TURUNAN Ide awal turunan: Garis singgung Tali busur c +, f c + Garis singgung c, f c c P h c+h f c + f c Kemiringan garis singgung di titik P: f c + f c lim Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah asalkan limitnya ini ada. Notasi dari turunan: 1. Notasi aksen, f 2. Notasi d, D y 3. Notasi Leibniz, Andaikan f = 2. Cari f 3. f f c + f c f 3 f 3 + f 3 3 + 2 3 + 3 2 3 5 + 2 5 + = 5
Jika f = 3 + 2, cari f f f + f + 3 + 2 3 + 2 3 2 + 3 + 2 = 3 2 3 2 + 3 2 + 3 BENTUK YANG SETARA UNTUK TURUNAN Tali busur c, f c, f P c c Garis singgung f f c f c c f f c c f t f t f t Andaikan f = 2. Cari f 3. f 3 3 f f 3 3 2 3 2 3 3 2 6 + 2 = 5 3 3 3 KETERDIFERENSIALAN MENUNJUKKAN KEKONTINUAN Jika sebuah kurva mempunyai sebuah garis singgung di sebuah titik, maka kurva itu tidak dapat melompat atau sangat berayun di titik tersebut. Perumusan yang persis dari kenyataan ini merupakan sebuah teorema penting. Teorema Jika f c ada, maka f kontinu di c. Kebalikan dari teorema ini tidak berlaku. Jika f =, tentukan f 0
f 0 f f 0 0 0 Limit ini tidak ada karena lim + + = 1 Sedangkan lim Karena limit kanan dan limit kirinya tidak sama. Aturan Pencarian Turunan Fungsi konstanta = 1 Fungsi konstanta f = k mempunyai grafik berupa garis horisontal, sehingga kemiringannya nol dimana-mana. Teorema (Aturan Fungsi Konstanta) Jika f = k dengan k suatu konstanta maka untuk sebarang, f = 0, yakni Bukti D k = 0 f f + f k k 0 = 0 Teorema (Aturan Fungsi Identitas) Jika f =, maka f = 1, yakni D = 1 Bukti f f + f + = 1
Teorema (Aturan Pangkat) Jika f = n, dengan n B +, maka f = n n 1, yakni Bukti f f + f Jika f = 3, cari f n + n n 1 + nn 1 + D ADALAH SEBUAH OPERATOR LINEAR Teorema (Aturan Kelipatan Konstanta) D n = n n 1 + n n n n 1 2 n n 1 2 n 2 2 + + n n 1 + n n n 2 + + n n 2 + n 1 f = D 3 = 3 2 = n n 1 Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka kf = k Df, yakni Bukti Andaikan F = kf. Maka D k f = kdf F F + F = k lim f + f k f + k f = k f f + f k Jika f = 10 10, cari f D 10 10 = 10D 10 = 10 10 9 = 100 9
Teorema (Aturan Jumlah) Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka f + g = f + g, yakni D f + g = Df + Dg Jika f = 2 + 4 + 4, cari f D 2 + 4 + 4 = D 2 + 4D + D 4 = 2 + 4 Teorema (Aturan Selisih) Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka f g = f g, yakni D f g = Df Dg Jika f = 2 4, cari f D 2 4 = D 2 4D = 2 4 Teorema (Hasil kali) Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka f g = g f + g f, yakni D f g = f Dg + g Df Jika f = 3 2 + 2, cari f D 3 2 + 2 = 3D 2 + 2 + 2 + 2 D 3 = 3 2 + 2 + 2 3 = 6 2 + 3 2 + 2 Teorema (Aturan Hasilbagi) Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka f g = g f f g g 2, yakni f D g = g Df f Dg g 2
Jika f = 1, cari f 3 2 +1 D 1 3 2 + 1 = 32 + 1 D 1 1D 3 2 + 1 3 2 + 1 2 = 32 + 1 0 6 3 2 + 1 2 = 6 3 2 + 1 2 TURUNAN SINUS DAN KOSINUS Jika f = sin, tentukan f sin + sin D sin sin sin cos + cos sin sin sin + cos 1 cos = sin lim 1 cos sin + cos lim Ingat bahwa 1 cos sin lim = 0 lim = 1 Maka Jika f = cos, tentukan f cos + cos D cos ATURAN RANTAI Teorema (Aturan Rantai) cos D sin = sin 0 + cos 1 = cos cos cos sin sin cos sin sin 1 cos = cos 0 sin 1 = sin Andaikan y = f u dan u = g menentukan fungsi komposit y = f g = f g. Jika g terdiferensialkan di dan f terdiferensialkan di u = g, maka f g terdiferensialkan di dan Yakni f g = f g g D y = D u yd u
Contoh Jika y = 2 9 15, cari D y Jawab Misal u = 2 9 2 dan y = u 15 Jadi, D y = D u y D u = 15u 14 2 18 = 15 2 9 2 14 2 18 ATURAN RANTAI BERSUSUN Andaikan y = f u dan u = g v dan v = Maka D y = D u yd v ud v Contoh Cari D sin 3 4 Misal v = 4 dan u = sin v dan y = u 3 Maka D y = D u yd v ud v = D u u 3 D v sin v D 4 = 3u 2 cos v 4 = 12 cos 4 sin 4 2 NOTASI LEIBNIZ +, f + y, f + Perbandingan yang menggambarkan kemiringan talibusur yang melalui, f y f + f = Jika 0, kemiringan talibusur ini mendekati kemiringan garis singgung, dan untuk kemiringan ini disebut kemiringan Leibniz menggunakan lambang. Sehingga y f + f = f
Contoh Cari jika y = 3 3 2 + 7 Penyelesaian: = d 3 3 2 d 3 + 7 = ATURAN RANTAI d 2 3 d + 7 = 32 3 2 + 7 1 = 3 2 6 + 7 Andaikan bahwa y = f u dan u = g. Dalam notasi Leibniz, Aturan Rantai: Cari jika y = 3 2 12 = du du Jawab Misal u = 3 2 dan y = u 12, maka Turunan Tingkat Tinggi = du du = 12u11 3 2 2 = 12 3 2 11 3 2 2 Turunan Notasi f Notasi y Notasi D Notasi Leibniz Pertama f y D y Kedua f y D 2 y d 2 y 2 Ketiga f y D 3 y d 3 y 3 Ke-n f n y n D n y d n y n Jika y = 10 5, cari d 2 y 2, d 5 y 5, d 12 y 12. = 109 5 4
d 2 y 2 = 908 20 3 d 3 y 3 = 7207 60 2 d 4 y 4 = 50406 120 d 5 y 5 = 302405 120 d 12 y 12 = 0 Pendiferensialan Implisit Jika 4 2 y 3y = 3 1 tentukan Cara 1 Dapat diselesaikan dengan mengubahnya kedalam fungsi eksplisit terlebih dahulu Maka y = 3 1 4 2 3 = 32 4 2 3 8 3 1 4 2 3 2 = 44 3 2 + 8 4 2 3 2 Cara 2 Didiferensialkan secara bersamaan untuk kedua ruas 4 2 y 3y = 3 1 4 2 + 8y 3 = 32 42 3 = 3 2 8y
= 32 8y 4 2 3 Tampak terlihat hasilnya berbeda dengan metode 1, tapi jika kita substitusi nilai y = 3 1 4 2 3 diperoleh maka 32 8 3 1 = 4 2 3 4 2 3 = 12 4 9 2 8 4 + 8 4 2 3 4 2 3 = 44 9 2 + 8 4 2 3 2 Diferensial Definisi Andaikan y = f terdiferensialkan di dan andaikan bahwa, diferensial dari variabel bebas menyatakan pertambahan sebarang dari. Diferensial yang bersesuaian dengan dari variabel tak bebas y didefinisikan oleh Cari jika y = 3 3 + 1 = f = 3 2 3 Aturan-aturan utama diferensial dan turunan dapat digambarkan d u v Aturan Turunan Aturan Diferensial dk = 0 dk = 0 d ku du d ku = kdu = k d u + v = du + dv d u + v = du + dv d uv dv du d uv = udv + vdu = u + v = v du u dv d u n v 2 du = nun 1 d u v vdu udv = v 2 d u n = nu n 1 du Aproksimasi f + f + = f + f
Tentukan aproksimasi dari 4,6 adalah Misal y = Maka aproksimasi dari 4,6 adalah Sedangkan di = 4 dan = 0,6 mempunyai nilai f 4 + 0,6 f 4 + = 1 2 = 1 2 4 0,6 = 0,6 4 = 0,15 Jadi 4,6 4 + = 2 + 0,15 = 2,15