Jurnal Ilmu Maemaka dan Terapan Desember 015 Volume 9 Nomor Hal. 97 10 NILAI TOTAL TAK TERATUR TOTAL DARI GABUNGAN TERPISAH GRAF RODA DAN GRAF BUKU SEGITIGA R. D. S. Rahangmean 1, M. I. Tlukay, F. Y. Rumlawang, M. W. Talakua 1,,, Jurusan Maemaka FMIPA Unversas Pamura Jl. Ir. M. Puuhena, Kampus Unpa, Poka-Ambon, Indonesa e-mal: meln.lukay@fmpa.unpa.ac.d Absrak Pelabelan oal ak eraur oal yang dperkenalkan oleh Marzuk, dkk merupakan kombnas dar dua jens pelabelan ak eraur, yau pelabelan oal ak eraur k dan pelabelan oal ak eraur k. Blangan bula posf k erkecl sedemkan sehngga suau graf G memlk pelabelan k-oal ak eraur oal dsebu nla oal ak eraur oal dar G, dnoaskan dengan s(g). Pada makalah n, nla oal ak eraur oal dar gabungan erpsah graf roda dan graf buku segga denukan. Kaa Kunc: Pelabelan oal ak eraur ss, pelabelan oal ak eraur k, pelabelan oal ak eraur oal. THE TOTAL IRREGULARITY STRENGTH OF DISJOINT UNION OF WHEEL AND TRIANGULAR BOOK Absrac A oally rregular oal labelng whch had been nroduced by Marzuk, e.al s a combnaon of wo ypes of rregular labelng, edge rregular oal labelng and verex rregular oal labelng. The mnmum neger k for whch a graph G has a oally rregular oal k-labelng s called he oal rregulary srengh of G, denoed by s(g). In hs paper, we deermne he oal rregulary srengh of dsjon unon of wheels and of rangular books. Keywords: edge rregular oal labelng, oally rregular oal labelng, verex rregular oal labelng. 1. Pendahuluan Dberkan G suau graf berhngga, sederhana, dan ak berarah, dengan hmpunan k V dan hmpunan ss E. Pelabelan graf adalah suau fungs yang memeakan elemen-elemen pada graf ke hmpunan blangan (umumnya blangan bula posf aau ak negaf). Pelabelan k ak eraur (rregular k labelng) dar suau graf G, dengan orde lebh dar, adalah suau fungs yang memeakan hmpunan ss E(G) ke hmpunan {1,,,, k} sedemkan sehngga seap dua k yang berbeda d V(G) memlk bobo yang berbeda. Blangan bula posf erkecl k sedemkan sehngga G memlk suau pelabelan k ak eraur dsebu nla keakerauran (rregulary srengh) dar G, dnoaskan dengan s(g). Selanjunya, Baca, dkk. [1] memperkenalkan pelabelan ak eraur yang dvaraskan berdasarkan doman pelabelan yau pelabelan oal ak eraur ss dan pelabelan oal ak eraur k. Msalkan G = (V, E) adalah suau graf. Pelabelan k oal ak eraur ss (edge rregular oal k labelng) dar G adalah suau fungs f yang memeakan hmpunan k V(G) dan hmpunan ss E(G) ke hmpunan {1,,,, k} sedemkan sehngga seap dua ss yang berbeda d E(G) memlk bobo yang berbeda. Bobo ss xy d E(G) erhadap fungs f adalah w(xy) = f(x) + f(xy) + f(y). Blangan bula posf erkecl k sedemkan sehngga G memlk suau pelabelan k oal ak eraur ss dsebu nla oal keakerauran ss (oal edge rregulary srengh) dar G, dnoaskan dengan es(g). Sedangkan pelabelan k oal ak eraur k (verex rregular oal k labelng) dar G adalah suau fungs f yang memeakan hmpunan k V (G) dan hmpunan ss E(G) ke hmpunan {1,,,, k} sedemkan sehngga seap dua k yang berbeda d V(G) memlk 97
98 Rahangmean, dkk. Nla Toal Tak Teraur Toal dar Gabungan Terpsah Graf Roda dan Graf Buku Segga bobo yang berbeda. Bobo k x d V(G) erhadap fungs f adalah w(x) = f(x) + xy E(G) f(xy). Blangan bula posf erkecl k sedemkan sehngga G memlk suau pelabelan-k oal ak eraur k dsebu nla oal keakerauran k (oal verex rregulary srengh) dar G, dnoaskan dengan vs(g). Baca dkk. [1] elah memberkan baas bawah dan baas aas nla oal keakerauran k vs(g) dan nla oal keakerauran ss es(g) sebaga berku. Teorema A. Unuk seap graf G dengan p k dan q ss, dan deraja mnmum δ(g) sera deraja maksmum (G), ) p+δ(g) vs(g) p + (G) δ(g) + 1; (G)+1 ) E(G) + es(g) E(G). Selanjunya, Wjaya dan Slamn [] elah menenukan nla es dan vs unuk graf roda dengan n + 1 k, n, yau es(w n ) = n+ dan vs(w n) = n+. Nurdn, dkk. [] elah menenukan nla es unuk graf hasl korona graf lnasan dengan beberapa graf erenu. Nla es dan vs dar graf-graf lannya dapa dlha dalam hasl survey pelabelan graf oleh Galan []. Marzuk, Salman, dan Mller [5] menggabungkan de kedua pelabelan oal ersebu dengan memperkenalkan pelabelan oal ak eraur k dan ss. Msalkan G = (V, E) adalah suau graf. Pelabelan k oal ak eraur k dan ss (oally rregular oal k-labelng) pada G ddefnskan sebaga suau fungs f yang memeakan hmpunan k V(G) dan hmpunan ss E(G) ke hmpunan {1,,,, k} sedemkan sehngga seap dua k yang berbeda d V(G) memlk bobo yang berbeda dan seap dua ss yang berbeda d E(G) memlk bobo yang berbeda juga. Blangan bula posf erkecl k sedemkan sehngga suau graf G memlk pelabelan k oal ak eraur k dan ss dsebu nla keakerauran oal (oal rregulary srengh) dar G, dnoaskan dengan s(g). Marzuk, Salman, dan Mller [5] elah memberkan baas aas dar s(g). Teorema B. Unuk sebarang graf G, s(g) max{es(g), vs(g)}. Unuk beberapa jens graf, seper graf lnasan (pah), graf lngkaran (cycle) [5] graf hasl kal karesus dar beberapa graf [6], graf kpas, graf roda, graf buku segga, dan graf persahabaan [7] juga elah denukan nla oal ak eraur oalnya. Dalam [7], Tlukay, dkk elah menenukan nla oal keakerauran oal dar graf kpas, graf roda, graf buku segga, dan graf persahabaan, sebaga berku. Teorema C. Unuk seap blangan bula n dan W n merupakan graf roda dengan n + 1 k dan n ss. Maka s(w n ) = n +. Teorema D. Dberkan n dan P 1 S n merupakan graf buku segga dengan n segga dengan n + 1 k dan n 1 ss. Maka s(p 1 S n ) = n +. Dalam penelan n, akan dkaj pelabelan oal ak eraur oal dar gabungan erpsah graf roda dan graf buku segga. Permasalahan dbaas pada gabungan erpsah graf roda (mw n ), unuk n 0 mod dan graf buku segga (m(p 1 S n )), unuk n 1 mod.
Barekeng: Jurnal Ilmu Maemaka dan Terapan Desember 015 Volume 9 Nomor Hal. 97 10 99. Hasl dan Pembahasan Dberkan W n suau graf roda dengan n + 1 k dan n ss. Graf mw n adalah suau graf yang dperoleh dengan menggabungkan m graf roda dengan karakersk yang sama anpa menghubungkan sebarang pasang k aau ss dar dua graf roda berbeda. Graf mw n dsebu juga gabungan erpsah (dsjon unon) m graf roda dan memlk m(n + 1) k dan mn ss. Tlukay dkk. elah menenukan nla oal ak eraur oal dar graf roda W n. Dengan memerksa sfa pelabelan oal ak eraur oal pada W n, dapa dkeahu bahwa unuk n 0 mod, bobo ss w(v n n v n ) = n + + n 1 = n + merupakan bobo ss erbesar. Akbanya dapa dlakukan pelabelan dengan pola serupa pada m kop graf W n, n 0 mod, dengan nla label yang dngkakan berdasarkan kardnalas hmpunan ss E(mW n ). Hal n dsajkan dalam lema berku: Lema 1. Msalkan n dan m. Jka mw n adalah m kop graf roda dengan n k, dmana n 0 mod, maka s(mw n ) = mn + 1. Buk. Dkeahu V(mW n ) = m(n + 1) dan E(mW n ) = mn. Berdasarkan Teorema A dan B, es(mw n ) E(mW n )+ = mn+ sedangkan vs(mw n ) V(mW n )+ = mn+m+ maka elah dperoleh baas bawah nla s(m(w n )). Unuk membukkan bahwa mn+ merupakan baas aas (m(w n )), konsrukskan pelabelan oal ak eraur oal f: V E {1,,, m } sebaga berku: Msalkan V(mW n ) = {u 1 m} {v j 1 m, 1 j n} dan E(mW n ) = {u v j, v j v j+1, v n v 1 1 m, 1 j n}. Msalkan = n+ = n + 1 dan 0 = 1, dperoleh pelabelan k sebaga berku: f(u ) = 1, f(v j ) = {, 1 m; 1 + j 1, 1 m, 1 j 1 1; dan pelabelan ss sebaga berku: 1 m, 1 j n; f(u v j ) = { 1 + j+1 1 1; 1 + j 1 +, 1 m, 1 j n. f(v n v 1 ) = 1, 1 m. 1, 1 m, 1 j 1 ; f(v j v j+1 ) = { 1 + 1, 1 m, j = 1 1; 1 + n 1 + j +, 1 m, 1 j n 1. Dapa dlha bahwa label erbesar adalah f(v m n ) = m. Selanjunya dengan memberkan label k-k dan ss-ss graf mw n dengan blangan erbesar m, akan dunjukkan bahwa bobo seap k dan seap ss pada mw n berbeda. a. Bobo Ss w(u v j ) = f(u ) + f(u v j ) + f(v j ); = { + 1 + j+1 j, 1 m, 1 j 1 1; + 1 1 + j + 1, 1 m, 1 j n.
100 Rahangmean, dkk. Nla Toal Tak Teraur Toal dar Gabungan Terpsah Graf Roda dan Graf Buku Segga w(v j v j+1 ) = f(v j ) + f(v j v j+1 ) + f(v j+1 ); ( 1 + j 1) + 1 + ( 1 + j+1 1 ; = ( 1 + j 1) + ( 1 + 1, 1 m, j = 1 1; { + 1 + n 1 + j + +, 1 m, 1 j n 1. w(v n v 1 ) = f(v n ) + f(v n v 1 ) + f(v 1 ); = + 1 + j, 1 m, j = 1. b. Bobo Tk n w(u ) = f(u ) + f(u v j ) j=1 ; = 1 + ( 1 1) ( 1 + j+1 1) + (n 1 + 1)( 1 + j 1 + ); w(v 1 ) = f(v 1 ) + f(v 1 v ) + f(v n v 1 ) + f(v v 1 ); = 1 + + j + j+1. w(v j ) = f(v j ) + f(v j 1 v j ) + f(v j v j+1 ) + f(v v j ); = + 1 + j+1 + j, 1 m, j 1. w(v 1 1 ) = 1 1 f(v ) + 1 f(v v 1 1 ) + 1 1 f(v v 1 ) + f(u v 1 1 ); = + 1 + j+1 + j + 1, 1 m, j = 1 1. w(v 1 ) = f(v 1 ) + f(v 1 1 v 1 ) + f(v 1 v 1 +1 ) + f(u v 1 ); = 1 + j + 1 + n +, 1 m, j = 1. j j w(v ) = f(v ) + j 1 j f(v v ) + j j+1 j f(v v ) + f(u v ), + 1 j n 1; = 1 1 + n + j + 6. w(v n ) = f(v n ) + f(v n 1 v n ) + f(v n v 1 ) + f(u v n ); = 1 + j + n 1. Dapa dperksa bahwa berdasarkan (), bobo ss-ss membenuk barsan,,, mn +, dan bobo seap k berbeda, yau w(u ) > w(v n ); w(v j ) > w(v j 1 ), j n; dan w(u ) > w(u 1 ), m. Dengan demkan, dperoleh bahwa s(mw n ) = mn+. Selanjunya dengan mengacu pada sfa pelabelan oal ak eraur oal pada graf buku segga, P 1 S n dapa d lha bahwa unuk n 1 mod, nla s(p 1 S n ) = n+. Dperoleh bobo ss W(vv n ) = n + mod. Hal n mengakbakan dapa dlakukan pelabelan dengan pola yang serupa pada m-kop graf buku segga. Pada Lema, akan denukan nla oal ak eraur oal dar m-kop graf buku segga. Lema. Msalkan n dan G (P 1 S n ) adalah graf buku segga dengan n halaman segga. Unuk n 1 mod dan m 1, m(n + 1) + s (m G) =. Buk. Karena V(m G) = m(n + ) dan E(m G) = m(n + 1), maka berdasarkan Teorema B dan C, dperoleh s (m G) m (n + 1) +. Msalkan = (n + 1) +, akan dunjukan bahwa
Barekeng: Jurnal Ilmu Maemaka dan Terapan Desember 015 Volume 9 Nomor Hal. 97 10 101 s (m G) m(n+1)+. Unuk membukkannya, konsrukskan suau pelabelan oal ak eraur f: V E {1,,, m(n+1)+ }. Msalkan V(m G) = {x 1 m} {y 1 m} {v j 1 m, 1 j n} dan E(m G) = {x y, x v j, y v j 1 m, 1 j n}. Unuk hmpunan k-k V(m G), defnskan: f(x ) = 1, 1 m; f(y ) = 1, 1 m; f(v j ) = { 1 + j 1, 1 m, 1 j 1 ;, 1 m, 1 + 1 j n. Unuk hmpunan ss-ss E(m G), defnskan: f(x y ) =, 1 m; j f(x v ) = { 1, 1 m, 1 j 1 ; j 1 + 1, 1 m, 1 + 1 j n; f(y v j ) = { n 1 + 1 + 1, 1 m, 1 j 1 ; n 1 + 1 +, 1 m, 1 1; n 1 + 1 + j +, 1 m, + 1 j n. Dapa dlha bahwa label erbesar yang dgunakan adalah m, yau pada f(y m ) = m ; f(x m y m ) = m ; f(v m j ) = m, 1 + 1 j n. Selanjunya, dapa dperoleh bobo seap k dan ss sebaga berku: a. Bobo k-k: n w(x ) = f(x ) + f(x y ) + f(x v j j=1 1 ) = 1 ( 1 + 1) + + ( n 1+1+ 1 ) (n 1 ) n w(y ) = f(y ) + f(x y ) + f(y v j j=1 ) = 1 (n + 1) + n 1 + 5n+n w(v j ) = f(x v j ) + f(y v j ) + f(v j ) + 9 1 1 1 + n + j, 1 m, 1 j 1 ; = { 1 1 + n + j + 1, 1 m, 1 + 1 j 1; + 1 1 + n + j +, Dapa dperksa bahwa bobo seap k berbeda. b. Bobo ss-ss: w(x y ) = f(x ) + f(y ) + f(x y ) = 1 +. w(x v j ) = f(x ) + f(y ) + f(x v j ); 1 m, 1 + 1 j n. = { 1 + j 1, 1 m, 1 j 1 ; + 1 1 + j, 1 m, 1 + 1 j n.
10 Rahangmean, dkk. Nla Toal Tak Teraur Toal dar Gabungan Terpsah Graf Roda dan Graf Buku Segga w(y v j ) = f(y ) + f(v j ) + f(y v j ); Dperoleh, = { + 1 1 + n + j, 1 m, 1 j 1 ; + 1 1 + n + j + 1, 1 m, 1 + 1 j 1; + 1 1 + n + j +, 1 m, 1 + 1 j n. a. {w(x v j ) 1 m, 1 j n} = {,,, + 1 1 + n 1 j m} b. {w(y v j ) 1 m, 1 j 1 } = { + 1 1 + n + 1, + 1 1 + n +,, + 1 1 1 m} c. {w(x y ) 1 m} = { 1 + 1 m} d. {w(y v j ) 1 m, 1 + 1 j 1} = { + 1 1 + n +, + 1 1 + n +,, + 1 + n + 1}. j e. {w(y v ) 1 1 + 1 j n} = { + 1 1 + n +, + 1 1 + n +,, + 1 1 + n + }. Dapa dperksa bahwa hmpunan bobo ss-ss adalah {,,, m(n + 1) + }. Dengan demkan, dapa dperksa bahwa bobo seap pasang k maupun seap pasang ss berbeda. Jad, fungs f adalah pelabelan oal ak eraur k dan ss, sehngga s(m G) = m(n+1)+.. Kesmpulan Berdasarkan hasl pembahasan dapa dsmpulkan bahwa gabungan erpsah graf roda mw n, n, m dan n 0 mod, memlk pelabelan oal ak eraur oal, dengan nla oal keakerauran oal s(mw n ) = mn+. Hal serupa pada gabungan erpsah graf buku segga, (mp 1 S n ), n, n 1 mod, dan m 1 dengan nla oal keakerauran oal s(m(p 1 S n )) m(n+1)+. Dafar Pusaka [1] M. Baca, S. Jendrol, M. Mller and J. Ryan, "On Irregular Toal Labelngs," Dscree Mahemacs, vol. 07, pp. 178-188, 007. [] K. Wjaya and Slamn, "Toal Verex Irregular Labelngs of Wheels, Fan, Suns, and Frendshp Graphs," 008. [] Nurdn, A. N. M. Salman and E. T. Baskoro, "The Toal Edge Irregular Srengh of he Corona Produc of Pah wh Some Graphs," 008. [] J. A. Galan, "A Dynamc Survey of Graph Labelng," Elecronc Journal of Combnaorcs, vol. 17, no. #DS6, 01. [5] C. C. Marzuk, A. N. M. Salman and M. Mller, "On The Toal Irregulary Srengh of Cycles and Pahs," Far Eas J. Mah. Sc., vol. 8, no. 1, pp. 1-1, 01. [6] R. Ramdan and A. N. M. Salman, "On The Toal Irregulary Srengh of Some Caresan Produc Graphs," AKCE In. J. Graphs Comb., vol. 10, pp. 199-09, 01. [7] M. I. Tlukay, A. N. M. Salman and E. R. Persulessy, "On The Toal Irregulary Srengh of Fan, Wheel, Trangular Book, and Frendshp Graphs," Proceda Compuer Scence, vol. 7, pp. 1-11, 015.