Trihastuti Agustinah

Transkripsi

1 TE 9467 Teknik Nmerik Sistem Linear Trihastti Agstinah Bidang Stdi Teknik Sistem Pengatran Jrsan Teknik Elektro - FTI Institt Teknologi Seplh Nopember

2 O U T L I N E. Objektif. Teori. Contoh 4. Simplan 5. Latihan

3 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan Tjan Pembelajaran Mahasiswa mamp: ) mendeskripsikan rang hasilkali dalam beserta teorema yang menyertainya ) menghitng ektor ortogonal dan ortonormal melali proses Gram-Schmidt

4 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan Pendahlan Rang hasilkali dalam merpakan generalisasi dari konsep rang hasilkalidalam Eclidean. Selain berbeda dalam notasi yang dignakan konsep ini dignakan ntk mendapatkan basis ortonormal melali aplikasi proses Gram-Schmidt.

5 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan Hasikali-dalam (inner prodct) Hasilkali-dalam Eclidean: Notasi mm hasilkali-dalam: Aksioma: simetri +w w + w aditif k k homogenitas definit positif iff Contoh

6 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan Norma dan jarak Definisi norm ata panjang Eclidean ntk ektor ( n ): n Definisi jarak (distance) antara titik ( n ) dan ( n ): d ( ) ( ) + ( ) + + ( n n) Contoh

7 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan Hasilkali-dalam dibangkitkan oleh matriks Vektor [ n ] T dan [ n ] T (ekspresi dalam matriks n ) Matriks A dapat dibalik: karena T maka A A? (A) T A T A T A

8 Objektif Simplan Latihan Teori Contoh Hasilkali-dalam berbobot Hasilkali-dalam: dibangkitkan oleh matriks identitas n n I I ] [ A ] [ Hasilkali-dalam berbobot: Bkti. + dibangkitkan oleh matriks: +

9 Objektif Simplan Latihan Teori Contoh Hasilkali-dalam berbobot Secara mm hasilkali-dalam Eclidean berbobot w + w + + w n n n w n w w A merpakan hasilkali-dalam pada R n yang dibangkitkan oleh matriks

10 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan Sifat-sifat hasilkali-dalam Jika dan w adalah ektor di rang hasilkali-dalam dan skalar k +w + w k k w w w w w

11 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan Ortogonalitas Da ektor dan adalah ortogonal iff Teorema Phytagoras: + + Bkti. + ( + ) ( + ) + + +

12 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan Ortogonal dan Ortonormal Himpnan ektor ortogonal: himpnan ektor-ektor dalam rang hasilkali-dalam sema pasangan dari ektor berlainan dalam himpnan tersebt adalah ortogonal Ortonormal: himpnan ektor ortogonal tiap ektor dalam himpnan tersebt memiliki norma

13 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan Normalisasi Vektor dengan norma : Normalisasi: proses perkalian ektor tak-nol dengan kebalikan dari panjang ektor tersebt Bkti. Contoh

14 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan Koordinat relatif terhadap basis ortonormal Jika S { n } adalah basis ortonormal ntk rang hasilkali-dalam V dan adalah sebarang ektor dalam V maka n n koordinat relatif terhadap S Vektor koordinat relatif terhadap S () S ( n )

15 Objektif Simplan Latihan Teori Contoh Koordinat relatif terhadap basis ortogonal S { n }: basis ortogonal ntk rang ektor V Vektor sebagai kombinasi linear dari ektor basis ortogonal n n S n n n n n n n Normalisasi dari tiap ektor dalam S basis ortonormal Contoh 4

16 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan Teorema proyeksi Rms proyeksi w w + w proj W + proj W w W karena maka proj proj W W proj W proj W + ( proj W ) proj W W

17 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan Teorema proyeksi Misal W merpakan sbrang dimensi terbatas dari rang hasilkali dalam V ) Jika S { r } adalah basis ortonormal ntk W dan adalah sebarang ektor dalam V maka projw r r ) Jika S { r } adalah basis ortogonal ntk W dan adalah sebarang ektor dalam V maka proj r W r r

18 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan Proses Gram-Schmidt Proses ortogonalisasi: step-by-step Langkah : set Langkah : dapatkan ektor ortogonal terhadap hitng komponen ortogonal pada W W proj W proj W

19 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan Proses Gram-Schmidt Langkah : Bentk ektor ortogonal terhadap dan proj W W proj W Langkah ke-n: Contoh 5

20 Objektif Simplan Latihan Teori Contoh Dekomposisi QR Matriks A adalah matriks (m n) dengan ektor kolom Faktor dari A: A QR dengan Q adalah matriks m n dengan ektor kolom ortonormal R adalah matriks segitiga atas n n dapat dibalik bebas linear q q q q q q R??? Contoh 6

21 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan Contoh Misalkan ( ) dan ( ). Tnjkkan bahwa hasilkali-dalam Eclidean berbobot: + memenhi aksioma hasilkali-dalam.

22 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan Contoh Jawab: Jika w (w w ) maka +w ( + ) w + ( + ) w ( w + w )+( w + w ) w +w k (k ) + (k ) k( + ) k + + iff ( )

23 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan Contoh Vektor () dan () di R dapatkan norma dan jarak + d( ) ( ) + ( ) Hasilkali-dalam berbobot: + [()() + ()()] d( ) ( ) ( ) [()() + ( )( )] 5

24 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan Contoh Dapatkan basis ortonormal ntk ektor-ektor () () dan (-). Jawaban contoh ( ) Himpnan S { } adalah ortonormal karena

25 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan Contoh 4 Vektor () (-4/5/5) (/54/5). Bktikan S{ } merpakan basis ortonormal ntk R. Ekspresikan ektor ( ) sebagai kombinasi linear dari ektor-ektor dalam S Dapatkan ektor koordinat () S

26 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan Contoh 4 Basis ortonormal: ektor ortogonal dengan norma Hasilkali-dalam dan i : ; -/5; 7/5 Vektor sebagai kombinasi linear (/5) + (7/5) ( ) () /5(-4/5 /5) + 7/5 (/5 4/5) Vektor koordinat relatif terhadap S: () S ( ) ( -/5 7/5)

27 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan Contoh 5 Gnakan proses Gram-Schmidt ntk mentransformasi ektor basis () ( ) () ke dalam basis ortogonal { }; kemdian dapatkan basis ortonormal {q q q };

28 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan Contoh 5 Langkah : proj W () () Langkah : () proj W () ) ( Langkah : () Basis ortogonal:

29 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan Contoh 5 Norma dari dan : Basis ortonormal: 6 q q q () Basis ortogonal:

30 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan Contoh 6 Dapatkan dekomposisi QR ntk matriks berikt: A

31 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan Contoh 6 Vektor kolom dari matriks A: Basis ortonormal diperoleh dari proses Gram-Schmidt pada contoh 4: q q q

32 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan Contoh 6 Matriks R Dekomposisi QR 6 6 q q q q q q R R Q A

33 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan Rang hasilkali dalam Rang hasilkali dalam merpakan perlasan konsep dari rang hasilkali-dalam Eclidean Ortonormal dibentk dari himpnan ektor ortogonal dengan tiap ektor dalam himpnan tersebt memiliki norma Proses Gram-Schmidt dignakan ntk mendapatkan basis ortogonal dari sebarang basis ntk rang hasilkali dalam dimensi terbatas

34 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan. Soal Latihan ) Dapatkan basis ortonormal dari { } dengan menggnakan proses Gram-Schmidt ntk ( ) (- ) dan ( ). ) Misalkan merpakan hasilkali-dalam Eclidean pada R dan misal ektor ( -) (4 5) w (- 6). a) Dapatkan + w. b) Bila hasilkali-dalam dibah menjadi hasilkali-dalam berbobot dapatkan + w.

35 Objektif Teori Contoh Simplan Latihan