 + 4 + = ( + ) +. Perhatia bahwa = ( + ) +. Karea adalah bilaga bulat, maa ( + ) juga pasti bilaga bulat, sehigga adalah gajil.. Pembutia ta c lagsug Kita tahu bahwa ilai ebeara suatu impliasi p q euivale dega ilai ebeara otraposisiya ~ q ~ p. Jadi peerjaa membutia ebeara peryataa impliasi dibutia lewat otraposisiya. Cotoh Butia, jia x bilaga gajil maa x bilaga gajil. Buti. Peryataa ii sagat sulit dibutia secara lagsug. Mari ita coba saja. Karea x gajil maa dapat ditulis x = m + utu suatu bilaga asli m. Selajutya x m tida dapat disimpula apaah ia gajil atau tida. Sehigga buti lagsug tida dapat diguaa. Kotraposisi dari peryataa ii adalah Jia x geap maa x geap. Selajutya diterapa buti lagsug pada otraposisiya. Dietahui x geap, jadi dapat ditulis x= utu suatu bilaga bulat. Selajutya, x = () = ( ) = m yag merupaa bilaga geap. 3. Buti Kosog Bila hipotesis p pada impliasi p q sudah berilai salah maa impliasi p q selalu bear apapu ilai ebeara dari q. Jadi jia ita dapat meujua bahwa p salah maa ita telah berhasil membutia ebeara p q. Cotoh Didalam teori himpua ita megeal defiisi beriut : Diberia dua himpua A da B. Himpua A diataa himpua bagia dari B, ditulis A B jia peryataa beriut dipeuhi : jia x A maa x B. Suatu himpua diataa himpua osog jia ia tida mempuyai aggota. Butia, himpua osog merupaa himpua bagia dari himpua apapu. Buti. Misala A suatu himpua osog da B himpua sebarag. Kita aa 9
Daftar Pustaa tujua bahwa peryataa jia x A maa x B berilai bear. Karea A himpua osog maa peryataa p yaitu x A selalu berilai salah area tida mugi ada x yag mejadi aggota himpua osog. Karea p salah maa terbutilah ebeara peryataa x A maa x B, yaitu A B. Karea B sebarag maa buti selesai. 4. Buti Trivial Bila pada impliasi p q, dapat ditujua bahwa q bear maa impliasi ii selalu berilai bear apapu ilai ebeara dari p. Jadi jia ita dapat meujua bahwa q bear maa ita telah berhasil membutia ebeara p q Cotoh : Butia ebeara _Jia pegui dapat terbag maa 3 + = 5 Salah maa bear jawabaya Bear 5. Buti dega otradisi Prosedur: a. Idetifiasilah olusi sebuah proposisi. b. Adaia olusi tersebut salah.temua otradisi. c. Simpula bahwa pegadaia salah. d. Proposisi terbuti. Cotoh Butia bahwa bilaga irrasioa Buti : Diasumsia rasioal da emudia ditujua bahwa aa terjadi otradisi. Sehigga irasioal. Adaia rasioal. Maa dapat ditulis sebagai hasil bagi dua a bilaga bulat sedemiia b higga a da b relatif prima. Jia b a = maa ( a ) = da a = b b Karea b bilaga bulat geap, maa a adalah geap, demiia pula a. Megapa? Karea a geap, maa a dapat ditulis sebagai a = c, c bilaga bulat. Didapat a = 4c. Padahal a = b, maa b = c, sehigga b geap, aibatya b geap. Karea a da b eduaya geap, tetu mempuyai fator perseutua. Maa didapat eadaa yag otradisi dega pegadaia. Sehigga pegadaia bilaga rasioal tida bear. Jadi irasioal. 6. Buti etuggala 0
ISSN : xxxxxxxxxxx Dalam membutia etuggala, pertama harus ditujua esistesi suatu obje. Cotoh : Butia sistem persamaa x + y = 4 da x - y = - 3 mempuyai peyelesaia tuggal. Butia esistesi peyelesaiaya. Dega elimiasi misalya, diperoleh (x=; y=) adalah peyelesaia. Ambil (x, y) sebarag peyelesaia maa haruslah memeuhi x + y = 4 da x - y = - 3. Dega cara yag sama aa diperoleh x = x da y=y. Terbuti peyelesaiaya tuggal. 7. Buti dega couter example Utu membutia suatu ojetur teradag ita membutuha pejabara yag cuup pajag da sulit. Tapi bila ita dapat meemua satu saja asus yag tida memeuhi ojetur tersebut maa selesailah urusaya. Cotoh : Diberia ruag matri (X,d) da A, B X, Butia A B A B tida belau? Buti: couter example A (,3) maa A [,3] B (3,4) maa B [3,4] A B {3} Tetapi A B 3 A B tetapi 3 A B 8. Buti dega idusi matematia Misala P() peryataa tetag dimaa berjala pada himpua bil asli N atau subsetya. Kebeara P() bergatug dari ilai yag diberia. PRINSIP INDUKSI: Bila S himpua bagia dari N dega sifat-sifat: (i) S (ii) S + S Maa haruslah S=N. Metode Idusi Matematia : Misala diberia fugsi proposisi P(), N. Bila (i) P() Bear (ii) P() P( + ) Bear Maa P() TRUE utu setiap N Cotoh : Butia + + 3 + + = ( + ) berlau utu setiap N. BUKTI: (i) P(): = ( + ) Bear (ii) Dietahui P() Bear, yaitu + + 3 + + = ( + ) Diperhatia P(+): + + 3 + + + ( + ) (+)
Daftar Pustaa = ( + ) + ( + ) = + ( + ) yai P(+) Bear. Jadi P() berlau utu setiap N. 9. Buti dua arah Suatu peryataa berupa bi-impliasi, p q. Ada dua emugia bi-impliasi berilai bear p q yaitu p bear da q bear, atau p salah da q salah. Dalam prateya, peryataa ii terdiri dari p qda q p. Membutia ebeara bi-impliasi p q berarti membutia ebeara edua impliasi p qda q p. Selajutya dapat megguaa buti lagsug, talagsug atau mugi dega otradisi. Cotoh Diberia ruag metri (X,d) da barisa { x } X. Barisa { x } memilii titi cluster x X jia da haya jia terdapat subbarisa { x } x di maa x x. Buti ( ) Dietahui merupaa titi cluster dari { x }, maa utu setiap N bola terbua Bx (, ) memuat ta higga baya eleme dari { x }, Sehigga utu setiap N dapat dipilih x B( x, ) { x }. Aa dibutia{ x } overge e x. Diperhatia bahwa utu setiap N berlau x B( x, ) dega ata lai d( x, x ). Diambil sebarag 0, berdasar-a Archimedes maa terdapat N N, utu N berlau N Dega demiia utu setiap N berlau d( x, x ) N. Jadi utu sebarag 0 terdapat N N, utu setiap N berlau d( x, x ). Kesimpula: { x } overge e x. ( ) Dietahui terdapat subbarisa { x } x x di maa x. Dega demiia utu sebarag 0 terdapat N N, utu N berlau d( x, x ). Hal ii berarti berlau x B( x, ) utu semua N. Jadi utu sebarag
ISSN : xxxxxxxxxxx 0, bola terbua Bx (, ) memuat ta higga baya eleme dari { x }, dega ata lai merupaa titi cluster dari { x }. Kesimpula: area { x } x maa x juga merupaa titi cluster dari { x }. KESIMPULAN Persepsi bahwa matematia ideti dega aga-aga da operasi hitug (tambah, ali, bagi,urag, pagat, dll) tida selamaya bear. Matematia berhubuga juga dega pealara area matematia merupaa hasil abstrasi (pemiira) mausia terhadap obje-obje seitar. Produ utama matematia berupa peryataa-peryataa berupa defiisi, teorema, aibat, eojetur, dll. Aga da operasi aritmatia yag meyertaiya merupaa produ turua matematia. Dalam matematia ebeara peryataa perlu dibutia. PENUTUP Belajar matematia dega cara memahami buti tidalah mudah. Dibutuha watu utu memahami matematia sebagai bahasa logia. Juga, dibutuha wawasa matematia yag luas utu belajar membutia fatafata yag lebih rumit. Di dalam buti termuat ilai-ilai strategis yag dapat melatih ita berpiir secara logis. Keidaha matematia juga baya terdapat pada harmoisasi pealara-pealara dalam buti. Dega memahami buti ita dapat megiuti alur berpiir para ahli yag pertama ali meemuaya, yag berdampa pada eaguma terhadap para ivetor matematia da pada ahirya meyeagi matematia itu sediri. Berlatih memahami buti merupaa modal utama utu dapat melaua riset matematia. DAFTAR PUSTAKA. Bartle, Robert G ad D.R. Sherbet, 994. Itroductio to real aalysis, secod editio, Joh Willey & sos, New Yor.. Royde, HL.998. Real Aalysis 3rd ed, Macmilla Publishig Compay, New Yor 3. Suirma.006.Pegatar teori Bilaga. yogyaarta: Haggar Kreator 3