PELABELAN TOTAL (a, d)-sisi ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF RODA W n

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "PELABELAN TOTAL (a, d)-sisi ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF RODA W n"

Hengki Darmadi
6 tahun lalu
Tontonan:

1 Jurnal Matematika UNAND Vol. No. 1 Hal ISSN : c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PELABELAN TOTAL (a, d)-sisi ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF RODA W n HERU PERMANA Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia, heru 1787@yahoo.com Abstrak. Misalkan terdapat graf G = (V, E). Suatu pemetaan bijeksi g dari V (G) E(G) ke {1,,, V (G) + E(G) } dikatakan pelabelan total (a, d)-sisi antiajaib di G, jika himpunan bobot sisi W (xy) = {w(xy) w(xy) = g(x)+g(y)+g(xy), xy E(G)}, dapat dinyatakan sebagai barisan aritmatika dengan suku awal a dan beda d. Pelabelan total (a, d)-sisi antiajaib dikatakan pelabelan total (a, d)-sisi antiajaib super jika g(v (G)) = {1,,, V (G) }. Pada makalah ini akan dikaji kembali tentang pelabelan total (a, d)- sisi antiajaib pada graf roda W n dengan n + 1 titik. Kata Kunci: Pelabelan total (a, d)-sisi antiajaib, graf roda. 1. Pendahuluan Teori graf adalah bagian dari matematika diskrit yang banyak digunakan sebagai alat bantu untuk menggambarkan atau menyatakan suatu persoalan agar lebih mudah dimengerti dan diselesaikan. Banyak persoalan akan lebih jelas untuk diterangkan bila dapat direpresentasikan dalam bentuk graf. Suatu pelabelan terhadap graf G = (V, E) adalah suatu pemetaan bijektif dari V E ke himpunan bilangan asli. Apabila daerah asal dari pemetaan hanya himpunan titik, maka pelabelan disebut pelabelan titik. Apabila daerah asalnya hanya himpunan sisi, maka pelabelan disebut pelabelan sisi. Apabila daerah asal merupakan gabungan dari himpunan titik dan sisi, maka pelabelan disebut pelabelan total. Misal terdapat G = (V, E) dengan V = p dan E = q. Notasi V berarti banyaknya titik pada G, sementara E mengatakan banyaknya sisi pada G. Suatu fungsi bijeksi f : V (G) E(G) {1,,, p + q} dikatakan pelabelan total (a, d)- sisi antiajaib pada graf G jika himpunan bobot sisi untuk semua sisi di G yang dinotasikan dengan W = {w(xy) w(xy) = f(x) + f(xy) + f(y), xy E(G)}, dapat ditulis sebagai W = {a, a + d, a + d,, a + (q 1)d} untuk suatu a > 0 dan d 0.. Pelabelan Total (a, d)-sisi Antiajaib pada Graf Roda W n Dalam makalah ini penulis melakukan kajian kembali terhadap [1], yang membahas tentang pelabelan total (a, d)-sisi antiajaib super pada graf roda W n, n 3. Graf roda W n berasal dari graf siklus C n dengan cara menghubungkan satu titik di luar C n, namakan x, ke semua titik yang ada di C n. 37

2 38 Heru Permana Teorema.1. [1] Jika graf Roda W n, n 3 adalah graf dengan pelabelan total (a, d)-sisi antiajaib super maka d <. Bukti. Misalkan graf W n, n 3 mempunyai pelabelan total (a, d)-sisi antiajaib super f : V (W n ) E(W n ) {1,,, 3n + 1}. Maka himpunan bobot sisi dari W n dapat ditulis sebagai berikut. W = {a, a + d, a + d,, a + (n 1)d}. Bobot sisi maksimum adalah 5n +. Bobot ini diperoleh apabila kedua titik dilabeli dengan label titik terbesar, yaitu n dan n + 1, serta sisi terkait juga dilabeli dengan label sisi terbesar, yaitu 3n+1. Sedangkan bobot sisi minimum adalah n+5. Bobot ini diperoleh apabila kedua titik dilabeli dengan label titik terkecil, yaitu 1 dan, serta sisi terkait juga dilabeli dengan label sisi terkecil, yaitu n +. Karena nilai bobot sisi tidak akan kurang dari n + 5 dan tidak akan lebih dari 5n +, maka n + 5 a (.1) a + (n 1)d 5n + (.) Dari pertaksamaan (.1) dan pertaksamaan (.), diperoleh : (n + 5) + (n 1)d a + (n + 1)d 5n + Karena n 3, maka haruslah d <. (n + 5) + (n 1)d 5n + (n 1)d 5n + (n + 5) d n 3 n 1 Karena d <, maka haruslah d {0, 1}. Pada [] telah ditunjukkan bahwa untuk d = 0, graf roda W n tidak mempunyai pelabelan (a, 0) sisi antiajaib super. Karena itu, pada teorema berikut cukup dilihat pelabelan total (a, d) sisi antiajaib super pada graf roda W n dengan d = 1. Teorema.. [1] Graf Roda W n mempunyai pelabelan total (a, d)-sisi antiajaib super jika dan hanya jika d = 1 dan n 1 (mod ). Bukti. ( ) Misalkan W n mempunyai pelabelan super (a, d)-antiajaib total. Akan dibuktikan d = 1 dan n 1 (mod ). Misalkan h : V (W n ) E(W n ) {1,,, 3n + 1} adalah pelabelan total (a, 1)- sisi antiajaib super pada W n. Dalam penjumlahan dari bobot-bobot sisi, label pusat digunakan n kali, label titik x i, 1 i n digunakan tiga kali, dan label sisi lainnya

3 Pelabelan Total (a, d)-sisi Antiajaib Super pada Graf Roda 39 digunakan satu kali. Maka diperoleh jumlah bobot sisi W n sebagai berikut. 3 n h(x i ) + nh(c) + i=3 e E(W n) h(e) = 3(1 + + n + 1) + (n 3)h(c) + (n n + 1) = 3((n + )( n + 1 ) + (n 3)h(c) + n n + + 3n + 1 = 3 (n + )(n + 1) + n(n + 3) + (n 3)h(c). (.3) Karena bobot sisi dapat ditulis sebagai W = {a, a + d,, a + (n 1)d}, maka jumlah bobot sisi untuk semua sisi di W n adalah sebagai berikut. e E(W n) Dari persamaan (.3) dan (.) diperoleh : W (e) = {a, a + d,, a(n 1)d} = n (a + (a + (n 1)d)) = n(a + (n 1)d). (.) 3 (n + )(n + 1) + n(n + 3) + (n 3)h(c) = na + (n n)d, 3(n + 3n + ) + 8n + 6n + (n 3)h(c) = an + n(n 1)d, Karena d = 1, maka : an = 3(n + 3n + ) + 8n + 6n + (n 3)h(c), n(n 1)d, a = 7n + 17n (n 3)h(c). n Untuk n 1 (mod ), dapat dilihat bahwa nilai a bukan merupakan bilangan bulat. Maka haruslah n 1 (mod ). Sehingga telah ditunjukkan bahwa jika W n adalah graf dengan pelabelan total (a, d) sisi antiajaib, maka d = 1 dan n 1 (mod ). ( ) Selanjutnya misalkan d = 1 dan n 1( mod ). Akan ditunjukkan bahwa W n adalah graf dengan pelabelan total (a, 1)-sisi antiajaib super. Jika n 0( mod ), maka konstruksikan pelabelan h 1 berikut. h 1 (c) = n +, i + 1 h 1 (x i ) = n + + i

4 0 Heru Permana 3n + 3 i + 3, jika i 1 (mod ) 7n h 1 (cx i ) = + 3 i +, jika i (mod ) n + 3 i + 1, jika i 3 (mod ) 5n + i, jika i 0 (mod ) h 1 (x n x 1 ) = 5n +, 5n h 1 (x i x i+1 ) = + 3 i + 1 3n + i, jika i bilangan genap, i < n Jika n (mod ), definisikan fungsi h dari W n sebagai berikut. h (c) = n +, i + 1 h (x i ) = n + + i 5n h (x i x i+1 ) = + 3 i + 1 3n + i, jika i bilangan genap, i < n 7n + 10 h (x n x 1 ) =, 3n + 3 i + 3, jika i 1 (mod ) 5n + + i +, jika i (mod ) h (cx i ) = n + 3 i + 1, jika i 3 (mod ) 7n + + i, jika i 0 (mod ) Jika n 3 (mod ), definisikan fungsi h 3 sebagai berikut. h 3 (c) = 1, i + 3 h 3 (x i ) = n i 7n + 11 i + 3, jika i 1(mod ) 11(n i +, jika i (mod ) h 3 (cx i ) = 5(n + 1 i + 1, jika i 3(mod ) 3n + i, jika i 0(mod ) h 3 (x n x 1 ) = 3(n + 1),

5 h 3 (x i x i+1 ) = Pelabelan Total (a, d)-sisi Antiajaib Super pada Graf Roda 1 9(n + 1) 3(n + 1) i, i + 1, i < n jika i bilangan genap Dapat ditunjukkan bahwa pelabelan h i, i {1,, 3}, menggunakan bilangan bulat dari himpunan h i (V (W n )) h i (E(W n )) = {1,,, n + 1} {n +, n + 3,, n + 3} tepat satu kali. Dengan perhitungan langsung kita dapat menyimpulkan bahwa himpunan dari bobot sisi W h1 = {n +, n + 5,, n + 3}, W h = {n +, n + 5,, n + 3} dan W h3 = {7(n + 1)/ + 3, 7(n + 1)/ +,, 15(n + 1)/} memuat bilangan bulat yang terurut. Karena pada ketiga pelabelan h 1, h, dan h 3, himpunan bobot sisi merupakan barisan terurut dengan suku awal a dan beda 1, maka ketiga pelabelan tersebut adalah pelabelan total (a, 1)-sisi antiajaib, untuk nilai a yang bersesuaian. Selanjutnya, karena pada ketiga pelabelan tersebut, himpunan label terkecil diberikan kepada himpunan titik graf Roda, maka pelabelan h 1, h, dan h 3 adalah pelabelan super. 3. Kesimpulan Pada tulisan ini telah ditunjukkan kembali bahwa jika graf roda W n, n 3 adalah graf dengan pelabelan total (a, d)-sisi antiajaib super maka haruslah d <. Selanjutnya juga ditunjukkan kembali bahwa graf roda W n mempunyai pelabelan total (a, d)-sisi antiajaib super untuk n 1 (mod ) dan d = 1.. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr. Lyra Yulianti, Bapak Budi Rudianto, M.Si, Bapak Narwen, M.Si, Dr. Admi Nazra dan Bapak Zulakmal, M.Si yang telah memberikan masukan dan saran sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan baik. Daftar Pustaka [1] Baca. M, Y.Lin, M.Miler, M.Z. Yousief. Edge-antimagic graph. Discrete Mathematics. 307 (007) : [] H. Enomoto, A.S. Llado, T. Nakamigawa, G. Ringel. Super edge-magic. SUT J. Math, 3 (1998) : [3] R.M. Figueroa-Centeno, R. Ichishima, F.A. Muntaner-Batle. The Place of super edge-magic labelings among other classes of labelings, Discrete Math. 31 (001): [] D.B West. An Introduction to Graph Theory Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1996.

dokumen-dokumen yang mirip

PELABELAN TOTAL (a, d)-sisi ANTIAJAIB SUPER PADA SUBDIVISI GRAF BINTANG

Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. Hal. 38 44 ISSN : 303 910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PELABELAN TOTAL (a, d)-sisi ANTIAJAIB SUPER PADA SUBDIVISI GRAF BINTANG RUSMANSYAH, SYAFRUDDIN Program Studi