Kartia Yuliati, SPd, MSi MASALAH DAN ALTERNATIF JAWABAN DALAM MATEMATIKA KOMBINATORIK Masalah Terdapat berapa caraah ita dapat memilih baju dari 0 baju yag tersedia? Cara Misala baju diberi omor dari sampai dega 0 Kita daftara semua piliha yag mugi dega meguruta dari omor yag palig ecil Tabel,, 3, 3, 4, 4 3, 4, 0, 0 3, 0 9, 0 9 cara 8 cara 7 cara cara + + 3 + + 9 = ½ 9 (+ 9) = 90 Bayaya cara utu memilih baju dari 0 baju adalah sebaya 90 cara Cara Utu piliha pertama ita dapat memilih 0 baju, da piliha edua terdapat 9 cara ita memilih baju Beriut adalah daftar piliha baju,, 0,, 3, 3 0,, 4, 4 0, 3, 0, 0 0, 9 Matematia Kombiatori
Kartia Yuliati, SPd, MSi Terdapat 0 9 pasaga baju yag dapat dipilih Tetapi uruta tidalah ita perhatia, sehigga setiap dua baju terhitug ali Sebagai cotoh, adalah sama dega, Oleh area itu, bayaya cara ita dapat memilih baju dari 0 baju yag tersedia adalah ½ 0 9 = 90 cara Cara 3 Megguaa rumus ombiasi 0 0 9 0C = 90 Masalah Terdapat berapa caraah ita dapat memilih 3 baju dari 0 baju yag tersedia? Cara Seperti cara pada masalah, ita daftara piliha baju yag mugi dega megurutaya dari omor yag terecil,, 3, 3, 4 3, 4, 5,, 4, 3, 5 3, 4, 6,, 5, 3, 6 3, 4, 7, 9, 0, 9, 0 3, 9, 0 9 bilaga yag dimulai dega aga 8 bilaga yag dimulai dega aga 7, 8, 9 8, 9, 0 7, 8, 0 7, 9, 0 7 bilaga yag dimulai dega aga 3 Matematia Kombiatori
Kartia Yuliati, SPd, MSi 3 bilaga yag dimulai dega aga 7 9 8 7 6 bilaga yag dimulai dega aga 8 3 cara utu memilih 3 Sehigga terdapat 40 baju dari 0 baju yag tersedia Cara Seperti cara pada masalah, utu piliha pertama ita dapat memilih 0 baju, pada piliha edua terdapat 9 cara ita memilih baju, da pada piliha etiga terdapat 8 baju tersisa yag dapat dipilih Maa terdapat 0 9 8 triple baju yag dapat dipilih Tetapi uruta tidalah ita perhatia, sehigga terdapat 6 piliha yag memuat isi baju yag sama Sebagai cotoh baju,, 3 =, 3, = 3,, = 3,, =,, 3 =, 3, Oleh area itu bayaya piliha tiga baju yag berbeda dari 0 baju yag 0 9 8 tersedia adalah 40 cara 6 Cara 3 Berdasara tabel sudah terdapat 90 pasaga bilaga (baju) yag dapat dipilih dari 0 baju, searag ita tiggal meambaha bilaga etiga yag belum ada Sebagai cotoh, pada pasaga, 4 ditambaha bilaga, 3, 5, 6, 7, 8, 0 Tetapi aa terdapat tiga triple bilaga yag memuat aga yag sama, cotohya, 4, sama dega,, 4 sama dega, 4, Sehigga terdapat ½ /3 0 9 8 =40 cara Cara 4 Megguaa rumus ombiasi 0 0 9 8 0C 3 = 40 3 3 Matematia Kombiatori 3
Kartia Yuliati, SPd, MSi Masalah 3 Berdasara gambar di sampig, jia ada haya boleh bergera e atas atau e aa, ada berapa litasa yag dapat dibuat dari titi P e titi Q? Q Cara P 5 5 35 70 6 0 330 495 R 4 0 0 35 56 84 0 65 3 6 0 5 8 36 45 Q S 3 4 5 6 7 8 9 B C P A Dari titi P e titi A terdapat sebuah litasa, yaitu haya bergera e aa Dari titi P e titi B juga terdapat litasa Utu mecapai titi C terdapat buah litasa, yaitu melalui titi A da titi B Demiia seterusya, utu mecapai titi Q dapat melalui titi R da titi S Sehigga bayaya litasa dari titi P e titi Q adalah 330 + 65 = 495 litasa Cara Setiap litasa dari titi P e titi Q terdiri dari lagah, yaitu 8 lagah e aa (K) da 4 lagah e atas (A) Rute dari titi P e titi Q dapat direpresetasia dega barisa 8 buah huruf K da 4 buah huruf A Sebagai ilustrasi beriut adalah dua buah cotoh rute beserta barisa hurufya Matematia Kombiatori 4
Kartia Yuliati, SPd, MSi Q Q P A A K K A K K K K A K K P K K K A K A A K K A K K Oleh area itu, bayaya litasa dari titi P e titi Q adalah sama dega bayaya cara memilih 4 huruf A dari huruf yag tersedia (atau bayaya cara memilih 8 huruf K dari huruf), yaitu sebaya 495 4 cara Secara umum, bayaya litasa yag dapat dibuat dari titi P e titi Q, dimaa P da Q terpisaha oleh baris da m olom adalah m Masalah 4 Dietahui da adalah bilaga bulat dega Butia bahwa Cara Dega megguaa defiisi fatorial (!( )! )! ( )! ( )!( )! ( )!( ) ( )!!( )!!( )! ( )!( )!( )! ( )!!( )! Matematia Kombiatori 5
Kartia Yuliati, SPd, MSi Cara C B D Berdasara gambar, terdapat A Gambar buah litasa yag dapat ditempuh dari titi A e titi B Litasa-litasa tersebut dibagi mejadi elompo, yaitu litasa yag melalui titi C da melalui titi D Bayaya litasa dari A e C adalah buah litasa Sedaga dari A e D terdapat buah litasa Sehigga diperoleh Cara 3 ( + ) = ( + )( + ) - Berdasara teorema biomial: ( ) 0 ( )( ) ( ) 0 Koefisie dalam ( + ) adalah Sedaga oefisie dalam ( + )( + ) - adalah + Sehigga Matematia Kombiatori 6
Kartia Yuliati, SPd, MSi Cara 4 Misala S himpua dega obje Ambil obje, ataa di S Kombiasi- di S dapat dibagi e dalam dua elas A da B Dalam A ita simpa semua ombiasi- di S yag tida memuat Dalam B ita simpa yag laiya, yaitu ombiasi- di S yag memuat Bilaga ombiasi- di S dalam A sama dega bilaga ombiasi- dari (-) usur himpua S-{}, da ii sama dega Bilaga ombiasi- di S dalam B sama dega bilaga ombiasi-(-) dari (-) usur himpua S-{}, da ii sama dega Oleh area itu, diperoleh Masalah 5 Ada berapa baya solusi dari 6 3 4, dimaa i bilaga cacah, utu i =,, 3, 4 Cara Masalah tersebut dapat direpresetasia dega pemiliha bayaya litasa dari titi A e titi B dalam ota yag terdiri dari 6 olom da 4 baris Represetasi dari bayaya lagah dalam baris e-i adalah meujua ilai i Sebagai ilustrasi diberia cotoh beriut: Baris 4 Baris 3 Baris Baris A B 4 =0 3 = =3 = 9 Sehigga bayaya solusi adalah 84 3 Matematia Kombiatori 7
Kartia Yuliati, SPd, MSi Cara Masalah 4 dapat dimodela dega bayaya cara ita medistribusia 6 buah X dalam 4 ruag Seat sebagai pemisah ruag diotasia dega Bayaya X di sebelah iri seat e-i meujua ilai i (utu i =,, 3), sedaga ilai 4 diyataa dega bayaya X di sebelah aa seat e-3 Ruag Ruag Ruag 3 Ruag 4 X X X X X X = = 3 = 4 = Oleh area itu, permasalaha tersebut sama juga dega masalah bayaya cara ita 9 dapat meempata tiga buah dalam 9 posisi, yaitu sebaya 84 3 Secara umum bayaya solusi dari 3, dimaa i bilaga cacah, utu i =,,, adalah Masalah 6 Terdapat orag dalam suatu atria yag aa masu e biosop Merea masu e`dalam biosop dalam romboga, dimaa setiap romboga terdiri dari satu orag atau lebih Dalam berapa caraah romboga tersebut dapat dibetu? Cara Permasalaha tersebut dapat dimodela dega mecari bayaya solusi dari persamaa, i, i,,, da sama juga dega mecari bayaya litasa dari titi A e titi B pada gambar Matematia Kombiatori 8
Kartia Yuliati, SPd, MSi -+- B - A - Gambar Berdasara ilustrasi gambar, bayaya litasa yag dapat dibuat dari titi A e titi B adalah buah litasa Oleh area itu, romboga yag dapat dibetu dari orag adalah sebaya cara Cara Misala X adalah simbol utu orag, da dua buah romboga dipisaha oleh seat X X X X X X orag Utu meciptaa romboga diperlua - buah seat Karea setiap romboga palig tida terdiri dari orag, maa seat ditempata pada - buah sela-sela Bayaya cara meempata - buah seat pada - sela-sela adalah Romboga yag dapat dibetu dari orag adalah sebaya cara Matematia Kombiatori 9