BAHAN AJAR DIKLAT PENGEMBANG MATEMATIKA SMA JENJANG DASAR

Transkripsi

1 PPPPTK Matematika Kode Dok Revisi : F-PRO-00 : 0 BAHAN AJAR DIKLAT PENGEMBANG MATEMATIKA SMA JENJANG DASAR Oleh : Drs. Setiawan, M.Pd. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT PENINGKATAN MUTU PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN MATEMATIKA 00

2 DAFTAR ISI Pengantar Daftar Isi.. Peta Kompetensi Skenario Pembelajaran. Bab I Pendahuluan A. Latar Belakang. B. Tujuan Penulisan... C. Sasaran D. Ruang Lingkup Penulisan. E. Pedoman Penggunaan Modul Bab II LIMIT FUNGSI... A. Latar Belakang B. Limit Fungsi Aljabar... C. Limit Fungsi Trigonometri D. Limit Fungsi Eksponensial E. Kontinuitas.. Bab III TURUNAN SUATU FUNGSI. A. Turunan Fungsi Aljabar. B. Turunan Fungsi Trigonometri... C. Turunan Fungsi Tersusun (Fungsi Komposit)... D. Turunan Fungsi Logaritma E. Turunan Fungsi Eksponen sial.. F. Turunan Fungsi Implisit G. Turunan Jenis Lebih Tinggi... Bab IV PERILAKU FUNGSI... A. Kemonotonan Suatu Fungsi... B. Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi... C. Titik Belok.. D. Beberapa Contoh Aplikasi Maksimum dan Minimum... Bab V E. Menggambar Grafik Fungsi... iii i ii iv v

3 Bab VI F. Penerapan Turunan dalam Penyelesaian Limit Fungsi... G. Nilai-nilai Tak Tentu Fungsi.. KALKULUS INTEGRAL.. A. Integral Tak Tentu.. B. Integral Tentu Daftar Pustaka 74 iv

4 PETA KOMPETENSI KALKULUS DASAR. Kompetensi Memiliki kemampuan untuk mengembangkan kompetensi siswa dalam menggunakan konsep-konsep it fungsi, turunan dan integral, serta menggunakannya dalam pemecahan masalah.. Sub Kompetensi Mampu mengembangkan keterampilan siswa dalam menentukan it suatu fungsi dengan pendekatan intuitif dan menggunakannya dalam pemecahan masalah. Mampu mengembangakan ketrampilan siswa dalam menentukan turunan suatu fungsi, maksimum dan minimum dan memecahkan persoalan maksimum dan minimum Mampu mengembangakan ketrampilan siswa dalam menentukan integral tentu dan tak tentu dan menggunakannya dalam pemecahan masalah. Lingkup Materi Limit fungsi baik secara intuitif maupun formal Fungsi turunan, perilaku fungsi, maksimum dan minimum Integral baik integral tentu maupun integral tak tentu v

5 SKENARIO PEMBELAJARAN Pendahuluan dan Apersepsi Tujuan Ruang Lingkup Pengetahuan prasyarat nilai-nilai tak tentu Penyampaian Konsep Limit Fungsi Memahami it fungsi secara intuitif Berdiskusi melacak it fungsi yang dahasilkan dari pendekatan intuitif dengan pendekatan formal Merefleksi diri dengan Latihan Melanjutkan it fungsi trigonometri, eksponen dan logaritma, dan evaluasi diri mengenai it Berdiskusi pemecahan masalah tentang it fungsi-fungsi aljabar, trigonometri, eksponen dan logaritma Refleksi diri Informasi diskusi eksplorasi deferensial dan perilaku fungsi, nilai maksimum dan minimum dan evaluasi diri Setelah berhasil dengan refleksi Latihan Diskusi perilaku fungsi, seperti fungsi naik, turun, stasioner Refleksi diri dengan Latihan 4 dengan Latihan Penutup Kesimpulaan Penugasan Informasi, diskusi dan eksplorasi tentang Integral, diawali konsep dasarnya, integral tak tentu dan integral tentu dan refleksi diri vi

6 A. Latar Belakang. BAB I PENDAHULUAN Mengacu pada Permendiknas no tahun 006 tentang Standar Isi, disebutkan bahawa mata pelajaran Matematika bertujuan agar peserta didik memiliki kemampuan sebagai berikut.. Memahami konsep Matematika, menjelaskan keterkaitan antar konsep dan mengaplikasikan konsep atau algoritma, secara luwes, akurat, efisien, dan tepat, dalam pemecahan masalah. Menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika. Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancang model matematika, menyelesaikan model dan menafsirkan solusi yang diperoleh. 4. Mengkomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media lain untuk memperjelas keadaan atau masalah 5. Menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, yaitu memiliki rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari matematika, serta sikap ulet dan percaya diri dalam pemecahan masalah Memperhatikan butir-butir tujuan di atas, maka kedudukan kalkulus dalam Standar Isi Mata Pelajaran Matematika, akan menjadi cukup sentral, sehingga materi ini harus mendapatkan perhatian yang cukup serius menyangkut masalah penguasaan materi, pemilihan metoda pembelajaran yang pas dan penentuan strategi serta teknik mengajar yang serasi. Namun demikian melihat kenyataan di lapangan baik lewat monitoring dan evaluasi bagi para alumnus penataran di P4TK Matematika maupun diskusi-diskusi di MGMP, ternyata materi ini kadang-kadang masih dijumpai kendala di lapangan. Oleh karena itu pembahasan mengenai materi kalkulus ini perlu mendapatkan porsi yang memadai pada penataran-penataran guru matematika, terutama yang diselengggarakan oleh P4TK Matematika Yogyakarta. Di samping itu kalkulus merupakan salah satu materi yang memiliki cakupan aplikasi yang sangat luas, baik dalam tubuh matematika itu sendiri, maupun dalam cabangcabang lmu-ilmu yang lain, seperti dalam bidang sains, teknologi, ekonomi dan sebagainya. Oleh karena itu para siswa terlebih-lebih guru matematika SMA harus mendapat bekal materi kalkulus ini sebaik-baiknya. B. Tujuan Penulisan Tulisan ini disusun dengan maksud untuk memberikan tambahan pengetahuan berupa wawasan kepada guru matematika SMA dengan harapan :

7 . lebih memahami materi kalkulus untuk SMA dan beberapa pengembangannya, terutama masalah it fungsi, integral dengan substitusi dan integral parsial yang ternyata nasih banyak dijumpai kendala di lapangan.. dapat digunakan sebagai salah satu referensi masalah-masalah pengajaran matematika SMA pada pertemuan-pertemuan MGMP Matematika SMA di daerah.. memperluas wawasan keilmuan dalam matematika, dan khusunya masalah kalkulus SMA, sehingga guru dapat memilih strategi pembelajaran yang sesuai dengan kondisi di lapangan, sehingga mudah diterima oleh siswa. C. Sasaran Tulisan ini disusun untuk menjadikan bahan penambah wawasan : a. para peserta penataran diklat guru-guru pengembang matematika SMA, oleh P4TK Matematika Yogyakarta. b. para rekan guru matematika SMA pada umunya dan juga para pemerhati pengajaran matematika. D. Ruang Lingkup Penulisan. Ruang lingkup bahan penataran ini meliputi a. it fungsi dan kontinuitas. b. kalkulus diferensial. c. kalkulus integral E. Pedoman Penggunaan. Bahan penataran ini merupakan salah satu acuan dalam memahami materi tentang kalkulus, untuk memahami isi paket ini dengan baik hendaknya terlebih dulu dicermati uraian materi beserta contoh-contohnya dengan seksama, kemudian baru mencoba soal-soal latihan yang telah disediakan, sesuai dengan topik yang tengah dipelajarinya.

8 BAB II LIMIT FUNGSI A. Latar Belakang Kalkulus adalah salah satu cabang dari matematika yang sangat penting dan banyak diterapkan secara luas pada cabang-cabang ilmu pengetahuan yang lain, misalnya pada cabang sains dan teknologi, pertanian, kedokteran, perekonomian dan sebagainya. Pada makalah ini akan dibahas tiga pokok bahasan, pokok utama dari kalkulus yakni it fungsi, diferensial fungsi dan integral fungsi. Sebenarnya ada dua cabang dalam kalkulus itu sendiri, yakni kalkulus diferensial dan kalkulus integral, dan jika diperhatikan inti dari pelajaran kalkulus adalah memakai dan menentukan it suatu fungsi. Bahkan secara ekstrim kalkulus dapat didefinisikan sebagai pengkajian tentang it. Oleh karena itu pemahaman tentang konsep dan macammacam fungsi diberbagai cabang ilmu pengetahuan serta sifat-sifat dan operasi it suatu fungsi merupakan syarat mutlak untuk memahami kalkulus diferensial dan kalkulus integral. B. Limit Fungsi Aljabar. Limit Fungsi secara Intuitif. Perhatikan contoh di bawah ini - y Pandanglah fungsi 4 f() = dengan domain D f = { R, } untuk =, jika dicari nilai fungsi f() = 0 0 = tidak tentu. Kita cari nilai-nilai f() untuk mendekati. Kita dapat memperhatikan nilai fungsi f() di sekitar = seperti tampak pada tabel. Gb.. berikut :,90,99,999,999,00,0, f(),90,99,999,999? 4,00 4,0 4, Dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa untuk mendekati baik dari kiri maupun dari kanan, nilai fungsi tersebut makin mendekati 4, dan dari sini dikatakan bahwa it f() untuk mendekati sama dengan 4, dan ditulis 4 f () 4. n 0 o f() = 4 Dari pengertian inilah yang disebut pengertian it secara intuitif, sehingga :

9 Definisi it secara intuitif, bahwa f() = L artinya bahwa bilamana nc dekat tetapi berlainan dari c, maka f() dekat ke L.. Limit Fungsi Secara Formal Secara matematis dapat dimaklumi bahwa banyak yang berkeberatan dengan definisi it secara intuitif di atas, yaitu penggunaan istilah dekat. Apa sebenarnya makna dekat itu?. Seberapa dekat itu dapat dikatakan dekat?. Untuk mengatasi masalah di atas Augustin-Louis Cauchy berhasil menyusun definisi tentang it seperti di bawah ini yang masih kita gunakan sampai sekarang. Pengertian it secara intuitif di atas jika diberi definisi formal adalah sebagai berikut. Definisi : Dikatakan f ( ) L, adalah bahwa untuk setiap > 0 yang diberikan c berapapun kecilya, terdapat > 0 yang berpadanan sedemikian hingga f() L < untuk setiap 0 < c <. Dengan menggunakan definisi it di atas dapat dibuktikan teorema-teorema pokok tentang it suatu fungsi sebagai berikut :. k k, jika k suatu konstanta. c. (a b) ac b c. k f() k f() c c 4. f () g() f () g() c c c 5. f ().g() f (). g() c c c 6. Hukum substitusi : Jika g() L dan f() f(l), maka f(g()) f(l) c c c 7. jika g() L dan L 0. c g() L c 8. f() f() c, jika g() 0. c g() g() c c 9. Teorema Apit : Misalkan f() g() h() pada setiap interval yang memuat c dan dipenuhi : f() h() L maka g() L. c c c 4

10 Di bawah ini diberikan contoh dua bukti it fungsi secara formal, sedang rumusrumus it yang lain upayakan untuk dapat membuktikan sendiri :. Buktikan k k. kc Bukti : Untuk setiap bilangan positip > 0 berapapun kecilnya akan didapat > 0 sedemikian untuk setiap pada c < dipenuhi k k <. Dari k k = 0, maka berapapun nilai > 0 yang diambil yang menyebabkan c < akan berakibat k k <.. Buktikan (a b) ac b. c Bukti : Untuk membuktikan teorema ini, berarti jika diberikan suatu > 0 betapapun kecilnya, akan ditemukan > 0 sedemikian hingga 0 < c < (a + b) (ac + b) <. Sekarang dari (a + b) (ac +b) = a ac = a( ) a c. Kelihatan bahwa = akan memenuhi persyaratan di atas. a Sehingga jika diberikan > 0 betapapun kecilnya dan dipilih = maka a 0 < c < menunjukkan : (a + b) (ac b) = a ac = a( c) < a c < a = a Dengan demikian terbuktilah teoremanya. Untuk sifat-sifat yang lain, upayakan untuk membuktikan dengan definisi it secara formal sendiri-sendiri! Contoh. Hitung ( 8) Jawab : Dengan menggunakan teorema substitusi Contoh. ( 8). 8 6 Tentukan 4 4 Jawab : Faktorkan dulu sebab jika disubstitusikan langsung diperoleh

11 ( 4)( ) ( 4) karena - 4 maka pecahan dapat disederhana - kan. Contoh. Tentukan nilai Penyelesaian : ( 4 ) 4 ( )( ) karen 4 ( ) Cara ii, misalkan = y = y untuk 4 maka y, sehingga soal di atas menjadi 4 4 y 4 y y (y )(y ) y (y ) 4 Contoh 4 : Tentukan nilai dari Penyelesaian : ( ) (. ( ) ( ( ) () ( )( ) ( )( ) ) 6

12 . Pengertian Limit di Tak Hingga. Perhatikan fungsi f() =, 0 yang domainnya semua bilangan real yang tidak nol. Jika kita cari nilai-nilai fungsi dekat dengan 0. 0, 0,0 0,00 0, y f() = 0-0,000-0,00-0,0-0, - besar sekali disebut tak hingga Apabila suatu bilangan baik positip maupun negatif yang sangat kecil maka nilai menjadi sangat besar, semakin dekat dengan nol, maka nilai menjadi semakin besar sekali, sehingga dikatakan 0 Catatan : Simbol dibaca tak hingga digunakan untuk melambangkan bilangan yang sangat besar yang tak dapat ditentukan besarnya, tetapi simbol ini tidak menunjuk suatu bilangan real yang manapun. Pengertian ketak hinggaan sebagaimana dipaparkan secara intuitif di atas secara formal didefinisikan sebagai berikut: Definisi : Fungsi f() mendekati tak hingga untuk c apabila untuk setiap bilangan positip M betapapun besarnya, adalah mungkin menemukan bilangan > 0 sedemikian hingga untuk setiap selain c jika dipenuhi c < akan berakibat f() > M dan ditulis f() c. 7

13 y M y=f() 0 X Contoh : Buktikan bahwa ~ (- ) Bukti : Untuk membuktikan itu berarti untuk setiap M > 0 yang diberikan betapapun besarnya adalah mungkin menemukan > 0 sedemikian hingga untuk setiap yang memenuhi < akan diperoleh M. ( ) Dari M. ( ) berarti (- ) <. M Sehingga < Jika diambil = ( ) < M ( ) < M. M, berarti untuk setiap pada < M M akan dipenuhi M. ( ) Dari pertidaksamaan terakhir ini menunjukkan bahwa. (- ) Contoh. Tentukan Jawab : Secara intuitif jika dekat dengan maka akan mendekati 0, sehingga dapat difahami (secara intuitif) bila = 8

14 Dan jika ingin dibuktikan secara formal berarti untuk setiap bilangan M > 0 betapapun besarnya, adalah mungkin ditemukan > 0, sedemikian hingga untuk setiap pada < akan dipenuhi > M. Sedangkan it fungsi untuk yang bernilai besar dapat didefinisikan sebagai berikut : Definisi : Jika f() terdefinisi untuk yang bernilai besar, kita katakan bahwa f() mendekati L sebagai it untuk mendekati tak hingga, dan ditulis : f () L, bahwa apabila diberikan 0 maka akan ditemukan suatu bilangan M sedemikian hingga dipenuhi f() L < apabila > M. Ilustrasi geometris dari pengertian di atas adalah sebagai berikut : Y y=f() L+ L- y=l O M X Contoh. Pandanglah fungsi f() = + Y sin Y = + sin y = + y = y = - O X 9

15 Grafiknya beroskilasi terhadap garis y =. Amplitudo dari oskilasinya semakin kecil menuju nol. Untuk, dan kurvanya terletak di antara y = + dan y = - jika > M Atau dengan kata lain : Jika besar, sin 0 dan f() L Contoh Tentukan ( ) Jawab : ( ( ) ( 0 ( ) ( 0 )( ) ) ) C. Limit Fungsi Trigonometri B D r O C A Gb.. Misalkan dalam radian, dan 0 < <, maka BC = r sin dan AD = r tan. Untuk mencari luas sektor AOB Luas sektor AOB = Luas seluruh lingkaran Luas sektor AOB r = Sehingga luas sektor AOB =. r r Dari bangun di atas diperoleh : Luas AOB < luas juring AOB < luas AOD 0

16 ½. OA. BC < ½ r < ½. OA. AD ½. r. r sin < ½ r < ½. r. r tan ½ r sin < ½ r < ½ r tan sin < < tan.. (i) Dari (i) diperoleh : < sin cos 0 0 sin 0 cos 0 sin Jadi 0 sin Dari sini dapat dikembangkan : sin = = 0 0 sin Dan untuk tan = sin 0 0.cos = sin. 0 cos = sin. 0 0 cos =. = Demikian juga dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa 0 tan Kesimpulan : Contoh. sin 0. 0 sin Hitunglah : sin a. 0 Penyelesaian : sin 0 b. 0 sin 5 sin a. 0.. tan tan c. 0 tan sin 5

17 b. c. 0 0 sin tan sin 5 sin tan 0 =.. 5 = sin 5. 5 D. Limit Fungsi Eksponensial a. Bilangan e n n n( n ) n( n )( n ) n n n n n! n! n n = n! n! n n 4! n n... n n n =...!! 4! 5! Jika diambil sampai sepuluh tempat desimal diperoleh n,78884 n n Nilai it ini disebut bilangan e atau bilangan Euler (diambil nama sang penemu yaitu Leonard Euler matematikawan Austria ). Sehingga : n e n n Limit ini dapat dikembangkan untuk setiap R dipenuhi e Jika disubstitusikan u = maka diperoleh rumus ( ) 0 e

18 Contoh tentukan Jawab : =.. =. = e. ( + 0) = e. Logaritma yang mengambil e sebagai bilangan pokok disebut logaritma naturalis atau logaritma Napier, dan ditulis dengan notasi ln, sehingga ln = e log. Dari ( ) a a a e, log ( ) log ( ) maka a log ( ) 0 a ln e ln a log e a log e log ( ).. (i) 0 ln a Misalkan a log ( + ) = y + = a y = a y Untuk 0, maka a y yang berarti y 0, sehingga persamaan (i) Sehingga : y y 0 a Atau secara umum : ln a a y ln a y0 y a ln a 0 Jika disubstitusikan a dengan e e e ln e atau 0 0

19 Contoh : Tentukan Jawab : 0 e a e e a e b 0 b 0 e a e b a b = a e - 0 a b = e e.a -. b 0 a b =. a. b = a b Latihan Tentukan nilai itnya. ( 7 4) (misal : y ) ( ) (... n). n ( (n -). n.... n n n n n n 4

20 Tentukan it U n dari barisan 0,, 0,, 0,, 0, 8. Tentukan it suku U n dari barisan 5. Hitung Tentukan it U n dari barisan 0, ; 0, ; 0, ; 0, Petunjuk : kuadratkan kedua Ruas!,,,, 9. Tentukan it suku U n dari barisan... 6, 6 6, 6 6 6, , Tentukan it U n dari barisan berikut 4 6 n,,,...,,... 5 n sin tan sin 4 sin cos 5. cotg sin - sin a - a cos sin cos - sin cos - sin tan sin - cos - tan e e a b -a e e b 5

21 ( ) e e a b -a e e b E. Kontinuitas y Gb..4 4 o f() = 0 Perhatikan fungsi pada bilangan real f() = 4 seperti pada grafik di samping. Untuk = diperoleh f() = 0 (tak tentu) 0 sehingga grafiknya terputus di = dalam hal ini dikatakan f() diskontinu di =. Sedangkan untuk interval { <, R} dan interval { >, R} grafiknya berkesinambungan, dalam hal ini dikatakan f() kontinu di. Secara formal suatu fungsi dikatakan kontinu di = c, jika dipenuhi : a. f() ada c b. f(c) ada c. f () f (c) c Jika pada suatu fungsi f() diskontinu di = c, maka dapat dibuat sedemikian hingga f() = f(c), maka dikatakan diskontuinitas di = c ini dapat dihapuskan. c Contoh : 8 Tentukan diskontuinitas fungsi pada bilangan real f() =. 4 Jawab : fungsi rasional di atas akan diskontinu jika penyebutnya nol atau 4 = 0 ( + )( ) = 0 = - atau = Sehingga f() diskontinu di = - atau =. 6

22 8 ( - )( 4) Selanjutnya untuk 4 ( )( ) = 4 Diskontinu di = dapat dihapuskan dengan menetapkan definisi f() =. Selanjutnya untuk = - diperoleh ( ) 8 6 = =, sedangkan f(-) = tidak terdefinisi. 0 ( ) 4 0 Sehingga diskontinu di = - tidak dapat dihapuskan. dan selidiki macam diskon- Latihan Selidiki kontinuitas fungsi-fungsi berikut. f() = + di = -. f() = 4 + di =. f() = di - 4. f() = di 6t 9 5. f() = di t t 4 untuk 6. f() = untuk Di titik mana saja f() = 0 tinuitasnya. di = diskontinu 8. Di titik mana saja f() = diskontinu dan selidiki macam diskontinuitasnya. 9. Dengan grafik di titik mana saja (jika ada) fungsi ini diskontinu untuk 0 f() = untuk 0 untuk 0. Tentukan a dan b agar fungsi : untuk - f() = a untuk b untuk - kontinu di = 7

23 BAB III TURUNAN SUATU FUNGSI A. Turunan Fungsi Aljabar Sesuatu yang bersifat tetap di dunia ini adalah perubahan itu sendiri, banyak kejadian-kejadian yang melibatkan perubahan. Misalnya gerak suatu obyek (kendaraan berjalan, roket bergerak, laju pengisian air suatu tangki), pertumbuhan bibit suatu tanaman, pertumbuhan ekonomi, inflasi mata uang, berkembangbiaknya bakteri, peluruhan muatan radioaktif dan sebagainya. Studi tentang garis singgung dan penentuan kecepatan benda bergerak yang dirintis oleh Archimedes (87 SM), Kepler (57 60), Galileo (564 64), Newton (64 77) dan Leibniz (646 76) dapat dipandang sebagai peletak dasar dari kalkulus diferensial ini. Namun para ahli berpendapat bahwa Newton dan Leibniz-lah dua orang yang paling banyak andilnya pada pertumbuhan kalkulus. Konsep dasar dari turunan suatu fungsi adalah laju perubahan nilai fungsi. y f(+) f() A C B y y = f() Perhatikan fungsi y = f() pada domain (, + ) nilai fungsi berubah dari f() pada sampai dengan f( + ) pada +. y + y = f( + ) y = f() y = f( + ) f() 0 Gb.. + y : disebut diferensi antara f( + ) dengan f() : disebut diferensi y f ( ) f () disebut hasil bagi diferensi. Jika B bergerak sepanjang kurva y = f() mendekati A, maka diperoleh it : f( ) - f() 0 Nilai it ini disebut derivatif f (turunan, laju perubahan nilai fungsi, hasil bagi dy dy diferensial) dari y = f(), dan biasa ditulis dengan notasi atau y. (Notasi dan d d dibaca dy d inilah yang kita kenal dengan istilah notasi Leibniz) dy f( ) f () Jadi : y. d 0 8

24 y Secara geometris, kita lihat bahwa perbandingan diferensi adalah gradien tali busur AB = tan. Jika 0 maka tali busur AB akan menjadi garis singgung di A sehingga : dy f( ) f () y f () adalah gradien garis singgung pada kurva d 0 y = f() di (, f()). Contoh Diketahui kurva dengan persamaan y = +. dy Tentukan dan persamaan garis singgung kurva di =. d Jawab : y = + y + y = ( + ) + ( + ) = +. + () + + y = ( + ) + y ( ) ( ) dy y ( ) d 0 0 = (( ) ) 0 = + dy Untuk = gradien garis singgung m =. 4 d = y = +. = titik singgung (, ). Sehingga persamaan garis singgungnya : y = 4( ) y = 4 Contoh Tentukan fungsi turunan dari f() = Jawab : y + y = y = y = = () () 6. ( ). -. ( ) = (). ( 6 ) = ( ) 9

25 Sehingga y 6 ( ). dy d y 0 0 = ( ). Rumus-rumus turunan (derivatif) fungsi y = f(). ) Fungsi konstanta y = f() = c f() ) -f() c -c f() = f() = c f() = 0 ) Derivatif f() = n f() = = 0 0 n ( ) ( n n n n n(n ) n.! ( )... ( ) n ) n = 0 = n n-. n n - n(n ). n n(n )(n )... n.... ( ) n f() = n f() = n n- ) Jika c suatu konstanta dan y = c f(), maka dy cf( ) -cf() d 0 f( ) - f() = ( 0 dy = c.f() = c. d Contoh : y = 4 5 dy y = 4. ( ) y.5 0. d 4) Jika u = f() dan v = g(), maka turunan fungsi y = f() g() dapat dicari sebagai berikut : dy (f( ) g( ) -(f() g()) d 0 0

26 f( ) -f() g( ) g() = ( 0 = f() + g(). Dengan jalan yang sama dapat ditunjukkan bahwa y = f() g() y = f() - g() Jadi : y = f() g() y = f() g() 5) Jika u = f() dan v = g() dan y = u.v maka y = u.v = f(). g() dy f( ).g( ) -f().g() y = d 0 f( ).g( ) -f().g( ) f().g( ) -f().g() = 0 f( -f() g( ) g() = (.g( ) f ()( 0 = f().g() + f(). g() = uv + uv Jadi y = uv y = uv + uv 6) Jika u = f() dan v = g(), sedemikian hingga g() 0 pada intervalnya dan y = u f (), maka v g() f ( ) f () ( ) g( ) g() y = f( ).g() -f().g( ) =.g( ).g() f( ).g() -f().g() -f().g( ) f().g() y =.g( ).g() f( ) - f() g( ) g() ( ).g() f ()( = g( ).g() f ().g() f ().g () uv uv = (g() v Jadi y = u v uv uv y v

27 Contoh Tentukan f() untuk f() = Jawab : f() = maka mengingat f() =. ( ). ( 4 6 = 4 6 = 4 ) u uv uv ( ) diperoleh v v B. Turunan Fungsi Trigonometri sin( ) -sin a. y = sin y = 0 - sin cos = 0 sin =.cos 0 =. cos( + 0) = cos Analog y = cos y = sin. sin u uv uv b. y = tan y = dengan mengingat ( ) cos v v cos - sin (-sin ) y = (cos ) cos sin = sec cos cos Analog y = tan y = sec c. y = sec y = cos 0.cos -.(-sin ) sin y =. cos cos cos = tan. sec Analog y = cosec y = cot cosec. Jadi :

28 y = sin y = cos y = cot y = cosec y = cos y = sin y = sec y = sec tan y = tan y = sec y = cosec y = cosec cot. C. Turunan Fungsi Tersusun (Fungsi Komposit) Misalkan y = f() dimana u = g(), menentukan fungsi tersusun y = (f g)() = f(g()) dan apabila g mempunyai turunan di, dan f mempunyai turunan di u = g() maka turunan fungsi komposisi (f g)() ditentukan dengan rumus : (f g)() = f(g()).g() atau dengan notasi Leibniz : dy dy. du d du d Rumus ini dikenal dengan nama aturan rantai. Cara yang mudah untuk mengingat aturan rantai adalah : Variabel kiri Variabel antara Variabel kanan y = f(u) dan u = g() dy dy =. du du du d Turunan variabel Turunan variabel Turunan variabel kiri terhadap = kiri terhadap antara terhadap variabel kanan variabel antara variabel kanan Aturan rantai tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut : Bukti : Misalkan y = f(u) dan u = g(); g mempunyai turunan di dan f mempunyai turunan di u = g(). Apabila variabel bertambah dengan menjadi ( + bertambah menjadi f(g( + ), maka u = g() bertambah menjadi g( + )), sebagaimana diagram di bawah ini : yang berubah ) dan y = f(g())

29 g() f(g()) + g(+ ) f(g(+ )) ) g f Pertambahan untuk u = g() adalah g(+ ) g() g(), dan dari hubungan ini akan diperoleh g() 0 apabila 0 f (g()) = f(g( + ) ) - f(g()) Berdasar definisi umum turunan fungsi, maka turunan dari fungsi komposisi : (fg)() = = = = (f g)( ) (f g)()) f (g( ) f (g()) f (g() g()) f (g()) f (g() g()) f (g()) g() g() = g() 0 f (g() g()) g() 0 g( ) g() = f(g()).g() (terbukti) Dan apabila aturan rantai di atas kita tulis dengan notasi Leibniz akan diperoleh : Jika y = f() dan u = g() maka dy = d dy du du d Contoh Tentukan turunan fungsi f() = ( 4) 7 Jawab : Misal, u = 4 u = 6 f() = u 7 f() = 7u 6. u Jadi f() = ( 4) 7 f() = 7( 4) = 4 ( 4) 6. Dalil Rantai di atas dapat dikembangkan lebih lanjut. 4

30 Jika y = f(u), u = g(v) dan v = h(), maka (f g)() = f(g()).g() dy dy d dv.. d du dv d Begitu dan seterusnya. Contoh 4 Jika f() = sin ( 5), maka tentukan f(). Jawab : Misal u = sin( 5) dan v = 5, sehingga dv v = 5 d du u = sin v cos v dv y = u dy u du df () df () du dv f() =.. d du dv d =. u. cos v. = 6 sin ( 5). cos( 5) D. Turunan Fungsi Logaritma a. Pandanglah fungsi f() = ln ln( ) - ln f() = 0 = 0 ln( ). = ln e. 0 Jadi f() = ln f() = b. Jka f() = a log, maka ln f() = f () ln a ln a Jadi f() = a log f() = ln a 5

31 E. Turunan Fungsi Eksponensial a. Jika f() = e g(), maka ln f() = ln e g() = g(). ln e ln f() = g() jika kedua ruas diturunkan.f () g (), sehingga f() = f(). g() = e g(). g() f () Jadi f() = e g() f() = e g(). g() Contoh 5 Jika y = e, maka y = e. = e Sehingga y = e y = e b. Untuk fungsi eksponensial y = a g(), maka ln y = ln a g() ln y = g(). ln a jika kedua ruas diturunkan, maka.y = g(). ln a y = y. g(). ln a y = a g(). g(). ln a Jadi y = a g() y = a g(). g(). ln a Contoh 6 Jika y =, maka y =.6.ln = 6..ln F. Turunan Fungsi Implisit Jika y = f(), maka turunan fungsi implisit F(,y) = c adalah dengan memandang y fungsi dari. Contoh 7 Tentukan y jika + y + y = 4 Jawab : d d ( y y ) (4) d d + y + y + y. y = 0 ( + y)y = y y y =. y 6

32 G. Turunan Jenis Lebih Tinggi df () Andaikan fungsi turunan pertama f() atau dari suatu fungsi adalah suatu d fungsi yang dapat didiferensialkan pada, maka turunan dari turunan pertama ini, d f () disebut turunan kedua, dan ditulis dengan notasi f() =. d Demikian juga andaikan turunan kedua ini fungsi yang dapat didiferensialkan, maka turunan dari turunan kedua ini disebut turunan ketiga dan ditulis dengan notasi f() d f () =. d Begitu dan seterusnya turunan dari turunan ke n- disebut turunan ke-n dan ditulis dengan notasi f (n) d f () () =. n d Contoh 8 d f () Tentukan jika f() = 5 5 d Jawab : f() = 5 5 f() = f() = 0 0 f() = 60 Contoh 9 n d f () Tentukan jika f() = sin n d Jawab : df () f() = sin cos sin(. ) d n d f () sin sin(. ) d d f () cos sin(. ) d d f () sin sin(. ) d.. n d f () sin( n. ). n d 7

33 Latihan Untuk soal nomor sampai dengan nomor 0, tentukan f() dari. f() = f() = ( + ). f() = ( ) 9. f() = ( + )( ). f() = ( ) 0. f() = 5 4. f() =. f() = 5. f() = -. f() = ( + )( ) 6 6. f() = ( + 6)( - ). f() = (5 - )( ) f() = 4. f() = 6. Diketahui f() = Tentukan gradien garis singgung kurva di =, dan persamaan garis singgungnya. 7. Diketahui fungsi f : ( + ) a) Tentukan rumus untuk turunan fungsi f() b) Tentukan laju perubahan fungsi pada = - dan pada = Jarak s meter yang ditempuh oleh bola golf yang menggelinding pada waktu t detik dinyatakan dengan s = 5t t. a) Hitung kecepatan bola golf pada t = s b) Kapan bola golf tersebut berhenti. 9. Tentukan persamaan garis singgung kurva dengan persamaan y = ( - ) di titik yang absisnya =. 0. Tentukan f() dari fungsi-fungsi di bawah ini a. f() 6 sin + cos h. f() = sin + cos b. f() = sin cos i. F() = sin ( 5) sin c. f) = j. f() = sin 0 sin cos tg d. f() = ( 0 = radian dengan menggunakan kesamaan sin - cos e. f() = sec 80 o = radian), o = radian f. f() = k. f() = tan( sin ). cos. Jika y = f(), maka tunjukkan bahwa y f ().., di mana jika 0 maka 0 Catatan : Sifat ini dapat digunakan untuk membuktikan aturan rantai : Jika y = f(u) dan u = g() maka y f ().., di mana 0 0 8

34 y dy u y.. du y dy u. 0 du 0 dy = d dy. du du d 0 u.. Tentukan f() jika f() = 7 sin( - 5)). Tentukan g() jika g() = 5 d y. Jika y = sin maka y... d. Jika y = 5 sin, maka tentukan 4. Tentukan d n d y n jika y = e k d d d y 5. Tentukan jika y = 0 d dy 6. Tentukan jika diketahui + y = y. d 7. Jika y + sin y =, maka tentukanlah y. dy 8. Tentukan jika diketahui : d a. y + y - = b. y c. y = 8 d. - y + y = 0 e. 6y 4 9. Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut : a. y = e -4 b. y = ( )e 5 c. y = ln d. y = log ( + ) e. y = sin y \ 9

35 A. Kemonotonan Suatu Fungsi. BAB IV PERILAKU FUNGSI Y y=f() Gambar di samping memperlihatkan bahwa jika suatu B(,y ) D( 4,y 4 ) titik bergerak sepanjang kurva dari A ke B, maka nilai fungsi C(,y ) bertambah apabila absis bertambah; dan juga jika titik bergerak sepanjang kurva dari B A(,y ) ke C maka nilai fungsi berkurang apabila absis bertambah. O X Gb.. Dalam hal ini kita katakana bahwa f naik pada selang tertutup [, ] dan f turun pada selang tertutup [, ]. Definisi : Fungsi f yang terdefinisi pada suatu selang dikatakan naik pada = 0, apabila untuk h positif dan cukup kecil berlaku f( 0 h) < f( 0 ) < f( 0 + h). Dari gambar di atas kelihatan bahwa fungsi f naik pada selang [, ] dan [, 4 ]. Definisi : Fungsi f yang terdefinisi pada suatu selang dikatakan turun pada = 0, apabila untuk h positif dan cukup kecil berlaku f( 0 h) > f( 0 ) > f( 0 + h) Dari gambar di atas fungsi f turun pada selang [, ] Bila fungsi f naik atau turun pada suatu selkang maka f dikatakan monoton pada selang tersebut. y g g y = f() Misalkan kurva di samping menyajikan grafik fungsi y = f(), sehingga terlihat bahwa untuk < a, gradien garis singgung g positif, yang berarti f() > 0, dan f naik pada interval itu. Untuk > 0, gradien garis g singgung-garis singgung selalu negatif a sehingga f() < 0, dan f turun pada interval tersebut. Sedang untuk = a, gradien garis singgung dititik tersebut = 0, garis singgungnya sejajar sumbu, sehingga f() = 0, dalam hal ini f tidak naik dan tidak turun dan dikatakan f stasioner di = a. 0

36 Bukti : Pertama kita buktikan jika f ( 0 ) > 0 maka fungsi naik pada = 0. f ( 0 ) f ( 0 ) Dari f ( 0 ) > 0 maka 0, kita peroleh : 0 f ( 0 ) f ( 0 ) 0 untuk cukup kecil. Jika < 0 maka f( 0 + ) f( 0 ) < 0, untuk = h maka f( 0 h) < f( 0 ).() Jika > 0 maka f( 0 + ) f( 0 ) > 0, untuk = h maka f( 0 +h) > f( 0 ) () Dari () dan () kita peroleh f( 0 h) < f( 0 ) < f( 0 +h) yang ini berarti f naik pada = 0 Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa jika f ( 0 ) < 0 maka fungsi turun pada = 0 Suatu fungsi non konstan dikatakan naik (turun) pada suatu selang, apabila fungsi tersebut naik (turun) atau stasioner pada setiap titik pada interval tersebut. Contoh Sehingga kurva y = f() akan: (i) naik jika f() > 0 (ii) turun jika f() < 0 (iii) stasioner jika f() = 0. 4 Tentukan internal dimana fungsi f() = 4 7 naik atau turun. Jawab : 4 f() = 7 f() = 4 = ( + )( ) ( + )( ) Melihat nilai positip dan negatifnya masing-masing interval, dapat disimpulkan bahwa 4 pada fungsi f() = 7 kurvanya 4 naik pada interval < < 0 atau > turun pada interval < - atau 0 < <. B. Nilai Maksimum atau Minimum Relatif Suatu Fungsi Suatu fungsi y = f() dikatakan mempunyai maksimum relatif (minimum relatif) pada suatu interval pada = o, apabila f( o ) adalah nilai terbesar (terkecil) dari nilai pendahulu (penyerta) dari fungsi tersebut. Pada Gambar. di bawah, titik A(a,f(a)) adalah titik maksimum relatif dari kurva sebab f(a) > f() pada setiap sekitar (neighbourhood) sekecil apapun 0 < a <. Dan dikatakan bahwa y = f() mempunyai maksimum relatif (=f(a)) jika = a. Dan dengan

37 jalan yang sama titik C(c,f(c)) adalah titik minimum relatif dari kurva, dan dikatakan y = f() mempunyai nilai minimum relatif (=f(c)) jika = c. y 0 A a B b C c y = f() Pada ketiga titik A, B dan C diperoleh f(a) = f(b) = f(c) = 0 ketiga garis singgungnya sejajar sumbu, dan f stasioner pada ketiga titik tersebut. Untuk titik A, f() berubah tanda dari positip nol negatif, dikatakan f mempunyai nilai balik maksimum f(a) pada = 0. Untuk titik B, f() berubah tanda dari negatif nol negatif, dikatakan f mempunyai nilai belok hozontal f(b) pada = b. Untuk titik C, f() berubah tanda dari negatif nol positif, dikatakan f mempunyai nilai balik minimum f(c) pada = c. Kesimpulan : Jika f(c) = 0, maka f(c) disebut nilai stasioner (kritis) dari f pada = c, dan nilai stasioner mungkin berupa nilai balik maksimum, nilai balik minimum atau nilai belok horizontal. Bukti Pertama akan kita buktikan apabila f( 0 ) merupakan maksimum relatif pada = 0, maka f ( 0 ) = 0. Dari f( 0 ) merupakan maksimum relatif pada = 0, maka untuk setiap dengan cukup kecil, diperoleh f( 0 +) < f( 0 ), sehingga f( 0 +) f( 0 ) < 0. f ( 0 ) f ( 0 ) Sekarang apabila < 0 maka 0 sehingga : f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) = 0..() 0 f ( 0 ) f ( 0 ) Demikian juga jika > 0, maka 0 sehingga : f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) = 0.() 0 Dari () dan (), maka diperoleh 0 f '( 0 ) 0, sehingga f ( 0 ) = 0. Dengan jalan yang sama dapat ditunjukkan untuk minimum relatif dan belok horizontal. Contoh Tentukan nilai stasioner fungsi f() = 5 5 dan tentukan pula macamnya. Jawab :

38 f() = = 5 ( + )( ) maksimum minimum belok horizontal Gb..6 Stasioner dicapai untuk f() = 0 5 ( + )( ) = 0 = 0 atau = - atau =. Untuk = 0 f(0) = = 0 maka f(0) = 0 adalah nilai belok horizontal. Untuk = f() = = - maka f() = - adalah nilai balik minimum. Untuk = - f(-) =.(-) 5 5.(-) = maka f(-) = adalah nilai balik maksimum. Contoh Dengan menggunakan kawat sepanjang 00 meter akan dibangun suatu kandang ayam yang berbentuk persegipanjang. Tentukan ukuran kandang agar luas kandang ayam tersebut maksimum. Jawab : Gb.. 00 R Misalkan sisi panjang adalah dan 00 maka luas kandangnya. L() = (00 ) = 00 L() = 00. Nilai stasioner dicapai jika L() = 0 00 = 0 = 50. Jadi agar luas kandang maksimum, ukurannya panjang satu sisi 50 m sedang sisi satunya (00 50) meter = 50 meter. Sehingga bentuk kandangnya persegi. C. Titik Belok Suatu titik dikatakan suatu titik belok, jika kurva jika kurva di titik tercsebut berubah dari terbuka ke atas menjadi terbuka ke bawah, atau sebaliknya. Y A Dari gambar di samping titik-titik beloknya adalah di titik-titik A, B dan C B C O Gb..4 X

39 Kurva y = f() mempunyai titik belok di = 0, apabila :. f ( 0 ) = 0, atau tidak didefinisikan, dan. f ( 0 ) berubah tanda ketika melewati = 0, atau syarat ini dapat dinyatakan dengan : f ( 0 ) 0 apabila f ( 0 ) ada. Contoh : Tentukan : arah kecembungan dan titik-titik belok kurva fungsi jika diketahui 4 Y = Jawab : Y = 0 7 Y = Y = ( )( ) Titik belok dicapai y =0 ( + )( ) = 0 = atau = X= X= cekung ke + atas cekung + ke bawah cekung ke atas Y Jadi titik-titik beloknya adalah (, ) dan (,6) 7 E. Penentuan Maksimum dan Minimum dengan Menggunakan Turunan Kedua y y = f() 0 a b c d e Gb.. Misalkan kurva y = f() seperti pada gambar di samping, dikatakan kurva y = f() terbuka ke bawah untuk a < < c dan kurva y = f() terbuka ke atas untuk c < < e. Suatu busur dari kurva y = f() dikatakan terbuka (cekung) ke atas apabila untuk setiap titiknya busur kurvanya terletak di atas tangen (garis singgung) dari titik tersebut. Untuk kurva yang terbuka ke atas, pada setiap titiknya nilai f() atau gradien garis singgungnya bertanda sama dan naik atau berubah tanda dari negatif ke positif. Hal ini menunjukkan bahwa fungsi turunan pertama f() adalah fungsi yang naik, yang berarti f() > 0. Dan suatu busur dari kurva y = f() dikatakan terbuka (cekung) ke bawah apabila untuk setiap titiknya busur kurvanya terletak di bawah tangen dari titik tersebut. Untuk kurva yang terbuka ke bawah, pada setiap titiknya nilai f() atau gradien garis singgungnya bertanda sama dan turun atau berubah tanda dari positif ke negatif. Hal ini menunjukkan bahwa fungsi turunan pertama f() adalah fungsi yang turun, yang berarti f() < 0. 4

40 Dari kecembungan atau kecekungan kurva di atas dapat ditarik kesimpulan. Jika f(a) adalah nilai stasioner maka (i) f(a) adalah nilai balik maksimum bila f(a) = 0 dan f(a) < 0 (ii) f(a) adalah nilai balik minimum bila f(a) = 0 dan f(a) > 0. Contoh Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f() = ( ) dengan metoda derivatif kedua. Jawab : f() = ( ) = f () = = ( )( 6) f () = 4 96 = 4( 4). Stasioner jika f() = 0 ( )( 6) = 0 = atau = 6 Untuk = maka f() = ( ) = 8 dan f() = 4( 4) = -48 (negatif) Untuk = 6 maka f(6) = 6(.6) = 0 f(6) = 4(6 4) = 48 (positif). Jadi f() = 8 adalah nilai balik maksimum untuk = dan f(6) = 0 adalah nilai balik minimum untuk = 6. D. Beberapa Contoh Aplikasi Maksimum dan Minimum Contoh Bilangan 0 dibagi menjadi dua bagian sedemikian hingga hasil kali bagian yang satu dengan kuadrat bilangan yang lain maksimum. Tentukan besarnya bagian bilangan masing-masing Jawab : Misalkan bilangan yang pertama, berarti yang yang lainnya 0, sehingga : P() = (0 ) = 0 dp 40 (80 ) d d P 40 6 d dp Harga kritis dicapai jika 0 atau = 0 atau = 80 d d P Untuk = 0 maka 40 (positif), sehingga berupa balik minimum. d d P Untuk = 80 maka 40 6 (80) = 40 (negatif), sehingga berupa balik d maksimum. 5

41 Jadi agar hasil kalinya maksimum, maka bilangan pertama 80 sedangkan bilangan satunya 40. Contoh Pada pukul 9 AM, kapal B berada pada 04 km arah timur dari kapal lain A. Kapal B berlayar ke arah barat dengan kecepatan 6 km/jam, dan kapal A berlayar ke arah selatan dengan kecepatan 4 km/jam. Apabila kedua kapal tersebut tetap berjalan dengan arah itu, maka kapan kedua kapal mencapai jarak terdekat dan berapa jaraknya? Jawab : A 0 B B 0 A Misalkan A 0 dan B 0 adalah posisi kedua kapal itu pada saat pukul 9 AM, dan A serta B adalah posisi kedua kapal setelah berlayar t jam kemudian, maka kita peroleh : B 0 B = 6t dan A 0 A = 4t Sehingga A 0 B = 04 6t A B = jarak kedua kapal setelah t = J J A A A B t) ( 04 6 ) J ( t dj J ( 4t ). 4 ( 04 6t )( 6t ) 5t 8 5t dt Sehingga dj 8t 664 dt J dj Untuk 0 8t 664 t yang merupakan minimum (mengapa?) dt Untuk t = maka J ( 4. ) ( ), sehingga J = 4. Jadi kedua kapal berada pada posisi terdekat, setelah keduanya berlayar jam dengan jarak keduanya 4 km. Latihan.. Tentukan interval dimana fungsi-fungsi di bawah ini naik ataukah turun. a. f() = b. f() = c. f() = d. f() = ( + ) 6

42 e. f(0 = +. Tentukan nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi-fungsi di bawah ini a. f() = 9 b. f() = ( + ) 9 c. f() = + d. f() = e. f() = cos + 7. Jumlah dua buah bilangan adalah 0. Tentukan masing-masing bilangan tersebut agar hasil kalinya maksimum. 4. Dengan mengambil tembok sebagai salah satu sisi, akan dibuat kandang ayam berbentuk persegipanjang dari pagar kawat sepanjang 0 m. tentukan ukuran kandang agar luas kandang maksimal. 5. Suatu bak penampung air yang direncanakan dibuat dari pelat aluminium yang cukup tebal yang harus menampung 64 dm. Tentukan ukuran tabung agar luas seluruh permukaannya minimum, jika a. tabung itu tanpa tutup b. tabung itu dengan tutup. 6. Diketahui parabol y = 5, y 0. Suatu titik P(, y) terletak pada parabol tersebut. Tentukan jarak OP terpendek jika O pangkal koordinat. 7. Suatu kotak tanpa tutup yang alasnya berbentuk persegi, jumlah luas kea sisinya 4 dm. Tentukan ukuran kotak tersebut agar volumnya maksimum. 8. Diketahui kurva dengan persamaan y =. Tentukan jarak terpendek titik A(, 0) ke kurva tersebut. 9. Suatu persegipanjang mempunyai luas 900 cm. Tentukan ukuran persegipanjang agar kelilingnya minimum. 0. Suatu proyek direncanakan selesai dalam hari yang akan menelan biaya 00 ( + 60 ) ribu rupiah. Berapa harikah proyek tersebut harus selesai, agar biaya minimum? 7

43 E. Menggambar Grafik Fungsi Kemampuan menggambar grafik fungsi sangat penting, baik untuk lebih memahami Kalkulus itu sendiri maupun dalam cabang-cabang ilmu yang lain. Secara umum langkah-langkah di bawah ini sangat membantu untuk menggambar grafik suatu fungsi, terutama fungsi aljabar sebagai berikut: a. Langkah pertama adalah menentukan titik-titik potong dengan sumbusumbu koordinat. b. Langkah kedua adalah menentukan titik-titik stasioner beserta jenisnya. c. Langkah ketiga adalah menentukan nilai y untuk yang besar positif dan untuk yang besar negatif. Contoh : Gambarlah grafik dari fungsi y = Jawab :. Titik-titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat : Untuk = 0 maka y =.0 0 = 0, titik potong dengan sumbu y adalah (0,0) Untuk y = 0 maka = 0 ( ) 0 ( )( ) 0 0 atau - atau Terdapat tiga titik potong dengan sumbu : (0,0), (,0) dan (0, ). Titik-titik stasioner beserta jenisnya : Y = y' ( )( ) y' ' 6 Stasioner diperoleh jika : y = 0 ( )( ) 0 atau Untuk = y ( ) ( ) Y =6() = 6 (positif), sehingga berupa nilai minimum Untuk = y ( ) ( ) Y = 6() = 6 (negatif), sehingga berupa nilai maksimum Sehingga titik (,) adalah titik balik minimum dan titik (,) berupa titik balik maksimum.. Untuk nilai yang besar maka nilai y, sehingga : Untuk besar positif maka akan diperoleh y besar negatif, dan sebaliknya untuk yang besar negatif akan diperoleh y besar positif. 8

44 Dari, dan diperoleh grafik sebagai berikut : (,) Y O X y (,) Latihan Gambarlah grafik fungsi-fungsi berikut :. y = 6. y =. y = 6 7. y = ( ). y = 8. y = 4 4. y = ( ) 9. y = 5. y = 6 0. y = 5 5 F. Penerapan Turunan dalam Penyelesaian Limit Fungsi. Teorema-teorema Mean a. Teorema Rolle Apabila f() kontinu pada interval [a,b], dan f(a) = f(b) = 0 dan jika f () ada di setiap titik pada interval tersebut, maka paling tidak terdapat satu = 0, pada interval tersebut sedemikian f ( 0 ) = 0. 9

45 Y O a (0,f( b 0 )) X Secara geometris, teorema di atas dapat diartikan bahwa suatu kurva yang kontinu memotong sumbu di = a dan = b, serta mempunyai tangen disetiap titik antara a dan b, maka terdapat paling sedikit satu titik = 0 di antara a dan b dimana tangennya sejajar dengan sumbu Bukti : a. Jika f() = 0 di seluruh interval, ini juga berakibat f () = 0 untuk setiap, dengan sendirinya teorema terbukti b. Untuk hal yang lain jika f() positif (negatif) pada beberapa titik pada interval tersebut, maka berarti paling sedikit terdapat = 0 pada [a,b] sehingga f() mempunyai maksimum (minimum) relatif. Dan karena mempunyai maksimum (minimum) relatif, berarti dipenuhi f ( 0 ) = 0. b. Perluasan Teorema Rolle Y Apabila f() memenuhi syarat syarat teorema Rolle, hanya f(a) = f(b) 0, maka f ( 0 ) = 0 untuk paling tidak satu = 0, pada interval [a,b]. O a (0,f( 0 )) b X Untuk membuktikan corollary teorema Rolle ini cukup diambil F() = f() f(a) dengan demikian kecuali dipenuhi syarat-syarat teorema Rolle, juga dipenuhi F(a) = F(b) = 0, sehingga berdasar teorema Rolle di atas, maka paling tidak satu = 0, dipenuhi F ( 0 ) = 0. c. Teorema Mean Apabila f() kontinu pada interval [a,b] dan apabila f () ada di setiap titik pada intervaltersebut maka paling sedikit satu = 0, 0 [a,b] sedemikian hingga : 40

46 Y P (a,f(a) ) f ( b) b f ( a) f a '( 0 O a X 0 b ) P (b,f(b)) X Secara geometri teorema di atas dapat dipresentasikan sebagai berikut : Jika P dan P adalah dua titik dari suatu kurva kontinu yang mempunyai tangen (garis singgung) pada setiap titiknya, maka paling sedikit terdapat suatu titik pada kurva sedemikian hingga gradien tangen tersebut sama dengan gradien garis P P. Bukti : f ( b) f ( a) Persamaan P P : y = K( b) + f(b) dengan K = b a Jarak vertical dari P P ke kurva adalah sebesar : F() = f() (K( b) + f(b)) Sekarang F() memenuhi teorema Rolle sehingga paling sedikit terdapat sebuah = 0 sehingga F ( 0 ) = 0. atau df( ) d( f ( ) ( K( b) f ( b)) 0, sehingga d d F () = f () K = 0 untuk suatu = 0 pada interval [a,b]. f ( b) f ( a) Dari f ( 0 ) K = 0 maka f ( 0 ) = K sehingga f ( 0 ) = (terbukti) b a d. Generalisasi Teorema Mean Jika f() dan g() kontinu pada interval a b, dan jika f () dan g () ada, dan g () tidak nol pada setiap titik pada interval tersebut, maka paling sedikit terdapat satu = 0, pada interval tersebut sedemikian hingga : f ( b) f ( a) f '( 0 ) g( b) g( a) g'( 0 ) Catatan : Jika g() =, maka terjadilah teorema mean lagi. Bukti : Misalkan g(b) = g(a); maka dengan perluasan teorema Rolle, diperoleh g ( 0 ) = 0, untuk paling tidak satu = 0 pada interval [a,b], namun hal ini bertentangan dengan hipotesis (mengapa?), jadi haruslah g(b) g(a). f ( b) f ( a) Ambil K, suatu konstanta dan dari fungsi : g( b) g( a) F() = f() (f(b) + K(g() g(b))), fungsi ini memenuhin syarat teorema Rolle, sehingga F () = f () Kg () = 0 pada paling sedikit satu titik = 0, di dalam interval [a,b] sehingga : 4

47 K = f '( g'( 0 0 ) ) f ( b) f ( a) (terbukti) g( b) g( a) Bentuk-bentuk yang Tak Tentu Sebagai contoh pandanglah fungsi f ( ), fungsi ini tertentu untuk setiap 0. Tetapi untuk = fungsi di atas menjadi berbentuk 0 yang tak tentu. Maka bentuk dikatakan bentuk yang tak tentu untuk =. Tetapi kita dapat menghitung bahwa f( ). Dari sini dikatakan bahwa bentuk yang tak tentu ini mempunyai nilai untuk =, dan yang dimaksudkan ialah harga itnya. Kecuali bentuk 0 0, kita kenal bentuk-bentuk tak tentu lainnya, misalnya :. f() = untuk = 0 diperoleh bentuk : sin ln. f() = untuk diperoleh benrtuk : tan. f() = ( ) untuk = 0, diperoleh bentuk : tan 0 a 4. f() = ( a ) untuk = a, diperoleh bentuk : Kecuali bentuk-bentuk tak tentu di atas dikenal beberapa bentuk-bentuk tak tentu lainnya, 0 misalnya bentuk : 0 dan. 0. G. Nilai-nilai Tak Tentu Fungsi. Teorema de l Hospital untuk bentuk 0 0 Jika f() dan g() mempunyai suatu derivatif dalam suatu interval terbuka, dengan a sebagai salah satu titik ujungnya, dan jika f( ) 0 dan g( ) 0, f(a) = g(a) = a f '( ) 0 dan L (L terhingga), maka berlaku : a g'( ) f ( ) L a g( ) a Bukti : f '( ) Dari bentuk L, maka terdapatlah suatu selang terbuka dengan a sebagai a g'( ) salah satu titik ujungnya, sehingga untuk tiap-tiap titik dari interval tersebut, 4

48 berlaku g () 0. Dari sini syarat-syarat generalisasi teorema mean dipenuhi, sehingga untuk suatu titik dalam interval tersebut berlaku : f ( ) f ( a) f '( 0 ),( a 0 ) g( ) g( a) g'( ) 0 f ( ) f '( 0 ) atau : g( ) g'( 0 ) Jika a, maka 0 a, jadi : f ( ) f '( 0 ) L a g( ) a g'( 0 ) Karena bukti tersebut berlaku untuk it kiri maupun it kanan, maka teorema tersebut berarti terbukti untuk tiap-tiap interval sekitar a. Perlu mendapat perhatian bahwa teorema de l Hospital, hanya dapat digunakan jika f '( 0 ) it : ada. a g'( 0 ) Contoh Hitung : Jawab : 4 = 4 Contoh e Hitung : 0 e ln( ) Jawab : e e 0 e ln( ) 0 ( ) e lin( ) e ( ) ( ) = 0 ( )ln( ) ( ) () ln() f '( ) Jika syarat-syarat untuk teorema de l Hospital dipenuhi dan berlaku :, a g'( ) f ( ) maka a g ( ) Contoh sin Hitung : 0 4

49 Jawab : sin cos 0 0 =. Bentuk tak Tentu untuk Jika f ( ) 0 dan g( ) 0, dengan menggunakan sibstitusi y y 0 jika telah dibahas di depan., sehingga 0, sehingga maslah di atas menjadi sama dengan bentuk yang 0 Karena f() = f( y ) = F(y) dan g() = g( y ) = G(y) maka : F (y) = f '( ) f '( ), dan y y G () = g'( ) g'( ), sehingga : y y F'( y) f '( ) f '( ) G'( y) g'( ) g'( ) f '( ) Jadi jika L atau maka : g'( f ( ) g( ) ) F( y) F'( y) f '( ) L atau G( y) y0 G'( y) g'( y0 ) Dari sini teorema de l Hospital di atas berlaku pula, jika a, di atas kita ganti dengan, demikian juga jika diganti dengan.. Teorema de l Hospital untuk Bentuk Tak Tentu Jika a f ( ) dan g( ), maka bentuk a f ( ) g( ) menjadi bentuk tak tentu, jika a. Untuk bentuk ini akan kita buktikan teorema de l Hospital : Jika f() dan g() dua buah fungsi yang mempunyai fungsi turunan dalam suatu interval terbuka dengan a sebagai ujung di sebelah kiri. Dan jika f ( ) dan f '( ) g( ), serta L (L terhingga), maka berlakulah : a a g'( ) f ( ) f '( ) L a g( ) a g'( ) a 44

50 Bukti : f '( ) Berhubung L, maka terdapatlah suatu interval dengan a sebagai ujung, a g'( ) sehingga untuk tiap-tiap dari interval tersebut berlaku g () 0. Dalam interval tersebut kita dapat memilih dua buah titik dan dengan a<<. Dengan menggunakan generalisasi teorema mean : f ( ) f ( ) f '( 0 ), dengan < 0 < g( ) g( ) g'( ) Hubungan di atas dapat ditulis dengan : g( ) f ( ) g( ) f '( 0 ). g( ) f ( ) g'( 0 ) f ( ) Jika 0 a, maka a. Karena f ( ) dan g( ), maka selalu kita dapat memilih suatu a a g( ) sehingga : f ( ) 0 dan 0 g( ) f ( ) f '( ) Sehubungan dengan L, maka dapat ditarik kesimpulan bahwa : a g'( ) f ( ) f '( ) L. a g( ) g'( ) a Teorema tersebut dapat pula dibuktikan untuk suatu interval terbuka, yang mempunyai titik ujung di sebelah kanan, dengan it L juga. Yang ini berarti bahwa teorema de l Hospital ini berlaku untuk setiap interval terbuka di sekitar a. 0 Sebagaimana halnya pada bentuk, dapat dibuktikan pula, bahwa teorema ini 0 berlaku juga pada kondisi : L dan juga. Contoh ln tan Hitung: 0 ln tan. ln tan Jawab : = tan cos 0 ln tan 0. tan cos cos. = sin cos 0 cos. sin cos sin cos = cos 0 sin 0 45

51 Contoh a Hitung (a >, m > 0 dan mr) m a a ln a Jawab : = (ini masih berbentuk m m, sehingga dipergunakan de mx l Hospital sekali lagi) a ln a = m m ( m ) a ln a m( m )( m ) =.dst m a ln a = m! = = m 4. Bentuk-bentuk Tak Tentu Lainnya Jika f ( ) 0 dan g( ) maka bentuk f().g() menjadi a a tentu. Bentuk tersebut dapat kita ubah menjadi berbentuk 0 0 atau 0. yang tak dengan jalan menulis bentuk f().g() sebagai bentuk f ( ) g( ) atau g( ) f ( ) (ialah bentuk- bentuk 0 dan, masing-masing) 0 Contoh Hitung : ( )ln( ) Jawab : ln( ) ( )ln( ) = ( ) = ( ) 0 46

52 Jika f ( ) dan a g( ) maka untuk = a, bentuk f() g() menjadi a berbentuk yang tak tentu. Bentuk tersebut dapat kita tulis dengan bentuk g( ) f ( ) 0, ialah bentuk 0 f ( ). g( ) Contoh : Hitung : ( ) ln ln ( ) Jawab : ( ) ln = ( ) ln ln = = ln Jika f ( ) 0 a berbentuk ln ln (masih berbentuk 0 0, sehingga digunakan de l Hospital sekali lagi) = = dan g( ) 0, maka bentuk { f ( )} g( ) a 0 0 yang tak tentu. Demikian juga jika f ( ) a, untuk a, menjadi dan g( ) maka g( ) bentuk { f ( )} akan menjadi berbentuk yang tak tentu. Atau jika f ( ) dan g( ) 0 maka { f ( )} a g( ) akan berbentuk 0 yang tak tentu pula. Untuk mencari nilai-nilai tak tentu bentuk-bentuk di atas biasa dilakukan dengan mengubahnya ke bentuk 0. dengan jalan mengambil logaritmanya, karena bentuk g().ln f() akan berbentuk 0. Contoh Tentukan 0 a a Jawab : = 0 e 0 ln ln ln e = e

53 Untuk ln = 0 ln (berbentuk yang tak tentu) 0 = ( ) Jadi = e 0 0 Latihan Tentukanlah nilai-nilai tak tentu dari bentuk-bentuk di bawah ini:. n e e. 0 sin tan. 0 sin e 4. 0 cos ln sin 5. ( ) ln 6. n ( ) 0 tan 9. (cot ) ln 0 tan 0. (tan ) 4 48

54 BAB V KALKULUS INTEGRAL Kegunaan integral sebagai ilmu bantu dalam geometri, teknologi, biologi dan ekonomi tak dapat disangkal lagi. Orang yang tercatat dalam sejarah pertama kali mengemukakan ide tentang integral adalah Archimedes seorang ilmuwan bangsa Yunani yang berasal dari Syracusa (87 SM). Archimedes menggunakan ide integral tersebut untuk mencari luas daerah suatu lingkaran, daerah yang dibatasi oleh parabola dan tali busur dan sebagainya. Sejarah mencatat orang yang paling berjasa dalam hal pengembangan kalkulus integral adalah Georg Friederich Benhard Riemann (86 866). A. Integral Taktentu. Integral sebagai operasi invers dari turunan. Misalkan fungsi f adalah turunan dari fungsi F, yang berarti F() df() d f() Pandanglah pendiferensialan fungsi-fungsi di bawah ini F() = F() = f() = F() = + 5 F() = f() = F() = 7 F() = f() = F() = + c (c = konstanta) F() = f() = Sekarang timbul pertanyaan apakah dari hubungan F() = f() ini jika f() dikethui maka f() pasti dapat ditentukan? Suatu operasi mencari F() jika f() diketahui yang merupakan invers dari operasi pendiferensialan disebut operasi anti derivatif, anti diferensial, anti turunan yang biasa disebut Operasi integral. Dari contoh di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa anti turunan dari f() = adalah F() = + c, c = konstanta. Dari pengertian bahwa integral adalah invers dari Operasi pendiferensialan, maka apabila terdapat fungsi F() yang diferensial pada interval [a, b] sedemikian hingga df() F ' d () f() maka anti turunan dari f() adalah F() + c, dan biasa kita tulis dengan notasi. f()d F() c Notasi adalah notasi integral tak tentu. Catatan : Orang yang pertama kali memperkenalkan lambang sebagai lambang integral adalah Leibniz, yang disepakati sebagai slah seorang penemu dari Kalkulus. Dari contoh di atas diperoleh hasil d c Dengan memperhatikan diferensial-diferensial di bawah ini: F() = + c F() = F() = a + c F() = a F() = F() = n c F() = n a n c F() = n n (n ) n n n a (n ) n a n 49