BAB III METODE ELEMEN HINGGA. Gambar 3. 1 Tegangan-tegangan elemen kubus dalam koordinat lokal (SAP Manual) (3.1)

Transkripsi

1 5 BAB III MTOD LMN HINGGA 3. Tegangan Tegangan adalah gaa per nit area pada sat material sebagai reaksi akibat gaa lar ang dibebankan pada strktr. Pada Gambar 3.. diperlihatkan elemen kbs dalam koordiant kartesian. Permkaan kbs adalah sebagai objek ntk memperlihatkan ector tegangan ang berisikan komponen normal ang tegak lrs permkaan dan da tegangan geser ang meleati permkaan, ang membentk sdt sik-sik sat dengan ang lainna. Selrh elemen kbs memiliki tiga tegangan normal (s, s, s33) ata (,, ) dalam koordinat global dan enam tegangan geser (s, s3, s3, s3, s3, s) ata (,,,,, ) bila dinatakan dalam koordinat global. Gambar 3. Tegangan-tegangan elemen kbs dalam koordinat lokal (SAP Manal) Kesembilan komponen tegangan tesebt dapat disatkan dalam bentk tensor tegangan: T (3.) alasi distribsi tegangan

2 6 lemen kbs berada dalam keadaan keseimbangan statis, oleh karena it jmlah momen pada jng-jngna harslah nol, jadi: (3.) Persamaan diatas hana berlak jika tidak ada kopel, aspek termal atapn fenomena ang lain. State of stress sekarang ditlis hana dalam enam tegangan dan tendsor tegangan ditlis dalam bentk sederhana: sm T (3.3) Pada kenataana tegangan ang terjadi pada end block menebar secara radial tiga dimensi. Tegangan ang terbentk berpa tegangan radial dan tangensial dalam koordiant polar. Namn begit tegangan tersebt dapat dikonersi dalam bentk tegangan transersal dan longitdinal dalam koordinat kartesian. Tegangan ang terjadi pada end block sangat rmit ntk diformlasikan secara matematis. Untk melacak tegangan ang terjadi pada endblock dapat dilakkan dengan metode elemen hingga. Metode elemen hingga (finite element method) adalah prosedr nmerik ntk menelesaikan masalah mekanika kontinm dengan tingak ketelitian ang dapat diandalkan. Dengan metode ini nilai tegangan pada tiap-tiap titik nodal ang terbentk melali proses meshing pada strktr dapat diketahi dengan memformlasikan perpindahan, dan regangan serta korelasina dengan tegangan. 3. Respon Terhadap Tegangan 3.. Hbngan Perpindahan dan Regangan Hbngan antara perpindahan dan regangan merpakan hal ang sangat penting dalam pembentkan elemen. Ketika sat elemen menerima gaa, elemen kecil tersebt mengalami deformasi, perpindahan ang terjadi dinatakan dalam ector (,, ) ang setia titik mempnai keddkan sendiri dalam ektor. alasi distribsi tegangan

3 alasi distribsi tegangan 7 Ketika da titik berada dalam elemen kecil terttp, perpindahan titik tersebt ditliskan dalam bentk diferensial: d d d d (3.4) d d d d (3.5) d d d d (3.6) Persamaan tersebt dapat ditlis dalam bentk ektorial: { } { } dr Te da (3.7) Dimana {da} dan {dr} adalah komponen-komponen (d, d, d) dan (d, d, d) bertrt-trt dan Te adalah tensor ang didefinisikan dengan Te (3.8) Tensor dapat dibagi kedalam tiga komponen tensor: '' Te' Te " Te' Te (3.9) Dimana: Te ' (3.) " Te (3.)

4 alasi distribsi tegangan 8 dan, " Te (3.) Pada gambar (3.) memperlihatkan deformasi pada elemen segi empat ang merpakan proeksi dari elemen kbs pada bidang - (hal ang sama dapat dilakakan pada bidang - dan -). Perbahan total elemen dapat dibagi kedalam tiga komponen, da diantarana memperlihatkan da bentk deformasi dan ang ketiga adalah perbahan posisi tanpa adana deformasi (rotasi). Gambar 3. Deformasi elemen segi empat hasil proeksi kbs pada bidang - (Popo, 989) Dalam penelidikan tiga tensor, dapat dilihat ciri masing-masing tensor dengan perbahan. Tensor Te dan Te mennjkan adana deformasi pada sebah elemen dan tensor Te memperlihatkan adana rotasi. Pembahasa ini akan ditekankan hana pada regangan dan deformasi terhadap elemen, ntk tensor Te diabaaikan, dan perhatian nag lebih jah akan diarahkana pada tensor Te dan Te.

5 alasi distribsi tegangan 9 Gambar Deformasi geser pada sat titik (Popo, 989) Apabila da tensor deformasi disatkan menjadi: Te " Te' Te (3.3) jadi : Te (3.4) Untk menederhanakan persamaan (3.4), dapat ditlis dengan e (3.5a) e (3.5b) e (3.5c) e (3.6a) e (3.6b)

6 3 e (3.6c) Untk standar Teknik smbol-simbol pada persamaan-persamaan diatas dapat ditis sebagai berikt: dan: e e e e Sehingga persamaan menjadi: e e (3.7) (3.8) Te (3.9) komponen-komponen,, dan adalah regangan normal, sedangkan, dan merpakan regangan geser. 3.. Hbngan Tegangan dan Regangan Hbngan antara tegangan dan regangan merpakan hal ang sangat penting dalam pembentkan elemen. Ketika sat elemen menerima gaa, elemen kecil it mengalami deformasi, ang masing-masing titik memiliki keddkan sendiri dalam ektor. Ketika da titik berada dalam elemen kecil terttp, perpindahan titik it dapat ditliskan dalam bentk persamaan differensial. Hbngan antara komponen tegangan dan komponen regangan pada kondisi elastis dikenal dengan hkm Hook: (.a) Dimana: Komponen regangan pada smb alasi distribsi tegangan

7 3 komponen tegangan pada smb Modls elastisitas Perpanjangan elemen ini dalam arah diikti dengan kontraksi melintang (pengecilan) sebesar: (3.b) (3.c) Dimana adalah poisson ratio. Apabila elemen diatas mengalami kerja tegagan normal,, secara serempak dan terbagi rata disepanjang sisina, berdasarkan percobaan ang dapat dibktikan baha ntk material isotropik dan linear elastik, hbngan antara tegangan dan regangan dapat diatakan dengan: [ ( )] (3.a) [ ( )] [ ( )] (3.b) (3.c) ( ) (3.a) G ( ) (3.b) G ( ) (3.c) G Dimana G adalah modls geser ang besarna adalah; G (3.3) ( ) Persamaan-persamanan tersebt diatas dapat dignakan ntk mendapatkan komponen-komponen tegangan sebagai fngsi regangan, ait sebagai berikt: alasi distribsi tegangan

8 3 ( )( ) [( ) ( )] [ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) [( ) ( )] (3.4a) (3.4b) (3.4c) G (3.5a) G (3.5b) G (3.5c) Untk kass khss dimana smb,, berimpit dengan smb tama,,3, persamanan tersebt dapat disederhanakan dengan menganggp sema tegangan geser sama dengan nol dan 3, sehingga persamaan menjadi; (3.6a) ( ) (3.6b) ( ) (3.6c) ( ) 3 Untk menelesaikan persamanan.3 dalam kass 3 persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi: 3 ( ) (3.7) Persamaan terakhir ini dapat disbtitsikan kedalam persamaan.3 sehingga didapatkan: ( ) ( ) (3.8a) (3.8b) 3 (3.8c) alasi distribsi tegangan

9 alasi distribsi tegangan 33 Untk pembahasan dalam metode elemen hingga, hokm hooke selanjtna ditlis kedalam bentk matri: ( ) ( ) ( ) t (3.9) Inerse dari matri tersebt adalah (3.3) Disederhanakan menjadi: { } [ ]{} D (3.3) Dimana{ } dan{ } adalah ector ntk tegangan dna regangan. Matriks [ ] D, merpakan matrik kekakan:

10 alasi distribsi tegangan 34 [ ] D (3.3) Dalam metode elemen hingga, persamaan diatas merpakan dasar analis ntk tegangan 3 dimensi. Untk elemen dimensi komponen dalam smb dapat diabaikan, dengan pertimbangan maka teganganna dapat diasmsikan: (3.33) dengan demikian, maka: ( ) (3.34) ( ) (3.35) ( ) (3.35) Matri ang memperihatkan hokm hooks menjadi; ( ) t (3.36) Inerse dari matri tersebt adalah; ( ) (3.37) Dimana matriks kekakan menjadi:

11 alasi distribsi tegangan 35 [ ] ( ) D (3.38) Untk plat ang sangat tebal, deformasi diasmsikan terjadi hana dalam arah smb dan dan kassna menjadi kass regangan bidang. Karena batas dari tipis dan tebal tidak jelas dan teori lebih mengandalkan pada pendekatan praktis, sehingga: (3.39) Tegangan tidak nol, dengan mengikti persamaan (3.4c). Dari hbngan tegangan dan regangan, persamaan (.3) dapat dirbah dalam bentk: (3.4) Matriks bidang elastikna sama dengan: (3.4) 3.3 Konsentrasi Tegangan Berdasarkan formalasi hkm hook ang ang telah diraikan sebelmna, terlihat baha tegangan-tegangan selal disertai dengan deformasi. Bila deformasi tersebt terjadi pada elemen ang berdampingan dengan tingkat keseragaman ang sama, maka pada bahan-bahan ang isotropik tidak akan kita dapati tegangan-tegangan tambahan selain ang diberikan oleh persamaan diatas. Tetapi bila keseragaman dari las ang sangat kecil, maka sat ganggan pada tegangan dapt terjadi. Hal ini terjadi karena pada kenataana stats deformasi

12 36 deformasi pada elemen-elemen ang berbatasan hars kontin secara fisis. Deformasi tersebt harslah merentang dan mencit dengan jmlah ang sama dari sema partikel-partikel ang teretak pada sebelha menebelah perbatasan deformasi-deformasi ang dihasilkan oleh deformsai perpanjangan dan geser, hal ini menangkt sifat-sifat bahan, G, serta gaa-gaa terpkai. Metoda ntk mendapatkan distribsi tegangan dibahas dalam teori kekenalan matematis. Bahkan dengan metode-metode tingkat lanjt tersebt hana ntk keadaan ang sederhana ang dapat diselesaikan. Keskarankeskaran matematis akan menjadi lebih besar bila menelesaikan berbagai soal penting praktis. Untk kondisi ang ckp rmit prosedr-prosedr pendekatan nmerik ang dirmskan berdasarkan elemen berhingga ata persamaanpersamaan ang berbeda hingga adalah sangat las dipergnakan dalam penelesaian-penelesaian ang rmit. Untk mendapatkan distribsi tegangan ang sesngghna telah dikembangkan Teknik eksperimental khss seperti fotoelastisitas. Pada endblock dengan menganalogikan sebagai blok pendek ang dikenakan gaa terpsat P. Secara kalitatif jelas baha regangan harslah maksimm disekitar gaa terpakai, karena tegangan ang bersangktan pn maksimm. Hal ini tentlah jaaban ang diberikan oleh teori elastisitas. Dapat diperhatikan baha pncak dari tegangan normal pada sst irisan ang dekat letakna dengan gaa terpakai, dan bagaimana cepatna pncak ini merata menjadi sat distribsi tegangan ang hamper sama pada irisan baah dengan lebar blok tersebt. Gambaran ini dikenal dengan asas St. Venant dari penebaran cepat tegangan ang terlokalisasi. Asas ini menatakan baha efek gaa ata tegangan ang bekerja pada las ang kecil, boleh diperlakkan sat sitem setara statis pada jarak selebar ata setebal benda, sehingga menebabkan distribsi tegangan dapat mengikti hkm ang sederhana. Karena besarna keskarana ang hars diatasi ntk menelesaikan tegangan local tersebt, maka dalam praktek dikembangakan sat skema ang tepat. Skema ini secara sederhana terdiri dari perhitngan tegangan dengan persamaan- alasi distribsi tegangan

13 37 persamaan elementer dan kemdian mengalikan tegangan ang telah dihitng dengan angka ang disebt faktor konsentrasi tegangan (K). Harga factor konsentrasi tegangan tergantng pada perbandingan geometris dari bagian bangnan. Faktor ini dapat diperoleh dalam bentk table dan grafik. 3.4 Teori Kegagalan Kriteria kegagalan dimaksdkan ntk memprediksi ata ntk memperkirakan kernthan/leleh dari sat bagian strktr. Ada berbagai teori ang dignakan. Namn, ang paling banak dignakan dan diji penerapanna ntk material isotropik.teori-teori ini, tergantng dari kondisi alami bahan (getas ata dctile), berikt disajikan dalam table. Tabel 3.. Tipe Material dan Teori Kegagalan ang Dignakan Tipe Material Dctile Brittle Teori Kegagalan Tegangan geser maimm, Teori Von Mises Tegangan normal maimm, Teori Mohr mpat kriteria tersebt disajikan dalam bentk tegangan tama. Oleh karena it, sema tegangan hars ditransformasikan dalam tegangan tama sebelm diterapkan dalam kriteria kernthan. Berikt ini adalah hal-hal ang perl diperhatikan:. Untk menentkan apakah material tersebt getas ata dctile dapat menjadi sat ang sbjektif, karena sering tergantng pada sh, tingkat regangan, dan kondisi lingkngan. Sehigga, 5 % dari kriteria perpanjangan pada saat pts adalah ang dapat membatasina. Bahan dengan elongasi ang lebih besar dapat dianggap sebagai material dctile. Perbedaan lainna antara kat tekan material brittle biasana lebih besar dari kat tarikna. alasi distribsi tegangan

14 38. Sema kriteria kernthan tergantng pada pengjian dasar (seperti tari niaial dan/ata kat tekan), alpn kebanakan dari elemen strktr menalami pembebanan ang mltiaial. Perbedan ini biasana terkait dengan biaa karena pengjian kernthan dengan beban mltiaial lebih las, rmit dan mahal Kriteria Tegangan Geser Maimm Teori tegangan geser maksimm merpakan hasil pengamatan dalam bahan ang liat, gelincir ang terjadi selama pellhan sepanjang bidang ang berorientasi secara kritis. Hal ini memberi kesan baha tegangan geser maksismm memainakan peranan knci dan pellhan (ielding) bahan tersebt tergantng hana kepada tegangan geser maksimm ang dicapai dalam sebah elemen. Karena it pada saat harga kritis tertent cr dicapai, maka pellhan dalam sat elemen mlai terjadi. Untk bahan tertent harga ini dibat sama dengan tegangan geser llh dalam pengarh tarik ata tekan sederhana. Jadi bila ± dan, maka: p ma cr ± (3.) ang berarti baha bila p ait tegangan titik llh kita peroleh, maka tegangan geser ang bersangktan adalah setengahna. Kesimplan ini dapat pla diambil dengan mdah dari lingkaran tegangan mohr. Untk menggnakan criteria tegangan geser maksimm pada stats tegangan biaksial, mla-mla hars ditentkan tegangan geser maksimm tersebt barlah disamakan dengan ma ang diberikan oleh persamaan diatas. Dengan menatakan tegangan geser maksismm ntk stats tegangan geser maksimm ntk stats tegangan ang diberikan dalam bentk tegangan tama, sehingga kriteria llh dapat dapat dirmskan sebagai berikt: p dan p (3.) p (3.3) alasi distribsi tegangan

15 39 Persamaan 3. hana berlak bila dan mempnai tanda ang sama, sedangkan persamaan 3.3 berlak hana bila dan mempnai tanda ang berlaanan. Dalam kass smb ganda, bila tegangan-tegangan tama mempnai tanda ang sama, maka tegangan geser maksimm diperoleh dengan meninja elemen sepanjang smb tegangan ang lebih kecil, ntk tegangan tama ang berlaanan tanda, maka tegangan geser terbesar diberikan oleh ( - )/. Dengan meninja dan sebagai koordinat sebah titik dalam rangan tegangan -, maka persamaan-persamaan tersebt menentkan pembatasan segi enam gambar 3.. Tegangan ang berada pada segienam ini mennjkan tidak ada pellhan bahan ang terjadi, ang berarti bahan tersebt bersifat elastis. Stats tegangan ang berhbngan dengan titik ang terdapat pada segienam memperlihatkan baha bahan tersebt dalam keadaan mellh. Tidak ada titik-titik ang berada di lar segienam. Gambar 3. 4 Kriteria llh berdasarkan tegangan geser maksimm (Popo, 989) 3.4. Teori Distorsi nergi/teori Von Mises Kriteria lain mengenai pellhan bahan liat ang isotropik, ang diterima secara las ialah ang berdasarkan konsep energi. Dalam pendekatan ini, energi elastis total dibagi kedalam da bagian: sat ang berhbangan dengan alasi distribsi tegangan

16 4 perbahan olmetrik bahan, sedang ang lain menamakan energi distorsi geser pada titik llh dalam pengarh tegangan tarik sederhana dengan ang dibaah pengarh tegangan gabngan, kita dapat membat kriteria llh ntk tegangan gabngan. Kita dapat melihat baha sarat llh ntk bahan plastis secara idel dibaah stats tegangan triaksial dapat kita peroleh dalam bentk tegangan tama sebagi: ( ) ( ) ( ) (3.4) 3 3 p Untk tegangan bidang 3, maka persamaan 3.4 menjadi: p p p p (3.5) ini merpakan persamaan sebah elips, ang dapat digambarkan pada gambar 3.. Tegangan ang terletak dalam elips mennjkan baha bahan bersifat secara kenal. Titik-titik pada elips mennjkan baha bahan dalam keadaan mellh. Ini merpakan penafsiran ang sama dengan teori tegangan geser maksimm. Pada saat tanpa pembebanan bahan tersebt bersifat secara elastis. Gambar 3. 5 Kriteria llh berdasarkan energi distorsi maksimm (Popo, 989) Adalah penting ntk diperhatikan baha teori ini tidak memperkirakan perbahan tanggapan bahan tersebt bila ditambahkan tegangan tarik dan tekan hidrolis. Ini melihat kenataab baha berhbng hana perbedaan tegangan ang terkait pada persamaan 3.4, maka penambahan tegangan konstan masing-masing alasi distribsi tegangan

17 4 tidak mempengarhi sarat llh. Untk alasan ini dalam rang tiga dimensi, dengan smbna adalah sama dengan / 3. Silinder ang demikian dapat dilihat pada gambar 3.3. lips pada gambar 3. hanalah perpotongan silinder dengan bidang -. Kita dapat pla melihat baha permkaan llh ntk kriteria tegangan geser maksimm adalah sebah segienam ang sesai dimaskan kedalam tabng seperi gambar 3.3. Sarat llh ang dingkapakan pada persamaan 3.4. dapat dilihat sebagai inariant tegangan ang lain. Ini jga merpakan sat fngsi ang kontin. Gambaran ini membat penggnaan dari hokm pellhan plastis ini ntk tegangan gabngan menarik dari sdt pandang teoritis. Gambar 3. 6 Permkaan llh ntk stats tegangan tiga dimensi (Popo, 989) alasi distribsi tegangan

18 4 BAB III... 5 MTOD LMN HINGGA Tegangan Respon Terhadap Tegangan Hbngan Perpindahan dan Regangan Hbngan Tegangan dan Regangan Konsentrasi Tegangan Teori Kegagalan Kriteria Tegangan Geser Maimm Teori Distorsi nergi/teori Von Mises Gambar 3. Tegangan-tegangan elemen kbs dalam koordinat lokal... 5 Gambar 3. Deformasi elemen segi empat, proeksi kbs pada bidang Gambar 3. 3 Deformasi geser pada sat titik... 9 Gambar 3. 4 Kriteria llh berdasarkan tegangan geser maksimm Gambar 3. 5 Kriteria llh berdasarkan energi distorsi maksimm... 4 Gambar 3. 5 Permkaan llh ntk stats tegangan tiga dimensi... 4 Tabel 3.. Tipe Material dan Teori Kegagalan ang Dignakan alasi distribsi tegangan