BAB 2. TURUNAN PARSIAL

Transkripsi

1 BAB TURUNAN PARSIAL PENDAHULUAN Pada bagian ini akan dilajari rlasan kons trnan ngsi sat bah k trnan ngsi da bah ata lbih Stlah mmlajari bab ini anda akan daat: - Mnntkan trnan arsial ngsi da bah ata lbih - Mnntkan dirnsial total ngsi da bah ata lbih - Mnmkan hamiran linir rsamaaan garis normal dan bidang singgng kra - Mnmkan trnan brarah - Mnggnakan jacobian ntk mnntkan trnan ngsi TURUNAN Pada kalkls bila dinai sbagai ngsi dari sat ariabl maka trnan rtama ngsi hana trhada dinotasikan sbagai: ' ' Bila kita mmnai ngsi dari da ariabl maka trnan rtama ngsi daat kita cari ntk kda ariabl trsbt Masing-masing disbt sbagai trnan arsial Dinisi : Jika ngsi da bah dan maka: i Trnan arsial trhada dinotasikan dngan didinisikan sbagai ata 5

2 6 lim ii Trnan arsial trhada dinotasikan dngan ata didinisikan sbagai lim Contoh : Tntkan trnan arsial trhada dan trnan arsial trhada ngsi ang dirmskan dngan Slanjtna tntkan trnan arsial trhada dan trnan arsial trhada di titik Pnlsaian: lim lim lim lim lim lim

3 lim Shingga trnan arsial trhada di titik adalah 5 dan trnan arsial trhada di titik adalah 5 Untk slanjtna dalam mnntkan trnan arsial dari ngsi da bah maka daat dilakkan hal brikt - Jika ditrnkan trhada bah maka diangga tta/konstanta - Jika ditrnkan trhada bah maka diangga tta/konstanta Contoh : Tntkan trnan arsial trhada dan trnan arsial trhada ngsi ang dirmskan dngan 4 4 Pnlsaian:

4 8 Trnan Parsial tingkat tinggi Trnan ngsi biasana masih bra ngsi ang daat ditrnkan lagi Jadi dari sat ngsi kita daat mncari trnan tingkat sat trnan tingkat da dan strsna Trnan tingkat da dinotasikan sbagai brikt: Contoh : Tntkan sma trnan arsial ordr da dari w 5 Pnlsaian: w w w w 6 w w

5 w w w w Contoh 4: Diktahi ngsi Carilah Pnlsaian: LATIHAN : Tntkan trnan arsial rtama dari - cos ln 4 sin 5 arctan t t

6 6 w ln Tntkan sma trnan kda dari 7 8 cos cos 9 log a b ATURAN RANTAI Atran rantai ada ngsi da bah mrakan lasan dari atran rantai ada ngsi sat bah Misalkan dimana g dan h maka Contoh 5: Jika dngan 7 dan 5 Carilah dan Misal ngsi dari dan w dngan dan w ngsi-ngsi kontin da bah dan w w ang mmnai trnan arsial rtama dan sma trnan arsial rtama ngsi kontin maka:

7 w w dan w w Contoh 6 : Jika dan r cos θ r sin θ tnjkkan bahwa r r Pnlsaian r cos θ r sin θ r r r r cos sin sin cos dirolh r r r sin cos t sin cos Scara sama r r cos sin r r cos sin Dngan dmikian trbkti bahwa r r

8 Latihan Jika Gw w w dngan dan w / G G Carilah dan Jika 4 dngan sin ktika t Jika cos 4 4 Jika w 5 Jika Tntkan s 4 5 t dan t t sin 4 t dngan rs t dan cost Tntkan d dt Tntkan d t dt t dw t dan cos t Tntkan dt ktika r s dan t 6 Jika g s t s t t s t rs dan r ssin t dan trdirnsial tnjkkan bahwa g g t s s t 7 Jika r s dngan cos r t dan s sint Tntkan dan t 8 Jika dan r s t tnjkkan bahwa

9 9 Jika tnjkkan 4 TURUNAN UNGSI IMPLISIT Slain ngsi kslisit kita jga mngnal bntk ngsi imlisit ngsi imlisit da ariabl dilambangkan dngan Dalam mncari trnan arsial trhada atan trhada dari ngsi imlicit ini diknal da mtod ait: a Cara langsng Trnan arsial trhada Prsamaan ang ada brtrt-trt ditrnkan trhada dan dngan mnggangga ariabl sbagai konstanta Khss ktika ditrnkan trhada hasilna slal dikalikan dngan Trnan arsial trhada Prsamaan ang ada brtrt-trt ditrnkan trhada dan dngan mnggangga ariabl sbagai konstanta Khss ktika ditrnkan trhada hasilna slal dikalikan dngan

10 b Cara tidak langsng Dalam cara tidak langsng rtama-tama rsamaan ditrnkan trhada dirolh kmdian ditrnkan trhada dirolh dan trakhir ditrnkan trhada dirolh Contoh 7: Slanjtna dihitng: dan Misal dinai ngsi imlisit sin Carilah trnan arsial rtama trhada dan Pnlsaian: a Cara langsng Untk ngsi diatas dirolh: cos cos cos cos cos cos Dngan cara ang sama dirolh: sin cos 4

11 cos cos a Cara Tidak Langsng cos dan cos Dirolh: LATIHAN 4 : cos dan cos Carilah trnan rtama dari ngsi-ngsi brikt ini: cos cos 4 5 sin cos 6 7 sin 5 BIDANG SINGGUNG DAN HAMPIRAN LINIER 5

12 Bidang Singgng Misalkan sat rmkaan mmnai rsamaan dan mmnai trnan arsial rtama ang kontin maka rsamaan bidang singng ada rmkaan di titik P dinatakan olh: Prsamaan bidang singgng ini adalah linirisasi dari sat rmkaan Contoh 8 : Tntkan rsamaan bidang singgng trhada araboloid litik di titik Pnlsaian : Dalam hal ini shingga 4 ; 4 ; Maka rsamaan bidang singgng di titik adalah 4 ata 4 Hamiran Linir Prhatikan bahwa samaan bidang singgng ada sat rmkaan di titik dinatakan olh Dngan mmrhatikan bahwa dirolh 6

13 ang mrakan linirisasai rmkaan di titik ngsi di ras kanan rsamaan ini mrakan linirisasi dari di titik dan biasa ditlis dngan Dalam hal ini ngsi mrakan ngsi ang trdirnsial di ait ngsi ang trnan arsialna dan ada di skitar dan kontin di Contoh 9 : Tnjkkan bahwa ngsi trdirnsial di titik 4 dan carilah hamiran linirna di titik trsbt kmdian gnakan hasilna ntk mndkati nilai Pnlsaian: Trnan arsialna adalah Jlas bahwa dan ada di skitar dan kontin di jadi trdirnsial di 4 Linirisasina adalah Jadi shingga Bandingkan ini dngan nilai sbnarna 7

14 Untk ngsi tiga bah maka ndkatan linir di titik P dinatakan dngan: L Dirnsial Ingat kmbali ntk ngsi sat bah dirnsial dari didinisikan dngan d ' d Prbdaan antara d dan daat dilihat ada ilstrasi gambar brikt Slanjtna rhatikan ngsi da bah Dirnsial dari ditlis d didinisikan dngan d d d Dirnsial dari sring dinotasikan dngan d sring disbt jga dngan Dirnsial Total 8

15 Contoh : Jika tntkan dirnsial d dan gnakan ntk mmrkirakan rbahan jika brbah dari k 596 Bandingkan d dngan Pnlsaian : d d d Disisi lain Prhatikan bahwa rbahan adalah 68 Sdangkan rkiraanna rbahan trsbt mnggnakan dirnsial adalah 7 Dngan 9

16 dmikian trdaat ksalahan rror sbsar d Contoh : Gnakan dirnsial ntk mmrkirakan nilai 7 Pnlsaian: Yang kita tah adalah 5 5 Kita bntk ngsi / / Akan dilihat knaikan jika trjadi rbahn dari 5 k 7 Dirnsial adalah d d d dirolh d / / / / d dngan mmaskkan 5 d d maka d / / / / 5 Dngan dmikian dirolh 5 d

17 LATIHAN 5 Tnjkkan bahwa trdirnsial di dan tmkan ndkatan linir di titik trsbt Slanjtna gnakan ntk mndkati nilai Tntkan ndkatan linir dari di 4 kmdian gnakan ntk mndkati nilai!!" Gnakan dirnsial ntk mnghamiri nilai Tntkan rbahan olm ang trjadi jika kran tinggi tabng brbah dari cm mnjadi cm dan jari-jarina trn dari 6 cm mnjadi 58 cm 6 TURUNAN BERARAH Th Dirctional Driati Ingat kmbali bahwa a b a b Laj rbahan di titik a b dalam arah a b Laj rbahan a b di titik a b dalam arah Slanjtna akan ditntkan laj rbahan dalam arah smbarang Misalkan < a b > adalah ktor satan nit ktor ait ktor dngan anjang sat ada bidang - ang mnnjkkan arah rbahan Maka didinisikan trnan brarah: Dinisi : Trnan brarah Trnan brarah dari ngsi dalam arah ktor satan < a b > dinatakan dngan D didinisikan sbagai brikt:

18 D a b Laj rbahan dalam arah Laj rbahan dalam D Laj rbahan arah dalam arah θ < a b > Dalam dinisi ini : Scara Gomtri trnan brarah dignakan ntk mnghitng gradint dari rmkaan ait ntk mnghitng gradint rmkaan di titik dngan Dngan dmikian : Gradin dari rmkaan di titik dalam arah ktor satan # $%& 'adalah D a b Vktor < a b > hars mrakan ktor satan Jika akan ditntkan trnan brarah dari sat ngsi dalam arah ktor dan bkan ktor satan maka dicari ktor satan ang sarah dngan ktor ait

19 Arah ktor satan daat dinatakan dalam bntk sdt θ sdt antaraktor dan smb Dalam hal ini < cos sin > rhatikan bahwa adalah ktor satan karna cos sin dngan D dan trnan brarah daat dinatakan cosθ sinθ 4 Trnan brarah mnatakan laj rbahan ngsi dalam arah ktor satan Contoh : Tntkan trnan brarah dari 4 6 di π titik dalam arah ktor satan ang mmbntk sdt θ Pnlsaian: Contoh : Tntkan trnan brarah dari ngsi titik - -4 dalam arah ktor i j 4 6 di Pnlsaian: Trnan arsial adalah 4 6 ; 4 Vktor bkan ktor satan dan ktor satan ang sarah dngan ktor adalah -i j -i j 4 9 Jadi trnan brarah dalam arah ktor satan adalah

20 4 6 4 Trnan brarah di titik adalah Gradin ngsi Dibrikan ngsi da bah ktor gradin dinatakan dngan adalah ktor di bidang - ang dinatakan dngan Catatan i j Trnan brarah ngsi dalam arah ktor satan < a b > daat ditliskan dalam bntk dot rodct ait D < i a j ai bj > < a b > b Vktor gradin mnnjkkan arah rbahan maksimm dari rmkaan Panjang ktor gradin adalah nilai maksimm dari trnan brarah ait laj rbahan maksimm dari Jadi Nilai maksimm trnan brarah adalah Sdangkan adalah nilai minimm trnan brarah Contoh 4: Dibrikan ngsi cos a Tntkan gradint 4

21 b Tntkan gradin di titik P π c Gnakan gradint ntk mnntkan trnan brarah dalam arah ktor 4 < > kmdian tntkan laj rbahan di P dalam arah 5 5 ktor d Tntkan laj rbahan maksimmna di P dan dalam arah manakah saat rbahan it trjadi Trnan brarah dan gradin ntk ngsi bah Trnan brarah ngsi bah dalam arah ktor satan < a b c > dinatakan dngan didinisikan dngan: D a b c Vktor gradint dinatakan sbagai D i j k Contoh 5: Tntkan gradin dan trnan brarah dari 5 di P 4 dalam arah dari titik P k titik Q- Pnlsaian: Trlbih dahl dicari trnan arsial trhada and ait Dirolh gradin: 5

22 i j k i j k Shingga gradint di titik P 4 adalah 4 4 i 4 j k i j k < > Slanjtna ntk mncari trnan brarah rtama ditntkan ktor satan ang sarah dngan ktor dari titik P 4 k titik Q- Prhatikan bahwa ktor PQ < 4 >< 4 > dan bkan ktor satan Vktor satan ang sarah dngan ktor adalah 4 ** < 4 >< < 4 > 4 > Dngan dmikian dirolh trnan brarah di titik P4 ang sarah dngan ktor satan D 4 4 < > < 4 >

23 Contoh 6: Tntkan laj rbahan maksimm dari ngsi 5 di titik 4 dan arah saat rbahan it trjadi Garis Normal trhada Prmkaan Prhatikan kmbali bahwa graik ngsi akan bra lasan rmkaan di rang D Slanjtna rsamaan daat kita tlis dalam bntk Slanjtna misalkan titik ada rmkaan maka gradin di titik trsbt ait i j k mrakan ktor orthogonal normal trhada rmkaan 7

24 Contoh 7 : Tntkan ktor normal satan trhada rmkaan 4 di titik Pnlsaian : Prmkaan 4 daat dinatakan sbagai 4 Maka ktor normal trhada rmkaan trsbt adalah i 4 j i j k 4 k 4 Di i 4 j 4k Jadi ktor normal satan trhada rmkaan adalah i 4 j 4k 6 i j k 8

25 Bidang Singgng Mnggnakan gradin kita daat mnmkan rsamaan bidang singgng dan garis normal trhada rmkaan rmkaan Untk mmrolh rsamaan bidang dirlkan titik ada bidang trsbt dan sbah ktor normal Karna < > mnatakan ktor normal trhada rmkaan dan bidang singgng Komonn-komonnna daat dignakan dalam mnntkan rsamaan bidang singgng di titik Prsamaan bidang singgng dinatakan dalam: 9

26 4 Prsamaan aramtr ntk garis normal di titik dinatakan dngan t t t ata Contoh 8: Carilah rsamaan bidang singgng dan garis normal trhada rmkaan di titik Pnlsaian: Prhatikan bahwa daat ditlis sbagai ata Slanjtna akan dicari ktor gradint di titik Dngan mngingat ktor gradint di titik k j i rtama kita cari trnan arsialna ait di titik dirolh

27 Shingga ktor gradin di titik adalah i j k j k dan Slanjtna akan dicari rsamaan garis singgng Di titik dirolh ata ata ata 4

28 Ata ini adalah bidang siggng Sdangkan rsamaan garis normalna t t t dngan dirolh dan Jadi rsamaan garis normalna adalah ata t t t t t Dngan mnlsaikan ntk t dirolh rsamaan garis normal / / LATIHAN 6 Tntkan trnan brarah dari dalam arah ctor < 5 > 4 di titik 4

29 Jika tntkan laj rbahan di titik P dalam arah dari P k titik Q Misalkan sh di titik dalam rang dibrikan olh 8 T dngan T dikr dalam drajar Clsis dan dalam mtr Dalam arah manakah sh naik trcat di titik? Tntkan laj rbahan maksimmna! 4 Tntkan ktor normal satan trhada rmkaan 9 di titik 5 Carilah rsamaan bidang singgng dan garis normal trhada rmkaan 4arctan di titik π 6 Carilah rsamaan bidang singgng dan garis normal trhada rmkaan 9 di titik 7 JACOBIANS Pada bagian ini akan dibahas tntang Jacobian Jacobian nantina akan sangat brmanaat ktika kita brbicara mngnai intgral liat khssna dalam nggantian ariabl Jika g dan h trdirnsial maka Jacobian dan ang brssaian dngan trhada dan dinatakan dngan didinisikan sbagai 4

30 Jika g w h w j w trdirnsialmaka Jacobian ang dirolh dari transormasi dari darah U di rang w k darah W dalam rang didinisikan sbagai w w w w w sring ditlis dngan J w Siat : Jika J dan J Maka JJ Bkti : MIsalkan dan Slanjtna kita daat mnlsaikan dalam dan shingga dirolh dan dirolh d d d dan d d d 44

31 45 Dngan dmikian didaatkan dan shingga Dirolh JJ Dngan mngingat AB B A dirolh JJ Siat Jika # #- dan - dan - - maka

32 46 Bkti Karna dan ngsi dari dan maka d d d d d d dan Dngan mmrhatikan

33 47 dirolh Siat Jika dan ngsi dari dan sdmikian shingga maka Bkti : Karna maka dan Eliminasi dirolh ait dngan rtkaran baris dan kolom dari dtrminan

34 Dngan dmikian dirolh Contoh 8 : JIka r cos θ r sin θ tntkan r Pnlsaian: r r r r cos sin r sin r cos r cos θ r sin θ r cos θ sin θ r Trnan arsial mnggnakan jacobian Dibrikan rsamaan: /# # dngan mmrhatikan dan sbagai ngsi dari da maka: Contoh: # / / # / # / # # / / # / # / # 48

35 Jika # # Tntkan 4 Pnlsaian: # / / # 5 # 5 # 5 5 # # / # / # LATIHAN 7 : 5 # # 5 # 5 5 # "## # Jika r cos θ r sin θ Tntkan r tnjkkan bahwa r r θ and r θ dan Jika r sin θ cos φ r sin θ sin φ r cos θ tntkan r Jika Tntkan dan 49

36 4 Jika w tntkan w dan w 5 Tntkan 4 4 dari ngsi: # 6 # # 5