Bab 8 ATURAN PENCACAHAN A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetesi Dasar Setelah megiuti pembelajara ii siswa mampu: 1. Memilii motivasi iteral, emampua beerjasama, osiste, siap disipli, rasa percaya diri, da siap tolerasi dalam perbedaa strategi berpiir dalam memilih da meerapa strategi meyelesaia masalah. 2. Medesripsia da meerapa berbagai atura pecacaha melalui beberapa cotoh yata serta meyajia alur perumusa atura pecacaha (peralia, permutasi da ombiasi) melalui diagram atau cara laiya. 3. Meerapa berbagai osep da prisip permutasi da ombiasi dalam pemecaha masalah yata.. Medesripsia osep ruag sampel da meetua peluag suatu ejadia dalam suatu percobaa. 5. Medesripsia da meerapa atura/ rumus peluag dalam mempredisi terjadiya suatu ejadia duia yata serta mejelasa alasa-alasaya. 6. Medesripsia osep peluag da harapa suatu ejadia da megguaaya dalam pemecaha masalah. Pegalama Belajar Melalui pembelajara materi atura pecacaha, siswa memperoleh pegalama belajar: Berdisusi, bertaya dalam meemua osep da prisip atura pecacaha melalui pemecaha masalah oteti yag bersumber dari fata da liguga. Berolaborasi memecaha masalah auteti dega pola iterasi eduatif.. Berpiir tigat tiggi dalam meyelidii, memaipulasi, da megapliasia osep da prisip-prisip atura pecacaha dalam memecaha masalah oteti. Pecacaha Permutasi Kombiasi Kejadia Ruag Sampel Titi Sampel Peluag Di uduh dari : Buupaet.com
Kompetesi Dasar Setelah megiuti pembelajara turua siswa mampu: 7. Memilih da megguaa atura pecacaha yag sesuai dalam pemecaha masalah yata serta memberia alasaya. 8. Megidetifiasi masalah yata da meerapa atura peralia, permutasi, da ombiasi dalam pemecaha masalah tersebut. 9. Megidetifiasi, meyajia model matematia da meetua Peluag da harapa suatu ejadia dari masalah otetual. Pegalama Belajar Melalui pembelajara materi atura pecacaha, siswa memperoleh pegalama belajar: Berdisusi, bertaya dalam meemua osep da prisip atura pecacaha melalui pemecaha masalah oteti yag bersumber dari fata da liguga. Berolaborasi memecaha masalah auteti dega pola iterasi eduatif.. Berpiir tigat tiggi dalam meyelidii, memaipulasi, da megapliasia osep da prisip-prisip atura pecacaha dalam memecaha masalah oteti. Di uduh dari : Buupaet.com
B. PETA KONSEP Masalah Oteti Peluag Kaidah Pecacaha dapat dihitug melalui dihitug megguaa Usur Peluag Atura Peralia Permutasi Kombiasi Teorema Biomal Ruag Sampel Titi Sampel Matematia 35 Di uduh dari : Buupaet.com
C. MATERI PEMBELAJARAN 1. Meemua Kosep Pecacaha (Peralia, Permutasi, da Kombiasi) a. Atura Peralia Setiap orag pasti perah dihadapa dalam permasalaha memilih atau megambil eputusa. Misalya: setelah tamat seolah aa memilih program studi da di pergurua tiggi yag maa? Ketia beragat e seolah memilih jalur yag maa. Dalam matematia ita dibatu utu meetua baya piliha yag aa diambil. Utu lebih memahami cermati masalah da egiata beriut. Masalah-8.1 Bei, seorag siswa Jurusa IPA lulusa dari SMA Negeri 1 Tarutug Tahu 2013 igi mejadi mahasiswa di salah satu pergurua tiggi egeri (PTN) yag ada di pulau Sumatera pada Tahu 2013. Ayah Bei meyetujui citacita Bei asala uliah di Meda. Di Meda terdapat PTN da juga memilii jurusa yag digemari da yag dipilih oleh Bei, yaitu Biologi atau Pedidia Biologi. Paitia SNMPTN memberia esempata epada calo mahasiswa utu memilih masimum tiga jurusa di PTN yag ada di Idoesia. Batulah Bei utu megetahui semua emugia piliha pada saat megiuti SNMPTN Tahu 2013? Alteratif Peyelesaia Utu megetahui semua piliha yag mugi, ita harus megetahui apaah semua PTN di Meda memilii Jurusa Biologi atau Jurusa Pedidia Biologi. Teryata, haya USU da Uimed saja yag memilii piliha Bei tersebut. USU haya memilii Jurusa Biologi, tetapi Uimed memilii Jurusa Biologi da Jurusa Pedidia Biologi. Sesuai atura paitia SNMPTN, Bei diberi esempata memilih masimal 3 da miimal 1 jurusa. Mari ita uraia piliha-piliha yag mugi. Utu 3 Piliha 1. Seadaiya Bei memilih 3 piliha tersebut di satu ota, maa pilihaya adalah: Piliha 1: Biologi USU Piliha 2: Ped. Biologi UNIMED Piliha 3: Biologi UNIMED 36 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Di uduh dari : Buupaet.com
Utu 2 Piliha 1. Bei haya boleh memilih 2 jurusa di UNIMED, yaitu: Piliha 1: Ped. Biologi UNIMED Piliha 2: Biologi UNIMED 2. Bei juga memilih 1 jurusa di USU da 1 di UNIMED, yaitu: Piliha 1: Biologi USU Piliha 2: Ped. Biologi UNIMED Atau Piliha 1: Biologi USU Piliha 2: Biologi UNIMED Utu 1 Piliha 1. Bei boleh haya memilih Biologi USU. 2. Bei boleh haya memilih Ped. Biologi UNIMED 3. Bei boleh haya memilih Biologi UNIMED Jadi, baya cara memilih yag mugi yag dimilii Bei sebaya 7 cara. Meurut amu, seadaiya tida ada strategi memilih jurusa, berapa cara yag dimilii Bei? Coba amu piira, bagaimaa pola rumusa utu meghitug baya cara yag mugi utu Masalah 8.1. Perahah amu megiuti pemiliha pegurus OSIS di seolahmu? Mari ita cermati cotoh beriut, sebagai masua jia suatu saat amu mejadi paitia pemiliha pegurus OSIS di seolahmu. Cotoh 8.1 Igat!!!! Ada strategi memilih jurusa. Pada pemiliha pegurus OSIS terpilih tiga adidat yai Abdul, Bey, da Cidi yag aa dipilih mejadi etua, seretaris, da bedahara. Atura pemiliha adalah setiap orag haya boleh dipilih utu satu jabata. Berapaah emugia cara utu memilih dari tiga orag mejadi pegurus OSIS? Alteratif Peyelesaia Ada beberapa metode utu meghitug baya cara dalam pemiliha tersebut. Matematia 37 Di uduh dari : Buupaet.com
i. Cara Medaftar Mari ita coba utu memilih tiap-tiap jabata, yaitu: a. Jabata etua OSIS Utu jabata etua dapat dipilih dari etiga adidat yag dituju yai Abdul (A), Bey (B), da Cidi (C) sehigga utu posisi etua dapat dipilih dega 3 cara. b. Jabata seretaris OSIS Karea posisi etua sudah terisi oleh satu adidat maa posisi seretaris haya dapat dipilih dari 2 adidat yag tersisa. c. Jabata bedahara OSIS Karea posisi etua da seretaris sudah terisi maa posisi bedahara haya ada satu adidat. Dari uraia di atas baya cara yag dapat dilaua utu memilih tiga adidat utu mejadi pegurus OSIS adalah 3 2 1 = 6 cara. ii. Cara Diagram Utu dapat lebih memahami uraia di atas perhatia diagram beriut. Gambar 8.1 Diagram Poho Pemiliha Ketua OSIS 38 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Di uduh dari : Buupaet.com
Misalya, Abdul merupaa siswa elas X, Bey da Cidy dari Kelas XI. Berapa baya cara memilih pegurus OSIS jia Bedahara OSIS merupaa siswa dari elas XI. Biasaya di ota-ota besar terdapat baya jalur alteratif meuju suatu tempat da jalur ii diperlua para pegedara utu meghidari macet atau meguragi lama watu perjalaa. Cotoh beriut megaja ita mempelajari baya cara memilih jalur dari suatu ota e ota lai. Cotoh 8.2 Dari Kota A meuju Ibuota D dapat melalui beberapa jalur pada gambar 8.1. Berapa baya emugia jalur yag dapat dilalui dari Kota A e Kota D? Gambar 8.2 Jalur dari Kota A e Kota D Alteratif Peyelesaia Perhatia jalur dari ota A e ota D melalui ota B Dari ota A e ota B terdapat jalur yag dapat dilalui, sedaga dari ota B terdapat 3 jalur yag dapat dilalui meuju ota D. Jadi baya cara memilih jalur dari ota A meuju ota D melalui ota B adalah 3 = 12 cara. Perhatia jalur dari ota A e ota D melalui ota C Terdapat 3 jalur dari ota A meuju ota C da 3 jalur dari ota C meuju ota D. Jadi baya cara memilih jalur dari ota A meuju ota D melalui ota B adalah 3 3 = 9 cara. Jadi baya jalur yag dapat dilalui melalui Kota A sampai e Kota D adalah 12 + 9 = 21 cara. Matematia 39 Di uduh dari : Buupaet.com
Seadaiya ada satu jalur yag meghubuga ota B da ota C, berapa baya jalur yag dapat dipilih dari ota A meuju ota D? Kegiata 8.1 Catatlah baju, celaa, da sepatumu berdasara wara, emudia isilah dalam betu tabel beriut ii: Tabel 8.1 Tabel Daftar Wara Paaia Baju Celaa Sepatu Putih Hitam Colat Merah Abu-abu Hitam Biru Colat Putih Sali da legapi tabel di atas emudia perhatia data yag diperoleh da cobalah mejawab pertayaa beriut: 1. Jia diasumsia setiap wara dapat dipasaga, berapa baya emugia wara baju da wara celaa yag dapat dipasaga? 2. Berapaah baya emugia paaia legap yai baju, celaa, da sepatu amu yag dapat dipasaga? Alteratif Peyelesaia 1. Jia diasumsia setiap wara pada baju, celaa da sepatu dapat dipasaga maa dapat ditetua emugia pasaga yag dihasila; yai: Baya wara baju baya wara celaa = Baya pasaga wara baju da celaa. 2. Baya pemasaga baju, celaa, da sepatu utu tabel di atas adalah: Baya wara baju Baya wara celaa Baya wara sepatu = Baya ombiasi wara paaia. Dalam duia erja seorag pemimpi atau aryawa juga perah dihadapa dega bagaimaa memilih cara utu meyusu usur atau memilih staff. Masalah beriut ii, megaja ita utu memahami bagaimaa cara erja pada suatu supermaret. 0 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Di uduh dari : Buupaet.com
Masalah-8.2 Seorag maajer supermaret igi meyusu barag berdasara omor seri barag. Dia igi meyusu omor seri yag dimulai dari omor 3000 sampai dega 8000 da tida memuat aga yag sama. Tetua baya omor seri yag disusu dari aga 1, 2, 3,, 5, 6, 7, 8. Alteratif Peyelesaia Mari ita uraia permasalaha di atas. Setiap bilaga yag berada diatara 3000 da 8000 pastilah memilii baya aga yag sama yai aga jia ditampila dalam betu olom mejadi: Perhatia utu megisi ribua haya dapat diisi aga 3,, 5, 6, 7. Artiya terdapat 5 cara megisi ribua. Utu megisi ratusa dapat diisi aga 1 sampai 8 tetapi haya ada 7 yag mugi (megapa?). Utu megisi puluha dapat diisi aga 1 sampai 8 tetapi haya ada 6 aga yag mugi (megapa?). Utu megisi satua dapat diisi aga 1 sampai 8 tetapi haya ada 5 aga yag mugi (megapa?). Dega demia, baya aga yag dapat megisi eempat posisi tersebut adalah sebagai beriut: 5 7 6 5 Baya susua omor seri barag yag diperoleh adalah: 5 7 6 5 = 1.050 cara. Matematia 1 Di uduh dari : Buupaet.com
Beraita dega Masalah 8.2, Hituglah baya cara meyusu omor seri barag, jia aga 1, 2, 3,, 5, 6, 7, da 8 diperboleha berulag. Seadaiya maager supermaret tersebut igi meyusu omor seri barag adalah bilaga-bilaga gajil yag terdiri dari 5 aga. Berapa cara meyusu omor seri tersebut. Dari pembahasa masalah, cotoh da egiata di atas, dapat ita simpula dalam atura peralia beriut ii. Atura Peralia : Jia terdapat usur yag tersedia, dega: 1 = baya cara utu meyusu usur pertama = baya cara utu meyusu usur edua setelah usur pertama tersusu 3 = baya cara utu meyusu usur etiga setelah usur edua tersusu : = baya cara utu meyusu usur e- setelah obje- usur sebelumya tersusu Maa baya cara utu meyusu usur yag tersedia adalah: 1 2.... 3 Dari pembahasa masalah, cotoh da egiata di atas, dapat ita simpula dalam atura peralia beriut ii. Matematia merupaa bahasa simbol. Oleh area itu, peulisa atura peralia di atas dapat disederhaaa dega megguaa fatorial. Mari ita pelajari dega teliti materi beriut. b. Fatorial Pada pembahasa di atas amu telah melaua peralia 3 2 1 = 6. Coba ada laua peralia beriut: 1) 5 3 2 1 =... 2) 7 6 5 3 2 1 =... 3) 9 8 7 6 5 3 2 1 =... 2 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Di uduh dari : Buupaet.com
Peralia-peralia semua bilaga bulat positif berurut di atas dalam matematia disebut fatorial, yag biasa disimbola dega "!" Maa peralia tersebut dapat ditulisa ulag mejadi: 1) 3 2 1 = 3! 2) 5 3 2 1 = 5! 3) 7 6 5 3 2 1 = 7! ) 9 8 7 6 5 3 2 1 = 9! Secara umum fatorial dapat didefiisia sebagai beriut: Defiisi 8.1 a) Jia bilaga asli maa! (dibaca fatorial ) didefiisia dega:!= ( -1 ) ( -2 ) ( -3 )... 3 2 1 atau!=1 2 3... ( -3 ) ( -2 ) ( -1 ) b) 0! = 1 Cotoh 8.3 1. Hituglah: a. 7! +! b. 7!! c. 7!! Alteratif Peyelesaia a. 7! +! = (7 6 5 3 2 1) + ( 3 2 1) = 5.00 + 2 = 5.06 b. 7!! = (7 6 5 3 2 1) + ( 3 2 1) c. = 5.00 2 = 120.960 7! 7 6 5 3 2 1 = = 210! 3 2 1 Matematia 3 Di uduh dari : Buupaet.com
2. Nyataa betu-betu beriut dalam betu fatorial. a. 7 6 b. (6!) 7 8 c. ( 1) ( 3) Alteratif Peyelesaia a. 7 6= 7 6 5 3 2 1 5 3 2 1 = 7! 5! Maa dapat ditulisa bahwa 7 6= 7! 5!. b. (6!) 7 8 = 8 7 6 5 3 2 1 = 8! c. Kerjaa secara madiri ( ) ( ) 3. Dietahui ( ) Alteratif Peyelesaia ( ) ( ) ( ) 1. 1!.!! = 5.!. 5! 120 = 7. 1. 1!.!! =, tetualah ilai, dega bilaga asli. 5.!. 5! 120 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. 1!.!! = 5.. 1!. 5.! 120 1 =! 5.. 5 120 1 = 5!. ( 5) 120 2 5 1 = 0 c. Permutasi 1) Permutasi dega Usur yag Berbeda Masalah-8.3 Seorag resepsiois lii igi meceta omor atria pasie yag terdiri tiga aga dari aga 1, 2, 3, da. Tetua baya piliha omor atria dibuat dari: a. Tiga aga pertama. b. Empat aga yag tersedia. Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Di uduh dari : Buupaet.com
Alteratif Peyelesaia a. Jia resepsiois megguaa aga 1, 2, 3 maa omor atria yag dapat disusu adalah: 123 132 213 231 312 321 Terdapat 6 aga upo atria. b. Jia omor atria disusu dega megguaa aga 1, 2, 3, da, maa susua omor atria yag diperoleh adalah: 123 12 231 312 31 21 12 13 23 31 32 23 132 213 23 321 12 31 13 21 21 32 13 32 Sehigga terdapat 2 piliha omor atria. Mari ita cermati bagaimaa meyelesaia masalah di atas dega megguaa osep fatorial. 1. Jia omor atria disusu dega megguaa aga 1, 2, 3 maa baya susua omor atria adalah: 6 3 2 1 3 2 1 3 = =! = = 1 1! 3! 3 3! 2. Jia omor atria disusu dega megguaa aga 1, 2, 3, da maa baya susua omor atria adalah: 2 3 2 1 3 2 1 = =! = = 1 1!! 3! Demiia selajutya jia diterusa, baya susua aga dari aga yag disediaa yag dapat dibuat adalah:! ( ) dega. (*)! Utu meguji ebeara pola rumusa (*), coba ita guaa utu memecaha masalah beriut ii. Matematia 5 Di uduh dari : Buupaet.com
Masalah-8. Seolah SMA Geerasi Emas, setiap tahu megadaa acara petas sei. Biasaya 8 bula sebelum acara abar, para siswa melaua pemiliha utu jabata etua da seretaris. Setelah melalui selesi terdapat 5 adidat yag medaftara diri; yai, Ayu (A), Bei (B), Charli (C), Dayu (D), da Edo (E). Bagaimaa ita megetahui baya cara memilih etua da seretaris utu acara petas sei seolah tersebut? Alteratif Peyelesaia Utu megetahui baya susua pegurus dapat dilaua dega beberapa cara, atara lai: a) Dega cara medaftar: Seluruh adidat yag mugi dibuat dapat didaftara sebagai beriut: AB BA CA DA EA AC BC CB DB EB AD BD CD DC EC AE BE CE DE ED Dari daftar di atas diperoleh baya susua pegurus acara petas sei adalah 20 cara. b) Dega Atura Peralia Utu masalah ii, aa dipilih 2 pegurus dari 5 adidat yag ada. Dega megguaa pola rumusa (*) diperoleh: = 5 da = 2! 5! = = 20 cara! 5 2! maa Dega pembahasa Masalah 8.3 da 8. ditemua bahwa baya susua usur berbeda dari usur yag tersedia da memperhatia uruta susuaya! dapat dirumusa dega. Betu susua ii dieal dega permutasi.! 6 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Di uduh dari : Buupaet.com
Defiisi 8.2 Permutasi usur dari usur yag tersedia biasa ditulisa P atau P serta P(, ) dega. Baya permutasi usur ditetua dega atura ( ) ( ) P = 1 2 L 3 2 1=! Baya permutasi usur dari usur yag tersedia, dapat ditetua dega:! P = -! Pada buu ii, peulisa permutasi usur dari usur yag tersedia ita megguaa: P. Searag cermati permutasi-permutasi di bawah ii: 10 10! 10 9! 1) P1 = = = 10 ( 10 1 )! 9! Diperlua strategi utu 10 10! 10! 2) P 9 = = = 10! meyelesaia peralia ( 10 9 )! 1! dega fatorial. 8 8! 8! P = = = 8! 8 7! 1! 3) 7 ( ) ) 5) 6) 5 5! 5! P = = = 5! 5! 1! 1000 1 P ( ) 1000! 1000 999! = = = 1000 1000 1! 999! ( ) 201 201! 201! P 2013 = = = 201! 201 2013! 1! ( ) 1000 1000! 1000! P = = = 1000! 1000 1000! 0! 7) 1000 ( ) Matematia 7 Di uduh dari : Buupaet.com
Dari pembahasa permutasi-permutasi di atas, dapat ita simpula sifat beriut ii. Sifat 8.1! Dietahui P =, dega. -! 1) Jia = 1, maa P! = =!. -!! 2) Jia = 1, maa P = =. -! 3) Jia = 0, maa P! = =!. -! Buti: 1) Dietahui P =! ( )!, dega, da = 1 atau = + 1. Aibatya: P =! ( )! P =!!!!! = 1! = 1! = ( ) ( + ) P =! ( ) =!.! 2) Dietehui = 1 da P =! ( )! P =! ( ) ( ) 3) Kerjaa sebagai latihamu., dega, maa:! ( ) ( )! 1! P1 = = = 1! 1! 8 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Di uduh dari : Buupaet.com
2) Permutasi dega Usur-Usur yag Sama Masalah-8.5 Berapa baya susua yag dapat dibetu dari 3 huruf yag diambil dari huruf-huruf pembetu ata APA? Alteratif Peyelesaia Tersedia 3 usur; yai, huruf-huruf A, P, da A. Dari 3 usur yag tersedia memuat 2 usur yag sama; yaitu, huruf A. Baya permutasi 3 usur yag memuat 2 usur yag sama tersebut aa dicari melalui pedeata baya permutasi 3 usur yag berbeda. Oleh area itu, hurufhuruf yag sama (huruf A) diberi label A 1, da A 2. Baya permutasi dari 3 usur yag melibata 2 usur yag sama adalah: A 1 PA 2, A 2 PA 1, A 1 A 2 P, A 2 A 1 P, PA 1 A 2, PA 2 A 1. Susua-susua tersebut dielompoa sedemiia rupa sehigga dalam satu elompo memuat permutasi yag sama apabila labelya dihapusa. Misalya: Kelompo A 1 PA 2 da A 2 PA 1, jia labelya dihapus maa diperoleh permutasi APA. Kelompo A 1 A 2 P, A 2 A 1 P, jia labelya dihapus maa diperoleh permutasi AAP. Kelompo PA 1 A 2, PA 2 A 1, jia labelya dihapus maa diperoleh permutasi PAA. Dalam tiap-tiap elompo di atas terdapat 2! = 2 permutasi, yaitu meyataa baya permutasi dari usur A 1 da A 2. Sedaga A 1 da A 2 mejadi usur-usur yag sama jia labelya dihapusa. Dega demiia baya permutasi 3 usur yag memuat 2 usur yag sama dapat ditetua sebagai beriut. 3 3! P 2,1 = = 3 susua 2!.1! Matematia 9 Di uduh dari : Buupaet.com
Masalah-8.6 Pada sebuah upacara pembuaa turame olah raga disusu beberapa bedera lub yag iut bertadig. Terdapat 3 bedera berwara putih, 2 bedera berwara biru, da 1 bedera berwara merah. Tetualah susua bedera yag ditampila pada acara upacara pembuaa tersebut! Alteratif Peyelesaia Dega aalogi yag sama pada Masalah 8.5 diperoleh: Baya usur yag tersedia 6, sedaga usur yag sama adalah 1. 3 bedera berwara putih 2. 2 bedera berwara biru da 1wara merah. Oleh area itu dapat diperoleh baya permutasi dari 6 usur yag memuat 3 usur yag sama da 2 usur yag sama adalah 6 6! P 3,2,1 = susua 3!.2!.1! Dari pembahasa Masalah 8.5 da 8.6, dapat ita rumusa pola secara umum permutasi usur dega melibata sebaya 1, 2, 3,, usur yag sama adalah sebagai beriut. Sifat 8.2 Misala dari usur terdapat 1, 2, 3,, usur yag sama dega 1 + 2 + 3 + +. Baya permutasi dari usur tersebut adalah! P 1, 2, 3,..., =!!!...! Cotoh 8. 1 2 3 Berapa baya susua yag dapat dibetu dari 3 huruf yag diambil dari hurufhuruf pembetu ata K O G N I T I V I S T I K? 50 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Di uduh dari : Buupaet.com
Alteratif Peyelesaia Tersedia 13 usur dalam ata tersebut; yaitu huruf-huruf K, O, G, N, I, T, I, V, I, S, T, I, K. Dari 13 usur yag tersedia memuat huruf I yag sama, 2 huruf K yag sama da 2 huruf T yag sama. Jia ita partisi baya huruf pembetu ata K O G N I T I V I S T I K adalah sebagai beriut: K + O + G + N + I + T + V + S = 2 + 1 + 1 + 1 + + 2 + 1 + 1 = 13. Jadi permutasi yag melibata usur yag sama, dihitug dega megguaa Sifat 8.2, diperoleh:! 13! = = 129.729.600 cara.!.!.!...! 2!.1!.1!.1!.!.2!.1!.1! 1 2 3 Sampai sejauh ii, ita sudah megaji bagaimaa meetua susua usur bai yag melibata usur yag sama atau tida. Peraha amu melihat susua objeusur dalam suatu meja berputar? Bagaimaa meetua baya cara meyusu usur jia disusu meligar? Beriut ii, ita aa pelajari permutasi silis sebagai cara meetua baya cara meyusu usur yag tersusu meligar. c. Permutasi Silis Masalah-8.7 Bey (B), Edo (E), da Lia (L) berecaa maa bersama di sebuah restora. Setelah memesa tempat, pramusaji meyiapa sebuah meja budar buat merea. Selag beberapa watu Siti datag bergabug dega merea. Berapa baya cara eempat orag tersebut dudu megeliligi meja budar tersebut? Alteratif Peyelesaia Mesipu dalam eseharia ita tida mempersoala uruta posisi dudu megitari suatu meja, tida ada salahya ita meyelidii posisi dudu Bey, Edo, Lia, da Siti yag dudu megitari meja budar. Adapu posisi dudu yag mugi eempat orag tersebut adalah sebagai beriut: Matematia 51 Di uduh dari : Buupaet.com
E E S B L B S B E S L L (a) (b) (c) S L L B L B S B E E E S (d) (e) Gambar 8.3 Susua posisi tempat dudu (f) Terdapat 6 cara posisi dudu eempat megitari meja budar tersebut. Teryata, pola ( 1)! Aa meghasila baya cara dega baya cara yag diperoleh dega cara maual, yaitu ( 1)! = 3! = 6 cara. Coba temua susua posisi dudu Bey, Edo, da Lia secara maual. Kemudia badiga dega megguaa pola ( 1)!. Masalah-8.8 Seorag diretor ba swasta yag berator di Jaarta aa melaua rotasi epala cabag yag terdapat di 5 ota besar, yaitu Fahmi (Jaarta), Citha (Surabaya), Trisawati (Badug), Novad (Meda), da Rahmat (Padag). Dia memita staff ahliya utu meyusu piliha-piliha yag mugi utu rotasi epala cabag ba yag dipimpimya. Batulah staff ahli tersebut utu meyusu piliha rotasi epala cabag ba swasta tersebut Alteratif Peyelesaia Misala elima epala cabag tersebut dudu meligar, seperti diilustrasia pada gambar beriut ii. 52 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Di uduh dari : Buupaet.com
S S C C J F T B J F T B R N N R P M P M Posisi epala cabag sebelum rotasi Piliha rotasi 1 S S C C J F R B J F R B N T T N P M P M Piliha rotasi 2 Piliha rotasi 3 S S R R J F C B J F C B N T N T P M P M Piliha rotasi Piliha rotasi 5 Gambar 8. Ilustrasi rotasi epala cabag ba swasta Meurut amu, ada berapaah piliha rotasi epala cabag ba swasta tersebut? Beria pejelasamu. Utu meetua baya cara meyusu usur dalam posisi meligar, ita dapat meguji validitas pola ( 1)!. Jia terdapat usur, maa baya susua adalah ( 1)! = 3! = 6 cara. Jia terdapat 3 usur, maa baya susua adalah (3 1)! = 2! = 2 cara. Jia terdapat 5 usur, maa baya susua adalah (5 1)! =! = 2 cara. Secara umum, jia terdapat usur yag disusu meligar, maa baya susua usur yag mugi disebut permutasi silis, diyataa dalam sifat beriut ii. Matematia 53 Di uduh dari : Buupaet.com
Sifat 8.3 Misala dari usur yag berbeda yag tersusu meligar. Baya permutasi silis dari usur tersebut diyataa: P = 1! silis Perhatia embali Masalah 8.8, area alasa eluarga Fahmi da Trisawati haya mau dirotasi jia merea berdua ditempata di pulau yag sama. Berapa piliha rotasi epala cabag ba swasta yag mugi? Kerjaa secara madiri da badiga hasil erjamu dega temamu. 1. Kombiasi Cara meyusu usur dega memperhatia uruta telah diaji pada sub poo bahasa permutasi. Selajutya, dalam percaapa sehari-hari ita mugi perah megataa ombiasi wara paaia amu sagat tepat atau tim sepabola itu merupaa ombiasi pemai-pemai hadal. Apaah amu memahami arti ombiasi dalam alimat itu? Utu mejawabya, mari ita pelajari maa ombiasi melalui memecaha masalah-masalah beriut ii. Masalah-8.9 Hasil selesi PASKIBRA di Kabupate Batul tahu 2012, paitia harus memilih 3 PASKIBRA sebagai pegibar bedera dari 5 PASKIBRA yag terlatih, yaitu Abdul (A), Bey (B), Cydi (C), Dayu (D), da Edo (E). 3 PASKIBRA yag dipilih diaggap memilii emampua sama, sehigga tida perhatia lagi PASKIBRA yag membawa bedera atau peggere bedera. Berapa baya piliha PASKIBRA yag dimilii paitia sebagai pegibar bedera? Alteratif Peyelesaia Mari ita selesaia masalah ii dega cara maual, sambil memiira bagaimaa pola rumusa utu meyelesaiaya. Adapu piliha-piliha yag mugi sebagai pegibar bedera adalah sebagai beriut: Piliha 1: Abdul, Badu, Cydi Piliha 2: Abdul, Badu, Dayu 5 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Di uduh dari : Buupaet.com
Piliha 3: Abdul, Badu, Edo Piliha : Abdul, Cydi, Dayu Piliha 5: Abdul, Cydi, Edo Piliha 6: Abdul, Dayu, Edo Piliha 7: Badu, Cydi, Dayu Piliha 8: Badu, Cydi, Edo Piliha 9: Badu, Dayu, Edo Piliha 10: Cydi, Dayu, Edo Terdapat 10 piliha PASKIBRA sebagai pegibar bedera. Dega megguaa fatorial, 10 cara yag ditemua dapat dijabar sebagai beriut: 10 = 5 3! 3 5 3 2 1 5! atau 10 = = (#) 2 1 3 2 1 2!.3! Seadaiya terdapat PASKIBRA, berapa baya cara memilih 3 PASKIBRA sebagai pegibar bedera? Coba erja dega cara maual, emudia coba uji dega megguaa pola (#). Perlu ita cermati, bahwa susua ali ii perlu digarisbawahi bahwa piliha (Abdul, Badu, Cydi) sama dega piliha (Abdul, Cydi, Badu) atau (Badu, Abdul, Cydi) atau (Badu, Cydi, Abdul) atau (Cydi, Abdul, Badu) atau (Cydi, Badu, Abdul). Jia pembawa bedera harus PASKIBRA perempua, berapa baya piliha pegibar bedera yag mugi? Coba erjaa secara madiri. Masalah-8.10 Pada suatu pusat pelatiha atlit bulu tagis, terdapat 3 atlit perempua da atlit lai-lai yag sudah memilii emampua yag sama. Utu suatu pertadiga abar, tim pelatih igi membetu 1 pasaga gada campura. Berapa baya pasaga yag dapat dipilih oleh tim pelatih? Matematia 55 Di uduh dari : Buupaet.com
Alteratif Peyelesaia Mari ita selesaia masalah ii dega megguaa cara maual. Utu memilih 1 pasaga gada campura berarti memilih 1 atlit waita dari 3 atlit waita da memilih 1 atlit lai-lai dari atlit lai-lai. Misala tiga atlit waita ita beri iisial: AW 1, AW 2, AW 3 ; da atlit lai-lai ita beri iisial: AL 1, AL 2, AL 3, AL. Dega megguaa metode diagram, baya piliha 1 pasaga gada campura diyataa sebagai beriut: AL 1 AW 1 AL 2 AL 3 AL AL 1 AW 2 AL 2 AL 3 Terdapat 12 pasaga gada campura yag dapat dipilih. AL AL 1 AW 3 AL 2 AL 3 AL Gambar 85 Diagram poho piliha pasaga gada campura Dega megguaa fatorial, mari ita mecoba meetua jabara 12 cara dega meerapaa pola (#). 12 = 3 = 3 3!! 1! 1! = 1 1 1!.2! 1!.3! 56 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Di uduh dari : Buupaet.com
Dari pembahasa Masalah 8.9 da 8.10, memilih usur dari usur tapa memperhatia uruta usur yag dipilih disebut ombiasi. Kombiasi usur dari usur yag didefiisia sebagai beriut. Defiisi 8.3 Kombiasi usur dari usur biasa ditulisa C ; C ; C(, ) atau r Baya ombiasi usur dari usur yag tersedia, tapa memperhatia uruta susuaya dapat ditetua dega:! C =, dega,, merupaa bilaga asli. -!.! Utu eseragama otasi, pada buu ii ita sepaati megguaa simbol utu meyataa ombiasi usur dari usur yag tersedia. Cotoh 8.5 Selidii hubuga P dega C. C Alteratif Peyelesaia! Pada Defiisi 8.2 P =. Sedaga berdasara Defiisi 8.3 C ( )! Dari edua defiisi tersebut, dipereoleh hubuga: P C =.! Secara hituga matematis, hubuga P dega arti hubuga tersebut secara desriptif. C adalah C =!.!.! ( ) P =. Jelasa! Dari pembahasa omputasi da Cotoh 8.5 di atas, dapat ita simpula sifat beriut ii. Matematia 57 Di uduh dari : Buupaet.com
Sifat 8.! Dietahui C =, dega. -!.!! 1) Jia = 1, maa C = =. -!.!! 2) Jia = 1, maa C = =. -!.!! 3) Jia =, maa C = =1. -!.! ) Jia P Buti: 1) Dietahui C C =! = P, maa C =. -!! ( ) =!!.! = ( ) 2) Karea = 1, da C C =!!, dega, da = 1 atau = + 1, maa:!.! ( + ) + 1! + 1! = = + 1 =. 1!.! 1!.! =!, dega, maa:!.! ( ) 1 ( )!.! ( ) 3) Kerjaa sebagai latihamu. ( 1! ) ( )! C = = =. 1!.1! 1!.1! 1.5 Biomial Newto Kamu telah mempelajari tetag ombiasi sebagai bagia dari atura pecacaha. Dega megguaa osep ombiasi dapat juga ita embaga pada bahasa biomial. Perhatia perpagata beriut ii. 58 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Di uduh dari : Buupaet.com
0 ( a+ b) = 1 1 ( a+ b) = 1a+ 1b 2 ( a+ b) = ( a+ b)( a+ b) = 1a + 2ab + 1b 2 2 ( a+ b) = ( a+ b)( a+ b) 3 2 2 2 ( a b)( 1a 2ab 1b ) = + + + = 1a + 3a b + 3ab + 1b 3 2 2 3 ( a+ b) = ( a+ b)( a+ b) 3 3 2 2 3 ( a b)( 1a 3a b 3ab 1b ) = + + + + = 1a + a b + 6a b + ab + 1b 3 2 2 3 3 Bagaimaa utu pejabara pada perpagata yag lebih tiggi? Utu itu perhatia lagah beriut. Dega megguaa sifat distribusi pejabara dari (a + b) adalah: 3 2 2 3 3 ( a ) 1a + ab+ 6ab + ab + 1b ( b) 5 3 2 2 3 1a + a b+ 6a b + a b + ab 1a 3 2 2 3 5 b + a b + 6a b + ab + 1b 1a + 5a b+ 10a b + 10a b + 5ab + 1b 5 3 2 2 3 5 Sehigga diperoleh (a + b) 5 = 1a 5 + 5a b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab + 1b 5. Koefisie-oefisie pejabara di atas jia disusu dalam betu diagram dapat meghasila gambar di bawah ii: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 6 1 1 5 10 10 5 1 Diagram di atas dieal dega sebuta segitiga Pascal + Matematia 59 Di uduh dari : Buupaet.com
Searag amati pola segitiga Pascal. Dega megguaa osep ombiasi dapat diaita dega pola segitiga Pascal di atas yai: 0 1 1 2 2 3 3 5 5 C0 = C0 = C1 = C0 = C2 = C0 = C3 = C0 = C = C0 = C5 = 1 2 C1 = 2 3 3 C1 = C2 = 3 da seterusya sehigga dega megguaa osep ombiasi maa dapat diperoleh pola segitiga Pascal yag baru, yai: C r Dari uraia di atas maa pejabara perpagata dapat ita tulisa embali dalam betu ombiasi yaitu 0 0 ( a+ b) = C0 1 1 1 ( a+ b) = Ca 0 + Cb 1 2 2 2 2 2 2 ( a+ b) = Ca 0 + Cab 1 + C2b 3 3 3 3 2 3 2 3 3 ( a+ b) = C0a + C1 ab+ Cab 2 + C3b 3 2 2 3 3 ( a+ b) = Ca 0 + Cab 1 + C2 ab + Cab 3 + Cb 5 5 5 5 5 3 2 5 2 3 5 ( + ) = + + + + + a b Ca Cab C ab Cab C ab Cb 0 1 2 3 5 5 5 60 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Di uduh dari : Buupaet.com
Dega pola di atas, dieal sebagai atura Biomial Newto (espasi biomial) da betu umum (a + b) ditulisa sebagai beriut: Atura Biomial Newto = 0 + 1 + + 1 + 1 1 1 a+ b Ca Ca b C ab Cb atau = a+ b Ca r= 0 r r, r merupaa bilaga asli. b r Cotoh 8.6 Jabara betu biomial beriut ii: 1. (2a 5) 3 = 2. (a + b) 5 = 3. (3a + 2b) = 2. a + = a 5. Dietahui biomial terahir. 5 1 2a + a 1. Jabaralah 3 suu pertama da dua suu 6. Tetualah oefisie dari pada betu biomial a + a. 2 2 12 Alteratif Peyelesaia 1. Dari soal di atas dietahui a = 2a da b = 5 maa 3 3 3 0 3 2 1 3 1 2 3 0 3 ( 2a 5) = C0 ( 2a) 5 + C1 ( 2a) 5 + C2 ( 2a) 5 + C3 ( 2a) 5 3 2 = 28 ( a )1 3 a 5 32a 25 11125 3 3 2 = + + + + + + () 2a 5 16a 60a 150a 125 Matematia 61 Di uduh dari : Buupaet.com
6 6 6 = + + + + + 6 6 0 6 6 1 1 6 6 2 2 6 6 3 3 2. a+ b Cab C a b Ca b C a b Ca b 0 C 6 6 5 5 a b + Ca b 5 1 6 6 6 6 6 2 6 5 1 3 3 2 1 5 = 1a 1+ 6a b + 15a b + 20a b + 15a b + 6a b + 1a 0 b 6 = a + 6a b+ 15a b + 20a b + 15a b + 6ab + b 6 5 3 3 2 6 6 3. Cermati epasi di bawah ii. 0 1 1 2 2 3 3 ( 3a+ 2b) = C ( 3a) b + C ( 3a) b + C ( 3a) b + C ( a) b + 0 C a b 1 = + + + + 181a 1 3a b 63a b 3a b 13a b 2 3 3 1 2 2 1 3 0 = 81a + 81 ( a ) b+ 6( 9a ) b + ( 3a) b + 1b 3 2 2 3 3 2 2 = 81a + 32a b+ 5a b + 12ab + b 3 Sebagai latiha utu megasah emampua dalam meyelesaia soalsoal biomial ewto, erjaa secara madiri soal omor, 5, da 6. 3 Uji Kompetesi 8.1 1. Seorag staff ahli di suatu POLDA medapat tugas utu meyusu omor pada plat edaraa roda empat yag terdiri 3 aga da aga. Staff tersebut haya diperboleha megguaa aga 1, 2, 3,, 5, 6 utu plat yag terdiri dari 3 aga da aga 0 sampai 9 utu plat yag terdiri aga. a) Berapa cara meyusu plat edaraa yag terdiri dari 3 aga da aga? b) Jia omor-omor plat tersebut aa dilegapi dega seri yag terdiri dari dua huruf voal. Berapa baya susua seri plat yag mugi? 2. Diberia aga-aga 0, 1, 2, 3,, 5, 6, 7, 8, da 9. Ragailah bilaga yag terdiri dari 5 aga yag berbeda dega syarat: a) Bilaga gajil b) Bilaga geap 3. Dari ota A e ota B dilayai oleh bus da dari B e C oleh 3 bus. Seseorag beragat dari ota A e ota C melalui B emudia embali lagi e A juga melalui B. Jia saat embali dari C e A, ia tida mau megguaa bus yag sama, maa hituglah baya cara perjalaa orag tersebut. 62 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Di uduh dari : Buupaet.com
. Tetua ilai dari: 89! 38! 86! 1! 5. Sederhaaalah persamaa beriut: a.! b. ( + 2! ) ( 1)!! c. ( + 1)! 1! 6. Baya garis yag dapat dibuat dari 8 titi yag tersedia, dega tida ada 3 titi yag segaris? 7. Baya garis yag dapat dibuat dari 8 titi yag tersedia, dega tida ada 3 titi yag segaris? 8. Tetua baya susua pemai yag berbeda dari team bola voli yag terdiri dari 10 pemai bila salah seorag selalu mejadi apte da seorag lai tida bisa bermai area cedera! 9. Berapa baya cara utu meempata 3 aa lai-lai da 2 aa perempua dudu berjajar tapa membedaa tiap aa? 10. Suatu delegasi terdiri dari 3 pria da 3 waita yag dipilih dari himpua 5 pria yag berbeda usia da 5 waita yag juga berbeda usia. Delegasi itu boleh mecaup palig baya haya satu aggota termuda dari alaga waita atau aggota termuda dari alaga pria. Hituglah baya cara memilih delegasi tersebut. 11. Semiar Matematia dihadiri oleh 20 orag. Pada saat bertemu merea salig berjabat taga satu dega yag lai. Berapaah jabat taga yag terjadi? 12. Perhatia gambar beriut. Jia suatu segitiga dibetu dega megguaa 3 titi. Berapa baya segitiga yag dapat dibetu. 13. Tetualah baya susua huruf yag dapat dibetu dari huruf-huruf: a. MATEMATIKA c. TRIGONOMETRI b. PENDIDIKAN d. MALAKA Matematia 63 Di uduh dari : Buupaet.com
11. Jabaralah betu biomial beriut ii: a. (2a + 3b) 8 c. b 2a + 2 6 b. (a + 2b) 10 d. 2a 3 8 1 + 3b Proje Racag suatu permaia yag megguaa osep atura pecacaha. Sebelum amu susu lapora proje ii, terlebih dahulu laua simulasi sebagai uji validitas pegguaa osep. 2. PELUANG Kamu sudah mempelajari osep peluag pada Bab 12 Buu Matematia elas X. Dega pegalama belajar itu, ita aa megembaga osep peluag dega memperhatia baya cara semua ejadia mugi terjadi da baya cara suatu ejadia mugi terjadi. Dega demiia, pada sub bab ii, ita aa medalami bagaimaa meetua baya aggota ruag sampel ejadia dega megguaa osep atura pecacaha. Mari ita mulai sub bab ii dega megaji ruag sampel suatu ejadia. 2.1 Kosep Ruag Sampel Masih igatah amu osep himpua yag amu pelajari di elas VII SMP? Pada sub bab ii, ita igi membagu osep ruag sampel dega megguaa osep atura pecacaha melalui osep himpua bagia. Mari ita cermati pembahasa di bawah ii. Diberia S = {p, r, s, t} (S) =. Tetu amu masih igat bagaimaa cara meetua himpua bagia dari S. Semua himpua bagia S disajia di tabel beriut ii. 6 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Di uduh dari : Buupaet.com
Tabel 8.2: Himpua bagia S dega tida memperhatia uruta Himpua Bagia Beraggota Kejadia Total 0 1 1 {p}, {r}, {s}, {t} 2 {p,r}, {p,s}, {p,t}, {r,s}, {r,t}, {s,t} 6 3 {p,r,s}, {p,r,t}, {p,s,t} {r,s,t} {p, r, s, t} 1 16 C 0 C 1 C 2 C 3 C 2 Perhatia aga-aga; 1,, 6,, 1 merupaa oefisie biomial utu espasi (a + b), yag dapat ditetua berturut-turut melalui C, 0 C, 1 C, C, da C 2 3. Dari tabel di atas, dapat diartia bahwa baya ejadia muculya 2 aggota himpua bagia dari S adalah C = 6. Baya semua himpua bagia dari himpua 2 S = 2 = 16. Himpua uasa S adalah olesi semua himpua bagia S (Igat embali osep himpua uasa seperti yag telah amu pelajari pada elas VII SMP). Jadi 16 adalah baya aggota ruag sampel ejadia semua himpua bagia S. Selajutya Tabel 8.2 aa berubah jia ita memperhatia uruta aggota. Kodisi ii disajia pada tabel beriut ii. Tabel 8.3: Himpua bagia S dega memperhatia uruta Kejadia Total 0 1 Himpua Bagia Beraggota 1 2 3 {p}, {r}, {s}, {t} {p,r},{r,p} {p,s},{s,p} {p,t},{t,p} {r,s},{s,r} {r,t},{t,r} {s,t},{t,s} 6 {p,r,s}, {p,s,r}, {p,r,t}, {p,t,r}, {p,s,t}, {p,s,t}, 2 {p, r, s, t}, {p, r, t, s}, {p, s, r, t}, {r,s,t}, {r,t,s}, 2 65 P 0 P 1 P 2 P 3 P Matematia 65 Di uduh dari : Buupaet.com
Pada asus memperhatia uruta aggota, osep ombiasi yag diguaa pada Tabel 8.2 berubah mejadi osep permutasi. Aalog dega ombiasi, baya aggota ejadia muculya himpua bagia S beraggota dua (dega 2 memperhatia uruta) adalah P = 12. Sedaga 65 merupaa baya aggota ruag sampel ejadia semua himpua bagia dega memperhatia uruta aggotaya. Tetuya sudah puya gambara tetag peerapa osep permutasi atau ombiasi dalam meetua baya ejadia mucul pada suatu percobaa. Beriut ii seorag ibu memilii esempata memilih, mari ita selidii apaah masalah tersebut megguaa osep permutasi atau ombiasi. Masalah-8.11 Pada suatu tempat peitipa aa berusia 3 6 tahu meyediaa maaa da miimum bergizi yag bervariasi. Bu Sity, area alasa jam erja memilih meitipa aaya di tempat peitipa ii. Dari semua variasi maaa da miimum, Bu Sity harus memilih 2 jeis buah dari jeis buah yag disediaa da memilih maaa dari 6 jeis maaa yag disediaa. Berapa baya piliha yag dimilii oleh Bu Sity? Diasumsia setiap aa maa juga harus maa buah. Alteratif Peyelesaia Dietahui: Tersedia jeis buah da aa dipilih 2 jeis buah. Tersedia 6 jeis maaa da aa dipilih jeis maaa. Setiap si aa maa harus maa bauh. Ditaya: Baya piliha jeis susu da jeis maaa. Utu asus ii, misalya Bu Sity memilih jeis buah 1 (b 1 ) da jeis buah 2 (b 2 ) sama saja dega memilih b 2 da b 1. Demiia juga maaa, jia Bu Sity maaa 1 (m 1 ) da maaa 3 (m 3 ) sama saja dega memilih m3 da m1(megapa?). Dega demiia ita megguaa osep ombiasi utu meetua baya piliha yag dimilii oleh Bu Sity. 66 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Di uduh dari : Buupaet.com
Karea setiap maa aa Bu Sity juga harus maa bauh, maa baya ombiasi piliha maaa da miuma diyataa sebagai beriut: 6 C2 C = 6 15 = 90 piliha. Meurut amu, apa alasaya megapa ita megguaa operasi peralia? Megapa bua operasi pejumlaha? Beria alasamu serta beria cotoh yag megguaa operasi pejumlaha. Cotoh 8.7 Bu Jei Mumu, seorag guru matematia di Ambo. Suatu etia dia igi memberia tugas epada siswa yag sagat raji da memilii daya tagap di atas rata-rata tema satu elasya. Dia mempersiapa 15 soal matematia berbetu essai. Namu dari 15 soal itu, Bu Mumu haya memita si aa megerjaa 10 soal, tetapi harus megerjaa soal omor 7, 12, da 15. Berapa baya piliha yag dimilii aa itu? Alteratif Peyelesaia Siswa Bu Mumu harus memilih 7 soal lagi dari 12 soal sisa (megapa) da utu megetahui baya cara memilih soal tersebut ditetua dega megguaa ombiasi (beri alasaya), yaitu: C 12 7 12! 12 11 10 9 8 7! = = = 729 12 7!.7! 5 3 2 1 7! cara. Cotoh 8.8 Too perhiasa yag berloasi pusat perbelajaa meerima 5 jeis cici eluara terbaru, misala C 1, C 2, C 3, C, da C 5. Tida lama setelah too itu bua, waita bermiat mecoba elima cici itu. Berapaah baya cara pemasaga cici tersebut? Alteratif Peyelesaia Utu meyelesaia ii, ita megguaa atura aidah pecahaha. Semua emugia pemasaga cici dega eempat waita tersebut, diilustrasia sebagai beriut: Matematia 67 Di uduh dari : Buupaet.com
C 1 C 2 C 1 C 2 W 1 C 3 W 2 C 3 C C C 5 C 1 C 2 C 5 10 cara 10 cara C 1 C 2 W 3 C 3 W C 3 C C C 5 C 5 Gambar 8.6 Diagram pemasaga cici Dega megguaa permutasi pemasaga cici ditetua sebagai beriut: 5 5!! P1 P1 = = 5 = 20 cara. ( 5! ) ( 1! ) Jelasa megapa perhituga permutasi di atas megguaa operasi peralia! Seadaiya setiap dua waita pertama igi membeli masig-masig 1 cici. Baya piliha cici utu edua waita itu dihitug dega permutasi, yaitu: 5 P1 P1 = 5 = 20 cara (selidii dega meggambara sema pecacaha). Dari pembahasa ajia, masalah-masalah, da cotoh-cotoh di atas perlu ita tari esimpula pegguaa permutasi atau ombiasi dalam meetua baya susua/cara dalam memilih usur dari usur yag tersedia. Kesimpula itu diyataa dalam prisip beriut ii. Prisip-8.1 Misala dipilih usur dari usur (secara aca) yag tersedia, dega, i. Jia ada uruta dalam pemiliha usur, maa meetua baya cara ii. pemiliha ditetua dega P. Jia tida uruta dalam pemiliha usur, maa meetua baya cara pemiliha ditetua dega C. 68 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Di uduh dari : Buupaet.com
Cotoh 8.9 Dalam sebuah atog berisi 8 mai putih da 5 mai merah. Dari atog itu diambil 6 buah mai. Berapa baya piliha utu megambil mai-mai itu, jia 6 buah mai itu terdiri atas: a) 5 mai putih da 1 mai merah? b) mai merah da 2 mai putih? Alteratif Peyelesaia Obje yag aa diambil dari atog adalah obje yag tida memperhatia uruta. Dega demiia, meetua baya piliha megguaa osep ombiasi, yaitu: 8 5 8! 5! a) C5 C1 = = 280 cara. 3!.5!!.1! b) C 8! 5! = = 700 cara.!.! 2!.3! 8 5 C2 2.2 Peluag Kejadia Majemu Masih igatah amu osep peluag yag telah amu pelajari pada elas X SMA? Defiisi 12.3 pada buu matematia elas X meyataa: P E E = S Pada elas X, amu sudah mempelajari bagaimaa meetua (E) da (S) utu ejadia tuggal. Pada Sub bab 2.1 di atas, ita sudah megaji bagaimaa meetua (E) da (S) utu suatu ejadia majemu. Searag ita aa mempelajari meetua peluag suatu ejadia dega ejadia yag dimasud adalah ejadia majemu. Matematia 69 Di uduh dari : Buupaet.com
Mari ita mulai sub bab ii, dega memecaha masalah beriut ii. Masalah-8.12 Dalam sebuah olam ecil terdapat sebaya 10 ia lele da sebaya 5 ia gurame. Dega megguaa jarig taga, aa diambil 12 ia secara aca. Hituglah ilai peluagya jia yag terambil itu adalah: a) 10 ia lele da 2 ia gurame, b) 9 ia lele da 3 ia gurame, c) 7 ia lele da 5 ia gurame. Alteratif Peyelesaia Jelas utu asus ii, baya cara memilih 12 ia dari 15 ia yag ada dihitug 15 15! 15 1 13 12! dega megguaa ombiasi, yaitu: C12 = = = 55 cara. 3!.12! 3 2 1.12! Artiya baya aggota ruag sampel memilih 12 ia dari 15 ia adalah 55. a) Baya cara memilih 10 ia lele dari 10 ia lele da memilih 2 ia gurame dari 5 ia gurame, dihitug megguaa osep ombiasi, yaitu: 10 5 C10 C2 = 1 10 = 10 cara. Artiya baya ejadia terambilya 10 ia lele da 2 ia gurame adalah 10 cara. Jadi, peluag terambilya 10 ia lele da 2 ia gurame adalah: ( E) 10 2 P( E) = = S 55 91 Bagia b) da c) erjaa sebagai latihamu. 70 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Di uduh dari : Buupaet.com
Uji Kompetesi 8.2 1. Di dalam sebuah ota terdapat 10 bola yag sama tetapi berbeda wara. 5 bola berwara merah, 3 bola berwara putih, da 2 bola berwara uig. Seorag aa megambil 3 bola secara aca dari ota. Tetualah: a) Baya cara pegambila etiga bola tersebut. b) Baya cara pegambila etiga bola dega dua bola berwara sama. c) Baya cara pegambila etiga bola tersebut dega baya bola berwara merah selalu lebih baya daripada baya bola berwara laiya. d) Baya cara pegambila etiga bola jia bola berwara uig palig sediit terambil 2. 2. Dari aga 1, 2, 3,, 5, 6, da 7 aa dibuat bilaga dega aga yag berbeda. Tetualah: a) Baya bilaga yag dapat dibetu. b) Baya bilaga ribua yag lebih besar atau sama dega 000. c) Baya bilaga ratusa dega aga ratusa adalah bilaga prima. d) Jia x adalah bilaga ratusa yag dapat dibetu dari aga di atas, maa tetua bayaya bilaga ratusa yag memeuhi 250 < x < 750. e) Baya bilaga ratusa dega aga di posisi puluha selalu lebih dari aga di posisi satua. 3. Tetua baya ata berbeda yag dapat dibetu dari huruf pembetu ata: a) ATURAN b) INDONESIA c) KURIKULUM d) STATISTIKA. Berapa baya ata yag dapat dibetu dari huruf pembetu ata PERMUTASI dega selalu megadug usur ata TAMU. 5. Sepuluh buu yaitu: 6 buu IPA, 2 buu IPS, da 2 buu Bahasa aa disusu di atas meja. Tetualah: a) Baya susua jia disusu berjajar. b) Baya susua jia disusu berjajar dega buu yag sejeis bidag ilmu berdeata. c) Baya susua jia disusu berjajar dega buu IPA selalu berada di piggir. Matematia 71 Di uduh dari : Buupaet.com
d) Baya susua jia disusu secara silis. e) Baya susua jia disusu secara silis dega buu yag sejeis bidag ilmu berdeata. 6. Bayu pergi meoto pertadiga sepa bola e stadio. Jia stadio memilii 5 pitu masu/eluar maa tetua baya cara Bayu memilih masu e stadio dega da eluar melalui pitu yag berbeda. 7. Dua orag pergi meoto pertadiga sepa bola e stadio. Jia stadio memilii 6 pitu masu/eluar maa: a. Tetua baya cara merea memilih masu e stadio dega masu melalui pitu yag sama tetapi eluar dega pitu yag berbeda. b. Tetua baya cara merea memilih masu e stadio dega masu melalui pitu yag sama tetapi merea eluar dega pitu yag berbeda da tida melalui pitu di saat merea masu. 8. Didalam sebuah ota terdapat 12 bola yag sama da berbeda wara, yaitu 6 bola berwara Merah, bola berwara Biru, da 2 berwara hijau. Jia, seorag aa megambil 3 bola secara aca maa tetua: a. Peluag pegambila etiga bola tersebut b. Peluag terambil 2 bola berwara merah c. Peluag terambil etiga bola berbeda wara d. Peluag terambil baya bola berwara merah selalu lebih baya dari bola laiya. e. Peluag terambil baya bola berwaa merah selalu lebih baya dari baya bola berwara biru da baya bola berwara berwara biru lebih baya dari bola berwara hijau. 9. Di dalam adag terdapat 0 eor ayam, yaitu 18 eor ayam jata, 6 diataraya berbulu tida hitam da 21 eor ayam berwara hitam. Ibu memilih 2 eor ayam utu dipotog, maa tetualah peluag bahwa ayam yag terpilih utu dipotog adalah ayam betia berbulu tida hitam. 10. Siti meyusu bilaga ratusa dari aga 0, 1, 2, 3, da 5. Siti meulisa setiap bilaga di ertas da meggulugya da megumpulaya di dalam sebua ota. Siti memita Udi megambil sebuah guluga secara aca. Tetualah: a. Peluag yag terambil adalah bilaga 123. b. Peluag yag terambil adalah bilaga gajil c. Peluag yag terambil adalah bilaga dega aga di posisi satua adalah bilaga prima. d. Peluag yag terambil adalah bilaga diatara 123 da 321 72 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Di uduh dari : Buupaet.com
11. Dua puluh lima titi disusu membetu pola bilaga persegi (5 5), seperi gambar Jia dibetu segitiga dega meghubuga tiga titi maa tetua baya segitiga yag dapat dibetu. 12. Didalam elas terdapat 10 siswa (6 pria da waita) sebagai calo pegurus OSIS, yaitu etua, seretaris da bedahara. Tetua peluag terpilih epegurusa dega: a. Kepegurusa tida mempuyai persyarata atau merea semua berha medudui salah satu posisi. b. Ketua da seretaris harus pria c. Ketua, seretaris harus pria da bedahara harus seorag waita d. Ketua harus seorag pria. 13. Tujua bahwa C0 + C1 + C2 + C3 +... + C = 2 dega bilaga bulat positif. 1. Jia P adalah permutasi usur dari usur da C adalah ombiasi usur 5 dari usur maa C + 3 + 3 = 22 maa tetua ilai P 5 15. Jia P adalah permutasi usur dari usur da C adalah ombiasi usur dari usur maa tetua harga yag memeuhi P P P C 1 2 3 + 3 = 2 Matematia 73 Di uduh dari : Buupaet.com
D. PENUTUP Berdasara sajia materi terait berbagai osep atura pecacaha, beberapa hal petig dapat ita ragum sebagai beriut. 1. Atura pecacaha merupaa metode utu meetua baya cara/susua/ piliha pada saat memilih usur dari usur yag tersedia. Atura pecacaha ii meliputi peralia berurut (fatorial), permutasi, da ombiasi. 2. Fatorial diyataa dega! = ( 1) ( 2) ( 3)... 3 2 1. 3. Permutasi adalah susua usur dari usur tersedia dalam satu uruta. Terdapat tiga jeis usur permutasi yai 1. Permutasi dega usur-usur yag berbeda, 2. Permutasi dega usur-usur yag sama, da 3. Permutasi silis.! Secara umum baya permutasi diyataa dega: P =,dega.!. Kombiasi adalah susua usur dari usur tersedia dega tapa! memperhatia urutaya, diyataa dega C =,dega.!! 5. Utu ejadia majemu, baya aggota ruag sampel (S) suatu ejadia merupaa baya cara/susua suatu ejadia majemu tersebut. Sedaga baya aggota ejadia (E) merupaa ombiasi atau permutasi suatu ejadia pada ejadia majemu. ( E) 6. Peluag suatu ejadia majemu (E) dirumusa: P( E) =. S Dega memilii siap, pegetahua, da eterampila aa atura pecacaha dapat amu apliasia megatasi masalah duia yata. Utu selajutya, osep dasar atura pecacaha ii aa membatu amu memahami osep peluag majemu da matematia disrit. Selajutya ita aa membahas materi ligara, tetuya pegalama belajar yag ita peroleh pada Bab VIII ii harus membatu cara berpiir ita memecaha masalah. 7 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Di uduh dari : Buupaet.com