TUGAS TERSTRUKTUR KALKULUS PEUBAH BANYAK Dari Bk Kalkls Edisi Keempat Jilid II James Steart Penerbit Erlangga Dissn ole : K i r b a n i M5 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET
Halaman 9 carila itna jika ada ata perliatkan baa it tidak ada! Penelesaian: didekati sepanjang smb seingga dan maka: didekati sepanjang kra maka: karena diperole it ang berlainan maka it dari ngsi ang diberikan tidak ada carila itna jika ada ata perliatkan baa it tidak ada! Penelesaian: didekati sepanjang smb didekati sepanjang smb didekati sepanjang garis 5 didekati sepanjang garis 5
diperole Halaman 5 tentkan impnan terbesar dimana ngsi tersebt kontine! Penelesaian: Himpnan terbesar ngsi tersebt kontine adala { R } gnakan koordinat polar ntk mencari it tersebt! Penelesaian: Jika r merpakan bentk koordinat polar dari dengan r seingga jika maka r r ; arctan ; rcos; rsin seingga r Cos r r r Cos r Sin Sin r r r Cos r Cos r r Sin Sin r Cos Sin r r Cos Sin r Cos Sin r
Halaman S di titik pada plat baja rata diberikan ole T / + + dengan T dikr dalam o C serta dan dalam meter Carila laj perbaan s teradap jarak di titik dalam a ara- dan b ara- Penelesaian: aara- T - + - di titik Jadi Laj perbaan s trn pada : C bara- T - + + - di titik Laj perbaan s trn pada: C Halaman 8 Paraboloid - memotong bidang di seba parabola Carila persamaan parametrik garis singgng teradap parabola ini di titik - Gnakan kompter ntk membat graik paraboloid parabola dan garis singgng pada laar ang sama Penelesaian : 8misalkan jika jika
a Gnakan kompter ntk membat graik b Carila dan ketika c Carila dan dengan menggnakan Persamaan dan d Perliatkan baa dan dan e Apaka asil bagian d bertentangan dengan Teorema Clairat? Gnakan graik dan ntk mengilstrasikan jaaban Anda Penelesaian: adengan menggnakan sotare matlab maka diperole asil sebagai berikt: b 5
5 5 5 cpersamaan : b a b a b a Persamaan : b a b a b a d 5 5 5 5 5 5
9 9 5 5 5 5 5 5 9 9 eberikt ini gambar kra permkaan Halaman Jelaskan mengapa ngsi terdierensiasi di titik ang diberikan Kemdian carila linierisasi L dari ngsi dititik tersebt dengan
di titik Penelesaian : Trnan parsial o o #Trnan parsial dan kedana adala ngsi kontinseingga berdasarkan pada teorema : Jika trnan parsial dan ada dekat abdan kontin di abmaka terdeerensiasi di ab Maka terdeerensiasi o Linierisasi L : L a b a b a a b a + 9Carila ampiran linier dari ngsi di dan gnakan ntk mengampiri bilangan 9 599 Penelesaian :
L 9 99 599 9 ;9;599 L Tinggi gelombang di lat terbka bergantng pada laj angin dan lama akt t dimana angin bertip pada laj tersebt Nilai ngsi t dicatat dalam tabel berikt Drasi jam Laj angin knot t 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 8 8 9 9 9 9 8 9 9 5 8 5 9 9 5 8 5 5 9
Gnakan table ntk mencari ampiran linier teradap ngsi tinggi gelombang ketika dekat knot dan t dekat jam Kemdian taksirla tinggi gelombang ketika angin tela bertip selama jam pada laj knot Penelesaian : a b a b Untk maka: 5 8 Untk - maka: 8 Maka 5 t Untk maka: t 8 Untk - maka: t
8 Maka t 5 t L t t 8 5 5 t 5 5t 8 Seingga L 5 5 8 5 tinggi gelombangna 5 ketika angin bertip selama jam dengan Halaman 8 kecepatan knot Jari-jari kerct lingkaran tegak bertamba besar pada laj 8 inci/ detik sedangkan tinggina menst pada laj 5 inci/ detik Pada laj berapaka olme kerct berba ketika jari-jari adala inci dan tinggi adala inci? Penelesaian : r r T ; 8 inci T ; -5 t det ik t Vker ct V t V r V T r t T t r T r T rt r rt r ; t t t t t inci det ik Maka laj perban Volm kerct ketika jari-jarina inci dan tinggina inci adala: V 8 inci t det ik inci -5 inci det ik 8 inci det ik det ik Jadi laj Volm kerct bertamba sebesar 8 inci ketika jarijarina inci dan tinggina inci det ik
Mobil A melaj ke tara pada Jalan Raa dan mobil B melaj ke barat pada Jalan Raa 8 Masing-masing mobil mendekati persimpangan jalan raa ini Pada saat tertent mobil A berada km dari persimpangan dan melaj pada 9 km/jam sedangkan mobil B berada km dari persimpangan dan melaj pada 8 km/jam Seberapa cepat jarak antara mobil it berba pada saat tersebt? Penelesaian : U B A r Jarak mobil A ke persimpangan km da dt 9 km / jam tanda negati karena jarak mobil A ke persimpangan semakin berkrang Jarak mobil B ke persimpangan km db dt 8 km / jam tanda negati karena jarak mobil B ke persimpangan semakin berkrang Jarak keda mobil : r A B Maka berdasarkan atran rantai : dr dt r A da dt r B db dt
Halaman 95 A A A B B / da dt 9 A da dt B A 59 59 8 5 5 9 A B db B dt 9 / B db dt 8 Jadi jarak antara keda mobil it berkrang dengan laj8 km/jam 8 m/detik 8 g i + j + k Penelesaian : g g ; g g ; g g ; jadi g ; i+j+k II 9 9 Jadi ektor satan i j k D g g -i-j+k i k k 8
Andaikan baa Anda sedang mendaki bkit ang bentkna diberikan ole persamaan dan Anda sedang berdiri di titik dengan koordinat a Ke ara manaka searsna Anda melangka mla-mla agar mencapai pncak bkit paling cepat? b Jika Anda mendaki dalam ara tersebt pada sdt di atas garis orisontal berapaka Anda akan mendaki mla-mla? Penelesaian : a b tan θ -/- Halaman θ derajat seingga besar sdt adala derajat + D adala daera ang dibatasi ole parabola dan garis Penelesaian : dibatasi ole kontin pada minimm mtlak Mencari titik kritis dan dan dan karena polinom seingga terdapat maimm mtlak dan seingga sat-satna titik kritis adala dan nilai Graik
5 - - - - ntk Ini merpakan ngsi menrn dengan nilai minimm adala 9 dan nilai maksimm min ma 9 Seingga nilai-nilai ini dibandingkan dengan nilai di titik kritisdi sini dapat disimplkan baa nilai maksimal mtlak pada D adala dan nilai minimal mtlak adala 9 Carila olme kotak persegi panjang terbesar dengan sisi-sisi ang sejajar dengan smb ang dapat diletakkan didalam ellipsoid Penelesaian : 9 + + Misalkan kotak persegi panjang mempnai panjang satan lebar satan tinggi satan Maka olme kotak adala V ang berada di dalam elipsoida 9 maka akan dicari olme kotak pada kadran I ang dibatasi ole elipsoida dengan besar dan adala positi
9 ambil ang bernilai positi seingga persamaan ntkv menjadi V Diperole trnan parsial dari V V V Jika V maksimm maka V V tidak bernilai nol 8 tidak bernilai nol 8 Ini menatakan baa 8 ambil nilai ang positi seingga maka diperole diambil nilai ang positi dan Maka olme kotak persegi panjang terbesar pada kadran I adala
V V Besar olme kotak persegi panjang terbesar ang dibatasi ole elipsoida 9 adala 8V 8 satan Halaman 8Carila nilai ekstrem dari: + 5 pada daera ang diberikan ole pertidaksamaan + Penelesaian : ; ; diperole titik kritis ait dititik seingga: 5 5 ; Kemdian kita akan mencari nilai di titik-titik ang terletak pada lingkaran Berikt adala gambar lingkaran + + - - - - - - - - - Untk seingga: 5 5 5
5 Untk seingga: 8 5 8 5 5 5 Dengan metode Pengali Lagrange diperole sebagai berikt: dengan g dengan g ; Seingga diperole persamaan: Dari dan maka diperole nilai -;kemdian kita akan mencari nilai-nilai di titik- titik ang terketak pada lingkaran + ; seingga ntk diperole 5 8 8 5 5 8 8 5 Jadi pada daera diperole nilai maimm dida titik ait ait seingga ma dan nilai nilai minimm di sat titik ait di seingga Halaman 9Plat baja berada di bidang- dan menempati persegi panjang 8 dengan dan dikr dalam meter S di titik di bidang adala T min
dengan T dikr dalam derajat Celcis S pada titik-titik ang berjarak sama dikr dan dicatat dalam tabel 8 8 5 5 55 5 5 8 8 98 8 8 5 8 9 9 8 8 5 9 9 9 8 8 a Taksir nilai trnan parsial T dan T Apa satanna? b Taksir nilai D T dengan i+j / Taksirkan asil Anda c Taksir nilai T Penelesaian : a T T T Lim ;Ambil T T Untk - T Untk T T 8 T T T T 8 T 8 8 seingga:
Seingga dengan mengambil nilai rata-ratana maka T 5 T T T Lim ; Ambil T T Untk - T Untk T T 8 8 5 T T T T T 5 8 5 seingga: Seingga denga mengambil nilai rata-ratana maka 5 5 T b T 5; seingga: D T 5; 5
c T T ntk T T ntk T ambil ata T T 8 T T 8 8 8 Dengan merata-rata asil di atas kita dapatkan 5 T 8 Gnakan kompter ntk membat graik permkaan + dan bidang singgngna serta garis normal di 5 pada laar sama Pili daera asal dan titik pandang seingga Anda memperole pandangan bags teradap ketiga objek tersebt Penelesaian : Halaman 9 Jika dengan / dan mempnai trnan parsial keda kontin perliatkan baa : Penelesaian : Bkti:
Maka
Seingga Jadi Terbkti Halaman 5 Pentagon dibentk dengan menempatkan segitiga sama kaki pada persegipanjang seperti diperliatkan dalam gambar Jika pentagon mempnai keliling tetap P carila panjang sisi pentagon ang memaksimmkan las pentagon Penelesaian : Ma : + Kendala :g + + P > θ
8 8 ; ; g g g Metode lagrange : g ; ; ;
p p p p
p p p p p p p p Halaman Selembar panjang lembaran baja ang dilapisi seng selebar inci ars ditekk menjadi bentk simetri dengan tiga sisi lrs ntk membat talang air Penampang melintang diperliatkan dalam gambar a Tentkan kran ang memngkinkan aliran maksimm dengan kata lain carila kran ang memberikan kemngkinan las penampang melintang maksimm b Apaka akan lebi baik ntk menekk baja menjadi talang air dengan penampang melintang setenga lingkaran daripada penampang melintang tiga-sisi? Penelesaian :
Misal : g : g g g Metode lagrange : Ma : Kendala :
dan a Las maksimm
9 8 8 b Jika membentk lingkaran : L 59 r Ternata asilna lebi dari las maksimm Jadi penampang melintang talang lebi baik dibentk legkng setenga lingkaran Halaman 9 Jika elips /a + /b mentpi lingkaran + berapaka nilai a dan b ang meminimmkan las elpis? Penelesaian : r r