Lemma 1: Ada pelabelan titik (7, 1)-sisi antimagic pada graf Segitiga Bermuda Btr n,4

Transkripsi

1 NILAI KETAKTERATURAN TOTAL SISI DARI GRAF SEGITIGA BERMUDA Novalita Anjelia A. P. 44, Slamin 45, Dafik 46 Abstract. For a simple graph G, a labelling λ V(G) E(G) {1, 2,, k} is called an edge irregular total k-labelling of G if for any two different edges e and f of G there is, wt(e) wt(f). The total edge irregularity strength denoted by tes G is the smallest positive integer k for which G has an edge irregular total k-labelling. In this paper, we consider the total edge irregularity strength of Bermuda Triangle graph and the union isomorphic and non isomorphic Bermuda Triangle graph. We show that tes(btr n,4 ) =, for n 1, tes(sbtr n,4 ) = s(0n+15)+ 2, for n 1 and s 2, and 0n+17 tes(btr n,4 Btr m,4 ) = (0n+15)+ (0m+15)+ 2, for 1 n m. Keywords : Edge irregular total labelling, Irregularity strength, Total edge irregularity strength, Bermuda Triangle graph. PENDAHULUAN Banyak topik menarik dalam ilmu teori graf, salah satunya yaitu mengenai pelabelan graf. Ada beberapa jenis pelabelan graf, salah satu diantaranya adalah pelabelan total sisi irregular (edge irregular total labelling). Pelabelan total sisi irregular pada graf G dinotasikan dengan tes(g) merupakan pemberian nilai bilangan bulat positif dimana nilai yang digunakan boleh berulang pada himpunan titik dan himpunan sisi dari suatu graf G dengan bobot setiap sisinya berbeda seminimal mungkin. Penentuan nilai tes pada penelitian ini mengacu pada Teorema 1 dan berkaitan dengan Lema 1 berikut, yaitu: Teorema 1: Jika G = (V, E) adalah sebuah graf dengan himpunan titik V dan himpunan sisi E (yang tidak kosong), maka; E + 2 tes(g) E (Bača et al. 2002). Lemma 1: Ada pelabelan titik (7, 1)-sisi antimagic pada graf Segitiga Bermuda Btr n,4 jika 1 i n + 1, 1 j 4, dan i, j, n N (Munawwir, Z. 201: 54). Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui adanya keterkaitan antara pelabelan titik (7, 1)-sisi antimagic dengan pelabelan total sisi irregular pada graf Segitiga Bermuda tunggal dan mengetahui nilai tes dalam pelabelan total sisi irregular pada graf 44 Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jember 45 Dosen Program Studi Sistem Informasi Universitas Jember 46 Dosen Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jember

2 158 Kadikma, Vol. 5, No., hal , Desember 2014 Segitiga Bermuda Tunggal, beserta gabungan graf Segitiga Bermuda isomorfis maupun non-isomorfis. GRAF SEGITIGA BERMUDA (Btr n,4 ) Graf Segitiga Bermuda adalah sebuah graf baru yang dinotasikan dengan Btr n,4. Graf Segitiga Bermuda memiliki himpunan titik V = {x i, y i, z i, x i,j, y i,j, z i,j, 1 i n + 1, 1 j 4} dan memiliki himpunan sisi E = {x i y i, y i z i, x i z i, 1 i n + 1} {x i z i+1, z i y i+1, y i x i+1, 1 i n} {x i x i,j, y i y i,j, z i z i,j, 1 i n + 1, 1 j 4} { x i+1 x i,j, y i+1 y i,j, z i+1 z i,j, 1 i n + 1, 1 j 4}. Graf Btr n,4 memiliki 15n + 15 titik dan 0n + 15 sisi. Gambar 1 menunjukkan graf Btr 1,4, dimana a = (i, 1), b = (i, 2), c = (i, ), d = (i, 4). Gambar 1: Graf Segitiga Bermuda Btr 1,4 METODE PENELITIAN Metode penelitian yang digunakan adalah deduktif aksiomatik dan pendeteksian pola. Adapun teknik penelitian pada graf Btr n,4 dengan pelabelan total sisi irregular yaitu: (1) menentukan batas bawah dan batas atas dari tes(btr n,4 ) dengan menggunakan Teorema 1, (2) menggunakan metode pendeteksian pola dalam melabeli titik dan sisi dengan mengikuti himpunan bobot sisi pada EAVL yang telah dikonversikan menjadi himpunan bobot total sisi pada pelabelan total sisi irregular, () menentukan formulasi pelabelan graf Btr n,4 yang sudah dilakukan (berupa fungsi yang memetakan himpunan titik dan sisi pada bilangan bulat), (4) menentukan nilai tes(btr n,4 ), untuk n 1 dengan batas bawah dan batas atas yang telah diperoleh, (5) melakukan langkah yang sama

3 Novalita dkk : Nilai Ketakteraturan Total Sisi dari Graf 159 seperti diatas untuk menentukan nilai tes(sbtr n,4 ) dan tes(btr n,4 Btr m,4 ) dengan batasan yang telah ditentukan. HASIL DAN PEMBAHASAN Lema 2: Jika graf Btr n,4 memiliki pelabelan titik (7, 1)-sisi antimagic maka graf Btr n,4 memiliki pelabelan total sisi irregular dengan bobot total sisi minimal dan berurutan, dengan barisan bobot total sisi ω = {, 4, 5,, 0n + 17}, untuk 1 i n + 1 dan 1 j 4. Bukti: Barisan bobot sisi pada Lema 1 dapat dikonversikan menjadi barisan bobot total sisi pada pelabelan total sisi irregular Btr n,4. Sehingga diperoleh bobot total sisi minimal dan berurutan, dengan barisan bobot total sisi ω = {, 4, 5,, 0n + 17}. Adapun rumus pelabelan total sisi irregular pada graf Segitiga Bermuda Btr n,4, dengan 1 j 4, adalah sebagai berikut: 1. Label Titik λ(x i ) = λ(y i ) = { 1, 10i 4, λ(z i ) = 10i 4, i + j, λ(x i,j ) = λ(y i,j ) = λ(z 10i 4, 2. Bobot Total Sisi ω(x i y i ) = 0i 27, ω(y i z i ) = 0i 22, ω(x i z i ) = 0i 17, ω(y i x i+1 ) = 0i 12, ω(z i y i+1 ) = 0i 7, ω(x i z i+1 ) = 0i 2, ω(y i y i,j ) = 0i + j 27, ω(z i z i,j ) = 0i + j 22, ω(x i x i,j ) = 0i + j 17, ω(y i+1 y i,j ) = 0i + j 12, ω(z i+1 z i,j ) = 0i + j 7, ω(x i+1 x i,j ) = 0i + j 2,

4 160 Kadikma, Vol. 5, No., hal , Desember Label Sisi λ(x i y i ) = { 1, 10i 19, λ(y i z i ) = { 1, 10i 14, λ(x i z i ) = { 6, 10i 9, λ(x i z i+1 ) = { 11, 10i 4, λ(z i y i+1 ) = 10i 9, λ(y i x i+1 ) = { 1, 10i 14, λ(x i x 11, 10i + j 9, λ(y i y 1, 10i + j 19, λ(z i z i,j ) = λ(y i+1 y 1, 10i + j 14, λ(z i+1 z 6, 10i + j 9, λ(x i+1 x 11, 10i + j 4, Berdasarkan rumus bobot total sisi diatas, bobot terendah terletak pada ω(x 1 y 1 ) dan bobot tertinggi terletak pada ω(x n x n,4 ). Dalam hal tersebut, terlihat bahwa himpunan bobot yang diperoleh, yaitu ω = {, 4, 5,, 0n + 17}. Teorema 2: Nilai ketakteraturan total sisi dari graf Segitiga Bermuda tunggal adalah tes(btr n,4 ) = 0n+17, untuk n 1. Bukti: Batas bawah tes(btr n,4 ) diperoleh dari hasil substitusi E(Btr n,4 ) ke dalam Teorema 1. Sedangkan batas atas tes(btr n,4 ) diperoleh dengan cara melabeli setiap titik dan sisi pada graf Segitiga Bermuda Btr n,4 seperti yang telah ditunjukkan pada Lema 2. Pada Lema 2 tersebut, nilai label terbesarnya yaitu, 10i 4 = tes(btr n,4 ) = 0n+17, dengan. Maka batas atas tes(btr n,4 ) = batas bawah tes(btr n,4 ), sehingga dapat disimpulkan bahwa tes(btr n,4 ) = 0n+17, untuk n 1.

5 Novalita dkk : Nilai Ketakteraturan Total Sisi dari Graf 161 Teorema : Nilai ketakteraturan total sisi pada gabungan graf Segitiga Bermuda isomorfis adalah tes(sbtr n,4 ) = s(0n+15)+2, untuk n 1 dan s 2. Bukti: Batas bawah tes(sbtr n,4 ) diperoleh dari hasil substitusi E(sBtr n,4 ) ke dalam Teorema 1. Sedangkan batas atas tes(sbtr n,4 ) diperoleh dengan cara melabeli setiap titik dan sisi pada sebanyak s gabungan graf Segitiga Bermuda isomorfis (sbtr n,4 ) dimana 2 k s dan 1 j 4, dengan mengikuti formulasi berikut: 1. Label Titik β(x k i ) = λ(x i ) + (k 1)(10n + 5), β(y k i ) = λ(y i ) + (k 1)(10n + 5), β(z k i ) = λ(z i ) + (k 1)(10n + 5), β(x k i,j ) = λ(x i,j ) + (k 1)(10n + 5), β(y k i,j ) = λ(y i,j ) + (k 1)(10n + 5), β(z k i,j ) = λ(z i,j ) + (k 1)(10n + 5), 2. Label Sisi β(x k i y k i ) = λ(x i y i ) + (k 1)(10n + 5), β(y k i z k i ) = λ(y i z i ) + (k 1)(10n + 5), β(x k i z k i ) = λ(x i z i ) + (k 1)(10n + 5), β(x k i z k i+1 ) = λ(x i z i+1 ) + (k 1)(10n + 5), β(z k i y k i+1 ) = λ(z i y i+1 ) + (k 1)(10n + 5), β(y k i x k i+1 ) = λ(y i x i+1 ) + (k 1)(10n + 5), β(x k i x k i,j ) = λ(x i x i,j ) + (k 1)(10n + 5), β(y k i y k i,j ) = λ(y i y i,j ) + (k 1)(10n + 5), β(z k i z k i,j ) = λ(z i z i,j ) + (k 1)(10n + 5), β(y k i+1 y k i,j ) = λ(y i+1 y i,j ) + (k 1)(10n + 5), β(z k i+1 z k i,j ) = λ(z i+1 z i,j ) + (k 1)(10n + 5), β(x k i+1 x k i,j ) = λ(x i+1 x i,j ) + (k 1)(10n + 5),. Bobot Total Sisi ω(x k i y k i ) = 0i 27 + (k 1)(10n + 5), ω(y k i z k i ) = 0i 22 + (k 1)(10n + 5), ω(x k i z k i ) = 0i 17 + (k 1)(10n + 5),

6 162 Kadikma, Vol. 5, No., hal , Desember 2014 ω(y k i x k i+1 ) = 0i 12 + (k 1)(10n + 5), ω(z k i y k i+1 ) = 0i 7 + (k 1)(10n + 5), ω(x k i z k i+1 ) = 0i 2 + (k 1)(10n + 5), ω(y k i y k i,j ) = 0i + j 27 + (k 1)(10n + 5), ω(z k i z k i,j ) = 0i + j 22 + (k 1)(10n + 5), ω(x k i x k i,j ) = 0i + j 17 + (k 1)(10n + 5), ω(y k i+1 y k i,j ) = 0i + j 12 + (k 1)(10n + 5), ω(z k i+1 z k i,j ) = 0i + j 7 + (k 1)(10n + 5), ω(x k i+1 x k i,j ) = 0i + j 2 + (k 1)(10n + 5), Dari formulasi diatas, nilai label terbesarnya, adalah s(0n+15)+2, dimana nilai tersebut merupakan nilai tes(sbtr n,4 ). Jadi batas atas tes(sbtr n,4 ) = batas bawah tes(sbtr n,4 ), sehingga terbukti bahwa tes(sbtr n,4 ) = s(0n+15)+2, untuk n 1 dan s 2. Teorema 4: Nilai ketakteraturan total sisi dari gabungan graf Segitiga Bermuda nonisomorfis adalah tes(btr n,4 Btr m,4 ) = (0n+15)+ (mn+15)+ 2, untuk 1 n < m. Bukti: Batas bawah tes(btr n,4 Btr m,4 ) diperoleh dari hasil substitusi E(Btr n,4 Btr n,4 ) ke dalam Teorema 1. Sedangkan batas atas tes(btr n,4 Btr m,4 ) diperoleh dengan cara melabeli setiap titik dan sisi pada gabungan graf Btr n,4 Btr n,4. Untuk pelabelan titik dan sisi pada gabungan non-isomorfis bagian Btr n,4 menggunakan formulasi seperti pada pelabelan graf Btr n,4 tunggal. Sedangkan formulasi pelabelan bagian Btr m,4 dengan 1 n < m, dan 1 j 4 adalah sebagai berikut: 1. Label Titik γ(x m i ) = γ(y m 10n + 6, i ) = { 10(i + n) + 1, γ(z i m ) = 10(i + n) + 1, γ(x m i,j ) = γ(y m i,j ) = γ(z m 10n + i + j + 5, 10(i + n) + 1, 2. Label Sisi γ(x m i y m 10n + 6, i ) = { 10(i + n) 14,

7 Novalita dkk : Nilai Ketakteraturan Total Sisi dari Graf 16 γ(y m i z m 10n + 6, i ) = { 10(i + n) 9, γ(x m i z m 10n + 11, i ) = { 10(i + n) 4, γ(x m i z m 10n + 16, i+1 ) = { 10(i + n) + 1, γ(z i m y i+1 m ) = 10(i + n) 4, γ(y m i x m 10n + 6, i+1 ) = { 10(i + n) 9, γ(x m i x m 10n + 16, 10(i + n) + j 4, γ(y m i y m 10n + 6, 10(i + n) + j 14, γ(z m i z m i,j ) = γ(y m i+1 y m 10n + 6, 10(i + n) + j 9, γ(z m i+1 z m 10n + 11, 10(i + n) + j 4, γ(x m i+1 x m 10n + 16, 10(i + n) + j + 1,. Bobot Total Sisi ω(x i m y i m ) = 0(i + n) 12, ω(y i m z i m ) = 0(i + n) 7, ω(x i m z i m ) = 0(i + n) 2, ω(y i m x i+1 m ) = 0(i + n) +, ω(z i m y i+1 m ) = 0(i + n) + 8, ω(x i m z i+1 m ) = 0(i + n) + 1, ω(y i m y i,j m ) = 0(i + n) + j 12, ω(z i m z i,j m ) = 0(i + n) + j 7, ω(x i m x i,j m ) = 0(i + n) + j 2, ω(y i+1 m y i,j m ) = 0(i + n) + j +, ω(z i+1 m z i,j m ) = 0(i + n) + j + 8, ω(x i+1 m x i,j m ) = 0(i + n) + j + 1, Dari formulasi diatas, nilai label terbesarnya adalah (0n+15)+ (mn+15)+ 2 dimana nilai tersebut merupakan nilai tes(btr n,4 Btr m,4 ). Jadi batas atas,

8 164 Kadikma, Vol. 5, No., hal , Desember 2014 tes(btr n,4 Btr m,4 ) = batas bawah tes(btr n,4 Btr m,4 ), sehingga terbukti bahwa tes(btr n,4 Btr m,4 ) = (0n+15)+ (mn+15)+ 2, untuk 1 n < m. KESIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan, maka dapat disimpulkan bahwa: 1. Jika graf Btr n,4 memiliki pelabelan titik (7, 1)-sisi antimagic maka graf Btr n,4 memiliki pelabelan total sisi irregular dengan bobot total sisi irregular dengan bobot total sisi minimal dan berurutan, dengan barisan bobot total sisi ω = {, 4, 5,, 0n + 17}, untuk 1 i n + 1 dan 1 j Nilai ketakteraturan total sisi dari graf Segitiga Bermuda tunggal adalah tes(btr n,4 ) = 0n+17, untuk n 1.. Nilai ketakteraturan total sisi pada gabungan graf Segitiga Bermuda isomorfis adalah tes(sbtr n,4 ) = s(0n+15)+2, untuk n 1 dan s Nilai ketakteraturan total sisi dari gabungan graf Segitiga Bermuda non-isomorfis adalah tes(btr n,4 Btr m,4 ) = (0n+15)+ (mn+15)+ 2, untuk 1 n < m. Berdasarkan hasil penelitian diatas, maka terdapat beberapa saran, yaitu: 1. Pembaca dapat melakukan penelitian tes(btr n,4 Btr m,4 ) untuk 1 i n + 1 dan 1 j Pembaca dapat melakukan penelitian tes(btr n,4 ) untuk 1 i n + 1 dan 1 j n.. Pembaca dapat menjadikan hasil penelitian ini sebagai acuan dalam melakukan penelitian mengenai tes dari graf khusus lain, baik tunggal maupun gabungannya. DAFTAR PUSTAKA [1] Ahmad, A., Bača, M., Jendroľ, dan Numan, M On Irregularity Strength of Disjoint Union of Friendship Graphs. Electronic Journal of Graph Theory and Applications. Vol. 1 (2): [2] Bača, M., Jendroľ, Miller, M., dan Ryan, J On Irregular Total Labelling. Discrete Mathematics, 07(1): 178:188.

9 Novalita dkk : Nilai Ketakteraturan Total Sisi dari Graf 165 [] Munawwir, Z Pelabelan Total Super (a, d)-sisi Antimagic pada Graf Segitiga Bermuda (Btr i,4 ). Tidak dipublikasikan (Skripsi). Jember: Universitas Jember. [4] Rajasingh, I., Rajan, B., dan Arockiamary, S., T Total Edge Irregularity Strength of Butterfly Networks. International Journal of Computer Application. Vol. 49 (). [5] Wijaya, K., Slamin, dan Miller, M On Total Vertex Irregularity Strength of Cocktail Party Graphs. Jurnal Ilmu Dasar. Vol. 12 (2):

10 166 Kadikma, Vol. 5, No., hal , Desember 2014