Koleksi Soal da Pembahasa MaG-D Oleh: Arii Soesatyo Putri Uiversitas Islam Negeri Sua Guug Djati Badug 06 [Date]
Kata Pegatar Bismillahirrahmaairrahiim... Mathematical Aalysis ad Geometry Day (MaG-D) merupaka kompetisi bergegsi yag diseleggaraka setiap tahuya oleh Kelompok Keahlia Aalisis da Geometri ITB. MaG-D dapat dijadika warmig-up utuk megikuti kompetisi selajutya seperti ONMIPA atau OSN Pertamia, karea tipe serta karakter soal yag diberika di MaG-D memiliki variasi kesulita yag berbeda-beda, diataraya terdapat soal yag mampu membuat bibir kita terseyum 5 seti, da ada juga yag cukup meguras air mata. Di dalam lembara tulisa ii, peulis membagika sebagia pegetahuaya dalam megerjaka soal-soal MaG-D, dimaksudka utuk memudahka tema-tema yag memiliki miat serta keigia utuk megikuti ajag MaG-D tersebut. Walaupu masih bayak kekuraga baik dari segi pegalama serta pemahama, semoga dapat dimaklumi karea keterbatasa ilmu yag peulis miliki. Selamat meikmati, jaga lupa meyiapka secagkir teh hagat utuk meyatap hidaga soal yag lezat ii.. Sampaikalah ilmu walaupu haya satu ayat. Badug, April 06 Arii Soesatyo Putri K o l e k s i S o a l d a P e m b a h a s a M a G - D
Apa ada kebeara tapa kesalaha sebelumya? Takut berbuat salah aka membuatmu tak perah mejumpai kebeara. Sebab salah da bear itu adalah termasuk jodohmu pula. Sujiwo Tejo K o l e k s i S o a l d a P e m b a h a s a M a G - D
Koleksi Soal da Pembahasa Mathematical Aalysis ad Geometry Day Soal (MaG-D 03). Pada persegi ABCD yag pajag rusukya a > 0 dibuat dua busur seperempat ligkara L da L yag berjari jari a, pudat L di titik B da pusat L di titik D. Luas daerah yag diarsir pada gambar adalah Pembahasa: Perhatika gambar berikut: Luas jurig CBA = Sudut pusat π. r π = (π ). π a π = a π. 4 Luas segitiga CBA adalah L CBA =. alas. tiggi = a. Maka luas tembereg AC = Luas jurig CBA L CBA = a π 4 a = a π 4a = a (π ). 8 4 Terdapat dua tembereg sama besar, sehigga luas gambar yag diarsir adalah xluas tembereg AC = a (π ) 4 = a (π ). Soal (MaG-D 05). Ekivalesi atau kesetaraa ( ) yag salah pada ragkaia operasi aljabar: x = 4 x = 4x x 6 = 4x 6 (x + 4)(x 4) = 4(x 4) x + 4 = 4 x = 0 adalah lagkah ke Pembahasa: Kesalaha terlatak pada: Lagkah pertama, x = 4 x = 4x tidak tepat. Peryataa haya berlaku jika x = 4 maka x = 4x, amu tidak dega kebalikaya, karea jika x = 4x, maka haruslah x = 4 atau x = 0. Selajutya pada lagkah ke empat, (x + 4)(x 4) = 4(x 4) x + 4 = 4 K o l e k s i S o a l d a P e m b a h a s a M a G - D 3
tidak bear, karea hukum pecoreta utuk persamaa di atas tidak berlaku jika x = 4. Maka kesalaha terletak ada lagkah pertama da ke empat. Soal (MaG-D 03). Utuk barisa {x }, jika maka sups + ifs = S = {x x = ( ) Pembahasa: Jika bilaga gajil, maka ( ) ( ) =. Lebih lajut kita puya, bilaga asli} = +. Jika bilaga geap, maka Utuk gajil: S = {, 4, 6, 8 ( ), }. Maka berlaku = + > >. 3 5 7 Utuk geap: S = {, 3, 5 ( ), }. Maka berlaku = =. 4 6 Oleh karea itu utuk gajil maupu geap berlaku ( ) >. Dega asumsi yag sama kita juga peroleh ( ). Sehigga da berturut turut merupaka batas bawah da batas atas dari S. Karea S, maka tidak terdapat batas bawah m >, oleh kareaya merupaka batas bawah terbesar, yaki ifs =. Da karea S, maka tidak terdapat batas atas M <, oleh kareaya merupaka batas atas terkecil dari S, yaki sups =. Diperoleh ifs+sups = + = 5. Soal (MaG-D 04). Jika suku barisa real {a }, N adalah a > 0 Maka barisa {a } koverge ke... a = + a,, a + = Pembahasa: Diberika a + = +a +. Maka a + = + a + a = + a + a + K o l e k s i S o a l d a P e m b a h a s a M a G - D 4
Diperoleh a + a = 0. Selajutya aka ditetuka ilai a yag memeuhi persamaa tersebut. Kita puya a, = ( 4()( )) () = 8 = = Karea a tidak mugki berilai egatif, maka ilai yag terpeuhi adalah a =. Jadi barisa {a } koverge ke. Soal (MaG-D 03). Selag kekovergea dari deret ( ) x + + =0 Adalah himpua semua x yag memeuhi... = x x + x3 3 x4 4 + Pembahasa: Diberika u = ( ) x +, da u + = ( )+ x +. Berdasarka uji rasio mutlak maka + + ( ) + x + + ( ) x + = ( )+ x + ( + ) ( ) x + ( + ) = + = x + = x <. + + ) ( )x( + Agar deret tersebut koverge haruslah x <. Selajutya perlu juga dicek utuk x = da x =. Jika x =, maka ( ) x + = ( ) ( ) + = + + 3 4 = =0 =0 Deret tersebut merupaka deret harmoik yag diverge. Jika x = maka ( ) x + = ( ) () + = + + + 3 4 + = ( )+ =0 =0 Deret tersebut merupaka deret harmoik gati tada yag koverge. Oleh karea itu, ( ) x + selag kekovergea deret =0 adalah < x. + = = K o l e k s i S o a l d a P e m b a h a s a M a G - D 5
cosx Soal (MaG-D 04). = six Pembahasa: Perhatika bahwa Da cosx Karea + six cosx six cosx = + six cosx = six, maka Soal (MaG-D 03). x ( + x )x = Pembahasa: cosx six tidak ada. ( + x x x ) = ( + x x x ) = ( + x x x ) = e. Soal (MaG-D 05). ( + six) x = Pembahasa: Soal (MaG-D 04). Fugsi f(x) = ( + six) = ( + six) six.six x = e. = e. x cosx di 0, maka ilai f(0) harus didefiisika sebagai f(0) = kotiu utuk setiap x 0. Agar fugsi ii kotiu Pembahasa: Agar fugsi f(x) kotiu di 0, maka haruslah f(x) da f(0) ada sehigga memeuhi f(0) = f(x). Kita puya x x cosx = si ( x ) = x ( x ) si ( x ) ( x ) =. = Oleh karea itu agar fugsi f(x) kotiu di 0, maka haruslah f(0) = f(x) =. K o l e k s i S o a l d a P e m b a h a s a M a G - D 6
Soal (MaG-D 03). Diberika fugsi f, g: R R yag memeuhi g(x) = f(ax), utuk setiap x R da a > 0. Jika f(x) = L, maka g(x) = Pembahasa: Dega asumsi bahwa f da g fugsi yag kotiu sehigga memeuhi f(x) = f(0) = L, maka g(x) = f(ax) = f ( ax) = f(0) = L. a a Soal (MaG-D 05). Jika x =, a kostata positif, maka a = x Pembahasa: Jika disubstitusika x = 0, maka it pada soal aka berilai ol, bukalah satu. Maka pastilah betuk it tersebut memeuhi Teorema L Hopital, sehigga kita turuka pembilag da peyebutya mejadi diperoleh a =. x a a x x = a x x Soal (MaG-D 03). Jika a da b memeuhi = a x = a = a =. x x x+a+b Pembahasa: Perhatika bahwa jika kita substitusika x = maka x x x + a + b = + a + b = 0 4 = 4, maka a + b = Oleh karea itu haruslah peyebutya x + a + b = 0 utuk x agar memeuhi Teorema L Hopital. Kita selesaika it tersebut dega L Hopital, diperoleh x x x + a + b = x + a = + a = 4 x Maka a = 3. Substitusi ilai tersebut ke dalam persamaa x + a + b = 0 utuk x, didapat Sehigga a + b = 3 =. x + a + b = + 3 + b = 0 b = K o l e k s i S o a l d a P e m b a h a s a M a G - D 7
Soal (MaG-D 03). Jika kurva f(x) = ax 3 + bx + cx melalui titik (,4), f () = 0, da f"() = 0, maka f() = Pembahasa: Diberika persamaa f() = a() 3 + b() + c() = a + b + c = 4. () f () = 3a() + b() + c = 3a + b + c = () f"() = 6a() + b = 0 (3) Dari persamaa (3) diperoleh b = 3a (4), substitusika ilai tersebut ke dalam persamaa () didapat 3a + ( 3a) + c = c = + 3a (5). Selajutya substitusika persamaa (5) ke dalam persamaa (), maka a + ( 3a) + ( + 3a) = 4 a = (6). Kemudia persamaa (6) disubstitusika ke dalam persamaa (3) da (5) sehigga diperoleh a =, b = 6, da c = 8. Dega demikia f() = a() 3 + b() + c() = 8a + 4b + c = 8) + 4( 6) + (8) = 8. Soal (MaG-D 04). Deret Maclauri dari fugsi f(x) = e x, x 0, f(0) = adalah... Pembahasa: Aka ditetuka ilai dari turua-turuaya di titik 0, yaki x f(0) = f (0) = x f (0) = x4 6 f (0) = x6 4 f 4 (0) = x8 0 da seterusya. Sehigga ekspasi deret Maclauri dari fugsi tersebut adalah e x x = x + x4 6 x6 4 + x8 0 = ( ) x ( + )! =0 K o l e k s i S o a l d a P e m b a h a s a M a G - D 8
Soal (MaG-D 05). Fugsi e x x f(x) = { x, x 0, x = 0 Kotiu di 0. Turua dari fugsi f di 0 adalah f (0) = Pembahasa: Berdasarka defiisi turua, e x x f(x) f f(0) (0) = = x e x x x = x 0 x x 3 Utuk meyelesaika it tersebut, guaka atura L Hopital, yaki e x x x e x x e x e x x 3 = 6x = = x = 6. Maka turua fugsi f(x) di titik 0 adalah 6. Soal (MaG-D 04). Turua pertama dari fugsi f(x) = x + x si x bilaga gajil positif adalah f ( π ) = Pembahasa: di titik x = utuk π f (x) = + xsi ( x ) + x ( x ) cos ( x ) = + xsi ( x ) cos ( x ) Maka turuaya di titik x = π adalah f ( π ) = + ( π ) si ( ) cos ( ) π π = + 4, = geap π si(π) cos(π) = {, = gajil Maka utuk gajil, f ( π ) =. K o l e k s i S o a l d a P e m b a h a s a M a G - D 9
Soal (MaG-D 03). Fugsi f(x) = x 3six, x R bersifat... Pembahasa: Fugsi f(x) merupaka fugsi yag kotiu di setiap x R. Turua pertama dari fugsi f(x) utuk x 0 adalah d (x 3six) f (x) = = x 3cosx + dx 3 x 3six = x 3cosx + six. Turua dari fugsi tersebut di titik x = 0 adalah f(x) f f(0) x3six six six (0) = = = x 0 x x = x. x 3 =.0 = 0. 3 Karea fugsi y = x 3, y = cosx, y = six, da y = 3x 3 semuaya kotiu utuk x 0, maka fugsi f kotiu utuk x 0. Selajutya harus meujukka kekotiua fugsi f di x = 0. Karea f (x) = (x 3cosx + six ) = (x 3cosx) + ( six x 3x 3 x 3x 3 3x 3 ) = 0 = f (0). Maka fugsi f kotiu di x = 0. Jadi f kotiu pada R. Oleh karea itu sifat dari fugsi f adalah f kotiu di setiap x R. Soal (MaG-D 03). Jika y = + x x, x R. Maka utuk setiap x R berlaku sifat... Pembahasa: Kita turuka y terhadap x satu kali, y = x + x < 0 Utuk berapapu ilai x R, jelas fugsi y < 0. Selajutya kita turuka kembali y, diperoleh ( + x x x y = + x ) + x = > 0 ( + x ) 3 Utuk setiap x R, fugsi y > 0. Maka sifat fugsi y = + x adalah y < 0 da y > 0, yag artiya fugsi y aka selalu meuru da cekug ke atas pada iterval (, ). K o l e k s i S o a l d a P e m b a h a s a M a G - D 0
Soal 6.4 (MaG-D 04). Jika fugsi f teritegralka pada [0,] da P suatu partisi yag membagi [0,] atas bagia sama pajag, maka f(x) dx = 0 Pembahasa: Didefisika partisi p utuk [0,] yag membagiya atas bagia sama pajag sebagai P = {0,,,, (k ), k,, ( ), = }, x k = Maka m k = if {f(x) (k ) x k } = f (k ) M k = sup {f(x) (k ) x k } = f (k ). Jumlah bawah da atasya mejadi L(P, f) = m k x k = f ( k ) k= k= U(P, f) = M k x k = f ( k ) k= Karea fugsi f teritegralka di [0,], maka ilai itegral atas atau it jumlah atas aka sama dega itegral bawah atau it jumlah bawahya, sehigga f(x) dx mejadi 0 k= f (k ), atau f (k ). k= Soal (MaG-D 03). Jika P adalah partisi reguler yag membagi selag [0,] atas bagia k= yag sama pajag, maka it jumlah atas (upper sum) dari x 0 dx +x adalah... Pembahasa: Pertama kita buat partisi P utuk [0,] yag membagiya atas bagia sama pajag sebagai P = {0,,,, (k ), k,, ( ), = }, x k = Maka K o l e k s i S o a l d a P e m b a h a s a M a G - D
x M k = sup { + x (k ) x k } = ( k ) + ( k = k ) + k. Sehigga diperoleh it jumlah atasya mejadi Soal (MaG-D 03). x 0 +x U(P, f) = dx = Pembahasa: Perhatika bahwa betuk itegra dalam soal mejadi k= k + k x = x+ = x+ =. Kita dapat memecah x+ x+ x+ x+ x+ x dx = dx dx = ( 0) [l() l()] = l(). + x x + 0 Soal (MaG-D 05). 0 3 x(+x) 0 dx = Pembahasa: Misalka u = x, maka u + = x + da udu = xdx. Sehigga 3 dx = x( + x) + u du = [ta ( x)] 3 = [ta ( 3) ta ()] 3 = [ π 3 π 4 ] =. π = π 6. Soal (MaG-D 05). Daerah D terletak di kuadra pertama, dibatasi kurva y = e x, garis y = e, da sumbu y. Jika daerah D diputar terhadap sumbu y, maka volume beda putar yag terjadi adalah.. Pembahasa: perhatika grafik berikut: K o l e k s i S o a l d a P e m b a h a s a M a G - D
Kita iris secara horizotal, sehigga y mejadi variabel itegrasi. Betuk y = e x berpadaa dega x = ly. Maka Dega megguaka metode cakram, diperoleh V π(l y). Sehigga volumeya adalah e V = π (ly) dy Dega megguaka itegral parsial, misalka u = ly, du = dy, dv = ly dy, da v = y ly dy = y(ly ). Maka e V = π (ly) dy = π {[yl y yly] e e (ly ) dy} = π {(el e ele) (. l. l) [yly y] e } = π(e ). Soal (MaG-D 04). Jika fugsi g terdiferesialka di kuadra pertama da f(x, y) = y x + g ( x f f ), maka x + y = y x y Pembahasa: Berdasarka defiisi turua parsial, maka diperoleh Da f x = y x + y g ( x y ) f y = x x y g ( x y ) K o l e k s i S o a l d a P e m b a h a s a M a G - D 3
Maka kita puya x f f + y x y = x [ y x + y g ( x y )] + y [ x x y g ( x y )] = y x + x y g ( x y ) + y x x y g ( x y ) = 0 Soal (MaG-D 05). Utuk fugsi tiga peubah w = l (x + y + z), jika x = s + t, y = s t, da z = st, maka w s + w t = Pembahasa: Berdasarka atura ratai, maka w s = w x x s + w y y s + w z z s Da = x x + y + z () + y x + y + z () + x + y + 4t x + y (t) = + z x + y + z () w t = w x x t + w y y t + w z z t = x x + y + z () + y x + y + z ( ) + x + y + 4t x + y (s) = + z x + y + z () Dega mesubstitusika ilai x = s + t da y = s t, maka w s + w 4(x + s + t) = t x + y + z = 4(s + t + s + t) (s + t) + (s t) + (st) = 4 s + t. Soal (MaG-D). Utuk fugsi z = f(x, y) yag terdiferesialka pada R, jika x = u + v da y = u v, maka z u + z v = Pembahasa: z u + z v = ( z x x u + z y y u ) + ( z x x v + z y y v ) = z x = z x. z z z () + () + () + y x y ( ) K o l e k s i S o a l d a P e m b a h a s a M a G - D 4
Soal (MaG-D 04). Pembahasa: (x,y) (,) (x,y) (,) 4x y x xy = 4x y x xy = (x + y)(x y) x + y = = () + = 4. (x,y) (,) x(x y) (x,y) (,) x Soal (MaG-D 05). Bilaga kompleks e z dega z = x + iy adalah bilaga real jika z = Pembahasa: Misalka z = x + iy dimaa x = Re(z) da y = Im(z). Maka e z = e x cosy + ie x siy adalah bilaga real jika da haya jika e x siy = 0 siy = 0 y = π Utuk setiap Z. Maka agar e z berilai real, haruslah z = x + iπ. Soal (MaG-D 04). Himpua semua bilaga kompleks yag memeuhi coshz = 0 adalah... Pembaahsa: Diketahui coshz = (e z + e z ), maka coshz = (e z + e z ) = 0 e z + e z = 0 e z ( + e z ) = 0 karea e z tidak mugki berilai ol utuk setiap z C, maka haruslah Dega Z. ( + e z ) = 0 e z = z = iπ( + ) z = iπ( + ) Soal (MaG-D 04). Jika fugsi f kotiu da mooto aik pada [a, b] da a > 0, maka b f(x) dx + f (y) dy = a Pembahasa: Karea f fugsi kotiu da mooto aik serta memiliki ivers f, kita puya f(b) f(a) 0 a b, 0 f(a) < f(b) Misalka terdapat γ [a, b] [f(a), f(b)] yag diberika oleh gambar berikut K o l e k s i S o a l d a P e m b a h a s a M a G - D 5
Maka b f(x) dx Merupaka luas yag dibatasi oleh x = a, x = b, y = 0 da γ. Da juga a f(b) f(a) f (y) dy Merupaka luas yag dibatasi oleh y = f(a), y = f(b), x = 0, da γ. Maka berdasarka gambar yag diberika, kita dapat lihat bahwa pejumlaha dari dua luas itegral tersebut adalah bf(b) af(a). Soal (MaG-D 03). Jika fugsi f kotiu pada selag [0, ) da memeuhi x f(t) dt = x 3 Maka atura fugsi f pada [0, ) adalah f(x) =... 0 x Pembahasa: Berdasarka Teorema Dasar Kalkulus, jika g(x) = f(t) dt, maka g (x) = 0 f(x). Oleh karea itu kita misalka g(x) = x 0 f(t) dt = x 3 da defiisika F(t) sebagai fugsi itegral dari f(t), maka kita bisa peroleh atura fugsi f(x) dega meuruka fugsi g(x) sebagai berikut x f(t) dt = x 3 0 K o l e k s i S o a l d a P e m b a h a s a M a G - D 6
F(x ) F(0) = x 3 d[f(x ) F(0)] dx = d(x3 ) dx xf(x ) 0 = 3x f(x ) = 3 x Sehigga f(x) = 3 x pada [0, ). Soal (MaG-D 03). Buktika utuk setiap x yag memeuhi x > berlaku ketaksamaa x < lx < x. Pembahasa: Utuk setiap x > berlaku karea x dt = lx dt = lx t t x < t < x Itegralka ketiga ruas terhadap t dari x sampai dega, Maka dt < dt < dt t x x x x x < lx < x Kalika ketiga ruas dega, kita dapat < lx < x. x Terbukti. K o l e k s i S o a l d a P e m b a h a s a M a G - D 7
Soal (MaG-D 03). Buktika utuk setiap x yag memeuhi 0 < x < π berlaku ketaksamaa six < x < tax. Pembahasa: Misalka O titik pusat ligkara yag berjai-jari r = da CDO serta BAD merupaka segitiga siku-siku sehigga x merupaka sudut yag terletak di COD. Kita dapat lihat bahwa cosx = OD OC = OD six = CD OC = CD tax = AB OA = AB = OD = CD = AB Luas dari segitiga OAC =. OA. CD =.. CD = six.. six =. Luas dari sektor OAC = x. π. π r =. x. = x Luas dari segitiga OAB =. OA. OB = tax.. tax =. Berdasarka gambar di atas jelas bahwa segitiga OAB lebih besar dari sektor OAC yag maa lebih besar dari segitiga OAC. Oleh kareaya diperoleh pertidaksamaa Terbukti. OAC < sektor OAC < OAB six < x < tax six < x < tax. Soal (MaG-D 04). Jika fugsi kompleks w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy aalitik pada daerah D di bidag kompleks da kompleks sekawaya w = u(x, y) iv(x, y) aalitik pada D, buktika fugsi f kosta pada D. Pembahasa: Karea w da w aalitik di D maka berlaku persamaa Cauchy-Riema, K o l e k s i S o a l d a P e m b a h a s a M a G - D 8
Persamaa Cauchy-Riema utuk w Persamaa Cauchy-Riema utuk w u x = v u () da y y = v x () u x = v u (3) da y y = v x (4) Dari persamaa () da (3) kita peroleh u = v = u, dega megeliiasi persamaa x y x tersebut didapat u = v = 0. Dega cara yag sama, dari persamaa () da (4) kita x y peroleh u = v = u u, dega megeiasi persamaa tersebut maka y x y y = v x = 0. Perhatika u(x, y) da v(x, y) seluruh turua parsialya berilai ol pada domai D. Akibatya w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) merupaka fugsi kosta. Terbukti. z Soal (MaG-D 05). Buktika f(z) = {, z 0 z memeuhi Cauchy-Riema di (0,0) tetapi 0, z = 0 f (0) tidak ada. Pembahasa: Aka ditujukka bahwa f (0) tidak ada. Di titik z = 0, maka Ketika x 0 da y = 0, maka Ketika x 0 da x = y, maka Oleh kareaya f (0) tidak ada. f(z) f(0) z o z = z z z = x x =. y=0 z z = (x ix) (x + ix) =. y=x Soal (MaG-D 03). Utuk meda vektor koservatif F(x, y, z) = (y + z)i + (z + x)j + (x + y)k, suatu fugsi potesial u = Φ(x, y, z) yag memeuhi Φ(x, y, z) = F(x, y, z) adalah Φ(x, y, z) = K o l e k s i S o a l d a P e m b a h a s a M a G - D 9
Pembahasa: Karea Φ(x, y, z) = F(x, y, z), maka Φ x Φ y Φ z Itegralka persamaa () terhadap x = y + z () = z + x () = x + y (3) Φ = (y + z) dx = xy + xz + C(y) + C(z) (4) Persamaa (4) dituruka terhadap y sehigga diperoleh Φ y = x + C (y) (5) Badigka persamaa (5) dega () utuk memperoleh C(y), x + C (y) = x + z Maka C (y) = z, lebih lajut didapat C(y) = yz. Kemudia persamaa (4) dituruka terhadap z, diperoleh Φ z = x + C (z) (6) Badigka persamaa (6) dega persamaa (3) utuk memperoleh C(z), x + C (z) = x + y Maka C (z) = y, lebih lajut didapat C(z) = yz. Substitusika ilai C(y) da C(z) ke dalam persamaa (4), maka kita dapat fugsi potesialya Φ(x, y, z) = xy + xz + yz + yz = xy + xz + yz. K o l e k s i S o a l d a P e m b a h a s a M a G - D 0
K o l e k s i S o a l d a P e m b a h a s a M a G - D